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diff --git a/buch/chapters/010-potenzen/images/Makefile b/buch/chapters/010-potenzen/images/Makefile new file mode 100644 index 0000000..a4b4f0d --- /dev/null +++ b/buch/chapters/010-potenzen/images/Makefile @@ -0,0 +1,9 @@ +# +# Makefile +# +# (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +# +all: wurzel.pdf + +wurzel.pdf: wurzel.tex + pdflatex wurzel.tex diff --git a/buch/chapters/010-potenzen/images/wurzel.pdf b/buch/chapters/010-potenzen/images/wurzel.pdf Binary files differnew file mode 100644 index 0000000..108ac16 --- /dev/null +++ b/buch/chapters/010-potenzen/images/wurzel.pdf diff --git a/buch/chapters/010-potenzen/images/wurzel.tex b/buch/chapters/010-potenzen/images/wurzel.tex new file mode 100644 index 0000000..aba9aa2 --- /dev/null +++ b/buch/chapters/010-potenzen/images/wurzel.tex @@ -0,0 +1,98 @@ +% +% tikztemplate.tex -- template for standalon tikz images +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\documentclass[tikz]{standalone} +\usepackage{amsmath} +\usepackage{times} +\usepackage{txfonts} +\usepackage{pgfplots} +\usepackage{csvsimple} +\usetikzlibrary{arrows,intersections,math} +\begin{document} +\def\skala{4} +\definecolor{darkgreen}{rgb}{0,0.6,0} +\begin{tikzpicture}[>=latex,thick,scale=\skala] +\def\n{8} + +\fill[color=gray!20] (-1.1,-1.1) rectangle (2.1,2.1); +\fill[color=white] (-1.11,-1.11) rectangle (0,0); +\fill[color=white] (0,0) rectangle (1,1); +\fill[color=white] (1,1) rectangle (2.22,2.22); + +\draw[->] (-1.1,0) -- (2.3,0) coordinate[label={$x$}]; +\draw[->] (0,-1.1) -- (0,2.3) coordinate[label={left:$y$}]; + +\draw[color=gray!50,line width=1pt] (-1.1,-1.1) -- (2.2,2.2); + +\begin{scope} +\clip (-1.1,-1.1) rectangle (2.1,2.1); + +\draw[color=red!40,line width=1.4pt] + plot[domain=0:2.2,samples=100] ({\x},{\x*\x}); +\draw[color=red,line width=1.4pt] + plot[domain=0:2.2,samples=100] ({\x*\x},{\x}); + +\draw[color=blue!40,line width=1.4pt] + plot[domain=-1.1:2.2,samples=100] ({\x},{\x*\x*\x}); +\draw[color=blue,line width=1.4pt] + plot[domain=-1.1:2.2,samples=100] ({\x*\x*\x},{\x}); + +\draw[color=darkgreen!40,line width=1.4pt] + (0,0) + -- + plot[domain=-3:0.1,samples=100] ({exp(\x)},{exp(2*\n*\x)}); +\draw[color=darkgreen,line width=1.4pt] + (0,0) + -- + plot[domain=-3:0.1,samples=100] ({exp(2*\n*\x)},{exp(\x)}); + +\draw[color=orange!40,line width=1.4pt] + plot[domain=0.02:-2,samples=100] ({-exp(\x)},{-exp((2*\n+11)*\x)}) + -- + (0,0) + -- + plot[domain=-2:0.05,samples=100] ({exp(\x)},{exp((2*\n+11)*\x)}); +\draw[color=orange,line width=1.4pt] + plot[domain=0.02:-2,samples=100] ({-exp((2*\n+11)*\x)},{-exp(\x)}) + -- + (0,0) + -- + plot[domain=-2:0.05,samples=100] ({exp((2*\n+11)*\x)},{exp(\x)}); + +\end{scope} + +\draw (-1,{0.1/\skala}) -- (-1,{-0.1/\skala}); +\node at (-1,{0.1/\skala}) [above] {$-1$}; +\draw (1,{0.1/\skala}) -- (1,{-0.1/\skala}); +\node at (1,{-0.1/\skala}) [below] {$1$}; +\draw (2,{0.1/\skala}) -- (2,{-0.1/\skala}); +\node at (2,{-0.1/\skala}) [below] {$2$}; + +\draw ({-0.1/\skala},-1) -- ({0.1/\skala},-1); +\node at ({0.1/\skala},-1) [right] {$-1$}; +\draw ({-0.1/\skala},1) -- ({0.1/\skala},1); +\node at ({-0.1/\skala},1) [left] {$1$}; +\draw ({-0.1/\skala},2) -- ({0.1/\skala},2); +\node at ({-0.1/\skala},2) [left] {$2$}; + +\node at (0,0) [below right] {$0$}; + +\node[color=orange] at (1.05,2.1) [above left] {$x^{27}$}; +\node[color=darkgreen] at (1.03,2.1) [above right] {$x^{16}$}; +\node[color=blue] at (1.30,2.1) [above] {$x^3$}; +\node[color=red] at ({sqrt(2.1)-0.04},2.1) [above right] {$x^2$}; + +\node[color=orange] at (2.05,1.04) [below right] + {$\root{27}\of{x\mathstrut}$}; +\node[color=darkgreen] at (2.05,1.03) [above right] + {$\root{16}\of{x\mathstrut}$}; +\node[color=blue] at (2.07,1.28) [right] + {$\root{3}\of{x\mathstrut}$}; +\node[color=red] at (2.05,{sqrt(2.05)-0.02}) [above right] + {$\sqrt{x\mathstrut}$}; + +\end{tikzpicture} +\end{document} + diff --git a/buch/chapters/010-potenzen/loesbarkeit.tex b/buch/chapters/010-potenzen/loesbarkeit.tex index 9782b64..af4c2f2 100644 --- a/buch/chapters/010-potenzen/loesbarkeit.tex +++ b/buch/chapters/010-potenzen/loesbarkeit.tex @@ -3,16 +3,149 @@ % % (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochscule % -\section{Lösungen von Polynomegleichungen +\section{Lösungen von Polynomgleichungen \label{buch:potenzen:section:loesungen}} \rhead{Lösungen von Polynomgleichungen} +Die Berechnung von Polynomen ist sehr einfach, da nur arithmetische +Grundoperationen benötigt werden. +In vielen Anwendungen sind jedoch die Argumente gefragt, für die ein +Polynom einen bestimmten Wert annimmt. +Es geht also um die Lösung von Gleichungen der Form +\[ +p(x) = c +\] +für ein Polynome $p(x)$ und eine Konstante $c\in\mathbb{C}$. % % Fundamentalsatz der Algebra % \subsection{Fundamentalsatz der Algebra} +\begin{satz}[Gauss] +Jedes Polynom $p(x)=a_nx^n+\dots + a_2x^2 + a_1x + a_0\in\mathbb{C}[x]$ +zerfällt in ein Produkt +\[ +p(x) += +a_n +(x-\alpha_1)(x-\alpha_2)\cdots(x-\alpha_n) +\] +für Nullstellen $\alpha_k\in\mathbb{C}$. +\end{satz} + % % Lösbarkeit durch Wurzelausdrücke % \subsection{Lösbarkeit durch Wurzelausdrücke} +Der Fundamentalsatz macht keine Aussage darüber, wie die Nullstellen +eines Polynoms gefunden werden können. +Selbst für besonders einfache Gleichungen der Form +\[ +x^n = c +\qquad +\text{oder Polynome der Form} +\qquad +p(x) = x^n -c +\] +gibt es keine direkte, nur auf den arithmetischen +Operationen basierende Methode, eine Nullstelle oder Faktorisierung +in endlich vielen Schritten zu finden. +Dies rechtfertigt, für diese einfachen Fälle eine neue, spezielle +Funktion zu definieren, die mindestens für reelle Koeffizienten +die Nullstelle als Rückgabewert hat. + +\begin{figure} +\centering +\includegraphics{chapters/010-potenzen/images/wurzel.pdf} +\caption[Graph der Wurzelfunktionen]{Graph der Wurzelfunktionen +%$x\mapsto\root{n}\of{x\mathstrut}$ +\ensuremath{x\mapsto\root{n}\of{x}} +als Umkehrfunktionen der Potenzfunktionen $x\mapsto x^n$ für +$n=2$ ({\color{red}rot}), $n=3$ ({\color{blue}blau}), +$n=16$ ({\color{darkgreen}grün}) und $n=27$ ({\color{orange}orange}). +\label{buch:potenzen:fig:wurzel} +} +\end{figure} + +\begin{definition} +Die inverse Funktion der Potenzfunktion +$f\colon \mathbb{R}\to\mathbb{R}:x\mapsto y=f(x)=x^n$ +heisst die $n$-{\em te Wurzel} und wird +\[ +\root{n}\of{\mathstrut\phantom{m}} += +f^{-1} +\colon +D\to\mathbb{R} +: +y\mapsto f^{-1}(y)=\root{n}\of{\mathstrut y} +\] +geschrieben. +Für gerades $n$ ist der Definitionsbereich der Wurzel nur +$D=\mathbb{R}_{\ge 0}$, für ungerades $n$ ist $D=\mathbb{R}$. +Für $n=2$ wird die Wurzel als +\( +\root{2}\of{\mathstrut y} += +\sqrt{\mathstrut y} +\) +geschrieben. +\end{definition} + +TODO: Graph der Wurzelfunktion hinzufügen + +Mit der Wurzelfunktion ist es jetzt möglich, auch kompliziertere +Gleichungen zu lösen: +\begin{enumerate} +\item +Für negative Argument $y<0$ müssen Quadratwurzeln als +$\sqrt{y\mathstrut}=i\sqrt{-y\mathstrut}$ definiert werden. +\item +Mindestens der Betrag der Wurzel einer komplexen Zahl lässt +sich jetzt sofort mittels $|\root{n}\of{c\mathstrut}|=\root{n}\of{|c|\mathstrut}$ +berechnen. +Für das Argument sind jedoch die in +Abschnitt~\label{buch:geometrie:section:trigonometrisch} definierten +trigonometrischen Funktionen notwendig. +\item +Die quadratische Gleichung +\[ +ax^2+bx+c=0 +\] +hat die Nullstellen +\[ +x_{1,2} = \frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac\mathstrut}}{2a}. +\] +\item +Für kubische Gleichungen hat Cardano eine Lösung gefunden, die +Nur Wurzelausdrücke und arithmetische Operationen verwendet. +Die Gleichung $x^3+px+q=0$ hat die Nullstelle +\[ +x += +\root{3}\of{-\frac{q}2+\sqrt{\frac{q^2}4+\frac{p^3}{27}}} ++ +\root{3}\of{-\frac{q}2-\sqrt{\frac{q^2}4+\frac{p^3}{27}}}. +\] +Falls das Argument der Quadratwurzel negativ ist, muss eine +Kubikwurzel aus einer komplexen Zahl berechnet werden, was +wieder über die Möglichkeiten der oben definierten Wurzelfunktionen +hinausgeht. +\item +Für die Lösung einer Gleichung vierten Grades hat Ferrari eine +Formel angegeben, die mit Wurzelausdrücken und arithmetischen +Operationen auskommt. +\end{enumerate} + +Allerdings ist damit auch bereits ausgeschöpft, was die +Wurzelfunktionen zur Lösung von Polynomgleichungen beitragen +können. +Der folgende Satz von Abel zeigt, dass man für Polynomgleichungen +höheren Grades nicht mit einer Lösung durch Wurzelausdrücke +rechnen kann. + +\begin{satz}[Abel] +Für Polynomegleichungen vom Grad $n\ge 5$ gibt es keine allgemeine +Lösung durch Wurzelausdrücke. +\end{satz} + diff --git a/buch/chapters/010-potenzen/polynome.tex b/buch/chapters/010-potenzen/polynome.tex index 5821f97..b8ad03c 100644 --- a/buch/chapters/010-potenzen/polynome.tex +++ b/buch/chapters/010-potenzen/polynome.tex @@ -6,6 +6,67 @@ \section{Polynome \label{buch:potenzen:section:polynome}} \rhead{Polynome} +Die wohl einfachsten Funktionen, die sich mit den arithmetischen +Operationen konstruieren lassen, sind die Polynome. + +\begin{definition} +\index{Polynom}% +Ein {\em Polynome} vom Grad $n$ ist die Funktion +\[ +p(x) = a_nx^2n + a_{n-1}x^{n-1} + \dots + a_2x^2 + a_1x + a_0, +\] +wobei $a_n\ne 0$ sein muss. +Das Polynom heisst {\em normiert}, wenn $a_n=1$ ist. +\index{normiert}% +Die Menge aller Polynome mit Koeffizienten in der Menge $K$ wird mit +$K[x]$ bezeichnet. +\end{definition} + +Die Menge $K[x]$ ist heisst auch der {\em Polynomring}, weil $K[x]$ +mit der Addition, Subtraktion und Multiplikation von Polynomen ein +Ring mit $1$ ist. +Im Folgenden werden wir uns auf die Fälle $K=\mathbb{R}$ und $K=\mathbb{C}$ +beschränken. + +In Abschnitt~\ref{buch:integral:section:orthogonale-polynome} werden +Familien von Polynomen konstruiert werden, die sich durch eine +Orthogonalitätseigenschaft auszeichnen. +Diese Polynome lassen sich typischerweise auch als Lösungen von +Differentialgleichungen finden. +Ausserdem werden hypergeometrische Funktionen +\[ +\mathstrut_pF_q(a_1,\dots,a_p;b_1,\dots,b_q;z) +\], die in +Abschnitt~\ref{buch:rekursion:section:hypergeometrische-funktion} +definiert werden, zu Polynomen, wenn mindestens einer der +Parameter $a_k$ negativ ganzzahlig ist. +Polynome sind also bereits eine Vielfältige Quelle von speziellen +Funktionen. + +Viele spezielle Funktionen werden aber komplizierter sein und +sich nicht als einfache Polynome ausdrücken lassen. +Genau diese Unmöglichkeit rechtfertigt ja, neue Funktionen +zu definieren. +Es bleibt aber immer noch die Notwendigkeit, effiziente +Berechnungsverfahren für die speziellen Funktionen zu konstruieren. +Dank des folgenden Satzes kann dies immer mit Polynomen geschehen. + +\begin{satz}[Weierstrasse] +Eine auf einem kompakten Intervall $[a,b]$ stetige Funktion $f(x)$ +lässt sich durch eine Folge $p_n(x)$ von Polynomen gleichmässig +approximieren. +\end{satz} + +Der Satz sagt in dieser Form nichts darüber aus, wie die +Approximationspolynome konstruiert werden sollen. +Von Bernstein gibt es konstruktive Beweise dieses Satzes, +welche auch explizit eine Folge von Approximationspolynomen +konstruieren. +In der späteren Entwicklung werden wir für die meisten +speziellen Funktionen Potenzreihen entwickeln, deren Partialsummen +ebenfalls als Approximationen dienen können. +Weitere Möglichkeiten liefern Interpolationsmethoden der +numerischen Mathematik. \subsection{Faktorisierung und Nullstellen} % wird später gebraucht um bei der Definition der hypergeometrischen Reihe diff --git a/buch/chapters/020-exponential/Makefile.inc b/buch/chapters/020-exponential/Makefile.inc index 50f27b0..d6b3c7f 100644 --- a/buch/chapters/020-exponential/Makefile.inc +++ b/buch/chapters/020-exponential/Makefile.inc @@ -10,7 +10,7 @@ CHAPTERFILES = $(CHAPTERFILES) \ chapters/020-exponential/lambertw.tex \ chapters/020-exponential/dilog.tex \ chapters/020-exponential/eili.tex \ - chapters/020-exponential/uebungsaufgaben/0.tex \ - chapters/020-exponential/uebungsaufgaben/1.tex \ - chapters/020-exponential/uebungsaufgaben/2.tex \ + chapters/020-exponential/uebungsaufgaben/200.tex \ + chapters/020-exponential/uebungsaufgaben/201.tex \ + chapters/020-exponential/uebungsaufgaben/202.tex \ chapters/020-exponential/chapter.tex diff --git a/buch/chapters/020-exponential/chapter.tex b/buch/chapters/020-exponential/chapter.tex index ca3cda4..1ab4769 100644 --- a/buch/chapters/020-exponential/chapter.tex +++ b/buch/chapters/020-exponential/chapter.tex @@ -19,8 +19,8 @@ \rhead{Übungsaufgaben} \aufgabetoplevel{chapters/020-exponential/uebungsaufgaben} \begin{uebungsaufgaben} -\uebungsaufgabe{0} -\uebungsaufgabe{1} -\uebungsaufgabe{2} +\uebungsaufgabe{200} +\uebungsaufgabe{201} +\uebungsaufgabe{202} \end{uebungsaufgaben} diff --git a/buch/chapters/020-exponential/uebungsaufgaben/0.tex b/buch/chapters/020-exponential/uebungsaufgaben/200.tex index 1f908bf..1f908bf 100644 --- a/buch/chapters/020-exponential/uebungsaufgaben/0.tex +++ b/buch/chapters/020-exponential/uebungsaufgaben/200.tex diff --git a/buch/chapters/020-exponential/uebungsaufgaben/1.tex b/buch/chapters/020-exponential/uebungsaufgaben/201.tex index 3b71806..3b71806 100644 --- a/buch/chapters/020-exponential/uebungsaufgaben/1.tex +++ b/buch/chapters/020-exponential/uebungsaufgaben/201.tex diff --git a/buch/chapters/020-exponential/uebungsaufgaben/2.tex b/buch/chapters/020-exponential/uebungsaufgaben/202.tex index 70cf8f3..70cf8f3 100644 --- a/buch/chapters/020-exponential/uebungsaufgaben/2.tex +++ b/buch/chapters/020-exponential/uebungsaufgaben/202.tex diff --git a/buch/chapters/030-geometrie/images/Makefile b/buch/chapters/030-geometrie/images/Makefile index d9e660f..a18208d 100644 --- a/buch/chapters/030-geometrie/images/Makefile +++ b/buch/chapters/030-geometrie/images/Makefile @@ -4,7 +4,11 @@ # (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule # -all: hyperbelflaeche.pdf polargleichung.pdf deftrig.pdf einheitskreis.pdf +all: hyperbelflaeche.pdf \ + polargleichung.pdf \ + deftrig.pdf \ + einheitskreis.pdf \ + zylinder.pdf hyperbelflaeche.pdf: hyperbelflaeche.tex pdflatex hyperbelflaeche.tex @@ -18,4 +22,11 @@ deftrig.pdf: deftrig.tex einheitskreis.pdf: einheitskreis.tex pdflatex einheitskreis.tex +zylinder.png: zylinder.pov + povray +A0.1 +W1920 +H1080 -Ozylinder.png zylinder.pov +zylinder.jpg: zylinder.png Makefile + convert -extract 1844x1080+32+0 zylinder.png \ + -density 300 -units PixelsPerInch zylinder.jpg +zylinder.pdf: zylinder.tex zylinder.jpg + pdflatex zylinder.tex diff --git a/buch/chapters/030-geometrie/images/zylinder.pdf b/buch/chapters/030-geometrie/images/zylinder.pdf Binary files differnew file mode 100644 index 0000000..d092587 --- /dev/null +++ b/buch/chapters/030-geometrie/images/zylinder.pdf diff --git a/buch/chapters/030-geometrie/images/zylinder.tex b/buch/chapters/030-geometrie/images/zylinder.tex new file mode 100644 index 0000000..db546cc --- /dev/null +++ b/buch/chapters/030-geometrie/images/zylinder.tex @@ -0,0 +1,47 @@ +% +% zylinder.tex +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\documentclass[tikz]{standalone} +\usepackage{times} +\usepackage{amsmath} +\usepackage{txfonts} +\usepackage[utf8]{inputenc} +\usepackage{graphics} +\usetikzlibrary{arrows,intersections,math} +\usepackage{ifthen} +\begin{document} + +\newboolean{showgrid} +\setboolean{showgrid}{false} +\def\breite{7} +\def\hoehe{4} + +\begin{tikzpicture}[>=latex,thick] + +% Povray Bild +\node at (0,0) {\includegraphics[width=14cm]{zylinder.jpg}}; + +% Gitter +\ifthenelse{\boolean{showgrid}}{ +\draw[step=0.1,line width=0.1pt] (-\breite,-\hoehe) grid (\breite, \hoehe); +\draw[step=0.5,line width=0.4pt] (-\breite,-\hoehe) grid (\breite, \hoehe); +\draw (-\breite,-\hoehe) grid (\breite, \hoehe); +\fill (0,0) circle[radius=0.05]; +}{} + +\node at (-6.4,-3.8) {$y$}; +\node at (4.9,4.0) {$z$}; +\node at (2.5,0) {$x$}; +\node at (-1.8,2.5) [rotate=18] {$2\pi r$}; +\node at (-6.9,-1) [left] {$h$}; + +\node at (4.4,0) [above] {$\gamma(t)$}; +\node at (6.5,0.3) [below] {$\dot{\gamma}(t)$}; +\node at (4.6,2.6) [above left] {$r$}; + +\end{tikzpicture} + +\end{document} + diff --git a/buch/chapters/030-geometrie/laenge.tex b/buch/chapters/030-geometrie/laenge.tex index aebc13d..8e3c91f 100644 --- a/buch/chapters/030-geometrie/laenge.tex +++ b/buch/chapters/030-geometrie/laenge.tex @@ -32,9 +32,15 @@ $\gamma \colon I \to \mathbb{R}^n$. \end{definition} \begin{beispiel} -XXX TODO Bild der Helix im Zylinder und Abrollung -\\ -Die Abbildung +\begin{figure} +\centering +\includegraphics[width=\textwidth]{chapters/030-geometrie/images/zylinder.pdf} +\caption{Schraubenlinie mit der Parameterdarstellung +\eqref{buch:geometrie:eqn:helix} und Abrollung zur Berechnung der +Länge der Kurve. +\label{buch:gemoetrie:fig:zylinder}} +\end{figure} +Die Abbildung~\ref{buch:geometrie:fig:zylinder} zeigt \begin{equation} \gamma \colon diff --git a/buch/chapters/030-geometrie/trigonometrisch.tex b/buch/chapters/030-geometrie/trigonometrisch.tex index d0f6529..bc60e44 100644 --- a/buch/chapters/030-geometrie/trigonometrisch.tex +++ b/buch/chapters/030-geometrie/trigonometrisch.tex @@ -424,9 +424,9 @@ Seite auflösen, so erhält man die Halbwinkelformeln &&\Rightarrow& \cos^2\frac{\alpha}2 &=\frac{1+\cos\alpha}2 \\ -\sin^2\alpha &= \frac{1-\sin2\alpha}2 +\sin^2\alpha &= \frac{1-\cos\alpha}2 &&\Rightarrow& -\sin^2\frac{\alpha}2 &= \frac{1-\sin\alpha}2. +\sin^2\frac{\alpha}2 &= \frac{1-\cos\alpha}2. \end{align*} Der letzte Ausdruck ist auch bekannt als der Semiversus. @@ -764,7 +764,7 @@ $\cos1^\circ$ Vielfache von $1^\circ$, berechnet auf 32 Nachkommastellen mit Hilfe eines Skripts, welches das Kommandozeilenprogramm \texttt{bc} verwendet. Die erreichte Genauigkeit ist grösser, als was die in gegenwärtig -handelsüblichen Allzweckprozessoren übliche Floatingpoint-Arithmethik +handelsüblichen Allzweckprozessoren verfügbare Floatingpoint-Arithmetik ermöglicht. \label{buch:trigo:table:sinus}} \end{table} |