add some info on elliptic functions

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diff --git a/buch/chapters/020-exponential/Makefile.inc b/buch/chapters/020-exponential/Makefile.inc
index e3a2417..a7ac636 100644
--- a/buch/chapters/020-exponential/Makefile.inc
+++ b/buch/chapters/020-exponential/Makefile.inc
@@ -8,5 +8,7 @@ CHAPTERFILES = $(CHAPTERFILES)						\
 	chapters/020-exponential/zins.tex				\
 	chapters/020-exponential/log.tex				\
 	chapters/020-exponential/lambertw.tex				\
+	chapters/020-exponential/dilog.tex				\
+	chapters/020-exponential/eili.tex				\
 	chapters/020-exponential/uebungsaufgaben/0.tex			\
 	chapters/020-exponential/chapter.tex
diff --git a/buch/chapters/020-exponential/chapter.tex b/buch/chapters/020-exponential/chapter.tex
index 0a111d9..af327c5 100644
--- a/buch/chapters/020-exponential/chapter.tex
+++ b/buch/chapters/020-exponential/chapter.tex
@@ -12,6 +12,8 @@
 \input{chapters/020-exponential/zins.tex}
 \input{chapters/020-exponential/log.tex}
 \input{chapters/020-exponential/lambertw.tex}
+\input{chapters/020-exponential/dilog.tex}
+\input{chapters/020-exponential/eili.tex}
 
 \section*{Übungsaufgaben}
 \rhead{Übungsaufgaben}
diff --git a/buch/chapters/020-exponential/dilog.tex b/buch/chapters/020-exponential/dilog.tex
new file mode 100644
index 0000000..94fdfc1
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/020-exponential/dilog.tex
@@ -0,0 +1,11 @@
+%
+% dilog.tex
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\section{Dilogarithmus
+\label{buch:exponential:section:dilogarithmus}}
+\rhead{Dilogarithmus}
+
+XXX Dilogarithmus \\
+XXX Polylogarithmus
diff --git a/buch/chapters/020-exponential/eili.tex b/buch/chapters/020-exponential/eili.tex
new file mode 100644
index 0000000..5f83e6e
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/020-exponential/eili.tex
@@ -0,0 +1,8 @@
+%
+% eili.tex
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\section{Integrallogarithmus und Integralexponentialfunktion
+\label{buch:exponential:section:eili}}
+\rhead{Integrallogarithmus und Integralexponentialfunktion}
diff --git a/buch/chapters/030-geometrie/Makefile.inc b/buch/chapters/030-geometrie/Makefile.inc
index a34633e..a79e614 100644
--- a/buch/chapters/030-geometrie/Makefile.inc
+++ b/buch/chapters/030-geometrie/Makefile.inc
@@ -8,4 +8,6 @@ CHAPTERFILES = $(CHAPTERFILES)						\
 	chapters/030-geometrie/trigonometrisch.tex			\
 	chapters/030-geometrie/sphaerisch.tex				\
 	chapters/030-geometrie/hyperbolisch.tex				\
+	chapters/030-geometrie/flaeche.tex				\
+	chapters/030-geometrie/laenge.tex				\
 	chapters/030-geometrie/chapter.tex
diff --git a/buch/chapters/030-geometrie/chapter.tex b/buch/chapters/030-geometrie/chapter.tex
index ea63b6e..974a3a4 100644
--- a/buch/chapters/030-geometrie/chapter.tex
+++ b/buch/chapters/030-geometrie/chapter.tex
@@ -9,9 +9,24 @@
 \lhead{Spezielle Funktionen aus der Geometrie}
 \rhead{}
 
+Die ältesten geometrisch definierten speziellen Funktionen
+sind die Wurzeln.
+Sie haben ermöglicht, die Kantenlänge eines Quadrates mit vorgegebenem
+Flächeninhalt zu bestimmen.
+Sie werden unmittelbar gefolgt von den trigonometrischen Funktionen,
+die ebenfalls bereits im Altertum bekannt waren.
+Die Analysis hat die Möglichkeit geschaffen, die Länge von Kurven
+zu definieren und zu berechnen, wie auch den Flächeninhalt von
+Gebieten, die von Kurven berandet sind.
+Es stellt sich heraus, dass bereits anscheinend einfache Aufgaben
+wie die Berechnung der Länge von Ellipsen- oder Hyperbelbögen auf
+die Notwendigkeit führt, neue spezielle Funktionen zu definieren.
+
 \input{chapters/030-geometrie/trigonometrisch.tex}
 \input{chapters/030-geometrie/sphaerisch.tex}
 \input{chapters/030-geometrie/hyperbolisch.tex}
+\input{chapters/030-geometrie/laenge.tex}
+\input{chapters/030-geometrie/flaeche.tex}
 
 %\section*{Übungsaufgaben}
 %\rhead{Übungsaufgaben}
diff --git a/buch/chapters/030-geometrie/flaeche.tex b/buch/chapters/030-geometrie/flaeche.tex
new file mode 100644
index 0000000..468e175
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/030-geometrie/flaeche.tex
@@ -0,0 +1,286 @@
+%
+% flaeche.tex
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\section{Flächeninhalt
+\label{buch:geometrie:section:flaeche}}
+\rhead{Flächeninhalt}
+Die elementare Definition des Integrals versucht, den Flächeninhalt
+unter dem Graphen der Funktion $y=f(x)$ zu definieren.
+Die Erfahrung zeigt, dass es nicht immer einfach ist, ein Integral in
+geschlossener Form zu berechnen.
+Solche Integrale können auf sinnvolle neue spezielle Funktionen führen.
+
+\subsection{Berechnung des Flächeninhaltes in kartesischen Koordinaten}
+Wir betrachten in diesem Abschnitt nur die Berechnung des
+Flächeninhaltes von Teilgebieten der Ebene $\mathbb{R}^2$
+aus ihrer Berandung.
+Sei $\gamma\colon I \to\mathbb{R}^2$ eine Kurve und 
+\[
+a=t_0<t_1<t_2<\dots t_{n-2}<t_{n-1}<t_n=b
+\]
+eine Unterteilung des Intervalls.
+Die Kurve muss ausserdem geschlossen sein, also $\gamma(a)=\gamma(b)$.
+Die Punkte $\gamma(t_i)$ sind die Ecken eines Polygons, das die gesucht
+Fläche approximiert.
+
+Der Flächeninhalt des Polygons kann mit der Schuhbändelformel
+\cite[p.~184]{buch:linalg}
+berechnet werden.
+
+\begin{align*}
+F
+&=
+\sum_{i=0}^{n-1}
+\frac12
+\biggl|\begin{matrix}
+x(t_i)    &y(t_i)    \\
+x(t_{i+1})&y(t_{i+1})
+\end{matrix}\biggr|
+\approx
+\frac12
+\sum_{i=0}^{n-1}
+\biggl|\begin{matrix}
+x(t_i)    &y(t_i)    \\
+x(t_{i+1})-x(t_i)&y(t_{i+1})-y(t_i)
+\end{matrix}\biggr|
+\\
+&=
+\frac12
+\sum_{i=0}^{n-1}
+\biggl|\begin{matrix}
+x(t_i)                        &y(t_i)    \\
+\dot{x}(t_{i+1}) (t_{i+1}-t_i)& \dot{y}(t_{i+1}) (t_{i+1}-t_i)
+\end{matrix}\biggr|
+\\
+&=
+\frac12
+\sum_{i=0}^{n-1}
+\biggl|\begin{matrix}
+x(t_i)           &y(t_i)    \\
+\dot{x}(t_{i+1}) & \dot{y}(t_{i+1})
+\end{matrix}\biggr|
+(t_{i+1}-t_{i})
+\end{align*}
+Die letzte Summe kann als Riemann-Summe und damit als Approximation für
+das Integral
+\[
+F
+\approx
+\frac12
+\int_a^b
+\left|\begin{pmatrix} x(t)&y(t)\\\dot{x}(t)&\dot{y}(t)\end{pmatrix}\right|
+\,dt
+\]
+gesehen werden.
+Der Flächeninhalt des Gebietes, welches von der Kurve $\gamma$
+berandet wird, ist daher
+\begin{equation}
+F
+=
+\frac12
+\int_a^b x(t)\dot{y}(t)-y(t)\dot{x}(t)\,dt.
+\label{buch:geometrie:eqn:flaeche}
+\end{equation}
+
+Die Formel~\eqref{buch:geometrie:eqn:flaeche} gilt auch für nicht
+geschlossene Kurven.
+Sie berechnet dann den Flächeninhalt eines Gebietes, welches von
+der Strecke vom Ursprung zu $\gamma(a)$, der Kurve von $\gamma(a)$ nach
+$\gamma(b)$ und von der Strecke von $\gamma(b)$ zurück zum Nullpunkt
+berandet wird.
+
+\begin{beispiel}
+Der Flächeninhalt eines Kreissektors mit Öffnungswinkel $\alpha$ ist
+kann mit Hilfe der Parametrisierung
+\[
+\gamma
+\colon
+[0,\alpha] \to \mathbb{R}^2
+:
+t\mapsto \begin{pmatrix}r\cos t\\ r\sin t\end{pmatrix}
+\]
+berechnet werden.
+Das Integral~\eqref{buch:geometrie:eqn:flaeche} wird dann zu
+\begin{align*}
+F
+&=
+\frac12
+\int_0^\alpha r\cos t \cdot r\cos t - r\sin t \cdot (-r\sin t)\,dt
+\\
+&=
+\frac{r^2}2
+\int_0^\alpha
+\cos^2t + \sin^2t\,dt
+=
+\frac{r^2\alpha}2,
+\end{align*}
+wie erwartet.
+\end{beispiel}
+
+\subsubsection{Flächeninhalt in Polarkoordinaten}
+Ist die Kurve in Polarkoordinaten durch die Funktion
+$\varphi\mapsto r(\varphi)$ gegeben, dann kann man $\varphi$ als
+Parameter verwenden.
+Die Determinante in der Flächenformel wird
+\begin{align*}
+\biggl|
+\begin{matrix}
+x(t_i)& y(t_i)\\
+\dot{x}(t_i)& \dot{y}(t_i)
+\end{matrix}
+\biggr|
+&=
+\biggl|
+\begin{matrix}
+r(\varphi)\cos\varphi&r(\varphi)\sin\varphi\\
+-r(\varphi)\sin\varphi+r'(\varphi)\cos\varphi
+	&r(\varphi)\cos\varphi+r'(\varphi)\sin\varphi
+\end{matrix}
+\biggr|.
+\end{align*}
+Der Integrand in der Flächenformel wird dann
+\[
+\frac12\bigl(
+r(\varphi)^2 \cos^2\varphi +r(\varphi)r'(\varphi)\cos\varphi\sin\varphi
++
+r(\varphi)^2 \sin^2\varphi -r(\varphi)r'(\varphi)\sin\varphi\cos\varphi
+\bigr)
+=
+\frac{r(\varphi)^2}2
+\]
+und die Fläche kann mit
+\[
+F(\alpha,\beta)=\int_\alpha^\beta \frac{r(\varphi)^2}{2}\,d\varphi
+\]
+berechnet werden.
+
+\subsection{Flächeninhalt von Ellipsen und Hyperbeln}
+Ellipsen und Hyperbeln sind besonders einfach zu parametrisieren und
+damit ist auch die Fläche, die von Ellipsen oder Hyperbeln berandet
+wird, besonders einfach zu berechnen.
+
+\subsubsection{Ellipse}
+Für die Ellipse mit der Gleichung
+\[
+\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1
+\]
+kann man mit der Parametrisierung
+\[
+\gamma\colon
+[0,2\pi] \to \mathbb{R}^2
+:
+t \mapsto \begin{pmatrix}a\cos t\\ b\sin t\end{pmatrix}
+\]
+beschreiben.
+Einen Sektor zwischen den Winkeln $\alpha$ und $\beta$
+\begin{align*}
+F
+&=
+\int_\alpha^\beta a\cos t \cdot b\cos t-b\sin t\cdot (-a\sin t)\,dt
+\\
+&=
+ab
+\int_\alpha^\beta \cos^2 t + \sin^2 t\,dt
+=ab(\beta-\alpha).
+\end{align*}
+Dieses Resultat ist auch rein geometrisch leicht nachzuvollziehen:
+Der Sektor entsteht dadurch, dass man ein Kreissektor mit Radius $a$
+entlang der $y$-Achse um den Faktor $b/a$ gestaucht wird.
+Aus dem Flächeninhalt $a^2(\beta-\alpha)$ des Kreissektors wird dann
+der Flächeninhalt $a^2(\beta-\alpha)\cdot \frac{b}{a}=ab(\beta-\alpha)$.
+
+\subsubsection{Hyperbel}
+\begin{figure}
+\centering
+\includegraphics{chapters/030-geometrie/images/hyperbelflaeche.pdf}
+\caption{Das Argument $t$ der hyperbolischen Funktionen ist der Inhalt
+des krummlinig berandeten Dreiecks, bestehend aus der Strecke 
+vom Nullpunkt $O$ zum Punkte $(1,0)$, dem Hyperbelbogen bis zum
+Punkt $\gamma(t)=(\cosh t,\sinh t)$ und schliesslich der Strecke
+von $\gamma(t)$ zurück zum Nullpunkt.
+\label{buch:geometrie:fig:hyperbelflaeche}}
+\end{figure}
+Die hyperbolischen Funktionen geben eine einfache Parametrisierung
+der in Abbildung~\ref{buch:geometrie:fig:hyperbelflaeche}
+dargestellten Hyperbel mit der Gleichung
+\(
+x^2-y^2=1
+\).
+Der in der Abbildung blau hervorgehobene Flächeninhalt ist der Wert
+des Integrals
+\begin{align*}
+F(t)
+&=
+\int_0^t
+\biggl|
+\begin{matrix}
+\cosh s&\sinh s\\
+\sinh s&\cosh s
+\end{matrix}
+\biggr|
+\,ds
+=
+\int_0^t
+\cosh^2s-\sinh^2s\,ds
+=
+\int_0^t ds = t.
+\end{align*}
+Das Argument $t$ der hyperbolischen Funktionen ist also der Flächeninhalt
+des von der Hyperbel krummlienig berandeten Dreiecks.
+Daher heissen die Umkehrfunktionen der hyperbolischen Funktionen
+$\operatorname{arsinh}y$ und $\operatorname{arcosh}x$, Abkürzung
+für {\em area cuius sinus hyperbolicus $y$ est}, Fläche, deren zugehöriger
+Wert des Sinus hyperbolicus $y$ ist.
+
+\subsubsection{Fokalgleichung in Polarkoordinaten}
+\begin{figure}
+\centering
+\includegraphics{chapters/030-geometrie/images/polargleichung.pdf}
+\caption{Polargleichung der Kegelschnitte mit konstantem Wert für den
+Parameter $p$ und verschiedene Werte der Exzentrizität $\varepsilon$.
+Der Kreis (rot) hat Exzentrizität $\varepsilon=0$,
+die Parabel (blau) hat $\varepsilon=1$.
+Für $0<\varepsilon<1$ entstehen Ellipsen, die im blauen Bereich liegen,
+für $\varepsilon>1$ entstehen Hyperbeln, die im grün hinterlegten Teil
+der Ebene liegen.
+\label{buch:geometrie:fig:polargleichung}}
+\end{figure}
+Das zweite Keplersche Gesetz über Planetenbahnen besagt, dass sich ein
+Planet auf seiner elliptischen Bahn um die Sonne so bewegt, dass
+sein Radiusvektor in gleichen Zeiten gleiche Flächen überstreicht.
+Die bisher verwendete Parametrisierung hat den Mittelpunkt der Ellipse
+im Nullpunkt, nach dem ersten Keplerschen Gesetz ist aber müssen
+wir eine Parametrisierung verwenden so, dass der Brennpunkt im
+Ursprung liegt.
+In Polarkoordinaten ist
+\begin{equation}
+r(\varphi) = \frac{p}{1+\varepsilon \cos\varphi}
+\label{buch:geometrie:eqn:polargleichung}
+\end{equation}
+die sogenannte {\em Polargleichung} für die Kegelschnitte.
+Für $\varepsilon=0$ wird $r(\varphi)=p$ konstant, die Gleichung
+beschreibt in diesem Fall einen Kreis.
+Für $\varepsilon=1$ entsteht eine Parabel.
+Werte zwischen $0$ und $1$ parametrisieren Ellipsen mit verschiedener
+Exzentrizität, Werte grösser als $1$ führen auf Hyperbeln.
+Abbildung~\ref{buch:geometrie:fig:polargleichung} zeigt alle vier Fälle.
+
+Die zwischen den Polarwinkeln $\alpha$ und $\beta$ überstrichene Fläche
+wird durch das Integral
+\[
+F(\alpha,\beta)
+=
+\int_\alpha^\beta
+\frac{r(\varphi)^2}2
+\,d\varphi
+=
+\frac12 \int_\alpha^\beta
+\frac{p^2 \,d\varphi}{(1+\varepsilon\cos\varphi)^2}
+\]
+Das Integral kann in geschlossener Form angegeben werden, die Formeln
+sind aber ziemlich kompliziert und für uns hier nicht weiter nützlich.
+
+
+
diff --git a/buch/chapters/030-geometrie/images/Makefile b/buch/chapters/030-geometrie/images/Makefile
new file mode 100644
index 0000000..8796cf6
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/030-geometrie/images/Makefile
@@ -0,0 +1,14 @@
+#
+# Makefile for images
+#
+# (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+#
+
+all:	hyperbelflaeche.pdf polargleichung.pdf
+
+hyperbelflaeche.pdf:	hyperbelflaeche.tex
+	pdflatex hyperbelflaeche.tex
+
+polargleichung.pdf:	polargleichung.tex
+	pdflatex polargleichung.tex
+
diff --git a/buch/chapters/030-geometrie/images/hyperbelflaeche.pdf b/buch/chapters/030-geometrie/images/hyperbelflaeche.pdf
new file mode 100644
index 0000000..a475b07
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/030-geometrie/images/hyperbelflaeche.pdf
diff --git a/buch/chapters/030-geometrie/images/hyperbelflaeche.tex b/buch/chapters/030-geometrie/images/hyperbelflaeche.tex
new file mode 100644
index 0000000..11e865f
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/030-geometrie/images/hyperbelflaeche.tex
@@ -0,0 +1,49 @@
+%
+% hyperbelflaeche.tex -- Argument der Hyperbelfunktionen
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\documentclass[tikz]{standalone}
+\usepackage{amsmath}
+\usepackage{times}
+\usepackage{txfonts}
+\usepackage{pgfplots}
+\usepackage{csvsimple}
+\usetikzlibrary{arrows,intersections,math}
+\begin{document}
+\def\skala{2}
+\begin{tikzpicture}[>=latex,thick,scale=\skala]
+
+\fill[color=blue!20]
+	(0,0)
+	--
+	plot[domain=0:1,samples=100] ({cosh(\x)},{sinh(\x)})
+	-- cycle;
+\draw[color=blue] 
+	(0,0)
+	--
+	plot[domain=0:1,samples=100] ({cosh(\x)},{sinh(\x)})
+	-- cycle;
+
+\begin{scope}
+\clip (-1.8,-2) rectangle (2.5,2);
+\draw[color=red,line width=1.4pt] plot[domain=-2:2,samples=100]
+	({cosh(\x)},{sinh(\x)});
+\draw[color=red,line width=1.4pt] plot[domain=-2:2,samples=100]
+	({-cosh(\x)},{sinh(\x)});
+\end{scope}
+
+\fill[color=white] ({cosh(1)},{sinh(1)}) circle[radius=0.03];
+\draw ({cosh(1)},{sinh(1)}) circle[radius=0.03];
+
+\node at ({cosh(1)},{sinh(1)}) [right] {$\gamma(t)=(\cosh t,\sinh t)$};
+
+\draw[->] (-1.8,0) -- (3.1,0) coordinate[label={$x$}];
+\draw[->] (0,-2) -- (0,2.1) coordinate[label={right:$y$}];
+
+\node[color=blue] at (0.8,0.3) {$t$};
+\node at (0,0) [below left] {$O$};
+
+\end{tikzpicture}
+\end{document}
+
diff --git a/buch/chapters/030-geometrie/images/polargleichung.pdf b/buch/chapters/030-geometrie/images/polargleichung.pdf
new file mode 100644
index 0000000..40115ea
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/030-geometrie/images/polargleichung.pdf
diff --git a/buch/chapters/030-geometrie/images/polargleichung.tex b/buch/chapters/030-geometrie/images/polargleichung.tex
new file mode 100644
index 0000000..5210903
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/030-geometrie/images/polargleichung.tex
@@ -0,0 +1,108 @@
+%
+% polargleichung.tex -- Kegelschnitte in Polardarstellung
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\documentclass[tikz]{standalone}
+\usepackage{amsmath}
+\usepackage{times}
+\usepackage{txfonts}
+\usepackage{pgfplots}
+\usepackage{csvsimple}
+\usetikzlibrary{arrows,intersections,math,calc}
+\begin{document}
+\def\skala{2}
+\definecolor{darkgreen}{rgb}{0,0.6,0}
+\begin{tikzpicture}[>=latex,thick,scale=\skala]
+
+\def\p{1}
+
+\begin{scope}
+\clip (-4,-3) rectangle (1.1,3);
+\fill[color=blue!20]
+	(0,1)
+	--
+	plot[domain=90:-90,samples=100] ({\x}:{\p/(1+cos(\x))})
+	--
+ 	(0,-1) arc (-90:90:1)
+	--
+	cycle;
+
+\fill[color=blue!20]
+	(0,1) arc (90:270:1)
+	--
+	plot[domain=-90:-145,samples=20] ({\x}:{\p/(1+cos(\x))})
+	--
+	plot[domain=145:90,samples=20] ({\x}:{\p/(1+cos(\x))})
+	--
+	cycle;
+
+\fill[color=darkgreen!20]
+	plot[domain=90:-90,samples=100] ({\x}:{\p/(1+cos(\x))})
+	-- cycle;
+
+\fill[color=darkgreen!20]
+	(0,1)
+	--
+	(0,3)
+	--
+	plot[domain=145:90,samples=20] ({\x}:{\p/(1+cos(\x))})
+	--
+	cycle;
+
+\fill[color=darkgreen!20]
+	(0,-1)
+	--
+	(0,-3)
+	--
+	plot[domain=-145:-90,samples=20] ({\x}:{\p/(1+cos(\x))})
+	--
+	cycle;
+
+\end{scope}
+
+\draw[->] (-4.1,0) -- (1.3,0) coordinate[label={$\varphi=0$}];
+\draw (0,-3.1) -- (0,3.1);
+
+\begin{scope}
+\clip (-4,-3) rectangle (1.1,3);
+\draw[color=red,line width=1.4pt] (0,0) circle[radius=1];
+\foreach \e in {10,20,...,90}{
+	\draw[color=blue!\e!red,line width=1.4pt]
+		plot[domain=0:360,samples=100]
+			(\x:{\p/(1+(\e/100)*cos(\x))});
+}
+
+\draw[color=blue,line width=1.4pt]
+	plot[domain=-145:145,samples=100] ({\x}:{\p/(1+cos(\x))});
+
+\foreach \e in {10,30,50,70,90}{
+	\draw[color=darkgreen!\e!blue,line width=1.4pt]
+		plot[domain={-138+\e/5}:{138-\e/5},samples=100]
+			(\x:{\p/(1+((\e+100)/100)*cos(\x))});
+}
+\end{scope}
+
+\fill[color=white] (0,1) circle[radius=0.04];
+\draw (0,1) circle[radius=0.04];
+\fill[color=white] (0,-1) circle[radius=0.04];
+\draw (0,-1) circle[radius=0.04];
+\node at (0,0.6) [left] {$p$};
+
+\node at (0,0) [below left] {$O$};
+\fill[color=white] (0,0) circle[radius=0.04];
+\draw (0,0) circle[radius=0.04];
+
+\node[color=red] at (45:1) [above right] {$\varepsilon=0$};
+\node[color=red] at ($(45:1)+(0,0.2)$) [above right] {Kreis:};
+\node[color=blue!70!red] at (-3.5,0.7) {$\varepsilon=0.7$};
+\node[color=blue!70!red] at (-3.5,0.9) {Ellipse:};
+\node[color=blue] at (-3.4,2.65) [rotate=-18] {Parabel: $\varepsilon=1$};
+\node[color=darkgreen!90!blue] at (-1,2.8) [right] {Hyperbel: $\varepsilon=1.9$};
+
+%\draw[color=yellow]
+%	plot[domain=90:-90,samples=100] ({\x}:{\p/(1+cos(\x))});
+
+\end{tikzpicture}
+\end{document}
+
diff --git a/buch/chapters/030-geometrie/laenge.tex b/buch/chapters/030-geometrie/laenge.tex
new file mode 100644
index 0000000..b0b1b32
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/030-geometrie/laenge.tex
@@ -0,0 +1,324 @@
+%
+% ellipsenbogen.tex
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\section{Bogenlänge 
+\label{buch:geometrie:section:ellipsenbogen}}
+\rhead{Bogenlänge}
+Die Möglichkeit, die Länge einer Kurve zu definieren und zu bestimmen,
+ist eine der Leistungen der Infinitesimalrechnung.
+In einigen Fällen lässt sich die Länge auch auf elementare Art und
+Weise bestimmen oder mit Integralen, die leicht auflösbar sind.
+Bereits bei der Bogenlänge entlang einer Ellipse sieht die Lage
+jedoch ganz anders aus.
+
+\subsection{Berechnung der Bogenlänge}
+In diesem Abschnitt sollen ein paar Methoden zusammgengestellt werden,
+mit denen die Länge einer Kurve berechnet werden kann.
+
+\subsubsection{Länge einer parametrisierten Kurve}
+Beispiele wie die Kochsche Schneeflockenkurve, deren Länge schwer
+zu definieren ist, zeigen, dass der Begriff einer Kurve für die Zwecke
+dieses Abschnittes genügend eng gefasst werden muss.
+Die folgende Definition tut dies.
+
+\begin{definition}
+\label{buch:geometrie:def:kurve}
+Sei $I=[a,b]\subset\mathbb{R}$ ein Intervall.
+Eine {\em Kurve} ist eine differenzierbare Abbildung
+$\gamma \colon I \to \mathbb{R}^n$.
+\index{Kurve}
+\end{definition}
+
+\begin{beispiel}
+XXX TODO Bild der Helix im Zylinder und Abrollung
+\\
+Die Abbildung
+\begin{equation}
+\gamma
+\colon
+[0,2\pi] \to \mathbb{R}^3
+:
+t\mapsto\begin{pmatrix}r\cos t\\ r\sin t\\ th/2\pi\end{pmatrix}
+\label{buch:geometrie:eqn:helix}
+\end{equation}
+beschreibt eine Schraubenlinie oder Helix.
+\index{Schraubenlinie}%
+\index{Helix}%
+Die Abbildung ist ganz offensichtlich differenzierbar und hat die
+Ableitung
+\begin{equation}
+\frac{d}{dt}\gamma(t)
+=
+\dot{\gamma}(t)
+=
+\begin{pmatrix} -r\sin t \\ r\cos t \\ h/2\pi\end{pmatrix}.
+\label{buch:geometrie:eqn:helixdot}
+\end{equation}
+Die Länge dieser Schraubenlinie lässt sich direkt berechnen.
+Die Schraubenlinie liegt auf dem Mantel eines Zylinders mit
+Radius $r$ und Höhe $h$.
+Durch Abrollen des Zylinders erkennt man, dass die Schraubenlinie
+die Hypothenuse eines rechtwinkligen Dreiecks mit Katheten 
+$2\pi r$ und $h$ ist.
+Die Länge $l$ der Schraubenlinie ist daher
+\begin{equation}
+l = \sqrt{(2\pi r)^2 +h^2}
+\label{buch:geometrie:eqn:helixlaenge}
+\end{equation}
+nach dem Satz von Pythagoras.
+\end{beispiel}
+
+Unterteilt man das Intervall $I$ in den Teilpunkten $t_i$ mit
+\[
+a = t_0 < t_1 < t_2 < \dots < t_{n-1} < t_n = b,
+\]
+dann ist die Summe
+\[
+L
+=
+\sum_{i=0}^{n-1} |\gamma(t_{i+1}) - \gamma(t_{i})|
+\]
+eine Approximation für die Länge der Kurve.
+Die Differenz auffeinanderfolgender Punkte kann mit Hilfe der
+Ableitung als
+\[
+\gamma(t_{i+1})-\gamma(t_i)
+\approx
+\dot{\gamma}(t_{i}) \cdot (t_{i+1}-t_i)
+\]
+approximiert werden.
+Damit wird die Summe $L$ approximiert durch
+\[
+L\approx \sum_{i=0}^{n-1} |\dot{\gamma}(t_i)| \cdot (t_{i+1}-t_i).
+\]
+Dies ist eine Riemannsche Summe für das Integral
+\[
+\int_a^b |\dot{\gamma}(t)|\,dt,
+\]
+wir definieren die Bogenlänge einer Kurve daher wie folgt.
+
+\begin{definition}
+\label{buch:geometrie:def:kurvenlaenge}
+Sei $\gamma\colon I\to\mathbb{R}$ eine Kurve im Sinne der
+Definition~\ref{buch:geometrie:def:kurve}.
+Dann ist die {\em Bogenlänge} entlang der Kurve zwischen dem Punkt
+$\gamma(a)$ und $\gamma(t)$ definiert durch das
+Integral
+\[
+l(t) = \int_{a}^t |\dot{\gamma}(\tau)|\,d\tau.
+\]
+\end{definition}
+
+\begin{beispiel}
+Die Helix mit der Parametrisierung~\eqref{buch:geometrie:eqn:helix}
+hat die Kurvenlänge
+\begin{align*}
+l(t)
+&=
+\int_0^t |\dot{\gamma}(\tau)|\,d\tau
+=
+\int_0^t \sqrt{r^2\sin^2 \tau + r^2\cos^2\tau + (h/2\pi)^2}\,d\tau
+\\
+&=
+\int_0^t \sqrt{r^2 + (h/2\pi)^2}\,d\tau
+=
+t\sqrt{r^2+(h/2\pi)^2}.
+\end{align*}
+Für eine ganze Umdrehung, also für $t=2\pi$ finden wir
+\(
+l(2\pi) = \sqrt{4\pi^2 r^2 + h^2},
+\)
+was mit dem elementaren Resultat~\eqref{buch:geometrie:eqn:helixlaenge}
+übereinstimmt.
+\end{beispiel}
+
+\subsubsection{Länge eines Graphen}
+Der Graph einer auf dem Intervall $I=[a,b]$ definierte Funktion
+$y=f(x)$ kann als Parametrisierung einer Kurve
+\[
+\gamma
+\colon
+[a,b] \to \mathbb{R}^2
+:
+x \mapsto \begin{pmatrix}x\\f(x)\end{pmatrix}
+\]
+betrachtet werden.
+Nach Definition~\ref{buch:geometrie:def:kurvenlaenge}
+ist Länge dieser Kurven zwischen den Punkten $(a,f(a))$ und $(x,f(x))$
+durch das Integral
+\[
+l(x)
+=
+\int_a^x \biggl| \begin{pmatrix}1\\f'(\xi)\end{pmatrix}\biggr|\,d\xi
+=
+\int_a^x \sqrt{1+f'(\xi)^2}\,d\xi
+\]
+gegeben.
+
+\begin{beispiel}
+Die auf dem Intervall $I=[0,b]$ definierte quadratische Funktion $f(x)=cx^2$
+mit $b>0$ und $c>0$ hat die Bogenlänge
+\begin{align*}
+l(x)
+&=
+\int_0^x \sqrt{1+f'(\xi)^2}\,d\xi
+=
+\int_0^x \sqrt{1+4c^2\xi^2}\,d\xi
+=
+\biggl[
+\frac{ \operatorname{arsinh}2c\xi)}{4c} + \frac{\xi\sqrt{4c^2\xi^2+1}}{2}
+\biggr]_0^x
+\\
+&=
+\frac{ \operatorname{arsinh}(2cx)}{4c}.
+\end{align*}
+Die Stammfunktion wurde mit einem Computeralgebraprogramm gefunden.
+\end{beispiel}
+
+\subsubsection{Kurvenlänge in Polarkoordinaten}
+Eine Kurve kann in Polarkoordinaten in der Ebene durch eine Funktion
+$r=r(\varphi)$ beschrieben werden.
+Dies führt auf eine Parametrisierung
+\[
+\varphi \mapsto \gamma(\varphi)=\begin{pmatrix}
+r(\varphi)\cos\varphi\\
+r(\varphi)\sin\varphi
+\end{pmatrix}
+\]
+durch den Polarwinkel $\varphi$.
+Die Kurvenlänge kann gemäss 
+Definition~\label{buch:geometrie:def:kurvenlaenge} braucht
+die Ableitung der Parametrisierung, also die Funktion
+\[
+\dot{\gamma}(\varphi)
+=
+\begin{pmatrix}
+r'(\varphi)\cos\varphi - r(\varphi)\sin\varphi\\
+r'(\varphi)\sin\varphi + r(\varphi)\cos\varphi
+\end{pmatrix}.
+\]
+Die Länge von $\dot{\gamma}$ ist
+\begin{align*}
+|\dot{\gamma}(\varphi)|^2
+&=
+\bigl(
+r'(\varphi)\cos\varphi - r(\varphi)\sin\varphi
+\bigr)^2
++
+\bigl(
+r'(\varphi)\sin\varphi + r(\varphi)\cos\varphi
+\bigr)^2
+\\
+&=
+r'(\varphi)^2\cos^2\varphi
+-2r(\varphi)r'(\varphi)\cos\varphi\sin\varphi
++r(\varphi)^2\sin^2\varphi
+\\
+&\qquad
++r'(\varphi)^2\sin^2\varphi
++2r(\varphi)r'(\varphi)\sin\varphi\cos\varphi
++r(\varphi)^2\cos^2\varphi
+\\
+&=r'(\varphi)^2(\cos^2\varphi+\sin^2\varphi)
++ r(\varphi)^2(\sin^2\varphi+\cos^2\varphi).
+\\
+&=
+r'(\varphi)^2 + r(\varphi)^2.
+\end{align*}
+Dies führt auf das
+Integral
+\begin{equation}
+l(\alpha)
+=
+\int_a^\alpha \sqrt{r'(\varphi)^2 + r(\varphi)^2}\,d\varphi
+\end{equation}
+für die Länge der Kurve.
+
+\subsection{Kreis}
+Die Länge eines Bogens auf dem Einheitskreis zwischen dem Punkt
+$(1,0)$ und $P=(x,y)$ mit $x^2+y^2=1$ ist nach Definition der
+Winkel $\alpha$ zwischen der $x$-Achse und $P$.
+Es gilt also
+\[
+\tan\alpha = \frac{y}{x}
+\qquad\text{oder}\qquad
+\sin\alpha = y = \sqrt{1-x^2}.
+\]
+Der Kreis kann auch als Graph $y=f(x)=\sqrt{1-x^2}$ parametrisiert werden,
+in der die Länge des Bogens 
+\begin{align*}
+l(x)
+=
+\int_x^1 \sqrt{1+f'(t)^2}\,dt
+=
+\int_x^1 \sqrt{1+\frac{t^2}{1-t^2}}\,dt
+=
+\int_x^1 \sqrt{\frac{1-t^2+t^2}{1-t^2}}\,dt
+=
+\int_x^1 \frac{dt}{\sqrt{1-t^2}}.
+\end{align*}
+Aus dem bekannten Wert der Länge des Bogens erhalten wir jetzt die
+Formel
+\begin{equation}
+\arcsin \sqrt{1-x^2} = \int_x^1 \frac{dt}{\sqrt{1-t^2}}.
+\label{buch:geometrie:eqn:kreislaenge} 
+\end{equation}
+Tatsächlich ist die Ableitung davon
+\[
+\frac{d}{dx}\arcsin\sqrt{1-x^2}
+=
+-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}},
+\]
+was mit der Integralformel~\ref{buch:geometrie:eqn:kreislaenge} 
+übereinstimmt.
+
+\subsection{Hyperbeln und Ellipsen
+\label{buch:geometrie:subsection:hyperbeln-und-ellipsen}}
+Die Funktion $f(x)=\sqrt{1+x^2}$ beschreibt eine gleichseitige
+Hyperbel.
+Die Bogenlänge zwischen dem Punkt $(0,1)$ und $(x,y)$ auf der
+Hyperbel ist gegeben durch das Integral:
+\[
+l(x)
+=
+\int_0^x \sqrt{1+f'(t)^2}\,dt
+=
+\int_0^x \sqrt{1+\frac{t^2}{1+t^2}}\,dt
+=
+\int_0^x \sqrt{\frac{1+2t^2}{1+t^2}}\,dt.
+\]
+Dieses Integral ist nicht in geschlossener Form lösbar.
+Natürlich können auch andere Parametrisierungen für die Hyperbel
+verwendet werden, die entstehenden Integrals, dies ändert jedoch
+nichts an der Schwierigkeit, einen Ausdruck für den Wert des
+Integrals anzugeben.
+
+Für eine Ellipse kann man die Parameterdarstellung 
+\[
+t\mapsto \begin{pmatrix}a\cos t\\b\sin t\end{pmatrix}
+\]
+verwenden.
+Die Länge eines Ellipsenbogens zwischen den Winkelargumenten $\alpha$ und
+$\beta$ ist dann
+\[
+l(\alpha,\beta)
+=
+\int_\alpha^\beta
+a^2 \sin^2 t + b^2 \cos^2t
+\,dt
+=
+a^2
+\int_\alpha^\beta
+\sin^2 t + \frac{b^2}{a^2} \cos^2t
+\,dt.
+\]
+Auch dieses Integral ist nicht in geschlossener Form lösbar.
+Die elliptischen Funktionen von Jacobi, die in Kapitel~\ref{XXX}
+beschrieben werden, ermöglichen, Ausdrücke für diese Integrale
+anzugeben.
+
+
+
+
diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/Makefile.inc b/buch/chapters/110-elliptisch/Makefile.inc
new file mode 100644
index 0000000..0ca1392
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/110-elliptisch/Makefile.inc
@@ -0,0 +1,11 @@
+#
+# Makefile.inc -- Makefile dependencies for chapter 11
+#
+# (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+#
+
+CHAPTERFILES = $(CHAPTERFILES)						\
+	chapters/110-elliptisch/ellintegral.tex				\
+	chapters/110-elliptisch/jacobi.tex				\
+	chapters/110-elliptisch/lemniskate.tex				\
+	chapters/110-geometrie/chapter.tex
diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/chapter.tex b/buch/chapters/110-elliptisch/chapter.tex
new file mode 100644
index 0000000..4f74408
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/110-elliptisch/chapter.tex
@@ -0,0 +1,30 @@
+%
+% chapter.tex -- Beschreibung des Inhaltes
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
+%
+% !TeX spellcheck = de_CH
+\chapter{Elliptische Funktionen
+\label{buch:chapter:geometrie}}
+\lhead{Elliptische Funktionen}
+\rhead{}
+
+Der Versuch, die Länge eines Ellipsenbogens zu berechnen, hat
+in Abschnitt~\ref{buch:geometrie:subsection:hyperbeln-und-ellipsen}
+zu Integralen geführt, die nicht in geschlossener Form ausgewertet
+werden können.
+Neben den dort gefundenen Integralen sind noch weitere, ähnlich
+aufgebaute Integrale in dieser Familie zu finden.
+
+\input{chapters/110-elliptisch/ellintegral.tex}
+\input{chapters/110-elliptisch/jacobi.tex}
+\input{chapters/110-elliptisch/lemniskate.tex}
+
+%\section*{Übungsaufgaben}
+%\rhead{Übungsaufgaben}
+%\aufgabetoplevel{chapters/020-exponential/uebungsaufgaben}
+%\begin{uebungsaufgaben}
+%\uebungsaufgabe{0}
+%\uebungsaufgabe{1}
+%\end{uebungsaufgaben}
+
diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/ellintegral.tex b/buch/chapters/110-elliptisch/ellintegral.tex
new file mode 100644
index 0000000..1e35616
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/110-elliptisch/ellintegral.tex
@@ -0,0 +1,181 @@
+%
+% ellintegral.tex
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\section{Elliptische Integrale
+\label{buch:elliptisch:section:integral}}
+\rhead{Elliptisches Integral}
+Bei der Berechnung des Ellipsenbogens in 
+Abschnitt~\ref{buch:geometrie:subsection:hyperbeln-und-ellipsen}
+sind wir auf ein Integral gestossen, welches sich nicht in geschlossener
+Form ausdrücken liess.
+Um solche Integrale in den Griff zu bekommen, ist es nötig, sie als
+neue spezielle Funktionen zu definieren.
+
+\subsection{Definition
+\label{buch:elliptisch:subsection:definition}}
+Ein elliptisches Integral ist ein Integral der Form
+\begin{equation}
+\int R\left( x, \sqrt{p(x)}\right)\,dx
+\label{buch:elliptisch:def:allgemein}
+\end{equation}
+wobei $R(x,y)$ eine rationale Funktion von zwei Variablen ist und
+$p(x)$ ein Polynom dritten oder vierten Grades.
+Hätte $p(x)$ ein mehrfache Nullstelle $x_0$, müsste es durch $(x-x_0)^2$
+teilbar sein, man könnte also einen Faktor $(x-x_0)$ aus der
+Wurzel im Integraneden von \eqref{buch:elliptisch:def:allgemein}
+ausklammern und damit das Integral in eine Form bringen, wo $p(x)$
+höchstens zweiten Grades ist.
+Solche Integrale lassen sich meistens mit trigonometrischen Substitutionen
+berechnen.
+Wir verlangen daher, dass $p(x)$ keine mehrfachen Nullstellen hat.
+
+Man kann zeigen, dass sich elliptische Integrale in Summen von
+elementaren Funktionen und speziellen elliptischen Integralen 
+der folgenden Form überführen lassen.
+
+\begin{definition}
+\label{buch:elliptisch:def:integrale123}
+Die elliptischen Integrale erster, zweiter und dritter Art sind die
+Integrale
+\[
+\begin{aligned}
+\text{1.~Art:}&&&
+\int \frac{dx}{\sqrt{(1-x^2)(1-k^2x^2)}}
+\\
+\text{2.~Art:}&&&
+\int \sqrt{\frac{1-k^2x^2}{1-x^2}}\,dx
+\\
+\text{3.~Art:}&&&
+\int \frac{dx}{(1-nx^2)\sqrt{(1-x^2)(1-k^2x^2)}}
+\end{aligned}
+\]
+mit $0<k<1$.
+Es ist auch üblich, den Parameter $m=k^2$ zu verwenden.
+\end{definition}
+
+Wie gesagt lassen sich für diese unbestimmten Integrale keine 
+geschlossenen Formen finden.
+Es bleibt uns daher nichts anderes übrig, als die Integralgrenzen
+festzulegen und damit eine Stammfunktion auszuwählen.
+
+%
+% Elliptisches Integral
+%
+\subsection{Vollständige elliptische Integrale
+\label{buch:elliptisch:subsection:vollstaendig}}
+In diesem Abschnitt legen wir beide Integrationsgrenzen fest und
+untersuchen die entstehenenden Funktionen von den Parametern
+$k$ und $n$.
+
+\subsubsection{Definition der vollständigen elliptischen Integrale}
+Da der Nenner in allen drei elliptischen Integralen eine Nullstelle
+bei $\pm1$ hat, kann das Integral nur von $0$ bis $1$ erstreckt werden.
+
+\begin{definition}
+\label{buch:elliptisch:def:vollstintegrale123}
+Die vollständigen elliptischen Integrale erster, zweiter und dritter
+Art sind
+\[
+\begin{aligned}
+\text{1.~Art:}&&
+K(k)&=\int_0^1 \frac{dt}{\sqrt{(1-t^2)(1-k^2t^2)}} \\
+\text{2.~Art:}&&
+E(k)&=\int_0^1 \sqrt{\frac{1-k^2t^2}{1-t^2}}\,dt \\
+\text{3.~Art:}&&
+\Pi(n, k)&=\int_0^1\frac{dt}{(1-nt^2)\sqrt{(1-t^2)(1-k^2t^2)}} 
+\end{aligned}
+\]
+mit $0<k<1$.
+\end{definition}
+
+Die Funktionen hängen stetig von $k$ ab.
+Die Nullstellen des Faktors $1-k^2x^2$ liegen ausserhalb des
+Integrationsintervalls und spielen daher keine Rolle.
+Die Werte von $K(k)$ und $E(k)$ für $k=0$ können direkt berechnet
+werden:
+\begin{align*}
+K(0)
+=
+E(0)
+&=
+\int_0^1 \frac{dt}{\sqrt{1-t^2}}=\frac{\pi}2.
+\end{align*}
+Das Integral $\Pi(n,0)$ ist etwas komplizierter.
+
+Für $k\to 1$ ist $E(k)=1$, die Integrale $K(1)$ und $\Pi(n,1)$
+sind dagegen divergent.
+
+\subsubsection{Jacobi- und Legendre-Normalform}
+Die Integrationsvariable $t$ der vollständigen elliptischen Integrale
+kann durch die Substitution $t=\sin\varphi$ durch die Variable
+$\varphi$ und das Integral über das Intervall $[0,1]$ durch ein
+Integral über das Intervall $[0,\frac{\pi}2]$ ersetzt werden.
+Mit
+\[
+\frac{dt}{d\varphi} = \cos\varphi = \sqrt{1-\sin^2\varphi}
+\]
+können die Funktionen $K(k)$, $E(k)$ und $\Pi(n,k)$ auch als
+\begin{align*}
+K(k)
+&=
+\int_0^{\frac{\pi}2}
+\frac{
+\sqrt{1-\sin^2\varphi}\,d\varphi
+}{
+\sqrt{(1-\sin^2\varphi)(1-k^2\sin^2\varphi)}
+}
+=
+\int_0^{\frac{\pi}2}
+\frac{d\varphi}{\sqrt{1-k^2\sin^2\varphi}}
+\\
+E(k)
+&=
+\int_0^{\frac{\pi}2}
+\sqrt{\frac{1-k^2\sin^2\varphi}{1-\sin^2\varphi}}(1-\sin^2\varphi)\,d\varphi
+=
+\int_0^{\frac{\pi}2}
+\sqrt{1-k^2\sin^2\varphi}\,d\varphi
+\\
+\Pi(n,k)
+&=
+\int_0^{\frac{\pi}2}
+\frac{
+\sqrt{1-\sin^2\varphi}\,d\varphi
+}{
+(1-n\sin^2\varphi)\sqrt{(1-\sin^2\varphi)(1-k^2\sin^2\varphi)}
+}
+=
+\int_0^{\frac{\pi}2}
+\frac{
+d\varphi
+}{
+(1-n\sin^2\varphi)\sqrt{1-k^2\sin^2\varphi}
+}
+\end{align*}
+Diese Form wird auch die {\em Legendre-Normalform} der vollständigen 
+\index{Legendre-Normalform}%
+elliptischen Integrale genannt, während die Form von
+Definition~\ref{buch:elliptisch:def:vollstintegrale123}
+die {\em Jacobi-Normalform} heisst.
+\index{Jacobi-Normalform}%
+
+
+\subsubsection{Komplementäre Integrale}
+XXX Komplementäre Integrale \\
+
+\subsubsection{Ableitung}
+XXX Ableitung \\
+XXX Stammfunktion \\
+
+\subsection{Unvollständige elliptische Integrale}
+XXX Vollständige und Unvollständige Integrale \\
+XXX Additionstheoreme \\
+XXX Parameterkonventionen \\
+
+\subsection{Potenzreihe}
+XXX Potenzreihen \\
+XXX Als hypergeometrische Funktionen \\
+
+
diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/images/Makefile b/buch/chapters/110-elliptisch/images/Makefile
new file mode 100644
index 0000000..ef2e6fc
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/110-elliptisch/images/Makefile
@@ -0,0 +1,10 @@
+#
+# Makefile -- make images
+#
+# (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+#
+all:	lemniskate.pdf
+
+lemniskate.pdf:	lemniskate.tex
+	pdflatex lemniskate.tex
+
diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/images/lemniskate.pdf b/buch/chapters/110-elliptisch/images/lemniskate.pdf
new file mode 100644
index 0000000..063a3e1
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/110-elliptisch/images/lemniskate.pdf
diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/images/lemniskate.tex b/buch/chapters/110-elliptisch/images/lemniskate.tex
new file mode 100644
index 0000000..f74a81f
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/110-elliptisch/images/lemniskate.tex
@@ -0,0 +1,46 @@
+%
+% lemniskate.tex -- Lemniskate
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\documentclass[tikz]{standalone}
+\usepackage{amsmath}
+\usepackage{times}
+\usepackage{txfonts}
+\usepackage{pgfplots}
+\usepackage{csvsimple}
+\usetikzlibrary{arrows,intersections,math}
+\begin{document}
+\def\skala{4}
+\begin{tikzpicture}[>=latex,thick,scale=\skala]
+
+\draw[color=red,line width=1.0pt]
+	plot[domain=-45:45,samples=100] ({\x}:{sqrt(2*cos(2*\x))});
+\draw[color=red,line width=1.0pt]
+	plot[domain=135:225,samples=100] ({\x}:{sqrt(2*cos(2*\x))});
+
+\def\a{18}
+\def\b{39}
+
+\draw[->,color=blue,line width=1pt] (0,0) -- (\a:{sqrt(2*cos(2*\a))});
+
+\draw[color=red,line width=2.0pt]
+	plot[domain=45:\a,samples=100] ({\x}:{sqrt(2*cos(2*\x))});
+
+\draw[->] (-1.5,0) -- (1.5,0) coordinate[label={$x$}];
+\draw[->] (0,-0.7) -- (0,0.7) coordinate[label={right:$y$}];
+
+\fill[color=white] (1,0) circle[radius=0.02];
+\draw (1,0) circle[radius=0.02];
+\fill[color=white] (-1,0) circle[radius=0.02];
+\draw (-1,0) circle[radius=0.02];
+
+\node[color=blue] at (\a:{0.6*sqrt(2*cos(2*\a))}) [below] {$r$};
+\node[color=red] at ({\b}:{sqrt(2*cos(2*\b))}) [above] {$s$};
+
+\fill[color=white] (\a:{sqrt(2*cos(2*\a))}) circle[radius=0.02];
+\draw[color=red] (\a:{sqrt(2*cos(2*\a))}) circle[radius=0.02];
+
+\end{tikzpicture}
+\end{document}
+
diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/jacobi.tex b/buch/chapters/110-elliptisch/jacobi.tex
new file mode 100644
index 0000000..d3e5d62
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/110-elliptisch/jacobi.tex
@@ -0,0 +1,30 @@
+%
+% jacobi.tex
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\section{Jacobisch elliptische Funktionen
+\label{buch:elliptisch:section:jacobi}}
+\rhead{Jacobische elliptische Funktionen}
+
+\subsection{Elliptische Funktionen als Trigonometrie}
+% based on Willliam Schwalm, Elliptic functions and elliptic integrals
+XXX als elliptische Integrale \\
+XXX algebraische Beziehungen \\
+XXX Additionstheoreme \\
+XXX Perioden
+% use https://math.stackexchange.com/questions/3013692/how-to-show-that-jacobi-sine-function-is-doubly-periodic
+
+\subsection{Elliptische Funktionen und elliptische Integrale}
+XXX Ableitungen \\
+XXX Werte \\
+
+\subsection{Lösungen von Differentialgleichungen}
+XXX Differentialgleichung \\
+XXX Mathematisches Pendel \\
+
+\subsection{Soliton-Lösungen der Sinus-Gordon-Gleichung}
+
+\subsection{Nichtlineare Differentialgleichung vierter Ordnung}
+XXX Möbius-Transformation \\
+XXX Reduktion auf die Differentialgleichung elliptischer Funktionen
diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/lemniskate.tex b/buch/chapters/110-elliptisch/lemniskate.tex
new file mode 100644
index 0000000..d4ad019
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/110-elliptisch/lemniskate.tex
@@ -0,0 +1,171 @@
+%
+% lemniskate.tex
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\section{Lemniskatischer Sinus
+\label{buch:elliptisch:section:lemniskate}}
+\rhead{Lemniskatischer Sinus}
+Historisch war der {\em lemniskatische Sinus} die erste ellptische
+Funktion, die Gauss bereits als 19-jähriger untersucht, aber nicht 
+veröffentlich hat.
+In diesem Abschnitt soll die Verbindung zu den Jacobischen
+elliptischen Funktionen hergestellt werden.
+
+\subsection{Lemniskate
+\label{buch:gemotrie:subsection:lemniskate}}
+\begin{figure}
+\centering
+\includegraphics{chapters/110-elliptisch/images/lemniskate.pdf}
+\caption{Bogenlänge und Radius der Lemniskate von Bernoulli.
+\label{buch:elliptisch:fig:lemniskate}}
+\end{figure}
+Die Lemniskate von Bernoulli ist die Kurve vierten Grades mit der Gleichung
+\begin{equation}
+(x^2+y^2)^2 = 2a^2(x^2-y^2).
+\label{buch:elliptisch:eqn:lemniskate}
+\end{equation}
+Sie ist in Abbildung~\ref{buch:elliptisch:fig:lemniskate}
+dargestellt.
+Die beiden Scheitel der Lemniskate befinden sich bei $x=\pm a/\sqrt{2}$.
+
+In Polarkoordinaten $x=r\cos\varphi$ und $y=r\sin\varphi$
+gilt nach Einsetzen in \eqref{buch:elliptisch:eqn:lemniskate}
+\begin{equation}
+r^4
+=
+2a^2r^2(\cos^2\varphi-\sin^2\varphi)
+=
+2a^2r^2\cos2\varphi
+\qquad\Rightarrow\qquad
+r^2 = 2a^2\cos 2\varphi
+\label{buch:elliptisch:eqn:lemniskatepolar}
+\end{equation}
+als Darstellung der Lemniskate in Polardarstellung.
+Sie gilt für Winkel $\varphi\in[-\frac{\pi}4,\frac{\pi}4]$ für das
+rechte Blatt und $\varphi\in[\frac{3\pi}4,\frac{5\pi}4]$ für das linke
+Blatt der Lemniskate.
+
+Für die Definition des lemniskatischen Sinus wird eine Skalierung
+verwendet, die den rechten Scheitel im Punkt $(1,0)$.
+Dies ist der Fall für $a=1/\sqrt{2}$, die Gleichung der Lemniskate
+wird dann zu
+\[
+(x^2+y^2)^2 = 2(x^2-y^2).
+\]
+
+\subsubsection{Bogelänge}
+Die Funktionen
+\begin{equation}
+x(r) = \frac{r}{\sqrt{2}}\sqrt{1+r^2},
+\quad
+y(r) = \frac{r}{\sqrt{2}}\sqrt{1-r^2}
+\label{buch:geometrie:eqn:lemniskateparam}
+\end{equation}
+erfüllen
+\begin{align*}
+x(r)^2-y(r)^2
+&=
+\frac{r^2(1+r^2)}{2}-\frac{r^2(1-r^2)}{2}
+\\
+&
+=
+r^4
+=
+(x(r)^2 + y(r)^2)^2,
+\end{align*}
+sie stellen also eine Parametrisierung der Lemniskate dar.
+
+Mit Hilfe der Parametrsierung~\eqref{buch:geometrie:eqn:lemniskateparam}
+kann man die Länge $s$ des in Abbildung~\ref{buch:elliptisch:fig:lemniskate}
+dargestellten Bogens der Lemniskate berechnen.
+Dazu benötigt man die Ableitungen nach $r$, die man mit der Produkt- und
+Kettenregel berechnen kann:
+\begin{align*}
+\dot{x}(r)
+&=
+\frac{\sqrt{1+r^2}}{\sqrt{2}}
++
+\frac{r^2}{\sqrt{2}\sqrt{1+r^2}}
+&&\Rightarrow&
+\dot{x}(r)^2
+&=
+\frac{1+r^2}{2} +r^2 + \frac{r^4}{2(1+r^2)}
+\\
+\dot{y}(r)
+&=
+\frac{\sqrt{1-r^2}}{\sqrt{2}}
+-
+\frac{r^2}{\sqrt{2}\sqrt{1-r^2}}
+&&\Rightarrow&
+\dot{y}(r)^2
+&=
+\frac{1-r^2}{2} -r^2 + \frac{r^4}{2(1-r^2)}
+\end{align*}
+Die Summe der Quadrate ist
+\begin{align*}
+\dot{x}(r)^2 + \dot{y}(r)^2
+&=
+1 + r^4\frac{1-r^2+1+r^2}{2(1+r^2)(1-r^2)}
+=
+1+r^4\frac{2}{2(1-r^4)}
+=
+\frac{1-r^4+r^4}{1-r^4}
+=
+\frac1{1-r^4}.
+\end{align*}
+Durch Einsetzen in das Integral für die Bogenlänge bekommt man
+\begin{equation}
+s(r)
+=
+\int_0^r
+\frac{1}{\sqrt{1-t^4}}\,dt.
+\label{buch:elliptisch:eqn:lemniskatebogenlaenge}
+\end{equation}
+
+\subsubsection{Darstellung als elliptisches Integral}
+Das unvollständige elliptische Integral erster Art mit Parameter
+$m=-1$ ist
+\[
+F(r,-1)
+=
+\int_0^x \frac{dt}{\sqrt{(1-t^2)(1-(-1)t^2)}}
+=
+\int_0^x \frac{dt}{\sqrt{1-t^4}}
+=
+s(r).
+\]
+Der lemniskatische Sinus ist also eine Umkehrfunktion des
+ellptischen Integrals erster Art für einen speziellen Wert des
+Parameters $m$
+
+\subsubsection{Der lemniskatische Sinus und Kosinus}
+Berechnet die Gegenkathete zu einer gegebenen Bogenlänge des Kreises.
+Daher ist es naheliegend, die Umkehrfunktion von $s(r)$ in 
+\eqref{buch:elliptisch:eqn:lemniskatebogenlaenge}
+den {\em lemniskatischen Sinus} zu nennen mit der Bezeichnung
+$r=\operatorname{sl} s$.
+
+Der Kosinus ist der Sinus des komplementären Winkels.
+Auch für die lemniskatische Bogenlänge $s(r)$ lässt sich eine
+komplementäre Bogenlänge definieren, nämlich die Bogenlänge zwischen
+dem Punkt $(x(r), y(r))$ und $(1,0)$.
+Die Länge des rechten Blattes der Lemniskate wird mit $\varpi$ bezeichnet
+und hat den numerischen Wert
+\[
+\varphi
+=
+2\int_0^1\sqrt{\frac{1}{1-t^4}}\,dt
+=
+2.6220575542.
+\]
+Lemniskatenbogens zwischen dem Nullpunkt und $(1,0)$ hat die Länge
+$\varpi/2$.
+
+Der {\em lemniskatische Kosinus} von $s$ ist derjenige Radiuswert $r$,
+für den der Lemniskatenbogen zwischen $(x(r), y(r))$ und $(1,0)$
+die Länge $s$ hat.
+
+
+XXX Algebraische Beziehungen \\
+XXX Ableitungen \\
diff --git a/buch/chapters/part1.tex b/buch/chapters/part1.tex
index 8fd0100..04aba57 100644
--- a/buch/chapters/part1.tex
+++ b/buch/chapters/part1.tex
@@ -11,7 +11,7 @@
 % algebraisch und geometrisch definierte spezielle Funktionen
 \input{chapters/010-potenzen/chapter.tex}
 \input{chapters/020-exponential/chapter.tex}
-%\input{chapters/030-geometrie/chapter.tex}
+\input{chapters/030-geometrie/chapter.tex}
 %\input{chapters/040-rekursion/chapter.tex}
 
 % analytisch definierte spezielle Funktionen
@@ -25,7 +25,7 @@
 
 % Spezielle Funktionenfamilien
 %\input{chapters/100-kombinatorisch/chapter.tex}
-%\input{chapters/110-elliptisch/chapter.tex}
+\input{chapters/110-elliptisch/chapter.tex}
 %\input{chapters/120-besselstruve/chapter.tex}
 %\input{chapters/130-airy/chapter.tex}
 %\input{chapters/140-kugel/chapter.tex}
diff --git a/buch/chapters/references.bib b/buch/chapters/references.bib
index 15c0ea0..b047d23 100644
--- a/buch/chapters/references.bib
+++ b/buch/chapters/references.bib
@@ -16,14 +16,14 @@
 	year = {2016},
 }
 
-@online{buch:fftw,
-	title = {Fastest Fourier Transform in the West},
-	url = {http://www.fftw.org/},
-        DAY = {23},
-        MONTH = {july},
-        YEAR = 2018
+@book{buch:linalg,
+	title = {Lineare Algebra},
+	author = {Andreas Müller und Tabea Méndez },
+        url = {https://github.com/AndreasFMueller/LinAlg.git},
+	year = {2018}
 }
 
+
 @online{buch:repo,
 	subtitle = {Source Code Repository},
 	author = {Andreas Müller},
@@ -33,85 +33,6 @@
 	YEAR = 2022
 }
 
-@book{buch:henrici,
-	author = {Peter Henrici},
-	title = {Essentials of numerical analysis},
-	subtitle = {With pocket calculator demonstrations},
-	year = 1982,
-	publisher = {John Wiley and Sons, Inc.},
-	isbn = {0-471-05904-8}
-}
-
-@online{buch:tartaglia,
-        title = {Niccolò Tartaglia},
-        url = {https://de.wikipedia.org/wiki/Niccolò_Tartaglia},
-        date = {2020-02-06},
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-}
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-@online{buch:kahan-summation,
-	title = {Kahan summation algorithm},
-	url = {https://en.wikipedia.org/wiki/Kahan_summation_algorithm},
-	date = {2020-02-29},
-	year = {2020},
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-	day = {29}
-}
-
-@book{buch:watkins,
-	title = {Fundamentals of Matrix Computations},
-	author = {David S. Watkins},
-	year = 2010,
-	publisher = {John Wiley and Sons, Inc.},
-	edition = {3}
-}
-
-@online{buch:lissajous,
-	title = {Makeing Shapes with PSLab Oscilloscope},
-	author = {CloudyPadmal},
-	url = {https://blog.fossasia.org/making-shapes-with-pslab-oscilloscope/},
-	DAY = 7,
-	month = 3,
-	year = 2020
-}
-@book{buch:richardson,
-	title = {The emergence of numerical weather prediction: Richardson's dream},
-	author = {Peter Lynch},
-	year = 2006,
-	publisher = {Cambridge University Press},
-	isbn = {978-0-52-185729-1}
-}
-
-@book{buch:dieudonne,
-	title={Foundations of Modern Analysis},
-	author={Jean Dieudonn{\'e}},
-	number={Vol. 1},
-	lccn={60008049},
-	series={Dieudonn{\'e}, Jean: Treatise on analysis},
-	year={1960},
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-}
-
-@book{buch:ebbinghaus,
-	title = {Zahlen},
-	year = 1983,
-	inseries = {Grundwissen Mathematik},
-	volume = 1,
-	publisher = {Springer-Verlag},
-	author = { Hans-Dieter Ebbinghaus et al },
-	isbn = { 3-540-12666-X }
-}
-
-@online{buch:primitivepolynomiallist,
-	title = {Primitive Polynomial List},
-	url = {https://www.partow.net/programming/polynomials/index.html},
-	day = 8,
-	month = 3,
-	year = 2021
-}
-
 @book{skript:landaulifschitz1,
         author = {Landau, L. D. and Lifschitz, E. M.},
         title = {Mechanik},
@@ -140,5 +61,10 @@
 	year = 1982
 }
 
-
+@online{buch:wolfram,
+	author = {Stephen Wolfram},
+	title = {The History and Future of Special Functions},
+	year = {2005},
+	url = {https://www.stephenwolfram.com/publications/history-future-special-functions/}
+}