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| author | Erik Löffler <erik.loeffler@ost.ch> | 2022-08-08 13:12:23 +0200 |
|---|---|---|
| committer | Erik Löffler <erik.loeffler@ost.ch> | 2022-08-08 13:12:23 +0200 |
| commit | 95ce389d41871e3e1a7dba350bf3dcdc1d67f80c (patch) | |
| tree | c7ded880e8d7a23ee844fb816706b215b027b5cd | |
| parent | Changed equation syntax to match rest of the (diff) | |
| download | SeminarSpezielleFunktionen-95ce389d41871e3e1a7dba350bf3dcdc1d67f80c.tar.gz SeminarSpezielleFunktionen-95ce389d41871e3e1a7dba350bf3dcdc1d67f80c.zip | |
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| -rw-r--r-- | buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex | 8 |
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diff --git a/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex b/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex index 0c9dd8e..27a7574 100644 --- a/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex +++ b/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex @@ -97,6 +97,7 @@ der neuen Variablen $\mu$ gekoppelt werden: Durch die Einführung von $\mu$ kann das Problem nun in zwei separate Differenzialgleichungen aufgeteilt werden: \begin{equation} +\begin{aligned} T^{\prime}(t) - \kappa \mu T(t) &= 0 @@ -104,6 +105,7 @@ Differenzialgleichungen aufgeteilt werden: X^{\prime \prime}(x) - \mu X(x) &= 0 +\end{aligned} \end{equation} Es ist an dieser Stelle zu bemerken, dass die Gleichung in $x$ in @@ -175,6 +177,7 @@ und durch umformen somit Durch Koeffizientenvergleich von \begin{equation} +\begin{aligned} -A\alpha^{2}\sin(\alpha x) &= \mu A\sin(\alpha x) @@ -182,6 +185,7 @@ Durch Koeffizientenvergleich von -B\beta^{2}\cos(\beta x) &= \mu B\cos(\beta x) +\end{aligned} \end{equation} ist schnell ersichtlich, dass $ \mu = -\alpha^{2} = -\beta^{2} $ gelten muss für $ A \neq 0 $ und $ B \neq 0 $. Zur Berechnung von $ \mu $ bleiben also noch @@ -190,6 +194,7 @@ $ \alpha $ und $ \beta $ zu bestimmen. % TODO: Rechenweg TODO: Rechenweg... Enden auf konstanter Temperatur: \begin{equation} +\begin{aligned} u(t,x) &= \sum_{n=1}^{\infty}a_{n}e^{-\frac{n^{2}\pi^{2}\kappa}{l^{2}}t} @@ -198,10 +203,12 @@ TODO: Rechenweg... Enden auf konstanter Temperatur: a_{n} &= \frac{2}{l}\int_{0}^{l}u(0,x)sin\left(\frac{n\pi}{l}x\right) dx +\end{aligned} \end{equation} TODO: Rechenweg... Enden isoliert: \begin{equation} +\begin{aligned} u(t,x) &= a_{0} + \sum_{n=1}^{\infty}a_{n}e^{-\frac{n^{2}\pi^{2}\kappa}{l^{2}}t} @@ -214,4 +221,5 @@ TODO: Rechenweg... Enden isoliert: a_{n} &= \frac{2}{l}\int_{0}^{l}u(0,x)sin\left(\frac{n\pi}{l}x\right) dx +\end{aligned} \end{equation} |