diff options
author | Nicolas Tobler <nicolas.tobler@ost.ch> | 2022-05-30 00:06:46 +0200 |
---|---|---|
committer | Nicolas Tobler <nicolas.tobler@ost.ch> | 2022-05-30 00:06:46 +0200 |
commit | 65a3fc106c36dfd1750f8caf8b3d1b5fb0fe71f9 (patch) | |
tree | 30791dc17973690a6d761589de357c452ba9fa29 /buch/chapters/070-orthogonalitaet/gaussquadratur.tex | |
parent | Added content, presentation (diff) | |
parent | beispiel korrektur (diff) | |
download | SeminarSpezielleFunktionen-65a3fc106c36dfd1750f8caf8b3d1b5fb0fe71f9.tar.gz SeminarSpezielleFunktionen-65a3fc106c36dfd1750f8caf8b3d1b5fb0fe71f9.zip |
Merge branch 'master' of https://github.com/AndreasFMueller/SeminarSpezielleFunktionen
Diffstat (limited to 'buch/chapters/070-orthogonalitaet/gaussquadratur.tex')
-rw-r--r-- | buch/chapters/070-orthogonalitaet/gaussquadratur.tex | 16 |
1 files changed, 9 insertions, 7 deletions
diff --git a/buch/chapters/070-orthogonalitaet/gaussquadratur.tex b/buch/chapters/070-orthogonalitaet/gaussquadratur.tex index 55f9700..2e43cec 100644 --- a/buch/chapters/070-orthogonalitaet/gaussquadratur.tex +++ b/buch/chapters/070-orthogonalitaet/gaussquadratur.tex @@ -135,12 +135,12 @@ p(x)&=x^2\colon& \frac23 &= A_0x_0^2 + A_1x_1^2\\ p(x)&=x^3\colon& 0 &= A_0x_0^3 + A_1x_1^3. \end{aligned} \] -Dividiert man die zweite und vierte Gleichung in der Form +Dividiert man die vierte durch die zweite Gleichung in der Form \[ \left. \begin{aligned} -A_0x_0 &= -A_1x_1\\ -A_0x_0^2 &= -A_1x_1^2 +A_0x_0^3 &= -A_1x_1^3 &\qquad&\text{(vierte Gleichung)}\\ +A_0x_0 &= -A_1x_1 &\qquad&\text{(zweite Gleichung)} \end{aligned} \quad \right\} @@ -155,7 +155,7 @@ x_1=-x_0. \] Indem wir dies in die zweite Gleichung einsetzen, finden wir \[ -0 = A_0x_0 + A_1x_1 = A_0x_1 -A_1x_0 = (A_0-A_1)x_0 +0 = A_0x_0 + A_1x_1 = A_0x_0 -A_1x_0 = (A_0-A_1)x_0 \quad\Rightarrow\quad A_0=A_1. \] @@ -263,7 +263,7 @@ werden können, muss auch = \int_{-1}^1 q(x)p(x)\,dx = -\sum_{i=0}^n q(x_i)p(x_i) +\sum_{i=0}^n A_iq(x_i)p(x_i) \] für jedes beliebige Polynom $q\in R_{n-1}$ gelten. Da man für $q$ die Interpolationspolynome $l_j(x)$ verwenden @@ -272,9 +272,11 @@ kann, den Grad $n-1$ haben, folgt 0 = \sum_{i=0}^n -l_j(x_i)p(x_i) +A_il_j(x_i)p(x_i) = -\sum_{i=0}^n \delta_{ij}p(x_i), +\sum_{i=0}^n A_i\delta_{ij}p(x_i) += +A_jp(x_j), \] die Stützstellen $x_i$ müssen also die Nullstellen des Polynoms $p(x)$ sein. |