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% adjunktion.tex
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% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
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\begin{frame}[t]
\frametitle{Adjunktion einer Nullstelle von $m(X)$}
\setlength{\abovedisplayskip}{5pt}
\setlength{\belowdisplayskip}{5pt}
Sei $m(X)=m_0+m_1X+\dots + X^n\in \Bbbk[X]$ ein irreduzibles Polynom.
\[
X^n = -m_{n-1}X^{n-1} - \dots - m_1X - m_0
\]
Nullstelle $W$ als Operator betrachten:
\[
W = \begin{pmatrix}
0& 0& 0&\dots & 0& -m_0\\
1& 0& 0&\dots & 0& -m_1\\
0& 1& 0&\dots & 0& -m_2\\
0& 0& 1&\dots & 0& -m_3\\
\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots& \vdots\\
0& 0& 0&\dots & 1&-m_{n-1}
\end{pmatrix}
\]
Man kann nachrechnen, dass immer $m(W)=0$.
\medskip
$\Rightarrow \Bbbk(W) = \{p(W)\;|\;p\in\Bbbk[X], \deg p<\deg m\}$
ist ein Körper, in dem $m(X)$ faktorisiert werden kann $m(X) = (X-W)q(X)$.
\end{frame}
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