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author | Andreas Müller <andreas.mueller@ost.ch> | 2021-11-25 08:38:34 +0100 |
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committer | Andreas Müller <andreas.mueller@ost.ch> | 2021-11-25 08:38:34 +0100 |
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diff --git a/buch/chapters/050-differential/chapter.tex b/buch/chapters/050-differential/chapter.tex index 1cfc1dd..f8b0dc3 100644 --- a/buch/chapters/050-differential/chapter.tex +++ b/buch/chapters/050-differential/chapter.tex @@ -9,6 +9,55 @@ \label{buch:chapter:differential}} \lhead{Differentialgleichungen} \rhead{} +Allgemeine Sätze über die Existenz und Eindeutigkeit der Lösungen +gewöhnlicher Differentialgleichungen garantieren für fast jeder +einigermassen vernünftige Gleichung mindestens für kurze Zeit +eine eindeutige Lösung für fast jede Anfangsbedingung. +Die Konstruktion solcher Lösungen stellt sich jedoch als deutlich +schwieriger heraus. + +Für einzelne Kategorien von Differentialgleichungen sind +gut funktionierende Lösungsverfahren gefunden worden, zum Beispiel +für lineare Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten. +Damit konnten auch Gleichungen gelöst werden, die sich zum Beispiel +durch eine Variablentransformation auf eine lineare Differentialgleichung +mit konstanten Koeffizienten reduzieren lassen, wie die Eulersche +Differentialgleichung. + +Die Methode der Separation der Variablen liefert führt die Lösung +einer Differentialgleichung erster Ordnung auf die Bestimmung +zweier Stammfunktionen und deren Invertierung zurück. +Dieses Verfahren ist jedoch nicht auf Vektordifferentialgleichungen +oder auf Differentialgleichungen höherer Ordnung verallgemeinerungsfähig. + +Daneben gibt es eine Reihe von ``Spezialfällen'' wie die +Clairaut-Differentialgleichung oder die damit verwandte +Lagrangesche Differentialgleichung, deren Lösung eine sehr +spezielle Form haben. + +Sehr viele Differentialgleichungen in den Anwendungen können aber +mit keinem der genannten Verfahren gelöst werden. +Hier bleibt nichts anderes übrig, als neue spezielle Funktionen +zu definieren, die Lösungen dieser Differentialgleichungen sind. +Dabei ist man bestrebt, möglichst universell einsetzbare Funktionen +zu definieren, die ein breites Anwendungsfeld haben. + +In den folgenden Abschnitten wird zunächst gezeigt, dass viele +der bereits bekannten speziellen Funktionen ebenfalls als Lösungen +gewöhnlicher Differentialgleichungen erhalten werden können. +Die numerische Lösung gewöhnlicher Differentialgleichungen ist +oft keine effizientes Vorgehen zur Bestimmung von einzelnen Werten, +daher wird in +Abschnitt~\ref{buch:differentialgleichungen:section:potenzreihenmethode} +eine universelle Methode vorgestellt, mit der eine Potenzreihenentwicklung +gefunden werden kann. +Eine Potenzreihendarstellung ermöglicht nicht nur die Berechnung +einzelner Werte, sondern auch beliebiger Ableitungen und die +analytische Untersuchung der Funktion mit den Methoden der +komplexen Analysis. +Als Beispiel für dieses Verfahren werden in +Abschnitt~\ref{buch:differntialgleichungen:section:bessel} +die Bessel-Funktionen erster Art vorgestellt. \input{chapters/050-differential/beispiele.tex} \input{chapters/050-differential/potenzreihenmethode.tex} |