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 \label{buch:chapter:differential}}
 \lhead{Differentialgleichungen}
 \rhead{}
+Allgemeine Sätze über die Existenz und Eindeutigkeit der Lösungen
+gewöhnlicher Differentialgleichungen garantieren für fast jeder 
+einigermassen vernünftige Gleichung mindestens für kurze Zeit
+eine eindeutige Lösung für fast jede Anfangsbedingung.
+Die Konstruktion solcher Lösungen stellt sich jedoch als deutlich
+schwieriger heraus.
+
+Für einzelne Kategorien von Differentialgleichungen sind 
+gut funktionierende Lösungsverfahren gefunden worden, zum Beispiel
+für lineare Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten.
+Damit konnten auch Gleichungen gelöst werden, die sich zum Beispiel
+durch eine Variablentransformation auf eine lineare Differentialgleichung
+mit konstanten Koeffizienten reduzieren lassen, wie die Eulersche
+Differentialgleichung.
+
+Die Methode der Separation der Variablen liefert führt die Lösung
+einer Differentialgleichung erster Ordnung auf die Bestimmung 
+zweier Stammfunktionen und deren Invertierung zurück.
+Dieses Verfahren ist jedoch nicht auf Vektordifferentialgleichungen
+oder auf Differentialgleichungen höherer Ordnung verallgemeinerungsfähig.
+
+Daneben gibt es eine Reihe von ``Spezialfällen'' wie die
+Clairaut-Differentialgleichung oder die damit verwandte
+Lagrangesche Differentialgleichung, deren Lösung eine sehr
+spezielle Form haben.
+
+Sehr viele Differentialgleichungen in den Anwendungen können aber
+mit keinem der genannten Verfahren gelöst werden.
+Hier bleibt nichts anderes übrig, als neue spezielle Funktionen
+zu definieren, die Lösungen dieser Differentialgleichungen sind.
+Dabei ist man bestrebt, möglichst universell einsetzbare Funktionen
+zu definieren, die ein breites Anwendungsfeld haben.
+
+In den folgenden Abschnitten wird zunächst gezeigt, dass viele
+der bereits bekannten speziellen Funktionen ebenfalls als Lösungen
+gewöhnlicher Differentialgleichungen erhalten werden können.
+Die numerische Lösung gewöhnlicher Differentialgleichungen ist
+oft keine effizientes Vorgehen zur Bestimmung von einzelnen Werten,
+daher wird in
+Abschnitt~\ref{buch:differentialgleichungen:section:potenzreihenmethode}
+eine universelle Methode vorgestellt, mit der eine Potenzreihenentwicklung
+gefunden werden kann.
+Eine Potenzreihendarstellung ermöglicht nicht nur die Berechnung
+einzelner Werte, sondern auch beliebiger Ableitungen und die
+analytische Untersuchung der Funktion mit den Methoden der
+komplexen Analysis.
+Als Beispiel für dieses Verfahren werden in
+Abschnitt~\ref{buch:differntialgleichungen:section:bessel}
+die Bessel-Funktionen erster Art vorgestellt.
 
 \input{chapters/050-differential/beispiele.tex}
 \input{chapters/050-differential/potenzreihenmethode.tex}