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author | Andreas Müller <andreas.mueller@ost.ch> | 2022-01-03 16:06:51 +0100 |
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committer | Andreas Müller <andreas.mueller@ost.ch> | 2022-01-03 16:06:51 +0100 |
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Abbildung kegelschnitte
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Die Bogenlänge zwischen dem Punkt $(0,1)$ und $(x,y)$ auf der Hyperbel ist gegeben durch das Integral: \[ @@ -301,6 +440,61 @@ verwendet werden, die entstehenden Integrals, dies ändert jedoch nichts an der Schwierigkeit, einen Ausdruck für den Wert des Integrals anzugeben. +\subsubsection{Parametrisierung mit hyperbolischen Funktionen} +Etwas allgemeiner wird eine Hyperbel durch die Gleichung +\begin{equation} +\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 +\label{buch:geometrie:hyperbel:eqn} +\end{equation} +beschrieben. +Die hyperbolischen Funktionen parametrisieren alle Paare von Zahlen +$(X,Y=(\cosh t,\sinh t)$ mit der Eigenschaft $X^2-Y^2=1$. +Aus \eqref{buch:geometrie:hyperbel:eqn} folgt daher, dass +\[ +\frac{x}{a} = \cosh t, \frac{y}{b} = \sinh t +\qquad\Rightarrow\qquad +x=a\cosh t, y=b\sinh t. +\] +Somit ist +\[ +\gamma\colon +\mathbb{R}\to\mathbb{R}^2 +: +t\mapsto \begin{pmatrix}a\cosh t\\b\sinh t\end{pmatrix} +\] +eine Parametrisierung der Hyperbel. +Für die Länge eines Hyperbelbogens zwischen zwei Parameterwerten +$t_0$ und $t_1$ wird dann +\begin{align*} +l +&= +\int_{t_0}^{t_1} +\sqrt{a^2 \sinh^2 t + b^2 \cosh^2 t} +\,dt += +\int_{t_0}^{t_1} +\sqrt{a^2 \sinh^2 t + b^2 (1+\sinh^2 t)} +\,dt +\\ +&= +b +\int_{t_0}^{t_1} +\sqrt{1 + \frac{a^2+b^2}{b^2} \sinh^2 t } +\,dt += +b +\int_{t_0}^{t_1} +\sqrt{1 + \frac{e^2}{b^2} \sinh^2 t } +\,dt. +\end{align*} +Das Integral auf der rechten Seite ist nicht mit elementaren Funktionen +ausführbar und rechtfertigt die Definition neuer spezieller Funktionen. +Die Kurvenlänge auf einer Hyperbel kann mit den in +Kapitel~\ref{buch:chapter:elliptischefunktionen} +beschriebenen elliptischen Integralen beschrieben werden. + +\subsection{Ellipsen +\label{buch:geometrie:subsection:ellipsen}} Für eine Ellipse kann man die Parameterdarstellung \[ t\mapsto \begin{pmatrix}a\cos t\\b\sin t\end{pmatrix} @@ -317,12 +511,24 @@ a^2 \sin^2 t + b^2 \cos^2t } \,dt = +\int_\alpha^\beta +\sqrt{ +a^2 - (a^2-b^2)\cos^2 t +} +\,dt += a \int_\alpha^\beta \sqrt{ -\sin^2 t + \frac{b^2}{a^2} \cos^2t +1 - \frac{a^2-b^2}{a^2} \cos^2t } \,dt. += +a\int_\alpha^\beta +\sqrt{ +1-\varepsilon^2 \cos^2t +} +\,dt \] Auch dieses Integral ist nicht in geschlossener Form lösbar. Dies motiviert in Kapitel~\ref{buch:chapter:elliptischefunktionen} @@ -330,7 +536,8 @@ die Definition~\ref{buch:elliptisch:def:integrale123} der sogenannten elliptischen Intefrale als neue spezielle Funktionen. Auf Seite~\pageref{buch:elliptisch:fig:ellipsenumfang} wird gezeigt, -dass der Umfang einer Ellipse $aE(b/a)$ ist (siehe auch +dass der Umfang einer Ellipse $4aE(\varepsilon)$ ist, +wobei $\varepsilon=e/a$ und $e^2=a^2-b^2$ (siehe auch Abbildung~\ref{buch:elliptisch:fig:ellipsenumfang}). |