Merge branch 'master' of https://github.com/AndreasFMueller/SeminarSpezielleFunktionen

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diff --git a/buch/chapters/000-einleitung/Makefile.inc b/buch/chapters/000-einleitung/Makefile.inc
index a870448..5840050 100644
--- a/buch/chapters/000-einleitung/Makefile.inc
+++ b/buch/chapters/000-einleitung/Makefile.inc
@@ -4,5 +4,5 @@
 # (c) 2022 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
 #
 
-CHAPTERFILES = $(CHAPTERFILES)						\
+CHAPTERFILES += 							\
 	chapters/000-einleitung/chapter.tex
diff --git a/buch/chapters/010-potenzen/Makefile.inc b/buch/chapters/010-potenzen/Makefile.inc
index a4505cb..27ccdae 100644
--- a/buch/chapters/010-potenzen/Makefile.inc
+++ b/buch/chapters/010-potenzen/Makefile.inc
@@ -4,7 +4,7 @@
 # (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
 #
 
-CHAPTERFILES = $(CHAPTERFILES)						\
+CHAPTERFILES += 							\
 	chapters/010-potenzen/loesbarkeit.tex				\
 	chapters/010-potenzen/polynome.tex				\
 	chapters/010-potenzen/tschebyscheff.tex				\
diff --git a/buch/chapters/020-exponential/Makefile.inc b/buch/chapters/020-exponential/Makefile.inc
index d6b3c7f..4d8f58b 100644
--- a/buch/chapters/020-exponential/Makefile.inc
+++ b/buch/chapters/020-exponential/Makefile.inc
@@ -4,7 +4,7 @@
 # (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
 #
 
-CHAPTERFILES = $(CHAPTERFILES)						\
+CHAPTERFILES += 							\
 	chapters/020-exponential/zins.tex				\
 	chapters/020-exponential/log.tex				\
 	chapters/020-exponential/lambertw.tex				\
diff --git a/buch/chapters/030-geometrie/Makefile.inc b/buch/chapters/030-geometrie/Makefile.inc
index 0bf775f..d4940dc 100644
--- a/buch/chapters/030-geometrie/Makefile.inc
+++ b/buch/chapters/030-geometrie/Makefile.inc
@@ -4,7 +4,7 @@
 # (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
 #
 
-CHAPTERFILES = $(CHAPTERFILES)						\
+CHAPTERFILES += 							\
 	chapters/030-geometrie/trigonometrisch.tex			\
 	chapters/030-geometrie/sphaerisch.tex				\
 	chapters/030-geometrie/hyperbolisch.tex				\
diff --git a/buch/chapters/040-rekursion/Makefile.inc b/buch/chapters/040-rekursion/Makefile.inc
index c5887f7..cd54c80 100644
--- a/buch/chapters/040-rekursion/Makefile.inc
+++ b/buch/chapters/040-rekursion/Makefile.inc
@@ -4,9 +4,12 @@
 # (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
 #
 
-CHAPTERFILES = $(CHAPTERFILES)						\
+CHAPTERFILES += 							\
 	chapters/040-rekursion/gamma.tex				\
+	chapters/040-rekursion/bohrmollerup.tex				\
+	chapters/040-rekursion/integral.tex				\
 	chapters/040-rekursion/beta.tex					\
+	chapters/040-rekursion/betaverteilung.tex			\
 	chapters/040-rekursion/linear.tex				\
 	chapters/040-rekursion/hypergeometrisch.tex			\
 	chapters/040-rekursion/uebungsaufgaben/401.tex			\
diff --git a/buch/chapters/040-rekursion/beta.tex b/buch/chapters/040-rekursion/beta.tex
index ea847bc..ff59bad 100644
--- a/buch/chapters/040-rekursion/beta.tex
+++ b/buch/chapters/040-rekursion/beta.tex
@@ -3,11 +3,17 @@
 %
 % (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
 %
-\subsection{Die Beta-Funktion
-\label{buch:rekursion:gamma:subsection:beta}}
+\section{Die Beta-Funktion
+\label{buch:rekursion:gamma:section:beta}}
 Die Eulersche Integralformel für die Gamma-Funktion in
-Definition~\ref{buch:rekursion:def:gamma} wurde bisher nicht
-gerechtfertigt.
+Definition~\ref{buch:rekursion:def:gamma} wurde in
+Abschnitt~\ref{buch:subsection:integral-eindeutig}
+mit dem Satz von Mollerup gerechtfertigt.
+Man kann Sie aber auch als Grenzfall der Beta-Funktion verstehen,
+die in diesem Abschnitt dargestellt wird.
+
+
+\subsection{Beta-Integral}
 In diesem Abschnitt wird das Beta-Integral eingeführt, eine Funktion
 von zwei Variablen, welches eine Integral-Definition mit einer
 reichaltigen Menge von Rekursionsbeziehungen hat, die sich direkt auf
@@ -233,6 +239,16 @@ B(x,y) = \frac{\Gamma(x)\Gamma(y)}{\Gamma(x+y)}
 berechnet werden.
 \end{satz}
 
+%
+% Info über die Beta-Verteilung
+%
+\input{chapters/040-rekursion/betaverteilung.tex}
+
+\subsection{Weitere Eigenschaften der Gamma-Funktion}
+Die nahe Verwandtschaft der Gamma- mit der Beta-Funktion ermöglicht
+nun, weitere Eigenschaften der Gamma-Funktion mit Hilfe der Beta-Funktion
+herzuleiten.
+
 \subsubsection{Nochmals der Wert von $\Gamma(\frac12)$?}
 Der Wert von $\Gamma(\frac12)=\sqrt{\pi}$ wurde bereits in
 \eqref{buch:rekursion:gamma:wert12}
@@ -484,83 +500,3 @@ Setzt man $x=\frac12$ in die Verdoppelungsformel ein, erhält man
 in Übereinstimmung mit dem aus \eqref{buch:rekursion:gamma:gamma12}
 bereits bekannten Wert.
 
-\subsubsection{Beta-Funktion und Binomialkoeffizienten}
-Die Binomialkoeffizienten können mit Hilfe der Fakultät als
-\begin{align*}
-\binom{n}{k}
-&=
-\frac{n!}{(n-k)!\,k!}
-\intertext{geschrieben werden.
-Drückt man die Fakultäten durch die Gamma-Funktion aus, erhält man}
-&=
-\frac{\Gamma(n+1)}{\Gamma(n-k+1)\Gamma(k+1)}.
-\intertext{Schreibt man $x=k-1$ und $y=n-k+1$, wird daraus 
-wegen $x+y=k+1+n-k+1=n+2=(n+1)+1$}
-&=
-\frac{\Gamma(x+y-1)}{\Gamma(x)\Gamma(y)}.
-\intertext{Die Rekursionsformel für die Gamma-Funktion erlaubt,
-den Zähler umzuwandeln in $\Gamma(x+y-1)=\Gamma(x+y)/(x+y-1)$, so dass
-der Binomialkoeffizient schliesslich}
-&=
-\frac{\Gamma(x+y)}{(x+y-1)\Gamma(x)\Gamma(y)}
-=
-\frac{1}{(n-1)B(n-k+1,k+1)}
-\label{buch:rekursion:gamma:binombeta}
-\end{align*}
-geschrieben werden kann.
-Die Rekursionsbeziehung
-\[
-\binom{n+1}{k} = \binom{n}{k-1} + \binom{n}{k}
-\]
-der Binomialkoeffizienten erzeugt das vertraute Pascal-Dreieck,
-die Formel \eqref{buch:rekursion:gamma:binombeta} für die
-Binomialkoeffizienten macht daraus
-\[
-\frac{n-1}{B(n-k,k-1)}
-=
-\frac{n-2}{B(n-k,k-2)}
-+
-\frac{n-2}{B(n-k-1,k-1)},
-\]
-die für ganzzahlige Argumente gilt.
-Wir wollen nachrechnen, dass dies für beliebige Argumente gilt.
-\begin{align*}
-\frac{(n-1)\Gamma(n-1)}{\Gamma(n-k)\Gamma(k-1)}
-&=
-\frac{(n-2)\Gamma(n-2)}{\Gamma(n-k)\Gamma(k-2)}
-+
-\frac{(n-2)\Gamma(n-2)}{\Gamma(n-k-1)\Gamma(k-1)}
-\\
-\frac{\Gamma(n)}{\Gamma(n-k)\Gamma(k-1)}
-&=
-\frac{\Gamma(n-1)}{\Gamma(n-k)\Gamma(k-2)}
-+
-\frac{\Gamma(n-1)}{\Gamma(n-k-1)\Gamma(k-1)}
-\intertext{Durch Zusammenfassen der Faktoren im Zähler mit Hilfe
-der Rekursionsformel für die Gamma-Funktion und Multiplizieren
-mit dem gemeinsamen Nenner
-$\Gamma(n-k)\Gamma(k-1)=(n-k-1)\Gamma(n-k-1)(k-2)\Gamma(k-2)$ wird daraus}
-\Gamma(n)
-&=
-(k-2)
-\Gamma(n-1)
-+
-(n-k-1)
-\Gamma(n-1)
-\intertext{Indem wir die Rekursionsformel für die Gamma-Funktion auf
-die rechte Seite anwenden können wir erreichen, dass in allen Termen
-ein Faktor
-$\Gamma(n-1)$ auftritt:}
-(n-1)\Gamma(n-1)
-&=
-(k-2)\Gamma(n-1)
-+
-(n+k-1)\Gamma(n-1)
-\\
-n-1
-&=
-k-2
-+
-n-k-1
-\end{align*}
-
diff --git a/buch/chapters/040-rekursion/betaverteilung.tex b/buch/chapters/040-rekursion/betaverteilung.tex
new file mode 100644
index 0000000..979d04c
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/040-rekursion/betaverteilung.tex
@@ -0,0 +1,487 @@
+%
+% teil1.tex -- Beispiel-File für das Paper
+%
+% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
+%
+\subsection{Ordnungsstatistik und Beta-Funktion
+\label{buch:rekursion:ordnung:section:ordnungsstatistik}}
+\rhead{Ordnungsstatistik und Beta-Funktion}
+In diesem Abschnitt ist $X$ eine Zufallsvariable mit der Verteilungsfunktion
+$F_X(x)$, und $X_i$, $1\le i\le n$ sei ein Stichprobe von unabhängigen
+Zufallsvariablen, die wie $X$ verteilt sind.
+Ziel ist, die Verteilungsfunktion und die Wahrscheinlichkeitsdichte
+des grössten, zweitgrössten, $k$-t-grössten Wertes in der Stichprobe
+zu finden.
+Wir schreiben $[n]=\{1,\dots,n\}$ für die Menge der natürlichen
+Zahlen von zwischen $1$ und $n$.
+
+\subsubsection{Verteilung von $\operatorname{max}(X_1,\dots,X_n)$ und
+$\operatorname{min}(X_1,\dots,X_n)$
+\label{buch:rekursion:ordnung:subsection:minmax}}
+Die Verteilungsfunktion von $\operatorname{max}(X_1,\dots,X_n)$ hat
+den Wert
+\begin{align*}
+F_{\operatorname{max}(X_1,\dots,X_n)}(x)
+&=
+P(\operatorname{max}(X_1,\dots,X_n) \le x)
+\\
+&=
+P(X_1\le x\wedge \dots \wedge X_n\le x)
+\\
+&=
+P(X_1\le x) \cdot \ldots \cdot P(X_n\le x)
+\\
+&=
+P(X\le x)^n
+=
+F_X(x)^n.
+\end{align*}
+Für die Gleichverteilung ist
+\[
+F_{\text{equi}}(x)
+=
+\begin{cases}
+0&\qquad x< 0
+\\
+x&\qquad 0\le x\le 1
+\\
+1&\qquad 1<x.
+\end{cases}
+\]
+In diesem Fall ist Verteilung des Maximums
+\[
+F_{\operatorname{max}(X_1,\dots,X_n)}(x)
+=
+\begin{cases}
+0&\qquad x<0\\
+x^n&\qquad 0\le x\le 1\\
+1&\qquad 1 < x.
+\end{cases}
+\]
+Mit der zugehörigen Wahrscheinlichkeitsdichte
+\[
+\varphi_{\operatorname{max}(X_1,\dots,X_n)}
+=
+\frac{d}{dx}
+F_{\operatorname{max}(X_1,\dots,X_n)}(x)
+=
+\begin{cases}
+nx^{n-1}&\qquad 0\le x\le 1\\
+0       &\qquad \text{sonst}
+\end{cases}
+\]
+kann man zum Beispiel den Erwartungswert
+\[
+E(\operatorname{max}(X_1,\dots,X_n))
+=
+\int_{-\infty}^\infty 
+x
+\varphi_{\operatorname{X_1,\dots,X_n}}(x)
+\,dx
+=
+\int_{0}^1 x\cdot nx^{n-1}\,dt
+=
+\biggl[
+\frac{n}{n+1}x^{n+1}
+\biggr]_0^1
+=
+\frac{n}{n+1}
+\]
+berechnen.
+
+Ganz analog kann man auch die Verteilungsfunktion von
+$\operatorname{min}(X_1,\dots,X_n)$ bestimmen.
+Sie ist
+\begin{align*}
+F_{\operatorname{min}(X_1,\dots,X_n)}(x)
+&=
+P(x\le X_1\vee \dots \vee x\le X_n)
+\\
+&=
+1-
+P(x > X_1\wedge \dots \wedge x > X_n)
+\\
+&=
+1-
+(1-P(x\le X_1)) \cdot\ldots\cdot (1-P(x\le X_n))
+\\
+&=
+1-(1-F_X(x))^n,
+\end{align*}
+Im Speziellen für im Intervall $[0,1]$ gleichverteilte $X_i$ ist die
+Verteilungsfunktion des Minimums
+\[
+F_{\operatorname{min}(X_1,\dots,X_n)}(x)
+=
+\begin{cases}
+0        &\qquad x<0        \\
+1-(1-x)^n&\qquad 0\le x\le 1\\
+1        &\qquad 1 < x
+\end{cases}
+\]
+mit Wahrscheinlichkeitsdichte
+\[
+\varphi_{\operatorname{min}(X_1,\dots,X_n)}
+=
+\frac{d}{dx}
+F_{\operatorname{min}(X_1,\dots,X_n)}
+=
+\begin{cases}
+n(1-x)^{n-1}&\qquad 0\le x\le 1\\
+0           &\qquad \text{sonst}
+\end{cases}
+\]
+und Erwartungswert
+\begin{align*}
+E(\operatorname{min}(X_1,\dots,X_n)
+&=
+\int_{-\infty}^\infty x\varphi_{\operatorname{min}(X_1,\dots,X_n)}(x)\,dx
+=
+\int_0^1 x\cdot n(1-x)^{n-1}\,dx
+\\
+&=
+\bigl[ -x(1-x)^n \bigr]_0^1 + \int_0^1 (1-x)^n\,dx
+=
+\biggl[
+-
+\frac{1}{n+1}
+(1-x)^{n+1}
+\biggr]_0^1
+=
+\frac{1}{n+1}.
+\end{align*}
+Es ergibt sich daraus als natürlich Verallgemeinerung die Frage nach
+der Verteilung des zweitegrössten oder zweitkleinsten Wertes unter den
+Werten $X_i$.
+
+\subsubsection{Der $k$-t-grösste Wert}
+Sie wieder $X_i$ eine Stichprobe von $n$ unabhängigen wie $X$ verteilten
+Zufallsvariablen.
+Diese werden jetzt der Grösse nach sortiert, die sortierten Werte werden
+mit
+\[
+X_{1:n} \le X_{2:n} \le \dots \le X_{(n-1):n} \le X_{n:n}
+\]
+bezeichnet.
+Die Grössen $X_{k:n}$ sind Zufallsvariablen, sie heissen die $k$-ten
+Ordnungsstatistiken.
+Die in Abschnitt~\ref{buch:rekursion:ordnung:subsection:minmax} behandelten Zufallsvariablen
+$\operatorname{min}(X_1,\dots,X_n)$
+und
+$\operatorname{max}(X_1,\dots,X_n)$
+sind die Fälle
+\begin{align*}
+X_{1:n} &= \operatorname{min}(X_1,\dots,X_n) \\
+X_{n:n} &= \operatorname{max}(X_1,\dots,X_n).
+\end{align*}
+
+Um den Wert der Verteilungsfunktion von $X_{k:n}$ zu berechnen, müssen wir 
+die Wahrscheinlichkeit bestimmen, dass $k$ der $n$ Werte $X_i$ $x$ nicht
+übersteigen.
+Der $k$-te Wert $X_{k:n}$ übersteigt genau dann $x$ nicht, wenn
+mindestens $k$ der Zufallswerte $X_i$ $x$ nicht übersteigen, also
+\[
+P(X_{k:n} \le x)
+=
+P\left(
+|\{i\in[n]\,|\, X_i\le x\}| \ge k
+\right).
+\]
+
+Das Ereignis $\{X_i\le x\}$ ist eine Bernoulli-Experiment, welches mit
+Wahrscheinlichkeit $F_X(x)$ eintritt.
+Die Anzahl der Zufallsvariablen $X_i$, die $x$ übertreffen, ist also
+Binomialverteilt mit $p=F_X(x)$.
+Damit haben wir gefunden, dass mit Wahrscheinlichkeit
+\begin{equation}
+F_{X_{k:n}}(x)
+=
+P(X_{k:n}\le x)
+=
+\sum_{i=k}^n \binom{n}{i}F_X(x)^i (1-F_X(x))^{n-i}
+\label{buch:rekursion:ordnung:eqn:FXkn}
+\end{equation}
+mindestens $k$ der Zufallsvariablen den Wert $x$ überschreiten.
+
+\subsubsection{Wahrscheinlichkeitsdichte der Ordnungsstatistik}
+Die Wahrscheinlichkeitsdichte der Ordnungsstatistik kann durch Ableitung
+von \eqref{buch:rekursion:ordnung:eqn:FXkn} gefunden, werden, sie ist
+\begin{align*}
+\varphi_{X_{k:n}}(x)
+&=
+\frac{d}{dx}
+F_{X_{k:n}}(x)
+\\
+&=
+\sum_{i=k}^n
+\binom{n}{i}
+\bigl(
+iF_X(x)^{i-1}\varphi_X(x) (1-F_X(x))^{n-i}
+-
+F_X(x)^k
+(n-i)
+(1-F_X(x))^{n-i-1}
+\varphi_X(x)
+\bigr)
+\\
+&=
+\sum_{i=k}^n
+\binom{n}{i}
+\varphi_X(x)
+F_X(x)^{i-1}(1-F_X(x))^{n-i-1}
+\bigl(
+iF_X(x)-(n-i)(1-F_X(x))
+\bigr)
+\\
+&=
+\varphi_X(x)
+\biggl(
+\sum_{i=k}^n i\binom{n}{i} F_X(x)^{i-1}(1-F_X(x))^{n-i}
+-
+\sum_{j=k}^n (n-j)\binom{n}{j} F_X(x)^{j}(1-F_X(x))^{n-j-1}
+\biggr)
+\\
+&=
+\varphi_X(x)
+\biggl(
+\sum_{i=k}^n i\binom{n}{i} F_X(x)^{i-1}(1-F_X(x))^{n-i}
+-
+\sum_{i=k+1}^{n+1} (n-i+1)\binom{n}{i-1} F_X(x)^{i-1}(1-F_X(x))^{n-i}
+\biggr)
+\\
+&=
+\varphi_X(x)
+\biggl(
+k\binom{n}{k}F_X(x)^{k-1}(1-F_X(x))^{n-k}
++
+\sum_{i=k+1}^{n+1}
+\left(
+i\binom{n}{i} 
+-
+(n-i+1)\binom{n}{i-1}
+\right)
+F_X(x)^{i-1}(1-F_X(x))^{n-i}
+\biggr)
+\end{align*}
+Mit den wohlbekannten Identitäten für die Binomialkoeffizienten
+\begin{align*}
+i\binom{n}{i} 
+-
+(n-i+1)\binom{n}{i-1}
+&=
+n\binom{n-1}{i-1}
+-
+n
+\binom{n-1}{i-1}
+=
+0
+\end{align*}
+folgt jetzt
+\begin{align*}
+\varphi_{X_{k:n}}(x)
+&=
+\varphi_X(x)k\binom{n}{k} F_X(x)^{k-1}(1-F_X(x))^{n-k}(x).
+\intertext{Im Speziellen für gleichverteilte Zufallsvariablen $X_i$ ist
+}
+\varphi_{X_{k:n}}(x)
+&=
+k\binom{n}{k} x^{k-1}(1-x)^{n-k}.
+\end{align*}
+Dies ist die Wahrscheinlichkeitsdichte einer Betaverteilung
+\[
+\beta(k,n-k+1)(x)
+=
+\frac{1}{B(k,n-k+1)}
+x^{k-1}(1-x)^{n-k}.
+\]
+Tatsächlich ist die Normierungskonstante 
+\begin{align}
+\frac{1}{B(k,n-k+1)}
+&=
+\frac{\Gamma(n+1)}{\Gamma(k)\Gamma(n-k+1)}
+=
+\frac{n!}{(k-1)!(n-k)!}.
+\label{buch:rekursion:ordnung:betaverteilung:normierung1}
+\end{align}
+Andererseits ist
+\[
+k\binom{n}{k}
+=
+k\frac{n!}{k!(n-k)!}
+=
+\frac{n!}{(k-1)!(n-k)!},
+\]
+in Übereinstimmung mit~\eqref{buch:rekursion:ordnung:betaverteilung:normierung1}.
+Die Verteilungsfunktion und die Wahrscheinlichkeitsdichte der
+Ordnungsstatistik sind in Abbildung~\ref{buch:rekursion:ordnung:fig:order} dargestellt.
+
+\begin{figure}
+\centering
+\includegraphics{chapters/040-rekursion/images/order.pdf}
+\caption{Verteilungsfunktion und Wahrscheinlichkeitsdichte der
+Ordnungsstatistiken $X_{k:n}$ einer gleichverteilung Zuvallsvariable
+mit $n=10$.
+\label{buch:rekursion:ordnung:fig:order}}
+\end{figure}
+
+%
+% Die Beta-Funktion
+%
+\subsection{Die Beta-Verteilung
+\label{buch:rekursion:subsection:beta-verteilung}}
+Die Wahrscheinlichkeitsdichte, die im
+Abschnitt~\ref{buch:rekursion:ordnung:section:ordnungsstatistik}
+gefunden worden ist, ist nicht nur für ganzzahlige Exponenten
+definiert.
+
+\begin{figure}
+\centering
+\includegraphics[width=0.92\textwidth]{chapters/040-rekursion/images/beta.pdf}
+\caption{Wahrscheinlichkeitsdichte der Beta-Verteilung
+$\beta(a,b,x)$
+für verschiedene Werte der Parameter $a$ und $b$.
+Die Werte des Parameters für einen Graphen einer Beta-Verteilung
+sind im kleinen Quadrat rechts im Graphen
+als Punkt mit der gleichen Farbe dargestellt.
+\label{buch:rekursion:ordnung:fig:betaverteilungn}}
+\end{figure}
+
+\begin{definition}
+Die Beta-Verteilung ist die Verteilung mit der Wahrscheinlichkeitsdichte
+\[
+\beta_{a,b}(x)
+=
+\begin{cases}
+\displaystyle
+\frac{1}{B(a,b)}
+x^{a-1}(1-x)^{b-1}&\qquad 0\le x \le 1\\
+0&\qquad\text{sonst.}
+\end{cases}
+\]
+\end{definition}
+
+Die Beta-Funktion ist also die Normierungskonstante der Beta-Verteilung.
+Die wichtigsten Kennzahlen der Beta-Verteilung wie Erwartungswert und
+Varianz lassen sich alle ebenfalls als Werte der Beta-Funktion ausdrücken.
+
+\subsubsection{Erwartungswert}
+Mit der Wahrscheinlichkeitsdichte kann man jetzt auch den Erwartungswerte
+der $k$-ten Ordnungsstatistik bestimmen.
+Die Rechnung ergibt:
+\begin{align*}
+E(X_{k:n})
+&=
+\int_0^1 x\cdot k\binom{n}{k} x^{k-1}(1-x)^{n-k}\,dx
+=
+k
+\binom{n}{k}
+\int_0^1
+x^{k}(1-x)^{n-k}\,dx.
+\intertext{Dies ist das Beta-Integral}
+&=
+k\binom{n}{k}
+B(k+1,n-k+1)
+\intertext{welches man durch Gamma-Funktionen bzw.~durch Fakultäten wie in}
+&=
+k\frac{n!}{k!(n-k)!}
+\frac{\Gamma(k+1)\Gamma(n-k+1)}{n+2}
+=
+k\frac{n!}{k!(n-k)!}
+\frac{k!(n-k)!}{(n+1)!}
+=
+\frac{k}{n+1}
+\end{align*}
+ausdrücken kann.
+Die Erwartungswerte haben also regelmässige Abstände, sie sind in
+Abbildung~\ref{buch:rekursion:ordnung:fig:order} als blaue vertikale Linien eingezeichnet.
+
+Für die Beta-Verteilung lässt sich die Rechnung noch allgemeiner 
+durchführen.
+Der Erwartungswert einer $\beta_{a,b}$-verteilten Zufallsvariablen $X$
+ist
+\begin{align*}
+E(X)
+&=
+\int_0^1 x \beta_{a,b}(x)\,dx
+=
+\frac{1}{B(a,b)}
+\int_0^1 x\cdot x^{a-1}(1-x)^{b-1}\,dx
+=
+\frac{B(a+1,b)}{B(a,b)}
+=
+\frac{a}{a+b}.
+\end{align*}
+Durch Einsetzen von $a=k+1$ und $b=n-k+1$ lassen sich die für die
+Ordnungsstatistik berechneten Werte wiederfinden.
+
+\subsubsection{Varianz}
+Auch die Varianz lässt sich einfach berechnen, dazu muss zunächst
+der Erwartungswert von $X_{k:n}^2$ bestimmt werden.
+Er ist
+\begin{align*}
+E(X_{k:n}^2)
+&=
+\int_0^1 x^2\cdot k\binom{n}{k} x^{k-1}(1-x)^{n-k}\,dx
+=
+k
+\binom{n}{k}
+\int_0^1
+x^{k+1}(1-x)^{n-k}\,dx.
+\intertext{Auch dies ist ein Beta-Integral, nämlich}
+&=
+k\binom{n}{k}
+B(k+2,n-k+1)
+=
+k\frac{n!}{k!(n-k)!}
+\frac{(k+1)!(n-k)!}{(n+2)!}
+=
+\frac{k(k+1)}{(n+1)(n+2)}.
+\end{align*}
+Die Varianz wird damit
+\begin{align}
+\operatorname{var}(X_{k:n})
+&=
+E(X_{k:n}^2) - E(X_{k:n})^2
+\notag
+\\
+&
+=
+\frac{k(k+1)}{(n+1)(n+2)}-\frac{k^2}{(n+1)^2}
+=
+\frac{k(k+1)(n+1)-k^2(n+2)}{(n+1)^2(n+2)}
+=
+\frac{k(n-k+1)}{(n+1)^2(n+2)}.
+\label{buch:rekursion:ordnung:eqn:ordnungsstatistik:varianz}
+\end{align}
+In Abbildung~\ref{buch:rekursion:ordnung:fig:order} ist die Varianz der
+Ordnungsstatistik $X_{k:n}$ für $k=7$ und $n=10$ als oranges
+Rechteck dargestellt.
+
+Auch die Varianz kann ganz allgemein für die Beta-Verteilung
+bestimmt werden.
+Dazu berechnen wir zunächst
+\begin{align*}
+E(X^2)
+&=
+\frac{1}{B(a,b)}
+\int_0^1
+x^2\cdot x^{a-1}(1-y)^{b-1}\,dx
+=
+\frac{B(a+2,b)}{B(a,b)}.
+\end{align*}
+Daraus folgt dann 
+\[
+\operatorname{var}(X)
+=
+E(X^2)-E(X)^2
+=
+\frac{B(a+2,b)B(a,b)-B(a+1,b)^2}{B(a,b)^2}.
+\]
+
+Die Formel~\eqref{buch:rekursion:ordnung:eqn:ordnungsstatistik:varianz}
+besagt auch, dass die Varianz der proportional ist zu $k((n+1)-k)$.
+Dieser Ausdruck ist am grössten für $k=(n+1)/2$, die Varianz ist
+also grösser für die ``mittleren'' Ordnungstatistiken als für die
+extremen $X_{1:n}=\operatorname{min}(X_1,\dots,X_n)$ und
+$X_{n:n}=\operatorname{max}(X_1,\dots,X_n)$.
+
diff --git a/buch/chapters/040-rekursion/bohrmollerup.tex b/buch/chapters/040-rekursion/bohrmollerup.tex
new file mode 100644
index 0000000..cd9cadc
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/040-rekursion/bohrmollerup.tex
@@ -0,0 +1,196 @@
+%
+% bohrmollerup.tex
+%
+% (c) 2022 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\subsection{Der Satz von Bohr-Mollerup
+\label{buch:rekursion:subsection:bohr-mollerup}}
+Die Integralformel und die Grenzwertdefinition für die Gamma-Funktion
+zeigen beide, dass das Problem der Ausdehnung der Fakultät zu einer
+Funktion $\mathbb{C}\to\mathbb{C}$ eine Lösung hat, aber es ist noch
+nicht klar, in welchem Sinn dies die einzig mögliche Lösung ist.
+Der Satz von Bohr-Mollerup gibt darauf eine Antwort.
+
+\begin{satz}
+\label{buch:satz:bohr-mollerup}
+Eine Funktion $f\colon \mathbb{R}^+\to\mathbb{R}$ mit den Eigenschaften
+\begin{enumerate}[i)]
+\item $f(1)=1$,
+\item $f(x+1)=xf(x)$ für alle $x\in\mathbb{R}^+$ und
+\item die Funktion $\log f(t)$ ist konvex
+\end{enumerate}
+ist die Gamma-Funktion: $f(t)=\Gamma(t)$.
+\end{satz}
+
+Für den Beweis verwenden wir die folgende Eigenschaft einer konvexen
+Funktion $g(x)$.
+Sei
+\begin{equation}
+S(y,x) = \frac{g(y)-g(x)}{y-x}
+\qquad\text{für $y-x$}
+\end{equation}
+die Steigung der Sekante zwischen den Punkten $(x,g(x))$ und $(y,g(y))$
+des Graphen von $g$.
+Da $g$ konvex ist, ist $S(y,x)$ eine monoton wachsende Funktion 
+der beiden Variablen $x$ und $y$, solange $y>x$.
+
+\begin{proof}[Beweis]
+Wir halten zunächst fest, dass die Bedingungen i) und ii) zur Folge haben,
+dass $f(n+1)=n!$ ist für alle positiven natürlichen Zahlen.
+Für die Steigung einer Sekante der Funktion $g(x)=\log f(x)$ kann damit
+für natürliche Argumente bereits berechnet werden, es ist
+\[
+S(n,n+1)
+=
+\frac{\log n! - \log (n-1)!}{n+1-n}
+=
+\frac{\log n + \log (n-1)! - \log(n-1)!}{1}
+=
+\log n
+\]
+und entsprechend auch $S(n-1,n) = \log(n-1)$.
+
+\begin{figure}
+\begin{center}
+\begin{tikzpicture}[>=latex,thick]
+\draw (-6,0) -- (6,0);
+
+\node at (-5,0) [above] {$n-1\mathstrut$};
+\node at (0,0) [above] {$n\mathstrut$};
+\node at (3,0) [above] {$n+x\mathstrut$};
+\node at (5,0) [above] {$n+1\mathstrut$};
+
+\node[color=blue] at (-5,-2.3) {$S(n-1,n)\mathstrut$};
+\node[color=red] at (-1.666,-2.3) {$S(n-1,n+x)\mathstrut$};
+\node[color=darkgreen] at (1.666,-2.3) {$S(n,n+x)\mathstrut$};
+\node[color=orange] at (5,-2.3) {$S(n,n+1)\mathstrut$};
+
+\node at (-3.333,-2.3) {$<\mathstrut$};
+\node at (0,-2.3) {$<\mathstrut$};
+\node at (3.333,-2.3) {$<\mathstrut$};
+
+\draw[color=blue] (-5,0) -- (-5,-2) -- (0,0);
+\draw[color=red] (-5,0) -- (-1.666,-2) -- (3,0);
+\draw[color=darkgreen] (0,0) -- (1.666,-2) -- (3,0);
+\draw[color=orange] (0,0) -- (5,-2) -- (5,0);
+
+\fill (-5,0) circle[radius=0.08];
+\fill (0,0) circle[radius=0.08];
+\fill (3,0) circle[radius=0.08];
+\fill (5,0) circle[radius=0.08];
+
+\draw[double,color=blue] (-5,-2.5) -- (-5,-3.0);
+\draw[double,color=orange] (5,-2.5) -- (5,-3.0);
+
+\node[color=blue] at (-5,-3.3) {$\log (n-1)\mathstrut$};
+\node[color=orange] at (5,-3.3) {$\log (n)\mathstrut$};
+
+\end{tikzpicture}
+\end{center}
+\caption{Für den Beweis des Satzes von Bohr-Mollerup wird die
+Sekantensteigung $S(x,y)$ für die Argumente $n-1$, $n$, $n+x$ und $n+1$
+verwendet.
+\label{buch:rekursion:fig:bohr-mollerup}}
+\end{figure}
+Wir wenden jetzt die eben erwähnte Tatsache, dass $S(x,y)$ monoton
+wachsend ist, auf die Punkte $n-1$, $n$, $n+x$ und $n+1$ wie
+in Abbildung~\ref{buch:rekursion:fig:bohr-mollerup} an, wobei
+$0<x<1$ ist.
+
+Die linke Ungleichung in Abbildung~\ref{buch:rekursion:fig:bohr-mollerup}
+ist
+\begin{align}
+\log(n-1)
+&<
+S(n-1,n+x)
+=
+\frac{\log f(n+x) -\log(n-2)!}{n+x-n+1}
+\notag
+\\
+(x+1)\log(n-1) + \log(n-2)!
+&< \log f(n+x),
+\notag
+\\
+x\log(n-1) + \log(n-1)!
+&< \log f(n+x)
+\label{buch:rekursion:bohr-mollerup:eqn1}
+\intertext{sie schätzt $\log f(n+x)$ nach unten ab.
+Die Exponentialfunktion ist monoton wachsen, wendet man sie auf
+\eqref{buch:rekursion:bohr-mollerup:eqn1} an, erhält man}
+(n-1)^x (n-1)!
+&<
+f(n+x).
+\label{buch:rekursion:bohr-mollerup:ungllinks}
+\end{align}
+Ganz ähnlich folgt aus der Ungleichung rechts in
+Abbildung~\ref{buch:rekursion:fig:bohr-mollerup}
+\begin{align}
+\frac{\log f(n+x)-\log (n-1)!}{n+x-n}
+&< \log n
+\notag
+\\
+\log f(n+x) - \log(n-1)!
+&<
+x \log n
+\notag
+\\
+\log f(n+x) 
+&<
+x\log n + \log(n-1)!
+\notag
+\intertext{und nach Anwendung der Exponentialfunktion}
+f(n+x)
+&<
+n^x (n-1)!
+\label{buch:rekursion:bohr-mollerup:unglrechts}
+\end{align}
+Die Funktion $f(n+x)$ können wir jetzt mit der Funktionalgleichung ii)
+durch $f(x)$ ausdrücken:
+\begin{align*}
+f(n+x)
+&=
+(x+n-1)f(n+x-1)
+\\
+&=
+(x+n-1)(x+n-2)f(n+x-2)
+\\
+&\vdots
+\\
+&=
+(x+n-1)(x+n-2)\dots x\,f(x)
+=
+(x)_n f(x).
+\end{align*}
+Zusammen mit den Ungleichungen
+\eqref{buch:rekursion:bohr-mollerup:ungllinks}
+und
+\eqref{buch:rekursion:bohr-mollerup:unglrechts}
+erhalten wir
+\begin{align*}
+(n-1)^x (n-1)!
+&<
+(x)_n f(x)
+<
+n^x (n-1)!
+\intertext{oder nach Division durch $(x)_n$}
+%\underbrace{
+\frac{(n-1)^x (n-1)!}{(x)_n}
+%}_{\displaystyle\to \Gamma(x)}
+&< f(x)
+<
+\frac{n^x (n-1)!}{(x)_n}
+=
+%\underbrace{
+\frac{n^x n!}{(x)_{n+1}}
+%}_{\displaystyle\to \Gamma(x)}
+\cdot
+%\underbrace{
+\frac{x+n}{n}
+%}_{\displaystyle\to 1}
+.
+\end{align*}
+Der Ausdruck ganz links und der erste Bruch rechts konvergieren
+für $n\to\infty$ beide gegen $\Gamma(x)$ und der Bruch ganz rechts
+konvergiert gegen $1$.
+Daher muss auch $f(x)=\Gamma(x)$ sein.
+\end{proof}
diff --git a/buch/chapters/040-rekursion/gamma.tex b/buch/chapters/040-rekursion/gamma.tex
index 737cf7f..7d4453b 100644
--- a/buch/chapters/040-rekursion/gamma.tex
+++ b/buch/chapters/040-rekursion/gamma.tex
@@ -651,8 +651,11 @@ Abschnitt~\ref{buch:funktionentheorie:section:fortsetzung}
 beschrieben wird, kann die Funktion auf ganz $\mathbb{C}$ ausgedehnt
 werden, mit Ausnahme einzelner Pole.
 Die Funktionalgleichung gilt natürlich für alle $z\in\mathbb{C}$,
-für die $\Gamma(z)$ definiert ist.
-In einer Umgebung von $z=-n$ gilt
+für die $\Gamma(z)$ definiert ist, nicht nur für diejenigen $z$, für
+die das Integral konvergiert. 
+Wir können Sie daher verwenden, um das Argument in den Bereich
+zu bringen, wo das Integral zur Berechnung verwendet werden kann.
+Dazu berechnen wir
 \[
 \Gamma(z)
 =
@@ -665,12 +668,20 @@ In einer Umgebung von $z=-n$ gilt
 \dots
 =
 \frac{\Gamma(z+n)}{z(z+1)(z+2)\cdots(z+n-1)}
+=
+\frac{\Gamma(z+n)}{(z)_n}.
 \]
-Keiner der Faktoren im Nenner verschwindet in der Nähe von $z=-n$, der
-Zähler hat aber einen Pol erster Ordnung an dieser Stelle.
-Daher hat auch der Quotient einen Pol erster Ordnung.
-Abbildung~\ref{buch:rekursion:fig:gamma} zeigt die Pole bei den
-nicht negativen ganzen Zahlen.
+Dies gilt für jedes natürlich $n$.
+Für $n$ gross genug, genauer für 
+$n\ge |\operatorname{Re}z|$,
+ist $\operatorname{Re}(z+n)=\operatorname{Re}z + n>0$ und damit
+kann $\Gamma(z+n)$ mit der Integralformel berechnet werden.
+
+Die Gamma-Funktion hat keine Nullstellen, aber in der Nähe von $z=-n$
+hat der Nenner eine Nullstelle erster Ordnung.
+Somit hat $\Gamma(z)$ Pole erster Ordnung bei den negativen
+ganzen Zahlen und bei $0$, wie sie in
+Abbildung~\ref{buch:rekursion:fig:gamma} gezeigt werden.
 
 \subsubsection{Numerische Berechnung}
 \begin{table}
@@ -714,4 +725,6 @@ Die Genauigkeit erreicht sechs korrekte Nachkommastellen mit nur
 %
 %
 %
+\input{chapters/040-rekursion/bohrmollerup.tex}
+\input{chapters/040-rekursion/integral.tex}
 
diff --git a/buch/chapters/040-rekursion/images/Makefile b/buch/chapters/040-rekursion/images/Makefile
index 9608a94..86dfa1e 100644
--- a/buch/chapters/040-rekursion/images/Makefile
+++ b/buch/chapters/040-rekursion/images/Makefile
@@ -3,7 +3,7 @@
 #
 # (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
 #
-all:	gammaplot.pdf fibonacci.pdf
+all:	gammaplot.pdf fibonacci.pdf order.pdf beta.pdf
 
 gammaplot.pdf:	gammaplot.tex gammapaths.tex
 	pdflatex gammaplot.tex
@@ -16,3 +16,17 @@ fibonaccigrid.tex:	fibonacci.m
 
 fibonacci.pdf:	fibonacci.tex fibonaccigrid.tex
 	pdflatex fibonacci.tex
+
+order.pdf:      order.tex orderpath.tex
+	pdflatex order.tex
+
+orderpath.tex:  order.m
+	octave order.m
+
+beta.pdf:       beta.tex betapaths.tex
+	pdflatex beta.tex
+
+betapaths.tex:  betadist.m
+	octave betadist.m
+
+
diff --git a/buch/chapters/040-rekursion/images/beta.pdf b/buch/chapters/040-rekursion/images/beta.pdf
new file mode 100644
index 0000000..0e6567b
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/040-rekursion/images/beta.pdf
diff --git a/buch/chapters/040-rekursion/images/beta.tex b/buch/chapters/040-rekursion/images/beta.tex
new file mode 100644
index 0000000..1e1a1b3
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/040-rekursion/images/beta.tex
@@ -0,0 +1,236 @@
+%
+% beta.tex -- display some symmetric beta distributions
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\documentclass[tikz]{standalone}
+\usepackage{amsmath}
+\usepackage{times}
+\usepackage{txfonts}
+\usepackage{pgfplots}
+\usepackage{csvsimple}
+\usetikzlibrary{arrows,intersections,math,calc}
+\input{betapaths.tex}
+\begin{document}
+\def\skala{12}
+\definecolor{colorone}{rgb}{1.0,0.6,0.0}
+\definecolor{colortwo}{rgb}{1.0,0.0,0.0}
+\definecolor{colorthree}{rgb}{0.6,0.0,0.6}
+\definecolor{colorfour}{rgb}{0.6,0.0,1.0}
+\definecolor{colorfive}{rgb}{0.0,0.0,1.0}
+\definecolor{colorsix}{rgb}{0.4,0.6,1.0}
+\definecolor{colorseven}{rgb}{0.0,0.0,0.0}
+\definecolor{coloreight}{rgb}{0.0,0.8,0.8}
+\definecolor{colornine}{rgb}{0.0,0.8,0.2}
+\definecolor{colorten}{rgb}{0.2,0.4,0.0}
+\definecolor{coloreleven}{rgb}{0.6,1.0,0.0}
+\definecolor{colortwelve}{rgb}{1.0,0.8,0.4}
+
+\def\achsen{
+	\foreach \x in {0.1,0.2,0.3,0.4,0.5,0.6,0.7,0.8,0.9}{
+		\draw ({\x*\dx},{-0.1/\skala}) -- ({\x*\dx},{0.1/\skala});
+		\node at ({\x*\dx},{-0.1/\skala}) [below] {$\x$};
+	}
+	\foreach \y in {1,2,3,4}{
+		\draw ({-0.1/\skala},{\y*\dy}) -- ({0.1/\skala},{\y*\dy});
+		\node at ({-0.1/\skala},{\y*\dy}) [left] {$\y$};
+	}
+	\def\x{1}
+	\draw ({\x*\dx},{-0.1/\skala}) -- ({\x*\dx},{0.1/\skala});
+	\node at ({\x*\dx},{-0.1/\skala}) [below] {$\x$};
+	\def\x{0}
+	\node at ({\x*\dx},{-0.1/\skala}) [below] {$\x$};
+
+	\draw[->] ({-0.1/\skala},0) -- ({1*\dx+0.4/\skala},0)
+		coordinate[label={$x$}];
+	\draw[->] (0,{-0.1/\skala}) -- (0,{\betamax*\dy+0.4/\skala},0)
+		coordinate[label={right:$\beta(a,b,x)$}];
+}
+
+\def\farbcoord#1#2{
+	({\dx*(0.63+((#1)/5)*0.27)},{\dx*(0.18+((#2)/5)*0.27)})
+}
+\def\farbviereck{
+	\foreach \x in {1,2,3,4}{
+		\draw[color=gray!30] \farbcoord{\x}{0} -- \farbcoord{\x}{4};
+		\draw[color=gray!30] \farbcoord{0}{\x} -- \farbcoord{4}{\x};
+	}
+	\draw[->] \farbcoord{0}{0} -- \farbcoord{4.4}{0}
+		coordinate[label={$a$}];
+	\draw[->] \farbcoord{0}{0} -- \farbcoord{0}{4.4}
+		coordinate[label={left: $b$}];
+	\foreach \x in {1,2,3,4}{
+		\node[color=gray] at \farbcoord{4}{\x} [right] {\tiny $b=\x$};
+		%\fill[color=white,opacity=0.7] 
+		%	\farbcoord{(\x-0.1)}{3.3}
+		%	rectangle
+		%	\farbcoord{(\x+0.1)}{4};
+		\node[color=gray] at \farbcoord{\x}{4} [right,rotate=90]
+			{\tiny $a=\x$};
+	}
+}
+\def\farbpunkt#1#2#3{
+	\fill[color=#3] \farbcoord{#1}{#2} circle[radius={0.1/\skala}];
+}
+
+\begin{tikzpicture}[>=latex,thick,scale=\skala]
+
+\def\dx{1.15}
+\def\dy{0.1}
+\def\opa{0.1}
+
+\def\betamax{4.9}
+
+\begin{scope}
+\clip (0,0) rectangle ({1*\dx},{\betamax*\dy});
+\fill[color=colorone,opacity=\opa]    (0,0) -- \betaaa -- (\dx,0) -- cycle;
+\fill[color=colortwo,opacity=\opa]    (0,0) -- \betabb -- (\dx,0) -- cycle;
+\fill[color=colorthree,opacity=\opa]  (0,0) -- \betacc -- (\dx,0) -- cycle;
+\fill[color=colorfour,opacity=\opa]   (0,0) -- \betadd -- (\dx,0) -- cycle;
+\fill[color=colorfive,opacity=\opa]   (0,0) -- \betaee -- (\dx,0) -- cycle;
+\fill[color=colorsix,opacity=\opa]    (0,0) -- \betaff -- (\dx,0) -- cycle;
+\fill[color=colorseven,opacity=\opa]  (0,0) -- \betagg -- (\dx,0) -- cycle;
+\fill[color=coloreight,opacity=\opa]  (0,0) -- \betahh -- (\dx,0) -- cycle;
+\fill[color=colornine,opacity=\opa]   (0,0) -- \betaii -- (\dx,0) -- cycle;
+\fill[color=colorten,opacity=\opa]    (0,0) -- \betajj -- (\dx,0) -- cycle;
+\fill[color=coloreleven,opacity=\opa] (0,0) -- \betakk -- (\dx,0) -- cycle;
+\fill[color=colortwelve,opacity=\opa] (0,0) -- \betall -- (\dx,0) -- cycle;
+
+\draw[color=colorone]    \betaaa;
+\draw[color=colortwo]    \betabb;
+\draw[color=colorthree]  \betacc;
+\draw[color=colorfour]   \betadd;
+\draw[color=colorfive]   \betaee;
+\draw[color=colorsix]    \betaff;
+\draw[color=colorseven]  \betagg;
+\draw[color=coloreight]  \betahh;
+\draw[color=colornine]   \betaii;
+\draw[color=colorten]    \betajj;
+\draw[color=coloreleven] \betakk;
+\draw[color=colortwelve] \betall;
+
+\end{scope}
+
+\achsen
+
+\farbviereck
+
+\farbpunkt{\alphatwelve}{\betatwelve}{colortwelve}
+\farbpunkt{\alphaeleven}{\betaeleven}{coloreleven}
+\farbpunkt{\alphaten}{\betaten}{colorten}
+\farbpunkt{\alphanine}{\betanine}{colornine}
+\farbpunkt{\alphaeight}{\betaeight}{coloreight}
+\farbpunkt{\alphaseven}{\betaseven}{colorseven}
+\farbpunkt{\alphasix}{\betasix}{colorsix}
+\farbpunkt{\alphafive}{\betafive}{colorfive}
+\farbpunkt{\alphafour}{\betafour}{colorfour}
+\farbpunkt{\alphathree}{\betathree}{colorthree}
+\farbpunkt{\alphatwo}{\betatwo}{colortwo}
+\farbpunkt{\alphaone}{\betaone}{colorone}
+
+
+\def\betamax{4.9}
+
+\begin{scope}[yshift=-0.6cm]
+
+\begin{scope}
+\clip (0,0) rectangle ({1*\dx},{\betamax*\dy});
+\fill[color=colorone,opacity=\opa]    (0,0) -- \betaea -- (\dx,0) -- cycle;
+\fill[color=colortwo,opacity=\opa]    (0,0) -- \betaeb -- (\dx,0) -- cycle;
+\fill[color=colorthree,opacity=\opa]  (0,0) -- \betaec -- (\dx,0) -- cycle;
+\fill[color=colorfour,opacity=\opa]   (0,0) -- \betaed -- (\dx,0) -- cycle;
+\fill[color=colorfive,opacity=\opa]   (0,0) -- \betaee -- (\dx,0) -- cycle;
+\fill[color=colorsix,opacity=\opa]    (0,0) -- \betaef -- (\dx,0) -- cycle;
+\fill[color=colorseven,opacity=\opa]  (0,0) -- \betaeg -- (\dx,0) -- cycle;
+\fill[color=coloreight,opacity=\opa]  (0,0) -- \betaeh -- (\dx,0) -- cycle;
+\fill[color=colornine,opacity=\opa]   (0,0) -- \betaei -- (\dx,0) -- cycle;
+\fill[color=colorten,opacity=\opa]    (0,0) -- \betaej -- (\dx,0) -- cycle;
+\fill[color=coloreleven,opacity=\opa] (0,0) -- \betaek -- (\dx,0) -- cycle;
+\fill[color=colortwelve,opacity=\opa] (0,0) -- \betael -- (\dx,0) -- cycle;
+
+\draw[color=colorone]    \betaea;
+\draw[color=colortwo]    \betaeb;
+\draw[color=colorthree]  \betaec;
+\draw[color=colorfour]   \betaed;
+\draw[color=colorfive]   \betaee;
+\draw[color=colorsix]    \betaef;
+\draw[color=colorseven]  \betaeg;
+\draw[color=coloreight]  \betaeh;
+\draw[color=colornine]   \betaei;
+\draw[color=colorten]    \betaej;
+\draw[color=coloreleven] \betaek;
+\draw[color=colortwelve] \betael;
+\end{scope}
+
+\achsen
+
+\farbviereck
+
+\farbpunkt{\alphafive}{\betatwelve}{colortwelve}
+\farbpunkt{\alphafive}{\betaeleven}{coloreleven}
+\farbpunkt{\alphafive}{\betaten}{colorten}
+\farbpunkt{\alphafive}{\betanine}{colornine}
+\farbpunkt{\alphafive}{\betaeight}{coloreight}
+\farbpunkt{\alphafive}{\betaseven}{colorseven}
+\farbpunkt{\alphafive}{\betasix}{colorsix}
+\farbpunkt{\alphafive}{\betafive}{colorfive}
+\farbpunkt{\alphafive}{\betafour}{colorfour}
+\farbpunkt{\alphafive}{\betathree}{colorthree}
+\farbpunkt{\alphafive}{\betatwo}{colortwo}
+\farbpunkt{\alphafive}{\betaone}{colorone}
+
+\end{scope}
+
+\begin{scope}[yshift=-1.2cm]
+
+\begin{scope}
+\clip (0,0) rectangle ({1*\dx},{\betamax*\dy});
+\fill[color=colorone,opacity=\opa]    (0,0) -- \betaal -- (\dx,0) -- cycle;
+\fill[color=colortwo,opacity=\opa]    (0,0) -- \betabl -- (\dx,0) -- cycle;
+\fill[color=colorthree,opacity=\opa]  (0,0) -- \betacl -- (\dx,0) -- cycle;
+\fill[color=colorfour,opacity=\opa]   (0,0) -- \betadl -- (\dx,0) -- cycle;
+\fill[color=colorfive,opacity=\opa]   (0,0) -- \betael -- (\dx,0) -- cycle;
+\fill[color=colorsix,opacity=\opa]    (0,0) -- \betafl -- (\dx,0) -- cycle;
+\fill[color=colorseven,opacity=\opa]  (0,0) -- \betagl -- (\dx,0) -- cycle;
+\fill[color=coloreight,opacity=\opa]  (0,0) -- \betahl -- (\dx,0) -- cycle;
+\fill[color=colornine,opacity=\opa]   (0,0) -- \betail -- (\dx,0) -- cycle;
+\fill[color=colorten,opacity=\opa]    (0,0) -- \betajl -- (\dx,0) -- cycle;
+\fill[color=coloreleven,opacity=\opa] (0,0) -- \betakl -- (\dx,0) -- cycle;
+\fill[color=colortwelve,opacity=\opa] (0,0) -- \betall -- (\dx,0) -- cycle;
+
+\draw[color=colorone]    \betaal;
+\draw[color=colortwo]    \betabl;
+\draw[color=colorthree]  \betacl;
+\draw[color=colorfour]   \betadl;
+\draw[color=colorfive]   \betael;
+\draw[color=colorsix]    \betafl;
+\draw[color=colorseven]  \betagl;
+\draw[color=coloreight]  \betahl;
+\draw[color=colornine]   \betail;
+\draw[color=colorten]    \betajl;
+\draw[color=coloreleven] \betakl;
+\draw[color=colortwelve] \betall;
+\end{scope}
+
+\achsen
+
+\farbviereck
+
+\farbpunkt{\alphatwelve}{\betatwelve}{colortwelve}
+\farbpunkt{\alphaeleven}{\betatwelve}{coloreleven}
+\farbpunkt{\alphaten}{\betatwelve}{colorten}
+\farbpunkt{\alphanine}{\betatwelve}{colornine}
+\farbpunkt{\alphaeight}{\betatwelve}{coloreight}
+\farbpunkt{\alphaseven}{\betatwelve}{colorseven}
+\farbpunkt{\alphasix}{\betatwelve}{colorsix}
+\farbpunkt{\alphafive}{\betatwelve}{colorfive}
+\farbpunkt{\alphafour}{\betatwelve}{colorfour}
+\farbpunkt{\alphathree}{\betatwelve}{colorthree}
+\farbpunkt{\alphatwo}{\betatwelve}{colortwo}
+\farbpunkt{\alphaone}{\betatwelve}{colorone}
+
+\end{scope}
+
+\end{tikzpicture}
+\end{document}
+
diff --git a/buch/chapters/040-rekursion/images/betadist.m b/buch/chapters/040-rekursion/images/betadist.m
new file mode 100644
index 0000000..5b466a6
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/040-rekursion/images/betadist.m
@@ -0,0 +1,58 @@
+#
+# betadist.m
+#
+# (c) 2022 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+#
+global N;
+N = 201;
+global nmin;
+global nmax;
+nmin = -4;
+nmax = 7;
+n = nmax - nmin + 1
+A = 3;
+
+t = (nmin:nmax) / nmax;
+alpha = 1 + A * t .* abs(t)
+#alpha(1) = 0.01;
+
+#alpha = [ 1, 1.03, 1.05, 1.1, 1.25, 1.5, 2, 2.5, 3, 4, 5 ];
+beta = alpha;
+names = [ "one"; "two"; "three"; "four"; "five"; "six"; "seven"; "eight";
+	  "nine"; "ten"; "eleven"; "twelve" ]
+
+function retval = Beta(a, b, x)
+	retval = x^(a-1) * (1-x)^(b-1) / beta(a, b);
+	if (retval > 100)
+		retval = 100
+	end
+end
+
+function plotbeta(fn, a, b, name)
+	global N;
+	fprintf(fn, "\\def\\beta%s{\n", strtrim(name));
+	fprintf(fn, "\t({%.4f*\\dx},{%.4f*\\dy})", 0, Beta(a, b, 0));
+	for x = (1:N-1)/(N-1)
+		X = (1-cos(pi * x))/2;
+		fprintf(fn, "\n\t--({%.4f*\\dx},{%.4f*\\dy})",
+			X, Beta(a, b, X));
+	end
+	fprintf(fn, "\n}\n");
+end
+
+fn = fopen("betapaths.tex", "w");
+
+for i = (1:n)
+	fprintf(fn, "\\def\\alpha%s{%f}\n", strtrim(names(i,:)), alpha(i));
+	fprintf(fn, "\\def\\beta%s{%f}\n", strtrim(names(i,:)), beta(i));
+end
+
+for i = (1:n)
+	for j = (1:n)
+		printf("working on %d,%d:\n", i, j);
+		plotbeta(fn, alpha(i), beta(j),
+			char(['a' + i - 1, 'a' + j - 1]));
+	end
+end
+
+fclose(fn);
diff --git a/buch/chapters/040-rekursion/images/order.m b/buch/chapters/040-rekursion/images/order.m
new file mode 100644
index 0000000..762f458
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/040-rekursion/images/order.m
@@ -0,0 +1,119 @@
+#
+# order.m
+#
+# (c) 2022 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+#
+global N;
+N = 10;
+global subdivisions;
+subdivisions = 100;
+global P;
+P = 0.5
+
+function retval = orderF(p, n, k)
+	retval = 0;
+	for i = (k:n)
+		retval = retval + nchoosek(n,i) * p^i * (1-p)^(n-i);
+	end
+end
+
+function retval = orderd(p, n, k)
+	retval = 0;
+	for i = (k:n)
+		s = i * p^(i-1) * (1-p)^(n-i);
+		s = s - p^i * (n-i) * (1-p)^(n-i-1);
+		retval = retval + nchoosek(n,i) * s;
+	end
+end
+
+function retval = orders(p, n, k)
+	retval = k * nchoosek(n, k) * p^(k-1) * (1-p)^(n-k);
+end
+
+function orderpath(fn, k, name)
+	fprintf(fn, "\\def\\order%s{\n\t(0,0)", name);
+	global N;
+	global subdivisions;
+	for i = (0:subdivisions)
+		p = i/subdivisions;
+		fprintf(fn, "\n\t-- ({%.4f*\\dx},{%.4f*\\dy})",
+			p, orderF(p, N, k));
+	end
+	fprintf(fn, "\n}\n");
+end
+
+function orderdpath(fn, k, name)
+	fprintf(fn, "\\def\\orderd%s{\n\t(0,0)", name);
+	global N;
+	global subdivisions;
+	for i = (1:subdivisions-1)
+		p = i/subdivisions;
+		fprintf(fn, "\n\t-- ({%.4f*\\dx},{%.4f*\\dy})",
+			p, orderd(p, N, k));
+	end
+	fprintf(fn, "\n\t-- ({1*\\dx},0)");
+	fprintf(fn, "\n}\n");
+end
+
+function orderspath(fn, k, name)
+	fprintf(fn, "\\def\\orders%s{\n\t(0,0)", name);
+	global N;
+	global subdivisions;
+	for i = (1:subdivisions-1)
+		p = i/subdivisions;
+		fprintf(fn, "\n\t-- ({%.4f*\\dx},{%.4f*\\dy})",
+			p, orders(p, N, k));
+	end
+	fprintf(fn, "\n\t-- ({1*\\dx},0)");
+	fprintf(fn, "\n}\n");
+end
+
+fn = fopen("orderpath.tex", "w");
+
+orderpath(fn,   0, "zero");
+orderdpath(fn,  0, "zero");
+orderspath(fn,  0, "zero");
+
+orderpath(fn,   1, "one");
+orderdpath(fn,  1, "one");
+orderspath(fn,  1, "one");
+
+orderpath(fn,   2, "two");
+orderdpath(fn,  2, "two");
+orderspath(fn,  2, "two");
+
+orderpath(fn,   3, "three");
+orderdpath(fn,  3, "three");
+orderspath(fn,  3, "three");
+
+orderpath(fn,   4, "four");
+orderdpath(fn,  4, "four");
+orderspath(fn,  4, "four");
+
+orderpath(fn,   5, "five");
+orderdpath(fn,  5, "five");
+orderspath(fn,  5, "five");
+
+orderpath(fn,   6, "six");
+orderdpath(fn,  6, "six");
+orderspath(fn,  6, "six");
+
+orderpath(fn,   7, "seven");
+orderdpath(fn,  7, "seven");
+orderspath(fn,  7, "seven");
+
+orderpath(fn,   8, "eight");
+orderdpath(fn,  8, "eight");
+orderspath(fn,  8, "eight");
+
+orderpath(fn,   9, "nine");
+orderdpath(fn,  9, "nine");
+orderspath(fn,  9, "nine");
+
+orderpath(fn,  10, "ten");
+orderdpath(fn, 10, "ten");
+orderspath(fn, 10, "ten");
+
+fclose(fn);
+
+
diff --git a/buch/chapters/040-rekursion/images/order.pdf b/buch/chapters/040-rekursion/images/order.pdf
new file mode 100644
index 0000000..cc175a9
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/040-rekursion/images/order.pdf
diff --git a/buch/chapters/040-rekursion/images/order.tex b/buch/chapters/040-rekursion/images/order.tex
new file mode 100644
index 0000000..9a2511c
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/040-rekursion/images/order.tex
@@ -0,0 +1,125 @@
+%
+% order.tex -- Verteilungsfunktion für Ordnungsstatistik
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\documentclass[tikz]{standalone}
+\usepackage{amsmath}
+\usepackage{times}
+\usepackage{txfonts}
+\usepackage{pgfplots}
+\usepackage{csvsimple}
+\usetikzlibrary{arrows,intersections,math}
+\begin{document}
+\def\skala{8}
+\definecolor{darkgreen}{rgb}{0,0.6,0}
+
+\def\n{10}
+\def\E#1#2{
+	\draw[color=#2]
+		({\dx*#1/(\n+1)},{-0.1/\skala}) -- ({\dx*#1/(\n+1)},{4.4*\dy});
+	\node[color=#2] at ({\dx*#1/(\n+1)},{3.2*\dy})
+		[rotate=90,above right] {$k=#1$};
+}
+\def\var#1#2{
+	\pgfmathparse{\dx*sqrt(#1*(\n-#1+1)/((\n+1)*(\n+1)*(\n+2)))}
+	\xdef\var{\pgfmathresult}
+	\fill[color=#2,opacity=0.5]
+		({\dx*#1/(\n+1)-\var},0) rectangle ({\dx*#1/(\n+1)+\var},{4.4*\dy});
+}
+
+\input{orderpath.tex}
+\begin{tikzpicture}[>=latex,thick,scale=\skala]
+
+\def\dx{1.6}
+\def\dy{0.5}
+
+\def\pfad#1#2{
+\draw[color=#2,line width=1.4pt] ({-0.1/\skala},0) 
+	--
+	#1
+	--
+	({1*\dx+0.1/\skala},0.5);
+}
+
+\pfad{\orderzero}{darkgreen!20}
+\pfad{\orderone}{darkgreen!20}
+\pfad{\ordertwo}{darkgreen!20}
+\pfad{\orderthree}{darkgreen!20}
+\pfad{\orderfour}{darkgreen!20}
+\pfad{\orderfive}{darkgreen!20}
+\pfad{\ordersix}{darkgreen!20}
+\pfad{\ordereight}{darkgreen!20}
+\pfad{\ordernine}{darkgreen!20}
+\pfad{\orderten}{darkgreen!20}
+\pfad{\orderseven}{darkgreen}
+
+\draw[->] ({-0.1/\skala},0) -- ({1.03*\dx},0) coordinate[label={$x$}];
+\draw[->] (0,{-0.1/\skala}) -- (0,0.6) coordinate[label={right:$F(X)$}];
+\foreach \x in {0,0.2,0.4,0.6,0.8,1}{
+	\draw ({\x*\dx},{-0.1/\skala}) -- ({\x*\dx},{0.1/\skala});
+	\node at ({\x*\dx},{-0.1/\skala}) [below] {$\x$};
+}
+\foreach \y in {0.5,1}{
+	\draw ({-0.1/\skala},{\y*\dy}) -- ({0.1/\skala},{\y*\dy});
+	\node at ({-0.1/\skala},{\y*\dy}) [left] {$\y$};
+}
+
+\node[color=darkgreen] at (0.65,{0.5*\dy}) [above,rotate=55] {$k=7$};
+
+\begin{scope}[yshift=-0.7cm]
+\def\dy{0.125}
+
+\foreach \k in {1,2,3,4,5,6,8,9,10}{
+	\E{\k}{blue!30}
+}
+\def\k{7}
+\var{\k}{orange!40}
+\node[color=blue] at ({\dx*\k/(\n+1)},{4.3*\dy}) [above] {$E(X_{7:n})$};
+
+\def\pfad#1#2{
+	\draw[color=#2,line width=1.4pt] ({-0.1/\skala},0) 
+		--
+		#1
+		--
+		({1*\dx+0.1/\skala},0.0);
+}
+
+\begin{scope}
+\clip ({-0.1/\skala},{-0.1/\skala})
+	rectangle ({1*\dx+0.1/\skala},{0.56+0.1/\skala});
+
+\pfad{\orderdzero}{red!20}
+\pfad{\orderdone}{red!20}
+\pfad{\orderdtwo}{red!20}
+\pfad{\orderdthree}{red!20}
+\pfad{\orderdfour}{red!20}
+\pfad{\orderdfive}{red!20}
+\pfad{\orderdsix}{red!20}
+\pfad{\orderdeight}{red!20}
+\pfad{\orderdnine}{red!20}
+\pfad{\orderdten}{red!20}
+\E{\k}{blue}
+\pfad{\orderdseven}{red}
+
+\end{scope}
+
+\draw[->] ({-0.1/\skala},0) -- ({1.03*\dx},0) coordinate[label={$x$}];
+\draw[->] (0,{-0.1/\skala}) -- (0,0.6) coordinate[label={right:$\varphi(X)$}];
+\foreach \x in {0,0.2,0.4,0.6,0.8,1}{
+	\draw ({\x*\dx},{-0.1/\skala}) -- ({\x*\dx},{0.1/\skala});
+	\node at ({\x*\dx},{-0.1/\skala}) [below] {$\x$};
+}
+\foreach \y in {1,2,3,4}{
+	\draw ({-0.1/\skala},{\y*\dy}) -- ({0.1/\skala},{\y*\dy});
+	\node at ({-0.1/\skala},{\y*\dy}) [left] {$\y$};
+}
+
+\node[color=red] at ({0.67*\dx},{2.7*\dy}) [above] {$k=7$};
+
+
+\end{scope}
+
+\end{tikzpicture}
+\end{document}
+
diff --git a/buch/chapters/040-rekursion/integral.tex b/buch/chapters/040-rekursion/integral.tex
new file mode 100644
index 0000000..df52a58
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/040-rekursion/integral.tex
@@ -0,0 +1,103 @@
+%
+% integral.tex
+%
+% (c) 2022 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Hochschule
+%
+\subsection{Integraldarstellung und der Satz von Bohr-Mollerup
+\label{buch:subsection:integral-eindeutig}}
+Die Integralformel
+\[
+f(x)
+=
+\int_0^\infty t^{x-1}e^{-t}\,dt
+\]
+für die Gamma-Funktion erfüllt die Funktionalgleichung der Gamma-Funktion.
+Aus dem Satz von Bohr-Mollerup~\ref{buch:satz:bohr-mollerup} folgt,
+dass $f(x)=\Gamma(x)$, wenn gezeigt werden kann, dass $\log f(x)$
+konvex ist.
+Dies soll im Folgenden gezeigt werden.
+
+\subsubsection{Logarithmische Ableitung}
+Die Ableitungen der Funktion $\log f(x)$ sind die erste und
+zweite logarithmische
+Ableitung
+\begin{align}
+\frac{d}{dx}\log f(x)
+&=
+\frac{f'(x)}{f(x)}
+\notag
+\\
+\frac{d^2}{dx^2} \log f(x)
+&=
+\frac{f''(x)f(x)-f'(x)^2}{f(x)^2}.
+\label{buch:rekursion:eqn:zweiteablteitung}
+\end{align}
+Durch Ableiten unter dem Integralzeichen können die Ableitungen
+von $f$ als
+\begin{align*}
+f'(x)
+&=
+\int_0^\infty \log(t)\, t^{x-1} e^{-t}\,dt
+\\
+f''(x)
+&=
+\int_0^\infty \log(t)^2\, t^{x-1} e^{-t}\,dt
+\end{align*}
+bestimmt werden.
+Um nachzuweisen, dass $\log f(x)$ konvex ist, muss nur gezeigt werden,
+dass die zweite logarithmische Ableitung von $f(x)$ positiv ist, was
+gemäss~\eqref{buch:rekursion:eqn:zweiteablteitung} mit
+\begin{equation}
+f''(x)f(x)-f'(x)^2
+=
+\int_0^\infty \log(t)^2\, t^{x-1}e^{-t}\,dt
+\int_0^\infty t^{x-1}e^{-t}\,dt
+-
+\biggl(
+\int_0^\infty \log(t)\, t^{x-1}e^{-t}\,dt
+\biggr)^2
+\ge 0
+\label{buch:rekursion:gamma-integral:ungleichung}
+\end{equation}
+gleichbedeutend ist.
+
+\subsubsection{Skalarprodukt}
+Die Integral in~\eqref{buch:rekursion:gamma-integral:ungleichung}
+können als Werte eines Skalarproduktes von Funktionen auf $\mathbb{R}^+$
+gelesen werden.
+Dazu definieren wir
+\begin{align}
+\langle u,v\rangle
+&=
+\int_0^\infty u(t)v(t)\,t^{x-1}e^{-t}\,dt
+\label{buch:rekursion:gamma-integral:eqn:skalarprodukt}
+\\
+\|u\|^2
+&=
+\int_0^\infty u(t)^2 \,t^{x-1}e^{-t}\,dt,
+\notag
+\end{align}
+für alle Funktionen $u$ und $v$, für die die Integrale definiert sind.
+
+\subsubsection{Cauchy-Schwarz-Ungleichung}
+Die Cauchy-Schwarz-Ungleichung für das
+Skalarprodukt~\eqref{buch:rekursion:gamma-integral:eqn:skalarprodukt}
+für die Funktion $u(t)=1$ und $v(t)=\log(t)$
+lautet
+\[
+|\langle u,v\rangle|^2
+=
+\biggl|
+\int_0^1 \log(t)\,t^{x-1}e^{-t}\,dt
+\biggr|^2
+\le
+\|u\|^2\cdot \|v\|^2
+=
+\int_0^\infty 1\cdot t^{x-1}e^{-t}\,dt
+\int_0^\infty \log(t)^2\cdot t^{x-1}e^{-t}\,dt.
+\]
+Daraus folgt aber durch Umstellen unmittelbar die
+Ungleichung~\eqref{buch:rekursion:gamma-integral:ungleichung}.
+Damit ist gezeigt, dass $\log f(t)$ konvex ist und nach
+dem Satz~\ref{buch:satz:bohr-mollerup} folgt nun, dass $f(x)=\Gamma(x)$.
+
diff --git a/buch/chapters/050-differential/Makefile.inc b/buch/chapters/050-differential/Makefile.inc
index b72a275..7151c07 100644
--- a/buch/chapters/050-differential/Makefile.inc
+++ b/buch/chapters/050-differential/Makefile.inc
@@ -4,7 +4,7 @@
 # (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
 #
 
-CHAPTERFILES = $(CHAPTERFILES)						\
+CHAPTERFILES += 							\
 	chapters/050-differential/beispiele.tex				\
 	chapters/050-differential/potenzreihenmethode.tex		\
 	chapters/050-differential/bessel.tex				\
diff --git a/buch/chapters/050-differential/besselhyper.maxima b/buch/chapters/050-differential/besselhyper.maxima
new file mode 100644
index 0000000..0a67819
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/050-differential/besselhyper.maxima
@@ -0,0 +1,37 @@
+/*
+ * besselhyper.maxima
+ */
+gradef(y(x), yp(x));
+gradef(yp(x), ypp(x));
+
+w(x) := x^alpha * y(-x^2/4);
+
+/* Zusammenhang zwischen Y und W */
+Y: x^(-alpha) * W;
+
+/* erste Ableitung Yp ausgedrückt durch W und W' */
+e: Wp=diff(w(x),x)							$
+e: ratsimp(e);
+e: subst(W * x^(-alpha), y(-x^2/4), e)					$
+e: subst(Yp, yp(-x^2/4), e)						$
+s: solve(e, Yp)								$
+Yp: rhs(s[1])								$
+Yp: ratsimp(Yp);
+ratsimp(subst(0,W,Yp));
+ratsimp(subst(0,Wp,Yp));
+
+/* zweite Ableitung Yp ausgedrückt durch W, W' und W'' */
+e: Wpp = ratsimp(diff(diff(w(x),x),x));
+e: subst(W * x^(-alpha), y(-x^2/4), e)					$
+e: subst(Yp, yp(-x^2/4), e)						$
+e: subst(Ypp, ypp(-x^2/4), e)						$
+e: ratsimp(e)								$
+Ypp: rhs(solve(e, Ypp)[1])						$
+Ypp: ratsimp(Ypp);
+ratsimp(subst(0, W, subst(0, Wp, Ypp)));
+ratsimp(subst(0, W, subst(0, Wpp, Ypp)));
+ratsimp(subst(0, Wp, subst(0, Wpp, Ypp)));
+
+
+B: (-x^2/4) * Ypp + (alpha+1)*Yp - Y;
+expand(-x^(alpha+2) * B);
diff --git a/buch/chapters/050-differential/uebungsaufgaben/airy.cpp b/buch/chapters/050-differential/uebungsaufgaben/airy.cpp
index e4df8e1..eb5c6be 100644
--- a/buch/chapters/050-differential/uebungsaufgaben/airy.cpp
+++ b/buch/chapters/050-differential/uebungsaufgaben/airy.cpp
@@ -44,8 +44,8 @@ double	h0f1(double c, double x) {
 double	f1(double x) {
 	// unfortunately, gsl_sf_hyperg_0F1 does not work if c<1, because
 	// it uses a relation to the bessel functions
-	//return gsl_sf_hyperg_0F1(2/3, x*x*x/9.);
-	return h0f1(2./3., x*x*x/9.);
+	return gsl_sf_hyperg_0F1(2/3, x*x*x/9.);
+	//return h0f1(2./3., x*x*x/9.);
 }
 
 double	f2(double x) {
diff --git a/buch/chapters/060-integral/Makefile.inc b/buch/chapters/060-integral/Makefile.inc
index e19cb0c..e0dfc21 100644
--- a/buch/chapters/060-integral/Makefile.inc
+++ b/buch/chapters/060-integral/Makefile.inc
@@ -4,13 +4,16 @@
 # (c) 2022 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
 #
 
-CHAPTERFILES = $(CHAPTERFILES)						\
+CHAPTERFILES += 							\
 	chapters/060-integral/fehlerfunktion.tex			\
 	chapters/060-integral/eulertransformation.tex			\
 	chapters/060-integral/differentialkoerper.tex			\
+	chapters/060-integral/rational.tex				\
+	chapters/060-integral/erweiterungen.tex				\
+	chapters/060-integral/diffke.tex				\
+	chapters/060-integral/irat.tex					\
+	chapters/060-integral/sqratrat.tex				\
 	chapters/060-integral/risch.tex					\
-	chapters/060-integral/orthogonal.tex				\
-	chapters/060-integral/legendredgl.tex				\
-	chapters/060-integral/sturm.tex					\
-	chapters/060-integral/gaussquadratur.tex			\
+	chapters/060-integral/logexp.tex				\
+	chapters/060-integral/elementar.tex				\
 	chapters/060-integral/chapter.tex
diff --git a/buch/chapters/060-integral/differentialkoerper.tex b/buch/chapters/060-integral/differentialkoerper.tex
index f41d3ba..a112e33 100644
--- a/buch/chapters/060-integral/differentialkoerper.tex
+++ b/buch/chapters/060-integral/differentialkoerper.tex
@@ -1,1953 +1,29 @@
 %
-% differentialalgebren.tex
+% differentialkoerper.tex
 %
 % (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
 %
-\section{Differentialkörper und der Satz von Liouville
+\section{Differentialkörper und das Integrationsproblem
 \label{buch:integrale:section:dkoerper}}
-\rhead{Differentialkörper und der Satz von Liouville}
-Das Problem der Darstellbarkeit eines Integrals in geschlossener
-Form verlangt zunächst einmal nach einer Definition dessen, was man
-als ``geschlossene Form'' akzeptieren will.
-Die sogenannten {\em elementaren Funktionen} von
-Abschnitt~\ref{buch:integrale:section:elementar}
-bilden dafür den theoretischen Rahmen.
-Das Problem ist dann die Frage zu beantworten, ob ein Integral eine
-Stammfunktion hat, die eine elementare Funktion ist.
-Der Satz von Liouville von Abschnitt~\ref{buch:integrale:section:liouville}
-löst das Problem.
-
-\subsection{Eine Analogie
-\label{buch:integrale:section:analogie}}
-% XXX Analogie: Formel für Polynom-Nullstellen 
-% XXX           Stammfunktion als elementare Funktion
-Das Analysis-Problem, eine Stammfunktion zu finden, ist analog zum
-wohlbekannten algebraischen Problem, Nullstellen von Polynomen zu finden.
-Wir entwickeln diese Analogie in etwas mehr Detail, um zu sehen, ob man
-aus dem algebraischen Problem etwas über das Problem der Analysis
-lernen kann.
-
-Für ein Polynom $p(X) = a_nX^n+a_{n-1}X^{n-1}+\dots+a_1X+a_0\in\mathbb{C}[X]$
-mit Koeffizienten $a_k\in\mathbb{C}$ ist es sehr einfach, für jede beliebige
-komplexe Zahl $z\in\mathbb{C}$ den Wert $p(z)$ des Polynoms auszurechnen.
-Ein paar wenige Rechenregeln genügen dazu, man kann leicht einem Kind 
-beibringen, mit einem Taschenrechner so einen Wert auszurechnen.
-
-Ähnlich sieht es mit der Ableitungsoperation aus. 
-Einige wenige Ableitungsregeln, die man in der Analysis~I lernt,
-erlauben, auf mehr oder weniger mechanische Art und Weise, jede
-beliebige Funktion abzuleiten.
-Man kann auch leicht einen Computer dazu programmieren, solche Ableitungen
-symbolisch zu berechnen.
-
-Aus dem Fundamentalsatz der Algebra, der von Gauss vollständig bewiesen
-wurde, ist bekannt, dass jedes Polynom mit Koeffizienten in $\mathbb{C}$
-genau so viele Lösungen in $\mathbb{C}$, wie der Grad des Polynoms angibt.
-Dies ist aber ein Existenzsatz, er sagt nichts darüber aus, wie man diese
-Lösungen finden kann.
-In Spezialfällen, wie zum Beispiel für quadratische Polynome, gibt
-es spezialsierte Lösungsverfahren, mit denen man Lösungen angeben kann.
-Natürlich existieren numerische Methoden wie zum Beispiel das
-Newton-Verfahren, mit dem man Nullstellen von Polynomen beliebig genau
-bestimmen kann.
-
-Der Fundamentalsatz der Integralrechnung besagt, dass jede stetige 
-Funktion eine Stammfunktion hat, die bis auf eine Konstante eindeutig
-bestimmt ist.
-Auch dieser Existenzsatz gibt keinerlei Hinweise darauf, wie man die
-Stammfunktion finden kann.
-In der Analysis-Vorlesung lernt man viele Tricks, die in einer
-beindruckenden Zahl von Spezialfällen ermöglichen, ein passende
-Funktion anzugeben.
-Man lernt auch numerische Verfahren kennen, mit denen sich Werte der
-Stammfunktion, also bestimmte Integrale, mit beliebiger Genauigkeit
-finden kann.
-
-Die numerische Lösung des Nullstellenproblems ist insofern unbefriedigend,
-als sie nur schwer eine Diskussion der Abhängigkeit der Nullstellen von
-den Koeffizienten des Polynoms ermöglichen.
-Eine Formel wie die Lösungsformel für die quadratische Gleichung 
-stellt genau für solche Fälle ein ideales Werkzeug bereit.
-Was man sich also wünscht ist nicht nur einfach eine Lösung, sondern eine
-einfache Formel zur Bestimmung aller Lösungen.
-Im Zusammenhang mit algebraischen Gleichungen erwartet man eine Formel,
-in der nur arithmetische Operationen und Wurzeln vorkommen.
-Für quadratische Gleichungen ist so eine Formel seit dem Altertum bekannt,
-Formeln für die kubische Gleichung und die Gleichung vierten Grades wurden
-im 16.~Jahrhundert von Cardano bzw.~Ferrari gefunden.
-Erst viel später haben Abel und Ruffini gezeigt, dass so eine allgemeine
-Formel für Polynome höheren Grades als 4 nicht existiert.
-Die Galois-Theorie, die auf den Ideen von Évariste Galois beruht, 
-stellt eine vollständige Theorie unter anderem für die Lösbarkeit
-von Gleichungen durch Wurzelausdrücke dar.
-
-Numerische Integralwerte haben ebenfalls den Nachteil, dass damit
-Diskussionen wie die Abhängigkeit von Parametern eines Integranden
-nur schwer möglich sind.
-Was man sich daher wünscht ist eine Formel für die Stammfunktion,
-die Werte als Zusammensetzung gut bekannter Funktionen wie der Exponential-
-und Logarithmus-Funktionen oder der trigonometrischen Funktionen
-sowie Wurzeln, Potenzen und den arithmetischen Operationen.
-Man sagt, man möchte die Stammfunktion in ``geschlossener Form'' 
-dargestellt haben.
-Tatsächlich ist dieses Problem auch zu Beginn des 19.~Jahrhunderts
-von Joseph Liouville genauer untersucht worden.
-Er hat zunächst eine Klasse von ``elementaren Funktionen'' definiert,
-die als Darstellungen einer Stammfunktion in Frage kommen.
-Der Satz von Liouville besagt dann, dass nur Funktionen mit einer
-ganz speziellen Form eine elementare Stammfunktion haben.
-Damit wird es möglich, zu entscheiden, ob ein Integrand wie $e^{-x^2}$ 
-eine elementare Stammfunktion hat.
-Seit dieser Zeit weiss man zum Beispiel, dass die Fehlerfunktion nicht
-mit den bekannten Funktionen dargestellt werden kann.
-
-Mit dem Aufkommen der Computer und vor allem der Computer-Algebra-System (CAS)
-wurde die Frage nach der Bestimmung einer Stammfunktion erneut aktuell.
-Die ebenfalls weiter entwickelte abstrakte Algebra hat ermöglicht, die
-Ideen von Liouville in eine erweiterte, sogenannte differentielle 
-Galois-Theorie zu verpacken, die eine vollständige Lösung des Problems
-darstellt.
-Robert Henry Risch hat in den Sechzigerjahren auf dieser Basis
-einen Algorithmus entwickelt, mit dem es möglich wird, zu entscheiden,
-ob eine Funktion eine elementare Stammfunktion hat und diese
-gegebenenfalls auch zu finden.
-Moderne CAS implementieren diesen Algorithmus
-in Teilen, besonders weit zu gehen scheint das quelloffene System
-Axiom.
-
-Der Risch-Algorithmus hat allerdings eine Achillesferse: er benötigt
-eine Method zu entscheiden, ob zwei Ausdrücke übereinstimmen.
-Dies ist jedoch ein im Allgemeinen nicht entscheidbares Problem.
-Moderne CAS treiben einigen Aufwand, um die
-Gleichheit von Ausdrücken zu entscheiden, sie können das Problem
-aber grundsätzlich nicht vollständig lösen.
-Damit kann der Risch-Algorithmus in praktischen Anwendungen das
-Stammfunktionsproblem ebenfalls nur mit Einschränkungen lösen,
-die durch die Fähigkeiten des Ausdrucksvergleichs in einem CAS
-gesetzt werden.
-
-Im Folgenden sollen elementare Funktionen definiert werden, es sollen
-die Grundideen der differentiellen Galois-Theorie zusammengetragen werden
-und der Satz von Liouvill vorgestellt werden.
-An Hand der Fehler-Funktion soll dann gezeigt werden, wie man jetzt
-einsehen kann, dass die Fehlerfunktion nicht elementar darstellbar ist.
-Im nächsten Abschnitt dann soll der Risch-Algorithmus skizziert werden.
-
-\subsection{Elementare Funktionen
-\label{buch:integrale:section:elementar}}
-Es soll die Frage beantwortet werden, welche Stammfunktionen sich
-in ``geschlossener Form'' oder durch ``wohlbekannte Funktionen''
-ausdrücken lassen.
-Welche Funktionen dabei als ``wohlbekannt'' gelten dürfen ist
-ziemlich willkürlich.
-Sicher möchte man Potenzen und Wurzeln, Logarithmus und Exponentialfunktion,
-aber auch die trigonometrischen Funktionen dazu zählen dürfen.
-Ausserdem will man beliebig mit den arithmetischen Operationen
-rechnen.
-So entsteht die Menge der Funktionen, die man ``elementar'' nennen
-will.
-
-In der Menge der elementaren Funktionen möchte man jetzt
-Stammfunktionen ausgewählter Funktionen suchen.
-Dazu muss man von jeder Funktion ihre Ableitung kennen.
-Die Ableitungsoperation macht aus der Funktionenmenge eine
-differentielle Algebra.
-Der Satz von Liouville (Satz~\ref{buch:integrale:satz:liouville1}) 
-liefert Bedingungen, die erfüllt sein müssen, wenn eine Funktion
-eine elementare Stammfunktion hat.
-Sind diese Bedingungen nicht erfüllbar, ist auch keine 
-elementare Stammfunktion möglich.
-
-In den folgenden Abschnitten soll die differentielle Algebra
-der elementaren Funktionen konstruiert werden.
-
-\subsubsection{Körper}
-Die einfachsten Funktionen sind die die Konstanten, für die wir
-für die nachfolgenden Betrachtungen fast immer die komplexen Zahlen
-$\mathbb{C}$
-zu Grunde legen wollen.
-Dabei ist vor allem wichtig, dass sich darin alle arithmetischen
-Operationen durchführen lassen mit der einzigen Ausnahme, dass
-nicht durch $0$ dividiert werden darf.
-Man nennt $\mathbb{C}$ daher ein {\em Körper}.
-\index{Körper}%
-\label{buch:integrale:def:koerper}
-
-\subsubsection{Polynome und rationale Funktionen}
-Die Polynome einer Variablen beschreiben eine Menge von
-Funktionen, in der Addition, Subtraktion, Multiplikation
-von Funktionen und Multiplikation mit komplexen Zahlen
-uneingeschränkt möglich ist.
-Wir bezeichen wie früher die Menge der Polynome in $z$ mit
-$\mathbb{C}[z]$.
-
-Die Division ist erst möglich, wenn man beliebige Brüche
-zulässt, deren Zähler und Nenner Polynome sind.
-Die Menge
-\[
-\mathbb{C}(z)
-=
-\biggl\{
-\frac{p(z)}{q(z)}
-\;\bigg|\;
-p,q\in \mathbb{C}[z]
-\biggr\}
-\]
-heisst die Menge der {\em rationalen Funktionen}.
-\label{buch:integrale:def:rationalefunktion}
-\index{Funktion, rationale}%
-\index{rationale Funktion}%
-In ihr sind jetzt alle arithmetischen Operationen ausführbar
-ausser natürlich die Division durch die Nullfunktion.
-Die rationalen Funktionen bilden also wieder eine Körper.
-
-Die Tatsache, dass die rationalen Funktionen einen Körper
-bilden bedeutet auch, dass die Konstruktion erneut durchgeführt
-werden kann.
-Ausgehend von einem beliebigen Körper $K$ können wieder zunächst
-die Polynome $K[X]$ und anschliesen die rationalen Funktionen $K[X]$
-in der neuen Variablen, jetzt aber mit Koeffizienten in $K$
-gebildet werden.
-So entstehen Funktionen von mehreren Variablen und, indem
-wir für die neue Variable $X$ zum Beispiel die im übernächsten
-Abschnitt betrachtete Wurzel $X=\sqrt{z}$
-einsetzen, rationale Funktionen in $z$ und $\sqrt{z}$.
-
-Solche Funktionenkörper werden im folgenden mit geschweiften
-Buchstaben $\mathscr{D}$ bezeichnet.
-\index{Funktionenkörper}%
-
-\subsubsection{Ableitungsoperation}
-In allen Untersuchungen soll immer die Ableitungsoperation
-mit berücksichtigt werden.
-In unserer Betrachtungsweise spielt es keine Rolle, dass die
-Ableitung aus einem Grenzwert entsteht, es sind nur die algebraischen
-Eigenschaften wichtig.
-Diese sind in der folgenden Definition zusammengefasst.
-
-\begin{definition}
-\label{buch:integrale:def:derivation}
-Ein {\em Ableitungsoperator} oder eine {\em Derivation} einer Algebra
-$\mathscr{D}$ von Funktionen ist eine lineare Abbildung
-\[
-\frac{d}{dz}
-\colon \mathscr{D} \to \mathscr{D}
-:
-f \mapsto \frac{df}{dz} = f',
-\]
-die zusätzlich die Produktregel
-\begin{equation}
-\frac{d}{dz} (fg)
-=
-\frac{df}{dz} \cdot g + f \cdot \frac{dg}{dz}
-\qquad\Leftrightarrow\qquad
-(fg)' = f' g + fg'
-\label{buch:integrale:eqn:produktregel}
-\end{equation}
-\index{Produktregel}%
-erfüllt.
-Die Funktion $f'\in \mathscr{D}$ heisst auch die {\em Ableitung}
-von $f\in\mathscr{D}$.
-\index{Derivation}%
-\index{Ableitungsoperator}%
-\index{Ableitung}%
-\end{definition}
-
-Die Produktregel hat zum Beispiel auch die bekannten Quotientenregel
-zur Folge.
-Dazu betrachten wir das Produkt $f= (f/g)\cdot g$ und leiten es mit
-Hilfe der Produktregel ab:
-\[
-\frac{d}{dz}f
-=
-\frac{d}{dz}
-\biggl(
-\frac{f}{g}\cdot g
-\biggr)
-=
-{\color{darkred}
-\frac{d}{dz}
-\biggl(
-\frac{f}{g}
-\biggr)}
-\cdot g
-+
-\frac{f}{g}\cdot \frac{d}{dz}g.
-\]
-Jetzt lösen wir nach der {\color{darkred}roten} Ableitung des Quotienten
-auf und erhalten
-\begin{equation}
-\biggl(\frac{f}{g}\biggr)'
-=
-\frac{d}{dz}\biggl(\frac{f}{g}\biggr)
-=
-\frac1g\biggl(
-\frac{d}{dz}f - \frac{f}{g}\cdot \frac{d}{dz}g
-\biggr)
-=
-\frac{1}{g}
-\biggl(
-f'-\frac{fg'}{g}
-\biggr)
-=
-\frac{f'g-fg'}{g^2}.
-\label{buch:integrale:eqn:quotientenregel}
-\end{equation}
-Dies ist die Quotientenregel.
-
-Aus der Produktregel folgt natürlich sofort auch die Potenzregel
-für die Ableitung der $n$ten Potenz einer Funktion $f\in\mathscr{D}$, 
-sie lautet:
-\begin{equation}
-\frac{d}{dz} f^n
-= 
-\underbrace{
-f'f^{n-1} + ff'f^{n-2} + f^2f'f^{n-3}+\dots f^{n-1}f'
-}_{\displaystyle \text{$n$ Terme}}
-=
-nf^{n-1}f'.
-\label{buch:integrale:eqn:potenzregel}
-\end{equation}
-In dieser Form versteckt sich natürlich auch die Kettenregel, die
-Potenzfunktion ist die äussere Funktion, $f$ die innere, $f'$ ist also
-die Ableitung er inneren Funktion, wie in der Kettenregel verlangt.
-Falls $f$ ein Element von $\mathscr{D}$ ist mit der Eigenschaft
-$df/dz=1$, dann entsteht die übliche Produktregel.
-
-\begin{definition}
-Eine Algebra $\mathscr{D}$ von Funktionen mit einem Ableitungsoperator 
-$d/dz$ heisst eine {\em differentielle Algebra}.
-\index{differentielle Algebra}%
-\index{Algebra, differentielle}%
-In einer differentiellen Algebra gelten die üblichen
-Ableitungsregeln.
-\end{definition}
-
-Die Potenzregel war in der Form~\eqref{buch:integrale:eqn:potenzregel}
-geschrieben worden, nicht als die Ableitung von $z$.
-Der Grund dafür ist, dass wir gar nicht voraussetzen wollen, dass in
-unserer differentiellen Algebra eine Funktion existiert, die die
-Rolle von $z$ hat.
-Dies ist gar nicht nötig, wie das folgende Beispiel zeigt.
-
-\begin{beispiel}
-Als Funktionenmenge $\mathscr{D}$ nehmen wir rationale Funktionen
-in zwei Variablen, die wir $\cos x $ und $\sin x$ nennen.
-Diese Menge bezeichnen wir mit
-$\mathscr{D}=\mathbb{Q}(\cos x,\sin x)$
-Der Ableitungsoperator ist 
-\begin{align*}
-\frac{d}{dx} \cos x &= -\sin x
-\\
-\frac{d}{dx} \sin x &= \phantom{-}\cos x.
-\end{align*}
-Die Funktionen von $\mathbb{Q}(\cos x,\sin x)$ sind also Brüche,
-deren Zähler und Nenner Polynome in $\cos x$ und $\sin x$ sind.
-Aus den Produkt- und Quotientenregeln und den Ableitungsregeln für
-$\cos x$ und $\sin x$ folgt, dass die Ableitung einer Funktion in
-$\mathscr{D}$ wieder in $\mathscr{D}$ ist, $\mathscr{D}$ ist eine
-differentielle Algebra.
-\end{beispiel}
-
-Die konstanten Funktionen spielen eine besondere Rolle.
-Da wir bei der Ableitung nicht von der Vorstellung einer
-Funktion mit einem variablen Argument ausgehen wollten und 
-die Ableitung nicht als Grenzwert definieren wollten, müssen
-wir auch bei der Definition der ``Konstanten'' einen neuen
-Weg gehen.
-In der Analysis sind die Konstanten genau die Funktionen,
-deren Ableitung $0$ ist.
-
-\begin{definition}
-\label{buch:integrale:def:konstante}
-Ein Element $f\in \mathscr{D}$ mit $df/dz=f'=0$ heissen
-{\em Konstante} in $\mathscr{D}$.
-\index{Konstante}%
-\end{definition}
-
-Die in der Potenzregel~\eqref{buch:integrale:eqn:potenzregel}
-vermisste Funktion $z$ kann man ähnlich zu den Konstanten
-zu definieren versuchen.
-$z$ müsste ein Element von $\mathscr{D}$ mit $z' = 1$ sein.
-Allerdings gibt es viele solche Elemente, ist $c$ eine Konstanten
-und $z'=1$, dann ist auch $(z+c)'=1$, $(z+c)$ hat also für
-die Zwecke unserer Untersuchung die gleichen Eigenschaften wie
-$z$.
-Dies deckt sich natürlich auch mit der Erwartung, dass Stammfunktionen
-nur bis auf eine Konstante bestimmt sind.
-Eine differentielle Algebra muss allerdings kein Element $z$ mit der
-Eigenschaft $z'=1$ enthalten.
-
-\begin{beispiel}
-In $\mathscr{D}=\mathbb{Q}(\cos x,\sin x)$ gibt es kein Element $x$.
-Ein solches wäre von der Form
-\[
-x = \frac{p(\cos x,\sin x)}{q(\cos x,\sin x)}.
-\]
-Eine solche goniometrische Beziehung würde für $x=\frac{\pi}4$ bedeuten,
-dass
-\[
-\frac{\pi}4
-=
-\frac{p(\sqrt{2}/2,\sqrt{2}/2)}{q(\sqrt{2}/2,\sqrt{2}/2)}.
-\]
-Auf der rechten Seite steht ein Quotient von Polynome, in dessen
-Argument nur rationale Zahlen und $\sqrt{2}$ steht.
-So ein Ausdruck kann immer in die Form
-\[
-\pi
-=
-4\frac{a\sqrt{2}+b}{c\sqrt{2}+d}
-=
-\frac{4(a\sqrt{2}+b)(c\sqrt{2}-d)}{2c^2+d^2}
-=
-r\sqrt{2}+s
-\]
-gebracht werden.
-Die Zahl auf der rechten Seite ist zwar irrational, aber sie ist Nullstelle
-des quadratischen Polynoms
-\[
-p(x)
-=
-(x-r\sqrt{2}-s)(x+r\sqrt{2}-s)
-=
-x^2
--2sx
--2r^2+s^2
-\]
-mit rationalen Koeffizienten, wie man mit der Lösungsformel für die
-quadratische Gleichung nachprüfen kann.
-Es ist bekannt, dass $\pi$ als transzendente Zahl nicht Nullstelle
-eines Polynoms mit rationalen Koeffizienten ist.
-Dieser Widerspruch zeigt, dass $x$ nicht in $\mathbb{Q}(\cos x, \sin x)$
-vorkommen kann.
-\end{beispiel}
-
-In einer differentiellen Algebra kann jetzt die Frage nach der
-Existenz einer Stammfunktion gestellt werden.
-
-\begin{aufgabe}
-\label{buch:integrale:aufgabe:existenz-stammfunktion}
-Gegeben eine differentielle Algebra $\mathscr{D}$ und ein Element
-$f\in\mathscr{D}$, entscheide, ob es ein Element $F\in\mathscr{D}$ 
-gibt mit der Eigenschaft $F'=f$.
-Ein solches $F\in\mathscr{D}$ heisst {\em Stammfunktion} von $f$.
-\end{aufgabe}
-
-\begin{satz}
-In einer differentiellen Algebra $\mathscr{D}$ mit $z\in\mathscr{D}$
-hat die Potenzfunktion $f=z^n$ für $n\in\mathbb{N}\setminus\{-1\}$
-ein Stammfunktion, nämlich 
-\[
-F = \frac{1}{n+1} z^{n+1}.
-\]
-\label{buch:integrale:satz:potenzstammfunktion}
-\end{satz}
-
-\begin{proof}[Beweis]
-Tatsächlich kann man dies sofort nachrechnen, muss allerdings die
-Fälle $n+1 >0$ und $n+1<0$ unterscheiden, da die Potenzregel
-\eqref{buch:integrale:eqn:potenzregel} nur für natürliche Exponenten
-gilt.
-Man erhält
-\begin{align*}
-n+1&>0\colon
-&
-\frac{d}{dz}\frac{1}{n+1}z^{n+1}
-&=
-\frac{1}{n+1}(n+1)z^{n+1-1}
-=
-z^n,
-\\
-n+1&<0\colon
-&
-\frac{d}{dz}\frac{1}{n+1}\frac{1}{z^{-(n+1)}}
-&=
-\frac{1}{n+1}\frac{1'z^{-(n+1)}-1(-(n+1))z^{-n-1-1}}{z^{-2n-2}}
-\\
-&&
-&=
-\frac{1}{n+1}
-\frac{(n+1)z^n{-n-2}}{z^{-2n-2}}
-\\
-&&
-&=
-\frac{1}{z^{-n}}=z^n.
-\end{align*}
-Man beachte, dass in dieser Rechnung nichts anderes als die
-algebraischen Eigenschaften der Produkt- und Quotientenregel
-verwendet wurden.
-\end{proof}
-
-\subsubsection{Wurzeln}
-Die Wurzelfunktionen sollen natürlich als elementare Funktionen
-erlaubt sein.
-Es ist bekannt, dass $\sqrt{z}\not\in \mathscr{D}=\mathbb{C}(z)$
-ist, ein solches Element müsste also erst noch hinzugefügt werden.
-Dabei muss auch seine Ableitung definiert werden.
-Auch dabei dürfen wir nicht auf eine Grenzwertüberlegung zurückgreifen,
-vielmehr müssen wir die Ableitung auf vollständig algebraische
-Weise bestimmen.
-
-Wir schreiben $f=\sqrt{z}$ und leiten die Gleichung $f^2=z$ nach $z$ ab.
-Dabei ergibt sich nach der Potenzregel
-\[
-\frac{d}{dz}f^2 = 2f'f = \frac{d}{dz}z=1
-\qquad\Rightarrow\qquad f' = \frac{1}{2f}.
-\]
-Diese Rechnung lässt sich auch auf $n$-Wurzeln $g=\root{n}\of{z}$ mit
-der Gleichung $g^n = z$ verallgemeinern.
-Die Ableitung der $n$-ten Wurzel ist
-\begin{equation}
-\frac{d}{dz}g^n
-=
-ng^{n-1} = \frac{d}{dz}z=1
-\qquad\Rightarrow\qquad
-\frac{d}{dz}g = \frac{1}{ng^{n-1}}.
-\end{equation}
-Es ist also möglich, eine differentielle Algebra $\mathscr{D}$ mit einer
-$n$-ten Wurzel $g$ zu einer grösseren differentiellen Algebra $\mathscr{D}(g)$
-zu erweitern, in der wieder alle Regeln für das Rechnen mit Ableitungen
-erfüllt sind.
-
-\subsubsection{Algebraische Elemente}
-Die Charakterisierung der Wurzelfunktionen passt zwar zum verlangten
-algebraischen Vorgehen, ist aber zu spezielle und nicht gut für die
-nachfolgenden Untersuchengen geeignet.
-Etwas allgemeiner ist der Begriff der algebraischen Elemente.
-
-\begin{definition}
-\label{buch:integrale:def:algebraisches-element}
-Seien $K\subset L$ zwei Körper.
-Ein Element $\alpha \in L$ heisst {\em algebraisch} über $K$,
-wenn $\alpha$ Nullstelle eines Polynoms $p\in K[X]$ mit Koeffizienten
-in $K$ ist.
-\index{algebraisch}%
-\end{definition}
-
-Jedes Element $\alpha\in K$ ist algebraisch, da $\alpha$ Nullstelle
-von $X-\alpha\in K[X]$ ist.
-Die $n$tem Wurzeln eines Elemente $\alpha\in K$ sind ebenfalls algebraisch,
-da sie Nullstellen des Polynoms $p(X) = X^n - \alpha$ sind.
-Allerdings ist nicht klar, dass diese Wurzeln überhaupt existieren.
-Nach dem Satz von Abel~\ref{buch:potenzen:satz:abel} gibt es aber
-Nullstellen von Polynomen, die sich nicht als Wurzelausdrücke schreiben
-lassen.
-Der Begriff der algebraischen Elemente ist also allgemeiner als der
-Begriff der Wurzel.
-
-\begin{definition}
-\label{buch:integrale:def:algebraisch-abgeschlossen}
-Ein Körper $K$ heisst {\em algebraisch abgeschlossen}, wenn jedes Polynom mit
-Koeffizienten in $K$ eine Nullstelle in $K$ hat.
-\end{definition}
-
-Der Körper $\mathbb{C}$ ist nach dem
-Fundamentalsatz~\label{buch:potenzen:satz:fundamentalsatz}
-der Algebra algebraisch abgeschlossen.
-Da wir aber mit Funktionen arbeiten, müssen wir auch Wurzeln
-von Funktionen finden können.
-Dies ist nicht selbstverständlich, wie das folgende Beispiel zeigt.
-
-\begin{beispiel}
-Es gibt keine stetige Funktion $f\colon \mathbb{C}\to\mathbb{C}$, die
-die Gleichung $f(z)^2 = z$ und $f(1)=1$ erfüllt.
-Für die Argumente $z(t)= e^{it}$ folgt, dass $f(z(t)) = e^{it/2}$ sein
-muss.
-Setzt man aber $t=\pm \pi$ ein, ergeben sich die Werte
-$f(z(\pm\pi))=e^{\pm i\pi/2}=\pm 1$, die beiden Grenzwerte
-für $t\to\pm\pi$ sind also verschieden.
-\end{beispiel}
-
-Die Mathematik hat verschiedene ``Tricks'' entwickelt, wie mit diesem
-Problem umgegangen werden kann: Funktionskeime, Garben, Riemannsche
-Flächen.
-Sie sind alle gleichermassen gut geeignet, das Problem zu lösen.
-Für die vorliegende Aufgabe genügt es aber, dass es tatsächlich
-immer ein wie auch immer geartetes Element gibt, welches Nullstelle
-des Polynoms ist.
-
-Ist $f$ eine Nullstelle des Polynoms $p(X)$ mit Koeffizienten in
-$\mathscr{D}$, dann kann man die Ableitung wie folgt berechnen.
-Zunächst leitet man $p(f)$ ab:
-\begin{align}
-0&=
-\frac{d}{dz}(a_nf^n + a_{n-1}f^{n-1}+\ldots+a_1f+a_0)
-\notag
-\\
-&=
-a_n'f^n + a_{n-1}'f^{n-1}+\ldots+a_1'f+a_0'
-+
-na_nf^{n-1}f'
-+
-(n-1)a_nf^{n-2}f'
-+
-\ldots
-+
-a_2ff'
-+
-a_1f'
-\notag
-\\
-&=
-a_n'f^n + a_{n-1}'f^{n-1}+\ldots+a_1'f+a_0'
-+
-(
-na_nf^{n-1}
-+
-(n-1)a_nf^{n-2}
-+
-\ldots
-+
-a_2f
-+
-a_1
-)f'
-\notag
-\\
-\Rightarrow
-\qquad
-f'&=\frac{
-a_n'f^n + a_{n-1}'f^{n-1}+\dots+a_1'f+a_0'
-}{
-na_nf^{n-1}
-+
-(n-1)a_nf^{n-2}
-+
-\dots
-+
-a_1
-}.
-\label{buch:integrale:eqn:algabl}
-\end{align}
-Das einzige, was dabei schief gehen könnte ist, dass der Nenner ebenfalls
-verschwindet.
-Dieses Problem kann man dadurch lösen, dass man als Polynom das
-sogenannte Minimalpolynom verwendet.
-
-\begin{definition}
-Das {\em Minimalpolynome} $m(X)$ eines algebraischen Elementes $\alpha$ ist
-das Polynom kleinsten Grades, welches $m(\alpha)=0$ erfüllt.
-\end{definition}
-
-Da das Minimalpolynom den kleinstmöglichen Grad hat, kann der Nenner
-von~\eqref{buch:integrale:eqn:algabl},
-der noch kleineren Grad hat, unmöglich verschwinden.
-Das Minimalpolynom ist auch im wesentlichen eindeutig.
-Gäbe es nämlich zwei verschiedene Minimalpolynome $m_1$ und $m_2$,
-dann müsste $\alpha$ auch eine Nullstelle des grössten gemeinsamen
-Teilers $m_3=\operatorname{ggT}(m_1,m_2)$ sein.
-Wären die beiden Polynome wesentlich verschieden, dann hätte $m_3$
-kleineren Grad, im Widerspruch zur Definition des Minimalpolynoms.
-Also unterscheiden sich die beiden Polynome $m_1$ und $m_2$ nur um
-einen skalaren Faktor.
-
-\subsubsection{Konjugation, Spur und Norm}
-% Konjugation, Spur und Norm
-Das Minimalpolynom eines algebraischen Elementes ist nicht
-eindeutig bestimmt.
-Zum Beispiel ist $\sqrt{2}$ algebraisch über $\mathbb{Q}$, das
-Minimalpolynom ist $m(X)=X^2-2\in\mathbb{Q}[X]$. 
-Es hat aber noch eine zweite Nullstelle $-\sqrt{2}$.
-Mit rein algebraischen Mitteln sind die beiden Nullstellen $\pm\sqrt{2}$
-nicht zu unterscheiden, erst die Verwendung der Vergleichsrelation
-ermöglicht, sie zu unterscheiden.
-
-Dasselbe gilt für die imaginäre Einheit $i$, die das Minimalpolynom
-$m(X)=X^2+1\in\mathbb{R}[X]$ hat.
-Hier gibt es nicht einmal mehr eine Vergleichsrelation, mit der man
-die beiden Nullstellen unterscheiden könnte.
-In der Tat ändert sich aus algebraischer Sicht nichts, wenn man in
-allen Formeln $i$ durch $-i$ ersetzt.
-
-Etwas komplizierter wird es bei $\root{3}\of{2}$.
-Das Polynom $m=x^3-2\in\mathbb{Q}[X]$ hat $\root{3}\of{2}$ als
-Nullstelle und dies ist auch tatsächlich das Minimalpolynom.
-Das Polynom hat noch zwei weitere Nullstellen
-\[
-\alpha_+ = \frac{-1+i\sqrt{3}}{2}\root{3}\of{2}
-\qquad\text{und}\qquad
-\alpha_- = \frac{-1-i\sqrt{3}}{2}\root{3}\of{2}.
-\]
-Die beiden Lösungen gehen durch die Vertauschung von $i$ und $-i$ 
-auseinander hervor.
-Betrachtet man dasselbe Polynom aber als Polynom in $\mathbb{R}[X]$,
-dann ist es nicht mehr das Minimalpolynom von $\root{3}\of{2}$, da
-$X-\root{3}\of{2}\in\mathbb{R}[X]$ kleineren Grad und $\root{3}\of{2}$
-als Nullstelle hat.
-Indem man
-\[
-m(X)/(X-\root{3}\of{2})=X^2+\root{3}\of{2}X+\root{3}\of{2}^2=m_2(X)
-\]
-rechnet, bekommt man das Minimalpolynom der beiden Nullstellen $\alpha_+$
-und $\alpha_-$.
-Wir lernen aus diesen Beispielen, dass das Minimalpolynom vom Grundkörper
-abhängig ist (Die Faktorisierung $(X-\root{3}\of{2})\cdot m_2(X)$ von
-$m(X)$ ist in $\mathbb{Q}[X]$ nicht möglich) und dass wir keine 
-algebraische Möglichkeit haben, die verschiedenen Nullstellen des
-Minimalpolynoms zu unterscheiden.
-
-Die beiden Nullstellen $\alpha_+$ und $\alpha_-$ des Polynoms $m_2(X)$
-erlauben, $m_2(X)=(X-\alpha_+)(X-\alpha_-)$ zu faktorisieren.
-Durch Ausmultiplizieren
-\[
-(X-\alpha_+)(X-\alpha_-)
-=
-X^2 -(\alpha_++\alpha_-)X+\alpha_+\alpha_-
-\]
-und Koeffizientenvergleich mit $m_2(X)$ findet man die symmetrischen 
-Formeln
-\[
-\alpha_+ + \alpha_- = \root{3}\of{2}
-\qquad\text{und}\qquad
-\alpha_+ \alpha_ = \root{3}\of{2}.
-\]
-Diese Ausdrücke sind nicht mehr abhängig von einer speziellen Wahl
-der Nullstellen.
-
-Das Problem verschärft sich nocheinmal, wenn wir Funktionen betrachten.
-Das Polynom $m(X)=X^3-z$ ist das Minimalpolynom der Funktion $\root{3}\of{z}$.
-Die komplexe Zahl $z=re^{i\varphi}$ hat aber drei die algebraisch nicht
-unterscheidbaren Nullstellen 
-\[
-\alpha_0(z)=\root{3}\of{r}e^{i\varphi/3},
-\quad
-\alpha_1(z)=\root{3}\of{r}e^{i\varphi/3+2\pi/3}
-\qquad\text{und}\qquad
-\alpha_2(z)=\root{3}\of{r}e^{i\varphi/3+4\pi/3}.
-\]
-Aus der Faktorisierung $ (X-\alpha_0(z)) (X-\alpha_1(z)) (X-\alpha_2(z))$
-und dem Koeffizientenvergleich mit dem Minimalpolynom kann man wieder
-schliessen, dass die Relationen
-\[
-\alpha_0(z) + \alpha_1(z) + \alpha_2(z)=0
-\qquad\text{und}\qquad
-\alpha_0(z)  \alpha_1(z) \alpha_2(z) = z
-\]
-gelten.
-
-Wir können also oft keine Aussagen über individuelle Nullstellen
-eines Minimalpolynoms machen, sondern nur über deren Summe oder
-Produkt.
-
-\begin{definition}
-\index{buch:integrale:def:spur-und-norm}
-Sie $m(X)\in K[X]$ das Minimalpolynom eines über $K$ algebraischen
-Elements und
-\[
-m(X) = a_nX^n + a_{n-1}X^{n-1} + \ldots + a_1X + a_0.
-\]
-Dann heissen
-\[
-\operatorname{Tr}(\alpha) = -a_{n-1}
-\qquad\text{und}\qquad
-\operatorname{Norm}(\alpha) = (-1)^n a_0
-\]
-die {\em Spur} und die {\em Norm} des Elementes $\alpha$.
-\index{Spur eines algebraischen Elementes}%
-\index{Norm eines algebraischen Elementes}%
-\end{definition}
-
-Die Spur und die Norm können als Spur und Determinante einer Matrix
-verstanden werden, diese allgemeineren Definitionen, die man in der
-Fachliteratur, z.~B.~in~\cite{buch:lang} nachlesen kann, führen aber
-für unsere Zwecke zu weit.
-
-\begin{hilfssatz}
-Die Ableitungen von Spur und Norm sind
-\[
-\operatorname{Tr}(\alpha)'
-=
-\operatorname{Tr}(\alpha')
-\qquad\text{und}\qquad
-\operatorname{Norm}(\alpha)'
-=
-\operatorname{Tr}(\alpha)'
-\]
-XXX Wirklich?
-\end{hilfssatz}
-
-\subsubsection{Logarithmen und Exponentialfunktionen}
-Die Funktion $z^{-1}$ musste im
-Satz~\ref{buch:integrale:satz:potenzstammfunktion}
-ausgeschlossen werden, sie hat keine Stammfunktion in $\mathbb{C}(z)$.
-Aus der Analysis ist bekannt, dass die Logarithmusfunktion $\log z$ 
-eine Stammfunktion ist.
-Der Logarithmus von $z$ aber auch der Logarithmus $\log f(z)$
-einer beliebigen Funktion $f(z)$ oder die Exponentialfunktion $e^{f(z)}$
-sollen ebenfalls elementare Funktionen sein.
-Da wir aber auch hier nicht auf die analytischen Eigenschaften zurückgreifen
-wollen, brauchen wir ein rein algebraische Definition.
-
-\begin{definition}
-\label{buch:integrale:def:logexp}
-Sei $\mathscr{D}$ ein differentielle Algebra und $f\in\mathscr{D}$.
-Ein Element $\vartheta\in\mathscr{D}$ heisst ein {\em Logarithmus}
-von $f$, geschrieben $\vartheta = \log f$, wenn $f\vartheta' = f'$ gilt.
-$\vartheta$ heisst eine Exponentialfunktion von $f$ wenn
-$\vartheta'=\vartheta f'$ gilt.
-\end{definition}
-
-Die Formel für die Exponentialfunktion ist etwas vertrauter, sie ist
-die bekannte Kettenregel
-\begin{equation}
-\vartheta'
-=
-\frac{d}{dz} e^f
-=
-e^f \cdot \frac{d}{dz} f
-=
-\vartheta \cdot f'.
-\label{buch:integrale:eqn:exponentialableitung}
-\end{equation}
-Da wir uns vorstellen, dass Logarithmen Umkehrfunktionen von 
-Exponentialfunktionen sein sollen, 
-muss die definierende Gleichung genau wie
-\eqref{buch:integrale:eqn:exponentialableitung}
-aussehen, allerdings mit vertauschten Plätzen von $f$ und $\vartheta$,
-also 
-\begin{equation}
-\vartheta' = \vartheta\cdot f'
-\qquad
-\rightarrow
-\qquad
-f' = f\cdot \vartheta'
-\;\Leftrightarrow\;
-\vartheta' = (\log f)' = \frac{f'}{f}.
-\label{buch:integrale:eqn:logarithmischeableitung}
-\end{equation}
-Dies ist die aus der Analysis bekannte Formel für die logarithmische
-Ableitung.
-
-Der Logarithmus von $f$ und die Exponentialfunktion von $f$ sollen
-also ebenfalls als elementare Funktionen betrachtet werden.
-
-\subsubsection{Die trigonometrischen Funktionen}
-Die bekannten trigonometrischen Funktionen und ihre Umkehrfunktionen
-sollten natürlich auch elementare Funktionen sein.
-Dabei kommt uns zur Hilfe, dass sie sich mit Hilfe der Exponentialfunktion
-als
-\[
-\cos f = \frac{e^{if}+e^{-if}}2
-\qquad\text{und}\qquad
-\sin f = \frac{e^{if}-e^{-if}}{2i}
-\]
-schreiben lassen.
-Eine differentielle Algebra, die die Exponentialfunktionen von $if$ und
-$-if$ enthält, enthält also automatisch auch die trigonometrischen
-Funktionen.
-Im Folgenden ist es daher nicht mehr nötig, die trigonometrischen
-Funktionen speziell zu untersuchen.
-
-\subsubsection{Elementare Funktionen}
-Damit sind wir nun in der Lage, den Begriff der elementaren Funktion
-genau zu fassen.
-
-\begin{definition}
-\label{buch:integrale:def:einfache-elementare-funktion}
-Sie $\mathscr{D}$ eine differentielle Algebra über $\mathbb{C}$ und
-$\mathscr{D}(\vartheta)$ eine Erweiterung von $\mathscr{D}$ um eine
-neue Funktion $\vartheta$, dann heissen $\vartheta$ und die Elemente
-von $\mathscr{D}(\vartheta)$ einfach elementar, wenn eine der folgenden
-Bedingungen erfüllt ist:
-\begin{enumerate}
-\item $\vartheta$ ist algebraisch über $\mathscr{D}$, d.~h.~$\vartheta$
-ist eine ``Wurzel''.
-\item $\vartheta$ ist ein Logarithmus einer Funktion in $\mathscr{D}$,
-d.~h.~es gibt $f\in \mathscr{D}$ mit $f'=f\vartheta'$
-(Definition~\ref{buch:integrale:def:logexp}).
-\item $\vartheta$ ist eine Exponentialfunktion einer Funktion in $\mathscr{D}$,
-d.~h.~es bit $f\in\mathscr{D}$ mit $\vartheta'=\vartheta f'$
-(Definition~\ref{buch:integrale:def:logexp}).
-\end{enumerate}
-\end{definition}
-
-Einfache elementare Funktionen entstehen also ausgehend von einer 
-differentiellen Algebra, indem man genau einmal eine Wurzel, einen
-Logarithmus oder eine Exponentialfunktion hinzufügt.
-So etwas wie die zusammengesetzte Funktion $e^{\sqrt{z}}$ ist
-damit noch nicht möglich.
-Daher erlauben wir, dass man die gesuchten Funktionen in mehreren
-Schritten aufbauen kann.
-
-\begin{definition}
-Sei $\mathscr{F}$ eine differentielle Algebra, die die differentielle
-Algebra $\mathscr{D}$ enthält, also $\mathscr{D}\subset\mathscr{F}$.
-$\mathscr{F}$ und die Elemente von $\mathscr{F}$ heissen einfach,
-wenn es endlich viele Elemente $\vartheta_1,\dots,\vartheta_n$ gibt
-derart, dass
-\[
-\renewcommand{\arraycolsep}{2pt}
-\begin{array}{ccccccccccccc}
-\mathscr{D}
-&\subset&
-\mathscr{D}(\vartheta_1)
-&\subset&
-\mathscr{D}(\vartheta_1,\vartheta_2)
-&\subset&
-\;
-\cdots
-\;
-&\subset&
-\mathscr{D}(\vartheta_1,\vartheta_2,\dots,\vartheta_{n-1})
-&\subset&
-\mathscr{D}(\vartheta_1,\vartheta_2,\dots,\vartheta_{n-1},\vartheta_n)
-&=&
-\mathscr{F}
-\\
-\|
-&&
-\|
-&&
-\|
-&&
-&&
-\|
-&&
-\|
-&&
-\\
-\mathscr{F}_0
-&\subset&
-\mathscr{F}_1
-&\subset&
-\mathscr{F}_2
-&\subset&
-\cdots
-&\subset&
-\mathscr{F}_{n-1}
-&\subset&
-\mathscr{F}_{n\mathstrut}
-&&
-\end{array}
-\]
-gilt so, dass jedes $\vartheta_{i+1}$ einfach ist über 
-$\mathscr{F}_i=\mathscr{D}(\vartheta_1,\dots,\vartheta_i)$.
-\end{definition}
-
-In Worten bedeutet dies, dass man den Funktionen von $\mathscr{D}$ 
-nacheinander Wurzeln, Logarithmen oder Exponentialfunktionen einzelner
-Funktionen hinzufügt.
-Die Aufgabe~\ref{buch:integrale:aufgabe:existenz-stammfunktion} kann
-jetzt so formuliert werden.
-
-\begin{aufgabe}
-\label{buch:integrale:aufgabe:existenz-stammfunktion-dalg}
-Gegeben ist eine Differentielle Algebra $\mathscr{D}$ und eine
-Funktion $f\in \mathscr{D}$.
-Gibt es eine Folge $\vartheta_1,\dots,\vartheta_n$ und eine Funktion
-$F\in\mathscr{D}(\vartheta_1,\dots,\vartheta_n)$ derart, dass
-$F'=f$.
-\end{aufgabe}
-
-Das folgende Beispiel zeigt, wie man möglicherweise mehrere 
-Erweiterungsschritte vornehmen muss, um zu einer Stammfunktion
-zu kommen.
-Es illustriert auch die zentrale Rolle, die der Partialbruchzerlegung
-in der weiteren Entwicklung zukommen wird.
-
-\begin{beispiel}
-\label{buch:integrale:beispiel:nichteinfacheelementarefunktion}
-Es soll eine Stammfunktion der Funktion
-\[
-f(z)
-=
-\frac{z}{(az+b)(cz+d)}
-\in
-\mathbb{C}(z)
-\]
-gefunden werden.
-In der Analysis lernt man, dass solche Integrale mit der
-Partialbruchzerlegung 
-\[
-\frac{z}{(az+b)(cz+d)}
-=
-\frac{A_1}{az+b}+\frac{A_2}{cz+d}
-=
-\frac{A_1cz+A_1d+A_2az+A_2b}{(az+b)(cz+d)}
-\quad\Rightarrow\quad
-\left\{
-\renewcommand{\arraycolsep}{2pt}
-\begin{array}{rcrcr}
-cA_1&+&aA_2&=&1\\
-dA_1&+&bA_2&=&0
-\end{array}
-\right.
-\]
-bestimmt werden.
-Die Lösung des Gleichungssystems ergibt
-$A_1=b/(bc-ad)$ und $A_2=d/(ad-bc)$.
-Die Stammfunktion kann dann aus
-\begin{align*}
-\int f(z)\,dz
-&=
-\int\frac{A_1}{az+b}\,dz
-+
-\int\frac{A_2}{cz+d}\,dz
-=
-\frac{A_1}{a}\int\frac{a}{az+b}\,dz
-+
-\frac{A_2}{c}\int\frac{c}{cz+d}\,dz
-\end{align*}
-bestimmt werden.
-In den Integralen auf der rechten Seite ist der Zähler jeweils die
-Ableitung des Nenners, der Integrand hat also die Form $g'/g$.
-Genau diese Form tritt in der Definition eines Logarithmus auf.
-Die Stammfunktion ist jetzt
-\[
-F(z)
-=
-\int f(z)\,dz
-=
-\frac{A_1}{a}\log(az+b)
-+
-\frac{A_2}{c}\log(cz+d)
-=
-\frac{b\log(az+b)}{a(bc-ad)}
-+
-\frac{d\log(cz+d)}{c(ad-bc)}.
-\]
-Die beiden Logarithmen kann man nicht durch rein rationale Operationen
-ineinander überführen.
-Sie müssen daher beide der Algebra $\mathscr{D}$ hinzugefügt werden.
-\[
-\left.
-\begin{aligned}
-\vartheta_1&=\log(az+b)\\
-\vartheta_2&=\log(cz+d)
-\end{aligned}
-\quad
-\right\}
-\qquad\Rightarrow\qquad
-F(z) \in \mathscr{F}=\mathscr{D}(\vartheta_1,\vartheta_2).
-\]
-Die Stammfunktion $F(z)$ ist also keine einfache elementare Funktion,
-aber $F$ ist immer noch eine elementare Funktion.
-\end{beispiel}
-
-\subsection{Partialbruchzerlegung
-\label{buch:integrale:section:partialbruchzerlegung}}
-Die Konstruktionen des letzten Abschnitts haben gezeigt,
-wie man die Funktionen, die man als Stammfunktionen einer Funktion
-zulassen möchte, schrittweise konstruieren kann.
-Die Aufgabe~\ref{buch:integrale:aufgabe:existenz-stammfunktion-dalg}
-ist eine rein algebraische Formulierung der ursprünglichen
-Aufgabe~\ref{buch:integrale:aufgabe:existenz-stammfunktion}.
-Schliesslich hat das Beispiel auf
-Seite~\pageref{buch:integrale:beispiel:nichteinfacheelementarefunktion}
-gezeigt, dass es im allgemeinen mehrere Schritte braucht, um zu einer
-elementaren Stammfunktion zu gelangen.
-Die Lösung setzt sich aus den Termen der Partialbruchzerlegung.
-In diesem Abschnitt soll diese genauer studiert werden.
-
-In diesem Abschnitt gehen wir immer von einer differentiellen
-Algebra über den komplexen Zahlen aus und verlangen, dass die
-Konstanten in allen betrachteten differentiellen Algebren
-$\mathbb{C}$ sind.
-
-\subsubsection{Monome}
-Die beiden Funktionen $\vartheta-1=\log(az+b)$ und $\vartheta_2=(cz+d)$,
-die im Beispiel hinzugefügt werden mussten, verhalten sich ich algebraischer
-Hinsicht wie ein Monom: man kann es nicht faktorisieren oder bereits
-bekannte Summanden aufspalten.
-Solchen Funktionen kommt eine besondere Bedeutung zu.
-
-\begin{definition}
-\label{buch:integrale:def:monom}
-Die Funktion $\vartheta$ heisst ein Monom, wenn $\vartheta$ nicht
-algebraisch ist über $\mathscr{D}$ und $\mathscr{D}(\vartheta)$ die
-gleichen Konstanten enthält wie $\mathscr{D}$.
-\end{definition}
-
-\begin{beispiel}
-Als Beispiel beginnen wir mit den komplexen Zahlen $\mathbb{C}$
-und fügen die Funktion $\vartheta_1=z$ hinzu und erhalten
-$\mathscr{D}=\mathbb{C}(z)$.
-Die Funktionen $z^k$ sind für alle $k$ linear unabhängig, d.~h.~es
-gibt keinen Ausdruck
-\[
-a_nz^n + a_{n-1}z^{n-1}+\cdots+a_1z+a_0=0.
-\]
-Dies ist gleichbedeutend damit, dass $z$ nicht algebraisch ist.
-Das Monom $z$ ist also auch ein Monom im Sinne der
-Definition~\ref{buch:integrale:def:monom}.
-\end{beispiel}
-
-\begin{beispiel}
-Wir beginnen wieder mit $\mathbb{C}$ und fügen die Funktion
-$e^z$ hinzu.
-Gäbe es eine Beziehung
-\[
-b_m(e^z)^m + b_{m-1}(e^z)^{m-1}+\dots+b_1e^z + b_0=0
-\]
-mit komplexen Koeffizienten $b_i\in\mathbb{C}$,
-dann würde daraus durch Einsetzen von $z=1$ die Relation
-\[
-b_me^m + b_{m-1}e^{m-1} + \dots + b_1e + b_0=0,
-\]
-die zeigen würde, dass $e$ eine algebraische Zahl ist.
-Es ist aber bekannt, dass $e$ transzendent ist.
-Dieser Widersprich zeigt, dass $e^z$ ein Monom ist.
-\end{beispiel}
-
-\begin{beispiel}
-Jetzt fügen wir die Exponentialfunktion $\vartheta_2=e^z$
-der differentiellen Algebra $\mathscr{D}=\mathbb{C}(z)$ hinzu
-und erhalten $\mathscr{F}_1=\mathscr{D}(e^z) = \mathbb{C}(z,e^z)$.
-Gäbe es das Minimalpolynom 
-\begin{equation}
-b_m(z)(e^z)^m + b_{m-1}(z)(e^z)^{m-1}+\dots+b_1(z)e^z + b_0(z)=0
-\label{buch:integrale:beweis:exp-analytisch}
-\end{equation}
-mit Koeffizienten $b_i\in\mathbb{C}(z)$, dann könnte man mit dem
-gemeinsamen Nenner der Koeffizienten durchmultiplizieren und erhielte
-eine Relation~\eqref{buch:integrale:beweis:exp-analytisch} mit
-Koeffizienten in $\mathbb{C}[z]$.
-Dividiert man durch $e^{mz}$ erhält man
-\[
-b_m(z) + b_{m-1}(z)\frac{1}{e^z} + \dots + b_1(z)\frac{1}{(e^z)^{m-1}} + b_0(z)\frac{1}{(e^z)^m}=0.
-\]
-Aus der Analysis weiss man, dass die Exponentialfunktion schneller
-anwächst als jedes Polynom, alle Terme auf der rechten Seite
-konvergieren daher gegen 0 für $z\to\infty$.
-Das bedeutet, dass $b_m(z)\to0$ für $z\to \infty$.
-Das Polynom~\eqref{buch:integrale:beweis:exp-analytisch} wäre also gar
-nicht das Minimalpolynom.
-Dieser Widerspruch zeigt, dass $e^z$ nicht algebraisch ist über
-$\mathbb{C}(z)$ und damit ein Monom ist\footnote{Etwas unbefriedigend
-an diesem Argument ist, dass man hier wieder rein analytische statt
-algebraische Eigenschaften von $e^z$ verwendet.
-Gäbe es aber eine minimale Relation wie
-\eqref{buch:integrale:beweis:exp-analytisch}
-mit Polynomkoeffizienten, dann wäre sie von der Form
-\[
-P(z,e^z)=p(z)(e^z)^m + q(z,e^z)=0,
-\]
-wobei Grad von $e^z$ in $q$ höchstens $m-1$ ist.
-Die Ableitung wäre dann
-\[
-Q(z,e^z)
-=
-mp(z)(e^z)^m + p'(z)(e^z)^m + r(z,e^z)
-=
-(mp(z) + p'(z))(e^z)^m + r(z,e^z)
-=0,
-\]
-wobei der Grad von $e^z$ in $r$ wieder höchstens $m-1$ ist.
-Bildet man $mP(z,e^z) - Q(z,e^z) = 0$ ensteht eine Relation,
-in der der Grad des Koeffizienten von $(e^z)^m$ um eins abgenommen hat.
-Wiederholt man dies $m$ mal, verschwindet der Term $(e^z)^m$, die
-Relation~\eqref{buch:integrale:beweis:exp-analytisch}
-war also gar nicht minimal.
-Dieser Widerspruch zeigt wieder, dass $e^z$ nicht algebraisch ist,
-verwendet aber nur die algebraischen Eigenschaften der differentiellen
-Algebra.
-}.
-\end{beispiel}
-
-\begin{beispiel}
-Wir hätten auch in $\mathbb{Q}$ arbeiten können und $\mathbb{Q}$
-erst die Exponentialfunktion $e^z$ und dann den Logarithmus $z$ von $e^z$
-hinzufügen können.
-Es gibt aber noch weitere Logarithmen von $e^z$ zum Beispiel $z+2\pi i$.
-Offenbar ist $\psi=z+2\pi i\not\in \mathbb{Q}(z,e^z)$, wir könnten also
-auch noch $\psi$ hinzufügen.
-Zwar ist $\psi$ auch nicht algebraisch, aber wenn wir $\psi$ hinzufügen,
-dann wird aber die Menge der Konstanten grösser, sie umfasst jetzt
-$\mathbb{Q}(2\pi i)$.
-Die Bedingung in der Definition~\ref{buch:integrale:def:monom},
-dass die Menge der Konstanten nicht grösser werden darf, ist also
-verletzt.
-
-Hätte man mit $\mathbb{Q}(e^z, z+2\pi i)$ begonnen, wäre $z$ aus
-dem gleichen Grund kein Monom, aber $z+2\pi i$ wäre eines im Sinne
-der Definition~\ref{buch:integrale:def:monom}.
-In allen Rechnungen könnte man $\psi=z+2\pi i$ nicht weiter aufteilen,
-da $\pi$ oder seine Potenzen keine Elemente von $\mathbb{Q}(e^z)$ sind.
-\end{beispiel}
-
-Da wir im Folgenden davon ausgehen, dass die Konstanten unserer
-differentiellen Körper immer $\mathbb{C}$ sind, wird es jeweils
-genügen zu untersuchen, ob eine neu hinzuzufügende Funktion algebraisch
-ist oder nicht.
-
-\subsubsection{Ableitungen von Polynomen und rationalen Funktionen von Monomen}
-Fügt man einer differentiellen Algebra ein Monom hinzu, dann lässt
-sich etwas mehr über Ableitungen von Polynomen oder Brüchen in diesen
-Monomen sagen.
-Diese Eigenschaften werden später bei der Auflösung der Partialbruchzerlegung
-nützlich sein.
-
-\begin{satz}
-\label{buch:integrale:satz:polynom-ableitung-grad}
-Sei
-\[
-P
-=
-A_nX^n + A_{n-1}X^{n-1} + \dots A_1X+A_0
-\in\mathscr{D}[X]
-\]
-ein Polynom mit Koeffizienten in einer differentiellen Algebra $\mathscr{D}$
-und $\vartheta$ ein Monom über $\mathscr{D}$.
-Dann gilt
-\begin{enumerate}
-\item
-\label{buch:integrale:satz:polynom-ableitung-grad-log}
-Falls $\vartheta=\log f$ ist, ist $P(\vartheta)'$ ein
-Polynom vom Grad $n$ in $\vartheta$, wenn der Leitkoeffizient $A_n$
-nicht konstant ist, andernfalls ein Polynom vom Grad $n-1$.
-\item
-\label{buch:integrale:satz:polynom-ableitung-grad-exp}
-Falls $\vartheta = \exp f$ ist, dann ist $P(\vartheta)'$ ein Polynom
-in $\vartheta$ vom Grad $n$.
-\end{enumerate}
-\end{satz}
-
-Der Satz macht also genaue Aussagen darüber, wie sich der Grad eines
-Polynoms in $\vartheta$ beim Ableiten ändert.
-
-\begin{proof}[Beweis]
-Für Exponentialfunktion ist $\vartheta'=\vartheta f'$, die Ableitung
-fügt also einfach einen Faktor $f'$ hinzu.
-Terme der Form $A_k\vartheta^k$ haben die Ableitung
-\[
-(A_k\vartheta^k)
-=
-A'_k\vartheta^k + A_kk\vartheta^{k-1}\vartheta'
-=
-A'_k\vartheta^k + A_kk\vartheta^{k-1}\vartheta f'
-=
-(A'_k + kA_k f)\vartheta^k.
-\]
-Damit wird die Ableitung des Polynoms
-\begin{equation}
-P(\vartheta)'
-=
-\underbrace{(A'_n+nA_nf')\vartheta^n}_{\displaystyle=(A_n\vartheta^n)'}
-+
-(A'_{n-1}+(n-1)A_{n-1}f')\vartheta^{n-1}
-+ \dots + 
-(A'_1+A_1f')\vartheta + A_0'.
-\label{buch:integrale:ableitung:polynom}
-\end{equation}
-Der Grad der Ableitung kann sich also nur ändern, wenn $A_n'+nA_nf'=0$ ist.
-Dies bedeutet aber wegen
-\(
-(A_n\vartheta^n)'
-=
-0
-\), dass  $A_n\vartheta^n=c$ eine Konstante ist.
-Da alle Konstanten bereits in $\mathscr{D}$ sind, folgt, dass
-\[
-\vartheta^n=\frac{c}{A_n}
-\qquad\Rightarrow\qquad
-\vartheta^n - \frac{c}{A_n}=0,
-\]
-also wäre $\vartheta$ algebraisch über $\mathscr{D}$, also auch kein Monom.
-Dieser Widerspruch zeigt, dass der Leitkoeffizient nicht verschwinden kann.
-
-Für die erste Aussage ist die Ableitung der einzelnen Terme des Polynoms
-\[
-(A_k\vartheta^k)'
-=
-A_k'\vartheta^k + A_kk\vartheta^{k-1}\vartheta'
-=
-A_k'\vartheta^k + A_kk\vartheta^{k-1}\frac{f'}{f}
-=
-\biggl(A_k'\vartheta + kA_k\frac{f'}{f}\biggr)\vartheta^{k-1}.
-\]
-Die Ableitung des Polynoms ist daher
-\[
-P(\vartheta)'
-=
-A_n'\vartheta^n + \biggl(nA_n\frac{f'}{f}+ A'_{n-1}\biggr)\vartheta^{n-1}+\dots
-\]
-Wenn $A_n$ keine Konstante ist, ist $A_n'\ne 0$ und der Grad von
-$P(\vartheta)'$ ist $n$.
-Wenn $A_n$ eine Konstante ist, müssen wir noch zeigen, dass der nächste
-Koeffizient nicht verschwinden kann.
-Wäre der zweite Koeffizient $=0$, dann wäre die Ableitung
-\[
-(nA_n\vartheta+A_{n-1})'
-=
-nA_n\vartheta'+A'_{n-1}
-=
-nA_n\frac{f'}{f}+A'_{n-1}
-=
-0,
-\]
-d.h. $nA_n\vartheta+A_{n-1}=c$ wäre eine Konstante.
-Da alle Konstanten schon in $\mathscr{D}$ sind, müsste auch
-\[
-\vartheta = \frac{c-A_{n-1}}{nA_n} \in \mathscr{D}
-\]
-sein, wieder wäre $\vartheta$ kein Monom.
-\end{proof}
-
-Der nächste Satz gibt Auskunft über den führenden Term in
-$(\log P(\vartheta))' = P(\vartheta)'/P(\vartheta)$.
-
-\begin{satz}
-\label{buch:integrale:satz:log-polynom-ableitung-grad}
-Sei $P$ ein Polynom vom Grad $n$ wie in
-\label{buch:integrale:satz:log-polynom-ableitung}
-welches zusätzlich normiert ist, also $A_n=1$.
-\begin{enumerate}
-\item
-\label{buch:integrale:satz:log-polynom-ableitung-log}
-Ist $\vartheta=\log f$, dann ist
-$(\log P(\vartheta))' = P(\vartheta)'/P(\vartheta)$ und $P(\vartheta)'$
-hat Grad $n-1$.
-\item
-\label{buch:integrale:satz:log-polynom-ableitung-exp}
-Ist $\vartheta=\exp f$, dann gibt es ein Polynom $N(\vartheta)$ so, dass
-$(\log P(\vartheta))'
-=
-P(\vartheta)'/P(\vartheta)
-=
-N(\vartheta)/P(\vartheta)+nf'$
-ist.
-Falls $P(\vartheta)=\vartheta$ ist $N=0$, andernfalls ist $N(\vartheta)$
-ein Polynom vom Grad $<n$.
-\end{enumerate}
-\end{satz}
-
-\begin{proof}[Beweis]
-Die Gleichung $(\log P(\vartheta))'=P(\vartheta)'/P(\vartheta)$ ist die
-Definition eines Logarithmus, es geht also vor allem um die Frage
-des Grades von $P(\vartheta)'$.
-Da der Leitkoeffizient als $1$ und damit konstant vorausgesetzt wurde,
-folgt die Behauptung \ref{buch:integrale:satz:log-polynom-ableitung-log}
-aus 
-Aussage \ref{buch:integrale:satz:polynom-ableitung-grad-log}
-von Satz~\ref{buch:integrale:satz:polynom-ableitung-grad}.
-
-Für Aussage \ref{buch:integrale:satz:log-polynom-ableitung-exp}
-beachten wir wieder die
-Ableitungsformel~\eqref{buch:integrale:ableitung:polynom}
-und berücksichtigen, dass $A_n=1$ eine Konstante ist.
-Da $A_n'=0$ ist, wird
-\begin{align*}
-P(\vartheta)'
-&=
-nA_n\vartheta^n f' + \text{Terme niedrigeren Grades in $\vartheta$}.
-\intertext{Das Polynom $nf'P(\vartheta)$ hat den gleichen Term vom
-Grad $n$, man kann also $P(\vartheta)'$ auch schreiben als}
-&=
-nf'
-P(\vartheta)
-+
-\underbrace{
-\text{Terme niedrigeren Grades in $\vartheta$}}_{\displaystyle=N(\vartheta)}.
-\end{align*}
-Division durch $P(\vartheta)$ ergibt die versprochene Formel.
-
-Im Fall $P(\vartheta)=\vartheta$ ist $n=1$ und
-$(\log P(\vartheta))'=P(\vartheta)'/P(\vartheta)
-=
-\vartheta f'/\vartheta
-=
-nf'$ und somit $N(\vartheta)=0$.
-\end{proof}
-
-\subsubsection{Partialbruchzerlegungen}
-Der vorangegangene Abschnitt hat gezeigt, dass sich Monome im Sinne
-der Definition~\ref{buch:integrale:def:monom} algebraisch wie eine
-unabhängige Variable verhalten.
-Für die Berechnung von Integralen rationaler Funktionen in einer
-Variablen $x$ verwendet
-man die Partialbruchzerlegung, um Brüche mit einfachen Nennern zu
-erhalten.
-Es liegt daher nahe, dieselbe Idee auch auf die 
-Monome $\vartheta_i$ zu verwenden.
-Dazu muss man die Brüche besser verstehen, die in einer Partialbruchzerlegung
-vorkommen können.
-
-Eine Partialbruchzerlegung in der Variablen $X$ setzt sich zusammen
-aus Brüchen der Form
-\begin{equation}
-g(X)
-=
-\frac{P(X)}{Q(X)^r},
-\label{buch:integrale:eqn:partialbruch-quotient}
-\end{equation}
-wobei das Nennerpolynom $Q(X)$ ist ein normiertes irreduzibles Polynom
-vom Grad $q$ und $P(X)$ ein beliebiges Polynom vom Grad $p<q$.
-
-Ist der Grad von $P(X)$
-im Quotienten 
-\eqref{buch:integrale:eqn:partialbruch-quotient}
-grösser als $q$, dann kann man $P(X)$ um Vielfache von Potenzen von
-$Q(X)$ reduzieren und eine Summe von Termen der Art
-\eqref{buch:integrale:eqn:partialbruch-quotient}
-erhalten, deren Nenner alle Grad $< q$ haben.
-Die Anzahl neu enstehender Terme ist dabei ums grösser, je grösser
-der Grad des Zählers ist.
-Dies ist der Inhalt des folgenden Satzes.
-
-\begin{satz}
-\label{buch:integrale:satz:partialbruch-reduktion}
-Sei $Q(X)$ ein irreduzibles Polynom vom Grad $q$ und $P(X)$ ein beliebiges
-Polynom vom Grad $p < (k+1)q$.
-Dann gibt es Polynome $P_i(X)$, $i=0,\dots,k$, vom Grad $<q$ derart,
-dass
-\begin{equation}
-\frac{P(X)}{Q(X)^r}
-=
-\sum_{i=0}^k \frac{P_i(X)}{Q(X)^{r-i}}.
-\label{buch:integrale:satz:partialbruch-aufgeloest}
-\end{equation}
-\end{satz}
-
-\begin{proof}[Beweis]
-Für $k=0$ ist $p<q$ und es muss nichts weiter gezeigt werden.
-
-Sei jetzt also $k>0$ das kleinste $k$ so, dass $p<(k+1)q$.
-Insbesondere ist dann $kq\le p$.
-Nach dem euklidischen Satz für die Division von $P(X)$ durch $Q(X)^k$
-gibt es ein Polynom $P_k(X)$ vom Grad $\le p-qk$ derart, dass
-\[
-P(X) = P_k(X)Q(X)^k + R_k(X)
-\]
-mit einem Rest $R_k(X)$ vom Grad $<kq$.
-Es folgt
-\[
-\frac{ P(X)}{Q(X)^r}
-=
-\frac{P_k(X)}{Q(X)^{r-k}}
-+
-\frac{R_k(X)}{Q(X)^r}.
-\]
-Der zweite Term ist wieder von der im Satz beschriebenen Art, allerdings
-mit einem Wert von $k$, der um $1$ kleiner ist.
-Durch rekursive Anwendung der gleichen Prozedur in $k$ weiteren Schritten
-erhält man die Form
-Das gleiche Argument kann jetzt auf das Polynom $R_k(X)$ anstelle
-von $P(X)$ angewendet werden,  erhalt man den Ausdruck
-\eqref{buch:integrale:satz:partialbruch-aufgeloest}.
-\end{proof}
-
-In der differentiellen Algebra $\mathscr{D}(\vartheta)$ muss man jetzt
-auch Bescheid wissen über die Partialbruchzerlegung von Ableitungen solcher
-Terme.
-
-\begin{satz}
-\label{buch:integrale:satz:partialbruch-monom}
-Sei $\vartheta$ ein Monom über $\mathscr{D}$ und
-seien $P(\vartheta),Q(\vartheta)\in\mathscr{D}[\vartheta]$ Polynome,
-wobei $Q(\vartheta)$ ein irreduzibles normiertes Polynom vom Grad $q$
-ist und $P(\vartheta)$ ein beliebiges Polynom vom Grad $p<q$.
-Dann ist die Ableitung
-\begin{equation}
-g(\vartheta)'
-=
-\biggl(
-\frac{P(\vartheta)}{Q(\vartheta)^r}
-\biggr)'
-=
--r\frac{P(\vartheta)Q(\vartheta)'}{Q(\vartheta)^{r+1}}
-+
-\frac{P(\vartheta)'}{Q(\vartheta)^r}.
-\label{buch:integrale:eqn:partialbruch-ableitung}
-\end{equation}
-Falls $\vartheta=\exp f$ eine Exponentialfunktion ist und
-$Q(\vartheta)=\vartheta$, dann hat die Partialbruchzerlegung von $g(X)'$
-die Form
-\begin{equation}
-g(\vartheta)'
-=
-\frac{
-{P(\vartheta)'-rP(\vartheta)f}
-}{
-\vartheta^{r}
-}.
-\label{buch:integrale:eqn:partialbruch-ableitung-fall0}
-\end{equation}
-Für $Q(\vartheta)\ne \vartheta$ oder $\vartheta$ keine Exponentialfunktion
-hat die Partialbruchzerlegung von $g(X)'$ die Form
-\[
-g(\vartheta)'
-=
-\frac{R(\vartheta)}{Q(\vartheta)^{r+1}}+\frac{S(\vartheta)}{Q(\vartheta)^r}
-\qquad\text{mit $R(\vartheta)\ne 0$}.
-\]
-\end{satz}
-
-\begin{proof}[Beweis]
-Schreibt man den Quotienten $g(\vartheta)$ als
-$g(\vartheta)=P(\vartheta)Q(\vartheta)^{-r}$, dann folgt aus
-Produkt- und Potenzregel
-\[
-g(\vartheta)'
-=
-P(\vartheta)'Q(\vartheta)^{-r}
-+
-P(\vartheta)\bigl(Q(\vartheta)^{-r}\bigr)'
-=
-\frac{P(\vartheta)'}{Q(\vartheta)^{r}}
--r\frac{P(\vartheta)Q(\vartheta)'}{Q(\vartheta)^{r+1}},
-\]
-dies ist
-\eqref{buch:integrale:eqn:partialbruch-ableitung}.
-Auf die Ableitungen von $P(\vartheta)$ und $Q(\vartheta)$ können 
-jetzt die Sätze
-\ref{buch:integrale:satz:polynom-ableitung-grad},
-\ref{buch:integrale:satz:log-polynom-ableitung-grad}
-und
-\ref{buch:integrale:satz:partialbruch-monom}
-angewendet werden.
-Es sind jweils zwei Dinge zu prüfen: es dürfen in der Partialbruchzerlegung
-im Nenner keine Potenzen $<r$ vorkommen und wegen $R\ne 0$ muss der Nenner
-$Q(\vartheta)^{r+1}$ vorkommen.
-
-Falls $\vartheta=\log f$ ist, ist $Q(\vartheta)'$ ein Polynom vom
-Grad $q-1$ nach Satz~\eqref{buch:integrale:satz:polynom-ableitung-grad}
-\ref{buch:integrale:satz:polynom-ableitung-grad-log}
-und $P(\vartheta)'$ ist ein Polynom vom Grad höchstens $p$.
-Der Zähler $P(\vartheta)Q(\vartheta)'$ im zweiten Term ist nicht
-durch $Q(\vartheta)$ teilbar, denn weil $Q(\vartheta)$ irreduzibel
-ist, müsste $Q(\vartheta)$ entweder $P(\vartheta)$ oder $Q(\vartheta)'$
-teilen, aber beide haben zu geringen Grad.
-
-Falls $\vartheta=\exp f$ ist, ist $Q(\vartheta)'$ ein Polynom vom
-Grad $q$ und $P(\vartheta)'$ ist eine Polynom vom Grad $p$.
-Der Grad von $P(\vartheta)Q(\vartheta)'$ ist $<2q$, daher 
-werden nach
-Satz~\ref{buch:integrale:satz:partialbruch-reduktion}
-keine Nenner mit kleinerem Exponenten als $r$ auftreten.
-Es ist noch zu prüfen, ob $Q(\vartheta)$ den Nenner des zweiten Termes
-von~\eqref{buch:integrale:eqn:partialbruch-ableitung} teilt.
-Nehmen wir $Q(\vartheta)\mid P(\vartheta)Q(\vartheta)'$ an, dann muss
-$Q(\vartheta)\mid Q(\vartheta)'$ sein.
-Für
-\[
-Q(\vartheta) = \vartheta^q + q_{q-1}\vartheta^{q-1} + \dots
-\]
-ist die Ableitung
-\[
-Q(\vartheta)'
-=
-q\vartheta^q f'
-+
-\dots
-\]
-und damit
-\[
-\frac{Q(\vartheta)'}{Q(\vartheta)}
-=
-qf'.
-\]
-Andererseits ist in der 
-Aussage~\label{buch:integrale:satz:log-polynom-ableitung-exp}
-von
-Satz~\ref{buch:integrale:satz:log-polynom-ableitung-grad}
-angewendet auf das Polynom $Q(\vartheta)$ das Polynom $N(\vartheta)=0$,
-und daher muss $Q(\vartheta)=\vartheta$ und $q=1$ sein.
-Dies ist der einzige Ausnahmefall, in die Partialbruchzerlegung die Form
-\eqref{buch:integrale:eqn:partialbruch-ableitung-fall0}
-annimmt.
-\end{proof}
-
-Der Satz besagt also, dass in fast allen Fällen die einzelnen Terme
-der Partialbruchzerlegung der Ableitungen wieder von der gleichen
-Form sind.
-
-\subsection{Der Satz von Liouville
-\label{buch:integrale:section:liouville}}
-Die Funktion
-\[
-f(z) = \frac{(z+1)^2}{(z-1)^3} \in \mathbb{C}(z) = \mathscr{D}
-\]
-kann mit Hilfe der Partialbruchzerlegung
-\[
-f(z)
-=
-\frac{1}{z-1}
-+
-\frac{4}{(z-1)^2}
-+
-\frac{4}{(z-1)^3}
-\]
-integriert werden.
-Die Integranden $(z-1)^{-k}$ mit $k>1$ können mit der Potenzregel
-integriert werden, aber für eine Stammfunktion $1/(z-1)$ muss
-der Logarithmus $\log(z-1)$ hinzugefügt werden.
-Die Stammfunktion 
-\[
-\int f(z)\,dz
-=
-\int
-\frac{1}{z-1}
-\,dz
-+
-\int
-\frac{4}{(z-1)^2}
-\,dz
-+
-\int
-\frac{4}{(z-1)^3}
-\,dz
-=
-\log(z-1)
--
-\underbrace{\frac{4z-2}{(z-1)^2}}_{\displaystyle\in\mathscr{D}}
-\in \mathscr{D}(\log(z-1)) = \mathscr{F}
-\]
-hat eine sehr spezielle Form.
-Sie besteht aus einem Term in $\mathscr{D}$ und einem Logarithmus
-einer Funktion von $\mathscr{D}$, also einem Monom über $\mathscr{D}$.
-
-\subsubsection{Einfach elementare Stammfunktionen}
-Der in diesem Abschnitt zu beweisende Satz von Liouville zeigt,
-dass die im einführenden Beispiel konstruierte Form der Stammfunktion
-eine allgemeine Eigenschaft elementar integrierbarer
-Funktionen ist.
-Zunächst aber soll dieses Bespiel etwas verallgemeinert werden.
-
-\begin{satz}[Liouville-Vorstufe für Monome]
-\label{buch:integrale:satz:liouville-vorstufe-1}
-Sei $\vartheta$ ein Monom über $\mathscr{D}$ und $g\in\mathscr{D}(\vartheta)$
-mit $g'\in\mathscr{D}$.
-Dann hat $g$ die Form $v_0 + c_1\vartheta$ mit $v_0\in\mathscr{D}$ und
-$c_1\in\mathbb{C}$.
-\end{satz}
-
-\begin{proof}[Beweis]
-In Anlehnung an das einführende Beispiel nehmen wir an, dass die
-Stammfunktion $g\in\mathscr{D}[\vartheta]$ für ein Monom $\vartheta$
-über $\mathscr{D}$ ist.
-Dann hat $g$ die Partialbruchzerlegung
-\[
-g
-=
-H(\vartheta)
-+
-\sum_{j\le r(i)} \frac{P_{ij}(\vartheta)}{Q_i(\vartheta)^j}
-\]
-mit irreduziblen normierten Polynomen $Q_i(\vartheta)$ und
-Polynomen $P_{ij}(\vartheta)$ vom Grad kleiner als $\deg Q_i(\vartheta)$.
-Ausserdem ist $H(\vartheta)$ ein Polynom.
-Die Ableitung von $g$ muss jetzt aber wieder in $\mathscr{D}$ sein.
-Zu ihrer Berechnung können die Sätze
-\ref{buch:integrale:satz:polynom-ableitung-grad},
-\ref{buch:integrale:satz:log-polynom-ableitung-grad}
-und
-\ref{buch:integrale:satz:partialbruch-monom}
-verwendet werden.
-Diese besagen, dass in der Partialbruchzerlegung die Exponenten der
-Nenner die Quotienten in der Summe nicht kleiner werden.
-Die Ableitung $g'\in\mathscr{D}$ darf aber gar keine Nenner mit
-$\vartheta$ enthalten, also dürfen die Quotienten gar nicht erst
-vorkommen.
-$g=H(\vartheta)$ muss also ein Polynom in $\vartheta$ sein.
-Die Ableitung des Polynoms darf wegen $g'\in\mathscr{d}$ das Monom
-$\vartheta$ ebenfalls nicht mehr enthalten, daher kann es höchstens vom
-Grad $1$ sein.
-Nach Satz~\ref{buch:integrale:satz:log-polynom-ableitung-grad}
-muss ausserdem der Leitkoeffizient von $g$ eine Konstante sein,
-das Polynom hat also genau die behauptete Form.
-\end{proof}
-
-\begin{satz}[Liouville-Vorstufe für algebraische Elemente]
-\label{buch:integrale:satz:liouville-vorstufe-2}
-Sei $\vartheta$ algebraische über $\mathscr{D}$ und
-$g\in\mathscr{D}(\vartheta)$ mit $g'\in\mathscr{D}$.
-\end{satz}
-
-\subsubsection{Elementare Stammfunktionen}
-Nach den Vorbereitungen über einfach elementare Stammfunktionen 
-in den Sätzen~\label{buch:integrale:satz:liouville-vorstufe-1}
-und
-\label{buch:integrale:satz:liouville-vorstufe-2} sind wir jetzt
-in der Lage, den allgemeinen Satz von Liouville zu formulieren
-und zu beweisen.
-
-\begin{satz}[Liouville]
-Sei $\mathscr{D}$ ein Differentialkörper, $\mathscr{F}$ einfach über
-$\mathscr{D}$ mit gleichem Konstantenkörper $\mathbb{C}$.
-Wenn $g\in \mathscr{F}$ eine Stammfunktion von $f\in\mathscr{D}$ ist,
-also $g'=f$, dann gibt es Zahlen $c_i\in\mathbb{C}$ und
-$v_0,v_i\in\mathscr{D}$ derart, dass
-\begin{equation}
-g = v_0 + \sum_{i=1}^k c_i \log v_i
-\qquad\Rightarrow\qquad
-g' = v_0' + \sum_{i=1}^k c_i \frac{v_i'}{v_i} = f
-\label{buch:integrale:satz:liouville-fform}
-\end{equation}
-gilt.
-\end{satz}
-
-Der Satz hat zur Folge, dass eine elementare Stammfunktion für $f$ 
-nur dann existieren kann, wenn sich $f$ in der speziellen Form
-\eqref{buch:integrale:satz:liouville-fform}
-schreiben lässt.
-Die Aufgabe~\ref{buch:integrale:aufgabe:existenz-stammfunktion-dalg}
-lässt sich damit jetzt lösen.
-
-
-\begin{proof}[Beweis]
-Wenn die Stammfunktion $g\in\mathscr{D}$ ist, dann hat $g$ die Form
-\eqref{buch:integrale:satz:liouville-fform} mit $v_0=g$, die Summe
-wird nicht benötigt.
-
-Wir verwenden Induktion nach der Anzahl der Elemente, die zu $\mathscr{D}$
-hinzugefügt werden müssen, um einen Differentialkörper 
-$\mathscr{F}=\mathscr{D}(\vartheta_1,\dots,\vartheta_n)$ zu konstruieren,
-der $g$ enthält.
-Da $f\in\mathscr{D}\subset\mathscr{D}(\vartheta_1)$ ist, können wir die
-Induktionsannahme auf die Erweiterung
-\[
-\mathscr{D}(\vartheta_1)\subset\mathscr{D}(\vartheta_1,\vartheta_2)
-\subset\cdots\subset \mathscr{D}(\vartheta_1,\cdots,\vartheta_n)=\mathscr{F}
-\]
-anwenden, die durch Hinzufügen von nur $n-1$ Elemente
-$\vartheta_2,\dots,\vartheta_n$ aus $\mathscr{D}(\vartheta_1)$ den
-Differentialkörper $\mathscr{F}$ erreicht, der $g$ enthält.
-Sie besagt, dass sich $g$ schreiben lässt als
-\[
-g = w_0 + \sum_{i=1}^{k_1} c_i\log w_i
-\qquad\text{mit $c_i\in\mathbb{C}$ und $w_0,w_i\in\mathscr{D}(\vartheta_1)$.}
-\]
-Wir müssen jetzt zeigen, dass sich dieser Ausdruck umformen lässt 
-in den Ausdruck der Form~\eqref{buch:integrale:satz:liouville-fform}.
-
-Der Term $w_0\in\mathscr{D}(\vartheta_1)$ hat eine Partialbruchzerlegung
-\[
-H(\vartheta_1)
-+
-\sum_{j\le r(l)} \frac{P_{lj}(\vartheta_1)}{Q_l(\vartheta_1)^j}
-\]
-in der Variablen $\vartheta_1$.
-
-Da $w_i\in\mathscr{D}(\vartheta_1)$ ist, kann man Zähler und Nenner
-von $w_i$ als Produkt irreduzibler normierter Polynome schreiben:
-\[
-w_i
-=
-\frac{h_i Z_{i1}(\vartheta_1)^{s_{i1}}\cdots Z_{im(i)}^{s_{im(i)}}
-}{
-N_{i1}(\vartheta_1)^{t_{i1}}\cdots N_{in(i)}(\vartheta_1)^{t_{in(i)}}
-}
-\]
-Der Logarithmus hat die Form
-\begin{align*}
-\log w_i
-&= \log h_i + 
-s_{i1}
-\log Z_{i1}(\vartheta_1)
-+
-\cdots
-+
-s_{im(i)}
-\log Z_{im(i)}
--
-t_{i1}
-\log
-N_{i1}(\vartheta_1)
--
-\cdots
--
-t_{in(i)}
-\log
-N_{in(i)}(\vartheta_1).
-\end{align*}
-$g$ kann also geschrieben werden als eine Summe von Polynomen, Brüchen,
-wie sie in der Partialbruchzerlegung vorkommen, Logarithmen von irreduziblen
-normierten Polynomen und Logarithmen von Elementen von $\mathscr{D}$.
-
-Die Ableitung $g'$ muss jetzt aber wieder in $\mathscr{D}$ sein, beim
-Ableiten müssen also alle Terme verschwinden, die $\vartheta_1$ enthalten.
-Dabei spielt es eine Rolle, ob $\vartheta_1$ ein Monom oder algebraisch ist.
-\begin{enumerate}
-\item
-Wenn $\vartheta_1$ ein Monom ist, dann kann man wie im Beweis des
-Satzes~\ref{buch:integrale:satz:liouville-vorstufe-1} argumentieren,
-dass die Brüchterme gar nicht vorkommen und
-$H(\vartheta_1)=v_0+c_1\vartheta_1$ sein muss.
-Die Ableitung Termen der Form $\log Z(\vartheta_1)$ ist ein Bruchterm
-mit dem irreduziblen Nenner $Z(\vartheta_1)$, die ebenfalls verschwinden
-müssen.
-Ist $\vartheta_1$ eine Exponentialfunktion, dann ist
-$\vartheta_1' \in \mathscr{D}(\vartheta_1)\setminus\mathscr{D}$, also muss
-$c_1=0$ sein.
-Ist  $\vartheta_1$ ein Logarithmus, also $\vartheta_1=\log v_1$, dann
-kommen nur noch Terme der in 
-\eqref{buch:integrale:satz:liouville-fform}
-erlaubten Form vor.
-
-\item
-Wenn $\vartheta_1$ algebraisch vom Grad $m$ ist, dann ist
-\[
-g' = w_0' + \sum_{i=1}^{k_1} d_i\frac{w_i'}{w_i} = f.
-\]
-Weder $w_0$ noch $\log w_i$ sind in $\mathscr{D}(\vartheta_1)$.
-Aber wenn man $\vartheta_1$ durch die $m$ konjugierten Elemente
-ersetzt und alle summiert, dann ist
-\[
-mf
-=
-\operatorname{Tr}(w_0) + \sum_{i=1}^{k_1} d_i \log\operatorname{Norm}(w_i).
-\]
-Da die Spur und die Norm in $\mathscr{D}$ sind, folgt, dass
-\[
-f
-=
-\underbrace{\frac{1}{m}
-\operatorname{Tr}(w_0)}_{\displaystyle= v_0}
-+
-\sum_{i=1}^{k_1} \underbrace{\frac{d_i}{m}}_{\displaystyle=c_i}
-\log
-\underbrace{ \operatorname{Norm}(w_i)}_{\displaystyle=v_i}
-=
-v_0 + \sum_{i=1}^{k_1} c_i\log v_i
-\]
-die verlangte Form hat.
-\qedhere
-\end{enumerate}
-\end{proof}
-
-\subsection{Die Fehlerfunktion ist keine elementare Funktion
-\label{buch:integrale:section:fehlernichtelementar}}
-% \url{https://youtu.be/bIdPQTVF5n4}
-Mit Hilfe des Satzes von Liouville kann man jetzt beweisen, dass 
-die Fehlerfunktion keine elementare Funktion ist.
-Dazu braucht man die folgende spezielle Form des Satzes.
-
-\begin{satz}
-\label{buch:integrale:satz:elementarestammfunktion}
-Wenn $f(x)$ und $g(x)$ rationale Funktionen von $x$ sind, dann
-ist die Stammfunktion von $f(x)e^{g(x)}$ genau dann eine 
-elementare Funktion, wenn es eine rationale Funktion gibt, die
-Lösung der Differentialgleichung
-\[
-r'(x) + g'(x)r(x)=f(x)
-\]
-ist.
-\end{satz}
-
-\begin{satz}
-Die Funktion $x\mapsto e^{-x^2}$ hat keine elementare Stammfunktion.
-\label{buch:iintegrale:satz:expx2}
-\end{satz}
-
-\begin{proof}[Beweis]
-Unter Anwendung des Satzes~\ref{buch:integrale:satz:elementarestammfunktion}
-auf $f(x)=1$ und $g(x)=-x^2$ folgt, $e^{-x^2}$ genau dann eine rationale 
-Stammfunktion hat, wenn es eine rationale Funktion $r(x)$ gibt, die
-Lösung der Differentialgleichung
-\begin{equation}
-r'(x) -2xr(x)=1
-\label{buch:integrale:expx2dgl}
-\end{equation}
-ist.
-
-Zunächst halten wir fest, dass $r(x)$ kein Polynom sein kann.
-Wäre nämlich 
-\[
-r(x)
-=
-a_0 + a_1x + \dots + a_nx^n
-=
-\sum_{k=0}^n a_kx^k
-\quad\Rightarrow\quad
-r'(x)
-=
-a_1 + 2a_2x + \dots + na_nx^{n-1}
-=
-\sum_{k=1}^n
-ka_kx^{k-1}
-\]
-ein Polynom, dann ergäbe sich beim Einsetzen in die Differentialgleichung
-\begin{align*}
-1
-&=
-r'(x)-2xr(x)
-\\
-&=
-a_1 + 2a_2x + 3a_3x^2 + \dots + (n-1)a_{n-1}x^{n-2} + na_nx^{n-1}
-\\
-&\qquad
--
-2a_0x -2a_1x^2 -2a_2x^3 - \dots - 2a_{n-1}x^n - 2a_nx^{n+1}
-\\
-&
-\hspace{0.7pt}
-\renewcommand{\arraycolsep}{1.8pt}
-\begin{array}{crcrcrcrcrcrcrcr}
-=&a_1&+&2a_2x&+&3a_3x^2&+&\dots&+&(n-1)a_{n-1}x^{n-2}&+&na_{n  }x^{n-1}& &           & & \\
- &   &-&2a_0x&-&2a_1x^2&-&\dots&-&    2a_{n-3}x^{n-2}&-&2a_{n-2}x^{n-1}&-&2a_{n-1}x^n&-&2a_nx^{n+1}
-\end{array}
-\\
-&=
-a_1
-+
-(2a_2-2a_0)x
-+
-(3a_3-2a_1)x^2
-%+
-%(4a_4-2a_2)x^3
-+
-\dots
-+
-(na_n-2a_{n-2})x^{n-1}
--
-2a_{n-1}x^n
--
-2a_nx^{n+1}.
-\end{align*}
-Koeffizientenvergleich zeigt, dass $a_1=1$ sein muss.
-Aus den letzten zwei Termen liest man ebenfalls mittels Koeffizientenvergleich
-ab, dass $a_n=0$ und $a_{n-1}=0$ sein müssen.
-Aus den Koeffizienten $(ka_k-2a_{k-2})=0$ folgt, dass
-$a_{k-2}=\frac{k}{2}a_k$ für alle $k>1$ sein muss, diese Koeffizienten
-verschwinden also auch, inklusive $a_1=0$.
-Dies ist allerdings im Widerspruch zu $a_1=1$.
-Es folgt, dass $r(x)$ kein Polynom sein kann.
-
-Der Nenner der rationalen Funktion $r(x)$ hat also mindestens eine Nullstelle
-$\alpha$, man kann daher $r(x)$ auch schreiben als
-\[
-r(x) = \frac{s(x)}{(x-\alpha)^n},
-\]
-wobei die rationale Funktion $s(x)$ keine Nullstellen und keine Pole hat.
-Einsetzen in die Differentialgleichung ergibt:
-\[
-1
-=
-r'(x) -2xr(x)
-=
-\frac{s'(x)}{(x-\alpha)^n}
--n
-\frac{s(x)}{(x-\alpha)^{n+1}}
--
-\frac{2xs(x)}{(x-\alpha)^n}.
-\]
-Multiplizieren mit $(x-\alpha)^{n+1}$ gibt
-\[
-(x-\alpha)^{n+1}
-=
-s'(x)(x-\alpha)
--
-ns(x)
--
-2xs(x)(x-\alpha)
-\]
-Setzt man $x=\alpha$ ein, verschwinden alle Terme ausser dem mittleren
-auf der rechten Seite, es bleibt
-\[
-ns(\alpha) = 0.
-\]
-Dies widerspricht aber der Wahl der rationalen Funktion $s(x)$, für die
-$\alpha$ keine Nullstelle ist.
-
-Somit kann es keine rationale Funktion $r(x)$ geben, die eine Lösung der
-Differentialgleichung~\eqref{buch:integrale:expx2dgl} ist und
-die Funktion $e^{-x^2}$ hat keine elementare Stammfunktion.
-\end{proof}
-
-Der Satz~\ref{buch:iintegrale:satz:expx2} rechtfertigt die Einführung 
-der Fehlerfunktion $\operatorname{erf}(x)$ als neue spezielle Funktion,
-mit deren Hilfe die Funktion $e^{-x^2}$ integriert werden kann.
-
-
-
+\rhead{Differentialkörper}
+Die Einführung einer neuen Funktion $\operatorname{erf}(x)$ wurde
+durch die Behauptung gerechtfertigt, dass es für den Integranden
+$e^{-x^2}$ keine Stammfunktion in geschlossener Form gäbe.
+Die Fehlerfunktion ist bei weitem nicht die einzige mit dieser
+Eigenschaft.
+Doch woher weiss man, dass es keine solche Funktion gibt, und
+was heisst überhaupt ``Stammfunktion in geschlossener Form''?
+In diesem Abschnitt wird daher ein algebraischer Rahmen entwickelt,
+in dem diese Frage sinnvoll gestellt werden kann.
+Das ultimative Ziel, welches aber erst in
+Abschnitt~\ref{buch:integral:section:risch} in Angriff genommen
+wird, ist ein Computer-Algorithmus, der Integrale in geschlossener
+Form findet oder beweist, dass dies für einen gegebenen Integranden
+nicht möglich ist.
+
+\input{chapters/060-integral/rational.tex}
+\input{chapters/060-integral/erweiterungen.tex}
+\input{chapters/060-integral/diffke.tex}
+\input{chapters/060-integral/iproblem.tex}
+\input{chapters/060-integral/irat.tex}
+\input{chapters/060-integral/sqrat.tex}
diff --git a/buch/chapters/060-integral/differentialkoerper2.tex b/buch/chapters/060-integral/differentialkoerper2.tex
new file mode 100644
index 0000000..f41d3ba
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/060-integral/differentialkoerper2.tex
@@ -0,0 +1,1953 @@
+%
+% differentialalgebren.tex
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\section{Differentialkörper und der Satz von Liouville
+\label{buch:integrale:section:dkoerper}}
+\rhead{Differentialkörper und der Satz von Liouville}
+Das Problem der Darstellbarkeit eines Integrals in geschlossener
+Form verlangt zunächst einmal nach einer Definition dessen, was man
+als ``geschlossene Form'' akzeptieren will.
+Die sogenannten {\em elementaren Funktionen} von
+Abschnitt~\ref{buch:integrale:section:elementar}
+bilden dafür den theoretischen Rahmen.
+Das Problem ist dann die Frage zu beantworten, ob ein Integral eine
+Stammfunktion hat, die eine elementare Funktion ist.
+Der Satz von Liouville von Abschnitt~\ref{buch:integrale:section:liouville}
+löst das Problem.
+
+\subsection{Eine Analogie
+\label{buch:integrale:section:analogie}}
+% XXX Analogie: Formel für Polynom-Nullstellen 
+% XXX           Stammfunktion als elementare Funktion
+Das Analysis-Problem, eine Stammfunktion zu finden, ist analog zum
+wohlbekannten algebraischen Problem, Nullstellen von Polynomen zu finden.
+Wir entwickeln diese Analogie in etwas mehr Detail, um zu sehen, ob man
+aus dem algebraischen Problem etwas über das Problem der Analysis
+lernen kann.
+
+Für ein Polynom $p(X) = a_nX^n+a_{n-1}X^{n-1}+\dots+a_1X+a_0\in\mathbb{C}[X]$
+mit Koeffizienten $a_k\in\mathbb{C}$ ist es sehr einfach, für jede beliebige
+komplexe Zahl $z\in\mathbb{C}$ den Wert $p(z)$ des Polynoms auszurechnen.
+Ein paar wenige Rechenregeln genügen dazu, man kann leicht einem Kind 
+beibringen, mit einem Taschenrechner so einen Wert auszurechnen.
+
+Ähnlich sieht es mit der Ableitungsoperation aus. 
+Einige wenige Ableitungsregeln, die man in der Analysis~I lernt,
+erlauben, auf mehr oder weniger mechanische Art und Weise, jede
+beliebige Funktion abzuleiten.
+Man kann auch leicht einen Computer dazu programmieren, solche Ableitungen
+symbolisch zu berechnen.
+
+Aus dem Fundamentalsatz der Algebra, der von Gauss vollständig bewiesen
+wurde, ist bekannt, dass jedes Polynom mit Koeffizienten in $\mathbb{C}$
+genau so viele Lösungen in $\mathbb{C}$, wie der Grad des Polynoms angibt.
+Dies ist aber ein Existenzsatz, er sagt nichts darüber aus, wie man diese
+Lösungen finden kann.
+In Spezialfällen, wie zum Beispiel für quadratische Polynome, gibt
+es spezialsierte Lösungsverfahren, mit denen man Lösungen angeben kann.
+Natürlich existieren numerische Methoden wie zum Beispiel das
+Newton-Verfahren, mit dem man Nullstellen von Polynomen beliebig genau
+bestimmen kann.
+
+Der Fundamentalsatz der Integralrechnung besagt, dass jede stetige 
+Funktion eine Stammfunktion hat, die bis auf eine Konstante eindeutig
+bestimmt ist.
+Auch dieser Existenzsatz gibt keinerlei Hinweise darauf, wie man die
+Stammfunktion finden kann.
+In der Analysis-Vorlesung lernt man viele Tricks, die in einer
+beindruckenden Zahl von Spezialfällen ermöglichen, ein passende
+Funktion anzugeben.
+Man lernt auch numerische Verfahren kennen, mit denen sich Werte der
+Stammfunktion, also bestimmte Integrale, mit beliebiger Genauigkeit
+finden kann.
+
+Die numerische Lösung des Nullstellenproblems ist insofern unbefriedigend,
+als sie nur schwer eine Diskussion der Abhängigkeit der Nullstellen von
+den Koeffizienten des Polynoms ermöglichen.
+Eine Formel wie die Lösungsformel für die quadratische Gleichung 
+stellt genau für solche Fälle ein ideales Werkzeug bereit.
+Was man sich also wünscht ist nicht nur einfach eine Lösung, sondern eine
+einfache Formel zur Bestimmung aller Lösungen.
+Im Zusammenhang mit algebraischen Gleichungen erwartet man eine Formel,
+in der nur arithmetische Operationen und Wurzeln vorkommen.
+Für quadratische Gleichungen ist so eine Formel seit dem Altertum bekannt,
+Formeln für die kubische Gleichung und die Gleichung vierten Grades wurden
+im 16.~Jahrhundert von Cardano bzw.~Ferrari gefunden.
+Erst viel später haben Abel und Ruffini gezeigt, dass so eine allgemeine
+Formel für Polynome höheren Grades als 4 nicht existiert.
+Die Galois-Theorie, die auf den Ideen von Évariste Galois beruht, 
+stellt eine vollständige Theorie unter anderem für die Lösbarkeit
+von Gleichungen durch Wurzelausdrücke dar.
+
+Numerische Integralwerte haben ebenfalls den Nachteil, dass damit
+Diskussionen wie die Abhängigkeit von Parametern eines Integranden
+nur schwer möglich sind.
+Was man sich daher wünscht ist eine Formel für die Stammfunktion,
+die Werte als Zusammensetzung gut bekannter Funktionen wie der Exponential-
+und Logarithmus-Funktionen oder der trigonometrischen Funktionen
+sowie Wurzeln, Potenzen und den arithmetischen Operationen.
+Man sagt, man möchte die Stammfunktion in ``geschlossener Form'' 
+dargestellt haben.
+Tatsächlich ist dieses Problem auch zu Beginn des 19.~Jahrhunderts
+von Joseph Liouville genauer untersucht worden.
+Er hat zunächst eine Klasse von ``elementaren Funktionen'' definiert,
+die als Darstellungen einer Stammfunktion in Frage kommen.
+Der Satz von Liouville besagt dann, dass nur Funktionen mit einer
+ganz speziellen Form eine elementare Stammfunktion haben.
+Damit wird es möglich, zu entscheiden, ob ein Integrand wie $e^{-x^2}$ 
+eine elementare Stammfunktion hat.
+Seit dieser Zeit weiss man zum Beispiel, dass die Fehlerfunktion nicht
+mit den bekannten Funktionen dargestellt werden kann.
+
+Mit dem Aufkommen der Computer und vor allem der Computer-Algebra-System (CAS)
+wurde die Frage nach der Bestimmung einer Stammfunktion erneut aktuell.
+Die ebenfalls weiter entwickelte abstrakte Algebra hat ermöglicht, die
+Ideen von Liouville in eine erweiterte, sogenannte differentielle 
+Galois-Theorie zu verpacken, die eine vollständige Lösung des Problems
+darstellt.
+Robert Henry Risch hat in den Sechzigerjahren auf dieser Basis
+einen Algorithmus entwickelt, mit dem es möglich wird, zu entscheiden,
+ob eine Funktion eine elementare Stammfunktion hat und diese
+gegebenenfalls auch zu finden.
+Moderne CAS implementieren diesen Algorithmus
+in Teilen, besonders weit zu gehen scheint das quelloffene System
+Axiom.
+
+Der Risch-Algorithmus hat allerdings eine Achillesferse: er benötigt
+eine Method zu entscheiden, ob zwei Ausdrücke übereinstimmen.
+Dies ist jedoch ein im Allgemeinen nicht entscheidbares Problem.
+Moderne CAS treiben einigen Aufwand, um die
+Gleichheit von Ausdrücken zu entscheiden, sie können das Problem
+aber grundsätzlich nicht vollständig lösen.
+Damit kann der Risch-Algorithmus in praktischen Anwendungen das
+Stammfunktionsproblem ebenfalls nur mit Einschränkungen lösen,
+die durch die Fähigkeiten des Ausdrucksvergleichs in einem CAS
+gesetzt werden.
+
+Im Folgenden sollen elementare Funktionen definiert werden, es sollen
+die Grundideen der differentiellen Galois-Theorie zusammengetragen werden
+und der Satz von Liouvill vorgestellt werden.
+An Hand der Fehler-Funktion soll dann gezeigt werden, wie man jetzt
+einsehen kann, dass die Fehlerfunktion nicht elementar darstellbar ist.
+Im nächsten Abschnitt dann soll der Risch-Algorithmus skizziert werden.
+
+\subsection{Elementare Funktionen
+\label{buch:integrale:section:elementar}}
+Es soll die Frage beantwortet werden, welche Stammfunktionen sich
+in ``geschlossener Form'' oder durch ``wohlbekannte Funktionen''
+ausdrücken lassen.
+Welche Funktionen dabei als ``wohlbekannt'' gelten dürfen ist
+ziemlich willkürlich.
+Sicher möchte man Potenzen und Wurzeln, Logarithmus und Exponentialfunktion,
+aber auch die trigonometrischen Funktionen dazu zählen dürfen.
+Ausserdem will man beliebig mit den arithmetischen Operationen
+rechnen.
+So entsteht die Menge der Funktionen, die man ``elementar'' nennen
+will.
+
+In der Menge der elementaren Funktionen möchte man jetzt
+Stammfunktionen ausgewählter Funktionen suchen.
+Dazu muss man von jeder Funktion ihre Ableitung kennen.
+Die Ableitungsoperation macht aus der Funktionenmenge eine
+differentielle Algebra.
+Der Satz von Liouville (Satz~\ref{buch:integrale:satz:liouville1}) 
+liefert Bedingungen, die erfüllt sein müssen, wenn eine Funktion
+eine elementare Stammfunktion hat.
+Sind diese Bedingungen nicht erfüllbar, ist auch keine 
+elementare Stammfunktion möglich.
+
+In den folgenden Abschnitten soll die differentielle Algebra
+der elementaren Funktionen konstruiert werden.
+
+\subsubsection{Körper}
+Die einfachsten Funktionen sind die die Konstanten, für die wir
+für die nachfolgenden Betrachtungen fast immer die komplexen Zahlen
+$\mathbb{C}$
+zu Grunde legen wollen.
+Dabei ist vor allem wichtig, dass sich darin alle arithmetischen
+Operationen durchführen lassen mit der einzigen Ausnahme, dass
+nicht durch $0$ dividiert werden darf.
+Man nennt $\mathbb{C}$ daher ein {\em Körper}.
+\index{Körper}%
+\label{buch:integrale:def:koerper}
+
+\subsubsection{Polynome und rationale Funktionen}
+Die Polynome einer Variablen beschreiben eine Menge von
+Funktionen, in der Addition, Subtraktion, Multiplikation
+von Funktionen und Multiplikation mit komplexen Zahlen
+uneingeschränkt möglich ist.
+Wir bezeichen wie früher die Menge der Polynome in $z$ mit
+$\mathbb{C}[z]$.
+
+Die Division ist erst möglich, wenn man beliebige Brüche
+zulässt, deren Zähler und Nenner Polynome sind.
+Die Menge
+\[
+\mathbb{C}(z)
+=
+\biggl\{
+\frac{p(z)}{q(z)}
+\;\bigg|\;
+p,q\in \mathbb{C}[z]
+\biggr\}
+\]
+heisst die Menge der {\em rationalen Funktionen}.
+\label{buch:integrale:def:rationalefunktion}
+\index{Funktion, rationale}%
+\index{rationale Funktion}%
+In ihr sind jetzt alle arithmetischen Operationen ausführbar
+ausser natürlich die Division durch die Nullfunktion.
+Die rationalen Funktionen bilden also wieder eine Körper.
+
+Die Tatsache, dass die rationalen Funktionen einen Körper
+bilden bedeutet auch, dass die Konstruktion erneut durchgeführt
+werden kann.
+Ausgehend von einem beliebigen Körper $K$ können wieder zunächst
+die Polynome $K[X]$ und anschliesen die rationalen Funktionen $K[X]$
+in der neuen Variablen, jetzt aber mit Koeffizienten in $K$
+gebildet werden.
+So entstehen Funktionen von mehreren Variablen und, indem
+wir für die neue Variable $X$ zum Beispiel die im übernächsten
+Abschnitt betrachtete Wurzel $X=\sqrt{z}$
+einsetzen, rationale Funktionen in $z$ und $\sqrt{z}$.
+
+Solche Funktionenkörper werden im folgenden mit geschweiften
+Buchstaben $\mathscr{D}$ bezeichnet.
+\index{Funktionenkörper}%
+
+\subsubsection{Ableitungsoperation}
+In allen Untersuchungen soll immer die Ableitungsoperation
+mit berücksichtigt werden.
+In unserer Betrachtungsweise spielt es keine Rolle, dass die
+Ableitung aus einem Grenzwert entsteht, es sind nur die algebraischen
+Eigenschaften wichtig.
+Diese sind in der folgenden Definition zusammengefasst.
+
+\begin{definition}
+\label{buch:integrale:def:derivation}
+Ein {\em Ableitungsoperator} oder eine {\em Derivation} einer Algebra
+$\mathscr{D}$ von Funktionen ist eine lineare Abbildung
+\[
+\frac{d}{dz}
+\colon \mathscr{D} \to \mathscr{D}
+:
+f \mapsto \frac{df}{dz} = f',
+\]
+die zusätzlich die Produktregel
+\begin{equation}
+\frac{d}{dz} (fg)
+=
+\frac{df}{dz} \cdot g + f \cdot \frac{dg}{dz}
+\qquad\Leftrightarrow\qquad
+(fg)' = f' g + fg'
+\label{buch:integrale:eqn:produktregel}
+\end{equation}
+\index{Produktregel}%
+erfüllt.
+Die Funktion $f'\in \mathscr{D}$ heisst auch die {\em Ableitung}
+von $f\in\mathscr{D}$.
+\index{Derivation}%
+\index{Ableitungsoperator}%
+\index{Ableitung}%
+\end{definition}
+
+Die Produktregel hat zum Beispiel auch die bekannten Quotientenregel
+zur Folge.
+Dazu betrachten wir das Produkt $f= (f/g)\cdot g$ und leiten es mit
+Hilfe der Produktregel ab:
+\[
+\frac{d}{dz}f
+=
+\frac{d}{dz}
+\biggl(
+\frac{f}{g}\cdot g
+\biggr)
+=
+{\color{darkred}
+\frac{d}{dz}
+\biggl(
+\frac{f}{g}
+\biggr)}
+\cdot g
++
+\frac{f}{g}\cdot \frac{d}{dz}g.
+\]
+Jetzt lösen wir nach der {\color{darkred}roten} Ableitung des Quotienten
+auf und erhalten
+\begin{equation}
+\biggl(\frac{f}{g}\biggr)'
+=
+\frac{d}{dz}\biggl(\frac{f}{g}\biggr)
+=
+\frac1g\biggl(
+\frac{d}{dz}f - \frac{f}{g}\cdot \frac{d}{dz}g
+\biggr)
+=
+\frac{1}{g}
+\biggl(
+f'-\frac{fg'}{g}
+\biggr)
+=
+\frac{f'g-fg'}{g^2}.
+\label{buch:integrale:eqn:quotientenregel}
+\end{equation}
+Dies ist die Quotientenregel.
+
+Aus der Produktregel folgt natürlich sofort auch die Potenzregel
+für die Ableitung der $n$ten Potenz einer Funktion $f\in\mathscr{D}$, 
+sie lautet:
+\begin{equation}
+\frac{d}{dz} f^n
+= 
+\underbrace{
+f'f^{n-1} + ff'f^{n-2} + f^2f'f^{n-3}+\dots f^{n-1}f'
+}_{\displaystyle \text{$n$ Terme}}
+=
+nf^{n-1}f'.
+\label{buch:integrale:eqn:potenzregel}
+\end{equation}
+In dieser Form versteckt sich natürlich auch die Kettenregel, die
+Potenzfunktion ist die äussere Funktion, $f$ die innere, $f'$ ist also
+die Ableitung er inneren Funktion, wie in der Kettenregel verlangt.
+Falls $f$ ein Element von $\mathscr{D}$ ist mit der Eigenschaft
+$df/dz=1$, dann entsteht die übliche Produktregel.
+
+\begin{definition}
+Eine Algebra $\mathscr{D}$ von Funktionen mit einem Ableitungsoperator 
+$d/dz$ heisst eine {\em differentielle Algebra}.
+\index{differentielle Algebra}%
+\index{Algebra, differentielle}%
+In einer differentiellen Algebra gelten die üblichen
+Ableitungsregeln.
+\end{definition}
+
+Die Potenzregel war in der Form~\eqref{buch:integrale:eqn:potenzregel}
+geschrieben worden, nicht als die Ableitung von $z$.
+Der Grund dafür ist, dass wir gar nicht voraussetzen wollen, dass in
+unserer differentiellen Algebra eine Funktion existiert, die die
+Rolle von $z$ hat.
+Dies ist gar nicht nötig, wie das folgende Beispiel zeigt.
+
+\begin{beispiel}
+Als Funktionenmenge $\mathscr{D}$ nehmen wir rationale Funktionen
+in zwei Variablen, die wir $\cos x $ und $\sin x$ nennen.
+Diese Menge bezeichnen wir mit
+$\mathscr{D}=\mathbb{Q}(\cos x,\sin x)$
+Der Ableitungsoperator ist 
+\begin{align*}
+\frac{d}{dx} \cos x &= -\sin x
+\\
+\frac{d}{dx} \sin x &= \phantom{-}\cos x.
+\end{align*}
+Die Funktionen von $\mathbb{Q}(\cos x,\sin x)$ sind also Brüche,
+deren Zähler und Nenner Polynome in $\cos x$ und $\sin x$ sind.
+Aus den Produkt- und Quotientenregeln und den Ableitungsregeln für
+$\cos x$ und $\sin x$ folgt, dass die Ableitung einer Funktion in
+$\mathscr{D}$ wieder in $\mathscr{D}$ ist, $\mathscr{D}$ ist eine
+differentielle Algebra.
+\end{beispiel}
+
+Die konstanten Funktionen spielen eine besondere Rolle.
+Da wir bei der Ableitung nicht von der Vorstellung einer
+Funktion mit einem variablen Argument ausgehen wollten und 
+die Ableitung nicht als Grenzwert definieren wollten, müssen
+wir auch bei der Definition der ``Konstanten'' einen neuen
+Weg gehen.
+In der Analysis sind die Konstanten genau die Funktionen,
+deren Ableitung $0$ ist.
+
+\begin{definition}
+\label{buch:integrale:def:konstante}
+Ein Element $f\in \mathscr{D}$ mit $df/dz=f'=0$ heissen
+{\em Konstante} in $\mathscr{D}$.
+\index{Konstante}%
+\end{definition}
+
+Die in der Potenzregel~\eqref{buch:integrale:eqn:potenzregel}
+vermisste Funktion $z$ kann man ähnlich zu den Konstanten
+zu definieren versuchen.
+$z$ müsste ein Element von $\mathscr{D}$ mit $z' = 1$ sein.
+Allerdings gibt es viele solche Elemente, ist $c$ eine Konstanten
+und $z'=1$, dann ist auch $(z+c)'=1$, $(z+c)$ hat also für
+die Zwecke unserer Untersuchung die gleichen Eigenschaften wie
+$z$.
+Dies deckt sich natürlich auch mit der Erwartung, dass Stammfunktionen
+nur bis auf eine Konstante bestimmt sind.
+Eine differentielle Algebra muss allerdings kein Element $z$ mit der
+Eigenschaft $z'=1$ enthalten.
+
+\begin{beispiel}
+In $\mathscr{D}=\mathbb{Q}(\cos x,\sin x)$ gibt es kein Element $x$.
+Ein solches wäre von der Form
+\[
+x = \frac{p(\cos x,\sin x)}{q(\cos x,\sin x)}.
+\]
+Eine solche goniometrische Beziehung würde für $x=\frac{\pi}4$ bedeuten,
+dass
+\[
+\frac{\pi}4
+=
+\frac{p(\sqrt{2}/2,\sqrt{2}/2)}{q(\sqrt{2}/2,\sqrt{2}/2)}.
+\]
+Auf der rechten Seite steht ein Quotient von Polynome, in dessen
+Argument nur rationale Zahlen und $\sqrt{2}$ steht.
+So ein Ausdruck kann immer in die Form
+\[
+\pi
+=
+4\frac{a\sqrt{2}+b}{c\sqrt{2}+d}
+=
+\frac{4(a\sqrt{2}+b)(c\sqrt{2}-d)}{2c^2+d^2}
+=
+r\sqrt{2}+s
+\]
+gebracht werden.
+Die Zahl auf der rechten Seite ist zwar irrational, aber sie ist Nullstelle
+des quadratischen Polynoms
+\[
+p(x)
+=
+(x-r\sqrt{2}-s)(x+r\sqrt{2}-s)
+=
+x^2
+-2sx
+-2r^2+s^2
+\]
+mit rationalen Koeffizienten, wie man mit der Lösungsformel für die
+quadratische Gleichung nachprüfen kann.
+Es ist bekannt, dass $\pi$ als transzendente Zahl nicht Nullstelle
+eines Polynoms mit rationalen Koeffizienten ist.
+Dieser Widerspruch zeigt, dass $x$ nicht in $\mathbb{Q}(\cos x, \sin x)$
+vorkommen kann.
+\end{beispiel}
+
+In einer differentiellen Algebra kann jetzt die Frage nach der
+Existenz einer Stammfunktion gestellt werden.
+
+\begin{aufgabe}
+\label{buch:integrale:aufgabe:existenz-stammfunktion}
+Gegeben eine differentielle Algebra $\mathscr{D}$ und ein Element
+$f\in\mathscr{D}$, entscheide, ob es ein Element $F\in\mathscr{D}$ 
+gibt mit der Eigenschaft $F'=f$.
+Ein solches $F\in\mathscr{D}$ heisst {\em Stammfunktion} von $f$.
+\end{aufgabe}
+
+\begin{satz}
+In einer differentiellen Algebra $\mathscr{D}$ mit $z\in\mathscr{D}$
+hat die Potenzfunktion $f=z^n$ für $n\in\mathbb{N}\setminus\{-1\}$
+ein Stammfunktion, nämlich 
+\[
+F = \frac{1}{n+1} z^{n+1}.
+\]
+\label{buch:integrale:satz:potenzstammfunktion}
+\end{satz}
+
+\begin{proof}[Beweis]
+Tatsächlich kann man dies sofort nachrechnen, muss allerdings die
+Fälle $n+1 >0$ und $n+1<0$ unterscheiden, da die Potenzregel
+\eqref{buch:integrale:eqn:potenzregel} nur für natürliche Exponenten
+gilt.
+Man erhält
+\begin{align*}
+n+1&>0\colon
+&
+\frac{d}{dz}\frac{1}{n+1}z^{n+1}
+&=
+\frac{1}{n+1}(n+1)z^{n+1-1}
+=
+z^n,
+\\
+n+1&<0\colon
+&
+\frac{d}{dz}\frac{1}{n+1}\frac{1}{z^{-(n+1)}}
+&=
+\frac{1}{n+1}\frac{1'z^{-(n+1)}-1(-(n+1))z^{-n-1-1}}{z^{-2n-2}}
+\\
+&&
+&=
+\frac{1}{n+1}
+\frac{(n+1)z^n{-n-2}}{z^{-2n-2}}
+\\
+&&
+&=
+\frac{1}{z^{-n}}=z^n.
+\end{align*}
+Man beachte, dass in dieser Rechnung nichts anderes als die
+algebraischen Eigenschaften der Produkt- und Quotientenregel
+verwendet wurden.
+\end{proof}
+
+\subsubsection{Wurzeln}
+Die Wurzelfunktionen sollen natürlich als elementare Funktionen
+erlaubt sein.
+Es ist bekannt, dass $\sqrt{z}\not\in \mathscr{D}=\mathbb{C}(z)$
+ist, ein solches Element müsste also erst noch hinzugefügt werden.
+Dabei muss auch seine Ableitung definiert werden.
+Auch dabei dürfen wir nicht auf eine Grenzwertüberlegung zurückgreifen,
+vielmehr müssen wir die Ableitung auf vollständig algebraische
+Weise bestimmen.
+
+Wir schreiben $f=\sqrt{z}$ und leiten die Gleichung $f^2=z$ nach $z$ ab.
+Dabei ergibt sich nach der Potenzregel
+\[
+\frac{d}{dz}f^2 = 2f'f = \frac{d}{dz}z=1
+\qquad\Rightarrow\qquad f' = \frac{1}{2f}.
+\]
+Diese Rechnung lässt sich auch auf $n$-Wurzeln $g=\root{n}\of{z}$ mit
+der Gleichung $g^n = z$ verallgemeinern.
+Die Ableitung der $n$-ten Wurzel ist
+\begin{equation}
+\frac{d}{dz}g^n
+=
+ng^{n-1} = \frac{d}{dz}z=1
+\qquad\Rightarrow\qquad
+\frac{d}{dz}g = \frac{1}{ng^{n-1}}.
+\end{equation}
+Es ist also möglich, eine differentielle Algebra $\mathscr{D}$ mit einer
+$n$-ten Wurzel $g$ zu einer grösseren differentiellen Algebra $\mathscr{D}(g)$
+zu erweitern, in der wieder alle Regeln für das Rechnen mit Ableitungen
+erfüllt sind.
+
+\subsubsection{Algebraische Elemente}
+Die Charakterisierung der Wurzelfunktionen passt zwar zum verlangten
+algebraischen Vorgehen, ist aber zu spezielle und nicht gut für die
+nachfolgenden Untersuchengen geeignet.
+Etwas allgemeiner ist der Begriff der algebraischen Elemente.
+
+\begin{definition}
+\label{buch:integrale:def:algebraisches-element}
+Seien $K\subset L$ zwei Körper.
+Ein Element $\alpha \in L$ heisst {\em algebraisch} über $K$,
+wenn $\alpha$ Nullstelle eines Polynoms $p\in K[X]$ mit Koeffizienten
+in $K$ ist.
+\index{algebraisch}%
+\end{definition}
+
+Jedes Element $\alpha\in K$ ist algebraisch, da $\alpha$ Nullstelle
+von $X-\alpha\in K[X]$ ist.
+Die $n$tem Wurzeln eines Elemente $\alpha\in K$ sind ebenfalls algebraisch,
+da sie Nullstellen des Polynoms $p(X) = X^n - \alpha$ sind.
+Allerdings ist nicht klar, dass diese Wurzeln überhaupt existieren.
+Nach dem Satz von Abel~\ref{buch:potenzen:satz:abel} gibt es aber
+Nullstellen von Polynomen, die sich nicht als Wurzelausdrücke schreiben
+lassen.
+Der Begriff der algebraischen Elemente ist also allgemeiner als der
+Begriff der Wurzel.
+
+\begin{definition}
+\label{buch:integrale:def:algebraisch-abgeschlossen}
+Ein Körper $K$ heisst {\em algebraisch abgeschlossen}, wenn jedes Polynom mit
+Koeffizienten in $K$ eine Nullstelle in $K$ hat.
+\end{definition}
+
+Der Körper $\mathbb{C}$ ist nach dem
+Fundamentalsatz~\label{buch:potenzen:satz:fundamentalsatz}
+der Algebra algebraisch abgeschlossen.
+Da wir aber mit Funktionen arbeiten, müssen wir auch Wurzeln
+von Funktionen finden können.
+Dies ist nicht selbstverständlich, wie das folgende Beispiel zeigt.
+
+\begin{beispiel}
+Es gibt keine stetige Funktion $f\colon \mathbb{C}\to\mathbb{C}$, die
+die Gleichung $f(z)^2 = z$ und $f(1)=1$ erfüllt.
+Für die Argumente $z(t)= e^{it}$ folgt, dass $f(z(t)) = e^{it/2}$ sein
+muss.
+Setzt man aber $t=\pm \pi$ ein, ergeben sich die Werte
+$f(z(\pm\pi))=e^{\pm i\pi/2}=\pm 1$, die beiden Grenzwerte
+für $t\to\pm\pi$ sind also verschieden.
+\end{beispiel}
+
+Die Mathematik hat verschiedene ``Tricks'' entwickelt, wie mit diesem
+Problem umgegangen werden kann: Funktionskeime, Garben, Riemannsche
+Flächen.
+Sie sind alle gleichermassen gut geeignet, das Problem zu lösen.
+Für die vorliegende Aufgabe genügt es aber, dass es tatsächlich
+immer ein wie auch immer geartetes Element gibt, welches Nullstelle
+des Polynoms ist.
+
+Ist $f$ eine Nullstelle des Polynoms $p(X)$ mit Koeffizienten in
+$\mathscr{D}$, dann kann man die Ableitung wie folgt berechnen.
+Zunächst leitet man $p(f)$ ab:
+\begin{align}
+0&=
+\frac{d}{dz}(a_nf^n + a_{n-1}f^{n-1}+\ldots+a_1f+a_0)
+\notag
+\\
+&=
+a_n'f^n + a_{n-1}'f^{n-1}+\ldots+a_1'f+a_0'
++
+na_nf^{n-1}f'
++
+(n-1)a_nf^{n-2}f'
++
+\ldots
++
+a_2ff'
++
+a_1f'
+\notag
+\\
+&=
+a_n'f^n + a_{n-1}'f^{n-1}+\ldots+a_1'f+a_0'
++
+(
+na_nf^{n-1}
++
+(n-1)a_nf^{n-2}
++
+\ldots
++
+a_2f
++
+a_1
+)f'
+\notag
+\\
+\Rightarrow
+\qquad
+f'&=\frac{
+a_n'f^n + a_{n-1}'f^{n-1}+\dots+a_1'f+a_0'
+}{
+na_nf^{n-1}
++
+(n-1)a_nf^{n-2}
++
+\dots
++
+a_1
+}.
+\label{buch:integrale:eqn:algabl}
+\end{align}
+Das einzige, was dabei schief gehen könnte ist, dass der Nenner ebenfalls
+verschwindet.
+Dieses Problem kann man dadurch lösen, dass man als Polynom das
+sogenannte Minimalpolynom verwendet.
+
+\begin{definition}
+Das {\em Minimalpolynome} $m(X)$ eines algebraischen Elementes $\alpha$ ist
+das Polynom kleinsten Grades, welches $m(\alpha)=0$ erfüllt.
+\end{definition}
+
+Da das Minimalpolynom den kleinstmöglichen Grad hat, kann der Nenner
+von~\eqref{buch:integrale:eqn:algabl},
+der noch kleineren Grad hat, unmöglich verschwinden.
+Das Minimalpolynom ist auch im wesentlichen eindeutig.
+Gäbe es nämlich zwei verschiedene Minimalpolynome $m_1$ und $m_2$,
+dann müsste $\alpha$ auch eine Nullstelle des grössten gemeinsamen
+Teilers $m_3=\operatorname{ggT}(m_1,m_2)$ sein.
+Wären die beiden Polynome wesentlich verschieden, dann hätte $m_3$
+kleineren Grad, im Widerspruch zur Definition des Minimalpolynoms.
+Also unterscheiden sich die beiden Polynome $m_1$ und $m_2$ nur um
+einen skalaren Faktor.
+
+\subsubsection{Konjugation, Spur und Norm}
+% Konjugation, Spur und Norm
+Das Minimalpolynom eines algebraischen Elementes ist nicht
+eindeutig bestimmt.
+Zum Beispiel ist $\sqrt{2}$ algebraisch über $\mathbb{Q}$, das
+Minimalpolynom ist $m(X)=X^2-2\in\mathbb{Q}[X]$. 
+Es hat aber noch eine zweite Nullstelle $-\sqrt{2}$.
+Mit rein algebraischen Mitteln sind die beiden Nullstellen $\pm\sqrt{2}$
+nicht zu unterscheiden, erst die Verwendung der Vergleichsrelation
+ermöglicht, sie zu unterscheiden.
+
+Dasselbe gilt für die imaginäre Einheit $i$, die das Minimalpolynom
+$m(X)=X^2+1\in\mathbb{R}[X]$ hat.
+Hier gibt es nicht einmal mehr eine Vergleichsrelation, mit der man
+die beiden Nullstellen unterscheiden könnte.
+In der Tat ändert sich aus algebraischer Sicht nichts, wenn man in
+allen Formeln $i$ durch $-i$ ersetzt.
+
+Etwas komplizierter wird es bei $\root{3}\of{2}$.
+Das Polynom $m=x^3-2\in\mathbb{Q}[X]$ hat $\root{3}\of{2}$ als
+Nullstelle und dies ist auch tatsächlich das Minimalpolynom.
+Das Polynom hat noch zwei weitere Nullstellen
+\[
+\alpha_+ = \frac{-1+i\sqrt{3}}{2}\root{3}\of{2}
+\qquad\text{und}\qquad
+\alpha_- = \frac{-1-i\sqrt{3}}{2}\root{3}\of{2}.
+\]
+Die beiden Lösungen gehen durch die Vertauschung von $i$ und $-i$ 
+auseinander hervor.
+Betrachtet man dasselbe Polynom aber als Polynom in $\mathbb{R}[X]$,
+dann ist es nicht mehr das Minimalpolynom von $\root{3}\of{2}$, da
+$X-\root{3}\of{2}\in\mathbb{R}[X]$ kleineren Grad und $\root{3}\of{2}$
+als Nullstelle hat.
+Indem man
+\[
+m(X)/(X-\root{3}\of{2})=X^2+\root{3}\of{2}X+\root{3}\of{2}^2=m_2(X)
+\]
+rechnet, bekommt man das Minimalpolynom der beiden Nullstellen $\alpha_+$
+und $\alpha_-$.
+Wir lernen aus diesen Beispielen, dass das Minimalpolynom vom Grundkörper
+abhängig ist (Die Faktorisierung $(X-\root{3}\of{2})\cdot m_2(X)$ von
+$m(X)$ ist in $\mathbb{Q}[X]$ nicht möglich) und dass wir keine 
+algebraische Möglichkeit haben, die verschiedenen Nullstellen des
+Minimalpolynoms zu unterscheiden.
+
+Die beiden Nullstellen $\alpha_+$ und $\alpha_-$ des Polynoms $m_2(X)$
+erlauben, $m_2(X)=(X-\alpha_+)(X-\alpha_-)$ zu faktorisieren.
+Durch Ausmultiplizieren
+\[
+(X-\alpha_+)(X-\alpha_-)
+=
+X^2 -(\alpha_++\alpha_-)X+\alpha_+\alpha_-
+\]
+und Koeffizientenvergleich mit $m_2(X)$ findet man die symmetrischen 
+Formeln
+\[
+\alpha_+ + \alpha_- = \root{3}\of{2}
+\qquad\text{und}\qquad
+\alpha_+ \alpha_ = \root{3}\of{2}.
+\]
+Diese Ausdrücke sind nicht mehr abhängig von einer speziellen Wahl
+der Nullstellen.
+
+Das Problem verschärft sich nocheinmal, wenn wir Funktionen betrachten.
+Das Polynom $m(X)=X^3-z$ ist das Minimalpolynom der Funktion $\root{3}\of{z}$.
+Die komplexe Zahl $z=re^{i\varphi}$ hat aber drei die algebraisch nicht
+unterscheidbaren Nullstellen 
+\[
+\alpha_0(z)=\root{3}\of{r}e^{i\varphi/3},
+\quad
+\alpha_1(z)=\root{3}\of{r}e^{i\varphi/3+2\pi/3}
+\qquad\text{und}\qquad
+\alpha_2(z)=\root{3}\of{r}e^{i\varphi/3+4\pi/3}.
+\]
+Aus der Faktorisierung $ (X-\alpha_0(z)) (X-\alpha_1(z)) (X-\alpha_2(z))$
+und dem Koeffizientenvergleich mit dem Minimalpolynom kann man wieder
+schliessen, dass die Relationen
+\[
+\alpha_0(z) + \alpha_1(z) + \alpha_2(z)=0
+\qquad\text{und}\qquad
+\alpha_0(z)  \alpha_1(z) \alpha_2(z) = z
+\]
+gelten.
+
+Wir können also oft keine Aussagen über individuelle Nullstellen
+eines Minimalpolynoms machen, sondern nur über deren Summe oder
+Produkt.
+
+\begin{definition}
+\index{buch:integrale:def:spur-und-norm}
+Sie $m(X)\in K[X]$ das Minimalpolynom eines über $K$ algebraischen
+Elements und
+\[
+m(X) = a_nX^n + a_{n-1}X^{n-1} + \ldots + a_1X + a_0.
+\]
+Dann heissen
+\[
+\operatorname{Tr}(\alpha) = -a_{n-1}
+\qquad\text{und}\qquad
+\operatorname{Norm}(\alpha) = (-1)^n a_0
+\]
+die {\em Spur} und die {\em Norm} des Elementes $\alpha$.
+\index{Spur eines algebraischen Elementes}%
+\index{Norm eines algebraischen Elementes}%
+\end{definition}
+
+Die Spur und die Norm können als Spur und Determinante einer Matrix
+verstanden werden, diese allgemeineren Definitionen, die man in der
+Fachliteratur, z.~B.~in~\cite{buch:lang} nachlesen kann, führen aber
+für unsere Zwecke zu weit.
+
+\begin{hilfssatz}
+Die Ableitungen von Spur und Norm sind
+\[
+\operatorname{Tr}(\alpha)'
+=
+\operatorname{Tr}(\alpha')
+\qquad\text{und}\qquad
+\operatorname{Norm}(\alpha)'
+=
+\operatorname{Tr}(\alpha)'
+\]
+XXX Wirklich?
+\end{hilfssatz}
+
+\subsubsection{Logarithmen und Exponentialfunktionen}
+Die Funktion $z^{-1}$ musste im
+Satz~\ref{buch:integrale:satz:potenzstammfunktion}
+ausgeschlossen werden, sie hat keine Stammfunktion in $\mathbb{C}(z)$.
+Aus der Analysis ist bekannt, dass die Logarithmusfunktion $\log z$ 
+eine Stammfunktion ist.
+Der Logarithmus von $z$ aber auch der Logarithmus $\log f(z)$
+einer beliebigen Funktion $f(z)$ oder die Exponentialfunktion $e^{f(z)}$
+sollen ebenfalls elementare Funktionen sein.
+Da wir aber auch hier nicht auf die analytischen Eigenschaften zurückgreifen
+wollen, brauchen wir ein rein algebraische Definition.
+
+\begin{definition}
+\label{buch:integrale:def:logexp}
+Sei $\mathscr{D}$ ein differentielle Algebra und $f\in\mathscr{D}$.
+Ein Element $\vartheta\in\mathscr{D}$ heisst ein {\em Logarithmus}
+von $f$, geschrieben $\vartheta = \log f$, wenn $f\vartheta' = f'$ gilt.
+$\vartheta$ heisst eine Exponentialfunktion von $f$ wenn
+$\vartheta'=\vartheta f'$ gilt.
+\end{definition}
+
+Die Formel für die Exponentialfunktion ist etwas vertrauter, sie ist
+die bekannte Kettenregel
+\begin{equation}
+\vartheta'
+=
+\frac{d}{dz} e^f
+=
+e^f \cdot \frac{d}{dz} f
+=
+\vartheta \cdot f'.
+\label{buch:integrale:eqn:exponentialableitung}
+\end{equation}
+Da wir uns vorstellen, dass Logarithmen Umkehrfunktionen von 
+Exponentialfunktionen sein sollen, 
+muss die definierende Gleichung genau wie
+\eqref{buch:integrale:eqn:exponentialableitung}
+aussehen, allerdings mit vertauschten Plätzen von $f$ und $\vartheta$,
+also 
+\begin{equation}
+\vartheta' = \vartheta\cdot f'
+\qquad
+\rightarrow
+\qquad
+f' = f\cdot \vartheta'
+\;\Leftrightarrow\;
+\vartheta' = (\log f)' = \frac{f'}{f}.
+\label{buch:integrale:eqn:logarithmischeableitung}
+\end{equation}
+Dies ist die aus der Analysis bekannte Formel für die logarithmische
+Ableitung.
+
+Der Logarithmus von $f$ und die Exponentialfunktion von $f$ sollen
+also ebenfalls als elementare Funktionen betrachtet werden.
+
+\subsubsection{Die trigonometrischen Funktionen}
+Die bekannten trigonometrischen Funktionen und ihre Umkehrfunktionen
+sollten natürlich auch elementare Funktionen sein.
+Dabei kommt uns zur Hilfe, dass sie sich mit Hilfe der Exponentialfunktion
+als
+\[
+\cos f = \frac{e^{if}+e^{-if}}2
+\qquad\text{und}\qquad
+\sin f = \frac{e^{if}-e^{-if}}{2i}
+\]
+schreiben lassen.
+Eine differentielle Algebra, die die Exponentialfunktionen von $if$ und
+$-if$ enthält, enthält also automatisch auch die trigonometrischen
+Funktionen.
+Im Folgenden ist es daher nicht mehr nötig, die trigonometrischen
+Funktionen speziell zu untersuchen.
+
+\subsubsection{Elementare Funktionen}
+Damit sind wir nun in der Lage, den Begriff der elementaren Funktion
+genau zu fassen.
+
+\begin{definition}
+\label{buch:integrale:def:einfache-elementare-funktion}
+Sie $\mathscr{D}$ eine differentielle Algebra über $\mathbb{C}$ und
+$\mathscr{D}(\vartheta)$ eine Erweiterung von $\mathscr{D}$ um eine
+neue Funktion $\vartheta$, dann heissen $\vartheta$ und die Elemente
+von $\mathscr{D}(\vartheta)$ einfach elementar, wenn eine der folgenden
+Bedingungen erfüllt ist:
+\begin{enumerate}
+\item $\vartheta$ ist algebraisch über $\mathscr{D}$, d.~h.~$\vartheta$
+ist eine ``Wurzel''.
+\item $\vartheta$ ist ein Logarithmus einer Funktion in $\mathscr{D}$,
+d.~h.~es gibt $f\in \mathscr{D}$ mit $f'=f\vartheta'$
+(Definition~\ref{buch:integrale:def:logexp}).
+\item $\vartheta$ ist eine Exponentialfunktion einer Funktion in $\mathscr{D}$,
+d.~h.~es bit $f\in\mathscr{D}$ mit $\vartheta'=\vartheta f'$
+(Definition~\ref{buch:integrale:def:logexp}).
+\end{enumerate}
+\end{definition}
+
+Einfache elementare Funktionen entstehen also ausgehend von einer 
+differentiellen Algebra, indem man genau einmal eine Wurzel, einen
+Logarithmus oder eine Exponentialfunktion hinzufügt.
+So etwas wie die zusammengesetzte Funktion $e^{\sqrt{z}}$ ist
+damit noch nicht möglich.
+Daher erlauben wir, dass man die gesuchten Funktionen in mehreren
+Schritten aufbauen kann.
+
+\begin{definition}
+Sei $\mathscr{F}$ eine differentielle Algebra, die die differentielle
+Algebra $\mathscr{D}$ enthält, also $\mathscr{D}\subset\mathscr{F}$.
+$\mathscr{F}$ und die Elemente von $\mathscr{F}$ heissen einfach,
+wenn es endlich viele Elemente $\vartheta_1,\dots,\vartheta_n$ gibt
+derart, dass
+\[
+\renewcommand{\arraycolsep}{2pt}
+\begin{array}{ccccccccccccc}
+\mathscr{D}
+&\subset&
+\mathscr{D}(\vartheta_1)
+&\subset&
+\mathscr{D}(\vartheta_1,\vartheta_2)
+&\subset&
+\;
+\cdots
+\;
+&\subset&
+\mathscr{D}(\vartheta_1,\vartheta_2,\dots,\vartheta_{n-1})
+&\subset&
+\mathscr{D}(\vartheta_1,\vartheta_2,\dots,\vartheta_{n-1},\vartheta_n)
+&=&
+\mathscr{F}
+\\
+\|
+&&
+\|
+&&
+\|
+&&
+&&
+\|
+&&
+\|
+&&
+\\
+\mathscr{F}_0
+&\subset&
+\mathscr{F}_1
+&\subset&
+\mathscr{F}_2
+&\subset&
+\cdots
+&\subset&
+\mathscr{F}_{n-1}
+&\subset&
+\mathscr{F}_{n\mathstrut}
+&&
+\end{array}
+\]
+gilt so, dass jedes $\vartheta_{i+1}$ einfach ist über 
+$\mathscr{F}_i=\mathscr{D}(\vartheta_1,\dots,\vartheta_i)$.
+\end{definition}
+
+In Worten bedeutet dies, dass man den Funktionen von $\mathscr{D}$ 
+nacheinander Wurzeln, Logarithmen oder Exponentialfunktionen einzelner
+Funktionen hinzufügt.
+Die Aufgabe~\ref{buch:integrale:aufgabe:existenz-stammfunktion} kann
+jetzt so formuliert werden.
+
+\begin{aufgabe}
+\label{buch:integrale:aufgabe:existenz-stammfunktion-dalg}
+Gegeben ist eine Differentielle Algebra $\mathscr{D}$ und eine
+Funktion $f\in \mathscr{D}$.
+Gibt es eine Folge $\vartheta_1,\dots,\vartheta_n$ und eine Funktion
+$F\in\mathscr{D}(\vartheta_1,\dots,\vartheta_n)$ derart, dass
+$F'=f$.
+\end{aufgabe}
+
+Das folgende Beispiel zeigt, wie man möglicherweise mehrere 
+Erweiterungsschritte vornehmen muss, um zu einer Stammfunktion
+zu kommen.
+Es illustriert auch die zentrale Rolle, die der Partialbruchzerlegung
+in der weiteren Entwicklung zukommen wird.
+
+\begin{beispiel}
+\label{buch:integrale:beispiel:nichteinfacheelementarefunktion}
+Es soll eine Stammfunktion der Funktion
+\[
+f(z)
+=
+\frac{z}{(az+b)(cz+d)}
+\in
+\mathbb{C}(z)
+\]
+gefunden werden.
+In der Analysis lernt man, dass solche Integrale mit der
+Partialbruchzerlegung 
+\[
+\frac{z}{(az+b)(cz+d)}
+=
+\frac{A_1}{az+b}+\frac{A_2}{cz+d}
+=
+\frac{A_1cz+A_1d+A_2az+A_2b}{(az+b)(cz+d)}
+\quad\Rightarrow\quad
+\left\{
+\renewcommand{\arraycolsep}{2pt}
+\begin{array}{rcrcr}
+cA_1&+&aA_2&=&1\\
+dA_1&+&bA_2&=&0
+\end{array}
+\right.
+\]
+bestimmt werden.
+Die Lösung des Gleichungssystems ergibt
+$A_1=b/(bc-ad)$ und $A_2=d/(ad-bc)$.
+Die Stammfunktion kann dann aus
+\begin{align*}
+\int f(z)\,dz
+&=
+\int\frac{A_1}{az+b}\,dz
++
+\int\frac{A_2}{cz+d}\,dz
+=
+\frac{A_1}{a}\int\frac{a}{az+b}\,dz
++
+\frac{A_2}{c}\int\frac{c}{cz+d}\,dz
+\end{align*}
+bestimmt werden.
+In den Integralen auf der rechten Seite ist der Zähler jeweils die
+Ableitung des Nenners, der Integrand hat also die Form $g'/g$.
+Genau diese Form tritt in der Definition eines Logarithmus auf.
+Die Stammfunktion ist jetzt
+\[
+F(z)
+=
+\int f(z)\,dz
+=
+\frac{A_1}{a}\log(az+b)
++
+\frac{A_2}{c}\log(cz+d)
+=
+\frac{b\log(az+b)}{a(bc-ad)}
++
+\frac{d\log(cz+d)}{c(ad-bc)}.
+\]
+Die beiden Logarithmen kann man nicht durch rein rationale Operationen
+ineinander überführen.
+Sie müssen daher beide der Algebra $\mathscr{D}$ hinzugefügt werden.
+\[
+\left.
+\begin{aligned}
+\vartheta_1&=\log(az+b)\\
+\vartheta_2&=\log(cz+d)
+\end{aligned}
+\quad
+\right\}
+\qquad\Rightarrow\qquad
+F(z) \in \mathscr{F}=\mathscr{D}(\vartheta_1,\vartheta_2).
+\]
+Die Stammfunktion $F(z)$ ist also keine einfache elementare Funktion,
+aber $F$ ist immer noch eine elementare Funktion.
+\end{beispiel}
+
+\subsection{Partialbruchzerlegung
+\label{buch:integrale:section:partialbruchzerlegung}}
+Die Konstruktionen des letzten Abschnitts haben gezeigt,
+wie man die Funktionen, die man als Stammfunktionen einer Funktion
+zulassen möchte, schrittweise konstruieren kann.
+Die Aufgabe~\ref{buch:integrale:aufgabe:existenz-stammfunktion-dalg}
+ist eine rein algebraische Formulierung der ursprünglichen
+Aufgabe~\ref{buch:integrale:aufgabe:existenz-stammfunktion}.
+Schliesslich hat das Beispiel auf
+Seite~\pageref{buch:integrale:beispiel:nichteinfacheelementarefunktion}
+gezeigt, dass es im allgemeinen mehrere Schritte braucht, um zu einer
+elementaren Stammfunktion zu gelangen.
+Die Lösung setzt sich aus den Termen der Partialbruchzerlegung.
+In diesem Abschnitt soll diese genauer studiert werden.
+
+In diesem Abschnitt gehen wir immer von einer differentiellen
+Algebra über den komplexen Zahlen aus und verlangen, dass die
+Konstanten in allen betrachteten differentiellen Algebren
+$\mathbb{C}$ sind.
+
+\subsubsection{Monome}
+Die beiden Funktionen $\vartheta-1=\log(az+b)$ und $\vartheta_2=(cz+d)$,
+die im Beispiel hinzugefügt werden mussten, verhalten sich ich algebraischer
+Hinsicht wie ein Monom: man kann es nicht faktorisieren oder bereits
+bekannte Summanden aufspalten.
+Solchen Funktionen kommt eine besondere Bedeutung zu.
+
+\begin{definition}
+\label{buch:integrale:def:monom}
+Die Funktion $\vartheta$ heisst ein Monom, wenn $\vartheta$ nicht
+algebraisch ist über $\mathscr{D}$ und $\mathscr{D}(\vartheta)$ die
+gleichen Konstanten enthält wie $\mathscr{D}$.
+\end{definition}
+
+\begin{beispiel}
+Als Beispiel beginnen wir mit den komplexen Zahlen $\mathbb{C}$
+und fügen die Funktion $\vartheta_1=z$ hinzu und erhalten
+$\mathscr{D}=\mathbb{C}(z)$.
+Die Funktionen $z^k$ sind für alle $k$ linear unabhängig, d.~h.~es
+gibt keinen Ausdruck
+\[
+a_nz^n + a_{n-1}z^{n-1}+\cdots+a_1z+a_0=0.
+\]
+Dies ist gleichbedeutend damit, dass $z$ nicht algebraisch ist.
+Das Monom $z$ ist also auch ein Monom im Sinne der
+Definition~\ref{buch:integrale:def:monom}.
+\end{beispiel}
+
+\begin{beispiel}
+Wir beginnen wieder mit $\mathbb{C}$ und fügen die Funktion
+$e^z$ hinzu.
+Gäbe es eine Beziehung
+\[
+b_m(e^z)^m + b_{m-1}(e^z)^{m-1}+\dots+b_1e^z + b_0=0
+\]
+mit komplexen Koeffizienten $b_i\in\mathbb{C}$,
+dann würde daraus durch Einsetzen von $z=1$ die Relation
+\[
+b_me^m + b_{m-1}e^{m-1} + \dots + b_1e + b_0=0,
+\]
+die zeigen würde, dass $e$ eine algebraische Zahl ist.
+Es ist aber bekannt, dass $e$ transzendent ist.
+Dieser Widersprich zeigt, dass $e^z$ ein Monom ist.
+\end{beispiel}
+
+\begin{beispiel}
+Jetzt fügen wir die Exponentialfunktion $\vartheta_2=e^z$
+der differentiellen Algebra $\mathscr{D}=\mathbb{C}(z)$ hinzu
+und erhalten $\mathscr{F}_1=\mathscr{D}(e^z) = \mathbb{C}(z,e^z)$.
+Gäbe es das Minimalpolynom 
+\begin{equation}
+b_m(z)(e^z)^m + b_{m-1}(z)(e^z)^{m-1}+\dots+b_1(z)e^z + b_0(z)=0
+\label{buch:integrale:beweis:exp-analytisch}
+\end{equation}
+mit Koeffizienten $b_i\in\mathbb{C}(z)$, dann könnte man mit dem
+gemeinsamen Nenner der Koeffizienten durchmultiplizieren und erhielte
+eine Relation~\eqref{buch:integrale:beweis:exp-analytisch} mit
+Koeffizienten in $\mathbb{C}[z]$.
+Dividiert man durch $e^{mz}$ erhält man
+\[
+b_m(z) + b_{m-1}(z)\frac{1}{e^z} + \dots + b_1(z)\frac{1}{(e^z)^{m-1}} + b_0(z)\frac{1}{(e^z)^m}=0.
+\]
+Aus der Analysis weiss man, dass die Exponentialfunktion schneller
+anwächst als jedes Polynom, alle Terme auf der rechten Seite
+konvergieren daher gegen 0 für $z\to\infty$.
+Das bedeutet, dass $b_m(z)\to0$ für $z\to \infty$.
+Das Polynom~\eqref{buch:integrale:beweis:exp-analytisch} wäre also gar
+nicht das Minimalpolynom.
+Dieser Widerspruch zeigt, dass $e^z$ nicht algebraisch ist über
+$\mathbb{C}(z)$ und damit ein Monom ist\footnote{Etwas unbefriedigend
+an diesem Argument ist, dass man hier wieder rein analytische statt
+algebraische Eigenschaften von $e^z$ verwendet.
+Gäbe es aber eine minimale Relation wie
+\eqref{buch:integrale:beweis:exp-analytisch}
+mit Polynomkoeffizienten, dann wäre sie von der Form
+\[
+P(z,e^z)=p(z)(e^z)^m + q(z,e^z)=0,
+\]
+wobei Grad von $e^z$ in $q$ höchstens $m-1$ ist.
+Die Ableitung wäre dann
+\[
+Q(z,e^z)
+=
+mp(z)(e^z)^m + p'(z)(e^z)^m + r(z,e^z)
+=
+(mp(z) + p'(z))(e^z)^m + r(z,e^z)
+=0,
+\]
+wobei der Grad von $e^z$ in $r$ wieder höchstens $m-1$ ist.
+Bildet man $mP(z,e^z) - Q(z,e^z) = 0$ ensteht eine Relation,
+in der der Grad des Koeffizienten von $(e^z)^m$ um eins abgenommen hat.
+Wiederholt man dies $m$ mal, verschwindet der Term $(e^z)^m$, die
+Relation~\eqref{buch:integrale:beweis:exp-analytisch}
+war also gar nicht minimal.
+Dieser Widerspruch zeigt wieder, dass $e^z$ nicht algebraisch ist,
+verwendet aber nur die algebraischen Eigenschaften der differentiellen
+Algebra.
+}.
+\end{beispiel}
+
+\begin{beispiel}
+Wir hätten auch in $\mathbb{Q}$ arbeiten können und $\mathbb{Q}$
+erst die Exponentialfunktion $e^z$ und dann den Logarithmus $z$ von $e^z$
+hinzufügen können.
+Es gibt aber noch weitere Logarithmen von $e^z$ zum Beispiel $z+2\pi i$.
+Offenbar ist $\psi=z+2\pi i\not\in \mathbb{Q}(z,e^z)$, wir könnten also
+auch noch $\psi$ hinzufügen.
+Zwar ist $\psi$ auch nicht algebraisch, aber wenn wir $\psi$ hinzufügen,
+dann wird aber die Menge der Konstanten grösser, sie umfasst jetzt
+$\mathbb{Q}(2\pi i)$.
+Die Bedingung in der Definition~\ref{buch:integrale:def:monom},
+dass die Menge der Konstanten nicht grösser werden darf, ist also
+verletzt.
+
+Hätte man mit $\mathbb{Q}(e^z, z+2\pi i)$ begonnen, wäre $z$ aus
+dem gleichen Grund kein Monom, aber $z+2\pi i$ wäre eines im Sinne
+der Definition~\ref{buch:integrale:def:monom}.
+In allen Rechnungen könnte man $\psi=z+2\pi i$ nicht weiter aufteilen,
+da $\pi$ oder seine Potenzen keine Elemente von $\mathbb{Q}(e^z)$ sind.
+\end{beispiel}
+
+Da wir im Folgenden davon ausgehen, dass die Konstanten unserer
+differentiellen Körper immer $\mathbb{C}$ sind, wird es jeweils
+genügen zu untersuchen, ob eine neu hinzuzufügende Funktion algebraisch
+ist oder nicht.
+
+\subsubsection{Ableitungen von Polynomen und rationalen Funktionen von Monomen}
+Fügt man einer differentiellen Algebra ein Monom hinzu, dann lässt
+sich etwas mehr über Ableitungen von Polynomen oder Brüchen in diesen
+Monomen sagen.
+Diese Eigenschaften werden später bei der Auflösung der Partialbruchzerlegung
+nützlich sein.
+
+\begin{satz}
+\label{buch:integrale:satz:polynom-ableitung-grad}
+Sei
+\[
+P
+=
+A_nX^n + A_{n-1}X^{n-1} + \dots A_1X+A_0
+\in\mathscr{D}[X]
+\]
+ein Polynom mit Koeffizienten in einer differentiellen Algebra $\mathscr{D}$
+und $\vartheta$ ein Monom über $\mathscr{D}$.
+Dann gilt
+\begin{enumerate}
+\item
+\label{buch:integrale:satz:polynom-ableitung-grad-log}
+Falls $\vartheta=\log f$ ist, ist $P(\vartheta)'$ ein
+Polynom vom Grad $n$ in $\vartheta$, wenn der Leitkoeffizient $A_n$
+nicht konstant ist, andernfalls ein Polynom vom Grad $n-1$.
+\item
+\label{buch:integrale:satz:polynom-ableitung-grad-exp}
+Falls $\vartheta = \exp f$ ist, dann ist $P(\vartheta)'$ ein Polynom
+in $\vartheta$ vom Grad $n$.
+\end{enumerate}
+\end{satz}
+
+Der Satz macht also genaue Aussagen darüber, wie sich der Grad eines
+Polynoms in $\vartheta$ beim Ableiten ändert.
+
+\begin{proof}[Beweis]
+Für Exponentialfunktion ist $\vartheta'=\vartheta f'$, die Ableitung
+fügt also einfach einen Faktor $f'$ hinzu.
+Terme der Form $A_k\vartheta^k$ haben die Ableitung
+\[
+(A_k\vartheta^k)
+=
+A'_k\vartheta^k + A_kk\vartheta^{k-1}\vartheta'
+=
+A'_k\vartheta^k + A_kk\vartheta^{k-1}\vartheta f'
+=
+(A'_k + kA_k f)\vartheta^k.
+\]
+Damit wird die Ableitung des Polynoms
+\begin{equation}
+P(\vartheta)'
+=
+\underbrace{(A'_n+nA_nf')\vartheta^n}_{\displaystyle=(A_n\vartheta^n)'}
++
+(A'_{n-1}+(n-1)A_{n-1}f')\vartheta^{n-1}
++ \dots + 
+(A'_1+A_1f')\vartheta + A_0'.
+\label{buch:integrale:ableitung:polynom}
+\end{equation}
+Der Grad der Ableitung kann sich also nur ändern, wenn $A_n'+nA_nf'=0$ ist.
+Dies bedeutet aber wegen
+\(
+(A_n\vartheta^n)'
+=
+0
+\), dass  $A_n\vartheta^n=c$ eine Konstante ist.
+Da alle Konstanten bereits in $\mathscr{D}$ sind, folgt, dass
+\[
+\vartheta^n=\frac{c}{A_n}
+\qquad\Rightarrow\qquad
+\vartheta^n - \frac{c}{A_n}=0,
+\]
+also wäre $\vartheta$ algebraisch über $\mathscr{D}$, also auch kein Monom.
+Dieser Widerspruch zeigt, dass der Leitkoeffizient nicht verschwinden kann.
+
+Für die erste Aussage ist die Ableitung der einzelnen Terme des Polynoms
+\[
+(A_k\vartheta^k)'
+=
+A_k'\vartheta^k + A_kk\vartheta^{k-1}\vartheta'
+=
+A_k'\vartheta^k + A_kk\vartheta^{k-1}\frac{f'}{f}
+=
+\biggl(A_k'\vartheta + kA_k\frac{f'}{f}\biggr)\vartheta^{k-1}.
+\]
+Die Ableitung des Polynoms ist daher
+\[
+P(\vartheta)'
+=
+A_n'\vartheta^n + \biggl(nA_n\frac{f'}{f}+ A'_{n-1}\biggr)\vartheta^{n-1}+\dots
+\]
+Wenn $A_n$ keine Konstante ist, ist $A_n'\ne 0$ und der Grad von
+$P(\vartheta)'$ ist $n$.
+Wenn $A_n$ eine Konstante ist, müssen wir noch zeigen, dass der nächste
+Koeffizient nicht verschwinden kann.
+Wäre der zweite Koeffizient $=0$, dann wäre die Ableitung
+\[
+(nA_n\vartheta+A_{n-1})'
+=
+nA_n\vartheta'+A'_{n-1}
+=
+nA_n\frac{f'}{f}+A'_{n-1}
+=
+0,
+\]
+d.h. $nA_n\vartheta+A_{n-1}=c$ wäre eine Konstante.
+Da alle Konstanten schon in $\mathscr{D}$ sind, müsste auch
+\[
+\vartheta = \frac{c-A_{n-1}}{nA_n} \in \mathscr{D}
+\]
+sein, wieder wäre $\vartheta$ kein Monom.
+\end{proof}
+
+Der nächste Satz gibt Auskunft über den führenden Term in
+$(\log P(\vartheta))' = P(\vartheta)'/P(\vartheta)$.
+
+\begin{satz}
+\label{buch:integrale:satz:log-polynom-ableitung-grad}
+Sei $P$ ein Polynom vom Grad $n$ wie in
+\label{buch:integrale:satz:log-polynom-ableitung}
+welches zusätzlich normiert ist, also $A_n=1$.
+\begin{enumerate}
+\item
+\label{buch:integrale:satz:log-polynom-ableitung-log}
+Ist $\vartheta=\log f$, dann ist
+$(\log P(\vartheta))' = P(\vartheta)'/P(\vartheta)$ und $P(\vartheta)'$
+hat Grad $n-1$.
+\item
+\label{buch:integrale:satz:log-polynom-ableitung-exp}
+Ist $\vartheta=\exp f$, dann gibt es ein Polynom $N(\vartheta)$ so, dass
+$(\log P(\vartheta))'
+=
+P(\vartheta)'/P(\vartheta)
+=
+N(\vartheta)/P(\vartheta)+nf'$
+ist.
+Falls $P(\vartheta)=\vartheta$ ist $N=0$, andernfalls ist $N(\vartheta)$
+ein Polynom vom Grad $<n$.
+\end{enumerate}
+\end{satz}
+
+\begin{proof}[Beweis]
+Die Gleichung $(\log P(\vartheta))'=P(\vartheta)'/P(\vartheta)$ ist die
+Definition eines Logarithmus, es geht also vor allem um die Frage
+des Grades von $P(\vartheta)'$.
+Da der Leitkoeffizient als $1$ und damit konstant vorausgesetzt wurde,
+folgt die Behauptung \ref{buch:integrale:satz:log-polynom-ableitung-log}
+aus 
+Aussage \ref{buch:integrale:satz:polynom-ableitung-grad-log}
+von Satz~\ref{buch:integrale:satz:polynom-ableitung-grad}.
+
+Für Aussage \ref{buch:integrale:satz:log-polynom-ableitung-exp}
+beachten wir wieder die
+Ableitungsformel~\eqref{buch:integrale:ableitung:polynom}
+und berücksichtigen, dass $A_n=1$ eine Konstante ist.
+Da $A_n'=0$ ist, wird
+\begin{align*}
+P(\vartheta)'
+&=
+nA_n\vartheta^n f' + \text{Terme niedrigeren Grades in $\vartheta$}.
+\intertext{Das Polynom $nf'P(\vartheta)$ hat den gleichen Term vom
+Grad $n$, man kann also $P(\vartheta)'$ auch schreiben als}
+&=
+nf'
+P(\vartheta)
++
+\underbrace{
+\text{Terme niedrigeren Grades in $\vartheta$}}_{\displaystyle=N(\vartheta)}.
+\end{align*}
+Division durch $P(\vartheta)$ ergibt die versprochene Formel.
+
+Im Fall $P(\vartheta)=\vartheta$ ist $n=1$ und
+$(\log P(\vartheta))'=P(\vartheta)'/P(\vartheta)
+=
+\vartheta f'/\vartheta
+=
+nf'$ und somit $N(\vartheta)=0$.
+\end{proof}
+
+\subsubsection{Partialbruchzerlegungen}
+Der vorangegangene Abschnitt hat gezeigt, dass sich Monome im Sinne
+der Definition~\ref{buch:integrale:def:monom} algebraisch wie eine
+unabhängige Variable verhalten.
+Für die Berechnung von Integralen rationaler Funktionen in einer
+Variablen $x$ verwendet
+man die Partialbruchzerlegung, um Brüche mit einfachen Nennern zu
+erhalten.
+Es liegt daher nahe, dieselbe Idee auch auf die 
+Monome $\vartheta_i$ zu verwenden.
+Dazu muss man die Brüche besser verstehen, die in einer Partialbruchzerlegung
+vorkommen können.
+
+Eine Partialbruchzerlegung in der Variablen $X$ setzt sich zusammen
+aus Brüchen der Form
+\begin{equation}
+g(X)
+=
+\frac{P(X)}{Q(X)^r},
+\label{buch:integrale:eqn:partialbruch-quotient}
+\end{equation}
+wobei das Nennerpolynom $Q(X)$ ist ein normiertes irreduzibles Polynom
+vom Grad $q$ und $P(X)$ ein beliebiges Polynom vom Grad $p<q$.
+
+Ist der Grad von $P(X)$
+im Quotienten 
+\eqref{buch:integrale:eqn:partialbruch-quotient}
+grösser als $q$, dann kann man $P(X)$ um Vielfache von Potenzen von
+$Q(X)$ reduzieren und eine Summe von Termen der Art
+\eqref{buch:integrale:eqn:partialbruch-quotient}
+erhalten, deren Nenner alle Grad $< q$ haben.
+Die Anzahl neu enstehender Terme ist dabei ums grösser, je grösser
+der Grad des Zählers ist.
+Dies ist der Inhalt des folgenden Satzes.
+
+\begin{satz}
+\label{buch:integrale:satz:partialbruch-reduktion}
+Sei $Q(X)$ ein irreduzibles Polynom vom Grad $q$ und $P(X)$ ein beliebiges
+Polynom vom Grad $p < (k+1)q$.
+Dann gibt es Polynome $P_i(X)$, $i=0,\dots,k$, vom Grad $<q$ derart,
+dass
+\begin{equation}
+\frac{P(X)}{Q(X)^r}
+=
+\sum_{i=0}^k \frac{P_i(X)}{Q(X)^{r-i}}.
+\label{buch:integrale:satz:partialbruch-aufgeloest}
+\end{equation}
+\end{satz}
+
+\begin{proof}[Beweis]
+Für $k=0$ ist $p<q$ und es muss nichts weiter gezeigt werden.
+
+Sei jetzt also $k>0$ das kleinste $k$ so, dass $p<(k+1)q$.
+Insbesondere ist dann $kq\le p$.
+Nach dem euklidischen Satz für die Division von $P(X)$ durch $Q(X)^k$
+gibt es ein Polynom $P_k(X)$ vom Grad $\le p-qk$ derart, dass
+\[
+P(X) = P_k(X)Q(X)^k + R_k(X)
+\]
+mit einem Rest $R_k(X)$ vom Grad $<kq$.
+Es folgt
+\[
+\frac{ P(X)}{Q(X)^r}
+=
+\frac{P_k(X)}{Q(X)^{r-k}}
++
+\frac{R_k(X)}{Q(X)^r}.
+\]
+Der zweite Term ist wieder von der im Satz beschriebenen Art, allerdings
+mit einem Wert von $k$, der um $1$ kleiner ist.
+Durch rekursive Anwendung der gleichen Prozedur in $k$ weiteren Schritten
+erhält man die Form
+Das gleiche Argument kann jetzt auf das Polynom $R_k(X)$ anstelle
+von $P(X)$ angewendet werden,  erhalt man den Ausdruck
+\eqref{buch:integrale:satz:partialbruch-aufgeloest}.
+\end{proof}
+
+In der differentiellen Algebra $\mathscr{D}(\vartheta)$ muss man jetzt
+auch Bescheid wissen über die Partialbruchzerlegung von Ableitungen solcher
+Terme.
+
+\begin{satz}
+\label{buch:integrale:satz:partialbruch-monom}
+Sei $\vartheta$ ein Monom über $\mathscr{D}$ und
+seien $P(\vartheta),Q(\vartheta)\in\mathscr{D}[\vartheta]$ Polynome,
+wobei $Q(\vartheta)$ ein irreduzibles normiertes Polynom vom Grad $q$
+ist und $P(\vartheta)$ ein beliebiges Polynom vom Grad $p<q$.
+Dann ist die Ableitung
+\begin{equation}
+g(\vartheta)'
+=
+\biggl(
+\frac{P(\vartheta)}{Q(\vartheta)^r}
+\biggr)'
+=
+-r\frac{P(\vartheta)Q(\vartheta)'}{Q(\vartheta)^{r+1}}
++
+\frac{P(\vartheta)'}{Q(\vartheta)^r}.
+\label{buch:integrale:eqn:partialbruch-ableitung}
+\end{equation}
+Falls $\vartheta=\exp f$ eine Exponentialfunktion ist und
+$Q(\vartheta)=\vartheta$, dann hat die Partialbruchzerlegung von $g(X)'$
+die Form
+\begin{equation}
+g(\vartheta)'
+=
+\frac{
+{P(\vartheta)'-rP(\vartheta)f}
+}{
+\vartheta^{r}
+}.
+\label{buch:integrale:eqn:partialbruch-ableitung-fall0}
+\end{equation}
+Für $Q(\vartheta)\ne \vartheta$ oder $\vartheta$ keine Exponentialfunktion
+hat die Partialbruchzerlegung von $g(X)'$ die Form
+\[
+g(\vartheta)'
+=
+\frac{R(\vartheta)}{Q(\vartheta)^{r+1}}+\frac{S(\vartheta)}{Q(\vartheta)^r}
+\qquad\text{mit $R(\vartheta)\ne 0$}.
+\]
+\end{satz}
+
+\begin{proof}[Beweis]
+Schreibt man den Quotienten $g(\vartheta)$ als
+$g(\vartheta)=P(\vartheta)Q(\vartheta)^{-r}$, dann folgt aus
+Produkt- und Potenzregel
+\[
+g(\vartheta)'
+=
+P(\vartheta)'Q(\vartheta)^{-r}
++
+P(\vartheta)\bigl(Q(\vartheta)^{-r}\bigr)'
+=
+\frac{P(\vartheta)'}{Q(\vartheta)^{r}}
+-r\frac{P(\vartheta)Q(\vartheta)'}{Q(\vartheta)^{r+1}},
+\]
+dies ist
+\eqref{buch:integrale:eqn:partialbruch-ableitung}.
+Auf die Ableitungen von $P(\vartheta)$ und $Q(\vartheta)$ können 
+jetzt die Sätze
+\ref{buch:integrale:satz:polynom-ableitung-grad},
+\ref{buch:integrale:satz:log-polynom-ableitung-grad}
+und
+\ref{buch:integrale:satz:partialbruch-monom}
+angewendet werden.
+Es sind jweils zwei Dinge zu prüfen: es dürfen in der Partialbruchzerlegung
+im Nenner keine Potenzen $<r$ vorkommen und wegen $R\ne 0$ muss der Nenner
+$Q(\vartheta)^{r+1}$ vorkommen.
+
+Falls $\vartheta=\log f$ ist, ist $Q(\vartheta)'$ ein Polynom vom
+Grad $q-1$ nach Satz~\eqref{buch:integrale:satz:polynom-ableitung-grad}
+\ref{buch:integrale:satz:polynom-ableitung-grad-log}
+und $P(\vartheta)'$ ist ein Polynom vom Grad höchstens $p$.
+Der Zähler $P(\vartheta)Q(\vartheta)'$ im zweiten Term ist nicht
+durch $Q(\vartheta)$ teilbar, denn weil $Q(\vartheta)$ irreduzibel
+ist, müsste $Q(\vartheta)$ entweder $P(\vartheta)$ oder $Q(\vartheta)'$
+teilen, aber beide haben zu geringen Grad.
+
+Falls $\vartheta=\exp f$ ist, ist $Q(\vartheta)'$ ein Polynom vom
+Grad $q$ und $P(\vartheta)'$ ist eine Polynom vom Grad $p$.
+Der Grad von $P(\vartheta)Q(\vartheta)'$ ist $<2q$, daher 
+werden nach
+Satz~\ref{buch:integrale:satz:partialbruch-reduktion}
+keine Nenner mit kleinerem Exponenten als $r$ auftreten.
+Es ist noch zu prüfen, ob $Q(\vartheta)$ den Nenner des zweiten Termes
+von~\eqref{buch:integrale:eqn:partialbruch-ableitung} teilt.
+Nehmen wir $Q(\vartheta)\mid P(\vartheta)Q(\vartheta)'$ an, dann muss
+$Q(\vartheta)\mid Q(\vartheta)'$ sein.
+Für
+\[
+Q(\vartheta) = \vartheta^q + q_{q-1}\vartheta^{q-1} + \dots
+\]
+ist die Ableitung
+\[
+Q(\vartheta)'
+=
+q\vartheta^q f'
++
+\dots
+\]
+und damit
+\[
+\frac{Q(\vartheta)'}{Q(\vartheta)}
+=
+qf'.
+\]
+Andererseits ist in der 
+Aussage~\label{buch:integrale:satz:log-polynom-ableitung-exp}
+von
+Satz~\ref{buch:integrale:satz:log-polynom-ableitung-grad}
+angewendet auf das Polynom $Q(\vartheta)$ das Polynom $N(\vartheta)=0$,
+und daher muss $Q(\vartheta)=\vartheta$ und $q=1$ sein.
+Dies ist der einzige Ausnahmefall, in die Partialbruchzerlegung die Form
+\eqref{buch:integrale:eqn:partialbruch-ableitung-fall0}
+annimmt.
+\end{proof}
+
+Der Satz besagt also, dass in fast allen Fällen die einzelnen Terme
+der Partialbruchzerlegung der Ableitungen wieder von der gleichen
+Form sind.
+
+\subsection{Der Satz von Liouville
+\label{buch:integrale:section:liouville}}
+Die Funktion
+\[
+f(z) = \frac{(z+1)^2}{(z-1)^3} \in \mathbb{C}(z) = \mathscr{D}
+\]
+kann mit Hilfe der Partialbruchzerlegung
+\[
+f(z)
+=
+\frac{1}{z-1}
++
+\frac{4}{(z-1)^2}
++
+\frac{4}{(z-1)^3}
+\]
+integriert werden.
+Die Integranden $(z-1)^{-k}$ mit $k>1$ können mit der Potenzregel
+integriert werden, aber für eine Stammfunktion $1/(z-1)$ muss
+der Logarithmus $\log(z-1)$ hinzugefügt werden.
+Die Stammfunktion 
+\[
+\int f(z)\,dz
+=
+\int
+\frac{1}{z-1}
+\,dz
++
+\int
+\frac{4}{(z-1)^2}
+\,dz
++
+\int
+\frac{4}{(z-1)^3}
+\,dz
+=
+\log(z-1)
+-
+\underbrace{\frac{4z-2}{(z-1)^2}}_{\displaystyle\in\mathscr{D}}
+\in \mathscr{D}(\log(z-1)) = \mathscr{F}
+\]
+hat eine sehr spezielle Form.
+Sie besteht aus einem Term in $\mathscr{D}$ und einem Logarithmus
+einer Funktion von $\mathscr{D}$, also einem Monom über $\mathscr{D}$.
+
+\subsubsection{Einfach elementare Stammfunktionen}
+Der in diesem Abschnitt zu beweisende Satz von Liouville zeigt,
+dass die im einführenden Beispiel konstruierte Form der Stammfunktion
+eine allgemeine Eigenschaft elementar integrierbarer
+Funktionen ist.
+Zunächst aber soll dieses Bespiel etwas verallgemeinert werden.
+
+\begin{satz}[Liouville-Vorstufe für Monome]
+\label{buch:integrale:satz:liouville-vorstufe-1}
+Sei $\vartheta$ ein Monom über $\mathscr{D}$ und $g\in\mathscr{D}(\vartheta)$
+mit $g'\in\mathscr{D}$.
+Dann hat $g$ die Form $v_0 + c_1\vartheta$ mit $v_0\in\mathscr{D}$ und
+$c_1\in\mathbb{C}$.
+\end{satz}
+
+\begin{proof}[Beweis]
+In Anlehnung an das einführende Beispiel nehmen wir an, dass die
+Stammfunktion $g\in\mathscr{D}[\vartheta]$ für ein Monom $\vartheta$
+über $\mathscr{D}$ ist.
+Dann hat $g$ die Partialbruchzerlegung
+\[
+g
+=
+H(\vartheta)
++
+\sum_{j\le r(i)} \frac{P_{ij}(\vartheta)}{Q_i(\vartheta)^j}
+\]
+mit irreduziblen normierten Polynomen $Q_i(\vartheta)$ und
+Polynomen $P_{ij}(\vartheta)$ vom Grad kleiner als $\deg Q_i(\vartheta)$.
+Ausserdem ist $H(\vartheta)$ ein Polynom.
+Die Ableitung von $g$ muss jetzt aber wieder in $\mathscr{D}$ sein.
+Zu ihrer Berechnung können die Sätze
+\ref{buch:integrale:satz:polynom-ableitung-grad},
+\ref{buch:integrale:satz:log-polynom-ableitung-grad}
+und
+\ref{buch:integrale:satz:partialbruch-monom}
+verwendet werden.
+Diese besagen, dass in der Partialbruchzerlegung die Exponenten der
+Nenner die Quotienten in der Summe nicht kleiner werden.
+Die Ableitung $g'\in\mathscr{D}$ darf aber gar keine Nenner mit
+$\vartheta$ enthalten, also dürfen die Quotienten gar nicht erst
+vorkommen.
+$g=H(\vartheta)$ muss also ein Polynom in $\vartheta$ sein.
+Die Ableitung des Polynoms darf wegen $g'\in\mathscr{d}$ das Monom
+$\vartheta$ ebenfalls nicht mehr enthalten, daher kann es höchstens vom
+Grad $1$ sein.
+Nach Satz~\ref{buch:integrale:satz:log-polynom-ableitung-grad}
+muss ausserdem der Leitkoeffizient von $g$ eine Konstante sein,
+das Polynom hat also genau die behauptete Form.
+\end{proof}
+
+\begin{satz}[Liouville-Vorstufe für algebraische Elemente]
+\label{buch:integrale:satz:liouville-vorstufe-2}
+Sei $\vartheta$ algebraische über $\mathscr{D}$ und
+$g\in\mathscr{D}(\vartheta)$ mit $g'\in\mathscr{D}$.
+\end{satz}
+
+\subsubsection{Elementare Stammfunktionen}
+Nach den Vorbereitungen über einfach elementare Stammfunktionen 
+in den Sätzen~\label{buch:integrale:satz:liouville-vorstufe-1}
+und
+\label{buch:integrale:satz:liouville-vorstufe-2} sind wir jetzt
+in der Lage, den allgemeinen Satz von Liouville zu formulieren
+und zu beweisen.
+
+\begin{satz}[Liouville]
+Sei $\mathscr{D}$ ein Differentialkörper, $\mathscr{F}$ einfach über
+$\mathscr{D}$ mit gleichem Konstantenkörper $\mathbb{C}$.
+Wenn $g\in \mathscr{F}$ eine Stammfunktion von $f\in\mathscr{D}$ ist,
+also $g'=f$, dann gibt es Zahlen $c_i\in\mathbb{C}$ und
+$v_0,v_i\in\mathscr{D}$ derart, dass
+\begin{equation}
+g = v_0 + \sum_{i=1}^k c_i \log v_i
+\qquad\Rightarrow\qquad
+g' = v_0' + \sum_{i=1}^k c_i \frac{v_i'}{v_i} = f
+\label{buch:integrale:satz:liouville-fform}
+\end{equation}
+gilt.
+\end{satz}
+
+Der Satz hat zur Folge, dass eine elementare Stammfunktion für $f$ 
+nur dann existieren kann, wenn sich $f$ in der speziellen Form
+\eqref{buch:integrale:satz:liouville-fform}
+schreiben lässt.
+Die Aufgabe~\ref{buch:integrale:aufgabe:existenz-stammfunktion-dalg}
+lässt sich damit jetzt lösen.
+
+
+\begin{proof}[Beweis]
+Wenn die Stammfunktion $g\in\mathscr{D}$ ist, dann hat $g$ die Form
+\eqref{buch:integrale:satz:liouville-fform} mit $v_0=g$, die Summe
+wird nicht benötigt.
+
+Wir verwenden Induktion nach der Anzahl der Elemente, die zu $\mathscr{D}$
+hinzugefügt werden müssen, um einen Differentialkörper 
+$\mathscr{F}=\mathscr{D}(\vartheta_1,\dots,\vartheta_n)$ zu konstruieren,
+der $g$ enthält.
+Da $f\in\mathscr{D}\subset\mathscr{D}(\vartheta_1)$ ist, können wir die
+Induktionsannahme auf die Erweiterung
+\[
+\mathscr{D}(\vartheta_1)\subset\mathscr{D}(\vartheta_1,\vartheta_2)
+\subset\cdots\subset \mathscr{D}(\vartheta_1,\cdots,\vartheta_n)=\mathscr{F}
+\]
+anwenden, die durch Hinzufügen von nur $n-1$ Elemente
+$\vartheta_2,\dots,\vartheta_n$ aus $\mathscr{D}(\vartheta_1)$ den
+Differentialkörper $\mathscr{F}$ erreicht, der $g$ enthält.
+Sie besagt, dass sich $g$ schreiben lässt als
+\[
+g = w_0 + \sum_{i=1}^{k_1} c_i\log w_i
+\qquad\text{mit $c_i\in\mathbb{C}$ und $w_0,w_i\in\mathscr{D}(\vartheta_1)$.}
+\]
+Wir müssen jetzt zeigen, dass sich dieser Ausdruck umformen lässt 
+in den Ausdruck der Form~\eqref{buch:integrale:satz:liouville-fform}.
+
+Der Term $w_0\in\mathscr{D}(\vartheta_1)$ hat eine Partialbruchzerlegung
+\[
+H(\vartheta_1)
++
+\sum_{j\le r(l)} \frac{P_{lj}(\vartheta_1)}{Q_l(\vartheta_1)^j}
+\]
+in der Variablen $\vartheta_1$.
+
+Da $w_i\in\mathscr{D}(\vartheta_1)$ ist, kann man Zähler und Nenner
+von $w_i$ als Produkt irreduzibler normierter Polynome schreiben:
+\[
+w_i
+=
+\frac{h_i Z_{i1}(\vartheta_1)^{s_{i1}}\cdots Z_{im(i)}^{s_{im(i)}}
+}{
+N_{i1}(\vartheta_1)^{t_{i1}}\cdots N_{in(i)}(\vartheta_1)^{t_{in(i)}}
+}
+\]
+Der Logarithmus hat die Form
+\begin{align*}
+\log w_i
+&= \log h_i + 
+s_{i1}
+\log Z_{i1}(\vartheta_1)
++
+\cdots
++
+s_{im(i)}
+\log Z_{im(i)}
+-
+t_{i1}
+\log
+N_{i1}(\vartheta_1)
+-
+\cdots
+-
+t_{in(i)}
+\log
+N_{in(i)}(\vartheta_1).
+\end{align*}
+$g$ kann also geschrieben werden als eine Summe von Polynomen, Brüchen,
+wie sie in der Partialbruchzerlegung vorkommen, Logarithmen von irreduziblen
+normierten Polynomen und Logarithmen von Elementen von $\mathscr{D}$.
+
+Die Ableitung $g'$ muss jetzt aber wieder in $\mathscr{D}$ sein, beim
+Ableiten müssen also alle Terme verschwinden, die $\vartheta_1$ enthalten.
+Dabei spielt es eine Rolle, ob $\vartheta_1$ ein Monom oder algebraisch ist.
+\begin{enumerate}
+\item
+Wenn $\vartheta_1$ ein Monom ist, dann kann man wie im Beweis des
+Satzes~\ref{buch:integrale:satz:liouville-vorstufe-1} argumentieren,
+dass die Brüchterme gar nicht vorkommen und
+$H(\vartheta_1)=v_0+c_1\vartheta_1$ sein muss.
+Die Ableitung Termen der Form $\log Z(\vartheta_1)$ ist ein Bruchterm
+mit dem irreduziblen Nenner $Z(\vartheta_1)$, die ebenfalls verschwinden
+müssen.
+Ist $\vartheta_1$ eine Exponentialfunktion, dann ist
+$\vartheta_1' \in \mathscr{D}(\vartheta_1)\setminus\mathscr{D}$, also muss
+$c_1=0$ sein.
+Ist  $\vartheta_1$ ein Logarithmus, also $\vartheta_1=\log v_1$, dann
+kommen nur noch Terme der in 
+\eqref{buch:integrale:satz:liouville-fform}
+erlaubten Form vor.
+
+\item
+Wenn $\vartheta_1$ algebraisch vom Grad $m$ ist, dann ist
+\[
+g' = w_0' + \sum_{i=1}^{k_1} d_i\frac{w_i'}{w_i} = f.
+\]
+Weder $w_0$ noch $\log w_i$ sind in $\mathscr{D}(\vartheta_1)$.
+Aber wenn man $\vartheta_1$ durch die $m$ konjugierten Elemente
+ersetzt und alle summiert, dann ist
+\[
+mf
+=
+\operatorname{Tr}(w_0) + \sum_{i=1}^{k_1} d_i \log\operatorname{Norm}(w_i).
+\]
+Da die Spur und die Norm in $\mathscr{D}$ sind, folgt, dass
+\[
+f
+=
+\underbrace{\frac{1}{m}
+\operatorname{Tr}(w_0)}_{\displaystyle= v_0}
++
+\sum_{i=1}^{k_1} \underbrace{\frac{d_i}{m}}_{\displaystyle=c_i}
+\log
+\underbrace{ \operatorname{Norm}(w_i)}_{\displaystyle=v_i}
+=
+v_0 + \sum_{i=1}^{k_1} c_i\log v_i
+\]
+die verlangte Form hat.
+\qedhere
+\end{enumerate}
+\end{proof}
+
+\subsection{Die Fehlerfunktion ist keine elementare Funktion
+\label{buch:integrale:section:fehlernichtelementar}}
+% \url{https://youtu.be/bIdPQTVF5n4}
+Mit Hilfe des Satzes von Liouville kann man jetzt beweisen, dass 
+die Fehlerfunktion keine elementare Funktion ist.
+Dazu braucht man die folgende spezielle Form des Satzes.
+
+\begin{satz}
+\label{buch:integrale:satz:elementarestammfunktion}
+Wenn $f(x)$ und $g(x)$ rationale Funktionen von $x$ sind, dann
+ist die Stammfunktion von $f(x)e^{g(x)}$ genau dann eine 
+elementare Funktion, wenn es eine rationale Funktion gibt, die
+Lösung der Differentialgleichung
+\[
+r'(x) + g'(x)r(x)=f(x)
+\]
+ist.
+\end{satz}
+
+\begin{satz}
+Die Funktion $x\mapsto e^{-x^2}$ hat keine elementare Stammfunktion.
+\label{buch:iintegrale:satz:expx2}
+\end{satz}
+
+\begin{proof}[Beweis]
+Unter Anwendung des Satzes~\ref{buch:integrale:satz:elementarestammfunktion}
+auf $f(x)=1$ und $g(x)=-x^2$ folgt, $e^{-x^2}$ genau dann eine rationale 
+Stammfunktion hat, wenn es eine rationale Funktion $r(x)$ gibt, die
+Lösung der Differentialgleichung
+\begin{equation}
+r'(x) -2xr(x)=1
+\label{buch:integrale:expx2dgl}
+\end{equation}
+ist.
+
+Zunächst halten wir fest, dass $r(x)$ kein Polynom sein kann.
+Wäre nämlich 
+\[
+r(x)
+=
+a_0 + a_1x + \dots + a_nx^n
+=
+\sum_{k=0}^n a_kx^k
+\quad\Rightarrow\quad
+r'(x)
+=
+a_1 + 2a_2x + \dots + na_nx^{n-1}
+=
+\sum_{k=1}^n
+ka_kx^{k-1}
+\]
+ein Polynom, dann ergäbe sich beim Einsetzen in die Differentialgleichung
+\begin{align*}
+1
+&=
+r'(x)-2xr(x)
+\\
+&=
+a_1 + 2a_2x + 3a_3x^2 + \dots + (n-1)a_{n-1}x^{n-2} + na_nx^{n-1}
+\\
+&\qquad
+-
+2a_0x -2a_1x^2 -2a_2x^3 - \dots - 2a_{n-1}x^n - 2a_nx^{n+1}
+\\
+&
+\hspace{0.7pt}
+\renewcommand{\arraycolsep}{1.8pt}
+\begin{array}{crcrcrcrcrcrcrcr}
+=&a_1&+&2a_2x&+&3a_3x^2&+&\dots&+&(n-1)a_{n-1}x^{n-2}&+&na_{n  }x^{n-1}& &           & & \\
+ &   &-&2a_0x&-&2a_1x^2&-&\dots&-&    2a_{n-3}x^{n-2}&-&2a_{n-2}x^{n-1}&-&2a_{n-1}x^n&-&2a_nx^{n+1}
+\end{array}
+\\
+&=
+a_1
++
+(2a_2-2a_0)x
++
+(3a_3-2a_1)x^2
+%+
+%(4a_4-2a_2)x^3
++
+\dots
++
+(na_n-2a_{n-2})x^{n-1}
+-
+2a_{n-1}x^n
+-
+2a_nx^{n+1}.
+\end{align*}
+Koeffizientenvergleich zeigt, dass $a_1=1$ sein muss.
+Aus den letzten zwei Termen liest man ebenfalls mittels Koeffizientenvergleich
+ab, dass $a_n=0$ und $a_{n-1}=0$ sein müssen.
+Aus den Koeffizienten $(ka_k-2a_{k-2})=0$ folgt, dass
+$a_{k-2}=\frac{k}{2}a_k$ für alle $k>1$ sein muss, diese Koeffizienten
+verschwinden also auch, inklusive $a_1=0$.
+Dies ist allerdings im Widerspruch zu $a_1=1$.
+Es folgt, dass $r(x)$ kein Polynom sein kann.
+
+Der Nenner der rationalen Funktion $r(x)$ hat also mindestens eine Nullstelle
+$\alpha$, man kann daher $r(x)$ auch schreiben als
+\[
+r(x) = \frac{s(x)}{(x-\alpha)^n},
+\]
+wobei die rationale Funktion $s(x)$ keine Nullstellen und keine Pole hat.
+Einsetzen in die Differentialgleichung ergibt:
+\[
+1
+=
+r'(x) -2xr(x)
+=
+\frac{s'(x)}{(x-\alpha)^n}
+-n
+\frac{s(x)}{(x-\alpha)^{n+1}}
+-
+\frac{2xs(x)}{(x-\alpha)^n}.
+\]
+Multiplizieren mit $(x-\alpha)^{n+1}$ gibt
+\[
+(x-\alpha)^{n+1}
+=
+s'(x)(x-\alpha)
+-
+ns(x)
+-
+2xs(x)(x-\alpha)
+\]
+Setzt man $x=\alpha$ ein, verschwinden alle Terme ausser dem mittleren
+auf der rechten Seite, es bleibt
+\[
+ns(\alpha) = 0.
+\]
+Dies widerspricht aber der Wahl der rationalen Funktion $s(x)$, für die
+$\alpha$ keine Nullstelle ist.
+
+Somit kann es keine rationale Funktion $r(x)$ geben, die eine Lösung der
+Differentialgleichung~\eqref{buch:integrale:expx2dgl} ist und
+die Funktion $e^{-x^2}$ hat keine elementare Stammfunktion.
+\end{proof}
+
+Der Satz~\ref{buch:iintegrale:satz:expx2} rechtfertigt die Einführung 
+der Fehlerfunktion $\operatorname{erf}(x)$ als neue spezielle Funktion,
+mit deren Hilfe die Funktion $e^{-x^2}$ integriert werden kann.
+
+
+
diff --git a/buch/chapters/060-integral/diffke.tex b/buch/chapters/060-integral/diffke.tex
new file mode 100644
index 0000000..61badc8
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/060-integral/diffke.tex
@@ -0,0 +1,237 @@
+%
+% diffke.tex
+%
+% (c) 2022 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschlue
+%
+\subsection{Differentialkörper und ihre Erweiterungen
+\label{buch:integral:subsection:diffke}}
+Die Ableitung wird in den Grundvorlesungen der Analysis jeweils
+als ein Grenzprozess eingeführt.
+Die praktische Berechnung von Ableitungen verwendet aber praktisch
+nie diese Definition, sondern fast ausschliesslich die rein algebraischen
+Ableitungsregeln.
+So wie die Wurzelfunktionen im letzten Abschnitt als algebraische
+Körpererweiterungen erkannt wurden, muss jetzt auch für die Ableitung
+eine rein algebraische Definition gefunden werden.
+Die entstehende Struktur ist der Differentialkörper, der in diesem
+Abschnitt definiert werden soll.
+
+%
+% Derivation
+%
+\subsubsection{Derivation}
+Für die praktische Berechnung der Ableitung einer Funktion verwendet
+man in erster Linie die bekannten Rechenregeln.
+Dazu gehören für zwei Funktionen $f$ und $g$
+\begin{itemize}
+\item Linearität: $(\alpha f+\beta g)' = \alpha f' + \beta g'$ für
+Konstanten $\alpha$, $\beta$.
+\item Produktregel: $(fg)'=f'g+fg'$.
+\index{Produktregel}%
+\item Quotientenregel: $(f/g)' = (f'g-fg')/g^2$.
+\index{Quotientenregel}%
+\end{itemize}
+Die ebenfalls häufig verwendete Kettenregel $(f\circ g)' = (f'\circ g) g'$
+\index{Kettenregel}%
+für zusammengesetzte Funktionen wird später kaum benötigt, da wir
+Verkettungen durch Körpererweiterungen ersetzen wollen.
+Die Ableitung hat somit die rein algebraischen Eigenschaften
+einer Derivation gemäss folgender Definition.
+
+\begin{definition}
+Sei $\mathscr{F}$ ein Körper.
+Eine {\em Derivation} ist eine lineare Abbildung
+\index{Derivation}%
+$D\colon \mathscr{F}\to\mathscr{F}$
+mit der Eigenschaft
+\[
+D(fg) = (Df)g+f(Dg).
+\]
+Ein {\em Differentialkörper} ist ein Körper mit einer Derivation.
+\index{Differentialkoerper@Differentialkörper}%
+\end{definition}
+
+Die Ableitung in einem Funktionenkörper ist eine Derivation,
+die sich zusätzlich dadurch auszeichnet, dass $Dx=x'=1$.
+Sie wird weiterhin mit dem Strich bezeichnet.
+
+%
+% Ableitungsregeln
+%
+\subsubsection{Ableitungsregeln}
+Die Definition einer Derivation macht keine Aussagen über Quotienten,
+diese kann man aber aus den Eigenschaften einer Derivation sofort
+ableiten.
+Wir schreiben $q=f/g$ für $f,g\in\mathscr{F}$, dann ist $f=qg$.
+Nach der Kettenregel gilt
+\(
+f'=q'g+qg'
+\).
+Substituiert man darin $q=f/g$ und löst nach $q'$ auf, erhält man
+\[
+f'=q'g+\frac{fg'}{g}
+\qquad\Rightarrow\qquad
+q'=\frac1{g}\biggl(f'-\frac{fg'}{g}\biggr)
+=
+\frac{f'g-fg'}{g^2}.
+\]
+
+
+%
+% Konstantenkörper
+%
+\subsubsection{Konstantenkörper}
+Die Ableitung einer Konstanten verschwindet.
+Beim Hinzufügen von Funktionen zu einem Funktionenkörper können weitere
+Konstanten hinzukommen, ohne dass dies auf den ersten Blick sichtbar wird.
+Zum Beispiel enthält $\mathbb{Q}(x,\!\sqrt{x+\pi})$ wegen
+$(\!\sqrt{x+\pi})^2-x=\pi$ auch die Konstante $\pi$.
+Eine Derivation ermöglicht dank des nachfolgenden Satzes auch,
+solche Konstanten zu erkennen.
+
+\begin{satz}
+Sei $\mathscr{F}$ ein Körper und $D$ eine Derivation in $\mathscr{F}$.
+Dann ist die Menge $C=\{a\in\mathscr{F}\;|\;Da=0\}$ ein Körper.
+\end{satz}
+
+\begin{proof}[Beweis]
+Es muss gezeigt werden, dass Summe und Produkt von Element von $C$ 
+wieder in $C$ liegen.
+Wenn $Da=Db=0$, dann ist $D(a+b)=Da+Db=0$, also ist $a+b\in C$.
+Für das Produkt gilt $D(ab)=(Da)b+a(Db)=0b+a0=0$, also ist auch
+$ab\in C$.
+\end{proof}
+
+Die Menge $C$ heisst der {\em Konstantenkörper} von $\mathscr{F}$.
+\index{Konstantenkörper}%
+
+%
+% Ableitung algebraischer Elemente
+%
+\subsubsection{Ableitung und algebraische Körpererweiterungen}
+Die Rechenregeln in einem Differentialkörper $\mathscr{F}$ legen auch die
+Ableitung eines algebraischen Elements fest.
+Sei $m(z)=m_0+m_1z+\ldots+m_{n-1}z^{n-1}+z^n$ das Minimalpolynom eines
+über $\mathscr{F}$ algebraischen Elements $f$.
+Aus $m(f)=0$ folgt durch Ableiten
+\[
+0
+=
+m(f)'
+=
+m_0'
++
+(m_1'f+m_1f')
++
+(m_2'f + m_12f'f)
++
+\ldots
++
+(m_{n-1}'f^{n-1} + m_{n-1} (n-1)f'f^{n-2})
++
+nf'f^{n-1}.
+\]
+Zusammenfassen der Ableitung $f'$ auf der linken Seite liefert die
+Gleichung
+\[
+f'(
+m_1+2m_2f+\ldots+(n-1)m_{n-1}f^{n-2}+nf^{n-1}
+)
+=
+m_0' + m_1'f + m_2'f^2 + \ldots + m_{n-1}'f^{n-1} + f^n,
+\]
+aus der
+\[
+f'
+=
+\frac{
+m_0' + m_1'f + m_2'f^2 + \ldots + m_{n-1}'f^{n-1} + f^n
+}{
+m_1+2m_2f+\ldots+(n-1)m_{n-1}f^{n-2}+nf^{n-1}
+}
+\]
+als Element von $\mathscr{F}(g)$ berechnet werden kann.
+Die Ableitungsoperation lässt sich somit auf die Körpererweiterung
+$\mathscr{F}(f)$ fortsetzen.
+
+\begin{beispiel}
+Das über $\mathbb{Q}(x)$ algebraische Element $y=\sqrt{ax^2+bx+c}$
+hat das Minimalpolynom
+\[
+m(z)
+=
+z^2 - [ax^2+bx+c]
+\in
+\mathbb{Q}(x)[z]
+\]
+mit Koeffizienten $m_0 = ax^2+bx+c,$ $m_1=0$ und $m_2=1$.
+Es hat die Ableitung
+\[
+y'
+= 
+\frac{m_0'}{2m_2y}
+=
+\frac{
+2ax+b
+}{
+2y
+}
+\in
+\mathbb{Q}(x,y)
+\]
+wegen $m_0'=2ax+b$.
+\end{beispiel}
+
+\begin{definition}
+Eine differentielle Körpererweiterung ist eine Körpererweiterung
+$\mathscr{K}\subset\mathscr{F}$ von Differentialkörpern derart, dass
+die Ableitungen $D_{\mathscr{K}}$ in $\mathscr{K}$
+und $D_{\mathscr{F}}$ in $\mathscr{F}$ übereinstimmen:
+\(
+D_{\mathscr{K}}g= D_{\mathscr{F}} g
+\)
+für alle $g\in\mathscr{K}$.
+\end{definition}
+
+%
+% Logarithmus und Exponantialfunktion
+%
+\subsubsection{Logarithmus und Exponentialfunktion}
+Die Exponentialfunktion und der Logarithmus sind nicht algebraisch
+über $\mathbb{Q}(x)$, sie lassen sich nicht durch eine algebraische
+Gleichung charakterisieren.
+Sie zeichnen sich aber durch besondere Ableitungseigenschaften aus.
+Die Theorie der gewöhnlichen Differentialgleichungen garantiert,
+dass eine Funktion durch eine Differentialgleichung und Anfangsbedingungen
+festgelegt ist.
+\label{buch:integral:expundlog}
+Für die Exponentialfunktion und der Logarithmus haben die 
+Ableitungseigenschaften
+\[
+\exp'(x) = \exp(x)
+\qquad\text{und}\qquad
+x \log'(x) = 1.
+\]
+\index{Exponentialfunktion}%
+\index{Logarithmus}%
+In der algebraischen Beschreibung eines Funktionenkörpers gibt es
+das Konzept des Wertes einer Funktion an einer bestimmten Stelle nicht.
+Somit können keine Anfangsbedingungen vorgegeben werden.
+Da die Gleichung für $\exp$ linear sind, sind Vielfache einer Lösung wieder
+Lösungen,
+insbesondere ist mit $\exp(x)$ auch $a\exp(x)$ eine Lösung.
+Die Gleichung für $\log$ ist nicht linear, aber es ist
+$\log'(x) = 1/x$, $\log$ ist eine Stammfunktion von $1/x$, die
+nur bis auf eine Konstante bestimmt ist.
+Tatsächlich gilt
+\[
+x(\log(x)+a)'
+=
+x\log(x) + xa' = x\log(x)=1,
+\]
+die Funktion $\log(x)+a$ ist also auch eine Lösung für den Logarithmus.
+
+Die Eigenschaft, dass die Exponentialfunktion die Umkehrfunktion
+des Logarithmus ist, lässt sich mit den Mitteln eines Differentialkörpers
+nicht ausdrücken.
+
diff --git a/buch/chapters/060-integral/elementar.tex b/buch/chapters/060-integral/elementar.tex
new file mode 100644
index 0000000..fd5f051
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/060-integral/elementar.tex
@@ -0,0 +1,214 @@
+%
+% elementar.tex
+%
+% (c) 2022 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschlue
+%
+\subsection{Elementare Funktionen
+\label{buch:integral:subsection:elementar}}
+Etwas allgemeiner kann man sagen, dass in den
+Beispielen~\eqref{buch:integration:risch:eqn:integralbeispiel2}
+algebraische Erweiterungen von $\mathbb{Q}(x)$ und Erweiterungen
+um Logarithmen oder Exponentialfunktionen vorgekommen sind.
+Die Stammfunktionen verwenden dieselben Funktionen oder höchstens
+Erweiterungen um Logarithmen von Funktionen, die man schon im
+Integranden gesehen hat.
+
+%
+% Exponentielle und logarithmische Funktione
+%
+\subsubsection{Exponentielle und logarithmische Funktionen}
+In Abschnitt~\ref{buch:integral:subsection:diffke} haben wir
+bereits die Exponentialfunktion $e^x$ und die Logarithmusfunktion 
+$\log x$ charakterisiert als eine Körpererweiterung durch 
+Elemente, die der Differentialgleichung
+\[
+\exp' = \exp
+\qquad\text{und}\qquad
+\log' = \frac{1}{x}
+\]
+genügen.
+Für die Stammfunktionen, die in 
+Abschnitt~\ref{buch:integral:subsection:logexp}
+gefunden wurden, sind aber Logarithmusfunktionen nicht von
+$x$ sondern von beliebigen über $\mathbb{Q}$ algebraischen Elementen
+nötig.
+Um zu verstehen, wie wir diese Funktion als Körpererweiterung erhalten
+könnten, betrachten wir die Ableitung einer Exponentialfunktion
+$\vartheta(x) = \exp(f(x))$ und eines
+Logarithmus 
+$\psi(x) = \log(f(x))$, wie man sie mit der Kettenregel
+berechnet hätte:
+\begin{align*}
+\vartheta'(x)
+&=\exp(f(x)) \cdot f'(x)
+&
+\psi'(x)
+&=
+\frac{f'(x)}{f(x)}
+\quad\Leftrightarrow\quad
+f(x)\psi'(x)
+=
+f'(x).
+\end{align*}
+Dies motiviert die folgende Definition
+
+\begin{definition}
+\label{buch:integral:def:explog}
+Sei $\mathscr{F}$ ein Differentialklörper und $f\in\mathscr{F}$.
+Ein Exponentialfunktion von $f$ ist ein $\vartheta\in \mathscr{F}$mit
+$\vartheta' = \vartheta f'$.
+Ein Logarithmus von $f$ ist ein $\vartheta\in\mathscr{F}$ mit
+$f\vartheta'=f'$.
+\end{definition}
+
+Für $f=x$ mit $f'=1$ reduziert sich die 
+Definition~\ref{buch:integral:def:explog}
+auf die Definition der Exponentialfunktion $\exp(x)$ und
+Logarithmusfunktion $\log(x)$ auf Seite~\pageref{buch:integral:expundlog}.
+
+
+%
+%
+%
+\subsubsection{Transzendente Körpererweiterungen}
+Die Wurzelfunktionen haben wir früher als algebraische Erweiterungen
+eines Differentialkörpers erkannt.
+Die logarithmischen und exponentiellen Elemente gemäss
+Definition~\ref{buch:integral:def:explog} sind nicht algebraisch.
+
+\begin{definition}
+\label{buch:integral:def:transzendent}
+Sei $\mathscr{F}\subset\mathscr{G}$ eine Körpererweiterung und
+$\vartheta\in\mathscr{G}$.
+$\vartheta$ heisst {\em transzendent}, wenn $\vartheta$ nicht
+algebraisch ist.
+\end{definition}
+
+\begin{beispiel}
+Die Funktion $f = e^x + e^{2x} + e^{x/2}$ ist sicher transzendent,
+in diesem Beispiel zeigen wir, dass es mindestens drei verschiedene
+Möglichkeiten gibt, eine Körpererweiterung von $\mathbb{Q}(x)$ zu
+konstruieren, die $f$ enthält.
+
+Erste Möglichkeit: $f=\vartheta_1 + \vartheta_2 + \vartheta_3$ mit
+$\vartheta_1=e^x$,
+$\vartheta_2=e^{2x}$
+und
+$\vartheta_3=e^{x/2}$.
+Jedes der Elemente $\vartheta_i$ ist exponentiell über $\mathbb{Q}(x)$ und 
+$f$ ist in
+\[
+\mathbb{Q}(x)
+\subset
+\mathbb{Q}(x,\vartheta_1)
+\subset
+\mathbb{Q}(x,\vartheta_1,\vartheta_2)
+\subset
+\mathbb{Q}(x,\vartheta_1,\vartheta_2,\vartheta_3)
+\ni
+f.
+\]
+Jede dieser Körpererweiterungen ist transzendent.
+
+Zweite Möglichkeit: $\vartheta_1=e^x$ ist exponentiell über 
+$\mathbb{Q}(x)$ und $\mathbb{Q}(x,\vartheta_1)$ enthält wegen
+\[
+(\vartheta_1^2)'
+=
+2\vartheta_1\vartheta_1'
+=
+2\vartheta_1^2,
+\]
+somit ist $\vartheta_1^2=\vartheta_2$ eine Exponentialfunktion von $2x$
+über $\mathbb{Q}(x)$.
+Das Element $\vartheta_3=e^{x/2}$ ist zwar auch exponentiell über
+$\mathbb{Q}(x)$, es ist aber auch eine Nullstelle des Polynoms
+$m(z)=z^2-[\vartheta_1]$.
+Die Erweiterung
+$\mathbb{Q}(x,\vartheta_1)\subset\mathbb{Q}(x,\vartheta_1,\vartheta_3)$
+ist eine algebraische Erweiterung, die
+$f=\vartheta_1 + \vartheta_1^2+\vartheta_3$ enthält.
+
+Dritte Möglichkeit: $\vartheta_3=e^{x/2}$ ist exponentiell über
+$\mathbb{Q}(x)$.
+Die transzendente Körpererweiterung
+\[
+\mathbb{Q}(x) \subset \mathbb{Q}(x,\vartheta_3)
+\]
+enthält das Element
+$f=\vartheta_3^4+\vartheta_3^2 + \vartheta_3 $.
+\end{beispiel}
+
+Das Beispiel zeigt, dass man nicht sagen kann, dass eine Funktion
+ausschliesslich in einer algebraischen oder transzendenten Körpererweiterung
+zu finden ist. 
+Vielmehr gibt es für die gleiche Funktion möglicherweise verschiedene
+Körpererweiterungen, die alle die Funktion enthalten können.
+
+%
+% Elementare Funktionen
+%
+\subsubsection{Elementare Funktionen}
+Die Stammfunktionen~\eqref{buch:integration:risch:eqn:integralbeispiel2}
+können aufgebaut werden, indem man dem Körper $\mathbb{Q}(x)$ schrittweise
+sowohl algebraische wie auch transzendente Elemente hinzufügt,
+wie in der folgenden Definition, die dies für abstrakte
+Differentialkörpererweiterungen formuliert.
+
+\begin{definition}
+Eine Körpererweiterung $\mathscr{F}\subset\mathscr{G}$ heisst 
+{\em transzendente elementare Erweiterung}, wenn 
+$\mathscr{G} = \mathscr{F}(\vartheta_1,\dots,\vartheta_n)$ und
+jedes der Element $\vartheta_i$ transzendent und logarithmisch oder
+exponentiell ist über
+$\mathscr{F}_{i-1}=\mathscr{F}(\vartheta_1,\dots,\vartheta_{i-1})$.
+Die Körpererweiterung $\mathscr{F}\subset\mathscr{G}$ heisst
+{\em elementare Erweiterung}, wenn 
+$\mathscr{G} = \mathscr{F}(\vartheta_1,\dots,\vartheta_n)$ und
+jedes Element $\vartheta_i$ ist entweder logarithmisch, exponentiell
+oder algebraisch über $\mathscr{F}_{i-1}$.
+\end{definition}
+
+Die Funktionen, die als akzeptable Stammfunktionen für das Integrationsproblem
+in Betracht kommen, sind also jene, die in einer geeigneten elementaren
+Erweiterung des von $\mathbb{Q}(x)$ liegen.
+Ausserdem können auch noch weitere Konstanten nötig sein, sowohl
+algebraische Zahlen wie auch Konstanten wie $\pi$ oder $e$.
+
+\begin{definition}
+Sei $\mathscr{K}(x)$ der Differentialklörper der rationalen Funktionen
+über dem Konstantenkörper $\mathscr{K}\supset\mathbb{Q}$, der in $\mathbb{C}$
+enthalten ist.
+Ist $\mathscr{F}\supset \mathscr{K}(x)$ eine transzendente elementare 
+Erweiterung von $\mathscr{K}(x)$, dann heisst $\mathscr{F}$
+ein Körper von {\em transzendenten elementaren Funktionen}.
+Ist $\mathscr{F}$ eine elementare Erweiterung von $\mathscr{K}(x)$, dann
+heisst $\mathscr{F}$ ein Körper von {\em elementaren Funktionen}.
+\end{definition}
+
+\subsubsection{Das Integrationsproblem}
+Die elementaren Funktionen enthalten alle Funktionen, die sich mit
+arithmetischen Operationen, Wurzeln, Exponentialfunktionen, Logarithmen und
+damit auch mit trigonometrischen und hyperbolischen Funktionen und ihren
+Umkehrfunktionen aus den rationalen Zahlen, der unabhängigen Variablen $x$ 
+und möglicherweise einigen zusätzlichen Konstanten aufbauen lassen.
+Sei also $f$ eine Funktion in einem Körper von elementaren
+Funktionen
+\[
+\mathscr(F)
+=
+\mathbb{Q}(\alpha_1,\dots,\alpha_l)(x,\vartheta_1,\dots,\vartheta_n).
+\]
+Eine elementare Stammfunktion ist eine Funktion $F=\int f$ in einer
+elementaren Körpererweiterung
+\[
+\mathscr{G}
+=
+\mathbb{Q}(\alpha_1,\dots,\alpha_l,\dots,\alpha_{l+k})
+(x,\vartheta_1,\dots,\vartheta_n,\dots,\vartheta_{n+m})
+\]
+mit $F'=f$.
+Das Ziel ist, $F$ mit Hilfe eines Algorithmus zu bestimmen.
+
+
+
diff --git a/buch/chapters/060-integral/erweiterungen.tex b/buch/chapters/060-integral/erweiterungen.tex
new file mode 100644
index 0000000..9138f3e
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/060-integral/erweiterungen.tex
@@ -0,0 +1,343 @@
+%
+% erweiterungen.tex
+%
+% (c) 2022 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschlue
+%
+\subsection{Körpererweiterungen
+\label{buch:integral:subsection:koerpererweiterungen}}
+Das Beispiel des Körpers $\mathbb{Q}(\!\sqrt{2})$ auf Seite
+\pageref{buch:integral:beispiel:Qsqrt2} illustriert eine Möglichkeit,
+einen kleinen Körper zu vergrössern.
+Das Prinzip ist verallgemeinerungsfähig und soll in diesem Abschnitt
+erarbeitet werden.
+
+%
+% algebraische Zahl-Erweiterungen
+\subsubsection{Algebraische Erweiterungen}
+Der Körper $\mathbb{Q}(\!\sqrt{2})$ entsteht aus dem Körper $\mathbb{Q}$
+dadurch, dass man die Zahl $\sqrt{2}$ hinzufügt und alle erlaubten
+arithmetischen Operationen zulässt.
+Die Darstellung von Elementen von $\mathbb{Q}(\!\sqrt{2})$ als
+$a+b\sqrt{2}$ ist möglich, weil die Zahl $\alpha=\sqrt{2}$ die 
+algebraische Relation
+\[
+\alpha^2-2 = \sqrt{2}^2 -2 = 0
+\]
+erfüllt.
+Voraussetzung für diese Aussage ist, dass es die Zahl $\sqrt{2}$ in einem
+geeigneten grösseren Körper gibt. 
+Die reellen oder komplexen Zahlen bilden einen solchen Körper.
+Wir verallgemeinern diese Situation wie folgt.
+
+\begin{definition}
+Ist $K$ ein Körper, dann heisst ein Körper $L$ mit $K\subset L$ ein
+{\em Erweiterungskörper} von $K$.
+\index{Erweiterungskoerper@Erweiterungskörper}
+\end{definition}
+
+\begin{definition}
+\label{buch:integral:definition:algebraisch}
+Sei $K\subset L$ eine Körpererweiterung.
+Das Element $\alpha\in L$ heisst {\em algebraisch} über $K$, wenn es
+ein Polynom $p(x)\in K[x]$ gibt derart, dass $\alpha$ eine Nullstelle
+von $p(x)$ ist, also gibt mit $p(\alpha)=0$.
+Das normierte Polynom $m(x)$ geringsten Grades, welches $m(\alpha)=0$
+erfüllt, heisst das {\em Minimalpolynom} von $\alpha$.
+\index{Minimalpolynom}%
+\end{definition}
+
+Man sagt auch $\alpha$ ist algebraisch vom Grad $n$, wenn das Minimalpolynom
+den Grad $n$ hat.
+Wenn $\alpha\ne 0$ algebraisch ist, dann ist auch $1/\alpha$ algebraisch,
+wie das folgende Argument zeigt.
+Für das Minimalpolynom $m(x)$ von $\alpha$, ist $m(\alpha)=0$.
+Teilt man diese Gleichung durch $\alpha^n$ teilt, erhält man 
+\[
+m_0\frac{1}{\alpha^n}
++
+m_1\frac{1}{\alpha^{n-1}}
++
+\ldots
++
+m_{n-1}\frac{1}{\alpha}
++
+1
+=
+0,
+\]
+das Polynom
+\[
+\hat{m}(x)
+=
+m_0x^n + m_1x^{n-1} + \ldots m_{n-1} x + 1
+\in
+K[x]
+\]
+hat also $\alpha^{-1}$ als Nullstelle.
+Das Polynom $\hat{m}(x)$ beweist daher, dass $\alpha^{-1}$ algebraisch ist.
+
+Die Zahl $\sqrt{2}\in\mathbb{R}$ ist also algebraisch über $\mathbb{Q}$
+und jede andere Quadratwurzel von Elementen von $\mathbb{Q}$ ist
+ebenfalls algebraisch über $\mathbb{Q}$.
+Auch der Körper $\mathbb{Q}(\alpha)$ kann für jede andere Quadratwurzel
+auf die genau gleiche Art wie für $\sqrt{2}$ konstruiert werden.
+
+\begin{definition}
+\label{buch:integral:definition:algebraischeerweiterung}
+Sei $K\subset L$ eine Körpererweiterung und $\alpha\in L$ ein algebraisches
+Element mit Minimalpolynom $m(x)\in K[x]$.
+Dann heisst die Menge
+\begin{equation}
+K(\alpha)
+=
+\{
+a_0 + a_1\alpha + \ldots +a_n\alpha^n
+\;|\;
+a_i\in K
+\}
+\label{buch:integral:eqn:algelement}
+\end{equation}
+mit $n=\deg m(x) - 1$ der durch {\em Adjunktion} oder Hinzufügen
+von $\alpha$ erhaltene Erweiterungsköper.
+\end{definition}
+
+Wieder muss nur überprüft werden, dass jedes Produkt oder jeder
+Quotient von Ausdrücken der Form~\eqref{buch:integral:eqn:algelement}
+wieder in diese Form gebracht werden kann.
+Dazu sei
+\[
+m(x)
+=
+m_0+m_1x + m_2x^2
++\ldots +m_{n-1}x^{n-1} + x^n
+\]
+das Minimalpolynom von $\alpha$.
+Die Gleichung $m(\alpha)=0$ kann nach $\alpha^n$ aufgelöst werden und
+liefert
+\[
+\alpha^n = -m_0 - m_1\alpha - m_2\alpha^2 -\ldots -m_{n-1}\alpha^{n-1}.
+\]
+Damit kann jede Potenz von $\alpha$ mit einem Exponenten grösser als $n$
+in eine Linearkombination von Potenzen mit kleineren Exponenten
+reduziert werden.
+Ein Polynom in $\alpha$ kann also immer auf die
+Form~\eqref{buch:integral:eqn:algelement}
+gebracht werden.
+
+Es muss aber noch gezeigt werden, dass auch der Kehrwert eines Elements
+der Form~\eqref{buch:integral:eqn:algelement} in dieser Form geschrieben
+werden kann.
+Sei also $a(\alpha)$ so ein Element, dann sind die beiden Polynome
+$a(x)$ und $m(x)$ teilerfremd, der grösste gemeinsame Teiler ist $1$.
+Mit dem erweiterten euklidischen Algorithmus kann man zwei Polynome
+$s(x)$ und $t(x)$ finden derart, dass $s(x)a(x)+t(x)m(x)=1$.
+Setzt man $\alpha$ für $x$ ein, verschwindet das Minimalpolynom und
+es bleibt
+\[
+s(\alpha)a(\alpha) = 1
+\qquad\Rightarrow\qquad
+s(\alpha) = \frac{1}{a(\alpha)}.
+\]
+Damit ist $s(\alpha)$ eine Darstellung von $1/a(\alpha)$ in der 
+Form~\eqref{buch:integral:eqn:algelement}.
+
+%
+% Komplexe Zahlen
+%
+\subsubsection{Komplexe Zahlen}
+Die imaginäre Einheit $i$ hat die Eigenschaft, dass $i^2=-1$, insbesondere
+ist sie Nullstelle des Polynoms $m(x)=x^2+1\in\mathbb{Q}[x]$.
+Die Menge $\mathbb{Q}(i)$ ist daher eine algebraische Körpererweiterung
+von $\mathbb{Q}$ bestehend aus den komplexen Zahlen mit rationalem
+Real- und Imaginärteil.
+
+%
+% Transzendente Körpererweiterungen
+%
+\subsubsection{Transzendente Erweiterungen}
+Nicht alle Zahlen in $\mathbb{R}$ sind algebraisch.
+Lindemann bewies 1882 einen allgemeinen Satz, aus dem folgt,
+dass $\pi$ und $e$ nicht algebraisch sind, es gibt also
+kein Polynom mit rationalen Koeffizienten, welches $\pi$
+oder $e$ als Nullstelle hat.
+
+\begin{definition}
+Eine Zahl $\alpha\in L$ in einer Körpererweiterung $K\subset L$ 
+heisst {\em transzendent}, wenn $\alpha$ nicht algebraisch ist,
+wenn es also kein Polynom in $K[x]$ gibt, welches $\alpha$ als
+Nullstelle hat.
+\end{definition}
+
+Die Zahlen $\pi$ und $e$ sind also transzendent.
+Eine andere Art, diese Eigenschaft zu beschreiben ist zu sagen,
+dass die Potenzen
+\[
+1=\pi^0, \pi, \pi^2,\pi^3,\dots
+\]
+linear unabhängig sind.
+Gäbe es nämlich eine lineare Abhängigkeit, dann gäbe es Koeffizienten
+$l_i$ derart, dass
+\[
+l_0 + l_1\pi^1 + l_2\pi^2 + \ldots + l_{n-1}\pi^{n-1} + l_{n}\pi^n = l(\pi)=0,
+\]
+und damit wäre dann ein Polynom gefunden, welches $\pi$ als Nullstelle hat.
+
+Selbstverstländlich kann man zu einem transzendenten Element $\alpha$
+immer noch einen Körper konstruieren, der alle Zahlen enthält, welche man
+mit den arithmetischen Operationen aus $\alpha$ bilden kann.
+Man kann ihn schreiben als
+\[
+K(\alpha)
+=
+\biggl\{
+\frac{p(\alpha)}{q(\alpha)}
+\;\bigg|\;
+p(x),q(x)\in K[x] \wedge p(x)\ne 0
+\biggr\},
+\]
+aber die Vereinfachungen zur
+Form~\eqref{buch:integral:eqn:algelement}, die bei einem algebraischen
+Element $\alpha$ möglich waren, können jetzt nicht mehr durchgeführt
+werden.
+$K\subset K(\alpha)$ ist zwar immer noch eine Körpererweiterung, aber
+$K(\alpha)$ ist nicht mehr ein endlichdimensionaler Vektorraum.
+Die Körpererweiterung $K\subset K(\alpha)$ heisst {\em transzendent}.
+
+%
+% rationale Funktionen als Körpererweiterungen
+%
+\subsubsection{Rationale Funktionen als Körpererweiterung}
+Die unabhängige Variable wird bei Rechnen so behandelt, dass die
+Potenzen alle linear unabhängig sind.
+Dies ist die Grundlage für den Koeffizientenvergleich.
+Der Körper der rationalen Funktion $K(x)$
+ist also eine transzendente Körpererweiterung von $K$.
+
+%
+% Erweiterungen mit algebraischen Funktionen 
+%
+\subsubsection{Algebraische Funktionen}
+Für das Integrationsproblem möchten wir nicht nur rationale Funktionen
+verwenden können, sondern auch Wurzelfunktionen.
+Wir möchten also zum Beispiel auch mit der Funktion $\sqrt{ax^2+bx+c}$
+und allem, was man mit arithmetischen Operationen daraus machen kann,
+arbeiten können.
+Eine Körpererweiterung, die $\sqrt{ax^2+bx+c}$ enthält, enthält auch
+alles, was man daraus bilden kann.
+Doch wie bekommen wir die Funktion $\sqrt{ax^2+bx+c}$ in den Körper?
+
+Die Art und Weise, wie man Wurzeln in der Schule kennenlernt ist als
+eine neue Operation, die zu einer Zahl die Quadratwurzel liefert.
+Diese Idee, den Körper mit einer weiteren Funktion anzureichern,
+führt über nicht auf eine nützliche neue algebraische Struktur.
+Wir dürfen daher $\sqrt{ax^2+bx+c}$ nicht als die Zusammensetzung
+einer einzelnen neuen Funktion $\sqrt{\phantom{A}}$ mit
+einem Polynom betrachten.
+
+Die Wurzel $\sqrt{ax^2+bx+c}$ ist aber auch die Nullstelle des Polynoms
+\[
+p(z)
+=
+z^2 - [ax^2+bx+c]
+\in
+K(x)[z]
+\]
+mit Koeffizienten in $K(x)$.
+Die eckigen Klammern sollen helfen, die Koeffizienten in $K(x)$
+zu erkennen.
+Die Funktion $\sqrt{ax^2+bx+c}$ ist also algebraisch über $K(x)$.
+Einen Funktionenkörper, der die Funktion enthält, kann man also erhalten,
+indem man den Körper $K(x)$ um das über $K(x)$ algebraische Element
+$y=\sqrt{ax^2+bx+c}$ zu $K(x,y)=K(x,\sqrt{ax^2+bx+c}$ erweitert.
+Wurzelfunktion werden daher nicht als Zusammensetzungen, sondern als
+algebraische Erweiterungen eines Funktionenkörpers betrachtet.
+
+%
+% Konjugation
+%
+\subsubsection{Konjugation}
+Die komplexen Zahlen sind die algebraische Erweiterung der reellen Zahlen
+um die Nullstelle $i$ des Polynoms $m(x)=x^2+1$.
+Die Zahl $-i$ ist aber auch eine Nullstelle von $m(x)$, die mit algebraischen
+Mitteln nicht von $i$ unterscheidbar ist.
+Die komplexe Konjugation $a+bi\mapsto a-bi$ vertauscht die beiden 
+\index{Konjugation, komplexe}%
+\index{komplexe Konjugation}%
+Nullstellen des Minimalpolynoms.
+
+Ähnliches gilt für die Körpererweiterung $\mathbb{Q}(\!\sqrt{2})$.
+$\sqrt{2}$ und $\sqrt{2}$ sind beide Nullstellen des Minimalpolynoms
+$m(x)=x^2-2$, die mit algebraischen Mitteln nicht unterschiedbar sind.
+Sie haben zwar verschiedene Vorzeichen, doch ohne eine Ordnungsrelation
+können diese nicht unterschieden werden.
+\index{Ordnungsrelation}%
+Eine Ordnungsrelation zwischen rationalen Zahlen lässt sich zwar
+definieren, aber die Zahl $\sqrt{2}$ ist nicht rational, es braucht
+also eine zusätzliche Annahme, zum Beispiel die Identifikation von
+$\sqrt{2}$ mit einer reellen Zahl in $\mathbb{R}$, wo der Vergleich
+möglich ist.
+
+Auch in $\mathbb{Q}(\!\sqrt{2})$ ist die Konjugation
+$a+b\sqrt{2}\mapsto a-b\sqrt{2}$ eine Selbstabbildung, die
+die Körperoperationen respektiert.
+
+Das Polynom $m(x)=x^2-x-1$ hat die Nullstellen
+\[
+\frac12 \pm\sqrt{\biggl(\frac12\biggr)^2+1}
+=
+\frac{1\pm\sqrt{5}}{2}
+=
+\left\{
+\bgroup
+\renewcommand{\arraystretch}{2.20}
+\renewcommand{\arraycolsep}{2pt}
+\begin{array}{lcl}
+\displaystyle
+\frac{1+\sqrt{5}}{2} &=& \phantom{-}\varphi \\
+\displaystyle
+\frac{1-\sqrt{5}}{2} &=& \displaystyle-\frac{1}{\varphi}.
+\end{array}
+\egroup
+\right.
+\]
+Sie erfüllen die gleiche algebraische Relation $x^2=x+1$.
+Sie sind sowohl im Vorzeichen wie auch im absoluten Betrag 
+verschieden, beides verlangt jedoch eine Ordnungsrelation als
+Voraussetzung, die uns fehlt.
+Aus beiden kann man mit rationalen Operationen $\sqrt{5}$ gewinnen,
+denn
+\[
+\sqrt{5}
+=
+4\varphi-1
+=
+-4\biggl(-\frac{1}{\varphi}\biggr)^2-1
+\qquad\Rightarrow\qquad
+\mathbb{Q}(\!\sqrt{5})
+=
+\mathbb{Q}(\varphi)
+=
+\mathbb{Q}(-1/\varphi).
+\]
+Die Abbildung $a+b\varphi\mapsto a-b/\varphi$ ist eine Selbstabbildung
+des Körpers $\mathbb{Q}(\!\sqrt{5})$, welche die beiden Nullstellen 
+vertauscht.
+
+Dieses Phänomen gilt für jede algebraische Erweiterung.
+Die Nullstellen des Minimalpolynoms, welches die Erweiterung
+definiert, sind grundsätzlich nicht unterscheidbar.
+Mit der Adjunktion einer Nullstelle enthält der Erweiterungskörper
+auch alle anderen.
+Sind $\alpha_1$ und $\alpha_2$ zwei Nullstellen des Minimalpolynoms,
+dann definiert die Abbildung $\alpha_1\mapsto\alpha_2$ eine Selbstabbildung,
+die die Nullstellen permutiert.
+
+Die algebraische Körpererweiterung
+$\mathbb{Q}(x)\subset \mathbb{Q}(x,\sqrt{ax^2+bx+c})$
+ist nicht unterscheidbar von
+$\mathbb{Q}(x)\subset \mathbb{Q}(x,-\!\sqrt{ax^2+bx+c})$.
+Für das Integrationsproblem bedeutet dies, dass alle Methoden so
+formuliert werden müssen, dass die Wahl der Nullstellen auf die
+Lösung keinen Einfluss haben.
+
+
diff --git a/buch/chapters/060-integral/experiments/rxy.maxima b/buch/chapters/060-integral/experiments/rxy.maxima
new file mode 100644
index 0000000..0d5a56d
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/060-integral/experiments/rxy.maxima
@@ -0,0 +1,9 @@
+y: sqrt(a*x^2+b*x+c);
+
+F: log(x + b/(2 * a) + y/sqrt(a))/sqrt(a);
+
+f: diff(F, x);
+
+ratsimp(f);
+
+ratsimp(y*f);
diff --git a/buch/chapters/060-integral/iproblem.tex b/buch/chapters/060-integral/iproblem.tex
new file mode 100644
index 0000000..85db464
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/060-integral/iproblem.tex
@@ -0,0 +1,93 @@
+%
+% iproblem.tex
+%
+% (c) 2022 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschlue
+%
+\subsection{Das Integrationsproblem
+\label{buch:integral:subsection:integrationsproblem}}
+\index{Integrationsproblem}%
+Die Ableitung ist ein einem Differentialkörper mit Hilfe der Ableitungsregeln
+immer ausführbar, ganz ähnlich wie die Berechnung von Potenzen in einem Körper
+immer ausführbar ist.
+Die Umkehrung, also eine sogenannte Stammfunktion zu finden, ist dagegen
+deutlich schwieriger.
+
+\begin{definition}
+\index{Stammfunktion}
+Eine {\em Stammfunktion} einer Funktion $f\in\mathscr{K}$ im Funktionenkörper
+$\mathscr{K}$ ist eine Funktion $F\in\mathscr{K}$ derart, dass $F'=f$.
+Wir schreiben auch $F=\int f$.
+\end{definition}
+
+Zwei Stammfunktionen $F_1$ und $F_2$ einer Funktion $f\in\mathscr{K}$
+haben die Eigenschaft
+\[
+\left.\begin{aligned}
+F_1' &= f \\
+F_2' &= f 
+\end{aligned}\quad\right\}
+\qquad
+\Rightarrow
+\qquad
+(F_1-F_2)' = 0
+\qquad\Rightarrow\qquad
+F_1-F_2\in\mathscr{C},
+\]
+die beiden Stammfunktionen unterscheiden sich daher nur durch eine
+Konstante.
+
+\subsubsection{Stammfunktion von Polynomen}
+Für Polynome ist das Problem leicht lösbar.
+Aus der Ableitungsregel
+\[
+\frac{d}{dx} x^n = nx^{n-1}
+\]
+folgt, dass
+\[
+\int x^n = \frac{1}{n+1} x^{n+1}
+\]
+eine Stammfunktion von $x^n$ ist.
+Da $\int$ linear ist, ergibt sich damit auch eine Stammfunktion für
+ein beliebiges Polynom
+\[
+g(x)
+=
+g_0 + g_1x + g_2x^2 + \dots g_nx^n
+=
+\sum_{k=0}^n g_kx^k
+\in\mathbb{Q}(x)
+\]
+angeben:
+\begin{equation}
+\int g(x)
+=
+g_0x + \frac12g_1x^2 + \frac13g_2x^3 + \dots \frac{1}{n+1}g_nx^{n+1}
+=
+\sum_{k=0}^n 
+\frac{g_k}{k+1}x^{k+1}.
+\label{buch:integral:iproblem:eqn:polyintegral}
+\end{equation}
+
+\subsubsection{Körpererweiterungen}
+Obwohl die Ableitung in einem Differentialkörper immer ausgeführt werden 
+kann, gibt es keine Garantie, dass es eine Stammfunktion im gleichen 
+Körper gibt.
+Im kleinsten denkbaren Funktionenkörper $\mathbb{Q}(x)$
+haben die negativen Potenzen linearer Funktionen die Stammfunktionen
+\[
+\int
+\frac{1}{(x-\alpha)^k}
+=
+\frac{1}{(-k+1)(x-\alpha)^{k-1}}
+\]
+für $k\ne 1$, sind also wieder in $\mathbb{Q}(x)$.
+Für $k=1$ ist aber
+\[
+\int \frac{1}{x-\alpha}
+=
+\log(x-\alpha),
+\]
+es braucht also eine Körpererweiterung um $\log(x-\alpha)$, damit
+$(x-\alpha)^{-1}$ eine Stammfunktion in $\mathbb{Q}(x,\log(x-\alpha))$
+hat.
+
diff --git a/buch/chapters/060-integral/irat.tex b/buch/chapters/060-integral/irat.tex
new file mode 100644
index 0000000..4c472ea
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/060-integral/irat.tex
@@ -0,0 +1,140 @@
+%
+% irat.tex
+%
+% (c) 2022 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschlue
+%
+\subsection{Integration rationaler Funktionen
+\label{buch:integral:subsection:rationalefunktionen}}
+Für die Integration der rationalen Funktionen lernt man in einem
+Analysis-Kurs üblicherweise ein Lösungsverfahren.
+Dies zeigt zunächst, dass rationale Funktionen immer eine Stammfunktion
+in einem geeigneten Erweiterungskörper haben.
+Es deutet aber auch an, dass Stammfunktionen eine ziemlich spezielle
+Form haben, die später als
+Satz von Liouville~\ref{buch:integral:satz:liouville}
+ein besondere Rolle spielen wird.
+
+%
+% Aufgabenstellung
+%
+\subsubsection{Aufgabenstellung}
+In diesem Abschnitt ist eine rationale Funktion $f(x)\in\mathbb{Q}(x)$
+gegeben, deren Stammfunktion bestimmt werden soll.
+Als rationale Funktion kann sie als Bruch
+\begin{equation}
+f(x) = \frac{p(x)}{q(x)}
+\label{buch:integral:irat:eqn:quotient}
+\end{equation}
+mit Polynomen $p(x),q(x)\in\mathbb{Q}[x]$ geschrieben werden.
+Gesucht ist ein Erweiterungskörper $\mathscr{K}\supset \mathbb{Q}(x)$ 
+derart und eine Stammfunktion $F\in\mathscr{K}$ von $f$, also $F'=f$.
+
+%
+% Polynomdivision
+%
+\subsubsection{Polynomdivision}
+Der Quotient~\eqref{buch:integral:irat:eqn:quotient} kann durch Polynomdivision
+mit Rest vereinfacht werden in einen polynomialen Teil und einen echten
+Bruch:
+\begin{equation}
+f(x)
+=
+g(x)
++
+\frac{a(x)}{b(x)}
+\label{buch:integral:irat:eqn:polydiv}
+\end{equation}
+mit Polynomen $g(x),a(x),b(x)\in\mathbb[Q](x)$ und $\deg a(x) < \deg b(x)$.
+Für den ersten Summanden liefert
+\eqref{buch:integral:iproblem:eqn:polyintegral} eine Stammfunktion.
+Im Folgenden bleibt also nur noch der zweite Term zu behandeln.
+
+%
+% Partialbruchzerlegung
+%
+\subsubsection{Partialbruchzerlegung}
+Zur Berechnung des Integral des Bruchs
+in~\eqref{buch:integral:irat:eqn:polydiv} wird die Partialbruchzerlegung
+benötigt.
+Der Einfachheit halber nehmen wir an, dass wir den Körper $\mathbb{Q}(x)$
+mit alle Nullstellen $\beta_i$ des Nenner-Polynoms $b(x)$ zu einem Körper
+$\mathscr{K}$ erweitert haben, in dem Nenner in Linearfaktoren zerfällt.
+Unter diesen Voraussetzungen hat die Partialbruchzerlegung die Form
+\begin{equation}
+\frac{a(x)}{b(x)}
+=
+\sum_{i=1}^m
+\sum_{k=1}^{k_i}
+\frac{A_{ik}}{(x-\beta_i)^k},
+\label{buch:integral:irat:eqn:partialbruch}
+\end{equation}
+wobei $k_i$ die Vielfachheit der Nullstelle $\beta_i$ ist.
+Die Koeffizienten $A_{ik}$ können zum Beispiel mit Hilfe eines linearen
+Gleichungssystems bestimmt werden.
+
+Um eine Stammfunktion zu finden, muss man also Stammfunktionen für
+jeden einzelnen Summanden bestimmen.
+Für Exponenten $k>1$ im Nenner eines Terms der
+Partialbruchzerlegung~\eqref{buch:integral:irat:eqn:partialbruch}
+kann dazu die Regel
+\[
+\int \frac{A_{ik}}{(x-\beta_i)^k}
+=
+\frac{A_{ik}}{(-k+1)(x-\beta_i)^{k-1}}
+\]
+verwendet werden.
+Diese Stammfunktion liegt wieder in $\mathscr{K}(x)$ liegt.
+
+%
+% Körpererweiterungen
+%
+\subsubsection{Körpererweiterung}
+Für $k=1$ ist eine logarithmische Erweiterung um die Funktion
+\begin{equation}
+\int \frac{A_{i1}}{x-\alpha_i}
+=
+A_{i1}
+\log(x-\alpha_i)
+\label{buch:integral:irat:eqn:logs}
+\end{equation}
+nötig.
+Es gibt also eine Stammfunktion in einem Erweiterungskörper, sofern
+er zusätzlich alle logarithmischen Funktionen
+in~\ref{buch:integral:irat:eqn:logs} enthält.
+Sie hat die Form
+\[
+\sum_{i=1}^m A_{i1} \log(x-\beta_i),
+\]
+wobei $A_{i1}\in\mathscr{K}$ ist.
+
+Setzt man alle vorher schon gefundenen Teile der Stammfunktion zusammen,
+kann man sehen, dass die Stammfunktion die Form
+\begin{equation}
+F(x) = v_0(x) + \sum_{i=1}^m c_i \log v_i(x)
+\label{buch:integral:irat:eqn:liouvillstammfunktion}
+\end{equation}
+haben muss.
+Dabei ist $v_0(x)\in\mathscr{K}(x)$ und besteht aus der Stammfunktion
+des polynomiellen Teils und den Stammfunktionen der Terme der Partialbruchzerlegung mit Exponenten $k>1$.
+Die logarithmischen Terme bestehen aus den Konstanten $c_i=A_{i1}$ 
+und den Logarithmusfunktionen $v_i(x)=x-\beta_i\in\mathscr{K}(x)$.
+Die Funktion $f(x)$ muss daher die Form
+\[
+f(x)
+=
+v_0'(x)
++
+\sum_{i=1}^m c_i\frac{v'_i(x)}{v_i(x)}
+\]
+gehabt haben.
+Die Form~\eqref{buch:integral:irat:eqn:liouvillstammfunktion}
+der Stammfunktion ist nicht eine Spezialität der rationalen Funktionen.
+Sie wird auch bei grösseren Funktionenkörpern immer wieder auftreten
+und ist als Satz von Liouville bekannt.
+
+%
+% Minimale algebraische Erweiterung
+%
+\subsubsection{Minimale algebraische Erweiterung}
+XXX Rothstein-Trager
+
diff --git a/buch/chapters/060-integral/logexp.tex b/buch/chapters/060-integral/logexp.tex
new file mode 100644
index 0000000..e0efab2
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/060-integral/logexp.tex
@@ -0,0 +1,146 @@
+%
+% logexp.tex
+%
+% (c) 2022 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschlue
+%
+\subsection{Log-Exp-Notation für trigonometrische und hyperbolische Funktionen
+\label{buch:integral:subsection:logexp}}
+Die Integration rationaler Funktionen hat bereits gezeigt, dass
+eine Stammfunktion nicht immer im Körper der rationalen Funktionen
+existiert.
+Es kann notwendig sein, dem Körper logarithmische Erweiterungen der Form
+$\log(x-\alpha)$ hinzuzufügen.
+
+Es können jedoch noch ganz andere neue Funktionen auftreten, wie die
+folgende Zusammenstellung einiger Stammfunktionen zeigt:
+\begin{equation}
+\begin{aligned}
+\int\frac{dx}{1+x^2}
+&=
+\arctan x,
+\\
+\int \cos x\,dx
+&=
+\sin x,
+\\
+\int\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}
+&=
+\arcsin x,
+\\
+\int
+\operatorname{arcosh} x\,dx
+&=
+x \operatorname{arcosh} x - \sqrt{x^2-1}.
+\end{aligned}
+\label{buch:integration:risch:allgform}
+\end{equation}
+In der Stammfunktion treten Funktionen auf, die auf den ersten
+Blick nichts mit den Funktionen im Integranden zu tun haben.
+
+\subsubsection{Trigonometrische und hyperbolische Funktionen}
+Die trigonometrischen und hyperbolichen Funktionen
+in~\eqref{buch:integration:risch:allgform}
+lassen sich alle durch Exponentialfunktionen ausdrücken.
+So gilt
+\begin{equation}
+\begin{aligned}
+\sin x &= \frac{1}{2i}\bigl( e^{ix} - e^{-ix}\bigr),
+&
+&\qquad&
+\cos x &= \frac{1}{2}\bigl( e^{ix} + e^{-ix}\bigr),
+\\
+\sinh x &= \frac12\bigl( e^x - e^{-x} \bigr),
+&
+&\qquad&
+\cosh x &= \frac12\bigl( e^x + e^{-x} \bigr).
+\end{aligned}
+\label{buch:integral:risch:trighyp}
+\end{equation}
+Nach Multiplikation mit $e^{ix}$ bzw.~$e^{x}$ entsteht eine
+quadratische Gleichung in $e^{ix}$ bzw.~$e^{x}$.
+Die Lösungsformel für quadratische Gleichungen erlaubt daher, $e^{ix}$
+bzw.~$e^{x}$ zu finden und damit auch die Umkehrfunktionen.
+Die Rechnung ergibt
+\begin{equation}
+\begin{aligned}
+\arcsin y
+&=
+\frac{1}{i}\log\bigl(
+iy\pm\sqrt{1-y^2}
+\bigr),
+&
+&\qquad&
+\arccos y
+&=
+\log\bigl(
+y\pm \sqrt{y^2-1}
+\bigr),
+\\
+\operatorname{arsinh}y
+&=
+\log\bigl(
+y \pm \sqrt{1+y^2}
+\bigr),
+&
+&\qquad&
+\operatorname{arcosh} y
+&=
+\log\bigl(
+y\pm \sqrt{y^2-1}
+\bigr).
+\end{aligned}
+\label{buch:integral:risch:trighypinv}
+\end{equation}
+Alle Funktionen, die man aus dem elementaren Analysisunterricht
+kennt, können also mit Hilfe von Exponentialfunktionen und Logarithmen
+geschrieben werden.
+Man nennt dies die $\log$-$\exp$-Notation der trigonometrischen
+und hyperbolischen Funktionen.
+\index{logexpnotation@$\log$-$\exp$-Notation}%
+
+\subsubsection{$\log$-$\exp$-Notation}
+Wendet man die Substitutionen
+\eqref{buch:integral:risch:trighyp}
+und
+\eqref{buch:integral:risch:trighypinv}
+auf die Integrale
+\eqref{buch:integration:risch:allgform}
+an, entstehen die Beziehungen
+\begin{equation}
+\begin{aligned}
+\int\frac{1}{1+x^2}
+&=
+\frac12i\bigl(
+\log(1-ix) - \log(1+ix)
+\bigr),
+\\
+\int\bigl(
+{\textstyle\frac12}
+e^{ix}
++
+{\textstyle\frac12}
+e^{-ix}
+\bigr)
+&=
+-{\textstyle\frac12}ie^{ix}
++{\textstyle\frac12}ie^{-ix},
+\\
+\int
+\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}
+&=
+-i\log\bigl(ix+\sqrt{1-x^2}),
+\\
+\int \log\bigl(x+\sqrt{x^2-1}\bigr)
+&=
+x\log\bigl(x+\sqrt{x^2-1}\bigr) - \sqrt{x^2-1}.
+\end{aligned}
+\label{buch:integration:risch:eqn:integralbeispiel2}
+\end{equation}
+Die in den Stammfuntionen auftretenden Funktionen treten entweder
+schon im Integranden auf oder sind Logarithmen von solchen
+Funktionen.
+Zum Beispiel hat der Nenner im ersten Integral die Faktorisierung
+$1+x^2=(1+ix)(1-ix)$, in der Stammfunktion findet man die Logarithmen
+der Faktoren.
+
+
diff --git a/buch/chapters/060-integral/rational.tex b/buch/chapters/060-integral/rational.tex
new file mode 100644
index 0000000..0ca164d
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/060-integral/rational.tex
@@ -0,0 +1,203 @@
+%
+% rational.tex
+%
+% (c) 2022 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschlue
+%
+\subsection{Rationale Funktionen und Funktionenkörper
+\label{buch:integral:subsection:rational}}
+Welche Funktionen sollen als Antwort auf die Frage nach einer Stammfunktion
+akzeptiert werden?
+Polynome in der unabhängigen Variablen $x$ sollten sicher dazu gehören,
+also alles, was man mit Hilfe der Multiplikation, Addition und Subtraktion
+aus Koeffizienten zum Beispiel in den rationalen Zahlen $\mathbb{Q}$ und
+der unabhängigen Variablen aufbauen kann.
+Doch welche weiteren Operationen sollen zugelassen werden und was lässt
+sich über die entstehende Funktionenmenge aussagen?
+
+\subsubsection{Körper}
+Die kleinste Zahlenmenge, in der alle arithmetischen Operationen soweit
+sinnvoll durchgeführt werden können, ist die Menge $\mathbb{Q}$ der
+rationalen Zahlen.
+Etwas formaler ist eine solche Menge, in der die Arithmetik uneingeschränkt
+ausgeführt werden kann, ein Körper gemäss der folgenden Definition.
+\index{Korper@Körper}%
+
+\begin{definition}
+\label{buch:integral:definition:koerper}
+Eine {\em Körper} ist eine Menge $K$ mit zwei Verknüpfungen $+$, die Addition,
+und $\cdot$, die Multiplikation,
+welche die folgenden Eigenschaften haben.
+\begin{center}
+\renewcommand{\tabcolsep}{0pt}
+\begin{tabular}{p{68mm}p{4mm}p{68mm}}
+%Eigenschaften der
+Addition:
+\begin{enumerate}[{\bf A}.1)]
+\item assoziativ: $(a+b)+c=a+(b+c)$
+für alle $a,b,c\in K$
+\item kommutativ: $a+b=b+a$
+für alle $a,b\in K$
+\item Neutrales Element der Addition: es gibt ein Element $0\in K$ mit
+der Eigenschaft $a+0=a$ für alle $a\in K$
+\item Additiv inverses Element: zu jedem Element $a\in K$ gibt es das Element
+$-a$ mit der Eigenschaft $a+(-a)=0$.
+\end{enumerate}
+&&%
+%Eigenschaften der
+Multiplikation:
+\begin{enumerate}[{\bf M}.1)]
+\item assoziativ: $(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$
+für alle $a,b,c\in K$
+\index{Assoziativgesetz}%
+\index{assoziativ}%
+\item kommutativ: $a\cdot b=b\cdot a$
+für alle $a,b\in K$
+\index{Kommutativgesetz}%
+\index{kommutativ}%
+\item Neutrales Element der Multiplikation: es gibt ein Element $1\in K$ mit
+der Eigenschaft $a\cdot 1 =a$ für alle $a\in K$
+\index{neutrales Element}%
+\item Multiplikativ inverses Element: zu jedem Element
+\index{inverses Element}%
+$a\in K^*=K\setminus\{0\}$
+gibt es das Element $a^{-1}$ mit der Eigenschaft $a\cdot a^{-1}=1$.
+\index{Einheitengruppe}%
+\index{Gruppe der invertierbaren Elemente}%
+\end{enumerate}
+\end{tabular}
+\end{center}
+\vspace{-22pt}
+Ausserdem gilt das Distributivgesetz: für alle $a,b,c\in K$ gilt
+$a\cdot(b+c)=a\cdot b + a\cdot c$.
+\index{Disitributivgesetz}%
+Die Menge $K^*$ heisst auch die {\em Einheitengruppe} oder die
+{\em Gruppe der invertierbaren Elemente} des Körpers.
+\end{definition}
+
+Das Assoziativgesetz {\bf A}.1 besagt, dass Summen mit beliebig
+vielen Termen ohne Klammern geschrieben werden kann, weil es nicht
+darauf ankommt, in welcher Reihenfolge die Additionen ausgeführt werden.
+Ebenso für das Assoziativgesetz {\bf M}.1 der Multiplikation.
+Die Kommutativgesetze {\bf A}.2 und {\bf M}.2 implizieren, dass man
+nicht auf die Reihenfolge der Summanden oder Faktoren achten muss.
+Das Distributivgesetz schliesslich besagt, dass man Produkte ausmultiplizieren
+oder gemeinsame Faktoren ausklammern kann, wie man es in der Schule
+gelernt hat.
+
+Die rellen Zahlen $\mathbb{R}$ und die komplexen Zahlen $\mathbb{C}$
+bilden ebenfalls einen Körper, die von den rationalen Zahlen geerbten
+Eigenschaften der Verknüpfungen setzen sich auf $\mathbb{R}$ und
+$\mathbb{C}$ fort.
+Es lassen sich allerdings auch Zahlkörper zwischen $\mathbb{Q}$ und
+$\mathbb{R}$ konstruieren, wie das folgende Beispiel zeigt.
+
+\begin{beispiel}
+\label{buch:integral:beispiel:Qsqrt2}
+Die Menge
+\[
+\mathbb{Q}(\!\sqrt{2})
+=
+\{
+a+b\sqrt{2}
+\;|\;
+a,b\in \mathbb{Q}
+\}
+\]
+ist eine Teilmenge von $\mathbb{R}$.
+Die Rechenoperationen haben alle verlangten Eigenschaften, wenn gezeigt
+werden kann, dass Produkte und Quotienten von Zahlen in $\mathbb{Q}(\!\sqrt{2})$
+wieder in $\mathbb{Q}(\!\sqrt{2})$ sind.
+Dazu rechnet man
+\begin{align*}
+(a+b\sqrt{2})
+(c+d\sqrt{2})
+&=
+ac + 2bd + (ad+bc)\sqrt{2} \in \mathbb{Q}(\!\sqrt{2})
+\intertext{und}
+\frac{a+b\sqrt{2}}{c+d\sqrt{2}}
+&=
+\frac{a+b\sqrt{2}}{c+d\sqrt{2}}
+\cdot
+\frac{c-d\sqrt{2}}{c-d\sqrt{2}}
+=
+\frac{ac-2bd +(-ad+bc)\sqrt{2}}{c^2-2d^2}
+\\
+&=
+\underbrace{\frac{ac-2bd}{c^2-2d^2}}_{\displaystyle\in\mathbb{Q}}
++
+\underbrace{\frac{-ad+bc}{c^2-2d^2}}_{\displaystyle\in\mathbb{Q}}
+\sqrt{2}
+\in \mathbb{Q}(\!\sqrt{2}).
+\qedhere
+\end{align*}
+\end{beispiel}
+
+%
+% Rationale Funktionen
+%
+\subsubsection{Rationalen Funktionen}
+Die als Antworten auf die Frage nach einer Stammfunktion akzeptablen
+Funktionen sollten alle rationalen Zahlen sowie die unabhängige
+Variable $x$ enthalten.
+Ausserdem sollte man beliebige arithmetische Operationen mit
+diesen Ausdrücken durchführen können.
+Mit Addition, Subtraktion und Multiplikation entstehen aus den
+rationalen Zahlen und der unabhängigen Variablen die Polynome $\mathbb{Q}[x]$
+(siehe auch Abschnitt~\ref{buch:potenzen:section:polynome}).
+
+
+\begin{definition}
+Die Menge
+\[
+\mathbb{Q}(x)
+=
+\biggl\{
+\frac{p(x)}{q(x)}
+\;\bigg|\;
+p(x),q(x)\in\mathbb{Q}[x]
+\wedge
+q(x)\ne 0
+\biggr\},
+\]
+bestehend aus allen Quotienten von Polynomen, deren Nenner nicht
+das Nullpolynom ist, heisst der Körper der {\em rationalen Funktionen}
+\index{rationale Funktion}%
+mit Koeffizienten in $\mathbb{Q}$.
+\end{definition}
+
+Die Definition erlaubt, dass der Nenner Nullstellen hat, die sich in
+Polen der Funktion äussern.
+Die Eigenschaften eines Körpers sind sicher erfüllt, wenn wir uns
+nur davon überzeugen können,
+dass die arithmetischen Operationen nicht aus dieser Funktionenmenge
+herausführen.
+Dazu muss man nur verstehen, dass die Operation des gleichnamig Machens 
+zweier Brüche auch für Nenner funktioniert, die Polynome sind, und die
+Summe wzeier Brüche von Polynomen wieder in einen Bruch von Polynomen
+umwandelt.
+
+%
+% Warum rationale Zahlen?
+%
+\subsubsection{Warum die Beschränkung auf rationale Zahlen?}
+Aus mathematischer Sicht gibt es gute Gründe, Analysis im Körper $\mathbb{R}$
+oder $\mathbb{C}$ zu betreiben.
+Da Ableitung und Integral als Grenzwerte definiert sind, stellt diese
+Wahl des Körpers sicher, dass die Grenzwerte auch tatsächlich existieren.
+Der Fundamentalsatz der Algebra garantiert, dass über $\mathbb{C}$
+jedes Polynome in Linearfaktoren zerlegt werden kann.
+
+Der Einfachheit der Analyse in $\mathbb{R}$ oder $\mathbb{C}$ steht
+die Schwierigkeit gegenüber, beliebige Elemente von $\mathbb{R}$ in
+einem Computer exakt darzustellen.
+Für Brüche in $\mathbb{Q}$ gibt es eine solche Darstellung durch
+Paare von Ganzzahlen, wie sie die GNU Multiprecision Arithmetic Library
+\cite{buch:gmp} realisiert.
+Irrationale Zahlen dagegen können nur exakt gehandhabt werden, wenn
+man im wesentlichen symbolisch mit ihnen rechnet. 
+Die Grundlage dafür wird in
+Abschnitt~\ref{buch:integral:subsection:koerpererweiterungen}
+gelegt.
+
+
+
diff --git a/buch/chapters/060-integral/risch.tex b/buch/chapters/060-integral/risch.tex
index 6c8ff96..2080ce8 100644
--- a/buch/chapters/060-integral/risch.tex
+++ b/buch/chapters/060-integral/risch.tex
@@ -6,7 +6,20 @@
 \section{Der Risch-Algorithmus
 \label{buch:integral:section:risch}}
 \rhead{Risch-Algorithmus}
+Die Lösung des Integrationsproblem für $\mathbb{Q}(x)$ und für
+$\mathbb{Q}(x,y)$ mit $y=\!\sqrt{ax^2+bx+c}$ hat gezeigt, dass
+ein Differentialkörper genau die richtige Bühne für dieses Unterfangen
+sein dürfte.
+Die Stammfunktionen konnten in einem Erweiterungskörper gefunden
+werden, der ein paar Logarithmen hinzugefügt worden sind.
+Tatsächlich lässt sich in diesem Rahmen sogar ein Algorithmus
+formulieren, der in einem noch zu definierenden Sinn ``elementare''
+Funktionen als Stammfunktionen finden kann oder beweisen kann, dass
+eine solche nicht existiert.
+Dieser Abschnitt soll einen Überblick darüber geben.
 
+\input{chapters/060-integral/logexp.tex}
+\input{chapters/060-integral/elementar.tex}
 
 
 
diff --git a/buch/chapters/060-integral/sqrat.tex b/buch/chapters/060-integral/sqrat.tex
new file mode 100644
index 0000000..787cfc9
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/060-integral/sqrat.tex
@@ -0,0 +1,480 @@
+%
+% sqrat.tex
+%
+% (c) 2022 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschlue
+%
+\subsection{Integranden der Form $R(x,\sqrt{ax^2+bx+c})$
+\label{buch:integral:subsection:rxy}}
+Für rationale Funktionen lässt sich immer eine Stammfunktion in einem
+Erweiterungskörper angeben, der durch hinzufügen einzelner logarithmischer
+Funktionen entsteht.
+Die dabei verwendeten Techniken lassen sich verallgemeinern.
+Zur Illustration und Motivation des später beschriebenen Risch-Algorithmus
+stellen wir uns in diesem Abschnitt der Aufgabe, Integrale
+mit einem Integranden zu berechnen, der eine rationale Funktion von $x$
+und $\sqrt{ax^2+bx+c}$ ist.
+
+%
+% Aufgabenstellung
+%
+\subsubsection{Aufgabenstellung}
+Eine rationale Funktion von $x$ und $\sqrt{ax^2+bx+c}$ ist ein
+Element des Differentialkörpers, den man aus $\mathbb{Q}(x)$ durch
+hinzufügen des Elementes
+\[
+y=\sqrt{ax^2+bx+c}
+\]
+erhält.
+Eine Funktion $f\in\mathbb{Q}(x,y)$ kann geschrieben werden als Bruch
+\begin{equation}
+f
+=
+\frac{
+\tilde{p}_0 + \tilde{p}_1y + \dots + \tilde{p}_n y^n
+}{
+\tilde{q}_0 + \tilde{q}_1y + \dots + \tilde{q}_m y^m
+}
+\label{buch:integral:sqrat:eqn:ftilde}
+\end{equation}
+mit rationalen Koeffizienten $\tilde{p}_i,\tilde{q}_i\in\mathbb{Q}(x)$.
+Gesucht ist eine Stammfunktion von $f$.
+
+%
+% Algebraische Vereinfachungen
+%
+\subsubsection{Algebraische Vereinfachungen}
+Da $x^2=ax^2+bx+c$ ein Polynom ist, sind auch alle geraden Potenzen
+von $y$ Polynome in $\mathbb{Q}(x)$,
+und die ungeraden Potenzen von $y$ lassen sich als Produkt aus einem
+Polynom und dem Faktor $y$ schreiben.
+Der Integrand~\eqref{buch:integral:sqrat:eqn:ftilde} 
+lässt sich daher vereinfachen zu einem Bruch der Form
+\begin{equation}
+f(x)
+=
+\frac{p_0+p_1y}{q_0+q_1y},
+\label{buch:integral:sqrat:eqn:moebius}
+\end{equation}
+wobei $p_i$ und $q_i$ rationale Funktionen in $\mathbb{Q}(x)$ sind.
+
+%
+% Rationalisieren
+%
+\subsubsection{Rationalisieren}
+Unschön an der Form~\eqref{buch:integral:sqrat:eqn:moebius} ist die
+Tatsache, dass $y$ sowohl im Nenner wie auch im Zähler auftreten kann.
+Da aber $y$ die quadratische Identität $y^2=ax^2+bx+c$ erfüllt,
+kann das $y$ im Nenner durch Erweitern mit $q_0-q_1y$ zum verschwinden
+gebracht werden.
+Die Rechnung ergibt
+\begin{align*}
+\frac{p_0+p_1y}{q_0+q_1y}
+&=
+\frac{p_0+p_1y}{q_0+q_1y}
+\cdot
+\frac{q_0-q_1y}{q_0-q_1y}
+=
+\frac{(p_0+p_1y)(q_0-q_1y)}{q_0^2-q_1^2y^2}
+\\
+&=
+\frac{p_0q_0-p_1q_1(ax^2+bx+c)}{q_0^2-q_1^2(ax^2+bx+c)}
++
+\frac{q_0p_1-q_1p_0}{q_0^2-q_1^2(ax^2+bx+c)} y.
+\end{align*}
+Die Quotienten enthalten $y$ nicht mehr, sind also in $\mathbb{Q}(x)$.
+In der späteren Rechnung stellt sich heraus, dass es praktischer ist,
+das $y$ im Nenner zu haben, was man durch erweitern mit $y$ wieder
+unter Ausnützung von $y^2=ax^2+bx+c$ erreichen kann.
+Die zu integrierende Funktion  kann also in der Form
+\begin{equation}
+f(x)
+=
+W_1 + W_2\frac{1}{y}
+\label{buch:integral:sqint:eqn:w1w2y}
+\end{equation}
+geschrieben werden mit rationalen Funktionen
+$W_1,W_2\in\mathbb{Q}(x)$.
+Eine Stammfunktion von $W_1$ kann mit der Methode von
+Abschnitt~\ref{buch:integral:subsection:rationalefunktionen}
+gefunden werden.
+Im Folgenden kümmern wir uns daher nur noch um $W_1$.
+
+%
+% Polynomdivision
+%
+\subsubsection{Polynomdivision}
+Die Funktion $W_2$ in \eqref{buch:integral:sqint:eqn:w1w2y} ist eine
+rationale Funktion $W_2\in \mathbb{K}(x)$, also ein Bruch mit Polynomen
+in $x$ als Zähler und Nenner.
+Durch Polynomdivision mit Rest können wir $W_2$ schreiben als
+\[
+W_1 = \varphi + W_3,
+\]
+wobei $\varphi$ ein Polynom in $x$ ist und $W_3$ eine rationale
+Funktion, deren Zählergrad kleiner ist als der Nennergrad.
+Zur Bestimmung der Stammfunktion bleibt jetzt nur noch
+\begin{equation}
+\int W_2\frac{1}{y}
+=
+\int \frac{\varphi}{y} 
++
+\int W_3\frac1{y}
+\label{buch:integral:sqint:eqn:Wy}
+\end{equation}
+zu berechnen.
+
+%
+% Integranden der Form $\varphi(x)/y$
+%
+\subsubsection{Integranden der Form $\varphi(x)/y$}
+Der erste Term in~\eqref{buch:integral:sqint:eqn:Wy} ist ein Integral eines
+Quotienten eines Polynoms geteilt durch $y$.
+Solche Integrale können, wie im Folgenden gezeigt werden soll, reduziert
+werden auf das Integral von $1/y$.
+Genauer gilt der folgende Satz.
+
+\begin{satz}
+\label{buch:integral:sqint:satz:polyy}
+Sei $\varphi\in\mathcal{K}(x)$ ein Polynom in $x$, dann gibt
+es ein Polynom $\psi\in\mathcal{K}(x)$ vom Grad $\deg\psi < \deg\varphi$,
+und $A\in\mathcal{K}$ derart, dass
+\begin{equation}
+\int \frac{\varphi}{y}
+=
+\psi y + A\int\frac{1}{y}.
+\label{buch:integral:sqint:eqn:phipsi}
+\end{equation}
+\end{satz}
+
+\begin{proof}[Beweis]
+Wir schreiben die Polynome in der Form
+\begin{align*}
+\varphi
+&=
+\varphi_mx^m + \varphi_{m-1}x^{m-1} + \dots + \varphi_2x^2 + \varphi_1x + \varphi_0
+\\
+\psi
+&=
+\phantom{\varphi_mx^m+\mathstrut}
+\psi_{m-1}x^{m-1} + \dots + \psi_2x^2 + \psi_1x + \psi_0
+\intertext{mit der Ableitung}
+\psi'
+&=
+\phantom{\varphi_mx^m+\mathstrut}
+\psi_{m-1}(m-1)x^{m-2} + \dots + 2\psi_2x + \psi_1.
+\end{align*}
+Wir leiten  die Gleichung~\eqref{buch:integral:sqint:eqn:phipsi}
+nach $x$ ab und erhalten
+\begin{align*}
+\frac{\varphi}{y}
+&=
+\psi'y + \psi y' + \frac{A}{y}
+=
+\psi'y + \psi \frac{ax+b/2}{y} + \frac{A}{y}.
+\intertext{Durch Multiplikation mit $y$ wird die Gleichung wesentlich
+vereinfacht zu}
+\varphi
+&=
+\psi' y^2 + \psi y' y + A
+=
+\psi' \cdot(ax^2+bx+c) + \psi\cdot (ax+b/2) + A.
+\end{align*}
+Auf beiden Seiten stehen Polynome, man kann daher versuchen, die
+Koeffizienten von $\psi$ mit Hilfe eines Koeffizientenvergleichs zu
+bestimmen.
+Dazu müssen die Produkte auf der rechten Seite ausmultipliziert werden.
+So ergeben sich die Gleichungen
+\begin{equation}
+\renewcommand{\arraycolsep}{2pt}
+\begin{array}{lcrcrcrcrcrcrcr}
+\varphi_m
+&=&
+(m-1)\psi_{m-1} a &+&     & & 
+&+&
+\psi_{m-1} a & &      & &
+\\
+\varphi_{m-1}
+&=&
+(m-2)\psi_{m-2}a
+&+&
+(m-1)\psi_{m-1}b
+& &
+&+&
+\psi_{m-2}a
+&+&
+\psi_{m-1}\frac{b}2
+& &
+\\
+\varphi_{m-2}
+&=&
+(m-3)\psi_{m-3}a
+&+&
+(m-2)\psi_{m-2}b
+&+&
+(m-1)\psi_{m-1}c
+&+&
+\psi_{m-3}a
+&+&
+\psi_{m-2}\frac{b}2
+& &
+\\
+&\vdots&&&&&&&&&&&
+\\
+\varphi_2
+&=&
+\psi_{1\phantom{-m}}a
+&+&
+2\psi_{2\phantom{-m}}b
+&+&
+3\psi_{3\phantom{-m}}c
+&+&
+\psi_{1\phantom{-m}}a
+&+&
+\psi_{2\phantom{-m}}\frac{b}2
+& &
+\\
+\varphi_1
+&=&
+& &
+\psi_{1\phantom{-m}}b
+& &
+2\psi_{2\phantom{-m}}c
+&+&
+\psi_{0\phantom{-m}}a
+&+&
+\psi_{1\phantom{-m}}\frac{b}2
+\\
+\varphi_0
+&=&
+& &
+& &
+\psi_{1\phantom{-m}}c
+& &
+&+&
+\psi_{0\phantom{-m}}\frac{b}2
+&+&A
+\end{array}
+\end{equation}
+In jeder Gleichung kommen hächstens drei der Koeffizienten von $\psi$ vor.
+Fasst man sie zusammen und stellt die Terme etwas um,
+erhält man die einfacheren Gleichungen
+\begin{equation}
+\renewcommand{\arraycolsep}{2pt}
+\renewcommand{\arraystretch}{1.3}
+\begin{array}{lcrcrcrcrcrcrcr}
+\varphi_m
+&=&
+(m-0){\color{red}\psi_{m-1}}a & &     & & 
+& &
+\\
+\varphi_{m-1}
+&=&
+(m-1+\frac12)\psi_{m-1}b
+&+&
+(m-1){\color{red}\psi_{m-2}}a
+& &
+& &
+\\
+\varphi_{m-2}
+&=&
+(m-1)\psi_{m-1}c
+&+&
+(m-2+\frac12)\psi_{m-2}b
+&+&
+(m-2){\color{red}\psi_{m-3}}a
+& &
+\\
+&\vdots&&&&&&&&&&&
+\\
+\varphi_2
+&=&
+3\psi_{3\phantom{-m}}c
+&+&
+(2+\frac12)\psi_{2\phantom{-m}}b
+&+&
+2{\color{red}\psi_{1\phantom{-m}}}a
+& &
+\\
+\varphi_1
+&=&
+2\psi_{2\phantom{-m}}c
+&+&
+(1+\frac12)\psi_{1\phantom{-m}}b
+&+&
+{\color{red}\psi_{0\phantom{-m}}}a
+& &
+\\
+\varphi_0
+&=&
+\psi_{1\phantom{-m}}c
+& &
+&+&
+(0+\frac12) \psi_{0\phantom{-m}}b
+&+&{\color{red}A}
+\end{array}
+\end{equation}
+Die erste Gleichung kann wegen $a\ne 0$ nach $\psi_{m-1}$ aufgelöst werden,
+dadurch ist $\psi_{m-1}$ bestimmt.
+In allen folgenden Gleichungen taucht jeweils ein neuer Koeffizient
+von $\psi$ auf, der rot hervorgehoben ist.
+Wieder wegen $a\ne 0$ kann die Gleichung immer nach dieser Variablen
+aufgelöst werden.
+Die Gleichungen zeigen daher, dass die Koeffizienten des Polynoms $\psi$
+in absteigender Folge und die Konstanten $A$ eindeutig bestimmt werden.
+\end{proof}
+
+Mit diesem Satz ist das Integral über den Teil $\varphi/y$ auf den
+Fall des Integrals von $1/y$ reduziert.
+Letzteres wird im nächsten Abschnitt berechnet.
+
+%
+% Das Integral von $1/y$
+%
+\subsubsection{Das Integral von $1/y$}
+Eine Stammfunktion von $1/y$ kann mit etwas Geschick mit den 
+Interationstechniken gefunden werden, die man in einem Analysis-Kurs
+lernt.
+Durch Ableitung der Funktion
+\[
+F
+=
+\frac{1}{\sqrt{a}}\log\biggl(x+\frac{b}{2a}+\frac{y}{\sqrt{a}}\biggr)
+\]
+kann man nachprüfen, dass $F$ eine Stammfunktion von $1/y$ ist,
+also
+\begin{equation}
+\int
+\frac{1}{y}
+=
+\frac{1}{\sqrt{a}}\log\biggl(x+\frac{b}{2a}+\frac{y}{\sqrt{a}}\biggr).
+\end{equation}
+
+%
+% Partialbruchzerlegung
+%
+\subsubsection{Partialbruchzerlegung}
+In der rationalen Funktion $W_3$ in \eqref{buch:integral:sqint:eqn:Wy}
+hat der Zähler kleineren Grad als der Nenner, sie kann daher wieder
+in Partialbrüche
+\[
+W_3
+=
+\sum_{i=1}^n
+\sum_{k=1}^{k_i}
+\frac{A_{ik}}{(x-\alpha_i)^k}
+\]
+mit den Nullstellen $\alpha_i$ des Nenners von $W_3$ mit Vielfachheiten
+$k_i$ zerlegt werden.
+Die Stammfunktion von $W_3/y$ wird damit zu
+\begin{equation}
+\int W_3\frac{1}{y}
+=
+\sum_{i=1}^n
+\sum_{k=1}^{k_i}
+A_{ik}
+\int
+\frac{1}{(x-\alpha_i)^ky}
+=
+\sum_{i=1}^n
+\sum_{k=1}^{k_i}
+A_{ik}
+\int
+\frac{1}{(x-\alpha_i)^k \sqrt{ax^2+bx+c}}.
+\end{equation}
+Die Stammfunktion ist damit reduziert auf Integrale der Form
+\begin{equation}
+\int
+\frac{1}{(x-\alpha)^k \sqrt{ax^2+bx+c}}
+\label{buch:integral:sqrat:eqn:2teart}
+\end{equation}
+mit $k>0$.
+
+%
+% Integrale der Form \eqref{buch:integral:sqrat:eqn:2teart}
+%
+\subsubsection{Integrale der Form \eqref{buch:integral:sqrat:eqn:2teart}}
+Die Integrale~\eqref{buch:integral:sqrat:eqn:2teart} 
+können mit Hilfe der Substution 
+\[
+t=\frac{1}{x-\alpha}
+\qquad\text{oder}\qquad
+x=\frac1t+\alpha
+\]
+In ein Integral verwandelt werden, für welches bereits eine 
+Berechnungsmethode entwickelt wurde.
+Dazu berechnet man
+\begin{align*}
+y^2
+&= a\biggl(\frac1t+\alpha\biggr)^2 + b\biggl(\frac1t+\alpha\biggr) + c
+\\
+&=
+a\biggl(\frac{1}{t^2}+2\frac{\alpha}{t}+\alpha^2\biggr)
++\frac{b}{t}+b\alpha+c
+=
+\frac{1}{t^2}\bigl(
+\underbrace{a+(2a\alpha+b)t+(a\alpha^2+c)t^2}_{\displaystyle=Y^2}
+\bigr)
+\intertext{und damit}
+y&=\frac{Y}{t}.
+\end{align*}
+Führt man die Substition
+$dx = -dt/t^2$ im Integral aus, erhält man
+\begin{align*}
+\int\frac{dx}{(x-\alpha)^ky}
+&=
+-
+\int
+t^k\cdot\frac{t}{Y}\frac{dt}{t^2}
+=
+-\int\frac{t^{k-1}}{Y}\,dt.
+\end{align*}
+Das letzte Integral ist wieder von der Form, die in
+Satz~\ref{buch:integral:sqint:satz:polyy} behandelt wurde.
+Insbesondere gibt es ein Polynom $\psi$ vom Grad $k-2$ und
+eine Konstante $A$ derart, dass
+\[
+\int\frac{1}{(x-\alpha)^ky}
+=
+\psi Y + A\int\frac{1}{Y}
+\]
+ist.
+Damit ist das Integral von $R(x,y)$ vollständig bestimmt.
+
+\subsubsection{Beobachtungen}
+Die eben dargestellte Berechnung des Integrals von $R(x,y)$ zeigt einige
+Gemeinsamkeiten mit der entsprechenden Rechnung für rationale
+Integranden, aber auch einige wesentliche Unterschiede.
+Wieder zeigt sich, dass Polynomdivision und Partialbruchzerlegung
+die zentralen Werkzeuge sind, mit denen der Integrand zerlegt und
+leichter integrierbare Funktionen umgeformt werden kann.
+Andererseits ist der in 
+Satz~\ref{buch:integral:sqint:satz:polyy}
+zusammengefasste Schritt eine wesentliche zusätzliche Vereinfachung,
+die keine Entsprechung bei rationalen Integranden hat.
+
+Die gefunden Form der Stammfunktion hat jedoch die allgemeine
+Form
+\[
+\int R(x,y)
+=
+v_0 +
+C
+\log\biggl(x+\frac{b}{2a}+\frac{y}{\sqrt{a}}\biggr)
++
+\sum_{i=1}^n c_i
+\log v_i,
+\]
+die ganz der bei rationalen Integranden gefunden Form entspricht.
+Darin ist $v_0$ die Summe der angefallenen rationalen Teilintegrale,
+also $v_0\in\mathcal{K}(x,y)$.
+Die $v_i\in\mathcal{K}(x,y)$ sind die entsprechenden Logarithmusfunktionen,
+die bei der Berechnung der Integrale \eqref{buch:integral:sqrat:eqn:2teart}
+auftreten.
+Insbesondere liefert die Rechnung eine Körpererweiterung von
+$\mathcal{K}(x,y)$ um die logarithmische Funktionen
+$\log(x+b/2a+y/\!\sqrt{y})$ und $\log v_i$, in der $R(x,y)$ eine
+Stammfunktion hat.
+
+
+
+
diff --git a/buch/chapters/070-orthogonalitaet/Makefile.inc b/buch/chapters/070-orthogonalitaet/Makefile.inc
index 48e5356..8f58489 100644
--- a/buch/chapters/070-orthogonalitaet/Makefile.inc
+++ b/buch/chapters/070-orthogonalitaet/Makefile.inc
@@ -4,7 +4,7 @@
 # (c) 2022 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
 #
 
-CHAPTERFILES = $(CHAPTERFILES)						\
+CHAPTERFILES += 							\
 	chapters/070-orthogonalitaet/orthogonal.tex			\
 	chapters/070-orthogonalitaet/rekursion.tex			\
 	chapters/070-orthogonalitaet/rodrigues.tex			\
@@ -13,4 +13,5 @@ CHAPTERFILES = $(CHAPTERFILES)						\
 	chapters/070-orthogonalitaet/jacobi.tex				\
 	chapters/070-orthogonalitaet/sturm.tex				\
 	chapters/070-orthogonalitaet/gaussquadratur.tex			\
+	chapters/070-orthogonalitaet/uebungsaufgaben/701.tex		\
 	chapters/070-orthogonalitaet/chapter.tex
diff --git a/buch/chapters/070-orthogonalitaet/chapter.tex b/buch/chapters/070-orthogonalitaet/chapter.tex
index 5ebb795..4756844 100644
--- a/buch/chapters/070-orthogonalitaet/chapter.tex
+++ b/buch/chapters/070-orthogonalitaet/chapter.tex
@@ -25,7 +25,7 @@
 \rhead{Übungsaufgaben}
 \aufgabetoplevel{chapters/070-orthogonalitaet/uebungsaufgaben}
 \begin{uebungsaufgaben}
-%\uebungsaufgabe{0}
+\uebungsaufgabe{701}
 %\uebungsaufgabe{1}
 \end{uebungsaufgaben}
 
diff --git a/buch/chapters/070-orthogonalitaet/gaussquadratur.tex b/buch/chapters/070-orthogonalitaet/gaussquadratur.tex
index 55f9700..2e43cec 100644
--- a/buch/chapters/070-orthogonalitaet/gaussquadratur.tex
+++ b/buch/chapters/070-orthogonalitaet/gaussquadratur.tex
@@ -135,12 +135,12 @@ p(x)&=x^2\colon& \frac23 &= A_0x_0^2 + A_1x_1^2\\
 p(x)&=x^3\colon& 0       &= A_0x_0^3 + A_1x_1^3.
 \end{aligned}
 \]
-Dividiert man die zweite und vierte Gleichung in der Form
+Dividiert man die vierte durch die zweite Gleichung in der Form
 \[
 \left.
 \begin{aligned}
-A_0x_0 &= -A_1x_1\\
-A_0x_0^2 &= -A_1x_1^2
+A_0x_0^3 &= -A_1x_1^3 &\qquad&\text{(vierte Gleichung)}\\
+A_0x_0   &= -A_1x_1   &\qquad&\text{(zweite Gleichung)}
 \end{aligned}
 \quad
 \right\}
@@ -155,7 +155,7 @@ x_1=-x_0.
 \]
 Indem wir dies in die zweite Gleichung einsetzen, finden wir 
 \[
-0 = A_0x_0 + A_1x_1 = A_0x_1 -A_1x_0 = (A_0-A_1)x_0
+0 = A_0x_0 + A_1x_1 = A_0x_0 -A_1x_0 = (A_0-A_1)x_0
 \quad\Rightarrow\quad
 A_0=A_1.
 \]
@@ -263,7 +263,7 @@ werden können, muss auch
 =
 \int_{-1}^1 q(x)p(x)\,dx
 =
-\sum_{i=0}^n q(x_i)p(x_i)
+\sum_{i=0}^n A_iq(x_i)p(x_i)
 \]
 für jedes beliebige Polynom $q\in R_{n-1}$ gelten.
 Da man für $q$ die Interpolationspolynome $l_j(x)$ verwenden
@@ -272,9 +272,11 @@ kann, den Grad $n-1$ haben, folgt
 0
 =
 \sum_{i=0}^n
-l_j(x_i)p(x_i)
+A_il_j(x_i)p(x_i)
 =
-\sum_{i=0}^n \delta_{ij}p(x_i),
+\sum_{i=0}^n A_i\delta_{ij}p(x_i)
+=
+A_jp(x_j),
 \]
 die Stützstellen $x_i$ müssen also die Nullstellen des Polynoms
 $p(x)$ sein.
diff --git a/buch/chapters/070-orthogonalitaet/jacobi.tex b/buch/chapters/070-orthogonalitaet/jacobi.tex
index 042d466..f776c03 100644
--- a/buch/chapters/070-orthogonalitaet/jacobi.tex
+++ b/buch/chapters/070-orthogonalitaet/jacobi.tex
@@ -189,6 +189,28 @@ rechten Rand haben.
 \label{buch:orthogonal:fig:jacobi-parameter}}
 \end{figure}
 
+\subsection{Jacobi-Gewichtsfunktion und Beta-Verteilung
+\label{buch:orthogonal:subsection:beta-verteilung}}
+Die Jacobi-Gewichtsfunktion entsteht aus der Wahrscheinlichkeitsdichte
+der Beta-Verteilung, die in
+Abschnitt~\ref{buch:rekursion:subsection:beta-verteilung}
+eingeführt wurde mit Hilfe der Variablen-Transformation $x = 2t-1$
+oder $t=(x+1)/2$.
+Das Integral mit der Jacobi-Gewichtsfunktion $w^{(\alpha,\beta)}(x)$ 
+kann damit umgeformt werden in
+\[
+\int_{-1}^1
+f(x)\,w^{(\alpha,\beta)}(x)\,dx
+=
+\int_0^1
+f(2t-1) w^{(\alpha,\beta)}(2t-1)\,2\,dt
+=
+\int_0^1
+f(2t-1)
+(1-(2t-1))^\alpha (1+(2t-1))^\beta
+\,2\,dt
+\]
+
 %
 % 
 %
diff --git a/buch/chapters/070-orthogonalitaet/orthogonal.tex b/buch/chapters/070-orthogonalitaet/orthogonal.tex
index d06f46e..677e865 100644
--- a/buch/chapters/070-orthogonalitaet/orthogonal.tex
+++ b/buch/chapters/070-orthogonalitaet/orthogonal.tex
@@ -737,6 +737,57 @@ rechten Rand haben.
 \label{buch:orthogonal:fig:jacobi-parameter}}
 \end{figure}
 
+\subsubsection{Jacobi-Gewichtsfunktion und Beta-Verteilung
+\label{buch:orthogonal:subsection:beta-verteilung}}
+Die Jacobi-Gewichtsfunktion entsteht aus der Wahrscheinlichkeitsdichte
+der Beta-Verteilung, die in
+Abschnitt~\ref{buch:rekursion:subsection:beta-verteilung}
+eingeführt wurde mit Hilfe der Variablen-Transformation $x = 2t-1$
+oder $t=(x+1)/2$.
+Das Integral mit der Jacobi-Gewichtsfunktion $w^{(\alpha,\beta)}(x)$
+kann damit umgeformt werden in
+\begin{align*}
+\int_{-1}^1
+f(x)\,w^{(\alpha,\beta)}(x)\,dx
+&=
+\int_0^1
+f(2t-1) w^{(\alpha,\beta)}(2t-1)\,2\,dt
+\\
+&=
+\int_0^1
+f(2t-1)
+(1-(2t-1))^\alpha (1+(2t-1))^\beta
+\,2\,dt
+\\
+&=
+2^{\alpha+\beta+1}
+\int_0^1
+f(2t-1)
+\,
+t^\beta
+(1-t)^\alpha
+\,dt
+\\
+&=
+2^{\alpha+\beta+1}
+B(\alpha+1,\beta+1)
+\int_0^1
+f(2t-1)
+\,
+\frac{
+t^\beta
+(1-t)^\alpha
+}{B(\alpha+1,\beta+1)}
+\,dt.
+\end{align*}
+Auf der letzten Zeile steht ein Integral mit der Wahrscheinlichkeitsdichte
+der Beta-Verteilung.
+Orthogonale Funktionen bezüglich der Jacobischen Gewichtsfunktion
+$w^{(\alpha,\beta)}$ werden mit der genannten Substitution also
+zu orthogonalen Funktionen bezüglich der Beta-Verteilung mit
+Parametern $\beta+1$ und $\alpha+1$.
+
+
 %
 % Tschebyscheff-Gewichtsfunktion
 %
@@ -791,14 +842,14 @@ bei geeigneter Normierung die {\em Hermite-Polynome}.
 %
 % Laguerre-Gewichtsfunktion
 %
-\subsection{Laguerre-Gewichtsfunktion}
+\subsubsection{Laguerre-Gewichtsfunktion}
 Ähnlich wie die Hermite-Gewichtsfunktion ist die
 {\em Laguerre-Gewichtsfunktion}
 \index{Laguerre-Gewichtsfunktion}%
 \[
 w_{\text{Laguerre}}(x)
 =
-w^{-x}
+e^{-x}
 \]
 auf ganz $\mathbb{R}$ definiert, und sie geht für $x\to\infty$ wieder
 sehr rasch gegen $0$.
diff --git a/buch/chapters/070-orthogonalitaet/rekursion.tex b/buch/chapters/070-orthogonalitaet/rekursion.tex
index 5ec7fed..dc5531b 100644
--- a/buch/chapters/070-orthogonalitaet/rekursion.tex
+++ b/buch/chapters/070-orthogonalitaet/rekursion.tex
@@ -30,7 +30,7 @@ Skalarproduktes $\langle\,\;,\;\rangle_w$, wenn
 für alle $n$, $m$.
 \end{definition}
 
-\subsection{Allgemeine Drei-Term-Rekursion für orthogonale Polynome}
+\subsubsection{Allgemeine Drei-Term-Rekursion für orthogonale Polynome}
 Der folgende Satz besagt, dass $p_n$ eine Rekursionsbeziehung erfüllt.
 
 \begin{satz}
@@ -55,7 +55,7 @@ C_{n+1} = \frac{A_{n+1}}{A_n}\frac{h_{n+1}}{h_n}.
 \end{equation}
 \end{satz}
 
-\subsection{Multiplikationsoperator mit $x$}
+\subsubsection{Multiplikationsoperator mit $x$}
 Man kann die Relation auch nach dem Produkt $xp_n(x)$ auflösen, dann
 wird sie
 \begin{equation}
@@ -72,7 +72,7 @@ Die Multiplikation mit $x$ ist eine lineare Abbildung im Raum der Funktionen.
 Die Relation~\eqref{buch:orthogonal:eqn:multixrelation} besagt, dass diese
 Abbildung in der Basis der Polynome $p_k$ tridiagonale Form hat.
 
-\subsection{Drei-Term-Rekursion für die Tschebyscheff-Polynome}
+\subsubsection{Drei-Term-Rekursion für die Tschebyscheff-Polynome}
 Eine Relation der Form~\eqref{buch:orthogonal:eqn:multixrelation}
 wurde bereits in 
 Abschnitt~\ref{buch:potenzen:tschebyscheff:rekursionsbeziehungen}
@@ -80,12 +80,12 @@ hergeleitet.
 In der Form~\eqref{buch:orthogonal:eqn:rekursion} geschrieben lautet
 sie
 \[
-T_{n+1}(x) = 2x\,T_n(x)-T_{n-1}(x).
+T_{n+1}(x) = 2x\,T_n(x)-T_{n-1}(x),
 \]
 also
 $A_n=2$, $B_n=0$ und $C_n=1$.
 
-\subsection{Beweis von Satz~\ref{buch:orthogonal:satz:drei-term-rekursion}}
+\subsubsection{Beweis von Satz~\ref{buch:orthogonal:satz:drei-term-rekursion}}
 Die Relation~\eqref{buch:orthogonal:eqn:multixrelation} zeigt auch,
 dass der Beweis die Koeffizienten $\langle xp_k,p_j\rangle_w$
 berechnen muss.
diff --git a/buch/chapters/070-orthogonalitaet/sturm.tex b/buch/chapters/070-orthogonalitaet/sturm.tex
index c9c9cc6..35054ab 100644
--- a/buch/chapters/070-orthogonalitaet/sturm.tex
+++ b/buch/chapters/070-orthogonalitaet/sturm.tex
@@ -375,7 +375,7 @@ automatisch für diese Funktionenfamilien.
 \subsubsection{Trigonometrische Funktionen}
 Die trigonometrischen Funktionen sind Eigenfunktionen des Operators
 $d^2/dx^2$, also eines Sturm-Liouville-Operators mit $p(x)=1$, $q(x)=0$
-und $w(x)=0$.
+und $w(x)=1$.
 Auf dem Intervall $(-\pi,\pi)$ können wir die Randbedingungen
 \bgroup
 \renewcommand{\arraycolsep}{2pt}
diff --git a/buch/chapters/070-orthogonalitaet/uebungsaufgaben/701.tex b/buch/chapters/070-orthogonalitaet/uebungsaufgaben/701.tex
new file mode 100644
index 0000000..dad489f
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/070-orthogonalitaet/uebungsaufgaben/701.tex
@@ -0,0 +1,137 @@
+Für Funktionen auf dem Interval $(-\frac{\pi}2,\frac{\pi}2)$ ist
+\[
+\langle f,g\rangle
+=
+\frac12\int_{-\frac{\pi}2}^{\frac{\pi}2} f(x)g(x)\cos x\,dx
+\]
+ein Skalarprodukt.
+Bestimmen Sie bezüglich dieses Skalarproduktes orthogonale Polynome
+bis zum Grad $2$.
+
+\begin{hinweis}
+Verwenden Sie
+\begin{align*}
+\int_{-\frac{\pi}2}^{\frac{\pi}2} 1\cos x\,dx
+&=
+1,
+&
+\int_{-\frac{\pi}2}^{\frac{\pi}2} x^2\cos x\,dx
+&=
+\frac{\pi^2-8}{2},
+&
+\int_{-\frac{\pi}2}^{\frac{\pi}2} x^4\cos x\,dx
+&=
+\frac{\pi^4-48\pi^2+384}{8}.
+\end{align*}
+\end{hinweis}
+
+\begin{loesung}
+Wir müssen den Gram-Schmidt-Orthogonalisierungsprozess für die
+Polynome $f_0(x)=1$, $f_1(x)=x$ und $f_2(x)=x^2$ durchführen.
+Zunächst halten wir fest, dass
+\[
+\langle f_0,f_0\rangle
+=
+\frac12
+\int_{-\frac{\pi}2}^{\frac{\pi}2} \cos x\,dx
+=
+1,
+\]
+das Polynom $g_0(x)=f_0(x)$ ist hat also Norm $1$.
+
+Ein dazu orthogonales Polynom ist
+\(
+f_1(x) - \langle g_0,f_1\rangle g_0(x),
+\)
+wir müssen also das Skalarprodukt
+\[
+\langle g_0,f_1\rangle
+=
+\frac{1}{2}
+\int_{-\frac{\pi}2}^{\frac{\pi}2}
+x\cos x\,dx
+\]
+bestimmen.
+Es verschwindet, weil die Funktion $x\cos x$ ungerade ist.
+Somit ist die Funktion $f_1(x)=x$ orthogonal zu $f_0(x)=1$, um sie auch zu
+normieren berechnen wir das Integral
+\[
+\| f_1\|^2
+=
+\frac12\int_{-\frac{\pi}2}^{\frac{\pi}2} x^2\cos x\,dx
+=
+\frac{\pi^2-8}{4},
+\]
+und 
+\[
+g_1(x)
+=
+\frac{2}{\sqrt{\pi^2-8}} x.
+\]
+
+Zur Berechnung von $g_2$ müssen wir die Skalarprodukte
+\begin{align*}
+\langle g_0,f_2\rangle
+&=
+\frac{1}{2}
+\int_{-\frac{\pi}2}^{\frac{\pi}2}
+x^2
+\cos x
+\,dx
+=
+\frac{\pi^2-8}{4}
+\\
+\langle g_1,f_2\rangle
+&=
+\frac{1}{2}
+\int_{-\frac{\pi}2}^{\frac{\pi}2}
+\frac{2}{\sqrt{\pi^2-8}}
+x
+\cdot x^2
+\cos x
+\,dx
+=
+0
+\end{align*}
+bestimmen.
+Damit wird das dritte Polynom
+\[
+f_2(x)
+- g_0(x)\langle g_0,f_2\rangle
+- g_1(x)\langle g_1,f_2\rangle
+=
+x^2 - \frac{\pi^2-8}{4},
+\]
+welches bereits orthogonal ist zu $g_0$ und $g_1$.
+Wir können auch noch erreichen, obwohl das nicht verlangt war,
+dass es normiert ist, indem wir die Norm berechnen:
+\[
+\left\| x^2-\frac{\pi^2-8}{4} \right\|^2
+=
+\frac12
+\int_{-\frac{\pi}2}^{\frac{\pi}2}
+\biggl(x^2-\frac{\pi^2-8}{4}\biggr)^2
+\cos x\,dx
+=
+20-2\pi^2
+\]
+woraus sich
+\[
+g_2(x)
+=
+\frac{1}{\sqrt{20-2\pi^2}}
+\biggl(
+x^2 - \frac{\pi^2-8}{4}
+\biggr).
+\]
+Damit haben wir die ersten drei bezüglich des obigen Skalarproduktes
+orthogonalen Polynome
+\begin{align*}
+g_0(x)&=1,
+&
+g_1(x)&=\frac{2x}{\sqrt{\pi^2-8}},
+&
+g_2(x)&=\frac{1}{\sqrt{20-2\pi^2}}\biggl(x^2-\frac{\pi^2-8}{4}\biggr)
+\end{align*}
+gefunden.
+\end{loesung}
diff --git a/buch/chapters/075-fourier/2d.tex b/buch/chapters/075-fourier/2d.tex
new file mode 100644
index 0000000..cc019c7
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/075-fourier/2d.tex
@@ -0,0 +1,19 @@
+%
+% 2d.tex
+%
+% (c) 2022 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\section{Zweidimensionale Fourier-Transformation
+\label{buch:fourier:section:2d}}
+\rhead{Zweidimensionale Fourier-Transformation}
+
+\subsection{Fourier-Transformation und partielle Differentialgleichungen}
+
+\subsection{Fourier-Transformation in kartesischen Koordinaten}
+
+\subsection{Basisfunktionen in Polarkoordinaten}
+
+
+
+
+
diff --git a/buch/chapters/075-fourier/Makefile.inc b/buch/chapters/075-fourier/Makefile.inc
index ee9641c..a762e63 100644
--- a/buch/chapters/075-fourier/Makefile.inc
+++ b/buch/chapters/075-fourier/Makefile.inc
@@ -4,5 +4,7 @@
 # (c) 2022 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
 #
 
-CHAPTERFILES = $(CHAPTERFILES)						\
+CHAPTERFILES += 							\
+	chapters/075-fourier/bessel.tex					\
+	chapters/075-fourier/2d.tex					\
 	chapters/075-fourier/chapter.tex
diff --git a/buch/chapters/075-fourier/bessel.tex b/buch/chapters/075-fourier/bessel.tex
new file mode 100644
index 0000000..7e978f7
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/075-fourier/bessel.tex
@@ -0,0 +1,620 @@
+%
+% bessel.tex
+%
+% (c) 2022 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\section{Fourier-Transformation und Bessel-Funktionen
+\label{buch:fourier:section:fourier-und-bessel}}
+\rhead{Fourier-Transformation und Bessel-Funktionen}
+
+Sei $f\colon \mathbb{R}^2\to\mathbb{C}$ eine auf $\mathbb{R}$ definierte
+Funktion.
+Die Fourier-Transformation von $f$ ist das Integral
+\begin{equation}
+(\mathscr{F}f)(u,v)
+=
+F(u,v)
+=
+\frac{1}{2\pi}
+\int_{-\infty}^\infty
+\int_{-\infty}^\infty
+f(x,y) e^{i(xu+yv)}
+\,dx\,dy.
+\label{buch:fourier:eqn:2dfourier}
+\end{equation}
+Die Funktionen $e_{u,v}\colon (x,y)\mapsto e^{i(xu+yv)}$
+sind die Eigenfunktionen des Laplace-Operators in kartesischen Koordinaten,
+sie erfüllen
+\[
+\Delta e_{u,v} = (u^2+v^2) \Delta e_{u,v}.
+\]
+Die Fourier-Integrale sind die Skalarprodukte
+\[
+(\mathscr{F}f)(u,v)
+=
+\langle
+e_{u,v},
+f
+\rangle,
+\]
+wobei das Skalarprodukt durch
+\[
+\langle f,g\rangle
+=
+\int_{-\infty}^\infty
+\int_{-\infty}^\infty
+\overline{f(x)} g(x)
+\,dx\,dy
+\]
+definiert ist.
+
+Jede Funktion in der Ebene kann auch in Polarkoordinaten ausgedrückt werden.
+Die kartesischen Koordinaten können mittels
+\begin{align*}
+x&=r\cos\varphi
+y&=r\sin\varphi
+\end{align*}
+durch die Polarkoordinaten $(r,\varphi)$ ausgedrückt werden.
+Wir schreiben
+\[
+\tilde{f}(r,\varphi)
+=
+f(r\cos\varphi,r\sin\varphi)
+\]
+für die Funktion $f$ ausgedrückt in Polarkoordinaten.
+
+In Polarkoordinaten wird das Skalarprodukt
+\[
+\langle f,g\rangle
+=
+\int_0^\infty \int_{0}^{2\pi} e^{in\varphi}
+\overline{
+\tilde{f}(r,\varphi)
+}
+\tilde{g}(r,\varphi)
+r\,dr\,d\varphi.
+\]
+Auch die Fouriertransformation kann jetzt durch Berechnung eines
+doppelten Integrals in Polarkoordinaten ermittelt werden.
+Ziel dieses Abschnitts ist zu zeigen, dass auch diese Berechnung auf
+Bessel-Funktionen führt.
+Im Gegenzug werden sich neue Eigenschaften und Darstellungen derselben
+ergeben.
+
+
+\subsection{Berechnung der Fourier-Transformation in Polarkoordinaten}
+Die Fourier-Transformation $(\mathscr{F}f)(u,v)$ ist eine Funktion
+$\mathbb{R}^2\to\mathbb{C}$, die vom Wellenvektor $(u,v)$ abhängt.
+Auch dieser Vektor kann in Polarkoordinaten ausgedrückt werden.
+Für die Polarkoordinaten in der Wellenvektor-Ebene soll die Bezeichnung
+$(R,\vartheta)$ verwendet werden, was auf die Transformationsgleichungen
+\begin{align*}
+u&=R\cos\vartheta\\
+v&=R\sin\vartheta
+\end{align*}
+führt.
+Im Exponenten der Exponentialfunktion
+des Fourier-Integrals~\eqref{buch:fourier:eqn:2dfourier}
+steht der Ausdruck
+\[
+xu+yv
+=
+r\cos\varphi\cdot R\cos\vartheta
++
+r\sin\varphi\cdot R\sin\vartheta
+=
+rR\cos(\varphi-\vartheta).
+\]
+Mit diesen Bezeichnungen wird das
+Fourier-Integral~\eqref{buch:fourier:eqn:2dfourier}
+zu
+\begin{align}
+\tilde{F}(R,\vartheta)
+&=
+\frac{1}{2\pi}
+\int_{0}^{\infty}
+\int_{0}^{2\pi}
+f(r\cos\varphi,r\sin\varphi)
+e^{irR\cos(\varphi-\vartheta)}
+\,d\varphi\,r\, dr
+\notag
+\\
+&=
+\frac{1}{2\pi}
+\int_{0}^{\infty}
+\int_{0}^{2\pi}
+\tilde{f}(r,\varphi)
+e^{irR\cos(\varphi-\vartheta)}
+\,d\varphi\,r\, dr.
+\label{buch:fourier:eqn:fouriertrafopolar}
+\end{align}
+Die partielle Funktion $\varphi\mapsto \tilde{f}(r,\varphi)$
+ist eine $2\pi$-periodische Funktion, sie lässt sich also als
+komplexe Fourier-Reihe
+\begin{equation}
+\tilde{f}(r,\varphi)
+=
+\sum_{n\in\mathbb{Z}} \hat{f}_n(r) e^{in\varphi}
+\label{buch:fourier:eqn:fourierkoef}
+\end{equation}
+schreiben, die Funktionen $\hat{f}_n(r)$ sind die komplexen
+Fourier-Koeffizienten.
+Setzt man \eqref{buch:fourier:eqn:fourierkoef} in die Fourier-Transformation
+\eqref{buch:fourier:eqn:fouriertrafopolar} ein, erhält man
+\begin{align*}
+\tilde{F}(R,\vartheta)
+&=
+\sum_{n\in\mathbb{Z}}
+\int_0^\infty
+\hat{f}_n(r)
+\frac{1}{2\pi}
+\int_0^{2\pi}
+e^{in\varphi+irR\cos(\varphi-\vartheta)}
+\,d\varphi
+\,
+r\,dr.
+\end{align*}
+Der Exponent im inneren Integral kann als
+\[
+in\varphi+irR\cos(\varphi-\vartheta)
+=
+i(n(\varphi-\vartheta)+rR\cos(\varphi-\vartheta))
++
+in\vartheta,
+\]
+oder im Integral als
+\[
+\tilde{F}(R,\vartheta)
+=
+\sum_{n\in\mathbb{Z}}
+\int_0^\infty
+\hat{f}_n(r)
+\frac{1}{2\pi}
+\int_0^{2\pi}
+e^{in(\varphi-\vartheta)+irR\cos(\varphi-\vartheta)}
+e^{in\vartheta}
+\,d\varphi
+\,
+r\,dr
+\]
+geschrieben werden.
+Der zweite Exonentialfaktor hängt nicht von $\varphi$ ab und kann daher
+aus dem Integral herausgezogen werden.
+Der erste Exponentialfaktor hängt nur von $\varphi-\vartheta$ ab.
+Da die Exponentialfunktion $2\pi$-periodisch ist, hat die Verschiebung
+um $\vartheta$ keinen Einfluss auf den Wert des Integrals.
+Die Fourier-Transformation ist daher auch
+\[
+\tilde{F}(R,\vartheta)
+=
+\sum_{n\in\mathbb{Z}}
+\int_0^\infty
+\hat{f}_n(r)
+e^{in\vartheta}
+\underbrace{
+\frac{1}{2\pi}
+\int_0^{2\pi}
+e^{in\varphi+irR\cos\varphi}
+\,d\varphi
+}_{\displaystyle =:F_n(rR)}
+\,
+r\,dr.
+\]
+Die Beziehung zu den Besselfunktionen können wir daraus herstellen,
+indem wir zunächst $\xi = rR$ abkürzen und dann das innere Integral
+\begin{equation}
+F_n(\xi)
+=
+\frac{1}{2\pi}
+\int_{0}^{2\pi}
+e^{in\varphi+i\xi\cos\varphi}
+\,d\varphi
+=
+\frac{1}{2\pi}
+\int_{0}^{2\pi}
+e^{in\varphi}e^{i\xi\cos\varphi}
+\,d\varphi
+\label{buch:fourier:eqn:Fncosphi}
+\end{equation}
+auswerten.
+Exponentialfunktion als Potenzreihe entwickeln:
+\[
+F_n(\xi)
+=
+\frac{1}{2\pi}
+\int_0^{2\pi}
+e^{in\varphi}
+\sum_{k=0}^\infty
+\frac{
+i^k\xi^k \cos^k\varphi
+}{k!}
+\,d\varphi
+=
+\sum_{k=0}^\infty
+\frac{i^k\xi^k}{k!}
+\underbrace{
+\frac{1}{2\pi}
+\int_0^{2\pi}
+e^{in\varphi}
+\cos^k\varphi
+\,d\varphi}_{\displaystyle =c_{n,k}}.
+\]
+Das Integral auf der rechten Seite ist im Wesentlichen ein
+Fourier-Koeffizient der Funktion $\varphi\mapsto \cos^k\varphi$.
+
+\subsubsection{Berechnung der Fourier-Koeffizienten von $\cos^k\varphi$}
+Indem man die Kosinus-Funktion als die Linearkombination
+\[
+\cos\varphi
+=
+\frac{e^{i\varphi}+e^{-i\varphi}}2
+\]
+von Exponentialfunktionen ausdrückt, kann man auch die $k$-te Potenz 
+mit Hilfe des binomischen Satzes als
+\[
+\cos^k\varphi
+=
+\sum_{m=0}^k
+\frac{1}{2^k}
+\binom{k}{m}
+e^{im\varphi}e^{i(m-k)\varphi}
+=
+\sum_{m=0}^k
+\frac{1}{2^k}
+\binom{k}{m}
+e^{i(2m-k)\varphi}
+\]
+ausdrücken.
+Der Fourier-Koeffizient von $\cos^k\varphi$ ist daher das Integral
+\begin{align*}
+c_{n,k}
+&=
+\frac{1}{2\pi}
+\int_0^{2\pi}
+e^{in\varphi}\cos^k\varphi\,d\varphi
+\\
+&=
+\frac{1}{2^k}
+\sum_{m=0}^k
+\binom{k}{m}
+\frac{1}{2\pi}
+\int_0^{2\pi}
+e^{in\varphi}e^{i(2m-k)\varphi}
+\,d\varphi
+\\
+&=
+\frac{1}{2^k}
+\sum_{m=0}^k
+\binom{k}{m}
+\frac{1}{2\pi}
+\int_0^{2\pi}
+e^{i(2m-k+n)\varphi}
+\,d\varphi.
+\end{align*}
+Für $2m-k+n=0$ ist das Integral ein Integral der Funktion $1$ über
+ein Intervall der Länge $2\pi$, zusammen mit dem Faktor $1/2\pi$ hat
+es daher den Wert $1$.
+Für $2m-k+n\ne 0$ ist das Integral 
+\[
+\frac{1}{2\pi}
+\int_0^{2\pi}
+e^{i(2m-k+n)\varphi}
+\,d\varphi
+=
+\frac{1}{i}
+\biggl[
+\frac{e^{i(2m-k+n)\varphi}}{2m-k+n}
+\biggr]_0^{2\pi}
+=
+0
+\]
+weil die Exponentialfunktion $2\pi$-periodisch ist.
+Nur für $k=2m+n$ ergibt sich ein nicht verschwindender
+Fourier-Koeffizient.
+Eine Summe über $k\in\mathbb{N}$ kann daher auch als Summe über
+$m\in\mathbb{N}$ interpretiert werden, in der $k$ durch die Formel
+$k=2m+n$ gegeben wird.
+Mit dieser Konvention wird
+\[
+c_{n,k}
+=
+c_{n,2m+n}
+%=
+%\frac{1}{2\pi}
+%\int_0^{2\pi}
+%e^{-i(2m+n)\varphi}
+%\cos^{2m+n}\varphi
+%\,d\varphi
+=
+\frac{1}{2^{2m+n}}
+\binom{2m+n}{m}
+\]
+schreiben lässt.
+
+\subsubsection{Berechnung von $F_n(\xi)$}
+Die Reihe für $F_n(\xi)$ lässt sich weiter vereinfachen.
+Wir verwenden wieder die Tatsache, dass sich nur für $n=-2m-k$
+ein Beitrag ergibt.
+Dies bedeutet, dass $k=2m+n$ sein muss, die Summe kann damit als
+Summe über $m$ statt über $k$ geschrieben werden.
+Somit ist
+\begin{align*}
+F_n(\xi)
+&=
+\sum_{k=0}^\infty
+\frac{i^k\xi^k}{k!}
+c_{n,k}
+=
+\sum_{m=0}^\infty
+\frac{i^{2m+n}\xi^{2m+n}}{(2m+n)!}
+c_{n,2m+n}
+\\
+&=
+\sum_{m=0}^\infty
+\frac{1}{2^{2m+n}}
+\binom{2m+n}{m}
+\frac{i^{2m+n}\xi^{2m+n}}{(2m+n)!}
+\\
+&=
+i^n
+\sum_{m=0}^\infty
+\frac{(-1)^m}{(2m+n)!}
+\frac{(2m+n)!}{m!\,(2m+n-m)!}
+\biggl(\frac{\xi}{2}\biggr)^{2m+n}
+\\
+&=
+i^n
+\sum_{m=0}^\infty
+\frac{(-1)^m}
+{m!\,\Gamma(m+n+1)}
+\biggl(\frac{\xi}{2}\biggr)^{2m+n}
+=
+i^n J_n(\xi).
+\end{align*}
+Die Funktionen $F_n(\xi)$ sind daher bis auf einen Phasenfaktor der
+Wert $J_n(\xi)$ einer Bessel-Funktion.
+
+\subsubsection{Berechnung der Fourier-Transformation mit Bessel-Funktionen}
+Mit allen oben zusammengestellten Notationen kann die Fourier-Transformation
+jetzt in Polarkoordinaten als
+\[
+\tilde{F}(R,\vartheta)
+=
+\sum_{n\in\mathbb{Z}}
+e^{in\vartheta}
+\int_0^\infty 
+\hat{f}_n(r)
+i^n
+J_n(rR)
+r\,dr
+\]
+geschrieben werden.
+Dies hat tatsächlich die Form eines Skalarproduktes der Funktion
+$\tilde{f}(r,\varphi)$ mit einer Funktion der Form
+\[
+\tilde{e}_{n,R}(r,\varphi)
+=
+e^{in\varphi}
+J_n(rR).
+\]
+Letzeres sind die in Abschnitt~\ref{buch:fourier:section:2d}
+versprochenen Basisfunktionen.
+
+\subsubsection{Fourier-Reihe von $e^{i\xi\cos\varphi}$}
+Die Funktionen $F_n(\xi)$ sind wegen
+\[
+F_n(\xi)
+=
+\frac{1}{2\pi}
+\int_0^{2\pi}
+e^{in\varphi}
+e^{i\xi\cos\varphi}
+\,d\varphi,
+\]
+daraus kann man die Fourier-Reihe von $e^{i\xi\cos\varphi}$ 
+berechnen, dies wird im folgenden Satz durchgeführt.
+
+
+\begin{satz}
+\label{buch:fourier:satz:expinphi}
+Die komplexe Fourier-Reihe der Funktion
+$\varphi\mapsto \exp(i\xi\cos\varphi)$
+ist
+\begin{align}
+e^{i\xi\cos\varphi}
+&=
+J_0(\xi)
++
+2\sum_{n=1}^\infty i^n J_n(\xi) \cos n\varphi.
+\label{buch:fourier:eqn:expinphicomplex}.
+\intertext{Real- und Imaginärteil davon sind die Fourier-Reihen}
+\cos(\xi\cos\varphi)
+&=
+J_0(\xi) + 2\sum_{m=1}^\infty (-1)^m J_{2m}(\xi) \cos2m\varphi
+\label{buch:fourier:eqn:expinphireal}
+\\
+\sin(\xi\cos\varphi)
+&=
+2\sum_{m=0}^\infty (-1)^m J_{2m+1}(\xi) \cos(2m+1)\varphi.
+\label{buch:fourier:eqn:expinphiimaginary}
+\end{align}
+\end{satz}
+
+\begin{proof}[Beweis]
+Die Fourier-Koeffizienten $F_n(\xi)$ der Funktion $e^{i\xi\cos\varphi}$
+führen auf die Fourier-Reihe
+\begin{align*}
+e^{i\xi\cos\varphi}
+&=
+\sum_{n\in\mathbb{Z}} F_n(\xi) e^{in\varphi}
+=
+\sum_{n\in\mathbb{Z}} i^n J_n(\xi) e^{in\varphi}.
+\end{align*}
+Terme mit $\pm n$ können wegen
+\[
+\left.
+\begin{aligned}
+J_{-n}(\xi) &= (-1)^n J_n(\xi) 
+\\
+i^{-n}&=(-1)^n i^n
+\end{aligned}
+\quad
+\right\}
+\qquad\Rightarrow\qquad
+i^{-n}J_{-n}(\xi) = i^n J_n(\xi)
+\]
+zusammengefasst werden, auf diese Weise erhält man 
+\begin{align*}
+e^{i\xi\cos\varphi}
+&=
+J_0(\xi)
++
+\sum_{n=1}^\infty i^n J_n(\xi) (e^{in\varphi}+e^{-in\varphi})
+=
+2\sum_{n=1}^\infty i^n J_n(\xi) \cos n\varphi.
+\end{align*}
+Dies beweist
+\eqref{buch:fourier:eqn:expinphicomplex}.
+
+Indem man Real- und Imaginärteil trennt, kann man daraus auch
+die Fourier-Reihen von $\cos(\xi\cos\varphi)$ und
+$\sin(\xi\cos\varphi)$ gewinnen, sie sind
+\begin{align*}
+\exp(\xi\cos\varphi)
+&=
+J_0(\xi) + 2\sum_{n=1}^\infty i^{n} J_{n}(\xi) \cos n\varphi
+\\
+&=
+J_0(\xi)
++
+2\sum_{m=1}^\infty i^{2m}J_{2m}(\xi)\cos 2m\varphi
++
+2\sum_{m=0}^\infty i^{2m+1}J_{2m+1}(\xi)\cos(2m+1)\varphi
+\\
+&=
+J_0(\xi)
++
+2\sum_{m=1}^\infty (-1)^{m}J_{2m}(\xi)\cos 2m\varphi
++
+2i\sum_{m=0}^\infty (-1)^{m}J_{2m+1}(\xi)\cos(2m+1)\varphi
+\\
+\cos(\xi\cos\varphi)
+&=
+J_0(\xi)
++
+2\sum_{m=1}^\infty (-1)^{m}J_{2m}(\xi)\cos 2m\varphi
+\\
+\sin(\xi\cos\varphi)
+&=
+2\sum_{m=0}^\infty (-1)^m J_{2m+1}(\xi) \cos(2m+1)\varphi.
+\end{align*}
+Damit sind auch die Formeln
+\eqref{buch:fourier:eqn:expinphireal}
+und
+\eqref{buch:fourier:eqn:expinphiimaginary}
+für die reellen Fourier-Reihen bewiesen.
+\end{proof}
+
+%
+% Integraldarstellung der Bessel-Funktion
+%
+\subsection{Integraldarstellung der Bessel-Funktion}
+Aus \eqref{buch:fourier:eqn:Fncosphi} kann jetzt die Integraldarstelltung
+der Bessel-Funktionen gewonnen werden.
+Dazu substituiert man $\varphi$ durch $\tau$ mit
+$\varphi = \frac{\pi}2-\tau$
+oder
+$\tau=\frac{\pi}2-\varphi$
+und $d\tau = -d\varphi$
+im Integral und berechnet
+\begin{align*}
+J_n(\xi)
+&=
+(-i)^n
+\frac{1}{2\pi}
+\int_0^{2\pi}
+e^{in\varphi+i\xi \cos\varphi}
+\,d\varphi
+\\
+&=
+-
+(-i)^n
+\frac{1}{2\pi}
+\int_{\frac{\pi}2}^{-\frac{3\pi}2}
+e^{in(\frac{\pi}2-\tau) + i\xi\cos(\frac{\pi}2-\tau)}
+\,d\tau
+\\
+&=
+(-i)^n
+\frac{1}{2\pi}
+\int^{\frac{\pi}2}_{-\frac{3\pi}2}
+i^n
+e^{-in\tau + i\xi\sin\tau)}
+\,d\tau.
+\intertext{Da der Integrand $2\pi$-periodisch ist, kann das
+Integrationsintervall auf $[-\pi,\pi]$ verschoben werden, was}
+&=
+\frac{1}{2\pi}
+\int_{-\pi}^{\pi}
+e^{-in\tau + i\xi\sin\tau)}
+\,d\tau.
+\intertext{ergibt.
+Das Integral kann in zwei Integrale}
+&=
+\frac{1}{2\pi}
+\int_0^\pi
+e^{-in\tau + i\xi\sin\tau}
+\,d\tau
++
+\frac{1}{2\pi}
+\int_0^\pi
+e^{in\tau - i\xi\sin\tau}
+\,d\tau
+\intertext{aufgeteilt werden,
+}
+&=
+\frac{1}{\pi}
+\int_0^\pi
+\frac{
+e^{-in\tau + i\xi\sin\tau}
++
+e^{in\tau - i\xi\sin\tau}
+}{2}
+\,d\tau
+\\
+&=
+\frac{1}{\pi}
+\int_0^\pi
+\frac{
+e^{i(-n\tau + \xi\sin\tau)}
++
+e^{-i(-n\tau + \xi\sin\tau)}
+}{2}
+\,d\tau
+\\
+&=
+\frac{1}{\pi}
+\int_0^\pi
+\cos(n\tau - \xi\sin\tau)
+\,d\tau.
+\end{align*}
+Damit haben wir den folgenden Satz bewiesen:
+
+\begin{satz}[Integraldarstelltung der Bessel-Funktionen]
+\label{buch:fourier:satz:bessel-integraldarstellung}
+Die Bessel-Funktionen $J_n$ mit ganzzahliger Ordnung $n$ haben
+die Integraldarstellung
+\begin{equation}
+J_n(\xi)
+=
+\frac{1}{\pi}
+\int_0^\pi
+\cos(n\tau - \xi\sin\tau)
+\,d\tau.
+\label{buch:fourier:eqn:bessel-integraldarstellung}
+\end{equation}
+\end{satz}
+
+
+
+
diff --git a/buch/chapters/075-fourier/chapter.tex b/buch/chapters/075-fourier/chapter.tex
index 341d8df..681a1c0 100644
--- a/buch/chapters/075-fourier/chapter.tex
+++ b/buch/chapters/075-fourier/chapter.tex
@@ -13,7 +13,8 @@ führen zu neuen speziellen Funktionen.
 In diesem Kapitel soll als Beispiel die Fourier-Transformation
 der Bessel-Funktionen untersucht werden.
 
-%\input{chapters/075-fourier/bessel.tex}
+\input{chapters/075-fourier/2d.tex}
+\input{chapters/075-fourier/bessel.tex}
 
 %\section{TODO}
 %\begin{itemize}
diff --git a/buch/chapters/080-funktionentheorie/Makefile.inc b/buch/chapters/080-funktionentheorie/Makefile.inc
index 813865f..779cd80 100644
--- a/buch/chapters/080-funktionentheorie/Makefile.inc
+++ b/buch/chapters/080-funktionentheorie/Makefile.inc
@@ -4,7 +4,7 @@
 # (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
 #
 
-CHAPTERFILES = $(CHAPTERFILES)						\
+CHAPTERFILES += 							\
 	chapters/080-funktionentheorie/holomorph.tex			\
 	chapters/080-funktionentheorie/analytisch.tex			\
 	chapters/080-funktionentheorie/cauchy.tex			\
@@ -12,6 +12,7 @@ CHAPTERFILES = $(CHAPTERFILES)						\
 	chapters/080-funktionentheorie/anwendungen.tex			\
 	chapters/080-funktionentheorie/gammareflektion.tex		\
 	chapters/080-funktionentheorie/carlson.tex			\
+	chapters/080-funktionentheorie/singularitaeten.tex		\
 	chapters/080-funktionentheorie/uebungsaufgaben/1.tex		\
 	chapters/080-funktionentheorie/uebungsaufgaben/2.tex		\
 	chapters/080-funktionentheorie/chapter.tex
diff --git a/buch/chapters/080-funktionentheorie/anwendungen.tex b/buch/chapters/080-funktionentheorie/anwendungen.tex
index e02fb3e..4cdf9be 100644
--- a/buch/chapters/080-funktionentheorie/anwendungen.tex
+++ b/buch/chapters/080-funktionentheorie/anwendungen.tex
@@ -8,3 +8,4 @@
 
 \input{chapters/080-funktionentheorie/gammareflektion.tex}
 \input{chapters/080-funktionentheorie/carlson.tex}
+\input{chapters/080-funktionentheorie/singularitaeten.tex}
diff --git a/buch/chapters/080-funktionentheorie/images/operator-1.pdf b/buch/chapters/080-funktionentheorie/images/operator-1.pdf
new file mode 100644
index 0000000..4ba1346
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/080-funktionentheorie/images/operator-1.pdf
diff --git a/buch/chapters/080-funktionentheorie/images/operator.mp b/buch/chapters/080-funktionentheorie/images/operator.mp
new file mode 100644
index 0000000..35f4303
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/080-funktionentheorie/images/operator.mp
@@ -0,0 +1,46 @@
+%
+% operatormp -- Seitz-Kull-Operator in Metapost
+%
+% (c) 2016 Prof Dr Andreas Mueller, Hochschule Rapperswil
+%
+verbatimtex
+\documentclass{book}
+\usepackage{times}
+\usepackage{amsmath}
+\usepackage{amssymb}
+\usepackage{amsfonts}
+\usepackage{txfonts}
+\begin{document}
+etex;
+
+beginfig(1)
+
+label(btex $A$ etex, (0,0));
+
+path circle;
+
+numeric r;
+r := 4.7;
+numeric b;
+b := 0.45;
+
+circle := r * (cosd(40), sind(40));
+
+for alpha = 41 step 1 until 370:
+	circle := circle--(r * (cosd(alpha), sind(alpha)));
+endfor;
+
+path head;
+head := (0,0)--(5,-3)--(0,6)--(-5,-3)--cycle;
+
+z1 = (-0.3,-0.4);
+
+pickup pencircle scaled b;
+draw circle shifted z1;
+fill head scaled 0.2 rotated 10 shifted (r,0) rotated 10 shifted z1;
+
+endfig;
+
+end
+
+
diff --git a/buch/chapters/080-funktionentheorie/singularitaeten.tex b/buch/chapters/080-funktionentheorie/singularitaeten.tex
new file mode 100644
index 0000000..71d1844
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/080-funktionentheorie/singularitaeten.tex
@@ -0,0 +1,427 @@
+%
+% singularitaeten.tex
+%
+% (c) 2022 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\newcommand*\sk{\vcenter{\hbox{\includegraphics[scale=0.8]{chapters/080-funktionentheorie/images/operator-1.pdf}}}}
+
+\subsection{Lösungen von linearen Differentialgleichungen mit Singularitäten
+\label{buch:funktionentheorie:subsection:dglsing}}
+Die Potenzreihenmethode hat ermöglicht, mindestens eine Lösung gewisser
+linearer Differentialgleichungen zu finden.
+Bei Differentialgleichungen wie der Besselschen Differentialgleichung,
+deren Koeffizienten Singularitäten aufweisen, konnte aber nur eine
+Lösung gefunden werden, während die Theorie verlangt, dass eine
+Differentialgleichung zweiter Ordnung zwei linear unabhängige Lösungen
+haben muss.
+
+Ziel dieses Abschnitts ist zu zeigen, warum dies nicht möglich war und
+wie diese Schwierigkeit mit Hilfe der analytischen Fortsetzung überwunden
+werden kann.
+
+\subsubsection{Differentialgleichungen mit Singularitäten}
+Mit der Besselschen
+Differentialgleichung~\eqref{buch:differentialgleichungen:eqn:bessel}
+ist es nicht möglich, die zweite Ableitung $y''(0)$ an der Stelle $x=0$
+zu bestimmen.
+Die Differentialgleichung kann an der Stelle $x=0$ nicht nach $y''$
+aufgelöst werden.
+Wenn man die Differentialgleichung in ein Differntialgleichungssystem
+\[
+\frac{d}{dx}
+\begin{pmatrix}
+y_1\\y_2
+\end{pmatrix}
+=
+\begin{pmatrix}
+0&1\\
+1-\frac{\alpha^2}{x^2}
+&
+-\frac{1}{x}
+\end{pmatrix}
+\begin{pmatrix}
+y_1\\y_2
+\end{pmatrix}
+\]
+erster Ordnung umwandelt, zeigt sich an der Stelle $x=0$ eine
+Singularität in der Matrix, die Ableitung kann also für $x=0$
+nicht bestimmt werden.
+In einer Umgebung von $x=0$ erfüllt die Differentialgleichung
+die Voraussetzungen bekannter Existenz- und Eindeutigkeitssätze
+für gewöhnliche Differentialgleichungen nicht.
+
+Ein ähnliches Problem tritt bei jeder hypergeometrischen
+Differentialgleichung auf.
+Diese werden gemäss Abschnitt
+\ref{buch:differentialgleichungen:section:hypergeometrisch}
+aus den Differentialoperatoren
+\[
+D_a=z\frac{d}{dz} + a
+\]
+zusammengesetzt.
+Die Ableitung höchster Ordnung eines Produktes solcher Operationen ist
+\[
+D_{a_1}
+\cdots
+D_{a_p}
+=
+z^p\frac{d^p}{dz^p} + \text{Ableitungen niedrigerer Ordnung}.
+\]
+Dies zeigt, dass für $p>0$ oder $q>0$ ein Faktor $x$ bei der
+Ableitung höchster Ordnung unvermeidlich ist, die Differentialgleichung
+kann also wieder nicht nach dieser Ableitung aufgelöst werden und
+erfüllt die Voraussetzungen der Existenz- und Eindeutigkeitssätze
+in einer Umgebung von $x=0$ wieder nicht.
+
+Die Besselsche Differentialgleichung
+hat auch nicht die Form $y''+p(x)xy'+q(x)=0$, die der Theorie der 
+Indexgleichung zugrunde lag.
+Daher kann es auch keine Garantie geben, dass die Methode der
+verallgemeinerten Potenzreihen zwei linear unabhängige Lösungen
+liefern kann.
+Tatsächlich wurde für ganzzahlige $n$ wegen $J_n(x) = (-1)^n J_{-n}(x)$
+nur eine Lösung statt der erwarteten zwei linear unabhängigen
+Lösungen gefunden.
+
+Sind die Koeffizienten einer linearen Differentialgleichungen wie
+in den genannten Beispielen singulär bei $x=0$, kann man auch nicht
+erwarten, dass die Lösungen singulär sind.
+Dies war schliesslich die Motivation, einen Lösungsansatz mit einer
+verallgemeinerten Potenzreihe zu versuchen.
+Mit den Funktion $x^\varrho$ lässt sich bereits eine recht grosse
+Klasse von Singularitäten beschreiben, aber es ist nicht klar,
+welche weiteren Arten von Singularitäten berücksichtigt werden sollten.
+Dies soll im Folgenden geklärt werden.
+
+\subsubsection{Der Lösungsraum einer Differentialgleichung zweiter Ordnung}
+Eine Differentialgleichung $n$-ter Ordnung hat lokal einen $n$-dimensionalen
+Vektorraum als Lösungsraum.
+
+\begin{definition}
+Sei 
+\begin{equation}
+\sum_{k=0}^n a_k(x) y^{(n)}(x) = 0
+\label{buch:funktionentheorie:singularitaeten:eqn:defdgl}
+\end{equation}
+eine Differentialgleichung $n$-ter Ordnung mit analytischen Koeffizienten
+und $x_0\in \mathbb{C}$.
+Dann ist
+\[
+\mathbb{L}_{x_0}
+=
+\left\{
+y(x)
+\;\left|\;
+\begin{minipage}{6cm}
+$y$ ist Lösung der Differentialgleichung
+\eqref{buch:funktionentheorie:singularitaeten:eqn:defdgl}
+in einer Umgebung von $x_0$
+\end{minipage}
+\right.
+\right\}
+\]
+der Lösungsraum der Differentialgleichung
+\eqref{buch:funktionentheorie:singularitaeten:eqn:defdgl}.
+Wenn der Punkt $x_0$ aus dem Kontext klar ist, kann er auch weggelassen
+werden: $\mathbb{L}_{x_0}=\mathbb{L}$.
+\end{definition}
+
+\subsubsection{Analytische Fortsetzung auf einem Weg um $0$}
+Die betrachteten Differentialgleichungen haben holomorphe
+Koeffizienten, Lösungen der Differentialgleichung lassen sich
+daher immer in die komplexe Ebene fortsetzen, solange man die
+Singularitäten der Koeffizienten vermeidet.
+Hat eine Funktion $y(z)$ eine Laurent-Reihe
+\[
+y(z) = \sum_{k=-\infty}^\infty a_kz^k,
+\]
+dann ist sie automatisch in einer Umgebung von $0$ definiert
+ausser in $0$.
+Die analytische Fortsetzung entlang eines Pfades, der $0$
+umschliesst, ist die Funktion $y(z)$ selbst.
+
+Für die Wurzelfunktion $y(z)=z^{\frac1n}$ ist dies nicht möglich.
+Die analytische Fortsetzung von $\sqrt[n]{x}$ auf der positiven reellen
+Achse entlang einer Kurve, die $0$ umschliesst,
+produziert die Funktion
+\[
+\sqrt[n]{z}
+=
+\sqrt[n]{re^{i\varphi}}
+=
+\sqrt[n]{r}e^{i\frac{\varphi}n},
+\]
+die für $\varphi=2\pi$ zu $e^{i\frac{2\pi}n}\sqrt{x}$ wird.
+Verallgemeinerte Potenzreihen als Lösungen zeigen daher, dass
+die analytische Fortsetzung der Lösung entlang eines Pfades um
+eine Singularität nicht mit der Lösung übereinstimmen muss.
+Das Studium dieser analytischen Fortsetzung dürfte daher zusätzliche
+Informationen über die Lösung hervorbringen.
+
+\begin{definition}
+Der {\em Fortsetzungsoperator} $\sk$ ist der lineare Operator, der eine
+in einem Punkt $x\in\mathbb{R}^+$ analytische Funktion $f(x)$ entlang eines
+geschlossenen Weges fortsetzt, der $0$ im Gegenuhrzeigersinn umläuft.
+Die Einschränkung der analytischen Fortsetzung auf $\mathbb{R}^+$ wird
+mit $\sk f(x)$ bezeichnet.
+\end{definition}
+
+Die obengenannten Beispiele lassen sich mit dem Operator $\sk$ als
+\[
+\begin{aligned}
+\sk z^n
+&=
+z^n
+&\qquad& n \in \mathbb{Z}
+\\
+\sk
+\sum_{k=-\infty}^\infty a_kz^k
+&=
+\sum_{k=-\infty}^\infty a_kz^k
+\\
+\sk z^\varrho
+&=
+e^{2\pi i\varrho} z^\varrho
+\end{aligned}
+\]
+schreiben.
+
+\subsubsection{Rechenregeln für die analytische Fortsetzung}
+Der Operator $\sk$ ist ein Algebrahomomorphismus, d.~h.~für zwei analytische
+Funktionen $f$ und $g$ gilt
+\[
+\begin{aligned}
+\sk(\lambda f + \mu g)
+&=
+\lambda \sk f  + \mu \sk g
+\\
+\sk(fg)
+&=
+(\sk f)(\sk g)
+\end{aligned}
+\]
+für beliebige $\lambda,\mu\in\mathbb{C}$.
+Ist $f$ eine in ganz $\mathbb{C}$ holomorphe Funktion, dann lässt sie
+sich mit Hilfe einer Potenzreihe berechnen.
+Der Wert $f(g(z))$ entsteht durch Einsetzen von $g(z)$ in die Potenzreihe.
+Analytische Fortsetzung mit $\sk$ reproduziert jeden einzelnen Term
+der Potenzreihe, es folgt
+$\sk f(g(z)) = f(\sk g(z))$.
+Ebenso folgt auch, dass der Operator $\sk$ mit der Ableitung
+vertauscht, dass also
+\[
+\frac{d^n}{dz^n}(\sk f)
+=
+\sk(f^{(n)}).
+\]
+
+
+\subsubsection{Analytische Fortsetzung von Lösungen einer Differentialgleichung}
+Wir untersuchen jetzt die Wirkung des Operators $\sk$ auf
+den Lösungsraum $\mathbb{L}$ einer Differentialgleichung mit
+analytischen Koeffizienten, die in einer Umgebung von $0$
+definiert sind.
+Auf den Koeffizienten wirkt $\sk$ als die Identität. 
+Ist $y(x)$ eine Lösung der Differentialgleichung, dann gilt
+\[
+0
+=
+\sk\biggl(
+\sum_{k=0}^n a_k(x) y^{(n)}(x)
+\biggr)
+=
+\sum_{k=0}^n (\sk a_k)(x) \cdot (\sk y)^{(n)}(x)
+=
+\sum_{k=0}^n a_k(x) \cdot (\sk y)^{(n)}(x),
+\]
+somit ist $\sk y$ ebenfalls eine Lösung.
+Wir schliessen daraus, dass $\sk$ eine lineare Abbildung 
+$\mathbb{L}\to\mathbb{L}$ ist.
+
+Der Lösungsraum einer Differentialgleichung $n$-ter Ordnung
+ist $n$-dimensional.
+Nach Wahl einer Basis des Lösungsraums kann der Operator $\sk$
+mit Hilfe einer Matrix $A\in M_{n\times n}(\mathbb{C})$ beschrieben werden.
+Sei $\mathscr{W}=\{w_1,\dots,w_n\}$ eine Basis des Lösungsraums, dann
+kann $\sk w_j$ wieder eine Lösung der Differentialgleichung
+und kann daher geschrieben werden als Linearkombination
+\begin{equation}
+\sk w_j
+=
+\sum_{k=1}^n
+a_{jk} w_k
+\end{equation}
+der Funktionen in $\mathscr{W}$.
+
+Die Matrix $A$ mit den Einträgen $a_{jk}$ kann durch Wahl einer
+geeigneten Basis in besonders einfache Form gebracht.
+Wir führen diese Diskussion im folgenden nur für eine Differentialgleichung
+zweiter Ordnung $n=2$.
+
+
+\subsubsection{Fall $A$ diagonalisierbar: verallgemeinerte Potenzreihen}
+In diesem Fall kann man die Lösungsfunktionen $w_1$ und $w_2$ so
+wählen, dass die Matrix
+\[
+A=\begin{pmatrix}\lambda_1&0\\0&\lambda_2\end{pmatrix}
+\]
+diagonal wird mit Eigenwerten $\lambda_j$, $j=1,2$.
+Dies bedeutet, dass $\sk w_j = \lambda_j w_j$.
+Wir schreiben
+\[
+\varrho_j = \frac{1}{2\pi i} \log\lambda_j.
+\]
+Der Logarithmus ist nicht eindeutig, er ist nur bis auf ein Vielfaches
+von $2\pi i$ bestimmt.
+Folglich aus auch $\varrho_j$ nicht eindeutig bestimmt, eine
+andere Wahl des Logarithmus ändert $\varrho_j$ aber um eine ganze Zahl.
+
+Die Funktion $z^{\varrho_j}$ wird unter der Wirkung von $\sk$ zu
+\[
+\sk z^{\varrho_j}
+=
+e^{2\pi i\varrho_j} z^{\varrho_j}
+=
+e^{\log \lambda_j} z^{\varrho_j}
+=
+\lambda_j z^{\varrho_j}.
+\]
+Auf den Funktionen $z^{\varrho_j}$ und $w_j$ wirkt der Operator $\sk$
+also die gleich durch Multiplikation mit $\lambda_j$.
+Deren Quotient
+\[
+f(z) = \frac{w_j(z)}{z^{\varrho_j}}
+\qquad\text{erfüllt}\qquad
+\sk f
+=
+\frac{\sk w_j}{\sk z^{\varrho_j}}
+=
+\frac{\lambda_j w_j}{\lambda_j z^{\varrho_j}}
+=
+\frac{w_j}{z^{\varrho_j}}
+=
+f.
+\]
+Die Funktion $f$ kann daher als Laurent-Reihe
+\[
+f(z) 
+=
+\sum_{k=-\infty}^\infty a_kz^k
+\]
+geschrieben werden.
+Die Lösung $w_2(z)$ muss daher die Form
+\begin{equation}
+w_j(z)
+=
+z^{\varrho_j} f(z)
+=
+z^{\varrho_j} \sum_{k=-\infty}^\infty a_kz^k
+\end{equation}
+haben, also die einer verallgemeinerten Potenzreihe.
+Auch hier zeigt sich, dass die Wahl des Logarithmus in der Definition
+von $\varrho_j$ unbedeutend ist, sie äussert sich nur in einer
+Verschiebung der Koeffizienten $a_k$.
+
+Falls der Operator $\sk$ also diagonalisierbar ist, dann gibt es
+zwei linear unabhängige Lösungen der Differentialgleichung in der
+Form einer verallgemeinerten Potenzreihe.
+
+\subsubsection{Fall $A$ nicht diagonalisierbar: logarithmische Lösungen}
+Falls die Matrix $A$ nicht diagonalisierbar ist, hat sie nur einen
+Eigenwert $\lambda$ und kann durch geeignete Wahl einer Basis in
+Jordansche Normalform
+\[
+A
+=
+\begin{pmatrix}
+\lambda &    1    \\
+   0    & \lambda
+\end{pmatrix}
+\]
+gebracht werden.
+Dies bedeutet, dass
+\begin{align*}
+\sk w_1 &= \lambda w_1 + w_2
+\\
+\sk w_2 &= \lambda w_2.
+\end{align*}
+Die Funktion $w_2$ hat unter $\sk$ die gleichen Eigenschaften
+wie im diagonalisierbaren Fall, man kann also wieder schliessen,
+dass $w_2$ durch eine verallgemeinerte Potenzreihe mit
+\[
+\varrho=\frac{1}{2\pi i} \log \lambda
+\]
+dargestellt werden kann.
+
+Für den Quotienten $w_1/w_2$ findet man jetzt das Bild
+\begin{equation}
+\sk \frac{w_1}{w_2}
+=
+\frac{\sk w_1}{\sk w_2}
+=
+\frac{\lambda w_1+w_2}{\lambda w_2}
+=
+\frac{w_1}{w_2} + \frac{1}{\lambda}
+\label{buch:funktionentheorie:singularitaeten:sklog}
+\end{equation}
+Das Verhalten von $w_1$ unter $\sk$ in
+\eqref{buch:funktionentheorie:singularitaeten:sklog}
+ist dasselbe wie bei $\log(z)/\lambda$, denn
+\[
+\sk \frac{\log(z)}{\lambda}
+=
+\frac{\log(z)}{\lambda} + 1.
+\]
+Die Differenz $w_1-\log(z)/\lambda$ wird bei der analytischen
+Fortsetzung zu
+\[
+\sk\biggl(
+\frac{w_1}{w_2}-\frac{\log(z)}{\lambda}
+\biggr)
+=
+\sk \frac{w_1}{w_2} - \sk\frac{\log(z)}{\lambda}
+=
+\frac{w_1}{w_2} + \frac{1}{\lambda}
+-
+\frac{\log(z)}{\lambda}
+-\frac{1}{\lambda}
+=
+\frac{w_1}{w_2}-\frac{\log(z)}{\lambda}.
+\]
+Die Differenz ist daher wieder als Laurent-Reihe
+\[
+\frac{w_1}{w_2}-\frac{\log(z)}{\lambda}
+=
+\sum_{k=-\infty}^\infty b_kz^k
+\]
+darstellbar, was nach $w_1$ aufgelöst 
+\[
+w_1(z)
+=
+\frac{1}{\lambda} \log(z) w_2(z)
++
+w_2(z) \sum_{k=-\infty}^\infty b_kz^k
+\]
+ergibt.
+Da $w_2$ eine verallgemeinerte Potenzreihe ist, kann man dies auch
+als
+\begin{equation}
+w_1(z)
+=
+c \log(z) w_2(z)
++
+z^{\varrho}
+\sum_{k=-\infty}^{\infty} c_kz^k
+\label{buch:funktionentheorie:singularitäten:eqn:w1}
+\end{equation}
+schreiben, wobei Konstanten $c$ und $c_k$ noch bestimmt werden müssen.
+Setzt man
+\eqref{buch:funktionentheorie:singularitäten:eqn:w1}
+in die ursprüngliche Differentialgleichung ein, verschwindet der
+$\log(z)$-Term und für die verbleibenden Koeffizienten kann die
+bekannte Methode des Koeffizientenvergleichs verwendet werden.
+
+\subsubsection{Bessel-Funktionen zweiter Art}
+
+
+
diff --git a/buch/chapters/090-pde/Makefile.inc b/buch/chapters/090-pde/Makefile.inc
index a9ef74a..5b52d27 100644
--- a/buch/chapters/090-pde/Makefile.inc
+++ b/buch/chapters/090-pde/Makefile.inc
@@ -4,10 +4,11 @@
 # (c) 2022 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
 #
 
-CHAPTERFILES = $(CHAPTERFILES)						\
+CHAPTERFILES += 							\
 	chapters/090-pde/gleichung.tex					\
 	chapters/090-pde/separation.tex					\
 	chapters/090-pde/rechteck.tex					\
 	chapters/090-pde/kreis.tex					\
 	chapters/090-pde/kugel.tex					\
+	chapters/090-pde/uebungsaufgaben/901.tex			\
 	chapters/090-pde/chapter.tex
diff --git a/buch/chapters/090-pde/chapter.tex b/buch/chapters/090-pde/chapter.tex
index db909ee..a393da5 100644
--- a/buch/chapters/090-pde/chapter.tex
+++ b/buch/chapters/090-pde/chapter.tex
@@ -21,11 +21,11 @@ deren Lösungen spezielle Funktionen sind.
 \input{chapters/090-pde/kreis.tex}
 \input{chapters/090-pde/kugel.tex}
 
-%\section*{Übungsaufgaben}
-%\rhead{Übungsaufgaben}
-%\aufgabetoplevel{chapters/020-exponential/uebungsaufgaben}
-%\begin{uebungsaufgaben}
-%\uebungsaufgabe{0}
+\section*{Übungsaufgaben}
+\rhead{Übungsaufgaben}
+\aufgabetoplevel{chapters/090-pde/uebungsaufgaben}
+\begin{uebungsaufgaben}
+\uebungsaufgabe{901}
 %\uebungsaufgabe{1}
-%\end{uebungsaufgaben}
+\end{uebungsaufgaben}
 
diff --git a/buch/chapters/090-pde/gleichung.tex b/buch/chapters/090-pde/gleichung.tex
index 7f65f06..583895d 100644
--- a/buch/chapters/090-pde/gleichung.tex
+++ b/buch/chapters/090-pde/gleichung.tex
@@ -5,6 +5,7 @@
 %
 \section{Gleichungen und Randbedingungen
 \label{buch:pde:section:gleichungen-und-randbedingungen}}
+\rhead{Gebiete, Gleichungen und Randbedingungen}
 
 \subsection{Gebiete, Differentialoperatoren, Randbedingungen}
 
diff --git a/buch/chapters/090-pde/kreis.tex b/buch/chapters/090-pde/kreis.tex
index a24b6bb..a8cab3e 100644
--- a/buch/chapters/090-pde/kreis.tex
+++ b/buch/chapters/090-pde/kreis.tex
@@ -5,6 +5,7 @@
 %
 \section{Kreisförmige Membran
 \label{buch:pde:section:kreis}}
+\rhead{Kreisförmige Membran}
 In diesem Abschnitt soll die Differentialgleichung einer kreisförmigen
 Membran mit Hilfe der Separationsmethode gelöst werden.
 Dabei werden die Bessel-Funktionen als Lösungsfunktionen 
@@ -32,7 +33,7 @@ Der Laplace-Operator hat in Polarkoordinaten die Form
 \frac1r
 \frac{\partial}{\partial r}
 +
-\frac{1}{r 2}
+\frac{1}{r^2}
 \frac{\partial^2}{\partial\varphi^2}.
 \label{buch:pde:kreis:laplace}
 \end{equation}
@@ -120,7 +121,7 @@ für $\Phi(\varphi)$.
 Die Gleichung für $\Phi$ hat für $\mu\ne 0$ die Lösungen
 \begin{align*}
 \Phi(\varphi) &= \cos\mu\varphi
-\text{und}\qquad
+&&\text{und}&
 \Phi(\varphi) &= \sin\mu\varphi.
 \end{align*}
 Die Lösung muss aber auch stetig sein, d.~h.~es muss $\Phi(0)=\Phi(2\pi)$
diff --git a/buch/chapters/090-pde/kugel.tex b/buch/chapters/090-pde/kugel.tex
index 0e3524f..ee56316 100644
--- a/buch/chapters/090-pde/kugel.tex
+++ b/buch/chapters/090-pde/kugel.tex
@@ -5,4 +5,386 @@
 %
 \section{Kugelfunktionen
 \label{buch:pde:section:kugel}}
+\rhead{Kugelfunktionen}
+Kugelsymmetrische Probleme können oft vorteilhaft in Kugelkoordinaten
+beschrieben werden.
+Die Separationsmethode kann auf partielle Differentialgleichungen
+mit dem Laplace-Operator angewendet werden.
+Die daraus resultierenden gewöhnlichen Differentialgleichungen führen
+einerseits auf die Laguerre-Differentialgleichung für den radialen
+Anteil sowie auf Kugelfunktionen für die Koordinaten der
+geographischen Länge und Breite.
+
+\subsection{Kugelkoordinaten}
+Wir verwenden Kugelkoordinaten $(r,\vartheta,\varphi)$, wobei $r$
+der Radius ist, $\vartheta$ die geographische Breite gemessen vom
+Nordpol der Kugel und $\varphi$ die geographische Breite.
+Der Definitionsbereich für Kugelkoordinaten ist
+\[
+\Omega
+=
+\{(r,\vartheta,\varphi)
+\;|\;
+r\ge 0\wedge 
+0\le \vartheta\le \pi\wedge
+0\le \varphi< 2\pi
+\}.
+\]
+Die Entfernung eines Punktes von der $z$-Achse ist $r\sin\vartheta$.
+Daraus lassen sich die karteischen Koordinaten eines Punktes mit Hilfe
+von
+\[
+\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}
+=
+\begin{pmatrix}
+r\cos\vartheta\\
+r\sin\vartheta\cos\varphi\\
+r\sin\vartheta\sin\varphi
+\end{pmatrix}.
+\]
+Man beachte, dass die Punkte auf der $z$-Achse keine eindeutigen
+Kugelkoordinaten haben.
+Sie sind charakterisiert durch $r\sin\vartheta=0$, was $\cos\vartheta=\pm1$
+impliziert.
+Entsprechend führen alle Werte von $\varphi$ auf den gleichen Punkt
+$(0,0,\pm r)$.
+
+\subsection{Der Laplace-Operator in Kugelkoordinaten}
+Der Laplace-Operator in Kugelkoordinaten lautet
+\begin{align}
+\Delta
+&=
+\frac{1}{r^2} \frac{\partial}{\partial r}r^2\frac{\partial}{\partial r}
++
+\frac{1}{r^2\sin\vartheta}\frac{\partial}{\partial\vartheta}
+\sin\vartheta\frac{\partial}{\partial\vartheta}
++
+\frac{1}{r^2\sin^2\vartheta}\frac{\partial^2}{\partial\varphi^2}.
+\label{buch:pde:kugel:laplace1}
+\intertext{Dies kann auch geschrieben werden als}
+&=
+\frac{\partial^2}{\partial r^2}
++
+\frac{2}{r}\frac{\partial}{\partial r}
++
+\frac{1}{r^2\sin\vartheta}\frac{\partial}{\partial\vartheta}
+\sin\vartheta\frac{\partial}{\partial\vartheta}
++
+\frac{1}{r^2\sin^2\vartheta}\frac{\partial^2}{\partial\varphi^2}
+\label{buch:pde:kugel:laplace2}
+\intertext{oder}
+&=
+\frac{1}{r}
+\frac{\partial^2}{\partial r^2} r
++
+\frac{1}{r^2\sin\vartheta}\frac{\partial}{\partial\vartheta}
+\sin\vartheta\frac{\partial}{\partial\vartheta}
++
+\frac{1}{r^2\sin^2\vartheta}\frac{\partial^2}{\partial\varphi^2}.
+\label{buch:pde:kugel:laplace3}
+\end{align}
+Dabei ist zu berücksichtigen, dass mit der Notation gemeint ist,
+dass ein Ableitungsoperator auf alles wirkt, was rechts im gleichen
+Term steht.
+Der Operator
+\[
+\frac{1}{r}
+\frac{\partial^2}{\partial r^2}r
+\quad\text{wirkt daher als}\quad
+\frac{1}{r}
+\frac{\partial^2}{\partial r^2}rf
+=
+\frac{1}{r}
+\frac{\partial}{\partial r}\biggl(f + r\frac{\partial f}{\partial r}\biggr)
+=
+\frac{1}{r}
+\frac{\partial f}{\partial r}
++
+\frac{1}{r}
+\frac{\partial f}{\partial r}
++
+\frac{\partial^2f}{\partial r^2}.
+=
+\frac{2}{r}\frac{\partial f}{\partial r}
++
+\frac{\partial^2f}{\partial r^2},
+\]
+was die Äquivalenz der beiden Formen
+\eqref{buch:pde:kugel:laplace2}
+und
+\eqref{buch:pde:kugel:laplace3}
+rechtfertigt.
+Auch die Äquivalenz mit
+\eqref{buch:pde:kugel:laplace1}
+kann auf ähnliche Weise verstanden werden.
+
+Die Herleitung dieser Formel ist ziemlich aufwendig und soll hier
+nicht dargestellt werden.
+Es sei aber darauf hingewiesen, dass sich für $\vartheta=\frac{\pi}2$ 
+wegen $\sin\vartheta=\sin\frac{\pi}2=1$
+der eingeschränkte Operator
+\[
+\Delta
+= 
+\frac{1}{r^2}\frac{\partial }{\partial r} r^2\frac{\partial}{\partial r}
++
+\frac{1}{r^2}\frac{\partial^2}{\partial\varphi^2}
+\]
+ergibt.
+Wendet man wie oben die Produktregel auf den ersten Term an, entsteht die
+Form
+\[
+\frac{\partial^2}{\partial r^2}
++
+\frac{2}{r}
+\frac{\partial}{\partial r}
++
+\frac{1}{r^2}\frac{\partial^2}{\partial\varphi^2}
+\]
+die {\em nicht} übereinstimmt mit dem Laplace-Operator in 
+Polarkoordinaten~\eqref{buch:pde:kreis:laplace}.
+Der Unterschied rührt daher, dass der Laplace-Operator die Krümmung
+der Koordinatenlinien berücksichtigt, in diesem Fall der Meridiane.
+
+\subsection{Separation}
+In Abschnitt~\ref{buch:pde:subsection:eigenwertproblem}
+wurde bereits gzeigt, wie die Wellengleichung
+\[
+\frac{1}{c^2}
+\frac{\partial^2 U}{\partial t^2}
+-\Delta U
+=
+0
+\]
+durch Separation der Zeit auf ein Eigenwertproblem für eine
+Funktion $u$ reduziert werden kann, die nur von den Ortskoordinaten
+abhängt.
+Es geht also nur noch darum, dass Eigenwertproblem
+\[
+\Delta u = -\lambda^2 u
+\]
+mit geeigneten Randbedingungen zu lösen.
+Dazu gehören einerseits eventuelle Gebietsränder, die im Moment
+nicht interessieren.
+Andererseits muss sichergestellt sein, dass die Lösungsfunktionen
+stetig und differentierbar sind an den Orten, wo das Koordinatensystem
+singulär ist.
+So müssen $u(r,\vartheta,\varphi)$ $2\pi$-periodisch in $\varphi$ sein.
+% XXX Ableitungen
+
+\subsubsection{Separation des radialen Anteils}
+Für das Eigenwertproblem verwenden wir den Ansatz
+\[
+u(r,\vartheta,\varphi)
+=
+R(r) \Theta(\vartheta) \Phi(\varphi),
+\]
+den wir in die Differentialgleichung einsetzen.
+So erhalten wir
+\[
+\biggl(\frac{1}{r^2}R''(r)+\frac{2}{r}R'(r) \biggr)
+\Theta(\vartheta)\Phi(\varphi)
++
+R(r)
+\frac{1}{r^2\sin\vartheta}
+\frac{\partial}{\partial\vartheta}(\sin\vartheta \Theta'(\vartheta))
+\Phi(\varphi)
++
+R(r)\Theta(\vartheta)
+\frac{1}{r^2\sin\vartheta} \Phi''(\varphi)
+=
+-\lambda^2 R(r)\Theta(\vartheta)\Phi(\varphi).
+\]
+Die Gleichung lässt sich nach Multiplikation mit $r^2$ und
+Division durch $u$ separieren in 
+\begin{equation}
+\frac{R''(r)+2rR'(r)+\lambda^2r^2}{R(r)}
++
+\frac{1}{\Theta(\vartheta) \sin\vartheta}
+\frac{\partial}{\partial\vartheta}\sin\vartheta\Theta'(\vartheta)
++
+\frac{1}{\sin^2\vartheta}\frac{\Phi''(\varphi)}{\Phi(\varphi)}
+=
+0
+\label{buch:pde:kugel:separiert2}
+\end{equation}
+Der erste Term hängt nur von $r$ ab, die anderen nur von $\vartheta$ und
+$\varphi$, daher muss der erste Term konstant sein.
+Damit ergbit sich für den Radialanteil die gewöhnliche Differentialgleichung
+\[
+R''(r) + 2rR'(r) +\lambda^2 r^2 = \mu^2 R(r),
+\]
+die zum Beispiel mit der Potenzreihenmethode gelöst werden kann.
+Sie kann aber durch eine geeignete Substition nochmals auf die
+Laguerre-Differentialgleichung reduziert werden, wie in
+Kapitel~\ref{chapter:laguerre} dargelegt wird.
+
+\subsubsection{Kugelflächenanteil}
+Für die Separation der verbleibenden winkelabhängigen Teile muss die
+Gleichung
+\[
+\frac{1}{\Theta(\vartheta) \sin\vartheta}
+\frac{\partial}{\partial\vartheta}\sin\vartheta\Theta'(\vartheta)
++
+\frac{1}{\sin^2\vartheta}\frac{\Phi''(\varphi)}{\Phi(\varphi)}
+=
+-\mu^2
+\]
+mit $\sin^2\vartheta$ multipliziert werden, was auf
+\[
+\frac{\sin\vartheta}{\Theta(\vartheta)}
+\frac{\partial}{\partial\vartheta}\sin\vartheta\Theta'(\vartheta)
++
+\frac{\Phi''(\varphi)}{\Phi(\varphi)}
+=
+-\mu^2\sin^2\vartheta
+\quad\Rightarrow\quad
+\frac{\sin\vartheta}{\Theta(\vartheta)}
+\frac{\partial}{\partial\vartheta}\sin\vartheta\Theta'(\vartheta)
++
+\mu^2\sin^2\vartheta
+=
+-
+\frac{\Phi''(\varphi)}{\Phi(\varphi)}
+\]
+führt.
+Die linke Seite der letzten Gleichung hängt nur von $\vartheta$
+ab, die rechte nur von $\varphi$, beide Seiten müssen daher
+konstant sein, wir bezeichnen diese Konstante mit $\alpha^2$.
+So ergibt sich die Differentialgleichung
+\[
+\alpha^2
+=
+-\frac{\Phi''(\varphi)}{\Phi(\varphi)}
+\]
+für die Abhängigkeit von $\varphi$, mit der allgemeinen Lösung
+\[
+\Phi(\varphi)
+=
+A\cos\alpha \varphi
++
+B\sin\alpha \varphi.
+\]
+Die Randbedingungen verlangen, dass $\Phi(\varphi)$ eine $2\pi$-periodische
+Funktion ist, was genau dann möglich ist, wenn $\alpha=m$ ganzzahlig ist.
+Damit ergibt sich für die $\vartheta$-Abhängigkeit die Differentialgleichung
+\begin{equation}
+\frac{\sin\vartheta}{\Theta(\vartheta)}
+\frac{\partial}{\partial\vartheta}\sin\vartheta\Theta'(\vartheta)
++
+\mu^2\sin^2\vartheta
+=
+m^2.
+\label{buch:pde:kugel:eqn:thetaanteil}
+\end{equation}
+
+\subsubsection{Abhängigkeit von $\vartheta$}
+Die Differentialgleichung~\eqref{buch:pde:kugel:eqn:thetaanteil}
+ist etwas unhandlich, daher verwenden wir die Substitution $z=\cos\vartheta$,
+um die trigonometrischen Funktionen los zu werden.
+Wegen
+\[
+\frac{dz}{d\vartheta} = -\sin\vartheta =-\sqrt{1-z^2}
+\]
+können die Ableitungen nach $\vartheta$ auch durch Ableitungen nach $z$
+ausgedrückt werden.
+Wir schreiben dazu $Z(z)=\Theta(\vartheta)$ und berechnen 
+\[
+\Theta'(\vartheta)
+=
+\frac{d\Theta}{d\vartheta}
+=
+\frac{dZ}{dz}\frac{dz}{d\vartheta}
+=
+-
+\sqrt{1-z^2}
+Z'(z).
+\]
+Dies bedeutet auch, dass
+\[
+\sin\vartheta\frac{d}{d\vartheta}
+=
+-
+(1-z^2)\frac{d}{dz},
+\]
+damit lässt sich die Differentialgleichung für $\Theta(\vartheta)$ umschreiben
+in eine Differentialgleichung für $Z(z)$, nämlich
+\[
+(1-z^2)\frac{d}{dz}(1-z^2)\frac{d}{dz} Z(z)
++
+\mu^2
+(1-z^2)
+Z(z)
+=
+m^2
+Z(z).
+\]
+Indem man die Ableitung im ersten Term mit Hilfe der Produktregel
+ausführt, kann man die Gleichung
+\[
+(1-z^2)\biggl(
+-2zZ'(z) + (1-z^2)Z''(z)
+\biggr)
++
+\mu^2(1-z^2)Z(z)
+=
+-m^2 Z(z)
+\]
+bekommen.
+Division durch $1-z^2$ ergibt die
+{\em Legendre-Differentialgleichung}
+\begin{equation}
+(1-z^2)Z''(z)
+-2zZ'(z)
++
+\biggl(
+\mu^2 - \frac{m^2}{1-z^2}
+\biggr)
+Z(z)
+=
+0.
+\label{buch:pde:kugel:eqn:legendre-dgl}
+\end{equation}
+Eine Diskussion der Lösungen dieser Differentialgleichung erfolgt im
+Kapitel~\ref{chapter:kugel}.
+
+\subsection{Kugelfunktionen}
+Die Legendre-Differentialgleichung~\eqref{buch:pde:kugel:eqn:legendre-dgl}
+hat Lösungen für Werte von $\mu$ derart, dass $\mu^2=l(l+1)$ für natürliche
+Zahlen $l$.
+Die Lösungen sind sogar Polynome, die wir mit $P_l^{(m)}(z)$ 
+bezeichnen, dabei ist $m$ eine ganze Zahl mit $-l\le m\le l$.
+Die Funktionen $P_l^{(m)}(\cos\vartheta)e^{im\varphi}$ 
+sind daher alle Lösungen des von $\vartheta$ und $\varphi$
+abhängigen Teils der Lösungen des Eigenwertproblems.
+Mit einer geeigneten Normierung kann man zudem eine Familie von
+bezüglich des Skalarproduktes
+\[
+\langle f,g\rangle_{S^2}
+=
+\int_{-\pi}^{\pi}
+\int_{0}^{\pi}
+\overline{f(\vartheta,\varphi)}
+g(\vartheta,\varphi)
+\sin\vartheta
+\,d\vartheta
+\,d\varphi
+\]
+orthonormiete Funktionen auf der Kugeloberfläche erhalten, die
+man normalerweise als 
+\[
+Y_{lm}(\vartheta,\varphi)
+=
+\frac{1}{\sqrt{2\pi}}
+\sqrt{
+\frac{2l+1}{2}\cdot
+\frac{(l-m)!}{(l+m)!}
+}
+P_{l}^{(m)}(\cos\vartheta)e^{im\varphi}
+\]
+bezeichnet.
+
+
+
+
 
diff --git a/buch/chapters/090-pde/rechteck.tex b/buch/chapters/090-pde/rechteck.tex
index 72e2806..b7dfe11 100644
--- a/buch/chapters/090-pde/rechteck.tex
+++ b/buch/chapters/090-pde/rechteck.tex
@@ -5,6 +5,7 @@
 %
 \section{Rechteckige Membran
 \label{buch:pde:section:rechteck}}
+\rhead{Rechteckige Membran}
 Als Beispiel für die Lösung des in
 Abschnitt~\ref{buch:pde:subsection:eigenwertproblem}
 aus der Wellengleichung abgeleiteten Eigenwertproblems
diff --git a/buch/chapters/090-pde/separation.tex b/buch/chapters/090-pde/separation.tex
index 6faceaa..e5e144a 100644
--- a/buch/chapters/090-pde/separation.tex
+++ b/buch/chapters/090-pde/separation.tex
@@ -5,6 +5,7 @@
 %
 \section{Separationsmethode
 \label{buch:pde:section:separation}}
+\rhead{Separationsmethode}
 Die Existenz der Lösung einer gewöhnlichen Differentialgleichung
 ist unter einigermassen milden Bedingungen in der Nähe der
 Anfangsbedingung garantiert.
diff --git a/buch/chapters/090-pde/uebungsaufgaben/901.tex b/buch/chapters/090-pde/uebungsaufgaben/901.tex
new file mode 100644
index 0000000..67fa8e5
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/090-pde/uebungsaufgaben/901.tex
@@ -0,0 +1,82 @@
+Die Differentialgleichung
+\begin{equation}
+\frac{\partial u}{\partial t} = \kappa \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}
+\qquad
+\text{im Gebiet}
+\qquad
+(t,x)\in \Omega=\mathbb{R}^+\times (0,l)
+\label{505:waermeleitungsgleichung}
+\end{equation}
+beschreibt die Änderung der Temperatur eines Stabes der Länge $l$.
+Die homogene Randbedingung
+\begin{equation}
+u(t,0)=
+u(t,l)=0
+\label{505:homogene-randbedingung}
+\end{equation}
+besagt, dass der Stab an seinen Enden auf Temperatur $0$ gehalten.
+Zur Lösung dieser Differentialgleichung muss auch die Temperatur
+zur Zeit $t=0$ in Form einer Randbedingung
+\[
+u(0,x) = T_0(x)
+\]
+gegeben sein.
+Führen Sie Separation für die
+Differentialgleichung~\eqref{505:waermeleitungsgleichung}
+durch und bestimmen Sie die zulässigen Werte der Separationskonstanten.
+
+\begin{loesung}
+Man verwendet den Ansatz $u(t,x)= T(t)\cdot X(x)$ und setzt diesen 
+in die Differentialgleichung ein, die dadurch zu
+\[
+T'(t)X(x) = \kappa T(t) X''(x)
+\]
+wird.
+Division durch $T(t)X(x)$ wird dies zu
+\[
+\frac{T'(t)}{T(t)}
+=
+\kappa
+\frac{X''(x)}{X(x)}.
+\]
+Da die linke Seite nur von $t$ abhängt, die rechte aber nur von $x$, müssen
+beide Seiten konstant sein.
+Wir bezeichnen die Konstante mit $-\lambda^2$, so dass wir die beiden
+gewöhnlichen Differentialgleichungen
+\begin{align*}
+\frac{1}{\kappa}
+\frac{T'(t)}{T(t)}&=-\lambda^2
+&
+\frac{X''(x)}{X(x)}&=-\lambda^2
+\\
+T'(t)&=-\lambda^2\kappa T(t)
+&
+X''(x) &= -\lambda^2 X(x)
+\intertext{welche die Lösungen}
+T(t)&=Ce^{-\lambda^2\kappa t}
+&
+X(x)&= A\cos\lambda x + B\sin\lambda x
+\end{align*}
+haben.
+Die Lösung $X(x)$ muss aber auch die homogene Randbedingung 
+\eqref{505:homogene-randbedingung} erfüllen.
+Setzt man $x=0$ und $x=l$ ein, folgt
+\begin{align*}
+0 = X(0)&=A\cos 0 + B\sin 0 = A
+&
+0 = X(l)&=B\sin \lambda l,
+\end{align*}
+woraus man schliessen kann, dass $\lambda l$ ein ganzzahliges
+Vielfaches von $\pi$ ist, wir schreiben $\lambda l = k\pi$ oder
+\[
+\lambda = \frac{k\pi}{l}.
+\]
+Damit sind die möglichen Werte $\lambda$ bestimmt und man kann jetzt
+auch die möglichen Lösungen aufschreiben, sie sind
+\[
+u(t,x)
+=
+\sum_{k=1}^\infty b_k e^{-k^2\pi^2\kappa t/l^2}\sin\frac{k\pi x}{l}.
+\qedhere
+\]
+\end{loesung}
diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/Makefile.inc b/buch/chapters/110-elliptisch/Makefile.inc
index 0ca1392..639cb8f 100644
--- a/buch/chapters/110-elliptisch/Makefile.inc
+++ b/buch/chapters/110-elliptisch/Makefile.inc
@@ -4,8 +4,12 @@
 # (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
 #
 
-CHAPTERFILES = $(CHAPTERFILES)						\
+CHAPTERFILES += 							\
 	chapters/110-elliptisch/ellintegral.tex				\
 	chapters/110-elliptisch/jacobi.tex				\
+	chapters/110-elliptisch/elltrigo.tex				\
+	chapters/110-elliptisch/dglsol.tex				\
+	chapters/110-elliptisch/mathpendel.tex				\
 	chapters/110-elliptisch/lemniskate.tex				\
-	chapters/110-geometrie/chapter.tex
+	chapters/110-elliptisch/uebungsaufgaben/1.tex			\
+	chapters/110-elliptisch/chapter.tex
diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/chapter.tex b/buch/chapters/110-elliptisch/chapter.tex
index a03ce24..e05f3bd 100644
--- a/buch/chapters/110-elliptisch/chapter.tex
+++ b/buch/chapters/110-elliptisch/chapter.tex
@@ -10,21 +10,36 @@
 \rhead{}
 
 Der Versuch, die Länge eines Ellipsenbogens zu berechnen, hat
-in Abschnitt~\ref{buch:geometrie:subsection:hyperbeln-und-ellipsen}
+in Abschnitt~\ref{buch:geometrie:subsection:kegelschnitte}
 zu Integralen geführt, die nicht in geschlossener Form ausgewertet
 werden können.
 Neben den dort gefundenen Integralen sind noch weitere, ähnlich
 aufgebaute Integrale in dieser Familie zu finden.
 
+Auf die trigonometrischen Funktionen stösst man, indem man Funktion
+der Bogenlänge umkehrt.
+Ein analoges Vorgehen bei den elliptischen Integralen führt auf
+die Jacobischen elliptischen Funktionen, die in
+Abschnitt~\ref{buch:elliptisch:section:jacobi} allerdings auf
+eine eher geometrische Art eingeführt werden.
+Die Verbindung zu den elliptischen Integralen wird dann in
+Abschnitt~\ref{buch:elliptisch:subsection:differentialgleichungen}
+wieder hergestellt.
+
 \input{chapters/110-elliptisch/ellintegral.tex}
+
 \input{chapters/110-elliptisch/jacobi.tex}
+\input{chapters/110-elliptisch/elltrigo.tex}
+\input{chapters/110-elliptisch/dglsol.tex}
+\input{chapters/110-elliptisch/mathpendel.tex}
+
 \input{chapters/110-elliptisch/lemniskate.tex}
 
-%\section*{Übungsaufgaben}
-%\rhead{Übungsaufgaben}
-%\aufgabetoplevel{chapters/020-exponential/uebungsaufgaben}
-%\begin{uebungsaufgaben}
+\section*{Übungsaufgabe}
+\rhead{Übungsaufgabe}
+\aufgabetoplevel{chapters/110-elliptisch/uebungsaufgaben}
+\begin{uebungsaufgaben}
 %\uebungsaufgabe{0}
-%\uebungsaufgabe{1}
-%\end{uebungsaufgaben}
+\uebungsaufgabe{1}
+\end{uebungsaufgaben}
 
diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/dglsol.tex b/buch/chapters/110-elliptisch/dglsol.tex
new file mode 100644
index 0000000..7eaab38
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/110-elliptisch/dglsol.tex
@@ -0,0 +1,494 @@
+%
+% dglsol.tex -- Lösung von Differentialgleichungen
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+
+%
+% Lösung von Differentialgleichungen
+%
+\subsection{Lösungen von Differentialgleichungen
+\label{buch:elliptisch:subsection:differentialgleichungen}}
+Die elliptischen Funktionen ermöglichen die Lösung gewisser nichtlinearer
+Differentialgleichungen in geschlossener Form.
+Ziel dieses Abschnitts ist, Differentialgleichungen der Form
+\(
+\dot{x}(t)^2
+=
+P(x(t))
+\)
+mit einem Polynom $P$ vierten Grades oder
+\(
+\ddot{x}(t)
+=
+p(x(t))
+\)
+mit einem Polynom dritten Grades als rechter Seite lösen zu können.
+
+%
+% Die Differentialgleichung der elliptischen Funktionen
+%
+\subsubsection{Die Differentialgleichungen der elliptischen Funktionen}
+Um Differentialgleichungen mit elliptischen Funktion lösen zu
+können, muss man als erstes die Differentialgleichungen derselben
+finden.
+Quadriert man die Ableitungsregel für $\operatorname{sn}(u,k)$, erhält
+man
+\[
+\biggl(\frac{d}{du}\operatorname{sn}(u,k)\biggr)^2
+=
+\operatorname{cn}(u,k)^2 \operatorname{dn}(u,k)^2.
+\]
+Die Funktionen auf der rechten Seite können durch $\operatorname{sn}(u,k)$
+ausgedrückt werden, dies führt auf die Differentialgleichung
+\begin{align*}
+\biggl(\frac{d}{du}\operatorname{sn}(u,k)\biggr)^2
+&=
+\bigl(
+1-\operatorname{sn}(u,k)^2
+\bigr)
+\bigl(
+1-k^2 \operatorname{sn}(u,k)^2
+\bigr)
+\\
+&=
+k^2\operatorname{sn}(u,k)^4 
+-(1+k^2)
+\operatorname{sn}(u,k)^2 
++1.
+\end{align*}
+Für die Funktion $\operatorname{cn}(u,k)$ ergibt die analoge Rechnung
+\begin{align*}
+\frac{d}{du}\operatorname{cn}(u,k)
+&=
+-\operatorname{sn}(u,k) \operatorname{dn}(u,k)
+\\
+\biggl(\frac{d}{du}\operatorname{cn}(u,k)\biggr)^2
+&=
+\operatorname{sn}(u,k)^2 \operatorname{dn}(u,k)^2
+\\
+&=
+\bigl(1-\operatorname{cn}(u,k)^2\bigr)
+\bigl(k^{\prime 2}+k^2 \operatorname{cn}(u,k)^2\bigr)
+\\
+&=
+-k^2\operatorname{cn}(u,k)^4
++
+(k^2-k^{\prime 2})\operatorname{cn}(u,k)^2
++
+k^{\prime 2}
+\intertext{und weiter für $\operatorname{dn}(u,k)$:}
+\frac{d}{du}\operatorname{dn}(u,k)
+&=
+-k^2\operatorname{sn}(u,k)\operatorname{cn}(u,k)
+\\
+\biggl(
+\frac{d}{du}\operatorname{dn}(u,k)
+\biggr)^2
+&=
+\bigl(k^2 \operatorname{sn}(u,k)^2\bigr)
+\bigl(k^2 \operatorname{cn}(u,k)^2\bigr)
+\\
+&=
+\bigl(
+1-\operatorname{dn}(u,k)^2
+\bigr)
+\bigl(
+\operatorname{dn}(u,k)^2-k^{\prime 2}
+\bigr)
+\\
+&=
+-\operatorname{dn}(u,k)^4
++
+(1+k^{\prime 2})\operatorname{dn}(u,k)^2
+-k^{\prime 2}.
+\end{align*}
+
+\begin{table}
+\centering
+\renewcommand{\arraystretch}{1.7}
+\begin{tabular}{|>{$}l<{$}|>{$}l<{$}|>{$}c<{$}|>{$}c<{$}|>{$}c<{$}|}
+\hline
+\text{Funktion $y=$}&\text{Differentialgleichung}&\alpha&\beta&\gamma\\
+\hline
+\operatorname{sn}(u,k)
+	& y'^2 = \phantom{-}(1-y^2)(1-k^2y^2)
+		&k^2&1+k^2&1
+\\
+\operatorname{cn}(u,k) &y'^2 = \phantom{-}(1-y^2)(k^{\prime2}+k^2y^2)
+		&-k^2	&k^2-k^{\prime 2}=2k^2-1&k^{\prime2}
+\\
+\operatorname{dn}(u,k)
+	& y'^2 = -(1-y^2)(k^{\prime 2}-y^2)
+		&-1	&1+k^{\prime 2}=2-k^2	&-k^{\prime2}
+\\
+\hline
+\end{tabular}
+\caption{Elliptische Funktionen als Lösungsfunktionen für verschiedene
+nichtlineare Differentialgleichungen der Art
+\eqref{buch:elliptisch:eqn:1storderdglell}.
+Die Vorzeichen der Koeffizienten $\alpha$, $\beta$ und $\gamma$
+entscheidet darüber, welche Funktion für die Lösung verwendet werden
+muss.
+\label{buch:elliptisch:tabelle:loesungsfunktionen}}
+\end{table}
+
+Die drei grundlegenden Jacobischen elliptischen Funktionen genügen also alle
+einer nichtlinearen Differentialgleichung erster Ordnung der selben Art.
+Das Quadrat der Ableitung ist ein Polynom vierten Grades der Funktion.
+Die Differentialgleichungen sind in der
+Tabelle~\ref{buch:elliptisch:tabelle:loesungsfunktionen} zusammengefasst.
+
+%
+% Differentialgleichung der abgeleiteten elliptischen Funktionen
+%
+\subsubsection{Die Differentialgleichung der abgeleiteten elliptischen
+Funktionen}
+Da auch die Ableitungen der abgeleiteten Jacobischen elliptischen
+Funktionen Produkte von genau zwei Funktionen sind, die sich wieder
+durch die ursprüngliche Funktion ausdrücken lassen, darf man erwarten,
+dass alle elliptischen Funktionen einer ähnlichen Differentialgleichung
+genügen.
+Um dies besser einzufangen, schreiben wir $\operatorname{pq}(u,k)$,
+wenn wir eine beliebige abgeleitete Jacobische elliptische Funktion.
+Für 
+$\operatorname{pq}=\operatorname{sn}$
+$\operatorname{pq}=\operatorname{cn}$
+und
+$\operatorname{pq}=\operatorname{dn}$
+wissen wir bereits und erwarten für jede andere Funktion dass
+$\operatorname{pq}(u,k)$ auch, dass sie Lösung einer Differentialgleichung
+der Form
+\begin{equation}
+\operatorname{pq}'(u,k)^2
+=
+\alpha \operatorname{pq}(u,k)^4 + \beta \operatorname{pq}(u,k)^2 + \gamma
+\label{buch:elliptisch:eqn:1storderdglell}
+\end{equation}
+erfüllt,
+wobei wir mit $\operatorname{pq}'(u,k)$ die Ableitung von
+$\operatorname{pq}(u,k)$ nach dem ersten Argument meinen.
+Die Koeffizienten $\alpha$, $\beta$ und $\gamma$ hängen von $k$ ab,
+ihre Werte für die grundlegenden Jacobischen elliptischen
+sind in Tabelle~\ref{buch:elliptisch:table:differentialgleichungen}
+zusammengestellt.
+
+Die Koeffizienten müssen nicht für jede Funktion wieder neu bestimmt
+werden, denn für den Kehrwert einer Funktion lässt sich die
+Differentialgleichung aus der Differentialgleichung der ursprünglichen
+Funktion ermitteln.
+
+%
+% Differentialgleichung der Kehrwertfunktion
+%
+\subsubsection{Differentialgleichung für den Kehrwert einer elliptischen Funktion}
+Aus der Differentialgleichung~\eqref{buch:elliptisch:eqn:1storderdglell}
+für die Funktion $\operatorname{pq}(u,k)$ kann auch eine
+Differentialgleichung für den Kehrwert
+$\operatorname{qp}(u,k)=\operatorname{pq}(u,k)^{-1}$
+ableiten.
+Dazu rechnet man
+\[
+\operatorname{qp}'(u,k)
+=
+\frac{d}{du}\frac{1}{\operatorname{pq}(u,k)}
+=
+\frac{\operatorname{pq}'(u,k)}{\operatorname{pq}(u,k)^2}
+\qquad\Rightarrow\qquad
+\left\{
+\quad
+\begin{aligned}
+\operatorname{pq}(u,k)
+&=
+\frac{1}{\operatorname{qp}(u,k)}
+\\
+\operatorname{pq}'(u,k)
+&=
+\frac{\operatorname{qp}'(u,k)}{\operatorname{qp}(u,k)^2}
+\end{aligned}
+\right.
+\]
+und setzt in die Differentialgleichung ein:
+\begin{align*}
+\biggl(
+\frac{
+\operatorname{qp}'(u,k)
+}{
+\operatorname{qp}(u,k)
+}
+\biggr)^2
+&=
+\alpha \frac{1}{\operatorname{qp}(u,k)^4}
++
+\beta \frac{1}{\operatorname{qp}(u,k)^2}
++
+\gamma.
+\end{align*}
+Nach Multiplikation mit $\operatorname{qp}(u,k)^4$ erhält man den
+folgenden Satz.
+
+\begin{satz}
+Wenn die Jacobische elliptische Funktion $\operatorname{pq}(u,k)$
+der Differentialgleichung genügt, dann genügt der Kehrwert
+$\operatorname{qp}(u,k) = 1/\operatorname{pq}(u,k)$ der Differentialgleichung
+\begin{equation}
+(\operatorname{qp}'(u,k))^2
+= 
+\gamma \operatorname{qp}(u,k)^4
++
+\beta \operatorname{qp}(u,k)^2
++
+\alpha
+\label{buch:elliptisch:eqn:kehrwertdgl}
+\end{equation}
+\end{satz}
+
+\begin{table}
+\centering
+\def\lfn#1{\multicolumn{1}{|l|}{#1}}
+\def\rfn#1{\multicolumn{1}{r|}{#1}}
+\renewcommand{\arraystretch}{1.3}
+\begin{tabular}{l|>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}|r}
+\cline{1-4}
+\lfn{Funktion}
+         &  \alpha   & \beta     &    \gamma  &\\
+\hline
+\lfn{sn}&    k^2    & -(1+k^2)  &      1     &\rfn{ns}\\
+\lfn{cn}&   -k^2    & -(1-2k^2) &    1-k^2   &\rfn{nc}\\
+\lfn{dn}&     1     &  2-k^2    &   -(1-k^2) &\rfn{nd}\\
+\hline
+\lfn{sc}&   1-k^2   &  2-k^2    &      1     &\rfn{cs}\\
+\lfn{sd}&-k^2(1-k^2)&-(1-2k^2)  &       1    &\rfn{ds}\\
+\lfn{cd}&    k^2    &-(1+k^2)   &      1     &\rfn{dc}\\
+\hline 
+                 &   \gamma  & \beta     &   \alpha   &\rfn{Reziproke}\\
+\cline{2-5}
+\end{tabular}
+\caption{Koeffizienten der Differentialgleichungen für die Jacobischen
+elliptischen Funktionen.
+Der Kehrwert einer Funktion hat jeweils die Differentialgleichung der
+ursprünglichen Funktion, in der die Koeffizienten $\alpha$ und $\gamma$
+vertauscht worden sind.
+\label{buch:elliptisch:table:differentialgleichungen}}
+\end{table}
+
+%
+% Differentialgleichung zweiter Ordnung
+%
+\subsubsection{Differentialgleichung zweiter Ordnung}
+Leitet die Differentialgleichung~\eqref{buch:elliptisch:eqn:1storderdglell}
+man dies nochmals nach $u$ ab, erhält man die Differentialgleichung
+\[
+2\operatorname{pq}''(u,k)\operatorname{pq}'(u,k)
+=
+4\alpha \operatorname{pq}(u,k)^3\operatorname{pq}'(u,k) + 2\beta \operatorname{pq}'(u,k)\operatorname{pq}(u,k).
+\]
+Teilt man auf beiden Seiten durch $2\operatorname{pq}'(u,k)$,
+bleibt die nichtlineare
+Differentialgleichung
+\[
+\frac{d^2\operatorname{pq}}{du^2}
+=
+\beta \operatorname{pq} + 2\alpha \operatorname{pq}^3.
+\]
+Dies ist die Gleichung eines harmonischen Oszillators mit einer 
+Anharmonizität der Form $2\alpha z^3$.
+
+
+
+%
+% Jacobischen elliptische Funktionen und elliptische Integrale
+%
+\subsubsection{Jacobische elliptische Funktionen als elliptische Integrale}
+Die in Tabelle~\ref{buch:elliptisch:tabelle:loesungsfunktionen}
+zusammengestellten Differentialgleichungen ermöglichen nun, den
+Zusammenhang zwischen den Funktionen 
+$\operatorname{sn}(u,k)$, $\operatorname{cn}(u,k)$ und $\operatorname{dn}(u,k)$
+und den unvollständigen elliptischen Integralen herzustellen.
+Die Differentialgleichungen sind alle von der Form
+\begin{equation}
+\biggl(
+\frac{d y}{d u}
+\biggr)^2
+=
+p(u),
+\label{buch:elliptisch:eqn:allgdgl}
+\end{equation}
+wobei $p(u)$ ein Polynom vierten Grades in $y$ ist.
+Diese Differentialgleichung lässt sich mit Separation lösen.
+Dazu zieht man aus~\eqref{buch:elliptisch:eqn:allgdgl} die
+Wurzel
+\begin{align}
+\frac{dy}{du}
+=
+\sqrt{p(y)}
+\notag
+\intertext{und trennt die Variablen. Man erhält}
+\int\frac{dy}{\sqrt{p(y)}} = u+C.
+\label{buch:elliptisch:eqn:yintegral}
+\end{align}
+Solange $p(y)>0$ ist, ist der Integrand auf der linken Seite
+von~\eqref{buch:elliptisch:eqn:yintegral} ebenfalls positiv und
+das Integral ist eine monoton wachsende Funktion $F(y)$.
+Insbesondere ist $F(y)$ invertierbar.
+Die Lösung $y(u)$ der Differentialgleichung~\eqref{buch:elliptisch:eqn:allgdgl}
+ist daher 
+\[
+y(u) = F^{-1}(u+C).
+\]
+Die Jacobischen elliptischen Funktionen sind daher inverse Funktionen
+der unvollständigen elliptischen Integrale.
+
+
+%
+% Differentialgleichung des anharmonischen Oszillators
+%
+\subsubsection{Differentialgleichung des anharmonischen Oszillators}
+Wir möchten die nichtlineare Differentialgleichung
+\begin{equation}
+\biggl(
+\frac{dx}{dt}
+\biggr)^2
+=
+Ax^4+Bx^2 + C
+\label{buch:elliptisch:eqn:allgdgl}
+\end{equation}
+mit Hilfe elliptischer Funktionen lösen.
+Wir nehmen also an, dass die gesuchte Lösung eine Funktion der Form
+\begin{equation}
+x(t) = a\operatorname{zn}(bt,k)
+\label{buch:elliptisch:eqn:loesungsansatz}
+\end{equation}
+ist.
+Die erste Ableitung von $x(t)$ ist
+\[
+\dot{x}(t) 
+=
+a\operatorname{zn}'(bt,k).
+\]
+
+Indem wir diesen Lösungsansatz in die
+Differentialgleichung~\eqref{buch:elliptisch:eqn:allgdgl}
+einsetzen, erhalten wir
+\begin{equation}
+a^2b^2 \operatorname{zn}'(bt,k)^2
+=
+a^4A\operatorname{zn}(bt,k)^4
++
+a^2B\operatorname{zn}(bt,k)^2
++C
+\label{buch:elliptisch:eqn:dglx}
+\end{equation}
+Andererseits wissen wir, dass $\operatorname{zn}(u,k)$ einer
+Differentilgleichung der Form~\eqref{buch:elliptisch:eqn:1storderdglell}
+erfüllt.
+Wenn wir \eqref{buch:elliptisch:eqn:dglx} durch $a^2b^2$ teilen, können wir
+die rechte Seite von \eqref{buch:elliptisch:eqn:dglx} mit der rechten
+Seite von \eqref{buch:elliptisch:eqn:1storderdglell} vergleichen:
+\[
+\frac{a^2A}{b^2}\operatorname{zn}(bt,k)^4
++
+\frac{B}{b^2}\operatorname{zn}(bt,k)^2
++\frac{C}{a^2b^2}
+=
+\alpha\operatorname{zn}(bt,k)^4
++
+\beta\operatorname{zn}(bt,k)^2
++
+\gamma\operatorname{zn}(bt,k).
+\]
+Daraus ergeben sich die Gleichungen
+\begin{align}
+\alpha &= \frac{a^2A}{b^2},
+&
+\beta &= \frac{B}{b^2}
+&&\text{und}
+&
+\gamma &= \frac{C}{a^2b^2}
+\label{buch:elliptisch:eqn:koeffvergl}
+\intertext{oder aufgelöst nach den Koeffizienten der ursprünglichen
+Differentialgleichung}
+A&=\frac{\alpha b^2}{a^2}
+&
+B&=\beta b^2
+&&\text{und}&
+C &= \gamma a^2b^2
+\label{buch:elliptisch:eqn:koeffABC}
+\end{align}
+für die Koeffizienten der Differentialgleichung der zu verwendenden
+Funktion.
+
+Man beachte, dass nach \eqref{buch:elliptisch:eqn:koeffvergl} die 
+Koeffizienten $A$, $B$ und $C$ die gleichen Vorzeichen haben wie
+$\alpha$, $\beta$ und $\gamma$, da in 
+\eqref{buch:elliptisch:eqn:koeffvergl} nur mit Quadraten multipliziert
+wird, die immer positiv sind.
+Diese Vorzeichen bestimmen, welche der Funktionen gewählt werden muss.
+
+In den Differentialgleichungen für die elliptischen Funktionen gibt
+es nur den Parameter $k$, der angepasst werden kann.
+Es folgt, dass die Gleichungen
+\eqref{buch:elliptisch:eqn:koeffvergl} 
+auch $a$ und $b$ bestimmen.
+Zum Beispiel folgt aus der letzten Gleichung, dass
+\[
+b = \pm\sqrt{\frac{B}{\beta}}.
+\]
+Damit folgt dann aus der zweiten
+\[
+a=\pm\sqrt{\frac{\beta C}{\gamma B}}.
+\]
+Die verbleibende Gleichung legt $k$ fest.
+Das folgende Beispiel illustriert das Vorgehen am Beispiel einer
+Gleichung, die Lösungsfunktion $\operatorname{sn}(u,k)$ verlangt.
+
+\begin{beispiel}
+Wir nehmen an, dass die Vorzeichen von $A$, $B$ und $C$ gemäss
+Tabelle~\ref{buch:elliptische:tabelle:loesungsfunktionen} verlangen,
+dass die Funktion $\operatorname{sn}(u,k)$ für die Lösung verwendet
+werden muss.
+Die Tabelle sagt dann auch, dass 
+$\alpha=k^2$, $\beta=1$ und $\gamma=1$ gewählt werden müssen.
+Aus dem Koeffizientenvergleich~\eqref{buch:elliptisch:eqn:koeffvergl}
+folgt dann der Reihe nach
+\begin{align*}
+b&=\pm \sqrt{B}
+\\
+a&=\pm \sqrt{\frac{C}{B}}
+\\
+k^2
+&=
+\frac{AC}{B^2}.
+\end{align*}
+Man beachte, dass man $k^2$ durch Einsetzen von
+\eqref{buch:elliptisch:eqn:koeffABC}
+auch direkt aus den Koeffizienten $\alpha$, $\beta$ und $\gamma$
+erhalten kann, nämlich
+\[
+\frac{AC}{B^2}
+=
+\frac{\frac{\alpha b^2}{a^2} \gamma a^2b^2}{\beta^2 b^4}
+=
+\frac{\alpha\gamma}{\beta^2}.
+\qedhere
+\]
+\end{beispiel}
+
+Da alle Parameter im 
+Lösungsansatz~\eqref{buch:elliptisch:eqn:loesungsansatz} bereits
+festgelegt sind stellt sich die Frage, woher man einen weiteren
+Parameter nehmen kann, mit dem Anfangsbedingungen erfüllen kann.
+Die Differentialgleichung~\eqref{buch:elliptisch:eqn:allgdgl} ist
+autonom, die Koeffizienten der rechten Seite der Differentialgleichung
+sind nicht von der Zeit abhängig. 
+Damit ist eine zeitverschobene Funktion $x(t-t_0)$ ebenfalls eine
+Lösung der Differentialgleichung.
+Die allgmeine Lösung der 
+Differentialgleichung~\eqref{buch:elliptisch:eqn:allgdgl} hat
+also die Form
+\[
+x(t) = a\operatorname{zn}(b(t-t_0)),
+\]
+wobei die Funktion $\operatorname{zn}(u,k)$ auf Grund der Vorzeichen
+von $A$, $B$ und $C$ gewählt werden müssen.
+
diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/ellintegral.tex b/buch/chapters/110-elliptisch/ellintegral.tex
index 46659cd..3acce2f 100644
--- a/buch/chapters/110-elliptisch/ellintegral.tex
+++ b/buch/chapters/110-elliptisch/ellintegral.tex
@@ -7,7 +7,7 @@
 \label{buch:elliptisch:section:integral}}
 \rhead{Elliptisches Integral}
 Bei der Berechnung des Ellipsenbogens in 
-Abschnitt~\ref{buch:geometrie:subsection:hyperbeln-und-ellipsen}
+Abschnitt~\ref{buch:geometrie:subsection:kegelschnitte}
 sind wir auf ein Integral gestossen, welches sich nicht in geschlossener
 Form ausdrücken liess.
 Um solche Integrale in den Griff zu bekommen, ist es nötig, sie als
@@ -172,7 +172,188 @@ die {\em Jacobi-Normalform} heisst.
 
 \subsubsection{Vollständige elliptische Integrale als hypergeometrische
 Funktionen}
-XXX Als hypergeometrische Funktionen \url{https://www.youtube.com/watch?v=j0t1yWrvKmE} \\
+%XXX Als hypergeometrische Funktionen \url{https://www.youtube.com/watch?v=j0t1yWrvKmE} \\
+Das vollständige elliptische Integral $K(k)$ kann mit Hilfe der 
+Binomialreihe umgeformt werden in eine hypergeometrische Reihe.
+Da im Integral nur $k^2$ auftaucht, wird sich $K(k)$ als
+hypergeometrische Funktion von $k^2$ ausdrücken lassen.
+
+\begin{satz}
+\label{buch:elliptisch:satz:hyperK}
+Das vollständige elliptische Integral $K(k)$ lässt sich durch die
+hypergeometrische Funktion $\mathstrut_2F_1$ als
+\[
+K(k)
+=
+\frac{\pi}2
+\cdot
+\mathstrut_2F_1\biggl(
+\begin{matrix}\frac12,\frac12\\1\end{matrix};1;k^2
+\biggr)
+\]
+ausdrücken.
+\end{satz}
+
+\begin{proof}[Beweis]
+Zunächst ist das vollständige elliptische Integral in der Legendre-Form
+\begin{align}
+K(k)
+&=
+\int_0^{\frac{\pi}2}
+\frac{d\vartheta}{\sqrt{1-k^2\sin^2\vartheta}}
+%\notag
+%\\
+%&
+=
+\int_0^{\frac{\pi}2}
+\bigl(
+1-(k\sin\vartheta)^2
+\bigr)^{-\frac12}\,d\vartheta.
+\notag
+\intertext{Die Wurzel im letzten Integral kann mit Hilfe der binomischen
+Reihe vereinfacht werden zu}
+&=
+\sum_{n=0}^\infty
+(-1)^n k^2\binom{-\frac12}{n}
+\int_0^{\frac{\pi}2}
+\sin^{2n}\vartheta
+\,d\vartheta.
+\label{buch:elliptisch:beweis:ellharm2}
+\end{align}
+Der verallgemeinerte Binomialkoeffizient lässt sich nach
+\begin{align*}
+\binom{-\frac12}{n}
+&=
+\frac{(-\frac12)(-\frac32)(-\frac52)\cdot\ldots\cdot(-\frac12-n+1)}{n!}
+=
+(-1)^n
+\cdot
+\frac{1}{n!}
+\cdot
+\frac12\cdot\frac32\cdot\frac52\cdot\ldots\cdot\biggl(\frac12+n-1\biggr)
+=
+(-1)^n\frac{(\frac12)_n}{n!}
+\end{align*}
+vereinfachen.
+Setzt man dies in \eqref{buch:elliptisch:beweis:ellharm2} ein, erhält
+man
+\begin{align*}
+K(k)
+&=
+\sum_{n=0}^\infty
+(-1)^n k^{2n}
+\cdot
+(-1)^n
+\frac{(\frac12)_n}{n!}
+\cdot
+\int_0^{\frac{\pi}2} \sin^{2n}\vartheta\,d\vartheta
+=
+\sum_{n=0}^\infty
+\frac{(\frac12)_n}{n!}
+\int_0^{\frac{\pi}2} \sin^{2n}\vartheta\,d\vartheta
+\cdot (k^2)^n.
+\end{align*}
+Es muss jetzt also nur noch das Integral von $\sin^{2n}\vartheta$
+berechnet werden.
+Mit partieller Integration kann man
+\begin{align*}
+\int \sin^m\vartheta\,d\vartheta
+&=
+\int
+\underbrace{\sin \vartheta}_{\uparrow}
+\underbrace{\sin^{m-1}\vartheta}_{\downarrow}
+\,d\vartheta
+\\
+&=
+-\cos\vartheta\sin^{m-1}\vartheta
++
+\int \cos^2\vartheta (m-1)\sin^{m-2}\vartheta\,d\vartheta
+\\
+&=
+-\cos\vartheta \sin^{m-1}\vartheta
++
+(m-1)
+\int
+(1-\sin^2\vartheta)
+\sin^{m-2}\vartheta\,d\vartheta.
+\end{align*}
+Wegen $\sin 0=0$ und
+$\cos\frac{\pi}2=0$ verschwindet der erste Term im bestimmten Integral
+und der zweite wird
+\begin{align*}
+\int_0^{\frac{\pi}2}
+\sin^{m} \vartheta
+\,d\vartheta
+&=
+(m-1)
+\int_0^{\frac{\pi}2}
+\sin^{m-2}\vartheta\,d\vartheta
+-
+(m-1)
+\int_0^{\frac{\pi}2}
+\sin^m \vartheta\,d\vartheta
+\\
+m
+\int_0^{\frac{\pi}2}
+\sin^{m} \vartheta\,d\vartheta
+&=
+(m-1)
+\int_0^{\frac{\pi}2}
+\sin^{m-2} \vartheta\,d\vartheta
+\\
+\int_0^{\frac{\pi}2}
+\sin^{m} \vartheta\,d\vartheta
+&=
+\frac{m-1}{m}
+\int_0^{\frac{\pi}2}
+\sin^{m-2} \vartheta\,d\vartheta.
+\end{align*}
+Mit dieser Rekursionsformel kann jetzt das Integral berechnet werden.
+Es folgt
+\begin{align*}
+\int_0^{\frac{\pi}2}
+\sin^{2n}\vartheta\,d\vartheta
+&=
+\frac{2n-1}{2n}
+\int_0^{\frac{\pi}2}
+\sin^{2n-2}\vartheta\,d\vartheta
+\\
+&=
+\frac{2n-1}{2n}
+\frac{2n-3}{2n-2}
+\frac{2n-5}{2n-4}
+\cdots
+\frac{2n-(2n-1)}{2(n-1)}
+\int_0^{\frac{\pi}2}
+\sin^{2n-4}\vartheta\,d\vartheta
+\\
+&=
+\frac{
+(n-\frac12)(n-\frac32)(n-\frac52)\cdot\ldots\cdot\frac32\cdot\frac12
+}{
+n!
+}
+\int_0^{\frac{\pi}2} 1\,d\vartheta
+\\
+&=
+\frac{(\frac12)_n}{n!}
+\cdot
+\frac{\pi}2.
+\end{align*}
+Damit wird die Reihenentwicklung für $K(k)$ jetzt zu
+\[
+K(k)
+=
+\frac{\pi}2
+\sum_{n=0}^\infty
+\frac{(\frac12)_n(\frac12)_n}{n!} \cdot \frac{(k^2)^n}{n!}
+=
+\frac{\pi}2
+\cdot
+\mathstrut_2F_1\biggl(\begin{matrix}\frac12,\frac12\\1\end{matrix};k^2\biggr),
+\]
+dies beweist die Behauptung.
+\end{proof}
 
 
 
@@ -247,6 +428,29 @@ Für den extremen Wert $\varepsilon=0$ entsteht der Umfang einer Ellipse,
 also $E(0)=\frac{\pi}2$.
 Für $\varepsilon=1$ ist $a=0$, es entsteht eine Strecke mit Länge $E(1)=1$.
 
+\begin{satz}
+\label{buch:elliptisch:satz:hyperE}
+Das volständige elliptische Integral $E(k)$ ist
+\[
+E(k)
+=
+\int_0^{\frac{\pi}2} \sqrt{1-k^2\sin^2\vartheta}\,d\vartheta
+=
+\frac{\pi}2
+\cdot
+\mathstrut_2F_1\biggl(
+\begin{matrix}-\frac12,\frac12\\1\end{matrix};
+k^2
+\biggr).
+\]
+\end{satz}
+
+\begin{proof}[Beweis]
+Die Identität kann wie im Satz~\ref{buch:elliptisch:satz:hyperK} mit
+Hilfe einer Entwicklung der Wurzel mit der Binomialreihe gefunden
+werden.
+\end{proof}
+
 \subsubsection{Komplementäre Integrale}
 
 \subsubsection{Ableitung}
@@ -447,7 +651,7 @@ werden, dass $1-k'^2=k^2$ ist.
 
 \begin{definition}
 Ist $0\le k\le 1$ der Modul eines elliptischen Integrals, dann heisst
-$k' = \sqrt{1-k^2}$ er {\em Komplementärmodul} oder {\em Komplement
+$k' = \sqrt{1-k^2}$ der {\em Komplementärmodul} oder {\em Komplement
 des Moduls}. Es ist $k^2+k'^2=1$.
 \end{definition}
 
diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/elltrigo.tex b/buch/chapters/110-elliptisch/elltrigo.tex
new file mode 100644
index 0000000..d600243
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/110-elliptisch/elltrigo.tex
@@ -0,0 +1,1012 @@
+%
+% elltrigo.tex
+%
+% (c) 2022 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+
+%
+% elliptische Funktionen als Trigonometrie
+%
+\subsection{Elliptische Funktionen als Trigonometrie}
+\begin{figure}
+\centering
+\includegraphics{chapters/110-elliptisch/images/ellipse.pdf}
+\caption{Kreis und Ellipse zum Vergleich und zur Herleitung der 
+elliptischen Funktionen von Jacobi als ``trigonometrische'' Funktionen
+auf einer Ellipse.
+\label{buch:elliptisch:fig:ellipse}}
+\end{figure}
+% based on Willliam Schwalm, Elliptic functions and elliptic integrals
+% https://youtu.be/DCXItCajCyo
+
+%
+% Geometrie einer Ellipse
+%
+\subsubsection{Geometrie einer Ellipse}
+Eine {\em Ellipse} ist die Menge der Punkte der Ebene, für die die Summe
+\index{Ellipse}%
+der Entfernungen von zwei festen Punkten $F_1$ und $F_2$,
+den {\em Brennpunkten}, konstant ist.
+\index{Brennpunkt}%
+In Abbildung~\ref{buch:elliptisch:fig:ellipse} eine Ellipse
+mit Brennpunkten in $F_1=(-e,0)$ und $F_2=(e,0)$ dargestellt,
+die durch die Punkte $(\pm a,0)$ und $(0,\pm b)$ auf den Achsen geht.
+Der Punkt $(a,0)$ hat die Entfernungen $a+e$ und $a-e$ von den beiden
+Brennpunkten, also die Entfernungssumme $a+e+a-e=2a$.
+Jeder andere Punkt auf der Ellipse muss ebenfalls diese Entfernungssumme
+haben, insbesondere auch der Punkt $(0,b)$.
+Seine Entfernung zu jedem Brennpunkt muss aus Symmetriegründen gleich gross,
+also $a$ sein.
+Aus dem Satz von Pythagoras liest man daher ab, dass
+\[
+b^2+e^2=a^2
+\qquad\Rightarrow\qquad
+e^2 = a^2-b^2
+\]
+sein muss.
+Die Strecke $e$ heisst auch {\em (lineare) Exzentrizität} der Ellipse.
+Das Verhältnis $\varepsilon= e/a$  heisst die {\em numerische Exzentrizität}
+der Ellipse.
+
+%
+% Die Ellipsengleichung
+%
+\subsubsection{Ellipsengleichung}
+Der Punkt $P=(x,y)$ auf der Ellipse hat die Entfernungen
+\begin{equation}
+\begin{aligned}
+\overline{PF_1}^2
+&=
+y^2 + (x+e)^2
+\\
+\overline{PF_2}^2
+&=
+y^2 + (x-e)^2
+\end{aligned}
+\label{buch:elliptisch:eqn:wurzelausdruecke}
+\end{equation}
+von den Brennpunkten, für die 
+\begin{equation}
+\overline{PF_1}+\overline{PF_2}
+=
+2a
+\label{buch:elliptisch:eqn:pf1pf2a}
+\end{equation}
+gelten muss.
+Man kann nachrechnen, dass ein Punkt $P$, der die Gleichung
+\[
+\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2}=1
+\]
+erfüllt, auch die Eigenschaft~\eqref{buch:elliptisch:eqn:pf1pf2a}
+erfüllt.
+Zur Vereinfachung setzen wir $l_1=\overline{PF_1}$ und $l_2=\overline{PF_2}$.
+$l_1$ und $l_2$ sind Wurzeln aus der rechten Seite von
+\eqref{buch:elliptisch:eqn:wurzelausdruecke}.
+Das Quadrat von $l_1+l_2$ ist
+\[
+l_1^2 + 2l_1l_2 + l_2^2 = 4a^2.
+\]
+Um die Wurzeln ganz zu eliminieren, bringt man das Produkt $l_1l_2$ alleine
+auf die rechte Seite und quadriert.
+Man muss also verifizieren, dass
+\[
+(l_1^2 + l_2^2 -4a^2)^2 = 4l_1^2l_2^2.
+\]
+In den entstehenden Ausdrücken muss man ausserdem $e=\sqrt{a^2-b^2}$ und
+\[
+y=b\sqrt{1-\frac{x^2}{a^2}}
+\]
+substituieren.
+Diese Rechnung führt man am einfachsten mit Hilfe eines
+Computeralgebraprogramms durch, welches obige Behauptung bestätigt.
+
+%
+% Normierung
+%
+\subsubsection{Normierung}
+Die trigonometrischen Funktionen sind definiert als Verhältnisse 
+von Seiten rechtwinkliger Dreiecke.
+Dadurch, dass man den die Hypothenuse auf Länge $1$ normiert, 
+kann man die Sinus- und Kosinus-Funktion als Koordinaten eines
+Punktes auf dem Einheitskreis interpretieren.
+
+Für die Koordinaten eines Punktes auf der Ellipse ist dies nicht so einfach,
+weil es nicht nur eine Ellipse gibt, sondern für jede numerische Exzentrizität
+mindestens eine mit Halbeachse $1$.
+Wir wählen die Ellipsen so, dass $a$ die grosse Halbachse ist, also $a>b$.
+Als Normierungsbedingung verwenden wir, dass $b=1$ sein soll, wie in
+Abbildung~\ref{buch:elliptisch:fig:jacobidef}.
+Dann ist $a=1/\varepsilon>1$.
+In dieser Normierung haben Punkte $(x,y)$ auf der Ellipse $y$-Koordinaten
+zwischen $-1$ und $1$ und $x$-Koordinaten zwischen $-a$ und $a$.
+
+Im Zusammenhang mit elliptischen Funktionen wird die numerische Exzentrizität
+$\varepsilon$ auch mit
+\[
+k
+=
+\varepsilon
+=
+\frac{e}{a}
+=
+\frac{\sqrt{a^2-b^2}}{a}
+=
+\frac{\sqrt{a^2-1}}{a},
+\]
+die Zahl $k$ heisst auch der {\em Modulus}.
+Man kann $a$ auch durch $k$ ausdrücken, durch Quadrieren und Umstellen
+findet man
+\[
+k^2a^2 = a^2-1
+\quad\Rightarrow\quad
+1=a^2(k^2-1)
+\quad\Rightarrow\quad
+a=\frac{1}{\sqrt{k^2-1}}.
+\]
+
+Die Gleichung der ``Einheitsellipse'' zu diesem Modulus ist
+\[
+\frac{x^2}{a^2}+y^2=1
+\qquad\text{oder}\qquad
+x^2(k^2-1) + y^2 = 1.
+\]
+
+%
+% Definition der elliptischen Funktionen
+%
+\begin{figure}
+\centering
+\includegraphics{chapters/110-elliptisch/images/jacobidef.pdf}
+\caption{Definition der elliptischen Funktionen als Trigonometrie
+an einer Ellipse mit Halbachsen $a$ und $1$.
+\label{buch:elliptisch:fig:jacobidef}}
+\end{figure}
+\subsubsection{Definition der elliptischen Funktionen}
+Die elliptischen Funktionen für einen Punkt $P$ auf der Ellipse mit Modulus $k$
+können jetzt als Verhältnisse der Koordinaten des Punktes definieren.
+Es stellt sich aber die Frage, was man als Argument verwenden soll.
+Es soll so etwas wie den Winkel $\varphi$ zwischen der $x$-Achse und dem
+Radiusvektor zum Punkt $P$
+darstellen, aber wir haben hier noch eine Wahlfreiheit, die wir später
+ausnützen möchten.
+Im Moment müssen wir die Frage noch nicht beantworten und nennen das
+noch unbestimmte Argument $u$.
+Wir kümmern uns später um die Frage, wie $u$ von $\varphi$ abhängt.
+
+Die Funktionen, die wir definieren wollen, hängen ausserdem auch 
+vom Modulus ab.
+Falls der verwendete Modulus aus dem Zusammenhang klar ist, lassen
+wir das $k$-Argument weg.
+
+Die Punkte auf dem Einheitskreis haben alle den gleichen Abstand vom
+Nullpunkt, dies ist gleichzeitig die definierende Gleichung $r^2=x^2+y^2=1$
+des Kreises.
+Die Punkte auf der Ellipse erfüllen die Gleichung $x^2/a^2+y^2=1$,
+die Entfernung der Punkte $r=\sqrt{x^2+y^2}$ vom Nullpunkt variert aber.
+
+In Analogie zu den trigonometrischen Funktionen setzen wir jetzt für 
+die Funktionen
+\[
+\begin{aligned}
+&\text{sinus amplitudinis:}&
+{\color{red}\operatorname{sn}(u,k)}&= y \\
+&\text{cosinus amplitudinis:}&
+{\color{blue}\operatorname{cn}(u,k)}&= \frac{x}{a} \\
+&\text{delta amplitudinis:}&
+{\color{darkgreen}\operatorname{dn}(u,k)}&=\frac{r}{a},
+\end{aligned}
+\]
+die auch in Abbildung~\ref{buch:elliptisch:fig:jacobidef}
+dargestellt sind.
+Aus der Gleichung der Ellipse folgt sofort, dass
+\[
+\operatorname{sn}(u,k)^2 + \operatorname{cn}(u,k)^2 = 1
+\]
+ist.
+Der Satz von Pythagoras kann verwendet werden, um die Entfernung zu
+berechnen, also gilt
+\begin{equation}
+r^2
+=
+a^2 \operatorname{dn}(u,k)^2
+=
+x^2 + y^2
+=
+a^2\operatorname{cn}(u,k)^2 + \operatorname{sn}(u,k)^2
+\quad
+\Rightarrow
+\quad
+a^2 \operatorname{dn}(u,k)^2
+=
+a^2\operatorname{cn}(u,k)^2 + \operatorname{sn}(u,k)^2.
+\label{buch:elliptisch:eqn:sncndnrelation}
+\end{equation}
+Ersetzt man
+$
+a^2\operatorname{cn}(u,k)^2
+=
+a^2-a^2\operatorname{sn}(u,k)^2
+$, ergibt sich
+\[
+a^2 \operatorname{dn}(u,k)^2
+=
+a^2-a^2\operatorname{sn}(u,k)^2
++
+\operatorname{sn}(u,k)^2
+\quad
+\Rightarrow
+\quad
+\operatorname{dn}(u,k)^2
++
+\frac{a^2-1}{a^2}\operatorname{sn}(u,k)^2
+=
+1,
+\]
+woraus sich die Identität
+\[
+\operatorname{dn}(u,k)^2 + k^2 \operatorname{sn}(u,k)^2 = 1
+\]
+ergibt.
+Ebenso kann man aus~\eqref{buch:elliptisch:eqn:sncndnrelation}
+die Funktion $\operatorname{cn}(u,k)$ eliminieren, was auf
+\[
+a^2\operatorname{dn}(u,k)^2
+=
+a^2\operatorname{cn}(u,k)^2
++1-\operatorname{cn}(u,k)^2
+=
+(a^2-1)\operatorname{cn}(u,k)^2
++1.
+\]
+Nach Division durch $a^2$ ergibt sich
+\begin{align*}
+\operatorname{dn}(u,k)^2
+-
+k^2\operatorname{cn}(u,k)^2
+&=
+\frac{1}{a^2}
+=
+\frac{a^2-a^2+1}{a^2}
+=
+1-k^2 =: k^{\prime 2}.
+\end{align*}
+Wir stellen die hiermit gefundenen Relationen zwischen den grundlegenden
+Jacobischen elliptischen Funktionen für später zusammen in den Formeln
+\begin{equation}
+\begin{aligned}
+\operatorname{sn}^2(u,k)
++
+\operatorname{cn}^2(u,k)
+&=
+1
+\\
+\operatorname{dn}^2(u,k) + k^2\operatorname{sn}^2(u,k)
+&=
+1
+\\
+\operatorname{dn}^2(u,k)  -k^2\operatorname{cn}^2(u,k)
+&=
+k^{\prime 2}.
+\end{aligned}
+\label{buch:elliptisch:eqn:jacobi-relationen}
+\end{equation}
+zusammen.
+So wie es möglich ist, $\sin\alpha$ durch $\cos\alpha$ auszudrücken,
+ist es mit
+\eqref{buch:elliptisch:eqn:jacobi-relationen}
+jetzt auch möglich jede grundlegende elliptische Funktion durch
+jede anderen auszudrücken.
+Die Resultate sind in der Tabelle~\ref{buch:elliptisch:fig:jacobi-relationen}
+zusammengestellt.
+
+\begin{table}
+\centering
+\renewcommand{\arraystretch}{2.1}
+\begin{tabular}{|>{$\displaystyle}c<{$}|>{$\displaystyle}c<{$}>{$\displaystyle}c<{$}>{$\displaystyle}c<{$}|}
+\hline
+&\operatorname{sn}(u,k)
+&\operatorname{cn}(u,k)
+&\operatorname{dn}(u,k)\\
+\hline
+\operatorname{sn}(u,k)
+&\operatorname{sn}(u,k)
+&\sqrt{1-\operatorname{cn}^2(u,k)}
+&\frac1k\sqrt{1-\operatorname{dn}^2(u,k)}
+\\
+\operatorname{cn}(u,k)
+&\sqrt{1-\operatorname{sn}^2(u,k)}
+&\operatorname{cn}(u,k)
+&\frac{1}{k}\sqrt{\operatorname{dn}^2(u,k)-k^{\prime2}}
+\\
+\operatorname{dn}(u,k)
+&\sqrt{1-k^2\operatorname{sn}^2(u,k)}
+&\sqrt{k^{\prime2}+k^2\operatorname{cn}^2(u,k)}
+&\operatorname{dn}(u,k)
+\\
+\hline
+\end{tabular}
+\caption{Jede der Jacobischen elliptischen Funktionen lässt sich
+unter Verwendung der Relationen~\eqref{buch:elliptisch:eqn:jacobi-relationen}
+durch jede andere ausdrücken.
+\label{buch:elliptisch:fig:jacobi-relationen}}
+\end{table}
+
+%
+% Ableitungen der Jacobi-ellpitischen Funktionen
+% 
+\subsubsection{Ableitung}
+Die trigonometrischen Funktionen sind deshalb so besonders nützlich 
+für die Lösung von Schwingungsdifferentialgleichungen, weil sie die
+Beziehungen
+\[
+\frac{d}{d\varphi}  \cos\varphi = -\sin\varphi
+\qquad\text{und}\qquad
+\frac{d}{d\varphi}  \sin\varphi = \cos\varphi
+\]
+erfüllen.
+So einfach können die Beziehungen natürlich nicht sein, sonst würde sich
+durch Integration ja wieder nur die trigonometrischen Funktionen ergeben.
+Durch geschickte Wahl des Arguments $u$ kann man aber erreichen, dass
+sie ähnlich nützliche Beziehungen zwischen den Ableitungen ergeben.
+
+Gesucht ist jetzt also eine Wahl für das Argument $u$ zum Beispiel in
+Abhängigkeit von $\varphi$, dass sich einfache und nützliche
+Ableitungsformeln ergeben.
+Wir setzen daher $u(\varphi)$ voraus und beachten, dass $x$ und $y$
+ebenfalls von $\varphi$ abhängen, es ist
+$y=\sin\varphi$ und $x=a\cos\varphi$.
+Die Ableitungen von $x$ und $y$ nach $\varphi$ sind
+\begin{align*}
+\frac{dy}{d\varphi}
+&=
+\cos\varphi
+=
+\frac{1}{a} x
+=
+\operatorname{cn}(u,k)
+\\
+\frac{dx}{d\varphi}
+&=
+-a\sin\varphi
+=
+-a y
+=
+-a\operatorname{sn}(u,k).
+\end{align*}
+Daraus kann man jetzt die folgenden Ausdrücke für die Ableitungen der
+elliptischen Funktionen nach $\varphi$ ableiten:
+\begin{align*}
+\frac{d}{d\varphi} \operatorname{sn}(u,z)
+&=
+\frac{d}{d\varphi} y(\varphi)
+=
+\cos\varphi
+=
+\frac{x}{a}
+=
+\operatorname{cn}(u,k)
+&&\Rightarrow&
+\frac{d}{du}
+\operatorname{sn}(u,k)
+&=
+\operatorname{cn}(u,k) \frac{d\varphi}{du}
+\\
+\frac{d}{d\varphi} \operatorname{cn}(u,z)
+&=
+\frac{d}{d\varphi} \frac{x(\varphi)}{a}
+=
+-\sin\varphi
+=
+-\operatorname{sn}(u,k)
+&&\Rightarrow&
+\frac{d}{du}\operatorname{cn}(u,k)
+&=
+-\operatorname{sn}(u,k) \frac{d\varphi}{du}
+\\
+\frac{d}{d\varphi} \operatorname{dn}(u,z)
+&=
+\frac{1}{a}\frac{dr}{d\varphi}
+=
+\frac{1}{a}\frac{d\sqrt{x^2+y^2}}{d\varphi}
+%\\
+%&
+\rlap{$\displaystyle\mathstrut
+=
+\frac{x}{ar} \frac{dx}{d\varphi}
++
+\frac{y}{ar} \frac{dy}{d\varphi}
+%\\
+%&
+=
+\frac{x}{ar} (-a\operatorname{sn}(u,k))
++
+\frac{y}{ar} \operatorname{cn}(u,k)
+$}
+\\
+&
+\rlap{$\displaystyle\mathstrut
+=
+\frac{x}{ar}(-ay)
++
+\frac{y}{ar} \frac{x}{a}
+%\rlap{$\displaystyle
+=
+\frac{xy(-1+\frac{1}{a^2})}{r} 
+%$}
+%\\
+%&
+=
+-\frac{xy(a^2-1)}{a^2r} 
+$}
+\\
+&=
+-\frac{a^2-1}{ar}
+\operatorname{cn}(u,k) \operatorname{sn}(u,k)
+%\\
+%&
+\rlap{$\displaystyle\mathstrut
+=
+-k^2
+\frac{a}{r}
+\operatorname{cn}(u,k) \operatorname{sn}(u,k)
+$}
+\\
+&=
+-k^2\frac{\operatorname{cn}(u,k)\operatorname{sn}(u,k)}{\operatorname{dn}(u,k)}
+&&\Rightarrow&
+\frac{d}{du} \operatorname{dn}(u,k)
+&=
+-k^2\frac{\operatorname{cn}(u,k)
+\operatorname{sn}(u,k)}{\operatorname{dn}(u,k)}
+\frac{d\varphi}{du}.
+\end{align*}
+Die einfachsten Beziehungen ergeben sich offenbar, wenn man $u$ so
+wählt, dass
+\[
+\frac{d\varphi}{du}
+=
+\operatorname{dn}(u,k)
+=
+\frac{r}{a}.
+\]
+Damit haben wir die grundlegenden Ableitungsregeln
+
+\begin{satz}
+\label{buch:elliptisch:satz:ableitungen}
+Die Jacobischen elliptischen Funktionen haben die Ableitungen
+\begin{equation}
+\begin{aligned}
+\frac{d}{du}\operatorname{sn}(u,k)
+&=
+\phantom{-}\operatorname{cn}(u,k)\operatorname{dn}(u,k)
+\\
+\frac{d}{du}\operatorname{cn}(u,k)
+&=
+-\operatorname{sn}(u,k)\operatorname{dn}(u,k)
+\\
+\frac{d}{du}\operatorname{dn}(u,k)
+&=
+-k^2\operatorname{sn}(u,k)\operatorname{cn}(u,k).
+\end{aligned}
+\label{buch:elliptisch:eqn:ableitungsregeln}
+\end{equation}
+\end{satz}
+
+%
+% Der Grenzfall $k=1$
+%
+\subsubsection{Der Grenzwert $k\to1$}
+\begin{figure}
+\centering
+\includegraphics{chapters/110-elliptisch/images/sncnlimit.pdf}
+\caption{Grenzfälle der Jacobischen elliptischen Funktionen 
+für die Werte $0$ und $1$ des Parameters $k$.
+\label{buch:elliptisch:fig:sncnlimit}}
+\end{figure}
+Für $k=1$ ist $k^{\prime2}=1-k^2=$ und es folgt aus den
+Relationen~\eqref{buch:elliptisch:eqn:jacobi-relationen}
+\[
+\operatorname{cn}^2(u,k)
+-
+k^2
+\operatorname{dn}^2(u,k)
+=
+k^{\prime2}
+=
+0
+\qquad\Rightarrow\qquad
+\operatorname{cn}^2(u,1)
+=
+\operatorname{dn}^2(u,1),
+\]
+die beiden Funktionen
+$\operatorname{cn}(u,k)$
+und
+$\operatorname{dn}(u,k)$
+fallen also zusammen.
+Die Ableitungsregeln werden dadurch vereinfacht:
+\begin{align*}
+\operatorname{sn}'(u,1)
+&=
+\operatorname{cn}(u,1)
+\operatorname{dn}(u,1)
+=
+\operatorname{cn}^2(u,1)
+=
+1-\operatorname{sn}^2(u,1)
+&&\Rightarrow& y'&=1-y^2
+\\
+\operatorname{cn}'(u,1)
+&=
+-
+\operatorname{sn}(u,1)
+\operatorname{dn}(u,1)
+=
+-
+\operatorname{sn}(u,1)\operatorname{cn}(u,1)
+&&\Rightarrow&
+\frac{z'}{z}&=(\log z)' = -y
+\end{align*}
+Die erste Differentialgleichung für $y$ lässt sich separieren, man findet
+die Lösung
+\[
+\frac{y'}{1-y^2}
+=
+1
+\quad\Rightarrow\quad
+\int \frac{dy}{1-y^2} = \int \,du
+\quad\Rightarrow\quad
+\operatorname{artanh}(y) = u
+\quad\Rightarrow\quad
+\operatorname{sn}(u,1)=\tanh u.
+\]
+Damit kann man jetzt auch $z$ berechnen:
+\begin{align*}
+(\log \operatorname{cn}(u,1))'
+&=
+\tanh u
+&&\Rightarrow&
+\log\operatorname{cn}(u,1)
+&=
+-\int\tanh u\,du
+=
+-\log\cosh u
+\\
+&
+&&\Rightarrow&
+\operatorname{cn}(u,1)
+&=
+\frac{1}{\cosh u}
+=
+\operatorname{sech}u.
+\end{align*}
+Die Grenzfunktionen sind in Abbildung~\ref{buch:elliptisch:fig:sncnlimit}
+dargestellt.
+
+%
+% Das Argument u
+%
+\subsubsection{Das Argument $u$}
+Die Gleichung 
+\begin{equation}
+\frac{d\varphi}{du}
+=
+\operatorname{dn}(u,k)
+\label{buch:elliptisch:eqn:uableitung}
+\end{equation}
+ermöglicht, $\varphi$ in Abhängigkeit von $u$ zu berechnen, ohne jedoch
+die geometrische Bedeutung zu klären.
+Das beginnt bereits damit, dass der Winkel $\varphi$ nicht nicht der
+Polarwinkel des Punktes $P$ in Abbildung~\ref{buch:elliptisch:fig:jacobidef}
+ist, diesen nennen wir $\vartheta$.
+Der Zusammenhang zwischen $\varphi$ und $\vartheta$ ist
+\begin{equation}
+\frac1{a}\tan\varphi = \tan\vartheta
+\label{buch:elliptisch:eqn:phitheta}
+\end{equation}
+
+Um die geometrische Bedeutung besser zu verstehen, nehmen wir jetzt an,
+dass die Ellipse mit einem Parameter $t$ parametrisiert ist, dass also
+$\varphi(t)$, $\vartheta(t)$ und $u(t)$ Funktionen von $t$ sind.
+Die Ableitung von~\eqref{buch:elliptisch:eqn:phitheta} ist
+\[
+\frac1{a}\cdot \frac{1}{\cos^2\varphi}\cdot \dot{\varphi}
+=
+\frac{1}{\cos^2\vartheta}\cdot \dot{\vartheta}.
+\]
+Daraus kann die Ableitung von $\vartheta$ nach $\varphi$ bestimmt
+werden, sie ist
+\[
+\frac{d\vartheta}{d\varphi}
+=
+\frac{\dot{\vartheta}}{\dot{\varphi}}
+=
+\frac{1}{a}
+\cdot
+\frac{\cos^2\vartheta}{\cos^2\varphi}
+=
+\frac{1}{a}
+\cdot
+\frac{(x/r)^2}{(x/a)^2}
+=
+\frac{1}{a}\cdot
+\frac{a^2}{r^2}
+=
+\frac{1}{a}\cdot\frac{1}{\operatorname{dn}^2(u,k)}.
+\]
+Damit kann man jetzt mit Hilfe von~\eqref{buch:elliptisch:eqn:uableitung} 
+Die Ableitung von $\vartheta$ nach $u$ ermitteln, sie ist
+\[
+\frac{d\vartheta}{du}
+=
+\frac{d\vartheta}{d\varphi}
+\cdot
+\frac{d\varphi}{du}
+=
+\frac{1}{a}\cdot\frac{1}{\operatorname{dn}^2(u,k)}
+\cdot
+\operatorname{dn}(u,k)
+=
+\frac{1}{a}
+\cdot
+\frac{1}{\operatorname{dn}(u,k)}
+=
+\frac{1}{a}
+\cdot\frac{a}{r}
+=
+\frac{1}{r},
+\]
+wobei wir auch die Definition der Funktion $\operatorname{dn}(u,k)$
+verwendet haben.
+
+In der Parametrisierung mit dem Parameter $t$ kann man jetzt die Ableitung
+von $u$ nach $t$ berechnen als
+\[
+\frac{du}{dt}
+=
+\frac{du}{d\vartheta}
+\frac{d\vartheta}{dt}
+=
+r
+\dot{\vartheta}.
+\]
+Darin ist $\dot{\vartheta}$ die Winkelgeschwindigkeit des Punktes um
+das Zentrum $O$ und $r$ ist die aktuelle Entfernung des Punktes $P$
+von $O$.
+$r\dot{\vartheta}$ ist also die Geschwindigkeitskomponenten des Punktes
+$P$ senkrecht auf den aktuellen Radiusvektor.
+Der Parameter $u$, der zum Punkt $P$ gehört, ist also das Integral
+\[
+u(P) = \int_0^P r\,d\vartheta.
+\]
+Für einen Kreis ist die Geschwindigkeit von $P$ immer senkrecht
+auf dem Radiusvektor und der Radius ist konstant, so dass
+$u(P)=\vartheta(P)$ ist.
+
+%
+% Die abgeleiteten elliptischen Funktionen
+%
+\begin{figure}
+\centering
+\includegraphics[width=\textwidth]{chapters/110-elliptisch/images/jacobi12.pdf}
+\caption{Die Verhältnisse der Funktionen
+$\operatorname{sn}(u,k)$,
+$\operatorname{cn}(u,k)$
+udn
+$\operatorname{dn}(u,k)$
+geben Anlass zu neun weitere Funktionen, die sich mit Hilfe
+des Strahlensatzes geometrisch interpretieren lassen.
+\label{buch:elliptisch:fig:jacobi12}}
+\end{figure}
+\begin{table}
+\centering
+\renewcommand{\arraystretch}{2.5}
+\begin{tabular}{|>{$\displaystyle}c<{$}|>{$\displaystyle}c<{$}>{$\displaystyle}c<{$}>{$\displaystyle}c<{$}>{$\displaystyle}c<{$}|}
+\hline
+\cdot &
+\frac{1}{1} &
+\frac{1}{\operatorname{sn}(u,k)} &
+\frac{1}{\operatorname{cn}(u,k)} &
+\frac{1}{\operatorname{dn}(u,k)} 
+\\[5pt]
+\hline
+1&
+&%\operatorname{nn}(u,k)=\frac{1}{1} &
+\operatorname{ns}(u,k)=\frac{1}{\operatorname{sn}(u,k)} &
+\operatorname{nc}(u,k)=\frac{1}{\operatorname{cn}(u,k)} &
+\operatorname{nd}(u,k)=\frac{1}{\operatorname{dn}(u,k)}
+\\
+\operatorname{sn}(u,k) &
+\operatorname{sn}(u,k)=\frac{\operatorname{sn}(u,k)}{1}&
+&%\operatorname{ss}(u,k)=\frac{\operatorname{sn}(u,k)}{\operatorname{sn}(u,k)}&
+\operatorname{sc}(u,k)=\frac{\operatorname{sn}(u,k)}{\operatorname{cn}(u,k)}&
+\operatorname{sd}(u,k)=\frac{\operatorname{sn}(u,k)}{\operatorname{dn}(u,k)}
+\\
+\operatorname{cn}(u,k) &
+\operatorname{cn}(u,k)=\frac{\operatorname{cn}(u,k)}{1} &
+\operatorname{cs}(u,k)=\frac{\operatorname{cn}(u,k)}{\operatorname{sn}(u,k)}&
+&%\operatorname{cc}(u,k)=\frac{\operatorname{cn}(u,k)}{\operatorname{cn}(u,k)}&
+\operatorname{cd}(u,k)=\frac{\operatorname{cn}(u,k)}{\operatorname{dn}(u,k)}
+\\
+\operatorname{dn}(u,k) &
+\operatorname{dn}(u,k)=\frac{\operatorname{dn}(u,k)}{1} &
+\operatorname{ds}(u,k)=\frac{\operatorname{dn}(u,k)}{\operatorname{sn}(u,k)}&
+\operatorname{dc}(u,k)=\frac{\operatorname{dn}(u,k)}{\operatorname{cn}(u,k)}&
+%\operatorname{dd}(u,k)=\frac{\operatorname{dn}(u,k)}{\operatorname{dn}(u,k)}
+\\[5pt]
+\hline
+\end{tabular}
+\caption{Zusammenstellung der abgeleiteten Jacobischen elliptischen
+Funktionen in hinteren drei Spalten als Quotienten der grundlegenden
+Jacobischen elliptischen Funktionen.
+Die erste Spalte zum Nenner $1$ enthält die grundlegenden
+Jacobischen elliptischen Funktionen.
+\label{buch:elliptisch:table:abgeleitetjacobi}}
+\end{table}
+
+%
+% Die abgeleiteten elliptischen Funktionen
+%
+\subsubsection{Die abgeleiteten elliptischen Funktionen}
+Zusätzlich zu den grundlegenden Jacobischen elliptischen Funktioenn
+lassen sich weitere elliptische Funktionen bilden, die unglücklicherweise
+die {\em abgeleiteten elliptischen Funktionen} genannt werden.
+Ähnlich wie die trigonometrischen Funktionen $\tan\alpha$, $\cot\alpha$,
+$\sec\alpha$ und $\csc\alpha$ als Quotienten von $\sin\alpha$ und
+$\cos\alpha$ definiert sind, sind die abgeleiteten elliptischen Funktionen
+die in Tabelle~\ref{buch:elliptisch:table:abgeleitetjacobi} zusammengestellten
+Quotienten der grundlegenden Jacobischen elliptischen Funktionen.
+Die Bezeichnungskonvention ist, dass die Funktion $\operatorname{pq}(u,k)$
+ein Quotient ist, dessen Zähler durch den Buchstaben p bestimmt ist,
+der Nenner durch den Buchstaben q.
+Der Buchstabe n steht für eine $1$, die Buchstaben s, c und d stehen für
+die Anfangsbuchstaben der grundlegenden Jacobischen elliptischen
+Funktionen.
+Meint man irgend eine der Jacobischen elliptischen Funktionen, schreibt
+man manchmal auch $\operatorname{zn}(u,k)$.
+
+In Abbildung~\ref{buch:elliptisch:fig:jacobi12} sind die Quotienten auch
+geometrisch interpretiert.
+Der Wert der Funktion $\operatorname{nq}(u,k)$ ist die auf dem Strahl
+mit Polarwinkel $\varphi$ abgetragene Länge bis zu den vertikalen
+Geraden, die den verschiedenen möglichen Nennern entsprechen.
+Entsprechend ist der Wert der Funktion $\operatorname{dq}(u,k)$ die
+Länge auf dem Strahl mit Polarwinkel $\vartheta$.
+
+Die Relationen~\ref{buch:elliptisch:eqn:jacobi-relationen}
+ermöglichen, jede Funktion $\operatorname{zn}(u,k)$ durch jede
+andere auszudrücken.
+Die schiere Anzahl solcher Beziehungen macht es unmöglich, sie 
+übersichtlich in einer Tabelle zusammenzustellen, daher soll hier
+nur an einem Beispiel das Vorgehen gezeigt werden:
+
+\begin{beispiel}
+Die Funktion $\operatorname{sc}(u,k)$ soll durch $\operatorname{cd}(u,k)$
+ausgedrückt werden.
+Zunächst ist 
+\[
+\operatorname{sc}(u,k)
+=
+\frac{\operatorname{sn}(u,k)}{\operatorname{cn}(u,k)}
+\]
+nach Definition.
+Im Resultat sollen nur noch $\operatorname{cn}(u,k)$ und
+$\operatorname{dn}(u,k)$ vorkommen.
+Daher eliminieren wir zunächst die Funktion $\operatorname{sn}(u,k)$
+mit Hilfe von \eqref{buch:elliptisch:eqn:jacobi-relationen} und erhalten
+\begin{equation}
+\operatorname{sc}(u,k)
+=
+\frac{\sqrt{1-\operatorname{cn}^2(u,k)}}{\operatorname{cn}(u,k)}.
+\label{buch:elliptisch:eqn:allgausdruecken}
+\end{equation}
+Nun genügt es, die Funktion $\operatorname{cn}(u,k)$ durch
+$\operatorname{cd}(u,k)$ auszudrücken.
+Aus der Definition und der
+dritten Relation in \eqref{buch:elliptisch:eqn:jacobi-relationen} 
+erhält man
+\begin{align*}
+\operatorname{cd}^2(u,k)
+&=
+\frac{\operatorname{cn}^2(u,k)}{\operatorname{dn}^2(u,k)}
+=
+\frac{\operatorname{cn}^2(u,k)}{k^{\prime2}+k^2\operatorname{cn}^2(u,k)}
+\\
+\Rightarrow
+\qquad
+k^{\prime 2}
+\operatorname{cd}^2(u,k)
++
+k^2\operatorname{cd}^2(u,k)\operatorname{cn}^2(u,k)
+&=
+\operatorname{cn}^2(u,k)
+\\
+\operatorname{cn}^2(u,k)
+-
+k^2\operatorname{cd}^2(u,k)\operatorname{cn}^2(u,k)
+&=
+k^{\prime 2}
+\operatorname{cd}^2(u,k)
+\\
+\operatorname{cn}^2(u,k)
+&=
+\frac{
+k^{\prime 2}
+\operatorname{cd}^2(u,k)
+}{
+1 - k^2\operatorname{cd}^2(u,k)
+}
+\end{align*}
+Für den Zähler brauchen wir $1-\operatorname{cn}^2(u,k)$, also
+\[
+1-\operatorname{cn}^2(u,k)
+=
+\frac{
+1
+-
+k^2\operatorname{cd}^2(u,k)
+-
+k^{\prime 2}
+\operatorname{cd}^2(u,k)
+}{
+1
+-
+k^2\operatorname{cd}^2(u,k)
+}
+=
+\frac{1-\operatorname{cd}^2(u,k)}{1-k^2\operatorname{cd}^2(u,k)}
+\]
+Einsetzen in~\eqref{buch:elliptisch:eqn:allgausdruecken} gibt
+\begin{align*}
+\operatorname{sc}(u,k)
+&=
+\frac{
+\sqrt{1-\operatorname{cd}^2(u,k)}
+}{\sqrt{1-k^2\operatorname{cd}^2(u,k)}}
+\cdot
+\frac{
+\sqrt{1 - k^2\operatorname{cd}^2(u,k)}
+}{
+k'
+\operatorname{cd}(u,k)
+}
+=
+\frac{
+\sqrt{1-\operatorname{cd}^2(u,k)}
+}{
+k'
+\operatorname{cd}(u,k)
+}.
+\qedhere
+\end{align*}
+\end{beispiel}
+
+\subsubsection{Ableitung der abgeleiteten elliptischen Funktionen}
+Aus den Ableitungen der grundlegenden Jacobischen elliptischen Funktionen
+können mit der Quotientenregel nun auch beliebige Ableitungen der
+abgeleiteten Jacobischen elliptischen Funktionen gefunden werden.
+Als Beispiel berechnen wir die Ableitung von $\operatorname{sc}(u,k)$.
+Sie ist
+\begin{align*}
+\frac{d}{du}
+\operatorname{sc}(u,k)
+&=
+\frac{d}{du}
+\frac{\operatorname{sn}(u,k)}{\operatorname{cn}(u,k)}
+=
+\frac{
+\operatorname{sn}'(u,k)\operatorname{cn}(u,k)
+-
+\operatorname{sn}(u,k)\operatorname{cn}'(u,k)}{
+\operatorname{cn}^2(u,k)
+}
+\\
+&=
+\frac{
+\operatorname{cn}^2(u,k)\operatorname{dn}(u,k)
++
+\operatorname{sn}^2(u,k)\operatorname{dn}(u,k)
+}{
+\operatorname{cn}^2(u,k)
+}
+=
+\frac{(
+\operatorname{sn}^2(u,k)
++
+\operatorname{cn}^2(u,k)
+)\operatorname{dn}(u,k)}{
+\operatorname{cn}^2(u,k)
+}
+\\
+&=
+\frac{1}{\operatorname{cn}(u,k)}
+\cdot
+\frac{\operatorname{dn}(u,k)}{\operatorname{cn}(u,k)}
+=
+\operatorname{nc}(u,k)
+\operatorname{dc}(u,k).
+\end{align*}
+Man beachte, dass das Quadrat der Nennerfunktion im Resultat
+der Quotientenregel zur Folge hat, dass die
+beiden Funktionen im Resultat beide den gleichen Nenner haben wie
+die Funktion, die abgeleitet wird.
+
+Mit etwas Fleiss kann man nach diesem Muster alle Ableitungen
+\begin{equation}
+%\small
+\begin{aligned}
+\operatorname{sn}'(u,k)
+&= 
+\phantom{-}
+\operatorname{cn}(u,k)\,\operatorname{dn}(u,k)
+&&\qquad&
+\operatorname{ns}'(u,k)
+&=
+-
+\operatorname{cs}(u,k)\,\operatorname{ds}(u,k)
+\\
+\operatorname{cn}'(u,k)
+&= 
+-
+\operatorname{sn}(u,k)\,\operatorname{dn}(u,k)
+&&&
+\operatorname{nc}'(u,k)
+&=
+\phantom{-}
+\operatorname{sc}(u,k)\,\operatorname{dc}(u,k)
+\\
+\operatorname{dn}'(u,k)
+&= 
+-k^2
+\operatorname{sn}(u,k)\,\operatorname{cn}(u,k)
+&&&
+\operatorname{nd}'(u,k)
+&=
+\phantom{-}
+k^2
+\operatorname{sd}(u,k)\,\operatorname{cd}(u,k)
+\\
+\operatorname{sc}'(u,k)
+&=
+\phantom{-}
+\operatorname{dc}(u,k)\,\operatorname{nc}(u,k)
+&&&
+\operatorname{cs}'(u,k)
+&=
+-
+\operatorname{ds}(u,k)\,\operatorname{ns}(u,k)
+\\
+\operatorname{cd}'(u,k)
+&=
+-k^{\prime2}
+\operatorname{sd}(u,k)\,\operatorname{nd}(u,k)
+&&&
+\operatorname{dc}'(u,k)
+&=
+\phantom{-}
+k^{\prime2}
+\operatorname{dc}(u,k)\,\operatorname{nc}(u,k)
+\\
+\operatorname{ds}'(d,k)
+&=
+-
+\operatorname{cs}(u,k)\,\operatorname{ns}(u,k)
+&&&
+\operatorname{sd}'(d,k)
+&=
+\phantom{-}
+\operatorname{cd}(u,k)\,\operatorname{nd}(u,k)
+\end{aligned}
+\label{buch:elliptisch:eqn:alleableitungen}
+\end{equation}
+finden.
+Man beachte, dass in jeder Identität alle Funktionen den gleichen
+zweiten Buchstaben haben.
+
+\subsubsection{TODO}
+XXX algebraische Beziehungen \\
+XXX Additionstheoreme \\
+XXX Perioden
+% use https://math.stackexchange.com/questions/3013692/how-to-show-that-jacobi-sine-function-is-doubly-periodic
+
+
diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/images/Makefile b/buch/chapters/110-elliptisch/images/Makefile
index 68322b6..a7c9e74 100644
--- a/buch/chapters/110-elliptisch/images/Makefile
+++ b/buch/chapters/110-elliptisch/images/Makefile
@@ -5,7 +5,7 @@
 #
 all:	lemniskate.pdf ellipsenumfang.pdf unvollstaendig.pdf rechteck.pdf \
 	ellipse.pdf pendel.pdf jacobiplots.pdf jacobidef.pdf jacobi12.pdf \
-	sncnlimit.pdf
+	sncnlimit.pdf slcl.pdf
 
 lemniskate.pdf:	lemniskate.tex
 	pdflatex lemniskate.tex
@@ -71,3 +71,10 @@ jacobi12.pdf:	jacobi12.tex
 sncnlimit.pdf:	sncnlimit.tex
 	pdflatex sncnlimit.tex
 
+slcl:	slcl.cpp
+	g++ -O -Wall -std=c++11 slcl.cpp -o slcl `pkg-config --cflags gsl` `pkg-config --libs gsl`
+
+slcldata.tex:	slcl
+	./slcl --outfile=slcldata.tex --a=0 --b=13.4 --steps=200
+slcl.pdf:	slcl.tex slcldata.tex
+	pdflatex slcl.tex
diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/images/jacobiplots.pdf b/buch/chapters/110-elliptisch/images/jacobiplots.pdf
index d11bde8..f0e6e78 100644
--- a/buch/chapters/110-elliptisch/images/jacobiplots.pdf
+++ b/buch/chapters/110-elliptisch/images/jacobiplots.pdf
diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/images/jacobiplots.tex b/buch/chapters/110-elliptisch/images/jacobiplots.tex
index 4fc572e..fec04fc 100644
--- a/buch/chapters/110-elliptisch/images/jacobiplots.tex
+++ b/buch/chapters/110-elliptisch/images/jacobiplots.tex
@@ -31,7 +31,7 @@
 \fill[color=gray!50] (-0.2,1.65) rectangle (7.0,2.3);
 \draw[line width=0.5pt] (-0.2,-6) rectangle (7.0,2.3);
 \begin{scope}[scale=0.5]
-\node at (6.5,{\dy+2}) {$m = #1$};
+\node at (6.5,{\dy+2}) {$k^2 = #1$};
 \end{scope}
 }
 \def\jacobiplot#1#2#3#4{
diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/images/lemniskate.pdf b/buch/chapters/110-elliptisch/images/lemniskate.pdf
index 063a3e1..9e02c3c 100644
--- a/buch/chapters/110-elliptisch/images/lemniskate.pdf
+++ b/buch/chapters/110-elliptisch/images/lemniskate.pdf
diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/images/lemniskate.tex b/buch/chapters/110-elliptisch/images/lemniskate.tex
index f74a81f..fe90631 100644
--- a/buch/chapters/110-elliptisch/images/lemniskate.tex
+++ b/buch/chapters/110-elliptisch/images/lemniskate.tex
@@ -27,13 +27,16 @@
 \draw[color=red,line width=2.0pt]
 	plot[domain=45:\a,samples=100] ({\x}:{sqrt(2*cos(2*\x))});
 
-\draw[->] (-1.5,0) -- (1.5,0) coordinate[label={$x$}];
-\draw[->] (0,-0.7) -- (0,0.7) coordinate[label={right:$y$}];
+\draw[->] (-1.5,0) -- (1.7,0) coordinate[label={$X$}];
+\draw[->] (0,-0.7) -- (0,0.7) coordinate[label={right:$Y$}];
 
 \fill[color=white] (1,0) circle[radius=0.02];
 \draw (1,0) circle[radius=0.02];
+\node at ({1},0) [below] {$\displaystyle a\mathstrut$};
+
 \fill[color=white] (-1,0) circle[radius=0.02];
 \draw (-1,0) circle[radius=0.02];
+\node at ({-1},0) [below] {$\displaystyle\llap{$-$}a\mathstrut$};
 
 \node[color=blue] at (\a:{0.6*sqrt(2*cos(2*\a))}) [below] {$r$};
 \node[color=red] at ({\b}:{sqrt(2*cos(2*\b))}) [above] {$s$};
@@ -41,6 +44,14 @@
 \fill[color=white] (\a:{sqrt(2*cos(2*\a))}) circle[radius=0.02];
 \draw[color=red] (\a:{sqrt(2*cos(2*\a))}) circle[radius=0.02];
 
+\draw ({sqrt(2)},{-0.1/\skala}) -- ({sqrt(2)},{0.1/\skala});
+\node at ({sqrt(2)},0) [below right]
+	{$\displaystyle a\mathstrut\sqrt{2}$};
+\draw ({-sqrt(2)},{-0.1/\skala}) -- ({-sqrt(2)},{0.1/\skala});
+\node at ({-sqrt(2)},0) [below left]
+	{$\displaystyle -a\mathstrut\sqrt{2}$};
+
+
 \end{tikzpicture}
 \end{document}
 
diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/images/slcl.cpp b/buch/chapters/110-elliptisch/images/slcl.cpp
new file mode 100644
index 0000000..8584e94
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/110-elliptisch/images/slcl.cpp
@@ -0,0 +1,128 @@
+/*
+ * slcl.cpp
+ *
+ * (c) 2022 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+ */
+#include <cstdlib>
+#include <cstdio>
+#include <cmath>
+#include <iostream>
+#include <fstream>
+#include <sstream>
+#include <getopt.h>
+#include <vector>
+#include <gsl/gsl_sf_elljac.h>
+
+namespace slcl {
+
+static struct option	longopts[] {
+{ "outfile",	required_argument,	NULL,	'o' },
+{ "a",		required_argument,	NULL,	'a' },
+{ "b",		required_argument,	NULL,	'b' },
+{ "steps",	required_argument,	NULL,	'n' },
+{ NULL,		0,			NULL,	 0  }
+};
+
+class plot {
+	typedef std::pair<double, double>	point_t;
+	typedef std::vector<point_t>	curve_t;
+	curve_t	_sl;
+	curve_t	_cl;
+	double	_a;
+	double	_b;
+	int	_steps;
+public:
+	double 	a() const { return _a; }
+	double 	b() const { return _b; }
+	int	steps() const { return _steps; }
+public:
+	plot(double a, double b, int steps) : _a(a), _b(b), _steps(steps) {
+		double	l = sqrt(2);
+		double	k = 1 / l;
+		double	m = k * k;
+		double	h = (b - a) / steps;
+		for (int i = 0; i <= steps; i++) {
+			double	x = a + h * i;
+			double	sn, cn, dn;
+			gsl_sf_elljac_e(x, m, &sn, &cn, &dn);
+			_sl.push_back(std::make_pair(l * x, k * sn / dn));
+			_cl.push_back(std::make_pair(l * x, cn));
+		}
+	}
+private:
+	std::string	point(const point_t p) const {
+		char	buffer[128];
+		snprintf(buffer, sizeof(buffer), "({%.4f*\\dx},{%.4f*\\dy})",
+			p.first, p.second);
+		return std::string(buffer);
+	}
+	std::string	path(const curve_t& curve) const {
+		std::ostringstream	out;
+		auto i = curve.begin();
+		out << point(*(i++));
+		do {
+			out << std::endl << "   -- " << point(*(i++));
+		} while (i != curve.end());
+		out.flush();
+		return out.str();
+	}
+public:
+	std::string	slpath() const {
+		return path(_sl);
+	}
+	std::string	clpath() const {
+		return path(_cl);
+	}
+};
+
+/**
+ * \brief Main function for the slcl program
+ */
+int	main(int argc, char *argv[]) {
+	int	longindex;
+	int	c;
+	double	a = 0;
+	double	b = 10;
+	int	steps = 100;
+	std::ostream	*out = &std::cout;
+	while (EOF != (c = getopt_long(argc, argv, "a:b:o:n:",
+		longopts, &longindex)))
+		switch (c) {
+		case 'a':
+			a = std::stod(optarg);
+			break;
+		case 'b':
+			b = std::stod(optarg) / sqrt(2);
+			break;
+		case 'n':
+			steps = std::stol(optarg);
+			break;
+		case 'o':
+			out = new std::ofstream(optarg);
+			break;
+		}
+
+	plot	p(a, b, steps);
+	(*out) << "\\def\\slpath{ " << p.slpath();
+	(*out) << std::endl << " }" << std::endl;
+	(*out) << "\\def\\clpath{ " << p.clpath();
+	(*out) << std::endl << " }" << std::endl;
+
+	out->flush();
+	//out->close();
+	return EXIT_SUCCESS;
+}
+
+} // namespace slcl
+
+int	main(int argc, char *argv[]) {
+	try {
+		return slcl::main(argc, argv);
+	} catch (const std::exception& e) {
+		std::cerr << "terminated by exception: " << e.what();
+		std::cerr << std::endl;
+	} catch (...) {
+		std::cerr << "terminated by unknown exception" << std::endl;
+	}
+	return EXIT_FAILURE;
+}
diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/images/slcl.pdf b/buch/chapters/110-elliptisch/images/slcl.pdf
new file mode 100644
index 0000000..c15051b
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/110-elliptisch/images/slcl.pdf
diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/images/slcl.tex b/buch/chapters/110-elliptisch/images/slcl.tex
new file mode 100644
index 0000000..0af1027
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/110-elliptisch/images/slcl.tex
@@ -0,0 +1,88 @@
+%
+% tikztemplate.tex -- template for standalon tikz images
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\documentclass[tikz]{standalone}
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+\usepackage{csvsimple}
+\usetikzlibrary{arrows,intersections,math}
+\begin{document}
+\input{slcldata.tex}
+\def\skala{1}
+\begin{tikzpicture}[>=latex,thick,scale=\skala]
+
+% add image content here
+\def\lemniscateconstant{2.6220575542}
+\pgfmathparse{(3.1415926535/2)/\lemniscateconstant}
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+\pgfmathparse{\scalechange*(180/3.1415926535)}
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+
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+
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+	({\lemniscateconstant*\dx},0)
+	--
+	({\lemniscateconstant*\dx},{1*\dy});
+\draw[line width=0.3pt]
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+
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+\draw[color=blue!40,line width=1.4pt]
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+\node[color=blue!50] at ({1.5*\lemniscateconstant*\dx},{cos(1.5*90)*\dy*0.90})
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+\draw (-0.1,{-1*\dy}) -- (0.1,{-1*\dy});
+\node at (0,{1*\dy}) [left] {$1\mathstrut$};
+\node at (0,0) [left] {$0\mathstrut$};
+\node at (0,{-1*\dy}) [left] {$-1\mathstrut$};
+
+\end{tikzpicture}
+\end{document}
+
diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/jacobi.tex b/buch/chapters/110-elliptisch/jacobi.tex
index f1e0987..166ea41 100644
--- a/buch/chapters/110-elliptisch/jacobi.tex
+++ b/buch/chapters/110-elliptisch/jacobi.tex
@@ -22,1597 +22,5 @@ dann muss man die Umkehrfunktionen der elliptischen Integrale dafür ins
 Auge fassen.
 
 
-%
-% ellpitische Funktionen als Trigonometrie
-%
-\subsection{Elliptische Funktionen als Trigonometrie}
-\begin{figure}
-\centering
-\includegraphics{chapters/110-elliptisch/images/ellipse.pdf}
-\caption{Kreis und Ellipse zum Vergleich und zur Herleitung der 
-elliptischen Funktionen von Jacobi als ``trigonometrische'' Funktionen
-auf einer Ellipse.
-\label{buch:elliptisch:fig:ellipse}}
-\end{figure}
-% based on Willliam Schwalm, Elliptic functions and elliptic integrals
-% https://youtu.be/DCXItCajCyo
-
-%
-% Geometrie einer Ellipse
-%
-\subsubsection{Geometrie einer Ellipse}
-Eine {\em Ellipse} ist die Menge der Punkte der Ebene, für die die Summe
-\index{Ellipse}%
-der Entfernungen von zwei festen Punkten $F_1$ und $F_2$,
-den {\em Brennpunkten}, konstant ist.
-\index{Brennpunkt}%
-In Abbildung~\ref{buch:elliptisch:fig:ellipse} eine Ellipse
-mit Brennpunkten in $F_1=(-e,0)$ und $F_2=(e,0)$ dargestellt,
-die durch die Punkte $(\pm a,0)$ und $(0,\pm b)$ auf den Achsen geht.
-Der Punkt $(a,0)$ hat die Entfernungen $a+e$ und $a-e$ von den beiden
-Brennpunkten, also die Entfernungssumme $a+e+a-e=2a$.
-Jeder andere Punkt auf der Ellipse muss ebenfalls diese Entfernungssumme
-haben, insbesondere auch der Punkt $(0,b)$.
-Seine Entfernung zu jedem Brennpunkt muss aus Symmetriegründen gleich gross,
-also $a$ sein.
-Aus dem Satz von Pythagoras liest man daher ab, dass
-\[
-b^2+e^2=a^2
-\qquad\Rightarrow\qquad
-e^2 = a^2-b^2
-\]
-sein muss.
-Die Strecke $e$ heisst auch {\em (lineare) Exzentrizität} der Ellipse.
-Das Verhältnis $\varepsilon= e/a$  heisst die {\em numerische Exzentrizität}
-der Ellipse.
-
-%
-% Die Ellipsengleichung
-%
-\subsubsection{Ellipsengleichung}
-Der Punkt $P=(x,y)$ auf der Ellipse hat die Entfernungen
-\begin{equation}
-\begin{aligned}
-\overline{PF_1}^2
-&=
-y^2 + (x+e)^2
-\\
-\overline{PF_2}^2
-&=
-y^2 + (x-e)^2
-\end{aligned}
-\label{buch:elliptisch:eqn:wurzelausdruecke}
-\end{equation}
-von den Brennpunkten, für die 
-\begin{equation}
-\overline{PF_1}+\overline{PF_2}
-=
-2a
-\label{buch:elliptisch:eqn:pf1pf2a}
-\end{equation}
-gelten muss.
-Man kann nachrechnen, dass ein Punkt $P$, der die Gleichung
-\[
-\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2}=1
-\]
-erfüllt, auch die Eigenschaft~\eqref{buch:elliptisch:eqn:pf1pf2a}
-erfüllt.
-Zur Vereinfachung setzen wir $l_1=\overline{PF_1}$ und $l_2=\overline{PF_2}$.
-$l_1$ und $l_2$ sind Wurzeln aus der rechten Seite von
-\eqref{buch:elliptisch:eqn:wurzelausdruecke}.
-Das Quadrat von $l_1+l_2$ ist
-\[
-l_1^2 + 2l_1l_2 + l_2^2 = 4a^2.
-\]
-Um die Wurzeln ganz zu eliminieren, bringt man das Produkt $l_1l_2$ alleine
-auf die rechte Seite und quadriert.
-Man muss also verifizieren, dass
-\[
-(l_1^2 + l_2^2 -4a^2)^2 = 4l_1^2l_2^2.
-\]
-In den entstehenden Ausdrücken muss man ausserdem $e=\sqrt{a^2-b^2}$ und
-\[
-y=b\sqrt{1-\frac{x^2}{a^2}}
-\]
-substituieren.
-Diese Rechnung führt man am einfachsten mit Hilfe eines
-Computeralgebraprogramms durch, welches obige Behauptung bestätigt.
-
-%
-% Normierung
-%
-\subsubsection{Normierung}
-Die trigonometrischen Funktionen sind definiert als Verhältnisse 
-von Seiten rechtwinkliger Dreiecke.
-Dadurch, dass man den die Hypothenuse auf Länge $1$ normiert, 
-kann man die Sinus- und Kosinus-Funktion als Koordinaten eines
-Punktes auf dem Einheitskreis interpretieren.
-
-Für die Koordinaten eines Punktes auf der Ellipse ist dies nicht so einfach,
-weil es nicht nur eine Ellipse gibt, sondern für jede numerische Exzentrizität
-mindestens eine mit Halbeachse $1$.
-Wir wählen die Ellipsen so, dass $a$ die grosse Halbachse ist, also $a>b$.
-Als Normierungsbedingung verwenden wir, dass $b=1$ sein soll, wie in
-Abbildung~\ref{buch:elliptisch:fig:jacobidef}.
-Dann ist $a=1/\varepsilon>1$.
-In dieser Normierung haben Punkte $(x,y)$ auf der Ellipse $y$-Koordinaten
-zwischen $-1$ und $1$ und $x$-Koordinaten zwischen $-a$ und $a$.
-
-Im Zusammenhang mit elliptischen Funktionen wird die numerische Exzentrizität
-$\varepsilon$ auch mit
-\[
-k
-=
-\varepsilon
-=
-\frac{e}{a}
-=
-\frac{\sqrt{a^2-b^2}}{a}
-=
-\frac{\sqrt{a^2-1}}{a},
-\]
-die Zahl $k$ heisst auch der {\em Modulus}.
-Man kann $a$ auch durch $k$ ausdrücken, durch Quadrieren und Umstellen
-findet man
-\[
-k^2a^2 = a^2-1
-\quad\Rightarrow\quad
-1=a^2(k^2-1)
-\quad\Rightarrow\quad
-a=\frac{1}{\sqrt{k^2-1}}.
-\]
-
-Die Gleichung der ``Einheitsellipse'' zu diesem Modulus ist
-\[
-\frac{x^2}{a^2}+y^2=1
-\qquad\text{oder}\qquad
-x^2(k^2-1) + y^2 = 1.
-\]
-
-%
-% Definition der elliptischen Funktionen
-%
-\begin{figure}
-\centering
-\includegraphics{chapters/110-elliptisch/images/jacobidef.pdf}
-\caption{Definition der elliptischen Funktionen als Trigonometrie
-an einer Ellipse mit Halbachsen $a$ und $1$.
-\label{buch:elliptisch:fig:jacobidef}}
-\end{figure}
-\subsubsection{Definition der elliptischen Funktionen}
-Die elliptischen Funktionen für einen Punkt $P$ auf der Ellipse mit Modulus $k$
-können jetzt als Verhältnisse der Koordinaten des Punktes definieren.
-Es stellt sich aber die Frage, was man als Argument verwenden soll.
-Es soll so etwas wie den Winkel $\varphi$ zwischen der $x$-Achse und dem
-Radiusvektor zum Punkt $P$
-darstellen, aber wir haben hier noch eine Wahlfreiheit, die wir später
-ausnützen möchten.
-Im Moment müssen wir die Frage noch nicht beantworten und nennen das
-noch unbestimmte Argument $u$.
-Wir kümmern uns später um die Frage, wie $u$ von $\varphi$ abhängt.
-
-Die Funktionen, die wir definieren wollen, hängen ausserdem auch 
-vom Modulus ab.
-Falls der verwendete Modulus aus dem Zusammenhang klar ist, lassen
-wir das $k$-Argument weg.
-
-Die Punkte auf dem Einheitskreis haben alle den gleichen Abstand vom
-Nullpunkt, dies ist gleichzeitig die definierende Gleichung $r^2=x^2+y^2=1$
-des Kreises.
-Die Punkte auf der Ellipse erfüllen die Gleichung $x^2/a^2+y^2=1$,
-die Entfernung der Punkte $r=\sqrt{x^2+y^2}$ vom Nullpunkt variert aber.
-
-In Analogie zu den trigonometrischen Funktionen setzen wir jetzt für 
-die Funktionen
-\[
-\begin{aligned}
-&\text{sinus amplitudinis:}&
-{\color{red}\operatorname{sn}(u,k)}&= y \\
-&\text{cosinus amplitudinis:}&
-{\color{blue}\operatorname{cn}(u,k)}&= \frac{x}{a} \\
-&\text{delta amplitudinis:}&
-{\color{darkgreen}\operatorname{dn}(u,k)}&=\frac{r}{a},
-\end{aligned}
-\]
-die auch in Abbildung~\ref{buch:elliptisch:fig:jacobidef}
-dargestellt sind.
-Aus der Gleichung der Ellipse folgt sofort, dass
-\[
-\operatorname{sn}(u,k)^2 + \operatorname{cn}(u,k)^2 = 1
-\]
-ist.
-Der Satz von Pythagoras kann verwendet werden, um die Entfernung zu
-berechnen, also gilt
-\begin{equation}
-r^2
-=
-a^2 \operatorname{dn}(u,k)^2
-=
-x^2 + y^2
-=
-a^2\operatorname{cn}(u,k)^2 + \operatorname{sn}(u,k)^2
-\quad
-\Rightarrow
-\quad
-a^2 \operatorname{dn}(u,k)^2
-=
-a^2\operatorname{cn}(u,k)^2 + \operatorname{sn}(u,k)^2.
-\label{buch:elliptisch:eqn:sncndnrelation}
-\end{equation}
-Ersetzt man
-$
-a^2\operatorname{cn}(u,k)^2
-=
-a^2-a^2\operatorname{sn}(u,k)^2
-$, ergibt sich
-\[
-a^2 \operatorname{dn}(u,k)^2
-=
-a^2-a^2\operatorname{sn}(u,k)^2
-+
-\operatorname{sn}(u,k)^2
-\quad
-\Rightarrow
-\quad
-\operatorname{dn}(u,k)^2
-+
-\frac{a^2-1}{a^2}\operatorname{sn}(u,k)^2
-=
-1,
-\]
-woraus sich die Identität
-\[
-\operatorname{dn}(u,k)^2 + k^2 \operatorname{sn}(u,k)^2 = 1
-\]
-ergibt.
-Ebenso kann man aus~\eqref{buch:elliptisch:eqn:sncndnrelation}
-die Funktion $\operatorname{cn}(u,k)$ eliminieren, was auf
-\[
-a^2\operatorname{dn}(u,k)^2
-=
-a^2\operatorname{cn}(u,k)^2
-+1-\operatorname{cn}(u,k)^2
-=
-(a^2-1)\operatorname{cn}(u,k)^2
-+1.
-\]
-Nach Division durch $a^2$ ergibt sich
-\begin{align*}
-\operatorname{dn}(u,k)^2
--
-k^2\operatorname{cn}(u,k)^2
-&=
-\frac{1}{a^2}
-=
-\frac{a^2-a^2+1}{a^2}
-=
-1-k^2 =: k^{\prime 2}.
-\end{align*}
-Wir stellen die hiermit gefundenen Relationen zwischen den grundlegenden
-Jacobischen elliptischen Funktionen für später zusammen in den Formeln
-\begin{equation}
-\begin{aligned}
-\operatorname{sn}^2(u,k)
-+
-\operatorname{cn}^2(u,k)
-&=
-1
-\\
-\operatorname{dn}^2(u,k) + k^2\operatorname{sn}^2(u,k)
-&=
-1
-\\
-\operatorname{dn}^2(u,k)  -k^2\operatorname{cn}^2(u,k)
-&=
-k^{\prime 2}.
-\end{aligned}
-\label{buch:elliptisch:eqn:jacobi-relationen}
-\end{equation}
-zusammen.
-So wie es möglich ist, $\sin\alpha$ durch $\cos\alpha$ auszudrücken,
-ist es mit
-\eqref{buch:elliptisch:eqn:jacobi-relationen}
-jetzt auch möglich jede grundlegende elliptische Funktion durch
-jede anderen auszudrücken.
-Die Resultate sind in der Tabelle~\ref{buch:elliptisch:fig:jacobi-relationen}
-zusammengestellt.
-
-\begin{table}
-\centering
-\renewcommand{\arraystretch}{2.1}
-\begin{tabular}{|>{$\displaystyle}c<{$}|>{$\displaystyle}c<{$}>{$\displaystyle}c<{$}>{$\displaystyle}c<{$}|}
-\hline
-&\operatorname{sn}(u,k)
-&\operatorname{cn}(u,k)
-&\operatorname{dn}(u,k)\\
-\hline
-\operatorname{sn}(u,k)
-&\operatorname{sn}(u,k)
-&\sqrt{1-\operatorname{cn}^2(u,k)}
-&\frac1k\sqrt{1-\operatorname{dn}^2(u,k)}
-\\
-\operatorname{cn}(u,k)
-&\sqrt{1-\operatorname{sn}^2(u,k)}
-&\operatorname{cn}(u,k)
-&\frac{1}{k}\sqrt{\operatorname{dn}^2(u,k)-k^{\prime2}}
-\\
-\operatorname{dn}(u,k)
-&\sqrt{1-k^2\operatorname{sn}^2(u,k)}
-&\sqrt{k^{\prime2}+k^2\operatorname{cn}^2(u,k)}
-&\operatorname{dn}(u,k)
-\\
-\hline
-\end{tabular}
-\caption{Jede der Jacobischen elliptischen Funktionen lässt sich
-unter Verwendung der Relationen~\eqref{buch:elliptisch:eqn:jacobi-relationen}
-durch jede andere ausdrücken.
-\label{buch:elliptisch:fig:jacobi-relationen}}
-\end{table}
-
-%
-% Ableitungen der Jacobi-ellpitischen Funktionen
-% 
-\subsubsection{Ableitung}
-Die trigonometrischen Funktionen sind deshalb so besonders nützlich 
-für die Lösung von Schwingungsdifferentialgleichungen, weil sie die
-Beziehungen
-\[
-\frac{d}{d\varphi}  \cos\varphi = -\sin\varphi
-\qquad\text{und}\qquad
-\frac{d}{d\varphi}  \sin\varphi = \cos\varphi
-\]
-erfüllen.
-So einfach können die Beziehungen natürlich nicht sein, sonst würde sich
-durch Integration ja wieder nur die trigonometrischen Funktionen ergeben.
-Durch geschickte Wahl des Arguments $u$ kann man aber erreichen, dass
-sie ähnlich nützliche Beziehungen zwischen den Ableitungen ergeben.
-
-Gesucht ist jetzt also eine Wahl für das Argument $u$ zum Beispiel in
-Abhängigkeit von $\varphi$, dass sich einfache und nützliche
-Ableitungsformeln ergeben.
-Wir setzen daher $u(\varphi)$ voraus und beachten, dass $x$ und $y$
-ebenfalls von $\varphi$ abhängen, es ist
-$y=\sin\varphi$ und $x=a\cos\varphi$.
-Die Ableitungen von $x$ und $y$ nach $\varphi$ sind
-\begin{align*}
-\frac{dy}{d\varphi}
-&=
-\cos\varphi
-=
-\frac{1}{a} x
-=
-\operatorname{cn}(u,k)
-\\
-\frac{dx}{d\varphi}
-&=
--a\sin\varphi
-=
--a y
-=
--a\operatorname{sn}(u,k).
-\end{align*}
-Daraus kann man jetzt die folgenden Ausdrücke für die Ableitungen der
-elliptischen Funktionen nach $\varphi$ ableiten:
-\begin{align*}
-\frac{d}{d\varphi} \operatorname{sn}(u,z)
-&=
-\frac{d}{d\varphi} y(\varphi)
-=
-\cos\varphi
-=
-\frac{x}{a}
-=
-\operatorname{cn}(u,k)
-&&\Rightarrow&
-\frac{d}{du}
-\operatorname{sn}(u,k)
-&=
-\operatorname{cn}(u,k) \frac{d\varphi}{du}
-\\
-\frac{d}{d\varphi} \operatorname{cn}(u,z)
-&=
-\frac{d}{d\varphi} \frac{x(\varphi)}{a}
-=
--\sin\varphi
-=
--\operatorname{sn}(u,k)
-&&\Rightarrow&
-\frac{d}{du}\operatorname{cn}(u,k)
-&=
--\operatorname{sn}(u,k) \frac{d\varphi}{du}
-\\
-\frac{d}{d\varphi} \operatorname{dn}(u,z)
-&=
-\frac{1}{a}\frac{dr}{d\varphi}
-=
-\frac{1}{a}\frac{d\sqrt{x^2+y^2}}{d\varphi}
-\\
-&=
-\frac{x}{ar} \frac{dx}{d\varphi}
-+
-\frac{y}{ar} \frac{dy}{d\varphi}
-\\
-&=
-\frac{x}{ar} (-a\operatorname{sn}(u,k))
-+
-\frac{y}{ar} \operatorname{cn}(u,k)
-\\
-&=
-\frac{x}{ar}(-ay)
-+
-\frac{y}{ar} \frac{x}{a}
-=
-\frac{xy(-1+\frac{1}{a^2})}{r} 
-\\
-&=
--\frac{xy(a^2-1)}{a^2r} 
-\\
-&=
--\frac{a^2-1}{ar}
-\operatorname{cn}(u,k) \operatorname{sn}(u,k)
-\\
-&=-k^2
-\frac{a}{r}
-\operatorname{cn}(u,k) \operatorname{sn}(u,k)
-\\
-&=
--k^2\frac{\operatorname{cn}(u,k)\operatorname{sn}(u,k)}{\operatorname{dn}(u,k)}
-&&\Rightarrow&
-\frac{d}{du} \operatorname{dn}(u,k)
-&=
--k^2\frac{\operatorname{cn}(u,k)
-\operatorname{sn}(u,k)}{\operatorname{dn}(u,k)}
-\frac{d\varphi}{du}
-\end{align*}
-Die einfachsten Beziehungen ergeben sich offenbar, wenn man $u$ so
-wählt, dass
-\[
-\frac{d\varphi}{du}
-=
-\operatorname{dn}(u,k)
-=
-\frac{r}{a}
-\]
-Damit haben wir die grundlegenden Ableitungsregeln
-\begin{align*}
-\frac{d}{du}\operatorname{sn}(u,k)
-&=
-\phantom{-}\operatorname{cn}(u,k)\operatorname{dn}(u,k)
-\\
-\frac{d}{du}\operatorname{cn}(u,k)
-&=
--\operatorname{sn}(u,k)\operatorname{dn}(u,k)
-\\
-\frac{d}{du}\operatorname{dn}(u,k)
-&=
--k^2\operatorname{sn}(u,k)\operatorname{cn}(u,k)
-\end{align*}
-der elliptischen Funktionen nach Jacobi.
-
-%
-% Der Grenzfall $k=1$
-%
-\subsubsection{Der Grenzwert $k\to1$}
-\begin{figure}
-\centering
-\includegraphics{chapters/110-elliptisch/images/sncnlimit.pdf}
-\caption{Grenzfälle der Jacobischen elliptischen Funktionen 
-für die Werte $0$ und $1$ des Parameters $k$.
-\label{buch:elliptisch:fig:sncnlimit}}
-\end{figure}
-Für $k=1$ ist $k^{\prime2}=1-k^2=$ und es folgt aus den
-Relationen~\eqref{buch:elliptisch:eqn:jacobi-relationen}
-\[
-\operatorname{cn}^2(u,k)
--
-k^2
-\operatorname{dn}^2(u,k)
-=
-k^{\prime2}
-=
-0
-\qquad\Rightarrow\qquad
-\operatorname{cn}^2(u,1)
-=
-\operatorname{dn}^2(u,1),
-\]
-die beiden Funktionen
-$\operatorname{cn}(u,k)$
-und
-$\operatorname{dn}(u,k)$
-fallen also zusammen.
-Die Ableitungsregeln werden dadurch vereinfacht:
-\begin{align*}
-\operatorname{sn}'(u,1)
-&=
-\operatorname{cn}(u,1)
-\operatorname{dn}(u,1)
-=
-\operatorname{cn}^2(u,1)
-=
-1-\operatorname{sn}^2(u,1)
-&&\Rightarrow& y'&=1-y^2
-\\
-\operatorname{cn}'(u,1)
-&=
--
-\operatorname{sn}(u,1)
-\operatorname{dn}(u,1)
-=
--
-\operatorname{sn}(u,1)\operatorname{cn}(u,1)
-&&\Rightarrow&
-\frac{z'}{z}&=(\log z)' = -y
-\end{align*}
-Die erste Differentialgleichung für $y$ lässt sich separieren, man findet
-die Lösung
-\[
-\frac{y'}{1-y^2}
-=
-1
-\quad\Rightarrow\quad
-\int \frac{dy}{1-y^2} = \int \,du
-\quad\Rightarrow\quad
-\operatorname{artanh}(y) = u
-\quad\Rightarrow\quad
-\operatorname{sn}(u,1)=\tanh u.
-\]
-Damit kann man jetzt auch $z$ berechnen:
-\begin{align*}
-(\log \operatorname{cn}(u,1))'
-&=
-\tanh u
-&&\Rightarrow&
-\log\operatorname{cn}(u,1)
-&=
--\int\tanh u\,du
-=
--\log\cosh u
-\\
-&
-&&\Rightarrow&
-\operatorname{cn}(u,1)
-&=
-\frac{1}{\cosh u}
-=
-\operatorname{sech}u.
-\end{align*}
-Die Grenzfunktionen sind in Abbildung~\ref{buch:elliptisch:fig:sncnlimit}
-dargestellt.
-
-%
-% Das Argument u
-%
-\subsubsection{Das Argument $u$}
-Die Gleichung 
-\begin{equation}
-\frac{d\varphi}{du}
-=
-\operatorname{dn}(u,k)
-\label{buch:elliptisch:eqn:uableitung}
-\end{equation}
-ermöglicht, $\varphi$ in Abhängigkeit von $u$ zu berechnen, ohne jedoch
-die geometrische Bedeutung zu klären.
-Das beginnt bereits damit, dass der Winkel $\varphi$ nicht nicht der
-Polarwinkel des Punktes $P$ in Abbildung~\ref{buch:elliptisch:fig:jacobidef}
-ist, diesen nennen wir $\vartheta$.
-Der Zusammenhang zwischen $\varphi$ und $\vartheta$ ist
-\begin{equation}
-\frac1{a}\tan\varphi = \tan\vartheta
-\label{buch:elliptisch:eqn:phitheta}
-\end{equation}
-
-Um die geometrische Bedeutung besser zu verstehen, nehmen wir jetzt an,
-dass die Ellipse mit einem Parameter $t$ parametrisiert ist, dass also
-$\varphi(t)$, $\vartheta(t)$ und $u(t)$ Funktionen von $t$ sind.
-Die Ableitung von~\eqref{buch:elliptisch:eqn:phitheta} ist
-\[
-\frac1{a}\cdot \frac{1}{\cos^2\varphi}\cdot \dot{\varphi}
-=
-\frac{1}{\cos^2\vartheta}\cdot \dot{\vartheta}.
-\]
-Daraus kann die Ableitung von $\vartheta$ nach $\varphi$ bestimmt
-werden, sie ist
-\[
-\frac{d\vartheta}{d\varphi}
-=
-\frac{\dot{\vartheta}}{\dot{\varphi}}
-=
-\frac{1}{a}
-\cdot
-\frac{\cos^2\vartheta}{\cos^2\varphi}
-=
-\frac{1}{a}
-\cdot
-\frac{(x/r)^2}{(x/a)^2}
-=
-\frac{1}{a}\cdot
-\frac{a^2}{r^2}
-=
-\frac{1}{a}\cdot\frac{1}{\operatorname{dn}^2(u,k)}.
-\]
-Damit kann man jetzt mit Hilfe von~\eqref{buch:elliptisch:eqn:uableitung} 
-Die Ableitung von $\vartheta$ nach $u$ ermitteln, sie ist
-\[
-\frac{d\vartheta}{du}
-=
-\frac{d\vartheta}{d\varphi}
-\cdot
-\frac{d\varphi}{du}
-=
-\frac{1}{a}\cdot\frac{1}{\operatorname{dn}^2(u,k)}
-\cdot
-\operatorname{dn}(u,k)
-=
-\frac{1}{a}
-\cdot
-\frac{1}{\operatorname{dn}(u,k)}
-=
-\frac{1}{a}
-\cdot\frac{a}{r}
-=
-\frac{1}{r},
-\]
-wobei wir auch die Definition der Funktion $\operatorname{dn}(u,k)$
-verwendet haben.
-
-In der Parametrisierung mit dem Parameter $t$ kann man jetzt die Ableitung
-von $u$ nach $t$ berechnen als
-\[
-\frac{du}{dt}
-=
-\frac{du}{d\vartheta}
-\frac{d\vartheta}{dt}
-=
-r
-\dot{\vartheta}.
-\]
-Darin ist $\dot{\vartheta}$ die Winkelgeschwindigkeit des Punktes um
-das Zentrum $O$ und $r$ ist die aktuelle Entfernung des Punktes $P$
-von $O$.
-$r\dot{\vartheta}$ ist also die Geschwindigkeitskomponenten des Punktes
-$P$ senkrecht auf den aktuellen Radiusvektor.
-Der Parameter $u$, der zum Punkt $P$ gehört, ist also das Integral
-\[
-u(P) = \int_0^P r\,d\vartheta.
-\]
-Für einen Kreis ist die Geschwindigkeit von $P$ immer senkrecht
-auf dem Radiusvektor und der Radius ist konstant, so dass
-$u(P)=\vartheta(P)$ ist.
-
-%
-% Die abgeleiteten elliptischen Funktionen
-%
-\begin{figure}
-\centering
-\includegraphics[width=\textwidth]{chapters/110-elliptisch/images/jacobi12.pdf}
-\caption{Die Verhältnisse der Funktionen
-$\operatorname{sn}(u,k)$,
-$\operatorname{cn}(u,k)$
-udn
-$\operatorname{dn}(u,k)$
-geben Anlass zu neun weitere Funktionen, die sich mit Hilfe
-des Strahlensatzes geometrisch interpretieren lassen.
-\label{buch:elliptisch:fig:jacobi12}}
-\end{figure}
-\begin{table}
-\centering
-\renewcommand{\arraystretch}{2.5}
-\begin{tabular}{|>{$\displaystyle}c<{$}|>{$\displaystyle}c<{$}>{$\displaystyle}c<{$}>{$\displaystyle}c<{$}>{$\displaystyle}c<{$}|}
-\hline
-\cdot &
-\frac{1}{1} &
-\frac{1}{\operatorname{sn}(u,k)} &
-\frac{1}{\operatorname{cn}(u,k)} &
-\frac{1}{\operatorname{dn}(u,k)} 
-\\[5pt]
-\hline
-1&
-&%\operatorname{nn}(u,k)=\frac{1}{1} &
-\operatorname{ns}(u,k)=\frac{1}{\operatorname{sn}(u,k)} &
-\operatorname{nc}(u,k)=\frac{1}{\operatorname{cn}(u,k)} &
-\operatorname{nd}(u,k)=\frac{1}{\operatorname{dn}(u,k)}
-\\
-\operatorname{sn}(u,k) &
-\operatorname{sn}(u,k)=\frac{\operatorname{sn}(u,k)}{1}&
-&%\operatorname{ss}(u,k)=\frac{\operatorname{sn}(u,k)}{\operatorname{sn}(u,k)}&
-\operatorname{sc}(u,k)=\frac{\operatorname{sn}(u,k)}{\operatorname{cn}(u,k)}&
-\operatorname{sd}(u,k)=\frac{\operatorname{sn}(u,k)}{\operatorname{dn}(u,k)}
-\\
-\operatorname{cn}(u,k) &
-\operatorname{cn}(u,k)=\frac{\operatorname{cn}(u,k)}{1} &
-\operatorname{cs}(u,k)=\frac{\operatorname{cn}(u,k)}{\operatorname{sn}(u,k)}&
-&%\operatorname{cc}(u,k)=\frac{\operatorname{cn}(u,k)}{\operatorname{cn}(u,k)}&
-\operatorname{cd}(u,k)=\frac{\operatorname{cn}(u,k)}{\operatorname{dn}(u,k)}
-\\
-\operatorname{dn}(u,k) &
-\operatorname{dn}(u,k)=\frac{\operatorname{dn}(u,k)}{1} &
-\operatorname{ds}(u,k)=\frac{\operatorname{dn}(u,k)}{\operatorname{sn}(u,k)}&
-\operatorname{dc}(u,k)=\frac{\operatorname{dn}(u,k)}{\operatorname{cn}(u,k)}&
-%\operatorname{dd}(u,k)=\frac{\operatorname{dn}(u,k)}{\operatorname{dn}(u,k)}
-\\[5pt]
-\hline
-\end{tabular}
-\caption{Zusammenstellung der abgeleiteten Jacobischen elliptischen
-Funktionen in hinteren drei Spalten als Quotienten der grundlegenden
-Jacobischen elliptischen Funktionen.
-Die erste Spalte zum Nenner $1$ enthält die grundlegenden
-Jacobischen elliptischen Funktionen.
-\label{buch:elliptisch:table:abgeleitetjacobi}}
-\end{table}
-\subsubsection{Die abgeleiteten elliptischen Funktionen}
-Zusätzlich zu den grundlegenden Jacobischen elliptischen Funktioenn
-lassen sich weitere elliptische Funktionen bilden, die unglücklicherweise
-die {\em abgeleiteten elliptischen Funktionen} genannt werden.
-Ähnlich wie die trigonometrischen Funktionen $\tan\alpha$, $\cot\alpha$,
-$\sec\alpha$ und $\csc\alpha$ als Quotienten von $\sin\alpha$ und
-$\cos\alpha$ definiert sind, sind die abgeleiteten elliptischen Funktionen
-die in Tabelle~\ref{buch:elliptisch:table:abgeleitetjacobi} zusammengestellten
-Quotienten der grundlegenden Jacobischen elliptischen Funktionen.
-Die Bezeichnungskonvention ist, dass die Funktion $\operatorname{pq}(u,k)$
-ein Quotient ist, dessen Zähler durch den Buchstaben p bestimmt ist,
-der Nenner durch den Buchstaben q.
-Der Buchstabe n steht für eine $1$, die Buchstaben s, c und d stehen für
-die Anfangsbuchstaben der grundlegenden Jacobischen elliptischen
-Funktionen.
-Meint man irgend eine der Jacobischen elliptischen Funktionen, schreibt
-man manchmal auch $\operatorname{zn}(u,k)$.
-
-In Abbildung~\ref{buch:elliptisch:fig:jacobi12} sind die Quotienten auch
-geometrisch interpretiert.
-Der Wert der Funktion $\operatorname{nq}(u,k)$ ist die auf dem Strahl
-mit Polarwinkel $\varphi$ abgetragene Länge bis zu den vertikalen
-Geraden, die den verschiedenen möglichen Nennern entsprechen.
-Entsprechend ist der Wert der Funktion $\operatorname{dq}(u,k)$ die
-Länge auf dem Strahl mit Polarwinkel $\vartheta$.
-
-Die Relationen~\ref{buch:elliptisch:eqn:jacobi-relationen}
-ermöglichen, jede Funktion $\operatorname{zn}(u,k)$ durch jede
-andere auszudrücken.
-Die schiere Anzahl solcher Beziehungen macht es unmöglich, sie 
-übersichtlich in einer Tabelle zusammenzustellen, daher soll hier
-nur an einem Beispiel das Vorgehen gezeigt werden:
-
-\begin{beispiel}
-Die Funktion $\operatorname{sc}(u,k)$ soll durch $\operatorname{cd}(u,k)$
-ausgedrückt werden.
-Zunächst ist 
-\[
-\operatorname{sc}(u,k)
-=
-\frac{\operatorname{sn}(u,k)}{\operatorname{cn}(u,k)}
-\]
-nach Definition.
-Im Resultat sollen nur noch $\operatorname{cn}(u,k)$ und
-$\operatorname{dn}(u,k)$ vorkommen.
-Daher eliminieren wir zunächst die Funktion $\operatorname{sn}(u,k)$
-mit Hilfe von \eqref{buch:elliptisch:eqn:jacobi-relationen} und erhalten
-\begin{equation}
-\operatorname{sc}(u,k)
-=
-\frac{\sqrt{1-\operatorname{cn}^2(u,k)}}{\operatorname{cn}(u,k)}.
-\label{buch:elliptisch:eqn:allgausdruecken}
-\end{equation}
-Nun genügt es, die Funktion $\operatorname{cn}(u,k)$ durch
-$\operatorname{cd}(u,k)$ auszudrücken.
-Aus der Definition und der
-dritten Relation in \eqref{buch:elliptisch:eqn:jacobi-relationen} 
-erhält man
-\begin{align*}
-\operatorname{cd}^2(u,k)
-&=
-\frac{\operatorname{cn}^2(u,k)}{\operatorname{dn}^2(u,k)}
-=
-\frac{\operatorname{cn}^2(u,k)}{k^{\prime2}+k^2\operatorname{cn}^2(u,k)}
-\\
-\Rightarrow
-\qquad
-k^{\prime 2}
-\operatorname{cd}^2(u,k)
-+
-k^2\operatorname{cd}^2(u,k)\operatorname{cn}^2(u,k)
-&=
-\operatorname{cn}^2(u,k)
-\\
-\operatorname{cn}^2(u,k)
--
-k^2\operatorname{cd}^2(u,k)\operatorname{cn}^2(u,k)
-&=
-k^{\prime 2}
-\operatorname{cd}^2(u,k)
-\\
-\operatorname{cn}^2(u,k)
-&=
-\frac{
-k^{\prime 2}
-\operatorname{cd}^2(u,k)
-}{
-1 - k^2\operatorname{cd}^2(u,k)
-}
-\end{align*}
-Für den Zähler brauchen wir $1-\operatorname{cn}^2(u,k)$, also
-\[
-1-\operatorname{cn}^2(u,k)
-=
-\frac{
-1
--
-k^2\operatorname{cd}^2(u,k)
--
-k^{\prime 2}
-\operatorname{cd}^2(u,k)
-}{
-1
--
-k^2\operatorname{cd}^2(u,k)
-}
-=
-\frac{1-\operatorname{cd}^2(u,k)}{1-k^2\operatorname{cd}^2(u,k)}
-\]
-Einsetzen in~\eqref{buch:elliptisch:eqn:allgausdruecken} gibt
-\begin{align*}
-\operatorname{sc}(u,k)
-&=
-\frac{
-\sqrt{1-\operatorname{cd}^2(u,k)}
-}{\sqrt{1-k^2\operatorname{cd}^2(u,k)}}
-\cdot
-\frac{
-\sqrt{1 - k^2\operatorname{cd}^2(u,k)}
-}{
-k'
-\operatorname{cd}(u,k)
-}
-=
-\frac{
-\sqrt{1-\operatorname{cd}^2(u,k)}
-}{
-k'
-\operatorname{cd}(u,k)
-}.
-\qedhere
-\end{align*}
-\end{beispiel}
-
-\subsubsection{Ableitung der abgeleiteten elliptischen Funktionen}
-Aus den Ableitungen der grundlegenden Jacobischen elliptischen Funktionen
-können mit der Quotientenregel nun auch beliebige Ableitungen der
-abgeleiteten Jacobischen elliptischen Funktionen gefunden werden.
-Als Beispiel berechnen wir die Ableitung von $\operatorname{sc}(u,k)$.
-Sie ist
-\begin{align*}
-\frac{d}{du}
-\operatorname{sc}(u,k)
-&=
-\frac{d}{du}
-\frac{\operatorname{sn}(u,k)}{\operatorname{cn}(u,k)}
-=
-\frac{
-\operatorname{sn}'(u,k)\operatorname{cn}(u,k)
--
-\operatorname{sn}(u,k)\operatorname{cn}'(u,k)}{
-\operatorname{cn}^2(u,k)
-}
-\\
-&=
-\frac{
-\operatorname{cn}^2(u,k)\operatorname{dn}(u,k)
-+
-\operatorname{sn}^2(u,k)\operatorname{dn}(u,k)
-}{
-\operatorname{cn}^2(u,k)
-}
-=
-\frac{(
-\operatorname{sn}^2(u,k)
-+
-\operatorname{cn}^2(u,k)
-)\operatorname{dn}(u,k)}{
-\operatorname{cn}^2(u,k)
-}
-\\
-&=
-\frac{1}{\operatorname{cn}(u,k)}
-\cdot
-\frac{\operatorname{dn}(u,k)}{\operatorname{cn}(u,k)}
-=
-\operatorname{nc}(u,k)
-\operatorname{dc}(u,k).
-\end{align*}
-Man beachte, dass das Quadrat der Nennerfunktion im Resultat
-der Quotientenregel zur Folge hat, dass die
-beiden Funktionen im Resultat beide den gleichen Nenner haben wie
-die Funktion, die abgeleitet wird.
-
-Mit etwas Fleiss kann man nach diesem Muster alle Ableitungen
-\begin{equation}
-%\small
-\begin{aligned}
-\operatorname{sn}'(u,k)
-&= 
-\phantom{-}
-\operatorname{cn}(u,k)\,\operatorname{dn}(u,k)
-&&\qquad&
-\operatorname{ns}'(u,k)
-&=
--
-\operatorname{cs}(u,k)\,\operatorname{ds}(u,k)
-\\
-\operatorname{cn}'(u,k)
-&= 
--
-\operatorname{sn}(u,k)\,\operatorname{dn}(u,k)
-&&&
-\operatorname{nc}'(u,k)
-&=
-\phantom{-}
-\operatorname{sc}(u,k)\,\operatorname{dc}(u,k)
-\\
-\operatorname{dn}'(u,k)
-&= 
--k^2
-\operatorname{sn}(u,k)\,\operatorname{cn}(u,k)
-&&&
-\operatorname{nd}'(u,k)
-&=
-\phantom{-}
-k^2
-\operatorname{sd}(u,k)\,\operatorname{cd}(u,k)
-\\
-\operatorname{sc}'(u,k)
-&=
-\phantom{-}
-\operatorname{dc}(u,k)\,\operatorname{nc}(u,k)
-&&&
-\operatorname{cs}'(u,k)
-&=
--
-\operatorname{ds}(u,k)\,\operatorname{ns}(u,k)
-\\
-\operatorname{cd}'(u,k)
-&=
--k^{\prime2}
-\operatorname{sd}(u,k)\,\operatorname{nd}(u,k)
-&&&
-\operatorname{dc}'(u,k)
-&=
-\phantom{-}
-k^{\prime2}
-\operatorname{dc}(u,k)\,\operatorname{nc}(u,k)
-\\
-\operatorname{ds}'(d,k)
-&=
--
-\operatorname{cs}(u,k)\,\operatorname{ns}(u,k)
-&&&
-\operatorname{sd}'(d,k)
-&=
-\phantom{-}
-\operatorname{cd}(u,k)\,\operatorname{nd}(u,k)
-\end{aligned}
-\label{buch:elliptisch:eqn:alleableitungen}
-\end{equation}
-finden.
-Man beachte, dass in jeder Identität alle Funktionen den gleichen
-zweiten Buchstaben haben.
-
-\subsubsection{TODO}
-XXX algebraische Beziehungen \\
-XXX Additionstheoreme \\
-XXX Perioden
-% use https://math.stackexchange.com/questions/3013692/how-to-show-that-jacobi-sine-function-is-doubly-periodic
-
-
-XXX Ableitungen \\
-XXX Werte \\
-
-%
-% Lösung von Differentialgleichungen
-%
-\subsection{Lösungen von Differentialgleichungen}
-Die elliptischen Funktionen ermöglichen die Lösung gewisser nichtlinearer
-Differentialgleichungen in geschlossener Form.
-Ziel dieses Abschnitts ist, Differentialgleichungen der Form
-\(
-\ddot{x}(t)
-=
-p(x(t))
-\)
-mit einem Polynom dritten Grades als rechter Seite lösen zu können.
-
-%
-% Die Differentialgleichung der elliptischen Funktionen
-%
-\subsubsection{Die Differentialgleichungen der elliptischen Funktionen}
-Um Differentialgleichungen mit elliptischen Funktion lösen zu
-können, muss man als erstes die Differentialgleichungen derselben
-finden.
-Quadriert man die Ableitungsregel für $\operatorname{sn}(u,k)$, erhält
-man
-\[
-\biggl(\frac{d}{du}\operatorname{sn}(u,k)\biggr)^2
-=
-\operatorname{cn}(u,k)^2 \operatorname{dn}(u,k)^2.
-\]
-Die Funktionen auf der rechten Seite können durch $\operatorname{sn}(u,k)$
-ausgedrückt werden.
-\begin{align*}
-\biggl(\frac{d}{du}\operatorname{sn}(u,k)\biggr)^2
-&=
-\biggl(
-1-\operatorname{sn}(u,k)^2
-\biggr)
-\biggl(
-1-k^2 \operatorname{sn}(u,k)^2
-\biggr)
-\\
-&=
-k^2\operatorname{sn}(u,k)^4 
--(1+k^2)
-\operatorname{sn}(u,k)^2 
-+1.
-\end{align*}
-Für die Funktion $\operatorname{cn}(u,k)$ ergibt analoge Rechnung
-\begin{align*}
-\frac{d}{du}\operatorname{cn}(u,k)
-&=
--\operatorname{sn}(u,k) \operatorname{dn}(u,k)
-\\
-\biggl(\frac{d}{du}\operatorname{cn}(u,k)\biggr)^2
-&=
-\operatorname{sn}(u,k)^2 \operatorname{dn}(u,k)^2
-\\
-&=
-\biggl(1-\operatorname{cn}(u,k)^2\biggr)
-\biggl(1-k^2+k^2 \operatorname{cn}(u,k)^2\biggr)
-\\
-&=
--k^2\operatorname{cn}(u,k)^4
--
-(1-k^2-k^2)\operatorname{cn}(u,k)^2
-+
-(1-k^2)
-\\
-\frac{d}{du}\operatorname{dn}(u,k)
-&=
--k^2\operatorname{sn}(u,k)\operatorname{cn}(u,k)
-\\
-\biggl(
-\frac{d}{du}\operatorname{dn}(u,k)
-\biggr)^2
-&=
-\bigl(k^2 \operatorname{sn}(u,k)^2\bigr)
-\bigl(k^2 \operatorname{cn}(u,k)^2\bigr)
-\\
-&=
-\biggl(
-1-\operatorname{dn}(u,k)^2
-\biggr)
-\biggl(
-\operatorname{dn}(u,k)^2-k^2+1
-\biggr)
-\\
-&=
--\operatorname{dn}(u,k)^4
--
-2\operatorname{dn}(u,k)^2
--k^2+1.
-\end{align*}
-\begin{table}
-\centering
-\renewcommand{\arraystretch}{2}
-\begin{tabular}{|>{$}l<{$}|>{$}l<{$}|>{$}c<{$}|>{$}c<{$}|>{$}c<{$}|>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}|}
-\hline
-\text{Funktion $y=$}&\text{Differentialgleichung}&\alpha&\beta&\gamma&\multicolumn{3}{c|}{Signatur}\\
-\hline
-\operatorname{sn}(u,k)
-	& y'^2 = \phantom{-}(1-y^2)(1-k^2y^2)
-		&k^2&1&1 &+&+&+
-\\
-\operatorname{cn}(u,k)
-	&y'^2 = \phantom{-}(1-y^2)(1-k^2+k^2y^2)
-		&-k^2	&2k^2-1&1-k^2 &-&&+
-\\
-\operatorname{dn}(u,k)
-	& y'^2 = -(1-y^2)(1-k^2-y^2)
-		&1	&1-k^2	&-(1-k^2)&+&+&-
-\\
-\hline
-\end{tabular}
-\caption{Elliptische Funktionen als Lösungsfunktionen für verschiedene
-nichtlineare Differentialgleichungen der Art
-\eqref{buch:elliptisch:eqn:1storderdglell}.
-Die Vorzeichen der Koeffizienten $\alpha$, $\beta$ und $\gamma$
-entscheidet darüber, welche Funktion für die Lösung verwendet werden
-muss.
-\label{buch:elliptisch:tabelle:loesungsfunktionen}}
-\end{table}
-
-Die elliptischen Funktionen genügen also alle einer nichtlinearen
-Differentialgleichung erster Ordnung der selben Art.
-Das Quadrat der Ableitung ist ein Polynom vierten Grades der Funktion.
-Um dies besser einzufangen, schreiben wir $\operatorname{zn}(u,k)$,
-wenn wir eine beliebige der drei Funktionen
-$\operatorname{sn}(u,k)$,
-$\operatorname{cn}(u,k)$
-oder
-$\operatorname{dn}(u,k)$
-meinen.
-Die Funktion $\operatorname{zn}(u,k)$ ist also Lösung der
-Differentialgleichung
-\begin{equation}
-\operatorname{zn}'(u,k)^2
-=
-\alpha \operatorname{zn}(u,k)^4 + \beta \operatorname{zn}(u,)^2 + \gamma,
-\label{buch:elliptisch:eqn:1storderdglell}
-\end{equation}
-wobei wir mit $\operatorname{zn}'(u,k)$ die Ableitung von
-$\operatorname{zn}(u,k)$ nach dem ersten Argument meinen.
-Die Koeffizienten $\alpha$, $\beta$ und $\gamma$ hängen von $k$ ab,
-vor allem aber haben Sie verschiedene Vorzeichen.
-Je nach Vorzeichen sind also eine andere elliptische Funktion als
-Lösung zu verwenden.
-
-%
-% Jacobischen elliptische Funktionen und elliptische Integrale
-%
-\subsubsection{Jacobische elliptische Funktionen als elliptische Integrale}
-Die in Tabelle~\ref{buch:elliptisch:tabelle:loesungsfunktionen}
-zusammengestellten Differentialgleichungen ermöglichen nun, den
-Zusammenhang zwischen den Funktionen 
-$\operatorname{sn}(u,k)$, $\operatorname{cn}(u,k)$ und $\operatorname{dn}(u,k)$
-und den unvollständigen elliptischen Integralen herzustellen.
-Die Differentialgleichungen sind alle von der Form
-\begin{equation}
-\biggl(
-\frac{d y}{d u}
-\biggr)^2
-=
-p(u),
-\label{buch:elliptisch:eqn:allgdgl}
-\end{equation}
-wobei $p(u)$ ein Polynom vierten Grades in $y$ ist.
-Diese Differentialgleichung lässt sich mit Separation lösen.
-Dazu zieht man aus~\eqref{buch:elliptisch:eqn:allgdgl} die
-Wurzel
-\begin{align}
-\frac{dy}{du}
-=
-\sqrt{p(y)}
-\notag
-\intertext{und trennt die Variablen. Man erhält}
-\int\frac{dy}{\sqrt{p(y)}} = u+C.
-\label{buch:elliptisch:eqn:yintegral}
-\end{align}
-Solange $p(y)>0$ ist, ist der Integrand auf der linken Seite
-von~\eqref{buch:elliptisch:eqn:yintegral} ebenfalls positiv und
-das Integral ist eine monoton wachsende Funktion $F(y)$.
-Insbesondere ist $F(y)$ invertierbar.
-Die Lösung $y(u)$ der Differentialgleichung~\eqref{buch:elliptisch:eqn:allgdgl}
-ist daher 
-\[
-y(u) = F^{-1}(u+C).
-\]
-Die Jacobischen elliptischen Funktionen sind daher inverse Funktionen
-der unvollständigen elliptischen Integrale.
-
-\subsubsection{Differentialgleichung zweiter Ordnung}
-Leitet die Differentialgleichung ~\eqref{buch:elliptisch:eqn:1storderdglell}
-man dies nochmals nach $u$ ab, erhält man die Differentialgleichung
-\[
-2\operatorname{zn}''(u,k)\operatorname{zn}'(u,k)
-=
-4\alpha \operatorname{zn}(u,k)^3\operatorname{zn}'(u,k) + 2\beta \operatorname{zn}'(u,k)\operatorname{zn}(u,k).
-\]
-Teilt man auf beiden Seiten durch $2\operatorname{zn}'(u,k)$,
-bleibt die nichtlineare
-Differentialgleichung
-\[
-\frac{d^2\operatorname{zn}}{du^2}
-=
-\beta \operatorname{zn} + 2\alpha \operatorname{zn}^3.
-\]
-Dies ist die Gleichung eines harmonischen Oszillators mit einer 
-Anharmonizität der Form $2\alpha z^3$.
-
-%
-% Differentialgleichung des anharmonischen Oszillators
-%
-\subsubsection{Differentialgleichung des anharmonischen Oszillators}
-Wir möchten die nichtlineare Differentialgleichung
-\begin{equation}
-\biggl(
-\frac{dx}{dt}
-\biggr)^2
-=
-Ax^4+Bx^2 + C
-\label{buch:elliptisch:eqn:allgdgl}
-\end{equation}
-mit Hilfe elliptischer Funktionen lösen.
-Wir nehmen also an, dass die gesuchte Lösung eine Funktion der Form
-\begin{equation}
-x(t) = a\operatorname{zn}(bt,k)
-\label{buch:elliptisch:eqn:loesungsansatz}
-\end{equation}
-ist.
-Die erste Ableitung von $x(t)$ ist
-\[
-\dot{x}(t) 
-=
-a\operatorname{zn}'(bt,k).
-\]
-
-Indem wir diesen Lösungsansatz in die
-Differentialgleichung~\eqref{buch:elliptisch:eqn:allgdgl}
-einsetzen, erhalten wir
-\begin{equation}
-a^2b^2 \operatorname{zn}'(bt,k)^2
-=
-a^4A\operatorname{zn}(bt,k)^4
-+
-a^2B\operatorname{zn}(bt,k)^2
-+C
-\label{buch:elliptisch:eqn:dglx}
-\end{equation}
-Andererseits wissen wir, dass $\operatorname{zn}(u,k)$ einer
-Differentilgleichung der Form~\eqref{buch:elliptisch:eqn:1storderdglell}
-erfüllt.
-Wenn wir \eqref{buch:elliptisch:eqn:dglx} durch $a^2b^2$ teilen, können wir
-die rechte Seite von \eqref{buch:elliptisch:eqn:dglx} mit der rechten
-Seite von \eqref{buch:elliptisch:eqn:1storderdglell} vergleichen:
-\[
-\frac{a^2A}{b^2}\operatorname{zn}(bt,k)^4
-+
-\frac{B}{b^2}\operatorname{zn}(bt,k)^2
-+\frac{C}{a^2b^2}
-=
-\alpha\operatorname{zn}(bt,k)^4
-+
-\beta\operatorname{zn}(bt,k)^2
-+
-\gamma\operatorname{zn}(bt,k).
-\]
-Daraus ergeben sich die Gleichungen
-\begin{align}
-\alpha &= \frac{a^2A}{b^2},
-&
-\beta &= \frac{B}{b^2}
-&&\text{und}
-&
-\gamma &= \frac{C}{a^2b^2}
-\label{buch:elliptisch:eqn:koeffvergl}
-\intertext{oder aufgelöst nach den Koeffizienten der ursprünglichen
-Differentialgleichung}
-A&=\frac{\alpha b^2}{a^2}
-&
-B&=\beta b^2
-&&\text{und}&
-C &= \gamma a^2b^2
-\label{buch:elliptisch:eqn:koeffABC}
-\end{align}
-für die Koeffizienten der Differentialgleichung der zu verwendenden
-Funktion.
-
-Man beachte, dass nach \eqref{buch:elliptisch:eqn:koeffvergl} die 
-Koeffizienten $A$, $B$ und $C$ die gleichen Vorzeichen haben wie
-$\alpha$, $\beta$ und $\gamma$, da in 
-\eqref{buch:elliptisch:eqn:koeffvergl} nur mit Quadraten multipliziert
-wird, die immer positiv sind.
-Diese Vorzeichen bestimmen, welche der Funktionen gewählt werden muss.
-
-In den Differentialgleichungen für die elliptischen Funktionen gibt
-es nur den Parameter $k$, der angepasst werden kann.
-Es folgt, dass die Gleichungen
-\eqref{buch:elliptisch:eqn:koeffvergl} 
-auch $a$ und $b$ bestimmen.
-Zum Beispiel folgt aus der letzten Gleichung, dass
-\[
-b = \pm\sqrt{\frac{B}{\beta}}.
-\]
-Damit folgt dann aus der zweiten
-\[
-a=\pm\sqrt{\frac{\beta C}{\gamma B}}.
-\]
-Die verbleibende Gleichung legt $k$ fest.
-Das folgende Beispiel illustriert das Vorgehen am Beispiel einer
-Gleichung, die Lösungsfunktion $\operatorname{sn}(u,k)$ verlangt.
-
-\begin{beispiel}
-Wir nehmen an, dass die Vorzeichen von $A$, $B$ und $C$ gemäss
-Tabelle~\ref{buch:elliptische:tabelle:loesungsfunktionen} verlangen,
-dass die Funktion $\operatorname{sn}(u,k)$ für die Lösung verwendet
-werden muss.
-Die Tabelle sagt dann auch, dass 
-$\alpha=k^2$, $\beta=1$ und $\gamma=1$ gewählt werden müssen.
-Aus dem Koeffizientenvergleich~\eqref{buch:elliptisch:eqn:koeffvergl}
-folgt dann der Reihe nach
-\begin{align*}
-b&=\pm \sqrt{B}
-\\
-a&=\pm \sqrt{\frac{C}{B}}
-\\
-k^2
-&=
-\frac{AC}{B^2}.
-\end{align*}
-Man beachte, dass man $k^2$ durch Einsetzen von
-\eqref{buch:elliptisch:eqn:koeffABC}
-auch direkt aus den Koeffizienten $\alpha$, $\beta$ und $\gamma$
-erhalten kann, nämlich
-\[
-\frac{AC}{B^2}
-=
-\frac{\frac{\alpha b^2}{a^2} \gamma a^2b^2}{\beta^2 b^4}
-=
-\frac{\alpha\gamma}{\beta^2}.
-\qedhere
-\]
-\end{beispiel}
-
-Da alle Parameter im 
-Lösungsansatz~\eqref{buch:elliptisch:eqn:loesungsansatz} bereits
-festgelegt sind stellt sich die Frage, woher man einen weiteren
-Parameter nehmen kann, mit dem Anfangsbedingungen erfüllen kann.
-Die Differentialgleichung~\eqref{buch:elliptisch:eqn:allgdgl} ist
-autonom, die Koeffizienten der rechten Seite der Differentialgleichung
-sind nicht von der Zeit abhängig. 
-Damit ist eine zeitverschobene Funktion $x(t-t_0)$ ebenfalls eine
-Lösung der Differentialgleichung.
-Die allgmeine Lösung der 
-Differentialgleichung~\eqref{buch:elliptisch:eqn:allgdgl} hat
-also die Form
-\[
-x(t) = a\operatorname{zn}(b(t-t_0)),
-\]
-wobei die Funktion $\operatorname{zn}(u,k)$ auf Grund der Vorzeichen
-von $A$, $B$ und $C$ gewählt werden müssen.
-
-%
-% Das mathematische Pendel
-%
-\subsection{Das mathematische Pendel
-\label{buch:elliptisch:subsection:mathpendel}}
-\begin{figure}
-\centering
-\includegraphics{chapters/110-elliptisch/images/pendel.pdf}
-\caption{Mathematisches Pendel
-\label{buch:elliptisch:fig:mathpendel}}
-\end{figure}
-Das in Abbildung~\ref{buch:elliptisch:fig:mathpendel} dargestellte
-Mathematische Pendel besteht aus einem Massepunkt der Masse $m$
-im Punkt $P$,
-der über eine masselose Stange der Länge $l$ mit dem Drehpunkt $O$
-verbunden ist.
-Das Pendel bewegt sich unter dem Einfluss der Schwerebeschleunigung $g$.
-
-Das Trägheitsmoment des Massepunktes um den Drehpunkt $O$ ist
-\(
-I=ml^2
-\).
-Das Drehmoment der Schwerkraft ist
-\(M=gl\sin\vartheta\).
-Die Bewegungsgleichung wird daher
-\[
-\begin{aligned}
-\frac{d}{dt} I\dot{\vartheta}
-&=
-M
-=
-gl\sin\vartheta
-\\
-ml^2\ddot{\vartheta}
-&=
-gl\sin\vartheta
-&&\Rightarrow&
-\ddot{\vartheta}
-&=\frac{g}{l}\sin\vartheta
-\end{aligned}
-\]
-Dies ist eine nichtlineare Differentialgleichung zweiter Ordnung, die
-wir nicht unmittelbar mit den Differentialgleichungen erster Ordnung
-der elliptischen Funktionen vergleichen können.
-
-Die Differentialgleichungen erster Ordnung der elliptischen Funktionen
-enthalten das Quadrat der ersten Ableitung.
-In unserem Fall entspricht das einer Gleichung, die $\dot{\vartheta}^2$
-enthält.
-Der Energieerhaltungssatz kann uns eine solche Gleichung geben.
-Die Summe von kinetischer und potentieller Energie muss konstant sein.
-Dies führt auf
-\[
-E_{\text{kinetisch}}
-+
-E_{\text{potentiell}}
-=
-\frac12I\dot{\vartheta}^2
-+
-mgl(1-\cos\vartheta)
-=
-\frac12ml^2\dot{\vartheta}^2
-+
-mgl(1-\cos\vartheta)
-=
-E
-\]
-Durch Auflösen nach $\dot{\vartheta}$ kann man jetzt die
-Differentialgleichung
-\[
-\dot{\vartheta}^2
-=
--
-\frac{2g}{l}(1-\cos\vartheta)
-+\frac{2E}{ml^2}
-\]
-finden.
-In erster Näherung, d.h. wenn man die rechte Seite bis zu vierten
-Potenzen in eine Taylor-Reihe in $\vartheta$ entwickelt,  ist dies
-tatsächlich eine Differentialgleichung der Art, wie wir sie für
-elliptische Funktionen gefunden haben, wir möchten aber eine exakte
-Lösung konstruieren.
-
-Die maximale Energie für eine Bewegung, bei der sich das Pendel gerade
-über den höchsten Punkt hinweg zu bewegen vermag, ist 
-$E=2lmg$.
-Falls $E<2mgl$ ist, erwarten wir Schwingungslösungen, bei denen 
-der Winkel $\vartheta$ immer im offenen Interval $(-\pi,\pi)$
-bleibt.
-Für $E>2mgl$ wird sich das Pendel im Kreis bewegen, für sehr grosse
-Energie ist die kinetische Energie dominant, die Verlangsamung im
-höchsten Punkt wird immer weniger ausgeprägt sein.
-
-%
-% Koordinatentransformation auf elliptische Funktionen
-%
-\subsubsection{Koordinatentransformation auf elliptische Funktionen}
-Wir verwenden als neue Variable 
-\[
-y = \sin\frac{\vartheta}2
-\]
-mit der Ableitung
-\[
-\dot{y}=\frac12\cos\frac{\vartheta}{2}\cdot \dot{\vartheta}.
-\]
-Man beachte, dass $y$ nicht eine Koordinate in
-Abbildung~\ref{buch:elliptisch:fig:mathpendel} ist.
-
-Aus den Halbwinkelformeln finden wir
-\[
-\cos\vartheta
-=
-1-2\sin^2 \frac{\vartheta}2
-=
-1-2y^2.
-\]
-Dies können wir zusammen mit der
-Identität $\cos^2\vartheta/2 = 1-\sin^2\vartheta/2 = 1-y^2$
-in die Energiegleichung einsetzen und erhalten
-\[
-\frac12ml^2\dot{\vartheta}^2 + mgly^2 = E
-\qquad\Rightarrow\qquad
-\frac14 \dot{\vartheta}^2 = \frac{E}{2ml^2} - \frac{g}{2l}y^2.
-\]
-Der konstante Term auf der rechten Seite ist grösser oder kleiner als
-$1$ je nachdem, ob das Pendel sich im Kreis bewegt oder nicht.
-
-Durch Multiplizieren mit $\cos^2\frac{\vartheta}{2}=1-y^2$
-erhalten wir auf der linken Seite einen Ausdruck, den wir
-als Funktion von $\dot{y}$ ausdrücken können.
-Wir erhalten
-\begin{align*}
-\frac14
-\cos^2\frac{\vartheta}2
-\cdot
-\dot{\vartheta}^2
-&=
-\frac14
-(1-y^2)
-\biggl(\frac{E}{2ml^2} -\frac{g}{2l}y^2\biggr)
-\\
-\dot{y}^2
-&=
-\frac{1}{4}
-(1-y^2)
-\biggl(\frac{E}{2ml^2} -\frac{g}{2l}y^2\biggr)
-\end{align*}
-Die letzte Gleichung hat die Form einer Differentialgleichung
-für elliptische Funktionen.
-Welche Funktion verwendet werden muss, hängt von der Grösse der
-Koeffizienten in der zweiten Klammer ab.
-Die Tabelle~\ref{buch:elliptisch:tabelle:loesungsfunktionen}
-zeigt, dass in der zweiten Klammer jeweils einer der Terme
-$1$ sein muss.
-
-%
-% Der Fall E < 2mgl
-%
-\subsubsection{Der Fall $E<2mgl$}
-\begin{figure}
-\centering
-\includegraphics[width=\textwidth]{chapters/110-elliptisch/images/jacobiplots.pdf}
-\caption{%
-Abhängigkeit der elliptischen Funktionen von $u$ für
-verschiedene Werte von $k^2=m$.
-Für $m=0$ ist $\operatorname{sn}(u,0)=\sin u$, 
-$\operatorname{cn}(u,0)=\cos u$ und $\operatorname{dn}(u,0)=1$, diese
-sind in allen Plots in einer helleren Farbe eingezeichnet.
-Für kleine Werte von $m$ weichen die elliptischen Funktionen nur wenig
-von den trigonometrischen Funktionen ab,
-es ist aber klar erkennbar, dass die anharmonischen Terme in der
-Differentialgleichung die Periode mit steigender Amplitude verlängern.
-Sehr grosse Werte von $m$ nahe bei $1$ entsprechen der Situation, dass
-die Energie des Pendels fast ausreicht, dass es den höchsten Punkt
-erreichen kann, was es für $m$ macht.
-\label{buch:elliptisch:fig:jacobiplots}}
-\end{figure}
-
-
-Wir verwenden als neue Variable 
-\[
-y = \sin\frac{\vartheta}2
-\]
-mit der Ableitung
-\[
-\dot{y}=\frac12\cos\frac{\vartheta}{2}\cdot \dot{\vartheta}.
-\]
-Man beachte, dass $y$ nicht eine Koordinate in
-Abbildung~\ref{buch:elliptisch:fig:mathpendel} ist.
-
-Aus den Halbwinkelformeln finden wir
-\[
-\cos\vartheta
-=
-1-2\sin^2 \frac{\vartheta}2
-=
-1-2y^2.
-\]
-Dies können wir zusammen mit der
-Identität $\cos^2\vartheta/2 = 1-\sin^2\vartheta/2 = 1-y^2$
-in die Energiegleichung einsetzen und erhalten
-\[
-\frac12ml^2\dot{\vartheta}^2 + mgly^2 = E.
-\]
-Durch Multiplizieren mit $\cos^2\frac{\vartheta}{2}=1-y^2$
-erhalten wir auf der linken Seite einen Ausdruck, den wir
-als Funktion von $\dot{y}$ ausdrücken können.
-Wir erhalten
-\begin{align*}
-\frac12ml^2
-\cos^2\frac{\vartheta}2
-\dot{\vartheta}^2
-&=
-(1-y^2)
-(E -mgly^2)
-\\
-\frac{1}{4}\cos^2\frac{\vartheta}{2}\dot{\vartheta}^2
-&=
-\frac{1}{2}
-(1-y^2)
-\biggl(\frac{E}{ml^2} -\frac{g}{l}y^2\biggr)
-\\
-\dot{y}^2
-&=
-\frac{E}{2ml^2}
-(1-y^2)\biggl(
-1-\frac{2gml}{E}y^2
-\biggr).
-\end{align*}
-Dies ist genau die Form der Differentialgleichung für die elliptische
-Funktion $\operatorname{sn}(u,k)$
-mit $k^2 = 2gml/E< 1$.
-
-%
-% Der Fall E > 2mgl
-%
-\subsection{Der Fall $E > 2mgl$}
-In diesem Fall hat das Pendel im höchsten Punkte immer noch genügend
-kinetische Energie, so dass es sich im Kreise dreht.
-Indem wir die Gleichung
-
-XXX Differentialgleichung \\
-XXX Mathematisches Pendel \\
 
-\subsection{Soliton-Lösungen der Sinus-Gordon-Gleichung}
 
-\subsection{Nichtlineare Differentialgleichung vierter Ordnung}
-XXX Möbius-Transformation \\
-XXX Reduktion auf die Differentialgleichung elliptischer Funktionen
diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/lemniskate.tex b/buch/chapters/110-elliptisch/lemniskate.tex
index 7083b63..f750a82 100644
--- a/buch/chapters/110-elliptisch/lemniskate.tex
+++ b/buch/chapters/110-elliptisch/lemniskate.tex
@@ -20,25 +20,50 @@ elliptischen Funktionen hergestellt werden.
 \caption{Bogenlänge und Radius der Lemniskate von Bernoulli.
 \label{buch:elliptisch:fig:lemniskate}}
 \end{figure}
-Die Lemniskate von Bernoulli ist die Kurve vierten Grades mit der Gleichung
+Die {\em Lemniskate von Bernoulli} ist die Kurve vierten Grades
+mit der Gleichung
+\index{Lemniskate von Bernoulli}%
 \begin{equation}
-(x^2+y^2)^2 = 2a^2(x^2-y^2).
+(X^2+Y^2)^2 = 2a^2(X^2-Y^2).
 \label{buch:elliptisch:eqn:lemniskate}
 \end{equation}
 Sie ist in Abbildung~\ref{buch:elliptisch:fig:lemniskate}
 dargestellt.
-Die beiden Scheitel der Lemniskate befinden sich bei $x=\pm a/\sqrt{2}$.
+Die beiden Scheitel der Lemniskate befinden sich bei $X_s=\pm a\sqrt{2}$.
+Dividiert man die Gleichung der Lemniskate durch $X_s^2=4a^4$ entsteht 
+\begin{equation}
+\biggl(
+\biggl(\frac{X}{a\sqrt{2}}\biggr)^2
++
+\biggl(\frac{Y}{a\sqrt{2}}\biggr)^2
+\biggr)^2
+=
+2\frac{a^2}{2a^2}\biggl(
+\biggl(\frac{X}{a\sqrt{2}}\biggr)^2
+-
+\biggl(\frac{Y}{a\sqrt{2}}\biggr)^2
+\biggr).
+\qquad
+\Leftrightarrow
+\qquad
+(x^2+y^2)^2 = x^2-y^2,
+\label{buch:elliptisch:eqn:lemniskatenormiert}
+\end{equation}
+wobei wir $x=X/a\sqrt{2}$ und $y=Y/a\sqrt{2}$ gesetzt haben.
+In dieser Normierung liegen die Scheitel bei $\pm 1$.
+Dies ist die Skalierung, die für die Definition des lemniskatischen
+Sinus und Kosinus verwendet werden soll.
 
 In Polarkoordinaten $x=r\cos\varphi$ und $y=r\sin\varphi$
-gilt nach Einsetzen in \eqref{buch:elliptisch:eqn:lemniskate}
+gilt nach Einsetzen in \eqref{buch:elliptisch:eqn:lemniskatenormiert}
 \begin{equation}
 r^4
 =
-2a^2r^2(\cos^2\varphi-\sin^2\varphi)
+r^2(\cos^2\varphi-\sin^2\varphi)
 =
-2a^2r^2\cos2\varphi
+r^2\cos2\varphi
 \qquad\Rightarrow\qquad
-r^2 = 2a^2\cos 2\varphi
+r^2 = \cos 2\varphi
 \label{buch:elliptisch:eqn:lemniskatepolar}
 \end{equation}
 als Darstellung der Lemniskate in Polardarstellung.
@@ -46,15 +71,7 @@ Sie gilt für Winkel $\varphi\in[-\frac{\pi}4,\frac{\pi}4]$ für das
 rechte Blatt und $\varphi\in[\frac{3\pi}4,\frac{5\pi}4]$ für das linke
 Blatt der Lemniskate.
 
-Für die Definition des lemniskatischen Sinus wird eine Skalierung
-verwendet, die den rechten Scheitel im Punkt $(1,0)$.
-Dies ist der Fall für $a=1/\sqrt{2}$, die Gleichung der Lemniskate
-wird dann zu
-\[
-(x^2+y^2)^2 = 2(x^2-y^2).
-\]
-
-\subsubsection{Bogelänge}
+\subsection{Bogenlänge}
 Die Funktionen
 \begin{equation}
 x(r) = \frac{r}{\sqrt{2}}\sqrt{1+r^2},
@@ -76,7 +93,7 @@ r^4
 \end{align*}
 sie stellen also eine Parametrisierung der Lemniskate dar.
 
-Mit Hilfe der Parametrsierung~\eqref{buch:geometrie:eqn:lemniskateparam}
+Mit Hilfe der Parametrisierung~\eqref{buch:geometrie:eqn:lemniskateparam}
 kann man die Länge $s$ des in Abbildung~\ref{buch:elliptisch:fig:lemniskate}
 dargestellten Bogens der Lemniskate berechnen.
 Dazu benötigt man die Ableitungen nach $r$, die man mit der Produkt- und
@@ -123,11 +140,16 @@ s(r)
 \label{buch:elliptisch:eqn:lemniskatebogenlaenge}
 \end{equation}
 
-\subsubsection{Darstellung als elliptisches Integral}
+%
+% Als elliptisches Integral
+%
+\subsection{Darstellung als elliptisches Integral}
 Das unvollständige elliptische Integral erster Art mit Parameter
-$m=-1$ ist
+$k^2=-1$ oder $k=i$ ist
 \[
-K(r,-1)
+K(r,i)
+=
+\int_0^x \frac{dt}{\sqrt{(1-t^2)(1-i^2 t^2)}}
 =
 \int_0^x \frac{dt}{\sqrt{(1-t^2)(1-(-1)t^2)}}
 =
@@ -136,11 +158,210 @@ K(r,-1)
 s(r).
 \]
 Der lemniskatische Sinus ist also eine Umkehrfunktion des
-ellptischen Integrals erster Art für einen speziellen Wert des
-Parameters $m$
+elliptischen Integrals erster Art für den speziellen Wert $i$ des
+Parameters $k$.
+
+Die Länge des rechten Blattes der Lemniskate wird mit $\varpi$ bezeichnet
+und hat den numerischen Wert
+\begin{equation}
+\varpi
+=
+2\int_0^1\sqrt{\frac{1}{1-t^4}}\,dt
+=
+2.6220575542.
+\label{buch:elliptisch:eqn:varpi}
+\end{equation}
+$\varpi$ ist auch als die {\em lemniskatische Konstante} bekannt.
+\index{lemniskatische Konstante}%
+Der Lemniskatenbogen zwischen dem Nullpunkt und $(1,0)$ hat die Länge
+$\varpi/2$.
+
+%
+%  Bogenlängenparametrisierung
+%
+\subsection{Bogenlängenparametrisierung}
+Die Lemniskate mit der Gleichung
+\[
+(X^2+Y^2)^2=2(X^2-Y^2)
+\]
+(der Fall $a=1$ in \eqref{buch:elliptisch:eqn:lemniskate})
+kann mit Jacobischen elliptischen Funktionen
+parametrisiert werden.
+Dazu schreibt man
+\[
+\left.
+\begin{aligned}
+X(t)
+&=
+\sqrt{2}\operatorname{cn}(t,k) \operatorname{dn}(t,k)
+\\
+Y(t)
+&=
+\phantom{\sqrt{2}}
+\operatorname{cn}(t,k) \operatorname{sn}(t,k)
+\end{aligned}
+\quad\right\}
+\qquad\text{mit $k=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}$}
+\]
+und berechnet die beiden Seiten der definierenden Gleichung der
+Lemniskate.
+Zunächst ist
+\begin{align*}
+X(t)^2
+&=
+2\operatorname{cn}(t,k)^2
+\operatorname{dn}(t,k)^2
+\\
+Y(t)^2
+&=
+\operatorname{cn}(t,k)^2
+\operatorname{sn}(t,k)^2
+\\
+X(t)^2+Y(t)^2
+&=
+2\operatorname{cn}(t,k)^2
+\bigl(
+\underbrace{
+\operatorname{dn}(t,k)^2
++{\textstyle\frac12}
+\operatorname{sn}(t,k)^2
+}_{\displaystyle =1}
+\bigr)
+%\\
+%&
+=
+2\operatorname{cn}(t,k)^2
+\\
+X(t)^2-Y(t)^2
+&=
+\operatorname{cn}(t,k)^2
+\bigl(
+2\operatorname{dn}(t,k)^2 - \operatorname{sn}(t,k)^2
+\bigr)
+\\
+&=
+\operatorname{cn}(t,k)^2
+\bigl(
+2\bigl({\textstyle\frac12}+{\textstyle\frac12}\operatorname{cn}(t,k)^2\bigr)
+-
+\bigl(1-\operatorname{cn}(t,k)^2\bigr)
+\bigr)
+\\
+&=
+2\operatorname{cn}(t,k)^4
+\\
+\Rightarrow\qquad
+(X(t)^2+Y(t)^2)^2
+&=
+4\operatorname{cn}(t,k)^4
+=
+2(X(t)^2-Y(t)^2).
+\end{align*}
+Wir zeigen jetzt, dass dies tatsächlich eine Bogenlängenparametrisierung
+der Lemniskate ist.
+Dazu berechnen wir die Ableitungen
+\begin{align*}
+\dot{X}(t)
+&=
+\sqrt{2}\operatorname{cn}'(t,k)\operatorname{dn}(t,k)
++
+\sqrt{2}\operatorname{cn}(t,k)\operatorname{dn}'(t,k)
+\\
+&=
+-\sqrt{2}\operatorname{sn}(t,k)\operatorname{dn}(t,k)^2
+-\frac12\sqrt{2}\operatorname{sn}(t,k)\operatorname{cn}(t,k)^2
+\\
+&=
+-\sqrt{2}\operatorname{sn}(t,k)\bigl(
+1-{\textstyle\frac12}\operatorname{sn}(t,k)^2
++{\textstyle\frac12}-{\textstyle\frac12}\operatorname{sn}(u,t)^2
+\bigr)
+\\
+&=
+\sqrt{2}\operatorname{sn}(t,k)
+\bigl(
+{\textstyle \frac32}-\operatorname{sn}(t,k)^2
+\bigr)
+\\
+\dot{X}(t)^2
+&=
+2\operatorname{sn}(t,k)^2
+\bigl(
+{\textstyle \frac32}-\operatorname{sn}(t,k)^2
+\bigr)^2
+\\
+&=
+{\textstyle\frac{9}{2}}\operatorname{sn}(t,k)^2
+-
+6\operatorname{sn}(t,k)^4
++2\operatorname{sn}(t,k)^6
+\\
+\dot{Y}(t)
+&=
+\operatorname{cn}'(t,k)\operatorname{sn}(t,k)
++
+\operatorname{cn}(t,k)\operatorname{sn}'(t,k)
+\\
+&=
+-\operatorname{sn}(t,k)^2
+\operatorname{dn}(t,k)
++\operatorname{cn}(t,k)^2
+\operatorname{dn}(t,k)
+\\
+&=
+\operatorname{dn}(t,k)\bigl(1-2\operatorname{sn}(t,k)^2\bigr)
+\\
+\dot{Y}(t)^2
+&=
+\bigl(1-{\textstyle\frac12}\operatorname{sn}(t,k)^2\bigr)
+\bigl(1-2\operatorname|{sn}(t,k)^2\bigr)^2
+\\
+&=
+1-{\textstyle\frac{9}{2}}\operatorname{sn}(t,k)^2
++6\operatorname{sn}(t,k)^4
+-2\operatorname{sn}(t,k)^6
+\\
+\dot{X}(t)^2 + \dot{Y}(t)^2
+&=
+1.
+\end{align*}
+Dies bedeutet, dass die Bogenlänge zwischen den Parameterwerten $0$ und $s$
+\[
+\int_0^s
+\sqrt{\dot{X}(t)^2 + \dot{Y}(t)^2}
+\,dt
+=
+\int_0^s\,dt
+=
+s,
+\]
+der Parameter $t$ ist also ein Bogenlängenparameter, man darf also
+$s=t$ schreiben.
 
-\subsubsection{Der lemniskatische Sinus und Kosinus}
-Berechnet die Gegenkathete zu einer gegebenen Bogenlänge des Kreises.
+Die mit dem Faktor $1/\sqrt{2}$ skalierte Standard-Lemniskate mit der
+Gleichung
+\[
+(x^2+y^2)^2 = x^2-y^2
+\]
+hat daher eine Bogenlängenparametrisierung mit
+\begin{equation}
+\begin{aligned}
+x(t)
+&=
+\phantom{\frac{1}{\sqrt{2}}}
+\operatorname{cn}(\sqrt{2}t,k)\operatorname{dn}(\sqrt{2}t,k)
+\\
+y(t)
+&=
+\frac{1}{\sqrt{2}}\operatorname{cn}(\sqrt{2}t,k)\operatorname{sn}(\sqrt{2}t,k)
+\end{aligned}
+\label{buch:elliptisch:lemniskate:bogenlaenge}
+\end{equation}
+
+\subsection{Der lemniskatische Sinus und Kosinus}
+Der Sinus berechnet die Gegenkathete zu einer gegebenen Bogenlänge des
+Kreises, er ist die Umkehrfunktion der Funktion, die der Gegenkathete
+die Bogenlänge zuordnet.
 Daher ist es naheliegend, die Umkehrfunktion von $s(r)$ in 
 \eqref{buch:elliptisch:eqn:lemniskatebogenlaenge}
 den {\em lemniskatischen Sinus} zu nennen mit der Bezeichnung
@@ -150,22 +371,36 @@ Der Kosinus ist der Sinus des komplementären Winkels.
 Auch für die lemniskatische Bogenlänge $s(r)$ lässt sich eine
 komplementäre Bogenlänge definieren, nämlich die Bogenlänge zwischen
 dem Punkt $(x(r), y(r))$ und $(1,0)$.
-Die Länge des rechten Blattes der Lemniskate wird mit $\varpi$ bezeichnet
-und hat den numerischen Wert
+Da die Bogenlänge zwischen $(0,0)$ und $(1,0)$ in
+in \eqref{buch:elliptisch:eqn:varpi} bereits bereichnet wurde.
+ist sie $\varpi/2-s$.
+Der {\em lemniskatische Kosinus} ist daher
+$\operatorname{cl}(s) = \operatorname{sl}(\varpi/2-s)$
+Graphen des lemniskatische Sinus und Kosinus sind in
+Abbildung~\label{buch:elliptisch:figure:slcl} dargestellt.
+
+Da die Parametrisierung~\eqref{buch:elliptisch:lemniskate:bogenlaenge}
+eine Bogenlängenparametrisierung ist, darf man $t=s$ schreiben.
+Dann kann man aber auch $r(s)$ daraus berechnen,
+es ist
 \[
-\varphi
+r(s)^2
 =
-2\int_0^1\sqrt{\frac{1}{1-t^4}}\,dt
+x(s)^2 + y(s)^2
 =
-2.6220575542.
+\operatorname{cn}(s\sqrt{2},k)^2
+\qquad\Rightarrow\qquad
+r(s)
+=
+\operatorname{cn}(s\sqrt{2},k)
 \]
-Lemniskatenbogens zwischen dem Nullpunkt und $(1,0)$ hat die Länge
-$\varpi/2$.
-
-Der {\em lemniskatische Kosinus} von $s$ ist derjenige Radiuswert $r$,
-für den der Lemniskatenbogen zwischen $(x(r), y(r))$ und $(1,0)$
-die Länge $s$ hat.
-
 
-XXX Algebraische Beziehungen \\
-XXX Ableitungen \\
+\begin{figure}
+\centering
+\includegraphics[width=\textwidth]{chapters/110-elliptisch/images/slcl.pdf}
+\caption{
+Lemniskatischer Sinus und Kosinus sowie Sinus und Kosinus
+mit derart skaliertem Argument, dass die Funktionen die gleichen Nullstellen
+haben.
+\label{buch:elliptisch:figure:slcl}}
+\end{figure}
diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/mathpendel.tex b/buch/chapters/110-elliptisch/mathpendel.tex
new file mode 100644
index 0000000..d61bcf6
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/110-elliptisch/mathpendel.tex
@@ -0,0 +1,250 @@
+%
+% mathpendel.tex -- Das mathematische Pendel
+%
+% (c) 2022 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+
+\subsection{Das mathematische Pendel
+\label{buch:elliptisch:subsection:mathpendel}}
+\begin{figure}
+\centering
+\includegraphics{chapters/110-elliptisch/images/pendel.pdf}
+\caption{Mathematisches Pendel
+\label{buch:elliptisch:fig:mathpendel}}
+\end{figure}
+Das in Abbildung~\ref{buch:elliptisch:fig:mathpendel} dargestellte
+Mathematische Pendel besteht aus einem Massepunkt der Masse $m$
+im Punkt $P$,
+der über eine masselose Stange der Länge $l$ mit dem Drehpunkt $O$
+verbunden ist.
+Das Pendel bewegt sich unter dem Einfluss der Schwerebeschleunigung $g$.
+
+Das Trägheitsmoment des Massepunktes um den Drehpunkt $O$ ist
+\(
+I=ml^2
+\).
+Das Drehmoment der Schwerkraft ist
+\(M=gl\sin\vartheta\).
+Die Bewegungsgleichung wird daher
+\[
+\begin{aligned}
+\frac{d}{dt} I\dot{\vartheta}
+&=
+M
+=
+gl\sin\vartheta
+\\
+ml^2\ddot{\vartheta}
+&=
+gl\sin\vartheta
+&&\Rightarrow&
+\ddot{\vartheta}
+&=\frac{g}{l}\sin\vartheta
+\end{aligned}
+\]
+Dies ist eine nichtlineare Differentialgleichung zweiter Ordnung, die
+wir nicht unmittelbar mit den Differentialgleichungen erster Ordnung
+der elliptischen Funktionen vergleichen können.
+
+Die Differentialgleichungen erster Ordnung der elliptischen Funktionen
+enthalten das Quadrat der ersten Ableitung.
+In unserem Fall entspricht das einer Gleichung, die $\dot{\vartheta}^2$
+enthält.
+Der Energieerhaltungssatz kann uns eine solche Gleichung geben.
+Die Summe von kinetischer und potentieller Energie muss konstant sein.
+Dies führt auf
+\[
+E_{\text{kinetisch}}
++
+E_{\text{potentiell}}
+=
+\frac12I\dot{\vartheta}^2
++
+mgl(1-\cos\vartheta)
+=
+\frac12ml^2\dot{\vartheta}^2
++
+mgl(1-\cos\vartheta)
+=
+E
+\]
+Durch Auflösen nach $\dot{\vartheta}$ kann man jetzt die
+Differentialgleichung
+\[
+\dot{\vartheta}^2
+=
+-
+\frac{2g}{l}(1-\cos\vartheta)
++\frac{2E}{ml^2}
+\]
+finden.
+In erster Näherung, d.h. wenn man die rechte Seite bis zu vierten
+Potenzen in eine Taylor-Reihe in $\vartheta$ entwickelt,  ist dies
+tatsächlich eine Differentialgleichung der Art, wie wir sie für
+elliptische Funktionen gefunden haben, wir möchten aber eine exakte
+Lösung konstruieren.
+
+Die maximale Energie für eine Bewegung, bei der sich das Pendel gerade
+über den höchsten Punkt hinweg zu bewegen vermag, ist 
+$E=2lmg$.
+Falls $E<2mgl$ ist, erwarten wir Schwingungslösungen, bei denen 
+der Winkel $\vartheta$ immer im offenen Interval $(-\pi,\pi)$
+bleibt.
+Für $E>2mgl$ wird sich das Pendel im Kreis bewegen, für sehr grosse
+Energie ist die kinetische Energie dominant, die Verlangsamung im
+höchsten Punkt wird immer weniger ausgeprägt sein.
+
+%
+% Koordinatentransformation auf elliptische Funktionen
+%
+\subsubsection{Koordinatentransformation auf elliptische Funktionen}
+Wir verwenden als neue Variable 
+\[
+y = \sin\frac{\vartheta}2
+\]
+mit der Ableitung
+\[
+\dot{y}=\frac12\cos\frac{\vartheta}{2}\cdot \dot{\vartheta}.
+\]
+Man beachte, dass $y$ nicht eine Koordinate in
+Abbildung~\ref{buch:elliptisch:fig:mathpendel} ist.
+
+Aus den Halbwinkelformeln finden wir
+\[
+\cos\vartheta
+=
+1-2\sin^2 \frac{\vartheta}2
+=
+1-2y^2.
+\]
+Dies können wir zusammen mit der
+Identität $\cos^2\vartheta/2 = 1-\sin^2\vartheta/2 = 1-y^2$
+in die Energiegleichung einsetzen und erhalten
+\[
+\frac12ml^2\dot{\vartheta}^2 + mgly^2 = E
+\qquad\Rightarrow\qquad
+\frac14 \dot{\vartheta}^2 = \frac{E}{2ml^2} - \frac{g}{2l}y^2.
+\]
+Der konstante Term auf der rechten Seite ist grösser oder kleiner als
+$1$ je nachdem, ob das Pendel sich im Kreis bewegt oder nicht.
+
+Durch Multiplizieren mit $\cos^2\frac{\vartheta}{2}=1-y^2$
+erhalten wir auf der linken Seite einen Ausdruck, den wir
+als Funktion von $\dot{y}$ ausdrücken können.
+Wir erhalten
+\begin{align*}
+\frac14
+\cos^2\frac{\vartheta}2
+\cdot
+\dot{\vartheta}^2
+&=
+\frac14
+(1-y^2)
+\biggl(\frac{E}{2ml^2} -\frac{g}{2l}y^2\biggr)
+\\
+\dot{y}^2
+&=
+\frac{1}{4}
+(1-y^2)
+\biggl(\frac{E}{2ml^2} -\frac{g}{2l}y^2\biggr)
+\end{align*}
+Die letzte Gleichung hat die Form einer Differentialgleichung
+für elliptische Funktionen.
+Welche Funktion verwendet werden muss, hängt von der Grösse der
+Koeffizienten in der zweiten Klammer ab.
+Die Tabelle~\ref{buch:elliptisch:tabelle:loesungsfunktionen}
+zeigt, dass in der zweiten Klammer jeweils einer der Terme
+$1$ sein muss.
+
+%
+% Der Fall E < 2mgl
+%
+\subsubsection{Der Fall $E<2mgl$}
+\begin{figure}
+\centering
+\includegraphics[width=\textwidth]{chapters/110-elliptisch/images/jacobiplots.pdf}
+\caption{%
+Abhängigkeit der elliptischen Funktionen von $u$ für
+verschiedene Werte von $k^2=m$.
+Für $m=0$ ist $\operatorname{sn}(u,0)=\sin u$, 
+$\operatorname{cn}(u,0)=\cos u$ und $\operatorname{dn}(u,0)=1$, diese
+sind in allen Plots in einer helleren Farbe eingezeichnet.
+Für kleine Werte von $m$ weichen die elliptischen Funktionen nur wenig
+von den trigonometrischen Funktionen ab,
+es ist aber klar erkennbar, dass die anharmonischen Terme in der
+Differentialgleichung die Periode mit steigender Amplitude verlängern.
+Sehr grosse Werte von $m$ nahe bei $1$ entsprechen der Situation, dass
+die Energie des Pendels fast ausreicht, dass es den höchsten Punkt
+erreichen kann, was es für $m$ macht.
+\label{buch:elliptisch:fig:jacobiplots}}
+\end{figure}
+
+
+Wir verwenden als neue Variable 
+\[
+y = \sin\frac{\vartheta}2
+\]
+mit der Ableitung
+\[
+\dot{y}=\frac12\cos\frac{\vartheta}{2}\cdot \dot{\vartheta}.
+\]
+Man beachte, dass $y$ nicht eine Koordinate in
+Abbildung~\ref{buch:elliptisch:fig:mathpendel} ist.
+
+Aus den Halbwinkelformeln finden wir
+\[
+\cos\vartheta
+=
+1-2\sin^2 \frac{\vartheta}2
+=
+1-2y^2.
+\]
+Dies können wir zusammen mit der
+Identität $\cos^2\vartheta/2 = 1-\sin^2\vartheta/2 = 1-y^2$
+in die Energiegleichung einsetzen und erhalten
+\[
+\frac12ml^2\dot{\vartheta}^2 + mgly^2 = E.
+\]
+Durch Multiplizieren mit $\cos^2\frac{\vartheta}{2}=1-y^2$
+erhalten wir auf der linken Seite einen Ausdruck, den wir
+als Funktion von $\dot{y}$ ausdrücken können.
+Wir erhalten
+\begin{align*}
+\frac12ml^2
+\cos^2\frac{\vartheta}2
+\dot{\vartheta}^2
+&=
+(1-y^2)
+(E -mgly^2)
+\\
+\frac{1}{4}\cos^2\frac{\vartheta}{2}\dot{\vartheta}^2
+&=
+\frac{1}{2}
+(1-y^2)
+\biggl(\frac{E}{ml^2} -\frac{g}{l}y^2\biggr)
+\\
+\dot{y}^2
+&=
+\frac{E}{2ml^2}
+(1-y^2)\biggl(
+1-\frac{2gml}{E}y^2
+\biggr).
+\end{align*}
+Dies ist genau die Form der Differentialgleichung für die elliptische
+Funktion $\operatorname{sn}(u,k)$
+mit $k^2 = 2gml/E< 1$.
+
+%%
+%% Der Fall E > 2mgl
+%%
+%\subsection{Der Fall $E > 2mgl$}
+%In diesem Fall hat das Pendel im höchsten Punkte immer noch genügend
+%kinetische Energie, so dass es sich im Kreise dreht.
+%Indem wir die Gleichung
+
+
+%\subsection{Soliton-Lösungen der Sinus-Gordon-Gleichung}
+
+%\subsection{Nichtlineare Differentialgleichung vierter Ordnung}
+%XXX Möbius-Transformation \\
+%XXX Reduktion auf die Differentialgleichung elliptischer Funktionen
diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/uebungsaufgaben/1.tex b/buch/chapters/110-elliptisch/uebungsaufgaben/1.tex
new file mode 100644
index 0000000..694f18a
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/110-elliptisch/uebungsaufgaben/1.tex
@@ -0,0 +1,323 @@
+In einem anharmonische Oszillator oszilliert eine Masse $m$ unter dem
+Einfluss einer Kraft, die nach dem Gesetz
+\[
+F(x) = -\kappa x + \delta x^3
+\]
+von der Auslenkung aus der Ruhelage abhängt.
+Nehmen Sie im Folgenden an, dass $\delta >0$ ist,
+dass also die rücktreibende Kraft $F(x)$ kleiner ist als bei einem
+harmonischen Oszillator.
+Ziel der folgenden Teilaufgaben ist, die Lösung $x(t)$ schrittweise
+dadurch zu bestimmen, dass die Bewegungsgleichung in die Differentialgleichung
+der Jacobischen elliptischen Funktion $\operatorname{sn}(u,k)$ umgeformt
+wird.
+\begin{teilaufgaben}
+\item
+Berechnen Sie die Auslenkung $x_0$, bei der die rücktreibende Kraft
+verschwindet.
+Eine beschränkte Schwingung kann diese Amplitude nicht überschreiten.
+\item
+Berechnen Sie die potentielle Energie in Abhängigkeit von der 
+Auslenkung.
+\item
+\label{buch:1101:basic-dgl}
+Formulieren Sie den Energieerhaltungssatz für die Gesamtenergie $E$
+dieses Oszillators.
+Leiten Sie daraus eine nichtlineare Differentialgleichung erster Ordnung
+for den anharmonischen Oszillator ab, die sie in der Form
+$\frac12m\dot{x}^2 = f(x)$ schreiben.
+\item
+Die Amplitude der Schwingung ist derjenige $x$-Wert, für den die
+Geschwindigkeit $\dot{x}(t)$ verschwindet.
+Leiten Sie die Amplitude aus der Differentialgleichung von
+%\ref{buch:1101:basic-dgl}
+Teilaufgabe c)
+ab.
+Sie erhalten zwei Werte $x_{\pm}$, wobei der kleinere $x_-$
+die Amplitude einer beschränkten Schwingung beschreibt,
+während die $x_+$ die minimale Ausgangsamplitude einer gegen
+$\infty$ divergenten Lösung ist.
+\item
+Rechnen Sie nach, dass
+\[
+\frac{x_+^2+x_-^2}{2}
+=
+x_0^2
+\qquad\text{und}\qquad
+x_-^2x_+^2
+=
+\frac{4E}{\delta}.
+\]
+\item
+Faktorisieren Sie die Funktion $f(x)$ in der Differentialgleichung
+von Teilaufgabe c) mit Hilfe der in Teilaufgabe d) bestimmten 
+Nullstellen $x_{\pm}^2$.
+\item
+Dividieren Sie die Differentialgleichung durch $x_-^2$, schreiben
+Sie $X=x/x_-$ und bringen Sie die Differentialgleichung in die
+Form
+\begin{equation}
+A \dot{X}^2
+=
+(1-X^2)
+(1-k^2X^2),
+\label{buch:1101:eqn:dgl3}
+\end{equation}
+wobei $k^2=x_-^2/x_+^2$ und $A$ geeignet gewählt werden müssen.
+\item
+\label{buch:1101:teilaufgabe:dgl3}
+Verwenden Sie $t(\tau) = \alpha\tau$
+und
+$Y(\tau)=X(t(\tau))=X(\alpha\tau)$ um eine Differentialgleichung für
+die Funktion $Y(\tau)$ zu gewinnen, die die Form der Differentialgleichung
+von $\operatorname{sn}(u,k)$ hat (Abschnitt 
+\ref{buch:elliptisch:subsection:differentialgleichungen}),
+für die also $A=0$ in \eqref{buch:1101:eqn:dgl3} ist.
+\item
+Verwenden Sie die Lösung $\operatorname{sn}(u,k)$ der in 
+Teilaufgabe h)
+%\ref{buch:1101:teilaufgabe:dgl3}
+erhaltenen Differentialgleichung,
+um die Lösung $x(t)$ der ursprünglichen Gleichung aufzuschreiben.
+\end{teilaufgaben}
+
+\begin{loesung}
+\begin{figure}
+\centering
+\includegraphics{chapters/110-elliptisch/uebungsaufgaben/anharmonisch.pdf}
+\caption{Rechte Seite der Differentialgleichung
+\eqref{buch:1101:eqn:dglf}. 
+Eine beschränkte Lösung bewegt sich im Bereich $x<x_-$
+während im Bereich $x>x_+$ die Kraft abstossend ist und zu einer
+divergenten Lösung führt.
+\label{buch:1101:fig:potential}
+}
+\end{figure}
+\begin{teilaufgaben}
+\item
+Wegen
+\[
+F(x)
+=
+-\kappa x\biggl(1-\frac{\delta}{\kappa}x^2\biggr)
+=
+-Ix
+\biggl(1-\sqrt{\frac{\delta}{\kappa}}x\biggr)
+\biggl(1+\sqrt{\frac{\delta}{\kappa}}x\biggr)
+\]
+folgt, dass die rücktreibende Kraft bei der Auslenkung  $\pm x_0$ mit
+\[
+x_0^2
+=
+\frac{\kappa}{\delta}
+\qquad\text{oder}\qquad
+x_0 = \sqrt{\frac{\kappa}{\delta}}
+\]
+verschwindet.
+\item
+Die potentielle Energie ist die Arbeit, die gegen die rücktreibende Kraft
+geleistet wird, um die Auslenkung $x$ zu erreichen.
+Sie entsteht durch Integrieren der Kraft über
+das Auslenkungsinterval, also
+\[
+E_{\text{pot}}
+=
+-
+\int_0^x F(\xi) \,d\xi
+=
+\int_0^x \kappa\xi-\delta\xi^3\,d\xi
+=
+\biggl[
+\kappa\frac{\xi^2}{2}
+-
+\delta
+\frac{\xi^4}{4}
+\biggr]_0^x
+=
+\kappa\frac{x^2}{2}
+-
+\delta\frac{x^4}{4}.
+\]
+\item
+Die kinetische Energie ist gegeben durch
+\[
+E_{\text{kin}}
+=
+\frac12m\dot{x}^2.
+\]
+Die Gesamtenergie ist damit
+\[
+E
+=
+\frac12m\dot{x}^2
++
+\kappa
+\frac{x^2}{2}
+-
+\delta
+\frac{x^4}{4}.
+\]
+Die verlangte Umformung ergibt
+\begin{align}
+\frac12m\dot{x}^2
+&=
+E
+-
+\kappa\frac{x^2}{2}
++
+\delta\frac{x^4}{4}
+\label{buch:1101:eqn:dglf}
+\end{align}
+als Differentialgleichung für $x$.
+Die Ableitung $\dot{x}$ hat positives Vorzeichen wenn die Kraft
+abstossend ist und negatives Vorzeichen dort, wo die Kraft anziehend ist.
+%
+\item
+Die Amplitude der Schwingung ist derjenige $x$-Wert, für den
+die Geschwindigkeit verschwindet, also eine Lösung der Gleichung
+\[
+0
+=
+\frac{2E}{m} -\frac{\kappa}{m}x^2 + \frac{\delta}{2m}x^4.
+\]
+Der gemeinsame Nenner $m$ spielt offenbar keine Rolle.
+Die Gleichung hat die zwei Lösungen
+\[
+x_{\pm}^2
+=
+\frac{\kappa \pm \sqrt{\kappa^2-4E\delta}}{\delta}
+=
+\frac{\kappa}{\delta}
+\pm
+\sqrt{
+\biggl(\frac{\kappa}{\delta}\biggr)^2
+-
+\frac{4E}{\delta}
+}.
+\]
+Die Situation ist in Abbildung~\ref{buch:1101:fig:potential}
+Für $x>x_+$ ist die Kraft abstossend, die Lösung divergiert.
+Die Lösung mit dem negativen Zeichen $x_-$ bleibt dagegen beschränkt,
+dies ist die Lösung, die wir suchen.
+
+\item
+Die beiden Formeln ergeben sich aus den Regeln von Vieta für die
+Lösungen einer quadratischen Gleichungg der Form $x^4+px^2+q$.
+Die Nullstellen haben den Mittelwert $-p/2$ und das Produkt $q$.
+
+\item
+Die rechte Seite der Differentialgleichung lässt sich mit Hilfe
+der beiden Nullstellen $x_{\pm}^2$ faktorisieren und bekommt die Form
+\[
+\frac12m\dot{x}^2
+=
+\frac{\delta}{4}(x_+^2-x^2)(x_-^2-x^2).
+\]
+
+\item
+Indem die ganze Gleichung durch $x_-^2$ dividiert wird, entsteht 
+\[
+\frac12m
+\biggl(\frac{\dot{x}}{x_-}\biggr)^2
+=
+\frac{\delta}{4}
+(x_+^2-x^2)
+\biggl(1-\frac{x^2}{x_-^2}\biggr).
+\]
+Schreiben wir $X=x/x_-$ wird daraus
+\[
+\frac1{2}m\dot{X}^2
+=
+\frac{\delta}{4}
+\biggl(x_+^2-x_-^2 X^2\biggr)
+(1-X^2).
+\]
+Durch Ausklammern von $x_+^2$ im ersten Faktor  wir daraus
+\[
+\frac1{2}m\dot{X}^2
+=
+\frac{\delta}{4}
+x_+^2
+\biggl(1-\frac{x_-^2}{x_+^2} X^2\biggr)
+(1-X^2).
+\]
+Mit der Schreibweise $k^2 = x_-^2/x_+^2$ wird die Differentialgleichung
+zu
+\begin{equation}
+\frac{2m}{\delta x_+^2} \dot{X}^2
+=
+(1-X^2)(1-k^2X^2),
+\label{buch:1101:eqn:dgl2}
+\end{equation}
+was der Differentialgleichung für die Jacobische elliptische Funktion
+$\operatorname{sn}(u,k)$ bereits sehr ähnlich sieht.
+\item
+Bis auf den Faktor vor $\dot{X}^2$ ist 
+\eqref{buch:1101:eqn:dgl2}
+die Differentialgleichung
+von
+$\operatorname{sn}(u,k)$.
+Um den Faktor zum Verschwinden zu bringen, schreiben wir 
+$t(\tau) = \alpha\tau$.
+Die Ableitung von $Y(\tau)=X(t(\tau))$ nach $\tau$ ist
+\[
+\frac{dY}{d\tau}
+=
+\dot{X}(t(\tau))\frac{dt}{d\tau}
+=
+\alpha
+\dot{X}(t(\tau))
+\quad\Rightarrow\quad
+\frac{1}{\alpha}\frac{dY}{d\tau}
+=
+\dot{X}(t(\tau))
+\quad\Rightarrow\quad
+\frac{1}{\alpha^2}\biggl(\frac{dY}{d\tau}\biggr)^2
+=
+\dot{X}(t(\tau))^2.
+\]
+Die Differentialgleichung für $Y(\tau)$ ist
+\[
+\frac{2m}{\delta x_+^2\alpha^2}
+\biggl(
+\frac{dY}{d\tau}
+\biggr)^2
+=
+(1-Y^2)(1-k^2Y^2).
+\]
+Der Koeffizient vor der Ableitung wird $1$, wenn man 
+\[
+\alpha^2
+=
+\frac{2m}{\delta x_+^2}
+\]
+wählt.
+Diese Differentialgleichug hat die Lösung
+\[
+Y(\tau) = \operatorname{sn}(\tau,k).
+\]
+\item
+Indem man die gefunden Grössen einsetzt kann man jetzt die Lösung 
+der Differentialgleichung in geschlossener Form als
+\begin{align*}
+x(t)
+&=
+x_- X(t)
+=
+x_- \operatorname{sn}\biggl(
+t\sqrt{\frac{\delta x_+^2}{2m} }
+,k
+\biggr).
+\end{align*}
+Das Produkt $\delta x_+^2$ kann auch als
+\[
+\delta x_+^2
+=
+\kappa+\sqrt{\kappa -4\delta E}
+\]
+geschrieben werden.
+\qedhere
+\end{teilaufgaben}
+\end{loesung}
+
+
diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/uebungsaufgaben/Makefile b/buch/chapters/110-elliptisch/uebungsaufgaben/Makefile
new file mode 100644
index 0000000..0ca5234
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/110-elliptisch/uebungsaufgaben/Makefile
@@ -0,0 +1,8 @@
+#
+# Makefile
+#
+# (c) 2022 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+#
+
+anharmonisch.pdf:	anharmonisch.tex
+	pdflatex anharmonisch.tex
diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/uebungsaufgaben/anharmonisch.pdf b/buch/chapters/110-elliptisch/uebungsaufgaben/anharmonisch.pdf
new file mode 100644
index 0000000..4b00f4d
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/110-elliptisch/uebungsaufgaben/anharmonisch.pdf
diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/uebungsaufgaben/anharmonisch.tex b/buch/chapters/110-elliptisch/uebungsaufgaben/anharmonisch.tex
new file mode 100644
index 0000000..a00c393
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/110-elliptisch/uebungsaufgaben/anharmonisch.tex
@@ -0,0 +1,62 @@
+%
+% anharmonisch.tex -- Potential einer anharmonischen Schwingung
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\documentclass[tikz]{standalone}
+\usepackage{amsmath}
+\usepackage{times}
+\usepackage{txfonts}
+\usepackage{pgfplots}
+\usepackage{csvsimple}
+\usetikzlibrary{arrows,intersections,math}
+\begin{document}
+\def\skala{1}
+\definecolor{darkgreen}{rgb}{0,0.6,0}
+\begin{tikzpicture}[>=latex,thick,scale=\skala]
+
+\def\E{3}
+\def\K{0.2}
+\def\D{0.0025}
+
+\pgfmathparse{sqrt(\K/\D)}
+\xdef\xnull{\pgfmathresult}
+
+\pgfmathparse{sqrt((\K+sqrt(\K*\K-4*\E*\D))/\D)}
+\xdef\xplus{\pgfmathresult}
+\pgfmathparse{sqrt((\K-sqrt(\K*\K-4*\E*\D))/\D)}
+\xdef\xminus{\pgfmathresult}
+
+\def\xmax{13}
+
+\fill[color=darkgreen!20] (0,-1.5) rectangle (\xminus,4.7);
+\node[color=darkgreen] at ({0.5*\xminus},4.7) [below] {anziehende Kraft\strut};
+
+\fill[color=orange!20] (\xplus,-1.5) rectangle (\xmax,4.7);
+\node[color=orange] at ({0.5*(\xplus+\xmax)},4.7) [below] {abstossende\strut};
+\node[color=orange] at ({0.5*(\xplus+\xmax)},4.3) [below] {Kraft\strut};
+
+\node[color=gray] at (\xnull,4.7) [below] {verbotener Bereich\strut};
+
+\draw (-0.1,\E) -- (0.1,\E);
+\node at (-0.1,\E) [left] {$E$};
+
+\draw[color=red,line width=1pt]
+	plot[domain=0:13,samples=100]
+		({\x},{\E-(0.5*\K-0.25*\D*\x*\x)*\x*\x});
+
+\draw[->] (-0.1,0) -- ({\xmax+0.3},0) coordinate[label={$x$}];
+\draw[->] (0,-1.5) -- (0,5) coordinate[label={right:$f(x)$}];
+
+\fill[color=blue] (\xminus,0) circle[radius=0.08];
+\node[color=blue] at (\xminus,0) [below left] {$x_-\mathstrut$};
+
+\fill[color=blue] (\xplus,0) circle[radius=0.08];
+\node[color=blue] at (\xplus,0) [below right] {$x_+\mathstrut$};
+
+\fill[color=blue] (\xnull,0) circle[radius=0.08];
+\node[color=blue] at (\xnull,0) [below] {$x_0\mathstrut$};
+
+\end{tikzpicture}
+\end{document}
+
diff --git a/buch/chapters/references.bib b/buch/chapters/references.bib
index 17ef273..32a86ec 100644
--- a/buch/chapters/references.bib
+++ b/buch/chapters/references.bib
@@ -111,3 +111,10 @@
 	publisher = { Addison-Wesley }
 }
 
+@online{buch:gmp,
+	title = {GNU Multiprecision Arithmetic Library},
+	DAY = 26,
+	MONTH = 5,
+	YEAR = 2022,
+	url = {https://de.wikipedia.org/wiki/GNU_Multiple_Precision_Arithmetic_Library}
+}