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author | Andreas Müller <andreas.mueller@ost.ch> | 2022-01-02 12:35:36 +0100 |
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committer | Andreas Müller <andreas.mueller@ost.ch> | 2022-01-02 12:35:36 +0100 |
commit | 083feab0f9542f4e6e01c51c1beb6878f2f70b2f (patch) | |
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parent | fix some errors in hypergeometric examples (diff) | |
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-rw-r--r-- | buch/chapters/020-exponential/uebungsaufgaben/201.tex | 34 |
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diff --git a/buch/chapters/020-exponential/uebungsaufgaben/201.tex b/buch/chapters/020-exponential/uebungsaufgaben/201.tex new file mode 100644 index 0000000..3b71806 --- /dev/null +++ b/buch/chapters/020-exponential/uebungsaufgaben/201.tex @@ -0,0 +1,34 @@ +Finde die Lösungen der Gleichung $x^x=27$ mit Hilfe der Lambert $W$-Funktion. + +\begin{loesung} +Wegen der speziellen Form $27=3^3$ der rechten Seite kann man +zwar die Lösung $x=3$ der Gleichung sofort erraten, für andere +Werte der rechten Seite wird es dagegen schwieriger, so dass man +keine andere Wahl hat, als die folgende Umformung zu verwenden. + +Wir schreiben zunächst die Gleichung mit Hilfe der Exponentialfunktion als +\[ +e^{x\log x} = 27 +\qquad\Rightarrow\qquad +x\log x = \log 27 +\] +und substituieren $t=\log x$, also $x=e^t$. +So entsteht die Gleichung +\[ +te^t = \log 27. +\] +Auf der linken Seite steht ein Ausdruck, der mit der Lambert $W$-Funktion +invertiert werden kann, es ist also +\[ +t = W(\log 27) +\qquad\Rightarrow\qquad +x=e^{W(\log 27)}. +\] +Für $W(\log 27)$ findet man +\[ +W(\log 27) = 1.098612 +\qquad\Rightarrow\qquad +x=3. +\qedhere +\] +\end{loesung} |