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index ee42b64..dbe1171 100644
--- a/buch/papers/kra/anwendung.tex
+++ b/buch/papers/kra/anwendung.tex
@@ -1,6 +1,5 @@
 \section{Anwendung \label{kra:section:anwendung}}
 \rhead{Anwendung}
-\newcommand{\dt}[0]{\frac{d}{dt}}
 
 Die Matrix-Riccati Differentialgleichung findet unter anderem Anwendung in der Regelungstechnik beim RQ- und RQG-Regler oder aber auch beim Kalman-Filter.
 Im folgenden Abschnitt möchten wir uns an einem Beispiel anschauen wie wir mit Hilfe der Matrix-Riccati-Differentialgleichung (\ref{kra:equation:matrixriccati}) ein Feder-Masse-System untersuchen können \cite{kra:riccati}.
@@ -187,45 +186,23 @@ Abbildung~\ref{kra:fig:phasenraum} zeigt Phasenraumtrajektorien mit den Energien
 \end{figure}
 
 \subsubsection{Erweitertes Feder-Masse-System}
-Wir interessieren uns nun dafür, wie der Phasenwinkel $U = PQ^{-1}$ von der Zeit abhängt,
-wir suchen also die Grösse $\Theta = \dt U$.
-Ersetzten wir in der Gleichung \eqref{kra:equation:hamilton-multispringmass} die Matrix $G$ mit $\tilde{G}$ so erhalten wir
+Die Lösung der Gleichung \eqref{kra:equation:hamilton-multispringmass} beschreibt sowohl die zeitliche Entwicklung der Position als auch der Impulse.
+Um das System im Phasenraum zu untersuchen, reicht uns aber auch die zeitliche Entwicklung des Phasenwinkels $U(t) = P(t)Q^{-1}(t)$.
+Nach Satz~\ref{kra:satz:riccati-matrix-dgl} erhalten wir für Ableitung von $U$
 \begin{equation}
-    \dt
-    \begin{pmatrix}
-        Q \\
-        P
-    \end{pmatrix}
-    =
-    \underbrace{
-        \begin{pmatrix}
-            A & B \\
-            C & D
-        \end{pmatrix}
-    }_{\displaystyle{\tilde{G}}}
-    \begin{pmatrix}
-        Q \\
-        P
-    \end{pmatrix}.
-\end{equation}
-Ausgeschrieben folgt
-\begin{align*}
-    \dot{Q} = AQ + BP \\
-    \dot{P} = CQ + DP
-\end{align*}
-\begin{equation}
-    \label{kra:equation:feder-masse-riccati-matrix}
     \begin{split}
-        \dt U   &= \dot{P} Q^{-1} + P \dt Q^{-1} \\
-        &= (CQ + DP) Q^{-1} - P (Q^{-1} \dot{Q} Q^{-1}) \\
-        &= C\underbrace{QQ^{-1}}_\text{$I$} + D\underbrace{PQ^{-1}}_\text{$U$} - P(Q^{-1} (AQ + BP) Q^{-1}) \\
-        &= C + DU - \underbrace{PQ^{-1}}_\text{$U$}(A\underbrace{QQ^{-1}}_\text{$I$} + B\underbrace{PQ^{-1}}_\text{$U$}) \\
-        &= C  + DU - UA - UBU
+        \dt U   &= K  + 0U(t) - U(t)0 - U(t)MU(t) \\
+        &= K + U(t)MU(t),
     \end{split}
 \end{equation}
-was uns direkt auf die Matrix-Riccati Gleichung \eqref{kra:equation:matrixriccati} führt.
-Wir sehen das sich die Dimension der Differentialgleichung reduziert, dabei aber gleichzeitig der Grad erhöht.
+eine Riccati-Matrix-Differentialgleichung.
+Die Matrix $U(t)$ beschreibt, wie man die Impulse $P$ zur Zeit $t$ aus den Positionen $Q$ berechnen kann.
+Die Berechnung der Position $Q$ zur Zeit $t$ aus den Anfangsbedingungen ermöglicht die Matrix $Q$.
+Die Inverse $Q^{-1}$ rechnet dann von den aktuellen Auslenkungen zurück auf Auslenkungen zur Zeit $t=0$.
+Die Matrix-Riccati-Differentialgleichung löst also das Problem die Impulse aus den Positionen zu berechnen, wenn man die Anfangsinpulsverteilung kennt.
+
+Durch die Beschränkung auf den Phasenwinkel wird die Dimension der Differentialgleichung \eqref{kra:equation:hamilton-multispringmass} reduziert, dabei aber gleichzeitig deren Grad erhöht.
 
 \subsection{Fazit}
-Wir haben gezeigt wie wir ein Federmassesystem mit Hilfe der Hamilton-Funktion Beschreiben und im Phasenraum untersuchen können.
-Ausserdem haben wir gesehen, dass sich bei der Entstehung der Riccati-Gleichung \eqref{kra:equation:feder-masse-riccati-matrix} die Dimension auf Kosten des Grades reduziert wird.
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+Wir haben gezeigt wie wir ein Federmassesystem mit Hilfe der Hamilton-Funktion Beschreiben und im Phasenraum untersuchen können und wie dabei die Matrix-Riccati-Differentialgleichung in Erscheinung tritt.
+Ausserdem haben wir gesehen, dass dabei die Dimension auf Kosten des Grades reduziert wird.
\ No newline at end of file
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@@ -50,6 +50,8 @@ Durch die Rücksubstitution \eqref{kra:equation:backsubstitution} erhält man da
 
 \subsection{Matrix-Riccati-Differentialgleichung} \label{kra:loesung:riccati}
 Im Folgenden wollen wir uns anschauen wie die Matrix-Riccati-Differentialgleichung entsteht und wie sie gelöst werden kann.
+
+\subsubsection{Entstehung}
 Der Ausgangspunkt bildet die Matrix-Differentialgleichung
 \begin{equation}
     \label{kra:equation:matrix-dgl}
@@ -63,19 +65,77 @@ Der Ausgangspunkt bildet die Matrix-Differentialgleichung
             A & B \\
             C & D
         \end{pmatrix}
-    }_{\displaystyle{H}},
+    }_{\displaystyle{H}}
+    \begin{pmatrix}
+        X(t) \\
+        Y(t)
+    \end{pmatrix}
 \end{equation}
-mit den allgemeinen quadratischen Matrizen $A, B, C$ und $D$ welche zusammen die sogenannte Hamiltonsche-Matrix bilden.
-Betrachten wir das Verhältniss von $Y$ zu $X$
+mit den allgemeinen quadratischen Matrizen $A, B, C$ und $D$, welche in der sogenannten Hamiltonschen-Matrix $H$ zusammengefasst werden können.
+Wir führen eine neue Grösse
 \[
     U(t) = Y(t)X(t)^{-1}
 \]
-und deren Ableitung $\dot{P}(t)$, so erhalten wir die Riccati-Matrix-Differentialgleichung
+ein, für dessen Ableitung $\dt U(t)$ wir mit
 \[
-    \dot{U}(t) = C(t)  + DU(t) - U(t)A - U(t)BU(t).
+    \dot{X}(t) = AX(t) + BY(t) \quad \text{und} \quad \dot{Y}(t) = CX(t) + DY(t)
 \]
+folgendes Ergebnis erhalten
+\begin{equation}
+    \label{kra:equation:feder-masse-riccati-matrix}
+    \begin{split}
+        \dt U(t)   &= \dot{Y}(t) X(t)^{-1} + Y(t) \dt X(t)^{-1} \\
+        &= (CX(t) + DY(t)) X(t)^{-1} - Y(t) (X(t)^{-1} \dot{X}(t) X(t)^{-1}) \\
+        &= C\underbrace{X(t)X(t)^{-1}}_\text{$I$} + D\underbrace{Y(t)X(t)^{-1}}_\text{$U(t)$} - Y(t)(X(t)^{-1} (AX(t) + BY(t)) X(t)^{-1}) \\
+        &= C + DU(t) - \underbrace{Y(t)X(t)^{-1}}_\text{$U(t)$}(A\underbrace{X(t)X(t)^{-1}}_\text{$I$} + B\underbrace{Y(t)X(t)^{-1}}_\text{$U(t)$}) \\
+        &= C  + DU(t) - U(t)A - U(t)BU(t).
+    \end{split}
+\end{equation}
+\begin{satz}
+    \label{kra:satz:riccati-matrix-dgl}
+    Die Ableitung $\dt U(t) = \dt (Y(t)X(t)^{-1})$ ist eine Matrix-Riccati-Differentialgleichung.
+\end{satz}
 
-Die Lösung erhalten wir dann mit
+\subsubsection{Lösung}
+Sei
+\[
+    V(t)
+    =
+    \begin{pmatrix}
+        X(t) \\
+        Y(t)
+    \end{pmatrix},
+    \quad
+    \dot{V}(t) = HV(t)
+\]
+eine Matrix-Differentialgleichung 1. Ordnung, dann ist
+\[
+    V(t) = e^{H(t)} V(0)
+\]
+eine Lösung.
+Die Berechnung des Matrixexpontentials $e^{H(t)}$ kann mittels Diagonalisierung
+\[
+    H = Q \Lambda Q^{-1}
+\]
+effizient berechnet werden.
+Es folgt dann, dass
+\[
+    e^{Ht}
+    =
+    Q
+    e^{\Lambda t}
+    Q^{-1}
+    =
+    Q
+    \begin{pmatrix}
+        e^{\lambda_1 t} & 0               & \dots  & 0               \\
+        0               & e^{\lambda_2 t} & \ddots & \vdots          \\
+        \vdots          & \ddots          & \ddots & 0               \\
+        0               & \dots           & 0      & e^{\lambda_n t}
+    \end{pmatrix}
+    Q^{-1}
+\]
+ist. Die Lösung der Matrix-Riccati-Differentialgleichung erhalten wir analog mit
 \begin{equation}
     \label{kra:matrixriccati-solution}
     \begin{pmatrix}
@@ -108,4 +168,5 @@ Die Lösung erhalten wir dann mit
     \end{pmatrix}
     ^{-1}
 \end{equation}
-wobei $\Phi(t_0, t) = e^{H(t - t_0)}$ die sogenannte Zustandsübergangsmatrix von \eqref{kra:equation:matrix-dgl} ist \cite{kra:kalmanisae}.
+wobei $\Phi(t_0, t) = e^{H(t - t_0)}$ die sogenannte Zustandsübergangsmatrix von \eqref{kra:equation:matrix-dgl} ist,
+welche die Zeitentwicklung der einzelnen Lösungen beschreibt \cite{kra:kalmanisae}.