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@@ -106,7 +106,299 @@ direkt als Potenzreihenlösung der Differentialgleichung zu finden.
 
 \subsection{Exponentialfunktion und ihre Varianten
 \label{buch:differentialgleichungen:subsection:exponentialfunktion}}
+In Kapitel~\ref{buch:chapter:exponential} wurde die Exponentialfunktion
+auf algebraische Weise definiert, die Berechnung wurde ermöglicht
+mit Hilfe von Grenzwerten und Potenzreihen.
+Dabei blieb die Ableitung der Exponentialfunktion aussen vor.
+Die Exponentialfunktion lässt sich aber natürlich auch über
+Differentialgleichungen charakterisieren.
+
+\subsubsection{Die Ableitung der Exponentialfunktion}
+Aus der Potenzreihendarstellung
+\[
+\exp(x)
+=
+\sum_{k=0}^\infty \frac{x^k}{k!}
+\]
+folgt sofort, dass die Ableitung
+\[
+\frac{d}{dx}\exp(x)
+=
+\frac{d}{dx}
+\sum_{k=0}^\infty
+\frac{x^k}{k!}
+=
+\sum_{k=1}^\infty \frac{kx^{k-1}}{k!}
+=
+\sum_{k=1}^\infty{x^{k-1}}{(k-1)!}
+=
+\sum_{l=0}^\infty \frac{x^l}{l!}
+=
+\exp(x),
+\]
+wobei $l=k-1$ gesetzt wurde.
+Die Exponentialfunktion ist also ihre eigene Ableitung.
+
+\subsubsection{Lineare Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten}
+Mit der Exponentialfunktion lassen sich beliebige homogene lineare
+Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten lösen.
+Sei die Differentialgleichung
+\[
+y^{(n)} + a_{n-1}y^{(n-1)} + \dots + a_2y'' + a_1y' + a_0y = 0
+\]
+gegeben.
+Mit dem Ansatz $y(x)=e^{\lambda x}$ ergibt sich die Gleichung
+\[
+\lambda^n e^{\lambda x}
++
+a_{n-1}\lambda^{n-1} e^{\lambda x}
++
+\dots
++
+a_2\lambda^2e^{\lambda x}
++
+a_1\lambda e^{\lambda x}
++
+a_0e^{\lambda x}
+=
+(\lambda^n + a_{n-1}\lambda^{n-1} + \dots + a_2\lambda^2 + a_1\lambda + a_0)
+e^{\lambda x}
+=
+0.
+\]
+Da $e^{\lambda x}\ne 0$ ist, kann $y(x)$ nur dann eine Lösung sein, wenn
+$\lambda$ eine Nullstelle des {\em charakteristischen Polynoms}
+\[
+p(\lambda)
+=
+\lambda^n
++
+a_{n-1}\lambda^{n-1}
++
+\dots
++
+a_2\lambda^2
++
+a_1\lambda
++
+a_0
+\]
+ist.
+
+\subsubsection{Ableitungen der trigonometrische Funktionen}
+Die Drehmatrix 
+\[
+D_{\omega t}
+=
+\begin{pmatrix}
+\cos\omega t&-\sin\omega t\\
+\sin\omega t& \cos\omega t
+\end{pmatrix}
+\]
+bschreibt eine Drehung der Ebene mit der Winkelgeschwindigkeit 
+$\omega$.
+Der Punkt $(r,0)$ beschreibt unter dieser Drehung eine Kreisbahn
+parametrisiert durch 
+\[
+t \mapsto \gamma(t)=(r\cos\omega t,r\sin\omega t).
+\]
+Der Geschwindigkeitsvektor zur Zeit $t$ ist natürlich
+\[
+\vec{v}(0)
+=
+\begin{pmatrix}
+0\\
+r\omega
+\end{pmatrix},
+\]
+zu einer späteren Zeit $t$  ist er
+\[
+\vec{v}(t)
+=
+D_{\omega t} \vec{v}(0)
+=
+\begin{pmatrix}
+\cos\omega t&-\sin\omega t\\
+\sin\omega t& \cos\omega t
+\end{pmatrix}
+\begin{pmatrix}
+0\\r\omega
+\end{pmatrix}
+=
+r
+\begin{pmatrix}
+-\omega\sin\omega t\\
+ \omega\cos\omega t
+\end{pmatrix}
+\]
+Gleichzeitig ist $\vec{v}(t)$ natürlich auch die Ableitung  von $\gamma(t)$,
+also
+\[
+\dot{\gamma}(t)
+=
+r
+\frac{d}{dt}
+\begin{pmatrix}
+\cos\omega t\\
+\sin\omega t
+\end{pmatrix}
+=
+r
+\begin{pmatrix}
+-\omega\sin\omega t\\
+ \omega\cos\omega t
+\end{pmatrix}
+\qquad\Rightarrow\qquad
+\left\{
+\begin{aligned}
+\frac{d}{dt} \cos\omega t &= -\omega \sin\omega t\\
+\frac{d}{dt} \sin\omega t &= \phantom{-} \omega \cos\omega t
+\end{aligned}
+\right.
+\]
+Dies bedeutet, dass die Ableitungen der trigonometrischen Funktionen
+\begin{equation}
+\begin{aligned}
+\frac{d}{dt} \sin t&=\phantom{-}\cos t\\
+\frac{d}{dt} \cos t&=-\sin t
+\end{aligned}
+\label{buch:differentialgleichungen:trigo:ableitungen}
+\end{equation}
+
+\subsubsection{Differentialgleichung für trigonometrische Funktionen}
+Aus den Ableitungen~\eqref{buch:differentialgleichungen:trigo:ableitungen}
+folgt, dass die trigonometrischen Funktionen $\sin t $ und $\cos t$
+Lösungen der Differentialgleichung $y''=-y$ sind.
+Das zugehörige charakteristische Polynom ist 
+\[
+\lambda^2+1=0
+\qquad\Rightarrow\qquad
+\lambda^2=-1
+\qquad\Rightarrow\qquad
+\lambda=\pm i.
+\]
+Daraus ergeben sich die Lösungen
+\[
+y_{\pm}(t) = e^{\pm i t}.
+\]
+Da eine Differentialgleichung zweiter Ordnung nur zwei linear unabhängige
+Lösungen haben kann, müssen sich $\sin t$ und $\cos t$ durch
+$e^{\pm it}$ ausdrücken lassen.
+
+Die Kosinus-Funktion zeichnet sich dadurch aus, dass $\cos 0=1$ und
+$\cos' 0=0$ ist.
+Gesucht ist also eine Lösung der Linearkombination der Lösungen
+$y_{\pm}$ der Differentialgleichung mit diesen Anfangswerten.
+Zunächst halten wir fest, dass $y_{\pm}(0)=e^{\pm i\cdot 0}=1$.
+Für die Ableitungen von $y^{\pm it}$ gilt
+\[
+\frac{d}{dt}
+=
+e^{\pm i t}
+=
+\pm ie^{\pm i t}
+\qquad\Rightarrow\qquad
+\frac{d}{dt}y_{\pm}(0) = \pm i.
+\]
+Die Linearkombination $Ay_+(t)+By_-(t)$ hat die Anfangswerte
+\begin{align*}
+Ay_+(0)+By_-(0)&=A+B\\
+Ay'_+(0)+By'_-(0)&=Ai-Bi.
+\end{align*}
+Damit die Linearkombination $\cos t=Ay_+(t)+By_-(t)$ ist, müssen
+$A$ und $B$ Lösungen des Gleichungssystems
+\[
+\begin{linsys}{2}
+ A&+& B&=&1\\
+iA&-&iB&=&0
+\end{linsys}
+\qquad\Rightarrow\qquad
+\begin{linsys}{2}
+ A&+& B&=&1\\
+ A&-& B&=&0
+\end{linsys}
+\]
+Die Summe und Differenz der beiden Gleichungen führt auf
+\[
+\begin{aligned}
+2A&=1\\
+2B&=1
+\end{aligned}
+\qquad\Rightarrow\qquad
+\begin{aligned}
+A=&\textstyle\frac12\\
+B=&\textstyle\frac12
+\end{aligned}
+\qquad\Rightarrow\qquad
+\cos t = \frac{e^{it}+e^{-it}}{2}.
+\]
+
+Andererseits hat die Sinus-Funktion die Anfangswerte $\sin 0=0$ und
+$\sin' 0=1$, dies führt auf das Gleichungssystem
+\[
+\begin{linsys}{2}
+ A&+& B&=&0\\
+iA&-&iB&=&1
+\end{linsys}
+\qquad\Rightarrow\qquad
+\begin{linsys}{2}
+ A&+& B&=&0\\
+ A&-& B&=&\frac{1}i
+\end{linsys}
+\]
+Diesemal führen
+Summe und Differenz der beiden Gleichungen auf
+\[
+\begin{aligned}
+2A&=\frac{1}i\\
+2B&=-\frac{1}i
+\end{aligned}
+\qquad\Rightarrow\qquad
+\begin{aligned}
+A=&\textstyle\phantom{-}\frac1{2i}\\
+B=&\textstyle{-\frac1{2i}}
+\end{aligned}
+\qquad\Rightarrow\qquad
+\sin t = \frac{e^{it}-e^{-it}}{2i}.
+\]
+
+\subsubsection{Potenzreihen für $\sin t$ und $\cos t$}
+Aus der Potenzreihe der Exponentialfunktion kann man jetzt auch
+Potenzreihen für $\sin t$ und $\cos t$ ableiten.
+Zunächst ist
+\begin{align*}
+y_+(t)
+&=
+1 + it - \frac{t^2}{2!} - \frac{it^3}{3!} + \frac{t^4}{4!} + \frac{it^5}{5!}
+- \frac{t^6}{6!} - \frac{it^7}{7!} + \dots
+\\
+y_+(t)
+&=
+1 - it - \frac{t^2}{2!} + \frac{it^3}{3!} + \frac{t^4}{4!} - \frac{it^5}{5!}
+- \frac{t^6}{6!} + \frac{it^7}{7!} + \dots
+\intertext{Die trigonometrischen Funktionen können daraus linear kombiniert
+werden, zum Beispiel ist die Kosinus-Funktion}
+\cos t
+=
+\frac{y_+(t)+y_-(t)}{2}
+&=
+1-\frac{t^2}{2!} + \frac{t^4}{4!} -\frac{t^6}{6!}+\dots
+=
+\sum_{k=0}^\infty (-1)^k\frac{t^{2k}}{(2k)!}.
+\intertext{Auf die gleiche Art findet man für die Sinus-Funktion}
+\sin t
+=
+\frac{y_+(t)-y_-(t)}{2i}
+&=
+t-\frac{t^3}{3!} + \frac{t^5}{5!} - \frac{t^7}{t!} + \dots
+=
+\sum_{k=0}^\infty (-1)^k \frac{t^{2k+1}}{(2k+1)!}.
+\end{align*}
+
+\subsubsection{Hyperbolische Funktionen}
+
+
+
+
 
-\subsubsection{Lineare Differentialgleichung erster Ordnung mit konstanten Koeffizienten}
 
-\subsubsection{Lineare Differentialgleichungen zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten}