add some info on elliptic functions

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diff --git a/buch/chapters/030-geometrie/Makefile.inc b/buch/chapters/030-geometrie/Makefile.inc
index a34633e..a79e614 100644
--- a/buch/chapters/030-geometrie/Makefile.inc
+++ b/buch/chapters/030-geometrie/Makefile.inc
@@ -8,4 +8,6 @@ CHAPTERFILES = $(CHAPTERFILES)						\
 	chapters/030-geometrie/trigonometrisch.tex			\
 	chapters/030-geometrie/sphaerisch.tex				\
 	chapters/030-geometrie/hyperbolisch.tex				\
+	chapters/030-geometrie/flaeche.tex				\
+	chapters/030-geometrie/laenge.tex				\
 	chapters/030-geometrie/chapter.tex
diff --git a/buch/chapters/030-geometrie/chapter.tex b/buch/chapters/030-geometrie/chapter.tex
index ea63b6e..974a3a4 100644
--- a/buch/chapters/030-geometrie/chapter.tex
+++ b/buch/chapters/030-geometrie/chapter.tex
@@ -9,9 +9,24 @@
 \lhead{Spezielle Funktionen aus der Geometrie}
 \rhead{}
 
+Die ältesten geometrisch definierten speziellen Funktionen
+sind die Wurzeln.
+Sie haben ermöglicht, die Kantenlänge eines Quadrates mit vorgegebenem
+Flächeninhalt zu bestimmen.
+Sie werden unmittelbar gefolgt von den trigonometrischen Funktionen,
+die ebenfalls bereits im Altertum bekannt waren.
+Die Analysis hat die Möglichkeit geschaffen, die Länge von Kurven
+zu definieren und zu berechnen, wie auch den Flächeninhalt von
+Gebieten, die von Kurven berandet sind.
+Es stellt sich heraus, dass bereits anscheinend einfache Aufgaben
+wie die Berechnung der Länge von Ellipsen- oder Hyperbelbögen auf
+die Notwendigkeit führt, neue spezielle Funktionen zu definieren.
+
 \input{chapters/030-geometrie/trigonometrisch.tex}
 \input{chapters/030-geometrie/sphaerisch.tex}
 \input{chapters/030-geometrie/hyperbolisch.tex}
+\input{chapters/030-geometrie/laenge.tex}
+\input{chapters/030-geometrie/flaeche.tex}
 
 %\section*{Übungsaufgaben}
 %\rhead{Übungsaufgaben}
diff --git a/buch/chapters/030-geometrie/flaeche.tex b/buch/chapters/030-geometrie/flaeche.tex
new file mode 100644
index 0000000..468e175
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/030-geometrie/flaeche.tex
@@ -0,0 +1,286 @@
+%
+% flaeche.tex
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\section{Flächeninhalt
+\label{buch:geometrie:section:flaeche}}
+\rhead{Flächeninhalt}
+Die elementare Definition des Integrals versucht, den Flächeninhalt
+unter dem Graphen der Funktion $y=f(x)$ zu definieren.
+Die Erfahrung zeigt, dass es nicht immer einfach ist, ein Integral in
+geschlossener Form zu berechnen.
+Solche Integrale können auf sinnvolle neue spezielle Funktionen führen.
+
+\subsection{Berechnung des Flächeninhaltes in kartesischen Koordinaten}
+Wir betrachten in diesem Abschnitt nur die Berechnung des
+Flächeninhaltes von Teilgebieten der Ebene $\mathbb{R}^2$
+aus ihrer Berandung.
+Sei $\gamma\colon I \to\mathbb{R}^2$ eine Kurve und 
+\[
+a=t_0<t_1<t_2<\dots t_{n-2}<t_{n-1}<t_n=b
+\]
+eine Unterteilung des Intervalls.
+Die Kurve muss ausserdem geschlossen sein, also $\gamma(a)=\gamma(b)$.
+Die Punkte $\gamma(t_i)$ sind die Ecken eines Polygons, das die gesucht
+Fläche approximiert.
+
+Der Flächeninhalt des Polygons kann mit der Schuhbändelformel
+\cite[p.~184]{buch:linalg}
+berechnet werden.
+
+\begin{align*}
+F
+&=
+\sum_{i=0}^{n-1}
+\frac12
+\biggl|\begin{matrix}
+x(t_i)    &y(t_i)    \\
+x(t_{i+1})&y(t_{i+1})
+\end{matrix}\biggr|
+\approx
+\frac12
+\sum_{i=0}^{n-1}
+\biggl|\begin{matrix}
+x(t_i)    &y(t_i)    \\
+x(t_{i+1})-x(t_i)&y(t_{i+1})-y(t_i)
+\end{matrix}\biggr|
+\\
+&=
+\frac12
+\sum_{i=0}^{n-1}
+\biggl|\begin{matrix}
+x(t_i)                        &y(t_i)    \\
+\dot{x}(t_{i+1}) (t_{i+1}-t_i)& \dot{y}(t_{i+1}) (t_{i+1}-t_i)
+\end{matrix}\biggr|
+\\
+&=
+\frac12
+\sum_{i=0}^{n-1}
+\biggl|\begin{matrix}
+x(t_i)           &y(t_i)    \\
+\dot{x}(t_{i+1}) & \dot{y}(t_{i+1})
+\end{matrix}\biggr|
+(t_{i+1}-t_{i})
+\end{align*}
+Die letzte Summe kann als Riemann-Summe und damit als Approximation für
+das Integral
+\[
+F
+\approx
+\frac12
+\int_a^b
+\left|\begin{pmatrix} x(t)&y(t)\\\dot{x}(t)&\dot{y}(t)\end{pmatrix}\right|
+\,dt
+\]
+gesehen werden.
+Der Flächeninhalt des Gebietes, welches von der Kurve $\gamma$
+berandet wird, ist daher
+\begin{equation}
+F
+=
+\frac12
+\int_a^b x(t)\dot{y}(t)-y(t)\dot{x}(t)\,dt.
+\label{buch:geometrie:eqn:flaeche}
+\end{equation}
+
+Die Formel~\eqref{buch:geometrie:eqn:flaeche} gilt auch für nicht
+geschlossene Kurven.
+Sie berechnet dann den Flächeninhalt eines Gebietes, welches von
+der Strecke vom Ursprung zu $\gamma(a)$, der Kurve von $\gamma(a)$ nach
+$\gamma(b)$ und von der Strecke von $\gamma(b)$ zurück zum Nullpunkt
+berandet wird.
+
+\begin{beispiel}
+Der Flächeninhalt eines Kreissektors mit Öffnungswinkel $\alpha$ ist
+kann mit Hilfe der Parametrisierung
+\[
+\gamma
+\colon
+[0,\alpha] \to \mathbb{R}^2
+:
+t\mapsto \begin{pmatrix}r\cos t\\ r\sin t\end{pmatrix}
+\]
+berechnet werden.
+Das Integral~\eqref{buch:geometrie:eqn:flaeche} wird dann zu
+\begin{align*}
+F
+&=
+\frac12
+\int_0^\alpha r\cos t \cdot r\cos t - r\sin t \cdot (-r\sin t)\,dt
+\\
+&=
+\frac{r^2}2
+\int_0^\alpha
+\cos^2t + \sin^2t\,dt
+=
+\frac{r^2\alpha}2,
+\end{align*}
+wie erwartet.
+\end{beispiel}
+
+\subsubsection{Flächeninhalt in Polarkoordinaten}
+Ist die Kurve in Polarkoordinaten durch die Funktion
+$\varphi\mapsto r(\varphi)$ gegeben, dann kann man $\varphi$ als
+Parameter verwenden.
+Die Determinante in der Flächenformel wird
+\begin{align*}
+\biggl|
+\begin{matrix}
+x(t_i)& y(t_i)\\
+\dot{x}(t_i)& \dot{y}(t_i)
+\end{matrix}
+\biggr|
+&=
+\biggl|
+\begin{matrix}
+r(\varphi)\cos\varphi&r(\varphi)\sin\varphi\\
+-r(\varphi)\sin\varphi+r'(\varphi)\cos\varphi
+	&r(\varphi)\cos\varphi+r'(\varphi)\sin\varphi
+\end{matrix}
+\biggr|.
+\end{align*}
+Der Integrand in der Flächenformel wird dann
+\[
+\frac12\bigl(
+r(\varphi)^2 \cos^2\varphi +r(\varphi)r'(\varphi)\cos\varphi\sin\varphi
++
+r(\varphi)^2 \sin^2\varphi -r(\varphi)r'(\varphi)\sin\varphi\cos\varphi
+\bigr)
+=
+\frac{r(\varphi)^2}2
+\]
+und die Fläche kann mit
+\[
+F(\alpha,\beta)=\int_\alpha^\beta \frac{r(\varphi)^2}{2}\,d\varphi
+\]
+berechnet werden.
+
+\subsection{Flächeninhalt von Ellipsen und Hyperbeln}
+Ellipsen und Hyperbeln sind besonders einfach zu parametrisieren und
+damit ist auch die Fläche, die von Ellipsen oder Hyperbeln berandet
+wird, besonders einfach zu berechnen.
+
+\subsubsection{Ellipse}
+Für die Ellipse mit der Gleichung
+\[
+\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1
+\]
+kann man mit der Parametrisierung
+\[
+\gamma\colon
+[0,2\pi] \to \mathbb{R}^2
+:
+t \mapsto \begin{pmatrix}a\cos t\\ b\sin t\end{pmatrix}
+\]
+beschreiben.
+Einen Sektor zwischen den Winkeln $\alpha$ und $\beta$
+\begin{align*}
+F
+&=
+\int_\alpha^\beta a\cos t \cdot b\cos t-b\sin t\cdot (-a\sin t)\,dt
+\\
+&=
+ab
+\int_\alpha^\beta \cos^2 t + \sin^2 t\,dt
+=ab(\beta-\alpha).
+\end{align*}
+Dieses Resultat ist auch rein geometrisch leicht nachzuvollziehen:
+Der Sektor entsteht dadurch, dass man ein Kreissektor mit Radius $a$
+entlang der $y$-Achse um den Faktor $b/a$ gestaucht wird.
+Aus dem Flächeninhalt $a^2(\beta-\alpha)$ des Kreissektors wird dann
+der Flächeninhalt $a^2(\beta-\alpha)\cdot \frac{b}{a}=ab(\beta-\alpha)$.
+
+\subsubsection{Hyperbel}
+\begin{figure}
+\centering
+\includegraphics{chapters/030-geometrie/images/hyperbelflaeche.pdf}
+\caption{Das Argument $t$ der hyperbolischen Funktionen ist der Inhalt
+des krummlinig berandeten Dreiecks, bestehend aus der Strecke 
+vom Nullpunkt $O$ zum Punkte $(1,0)$, dem Hyperbelbogen bis zum
+Punkt $\gamma(t)=(\cosh t,\sinh t)$ und schliesslich der Strecke
+von $\gamma(t)$ zurück zum Nullpunkt.
+\label{buch:geometrie:fig:hyperbelflaeche}}
+\end{figure}
+Die hyperbolischen Funktionen geben eine einfache Parametrisierung
+der in Abbildung~\ref{buch:geometrie:fig:hyperbelflaeche}
+dargestellten Hyperbel mit der Gleichung
+\(
+x^2-y^2=1
+\).
+Der in der Abbildung blau hervorgehobene Flächeninhalt ist der Wert
+des Integrals
+\begin{align*}
+F(t)
+&=
+\int_0^t
+\biggl|
+\begin{matrix}
+\cosh s&\sinh s\\
+\sinh s&\cosh s
+\end{matrix}
+\biggr|
+\,ds
+=
+\int_0^t
+\cosh^2s-\sinh^2s\,ds
+=
+\int_0^t ds = t.
+\end{align*}
+Das Argument $t$ der hyperbolischen Funktionen ist also der Flächeninhalt
+des von der Hyperbel krummlienig berandeten Dreiecks.
+Daher heissen die Umkehrfunktionen der hyperbolischen Funktionen
+$\operatorname{arsinh}y$ und $\operatorname{arcosh}x$, Abkürzung
+für {\em area cuius sinus hyperbolicus $y$ est}, Fläche, deren zugehöriger
+Wert des Sinus hyperbolicus $y$ ist.
+
+\subsubsection{Fokalgleichung in Polarkoordinaten}
+\begin{figure}
+\centering
+\includegraphics{chapters/030-geometrie/images/polargleichung.pdf}
+\caption{Polargleichung der Kegelschnitte mit konstantem Wert für den
+Parameter $p$ und verschiedene Werte der Exzentrizität $\varepsilon$.
+Der Kreis (rot) hat Exzentrizität $\varepsilon=0$,
+die Parabel (blau) hat $\varepsilon=1$.
+Für $0<\varepsilon<1$ entstehen Ellipsen, die im blauen Bereich liegen,
+für $\varepsilon>1$ entstehen Hyperbeln, die im grün hinterlegten Teil
+der Ebene liegen.
+\label{buch:geometrie:fig:polargleichung}}
+\end{figure}
+Das zweite Keplersche Gesetz über Planetenbahnen besagt, dass sich ein
+Planet auf seiner elliptischen Bahn um die Sonne so bewegt, dass
+sein Radiusvektor in gleichen Zeiten gleiche Flächen überstreicht.
+Die bisher verwendete Parametrisierung hat den Mittelpunkt der Ellipse
+im Nullpunkt, nach dem ersten Keplerschen Gesetz ist aber müssen
+wir eine Parametrisierung verwenden so, dass der Brennpunkt im
+Ursprung liegt.
+In Polarkoordinaten ist
+\begin{equation}
+r(\varphi) = \frac{p}{1+\varepsilon \cos\varphi}
+\label{buch:geometrie:eqn:polargleichung}
+\end{equation}
+die sogenannte {\em Polargleichung} für die Kegelschnitte.
+Für $\varepsilon=0$ wird $r(\varphi)=p$ konstant, die Gleichung
+beschreibt in diesem Fall einen Kreis.
+Für $\varepsilon=1$ entsteht eine Parabel.
+Werte zwischen $0$ und $1$ parametrisieren Ellipsen mit verschiedener
+Exzentrizität, Werte grösser als $1$ führen auf Hyperbeln.
+Abbildung~\ref{buch:geometrie:fig:polargleichung} zeigt alle vier Fälle.
+
+Die zwischen den Polarwinkeln $\alpha$ und $\beta$ überstrichene Fläche
+wird durch das Integral
+\[
+F(\alpha,\beta)
+=
+\int_\alpha^\beta
+\frac{r(\varphi)^2}2
+\,d\varphi
+=
+\frac12 \int_\alpha^\beta
+\frac{p^2 \,d\varphi}{(1+\varepsilon\cos\varphi)^2}
+\]
+Das Integral kann in geschlossener Form angegeben werden, die Formeln
+sind aber ziemlich kompliziert und für uns hier nicht weiter nützlich.
+
+
+
diff --git a/buch/chapters/030-geometrie/images/Makefile b/buch/chapters/030-geometrie/images/Makefile
new file mode 100644
index 0000000..8796cf6
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/030-geometrie/images/Makefile
@@ -0,0 +1,14 @@
+#
+# Makefile for images
+#
+# (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+#
+
+all:	hyperbelflaeche.pdf polargleichung.pdf
+
+hyperbelflaeche.pdf:	hyperbelflaeche.tex
+	pdflatex hyperbelflaeche.tex
+
+polargleichung.pdf:	polargleichung.tex
+	pdflatex polargleichung.tex
+
diff --git a/buch/chapters/030-geometrie/images/hyperbelflaeche.pdf b/buch/chapters/030-geometrie/images/hyperbelflaeche.pdf
new file mode 100644
index 0000000..a475b07
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/030-geometrie/images/hyperbelflaeche.pdf
diff --git a/buch/chapters/030-geometrie/images/hyperbelflaeche.tex b/buch/chapters/030-geometrie/images/hyperbelflaeche.tex
new file mode 100644
index 0000000..11e865f
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/030-geometrie/images/hyperbelflaeche.tex
@@ -0,0 +1,49 @@
+%
+% hyperbelflaeche.tex -- Argument der Hyperbelfunktionen
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\documentclass[tikz]{standalone}
+\usepackage{amsmath}
+\usepackage{times}
+\usepackage{txfonts}
+\usepackage{pgfplots}
+\usepackage{csvsimple}
+\usetikzlibrary{arrows,intersections,math}
+\begin{document}
+\def\skala{2}
+\begin{tikzpicture}[>=latex,thick,scale=\skala]
+
+\fill[color=blue!20]
+	(0,0)
+	--
+	plot[domain=0:1,samples=100] ({cosh(\x)},{sinh(\x)})
+	-- cycle;
+\draw[color=blue] 
+	(0,0)
+	--
+	plot[domain=0:1,samples=100] ({cosh(\x)},{sinh(\x)})
+	-- cycle;
+
+\begin{scope}
+\clip (-1.8,-2) rectangle (2.5,2);
+\draw[color=red,line width=1.4pt] plot[domain=-2:2,samples=100]
+	({cosh(\x)},{sinh(\x)});
+\draw[color=red,line width=1.4pt] plot[domain=-2:2,samples=100]
+	({-cosh(\x)},{sinh(\x)});
+\end{scope}
+
+\fill[color=white] ({cosh(1)},{sinh(1)}) circle[radius=0.03];
+\draw ({cosh(1)},{sinh(1)}) circle[radius=0.03];
+
+\node at ({cosh(1)},{sinh(1)}) [right] {$\gamma(t)=(\cosh t,\sinh t)$};
+
+\draw[->] (-1.8,0) -- (3.1,0) coordinate[label={$x$}];
+\draw[->] (0,-2) -- (0,2.1) coordinate[label={right:$y$}];
+
+\node[color=blue] at (0.8,0.3) {$t$};
+\node at (0,0) [below left] {$O$};
+
+\end{tikzpicture}
+\end{document}
+
diff --git a/buch/chapters/030-geometrie/images/polargleichung.pdf b/buch/chapters/030-geometrie/images/polargleichung.pdf
new file mode 100644
index 0000000..40115ea
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/030-geometrie/images/polargleichung.pdf
diff --git a/buch/chapters/030-geometrie/images/polargleichung.tex b/buch/chapters/030-geometrie/images/polargleichung.tex
new file mode 100644
index 0000000..5210903
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/030-geometrie/images/polargleichung.tex
@@ -0,0 +1,108 @@
+%
+% polargleichung.tex -- Kegelschnitte in Polardarstellung
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\documentclass[tikz]{standalone}
+\usepackage{amsmath}
+\usepackage{times}
+\usepackage{txfonts}
+\usepackage{pgfplots}
+\usepackage{csvsimple}
+\usetikzlibrary{arrows,intersections,math,calc}
+\begin{document}
+\def\skala{2}
+\definecolor{darkgreen}{rgb}{0,0.6,0}
+\begin{tikzpicture}[>=latex,thick,scale=\skala]
+
+\def\p{1}
+
+\begin{scope}
+\clip (-4,-3) rectangle (1.1,3);
+\fill[color=blue!20]
+	(0,1)
+	--
+	plot[domain=90:-90,samples=100] ({\x}:{\p/(1+cos(\x))})
+	--
+ 	(0,-1) arc (-90:90:1)
+	--
+	cycle;
+
+\fill[color=blue!20]
+	(0,1) arc (90:270:1)
+	--
+	plot[domain=-90:-145,samples=20] ({\x}:{\p/(1+cos(\x))})
+	--
+	plot[domain=145:90,samples=20] ({\x}:{\p/(1+cos(\x))})
+	--
+	cycle;
+
+\fill[color=darkgreen!20]
+	plot[domain=90:-90,samples=100] ({\x}:{\p/(1+cos(\x))})
+	-- cycle;
+
+\fill[color=darkgreen!20]
+	(0,1)
+	--
+	(0,3)
+	--
+	plot[domain=145:90,samples=20] ({\x}:{\p/(1+cos(\x))})
+	--
+	cycle;
+
+\fill[color=darkgreen!20]
+	(0,-1)
+	--
+	(0,-3)
+	--
+	plot[domain=-145:-90,samples=20] ({\x}:{\p/(1+cos(\x))})
+	--
+	cycle;
+
+\end{scope}
+
+\draw[->] (-4.1,0) -- (1.3,0) coordinate[label={$\varphi=0$}];
+\draw (0,-3.1) -- (0,3.1);
+
+\begin{scope}
+\clip (-4,-3) rectangle (1.1,3);
+\draw[color=red,line width=1.4pt] (0,0) circle[radius=1];
+\foreach \e in {10,20,...,90}{
+	\draw[color=blue!\e!red,line width=1.4pt]
+		plot[domain=0:360,samples=100]
+			(\x:{\p/(1+(\e/100)*cos(\x))});
+}
+
+\draw[color=blue,line width=1.4pt]
+	plot[domain=-145:145,samples=100] ({\x}:{\p/(1+cos(\x))});
+
+\foreach \e in {10,30,50,70,90}{
+	\draw[color=darkgreen!\e!blue,line width=1.4pt]
+		plot[domain={-138+\e/5}:{138-\e/5},samples=100]
+			(\x:{\p/(1+((\e+100)/100)*cos(\x))});
+}
+\end{scope}
+
+\fill[color=white] (0,1) circle[radius=0.04];
+\draw (0,1) circle[radius=0.04];
+\fill[color=white] (0,-1) circle[radius=0.04];
+\draw (0,-1) circle[radius=0.04];
+\node at (0,0.6) [left] {$p$};
+
+\node at (0,0) [below left] {$O$};
+\fill[color=white] (0,0) circle[radius=0.04];
+\draw (0,0) circle[radius=0.04];
+
+\node[color=red] at (45:1) [above right] {$\varepsilon=0$};
+\node[color=red] at ($(45:1)+(0,0.2)$) [above right] {Kreis:};
+\node[color=blue!70!red] at (-3.5,0.7) {$\varepsilon=0.7$};
+\node[color=blue!70!red] at (-3.5,0.9) {Ellipse:};
+\node[color=blue] at (-3.4,2.65) [rotate=-18] {Parabel: $\varepsilon=1$};
+\node[color=darkgreen!90!blue] at (-1,2.8) [right] {Hyperbel: $\varepsilon=1.9$};
+
+%\draw[color=yellow]
+%	plot[domain=90:-90,samples=100] ({\x}:{\p/(1+cos(\x))});
+
+\end{tikzpicture}
+\end{document}
+
diff --git a/buch/chapters/030-geometrie/laenge.tex b/buch/chapters/030-geometrie/laenge.tex
new file mode 100644
index 0000000..b0b1b32
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/030-geometrie/laenge.tex
@@ -0,0 +1,324 @@
+%
+% ellipsenbogen.tex
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\section{Bogenlänge 
+\label{buch:geometrie:section:ellipsenbogen}}
+\rhead{Bogenlänge}
+Die Möglichkeit, die Länge einer Kurve zu definieren und zu bestimmen,
+ist eine der Leistungen der Infinitesimalrechnung.
+In einigen Fällen lässt sich die Länge auch auf elementare Art und
+Weise bestimmen oder mit Integralen, die leicht auflösbar sind.
+Bereits bei der Bogenlänge entlang einer Ellipse sieht die Lage
+jedoch ganz anders aus.
+
+\subsection{Berechnung der Bogenlänge}
+In diesem Abschnitt sollen ein paar Methoden zusammgengestellt werden,
+mit denen die Länge einer Kurve berechnet werden kann.
+
+\subsubsection{Länge einer parametrisierten Kurve}
+Beispiele wie die Kochsche Schneeflockenkurve, deren Länge schwer
+zu definieren ist, zeigen, dass der Begriff einer Kurve für die Zwecke
+dieses Abschnittes genügend eng gefasst werden muss.
+Die folgende Definition tut dies.
+
+\begin{definition}
+\label{buch:geometrie:def:kurve}
+Sei $I=[a,b]\subset\mathbb{R}$ ein Intervall.
+Eine {\em Kurve} ist eine differenzierbare Abbildung
+$\gamma \colon I \to \mathbb{R}^n$.
+\index{Kurve}
+\end{definition}
+
+\begin{beispiel}
+XXX TODO Bild der Helix im Zylinder und Abrollung
+\\
+Die Abbildung
+\begin{equation}
+\gamma
+\colon
+[0,2\pi] \to \mathbb{R}^3
+:
+t\mapsto\begin{pmatrix}r\cos t\\ r\sin t\\ th/2\pi\end{pmatrix}
+\label{buch:geometrie:eqn:helix}
+\end{equation}
+beschreibt eine Schraubenlinie oder Helix.
+\index{Schraubenlinie}%
+\index{Helix}%
+Die Abbildung ist ganz offensichtlich differenzierbar und hat die
+Ableitung
+\begin{equation}
+\frac{d}{dt}\gamma(t)
+=
+\dot{\gamma}(t)
+=
+\begin{pmatrix} -r\sin t \\ r\cos t \\ h/2\pi\end{pmatrix}.
+\label{buch:geometrie:eqn:helixdot}
+\end{equation}
+Die Länge dieser Schraubenlinie lässt sich direkt berechnen.
+Die Schraubenlinie liegt auf dem Mantel eines Zylinders mit
+Radius $r$ und Höhe $h$.
+Durch Abrollen des Zylinders erkennt man, dass die Schraubenlinie
+die Hypothenuse eines rechtwinkligen Dreiecks mit Katheten 
+$2\pi r$ und $h$ ist.
+Die Länge $l$ der Schraubenlinie ist daher
+\begin{equation}
+l = \sqrt{(2\pi r)^2 +h^2}
+\label{buch:geometrie:eqn:helixlaenge}
+\end{equation}
+nach dem Satz von Pythagoras.
+\end{beispiel}
+
+Unterteilt man das Intervall $I$ in den Teilpunkten $t_i$ mit
+\[
+a = t_0 < t_1 < t_2 < \dots < t_{n-1} < t_n = b,
+\]
+dann ist die Summe
+\[
+L
+=
+\sum_{i=0}^{n-1} |\gamma(t_{i+1}) - \gamma(t_{i})|
+\]
+eine Approximation für die Länge der Kurve.
+Die Differenz auffeinanderfolgender Punkte kann mit Hilfe der
+Ableitung als
+\[
+\gamma(t_{i+1})-\gamma(t_i)
+\approx
+\dot{\gamma}(t_{i}) \cdot (t_{i+1}-t_i)
+\]
+approximiert werden.
+Damit wird die Summe $L$ approximiert durch
+\[
+L\approx \sum_{i=0}^{n-1} |\dot{\gamma}(t_i)| \cdot (t_{i+1}-t_i).
+\]
+Dies ist eine Riemannsche Summe für das Integral
+\[
+\int_a^b |\dot{\gamma}(t)|\,dt,
+\]
+wir definieren die Bogenlänge einer Kurve daher wie folgt.
+
+\begin{definition}
+\label{buch:geometrie:def:kurvenlaenge}
+Sei $\gamma\colon I\to\mathbb{R}$ eine Kurve im Sinne der
+Definition~\ref{buch:geometrie:def:kurve}.
+Dann ist die {\em Bogenlänge} entlang der Kurve zwischen dem Punkt
+$\gamma(a)$ und $\gamma(t)$ definiert durch das
+Integral
+\[
+l(t) = \int_{a}^t |\dot{\gamma}(\tau)|\,d\tau.
+\]
+\end{definition}
+
+\begin{beispiel}
+Die Helix mit der Parametrisierung~\eqref{buch:geometrie:eqn:helix}
+hat die Kurvenlänge
+\begin{align*}
+l(t)
+&=
+\int_0^t |\dot{\gamma}(\tau)|\,d\tau
+=
+\int_0^t \sqrt{r^2\sin^2 \tau + r^2\cos^2\tau + (h/2\pi)^2}\,d\tau
+\\
+&=
+\int_0^t \sqrt{r^2 + (h/2\pi)^2}\,d\tau
+=
+t\sqrt{r^2+(h/2\pi)^2}.
+\end{align*}
+Für eine ganze Umdrehung, also für $t=2\pi$ finden wir
+\(
+l(2\pi) = \sqrt{4\pi^2 r^2 + h^2},
+\)
+was mit dem elementaren Resultat~\eqref{buch:geometrie:eqn:helixlaenge}
+übereinstimmt.
+\end{beispiel}
+
+\subsubsection{Länge eines Graphen}
+Der Graph einer auf dem Intervall $I=[a,b]$ definierte Funktion
+$y=f(x)$ kann als Parametrisierung einer Kurve
+\[
+\gamma
+\colon
+[a,b] \to \mathbb{R}^2
+:
+x \mapsto \begin{pmatrix}x\\f(x)\end{pmatrix}
+\]
+betrachtet werden.
+Nach Definition~\ref{buch:geometrie:def:kurvenlaenge}
+ist Länge dieser Kurven zwischen den Punkten $(a,f(a))$ und $(x,f(x))$
+durch das Integral
+\[
+l(x)
+=
+\int_a^x \biggl| \begin{pmatrix}1\\f'(\xi)\end{pmatrix}\biggr|\,d\xi
+=
+\int_a^x \sqrt{1+f'(\xi)^2}\,d\xi
+\]
+gegeben.
+
+\begin{beispiel}
+Die auf dem Intervall $I=[0,b]$ definierte quadratische Funktion $f(x)=cx^2$
+mit $b>0$ und $c>0$ hat die Bogenlänge
+\begin{align*}
+l(x)
+&=
+\int_0^x \sqrt{1+f'(\xi)^2}\,d\xi
+=
+\int_0^x \sqrt{1+4c^2\xi^2}\,d\xi
+=
+\biggl[
+\frac{ \operatorname{arsinh}2c\xi)}{4c} + \frac{\xi\sqrt{4c^2\xi^2+1}}{2}
+\biggr]_0^x
+\\
+&=
+\frac{ \operatorname{arsinh}(2cx)}{4c}.
+\end{align*}
+Die Stammfunktion wurde mit einem Computeralgebraprogramm gefunden.
+\end{beispiel}
+
+\subsubsection{Kurvenlänge in Polarkoordinaten}
+Eine Kurve kann in Polarkoordinaten in der Ebene durch eine Funktion
+$r=r(\varphi)$ beschrieben werden.
+Dies führt auf eine Parametrisierung
+\[
+\varphi \mapsto \gamma(\varphi)=\begin{pmatrix}
+r(\varphi)\cos\varphi\\
+r(\varphi)\sin\varphi
+\end{pmatrix}
+\]
+durch den Polarwinkel $\varphi$.
+Die Kurvenlänge kann gemäss 
+Definition~\label{buch:geometrie:def:kurvenlaenge} braucht
+die Ableitung der Parametrisierung, also die Funktion
+\[
+\dot{\gamma}(\varphi)
+=
+\begin{pmatrix}
+r'(\varphi)\cos\varphi - r(\varphi)\sin\varphi\\
+r'(\varphi)\sin\varphi + r(\varphi)\cos\varphi
+\end{pmatrix}.
+\]
+Die Länge von $\dot{\gamma}$ ist
+\begin{align*}
+|\dot{\gamma}(\varphi)|^2
+&=
+\bigl(
+r'(\varphi)\cos\varphi - r(\varphi)\sin\varphi
+\bigr)^2
++
+\bigl(
+r'(\varphi)\sin\varphi + r(\varphi)\cos\varphi
+\bigr)^2
+\\
+&=
+r'(\varphi)^2\cos^2\varphi
+-2r(\varphi)r'(\varphi)\cos\varphi\sin\varphi
++r(\varphi)^2\sin^2\varphi
+\\
+&\qquad
++r'(\varphi)^2\sin^2\varphi
++2r(\varphi)r'(\varphi)\sin\varphi\cos\varphi
++r(\varphi)^2\cos^2\varphi
+\\
+&=r'(\varphi)^2(\cos^2\varphi+\sin^2\varphi)
++ r(\varphi)^2(\sin^2\varphi+\cos^2\varphi).
+\\
+&=
+r'(\varphi)^2 + r(\varphi)^2.
+\end{align*}
+Dies führt auf das
+Integral
+\begin{equation}
+l(\alpha)
+=
+\int_a^\alpha \sqrt{r'(\varphi)^2 + r(\varphi)^2}\,d\varphi
+\end{equation}
+für die Länge der Kurve.
+
+\subsection{Kreis}
+Die Länge eines Bogens auf dem Einheitskreis zwischen dem Punkt
+$(1,0)$ und $P=(x,y)$ mit $x^2+y^2=1$ ist nach Definition der
+Winkel $\alpha$ zwischen der $x$-Achse und $P$.
+Es gilt also
+\[
+\tan\alpha = \frac{y}{x}
+\qquad\text{oder}\qquad
+\sin\alpha = y = \sqrt{1-x^2}.
+\]
+Der Kreis kann auch als Graph $y=f(x)=\sqrt{1-x^2}$ parametrisiert werden,
+in der die Länge des Bogens 
+\begin{align*}
+l(x)
+=
+\int_x^1 \sqrt{1+f'(t)^2}\,dt
+=
+\int_x^1 \sqrt{1+\frac{t^2}{1-t^2}}\,dt
+=
+\int_x^1 \sqrt{\frac{1-t^2+t^2}{1-t^2}}\,dt
+=
+\int_x^1 \frac{dt}{\sqrt{1-t^2}}.
+\end{align*}
+Aus dem bekannten Wert der Länge des Bogens erhalten wir jetzt die
+Formel
+\begin{equation}
+\arcsin \sqrt{1-x^2} = \int_x^1 \frac{dt}{\sqrt{1-t^2}}.
+\label{buch:geometrie:eqn:kreislaenge} 
+\end{equation}
+Tatsächlich ist die Ableitung davon
+\[
+\frac{d}{dx}\arcsin\sqrt{1-x^2}
+=
+-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}},
+\]
+was mit der Integralformel~\ref{buch:geometrie:eqn:kreislaenge} 
+übereinstimmt.
+
+\subsection{Hyperbeln und Ellipsen
+\label{buch:geometrie:subsection:hyperbeln-und-ellipsen}}
+Die Funktion $f(x)=\sqrt{1+x^2}$ beschreibt eine gleichseitige
+Hyperbel.
+Die Bogenlänge zwischen dem Punkt $(0,1)$ und $(x,y)$ auf der
+Hyperbel ist gegeben durch das Integral:
+\[
+l(x)
+=
+\int_0^x \sqrt{1+f'(t)^2}\,dt
+=
+\int_0^x \sqrt{1+\frac{t^2}{1+t^2}}\,dt
+=
+\int_0^x \sqrt{\frac{1+2t^2}{1+t^2}}\,dt.
+\]
+Dieses Integral ist nicht in geschlossener Form lösbar.
+Natürlich können auch andere Parametrisierungen für die Hyperbel
+verwendet werden, die entstehenden Integrals, dies ändert jedoch
+nichts an der Schwierigkeit, einen Ausdruck für den Wert des
+Integrals anzugeben.
+
+Für eine Ellipse kann man die Parameterdarstellung 
+\[
+t\mapsto \begin{pmatrix}a\cos t\\b\sin t\end{pmatrix}
+\]
+verwenden.
+Die Länge eines Ellipsenbogens zwischen den Winkelargumenten $\alpha$ und
+$\beta$ ist dann
+\[
+l(\alpha,\beta)
+=
+\int_\alpha^\beta
+a^2 \sin^2 t + b^2 \cos^2t
+\,dt
+=
+a^2
+\int_\alpha^\beta
+\sin^2 t + \frac{b^2}{a^2} \cos^2t
+\,dt.
+\]
+Auch dieses Integral ist nicht in geschlossener Form lösbar.
+Die elliptischen Funktionen von Jacobi, die in Kapitel~\ref{XXX}
+beschrieben werden, ermöglichen, Ausdrücke für diese Integrale
+anzugeben.
+
+
+
+