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% minimalbeispiel.tex
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% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
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\begin{frame}[t]
\frametitle{Beispiel für $p(A)=0$}
\begin{block}{Potenzen einer $2\times 2$-Matrix $A$}
\setlength{\abovedisplayskip}{5pt}
\setlength{\belowdisplayskip}{5pt}
\vspace{-10pt}
\[
I ={\tiny\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}},\quad
A ={\tiny\begin{pmatrix} 3 & 2 \\ -1 & -2 \end{pmatrix}},\quad
A^2={\tiny\begin{pmatrix} 7 & 2 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}},\quad
A^3={\tiny\begin{pmatrix} 19 & 10 \\ -5 & -6 \end{pmatrix}},\quad
A^4={\tiny\begin{pmatrix} 47 & 18 \\ -9 & 2 \end{pmatrix}}
\]
\end{block}
\vspace{-5pt}
\begin{block}{linear abhängig}
Bereits die ersten $3$ sind linear abhängig:
\[
-4I - A + A^2
=
-4\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}
-\begin{pmatrix} 3 & 2 \\ -1 & -2 \end{pmatrix}
+\begin{pmatrix} 7 & 2 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}
\]
$p(X) = X^2 - X - 4 \in \mathbb{Q}[X]$ hat die Eigenschaft $p(A)=0$
\end{block}
\end{frame}
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