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diff --git a/buch/chapters/000-einleitung/Makefile.inc b/buch/chapters/000-einleitung/Makefile.inc index a870448..5840050 100644 --- a/buch/chapters/000-einleitung/Makefile.inc +++ b/buch/chapters/000-einleitung/Makefile.inc @@ -4,5 +4,5 @@ # (c) 2022 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule # -CHAPTERFILES = $(CHAPTERFILES) \ +CHAPTERFILES += \ chapters/000-einleitung/chapter.tex diff --git a/buch/chapters/010-potenzen/Makefile.inc b/buch/chapters/010-potenzen/Makefile.inc index a4505cb..27ccdae 100644 --- a/buch/chapters/010-potenzen/Makefile.inc +++ b/buch/chapters/010-potenzen/Makefile.inc @@ -4,7 +4,7 @@ # (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule # -CHAPTERFILES = $(CHAPTERFILES) \ +CHAPTERFILES += \ chapters/010-potenzen/loesbarkeit.tex \ chapters/010-potenzen/polynome.tex \ chapters/010-potenzen/tschebyscheff.tex \ diff --git a/buch/chapters/020-exponential/Makefile.inc b/buch/chapters/020-exponential/Makefile.inc index d6b3c7f..4d8f58b 100644 --- a/buch/chapters/020-exponential/Makefile.inc +++ b/buch/chapters/020-exponential/Makefile.inc @@ -4,7 +4,7 @@ # (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule # -CHAPTERFILES = $(CHAPTERFILES) \ +CHAPTERFILES += \ chapters/020-exponential/zins.tex \ chapters/020-exponential/log.tex \ chapters/020-exponential/lambertw.tex \ diff --git a/buch/chapters/030-geometrie/Makefile.inc b/buch/chapters/030-geometrie/Makefile.inc index 0bf775f..d4940dc 100644 --- a/buch/chapters/030-geometrie/Makefile.inc +++ b/buch/chapters/030-geometrie/Makefile.inc @@ -4,7 +4,7 @@ # (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule # -CHAPTERFILES = $(CHAPTERFILES) \ +CHAPTERFILES += \ chapters/030-geometrie/trigonometrisch.tex \ chapters/030-geometrie/sphaerisch.tex \ chapters/030-geometrie/hyperbolisch.tex \ diff --git a/buch/chapters/040-rekursion/Makefile.inc b/buch/chapters/040-rekursion/Makefile.inc index c5887f7..cd54c80 100644 --- a/buch/chapters/040-rekursion/Makefile.inc +++ b/buch/chapters/040-rekursion/Makefile.inc @@ -4,9 +4,12 @@ # (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule # -CHAPTERFILES = $(CHAPTERFILES) \ +CHAPTERFILES += \ chapters/040-rekursion/gamma.tex \ + chapters/040-rekursion/bohrmollerup.tex \ + chapters/040-rekursion/integral.tex \ chapters/040-rekursion/beta.tex \ + chapters/040-rekursion/betaverteilung.tex \ chapters/040-rekursion/linear.tex \ chapters/040-rekursion/hypergeometrisch.tex \ chapters/040-rekursion/uebungsaufgaben/401.tex \ diff --git a/buch/chapters/040-rekursion/beta.tex b/buch/chapters/040-rekursion/beta.tex index ea847bc..ff59bad 100644 --- a/buch/chapters/040-rekursion/beta.tex +++ b/buch/chapters/040-rekursion/beta.tex @@ -3,11 +3,17 @@ % % (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule % -\subsection{Die Beta-Funktion -\label{buch:rekursion:gamma:subsection:beta}} +\section{Die Beta-Funktion +\label{buch:rekursion:gamma:section:beta}} Die Eulersche Integralformel für die Gamma-Funktion in -Definition~\ref{buch:rekursion:def:gamma} wurde bisher nicht -gerechtfertigt. +Definition~\ref{buch:rekursion:def:gamma} wurde in +Abschnitt~\ref{buch:subsection:integral-eindeutig} +mit dem Satz von Mollerup gerechtfertigt. +Man kann Sie aber auch als Grenzfall der Beta-Funktion verstehen, +die in diesem Abschnitt dargestellt wird. + + +\subsection{Beta-Integral} In diesem Abschnitt wird das Beta-Integral eingeführt, eine Funktion von zwei Variablen, welches eine Integral-Definition mit einer reichaltigen Menge von Rekursionsbeziehungen hat, die sich direkt auf @@ -233,6 +239,16 @@ B(x,y) = \frac{\Gamma(x)\Gamma(y)}{\Gamma(x+y)} berechnet werden. \end{satz} +% +% Info über die Beta-Verteilung +% +\input{chapters/040-rekursion/betaverteilung.tex} + +\subsection{Weitere Eigenschaften der Gamma-Funktion} +Die nahe Verwandtschaft der Gamma- mit der Beta-Funktion ermöglicht +nun, weitere Eigenschaften der Gamma-Funktion mit Hilfe der Beta-Funktion +herzuleiten. + \subsubsection{Nochmals der Wert von $\Gamma(\frac12)$?} Der Wert von $\Gamma(\frac12)=\sqrt{\pi}$ wurde bereits in \eqref{buch:rekursion:gamma:wert12} @@ -484,83 +500,3 @@ Setzt man $x=\frac12$ in die Verdoppelungsformel ein, erhält man in Übereinstimmung mit dem aus \eqref{buch:rekursion:gamma:gamma12} bereits bekannten Wert. -\subsubsection{Beta-Funktion und Binomialkoeffizienten} -Die Binomialkoeffizienten können mit Hilfe der Fakultät als -\begin{align*} -\binom{n}{k} -&= -\frac{n!}{(n-k)!\,k!} -\intertext{geschrieben werden. -Drückt man die Fakultäten durch die Gamma-Funktion aus, erhält man} -&= -\frac{\Gamma(n+1)}{\Gamma(n-k+1)\Gamma(k+1)}. -\intertext{Schreibt man $x=k-1$ und $y=n-k+1$, wird daraus -wegen $x+y=k+1+n-k+1=n+2=(n+1)+1$} -&= -\frac{\Gamma(x+y-1)}{\Gamma(x)\Gamma(y)}. -\intertext{Die Rekursionsformel für die Gamma-Funktion erlaubt, -den Zähler umzuwandeln in $\Gamma(x+y-1)=\Gamma(x+y)/(x+y-1)$, so dass -der Binomialkoeffizient schliesslich} -&= -\frac{\Gamma(x+y)}{(x+y-1)\Gamma(x)\Gamma(y)} -= -\frac{1}{(n-1)B(n-k+1,k+1)} -\label{buch:rekursion:gamma:binombeta} -\end{align*} -geschrieben werden kann. -Die Rekursionsbeziehung -\[ -\binom{n+1}{k} = \binom{n}{k-1} + \binom{n}{k} -\] -der Binomialkoeffizienten erzeugt das vertraute Pascal-Dreieck, -die Formel \eqref{buch:rekursion:gamma:binombeta} für die -Binomialkoeffizienten macht daraus -\[ -\frac{n-1}{B(n-k,k-1)} -= -\frac{n-2}{B(n-k,k-2)} -+ -\frac{n-2}{B(n-k-1,k-1)}, -\] -die für ganzzahlige Argumente gilt. -Wir wollen nachrechnen, dass dies für beliebige Argumente gilt. -\begin{align*} -\frac{(n-1)\Gamma(n-1)}{\Gamma(n-k)\Gamma(k-1)} -&= -\frac{(n-2)\Gamma(n-2)}{\Gamma(n-k)\Gamma(k-2)} -+ -\frac{(n-2)\Gamma(n-2)}{\Gamma(n-k-1)\Gamma(k-1)} -\\ -\frac{\Gamma(n)}{\Gamma(n-k)\Gamma(k-1)} -&= -\frac{\Gamma(n-1)}{\Gamma(n-k)\Gamma(k-2)} -+ -\frac{\Gamma(n-1)}{\Gamma(n-k-1)\Gamma(k-1)} -\intertext{Durch Zusammenfassen der Faktoren im Zähler mit Hilfe -der Rekursionsformel für die Gamma-Funktion und Multiplizieren -mit dem gemeinsamen Nenner -$\Gamma(n-k)\Gamma(k-1)=(n-k-1)\Gamma(n-k-1)(k-2)\Gamma(k-2)$ wird daraus} -\Gamma(n) -&= -(k-2) -\Gamma(n-1) -+ -(n-k-1) -\Gamma(n-1) -\intertext{Indem wir die Rekursionsformel für die Gamma-Funktion auf -die rechte Seite anwenden können wir erreichen, dass in allen Termen -ein Faktor -$\Gamma(n-1)$ auftritt:} -(n-1)\Gamma(n-1) -&= -(k-2)\Gamma(n-1) -+ -(n+k-1)\Gamma(n-1) -\\ -n-1 -&= -k-2 -+ -n-k-1 -\end{align*} - diff --git a/buch/chapters/040-rekursion/betaverteilung.tex b/buch/chapters/040-rekursion/betaverteilung.tex new file mode 100644 index 0000000..979d04c --- /dev/null +++ b/buch/chapters/040-rekursion/betaverteilung.tex @@ -0,0 +1,487 @@ +% +% teil1.tex -- Beispiel-File für das Paper +% +% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil +% +\subsection{Ordnungsstatistik und Beta-Funktion +\label{buch:rekursion:ordnung:section:ordnungsstatistik}} +\rhead{Ordnungsstatistik und Beta-Funktion} +In diesem Abschnitt ist $X$ eine Zufallsvariable mit der Verteilungsfunktion +$F_X(x)$, und $X_i$, $1\le i\le n$ sei ein Stichprobe von unabhängigen +Zufallsvariablen, die wie $X$ verteilt sind. +Ziel ist, die Verteilungsfunktion und die Wahrscheinlichkeitsdichte +des grössten, zweitgrössten, $k$-t-grössten Wertes in der Stichprobe +zu finden. +Wir schreiben $[n]=\{1,\dots,n\}$ für die Menge der natürlichen +Zahlen von zwischen $1$ und $n$. + +\subsubsection{Verteilung von $\operatorname{max}(X_1,\dots,X_n)$ und +$\operatorname{min}(X_1,\dots,X_n)$ +\label{buch:rekursion:ordnung:subsection:minmax}} +Die Verteilungsfunktion von $\operatorname{max}(X_1,\dots,X_n)$ hat +den Wert +\begin{align*} +F_{\operatorname{max}(X_1,\dots,X_n)}(x) +&= +P(\operatorname{max}(X_1,\dots,X_n) \le x) +\\ +&= +P(X_1\le x\wedge \dots \wedge X_n\le x) +\\ +&= +P(X_1\le x) \cdot \ldots \cdot P(X_n\le x) +\\ +&= +P(X\le x)^n += +F_X(x)^n. +\end{align*} +Für die Gleichverteilung ist +\[ +F_{\text{equi}}(x) += +\begin{cases} +0&\qquad x< 0 +\\ +x&\qquad 0\le x\le 1 +\\ +1&\qquad 1<x. +\end{cases} +\] +In diesem Fall ist Verteilung des Maximums +\[ +F_{\operatorname{max}(X_1,\dots,X_n)}(x) += +\begin{cases} +0&\qquad x<0\\ +x^n&\qquad 0\le x\le 1\\ +1&\qquad 1 < x. +\end{cases} +\] +Mit der zugehörigen Wahrscheinlichkeitsdichte +\[ +\varphi_{\operatorname{max}(X_1,\dots,X_n)} += +\frac{d}{dx} +F_{\operatorname{max}(X_1,\dots,X_n)}(x) += +\begin{cases} +nx^{n-1}&\qquad 0\le x\le 1\\ +0 &\qquad \text{sonst} +\end{cases} +\] +kann man zum Beispiel den Erwartungswert +\[ +E(\operatorname{max}(X_1,\dots,X_n)) += +\int_{-\infty}^\infty +x +\varphi_{\operatorname{X_1,\dots,X_n}}(x) +\,dx += +\int_{0}^1 x\cdot nx^{n-1}\,dt += +\biggl[ +\frac{n}{n+1}x^{n+1} +\biggr]_0^1 += +\frac{n}{n+1} +\] +berechnen. + +Ganz analog kann man auch die Verteilungsfunktion von +$\operatorname{min}(X_1,\dots,X_n)$ bestimmen. +Sie ist +\begin{align*} +F_{\operatorname{min}(X_1,\dots,X_n)}(x) +&= +P(x\le X_1\vee \dots \vee x\le X_n) +\\ +&= +1- +P(x > X_1\wedge \dots \wedge x > X_n) +\\ +&= +1- +(1-P(x\le X_1)) \cdot\ldots\cdot (1-P(x\le X_n)) +\\ +&= +1-(1-F_X(x))^n, +\end{align*} +Im Speziellen für im Intervall $[0,1]$ gleichverteilte $X_i$ ist die +Verteilungsfunktion des Minimums +\[ +F_{\operatorname{min}(X_1,\dots,X_n)}(x) += +\begin{cases} +0 &\qquad x<0 \\ +1-(1-x)^n&\qquad 0\le x\le 1\\ +1 &\qquad 1 < x +\end{cases} +\] +mit Wahrscheinlichkeitsdichte +\[ +\varphi_{\operatorname{min}(X_1,\dots,X_n)} += +\frac{d}{dx} +F_{\operatorname{min}(X_1,\dots,X_n)} += +\begin{cases} +n(1-x)^{n-1}&\qquad 0\le x\le 1\\ +0 &\qquad \text{sonst} +\end{cases} +\] +und Erwartungswert +\begin{align*} +E(\operatorname{min}(X_1,\dots,X_n) +&= +\int_{-\infty}^\infty x\varphi_{\operatorname{min}(X_1,\dots,X_n)}(x)\,dx += +\int_0^1 x\cdot n(1-x)^{n-1}\,dx +\\ +&= +\bigl[ -x(1-x)^n \bigr]_0^1 + \int_0^1 (1-x)^n\,dx += +\biggl[ +- +\frac{1}{n+1} +(1-x)^{n+1} +\biggr]_0^1 += +\frac{1}{n+1}. +\end{align*} +Es ergibt sich daraus als natürlich Verallgemeinerung die Frage nach +der Verteilung des zweitegrössten oder zweitkleinsten Wertes unter den +Werten $X_i$. + +\subsubsection{Der $k$-t-grösste Wert} +Sie wieder $X_i$ eine Stichprobe von $n$ unabhängigen wie $X$ verteilten +Zufallsvariablen. +Diese werden jetzt der Grösse nach sortiert, die sortierten Werte werden +mit +\[ +X_{1:n} \le X_{2:n} \le \dots \le X_{(n-1):n} \le X_{n:n} +\] +bezeichnet. +Die Grössen $X_{k:n}$ sind Zufallsvariablen, sie heissen die $k$-ten +Ordnungsstatistiken. +Die in Abschnitt~\ref{buch:rekursion:ordnung:subsection:minmax} behandelten Zufallsvariablen +$\operatorname{min}(X_1,\dots,X_n)$ +und +$\operatorname{max}(X_1,\dots,X_n)$ +sind die Fälle +\begin{align*} +X_{1:n} &= \operatorname{min}(X_1,\dots,X_n) \\ +X_{n:n} &= \operatorname{max}(X_1,\dots,X_n). +\end{align*} + +Um den Wert der Verteilungsfunktion von $X_{k:n}$ zu berechnen, müssen wir +die Wahrscheinlichkeit bestimmen, dass $k$ der $n$ Werte $X_i$ $x$ nicht +übersteigen. +Der $k$-te Wert $X_{k:n}$ übersteigt genau dann $x$ nicht, wenn +mindestens $k$ der Zufallswerte $X_i$ $x$ nicht übersteigen, also +\[ +P(X_{k:n} \le x) += +P\left( +|\{i\in[n]\,|\, X_i\le x\}| \ge k +\right). +\] + +Das Ereignis $\{X_i\le x\}$ ist eine Bernoulli-Experiment, welches mit +Wahrscheinlichkeit $F_X(x)$ eintritt. +Die Anzahl der Zufallsvariablen $X_i$, die $x$ übertreffen, ist also +Binomialverteilt mit $p=F_X(x)$. +Damit haben wir gefunden, dass mit Wahrscheinlichkeit +\begin{equation} +F_{X_{k:n}}(x) += +P(X_{k:n}\le x) += +\sum_{i=k}^n \binom{n}{i}F_X(x)^i (1-F_X(x))^{n-i} +\label{buch:rekursion:ordnung:eqn:FXkn} +\end{equation} +mindestens $k$ der Zufallsvariablen den Wert $x$ überschreiten. + +\subsubsection{Wahrscheinlichkeitsdichte der Ordnungsstatistik} +Die Wahrscheinlichkeitsdichte der Ordnungsstatistik kann durch Ableitung +von \eqref{buch:rekursion:ordnung:eqn:FXkn} gefunden, werden, sie ist +\begin{align*} +\varphi_{X_{k:n}}(x) +&= +\frac{d}{dx} +F_{X_{k:n}}(x) +\\ +&= +\sum_{i=k}^n +\binom{n}{i} +\bigl( +iF_X(x)^{i-1}\varphi_X(x) (1-F_X(x))^{n-i} +- +F_X(x)^k +(n-i) +(1-F_X(x))^{n-i-1} +\varphi_X(x) +\bigr) +\\ +&= +\sum_{i=k}^n +\binom{n}{i} +\varphi_X(x) +F_X(x)^{i-1}(1-F_X(x))^{n-i-1} +\bigl( +iF_X(x)-(n-i)(1-F_X(x)) +\bigr) +\\ +&= +\varphi_X(x) +\biggl( +\sum_{i=k}^n i\binom{n}{i} F_X(x)^{i-1}(1-F_X(x))^{n-i} +- +\sum_{j=k}^n (n-j)\binom{n}{j} F_X(x)^{j}(1-F_X(x))^{n-j-1} +\biggr) +\\ +&= +\varphi_X(x) +\biggl( +\sum_{i=k}^n i\binom{n}{i} F_X(x)^{i-1}(1-F_X(x))^{n-i} +- +\sum_{i=k+1}^{n+1} (n-i+1)\binom{n}{i-1} F_X(x)^{i-1}(1-F_X(x))^{n-i} +\biggr) +\\ +&= +\varphi_X(x) +\biggl( +k\binom{n}{k}F_X(x)^{k-1}(1-F_X(x))^{n-k} ++ +\sum_{i=k+1}^{n+1} +\left( +i\binom{n}{i} +- +(n-i+1)\binom{n}{i-1} +\right) +F_X(x)^{i-1}(1-F_X(x))^{n-i} +\biggr) +\end{align*} +Mit den wohlbekannten Identitäten für die Binomialkoeffizienten +\begin{align*} +i\binom{n}{i} +- +(n-i+1)\binom{n}{i-1} +&= +n\binom{n-1}{i-1} +- +n +\binom{n-1}{i-1} += +0 +\end{align*} +folgt jetzt +\begin{align*} +\varphi_{X_{k:n}}(x) +&= +\varphi_X(x)k\binom{n}{k} F_X(x)^{k-1}(1-F_X(x))^{n-k}(x). +\intertext{Im Speziellen für gleichverteilte Zufallsvariablen $X_i$ ist +} +\varphi_{X_{k:n}}(x) +&= +k\binom{n}{k} x^{k-1}(1-x)^{n-k}. +\end{align*} +Dies ist die Wahrscheinlichkeitsdichte einer Betaverteilung +\[ +\beta(k,n-k+1)(x) += +\frac{1}{B(k,n-k+1)} +x^{k-1}(1-x)^{n-k}. +\] +Tatsächlich ist die Normierungskonstante +\begin{align} +\frac{1}{B(k,n-k+1)} +&= +\frac{\Gamma(n+1)}{\Gamma(k)\Gamma(n-k+1)} += +\frac{n!}{(k-1)!(n-k)!}. +\label{buch:rekursion:ordnung:betaverteilung:normierung1} +\end{align} +Andererseits ist +\[ +k\binom{n}{k} += +k\frac{n!}{k!(n-k)!} += +\frac{n!}{(k-1)!(n-k)!}, +\] +in Übereinstimmung mit~\eqref{buch:rekursion:ordnung:betaverteilung:normierung1}. +Die Verteilungsfunktion und die Wahrscheinlichkeitsdichte der +Ordnungsstatistik sind in Abbildung~\ref{buch:rekursion:ordnung:fig:order} dargestellt. + +\begin{figure} +\centering +\includegraphics{chapters/040-rekursion/images/order.pdf} +\caption{Verteilungsfunktion und Wahrscheinlichkeitsdichte der +Ordnungsstatistiken $X_{k:n}$ einer gleichverteilung Zuvallsvariable +mit $n=10$. +\label{buch:rekursion:ordnung:fig:order}} +\end{figure} + +% +% Die Beta-Funktion +% +\subsection{Die Beta-Verteilung +\label{buch:rekursion:subsection:beta-verteilung}} +Die Wahrscheinlichkeitsdichte, die im +Abschnitt~\ref{buch:rekursion:ordnung:section:ordnungsstatistik} +gefunden worden ist, ist nicht nur für ganzzahlige Exponenten +definiert. + +\begin{figure} +\centering +\includegraphics[width=0.92\textwidth]{chapters/040-rekursion/images/beta.pdf} +\caption{Wahrscheinlichkeitsdichte der Beta-Verteilung +$\beta(a,b,x)$ +für verschiedene Werte der Parameter $a$ und $b$. +Die Werte des Parameters für einen Graphen einer Beta-Verteilung +sind im kleinen Quadrat rechts im Graphen +als Punkt mit der gleichen Farbe dargestellt. +\label{buch:rekursion:ordnung:fig:betaverteilungn}} +\end{figure} + +\begin{definition} +Die Beta-Verteilung ist die Verteilung mit der Wahrscheinlichkeitsdichte +\[ +\beta_{a,b}(x) += +\begin{cases} +\displaystyle +\frac{1}{B(a,b)} +x^{a-1}(1-x)^{b-1}&\qquad 0\le x \le 1\\ +0&\qquad\text{sonst.} +\end{cases} +\] +\end{definition} + +Die Beta-Funktion ist also die Normierungskonstante der Beta-Verteilung. +Die wichtigsten Kennzahlen der Beta-Verteilung wie Erwartungswert und +Varianz lassen sich alle ebenfalls als Werte der Beta-Funktion ausdrücken. + +\subsubsection{Erwartungswert} +Mit der Wahrscheinlichkeitsdichte kann man jetzt auch den Erwartungswerte +der $k$-ten Ordnungsstatistik bestimmen. +Die Rechnung ergibt: +\begin{align*} +E(X_{k:n}) +&= +\int_0^1 x\cdot k\binom{n}{k} x^{k-1}(1-x)^{n-k}\,dx += +k +\binom{n}{k} +\int_0^1 +x^{k}(1-x)^{n-k}\,dx. +\intertext{Dies ist das Beta-Integral} +&= +k\binom{n}{k} +B(k+1,n-k+1) +\intertext{welches man durch Gamma-Funktionen bzw.~durch Fakultäten wie in} +&= +k\frac{n!}{k!(n-k)!} +\frac{\Gamma(k+1)\Gamma(n-k+1)}{n+2} += +k\frac{n!}{k!(n-k)!} +\frac{k!(n-k)!}{(n+1)!} += +\frac{k}{n+1} +\end{align*} +ausdrücken kann. +Die Erwartungswerte haben also regelmässige Abstände, sie sind in +Abbildung~\ref{buch:rekursion:ordnung:fig:order} als blaue vertikale Linien eingezeichnet. + +Für die Beta-Verteilung lässt sich die Rechnung noch allgemeiner +durchführen. +Der Erwartungswert einer $\beta_{a,b}$-verteilten Zufallsvariablen $X$ +ist +\begin{align*} +E(X) +&= +\int_0^1 x \beta_{a,b}(x)\,dx += +\frac{1}{B(a,b)} +\int_0^1 x\cdot x^{a-1}(1-x)^{b-1}\,dx += +\frac{B(a+1,b)}{B(a,b)} += +\frac{a}{a+b}. +\end{align*} +Durch Einsetzen von $a=k+1$ und $b=n-k+1$ lassen sich die für die +Ordnungsstatistik berechneten Werte wiederfinden. + +\subsubsection{Varianz} +Auch die Varianz lässt sich einfach berechnen, dazu muss zunächst +der Erwartungswert von $X_{k:n}^2$ bestimmt werden. +Er ist +\begin{align*} +E(X_{k:n}^2) +&= +\int_0^1 x^2\cdot k\binom{n}{k} x^{k-1}(1-x)^{n-k}\,dx += +k +\binom{n}{k} +\int_0^1 +x^{k+1}(1-x)^{n-k}\,dx. +\intertext{Auch dies ist ein Beta-Integral, nämlich} +&= +k\binom{n}{k} +B(k+2,n-k+1) += +k\frac{n!}{k!(n-k)!} +\frac{(k+1)!(n-k)!}{(n+2)!} += +\frac{k(k+1)}{(n+1)(n+2)}. +\end{align*} +Die Varianz wird damit +\begin{align} +\operatorname{var}(X_{k:n}) +&= +E(X_{k:n}^2) - E(X_{k:n})^2 +\notag +\\ +& += +\frac{k(k+1)}{(n+1)(n+2)}-\frac{k^2}{(n+1)^2} += +\frac{k(k+1)(n+1)-k^2(n+2)}{(n+1)^2(n+2)} += +\frac{k(n-k+1)}{(n+1)^2(n+2)}. +\label{buch:rekursion:ordnung:eqn:ordnungsstatistik:varianz} +\end{align} +In Abbildung~\ref{buch:rekursion:ordnung:fig:order} ist die Varianz der +Ordnungsstatistik $X_{k:n}$ für $k=7$ und $n=10$ als oranges +Rechteck dargestellt. + +Auch die Varianz kann ganz allgemein für die Beta-Verteilung +bestimmt werden. +Dazu berechnen wir zunächst +\begin{align*} +E(X^2) +&= +\frac{1}{B(a,b)} +\int_0^1 +x^2\cdot x^{a-1}(1-y)^{b-1}\,dx += +\frac{B(a+2,b)}{B(a,b)}. +\end{align*} +Daraus folgt dann +\[ +\operatorname{var}(X) += +E(X^2)-E(X)^2 += +\frac{B(a+2,b)B(a,b)-B(a+1,b)^2}{B(a,b)^2}. +\] + +Die Formel~\eqref{buch:rekursion:ordnung:eqn:ordnungsstatistik:varianz} +besagt auch, dass die Varianz der proportional ist zu $k((n+1)-k)$. +Dieser Ausdruck ist am grössten für $k=(n+1)/2$, die Varianz ist +also grösser für die ``mittleren'' Ordnungstatistiken als für die +extremen $X_{1:n}=\operatorname{min}(X_1,\dots,X_n)$ und +$X_{n:n}=\operatorname{max}(X_1,\dots,X_n)$. + diff --git a/buch/chapters/040-rekursion/bohrmollerup.tex b/buch/chapters/040-rekursion/bohrmollerup.tex new file mode 100644 index 0000000..cd9cadc --- /dev/null +++ b/buch/chapters/040-rekursion/bohrmollerup.tex @@ -0,0 +1,196 @@ +% +% bohrmollerup.tex +% +% (c) 2022 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\subsection{Der Satz von Bohr-Mollerup +\label{buch:rekursion:subsection:bohr-mollerup}} +Die Integralformel und die Grenzwertdefinition für die Gamma-Funktion +zeigen beide, dass das Problem der Ausdehnung der Fakultät zu einer +Funktion $\mathbb{C}\to\mathbb{C}$ eine Lösung hat, aber es ist noch +nicht klar, in welchem Sinn dies die einzig mögliche Lösung ist. +Der Satz von Bohr-Mollerup gibt darauf eine Antwort. + +\begin{satz} +\label{buch:satz:bohr-mollerup} +Eine Funktion $f\colon \mathbb{R}^+\to\mathbb{R}$ mit den Eigenschaften +\begin{enumerate}[i)] +\item $f(1)=1$, +\item $f(x+1)=xf(x)$ für alle $x\in\mathbb{R}^+$ und +\item die Funktion $\log f(t)$ ist konvex +\end{enumerate} +ist die Gamma-Funktion: $f(t)=\Gamma(t)$. +\end{satz} + +Für den Beweis verwenden wir die folgende Eigenschaft einer konvexen +Funktion $g(x)$. +Sei +\begin{equation} +S(y,x) = \frac{g(y)-g(x)}{y-x} +\qquad\text{für $y-x$} +\end{equation} +die Steigung der Sekante zwischen den Punkten $(x,g(x))$ und $(y,g(y))$ +des Graphen von $g$. +Da $g$ konvex ist, ist $S(y,x)$ eine monoton wachsende Funktion +der beiden Variablen $x$ und $y$, solange $y>x$. + +\begin{proof}[Beweis] +Wir halten zunächst fest, dass die Bedingungen i) und ii) zur Folge haben, +dass $f(n+1)=n!$ ist für alle positiven natürlichen Zahlen. +Für die Steigung einer Sekante der Funktion $g(x)=\log f(x)$ kann damit +für natürliche Argumente bereits berechnet werden, es ist +\[ +S(n,n+1) += +\frac{\log n! - \log (n-1)!}{n+1-n} += +\frac{\log n + \log (n-1)! - \log(n-1)!}{1} += +\log n +\] +und entsprechend auch $S(n-1,n) = \log(n-1)$. + +\begin{figure} +\begin{center} +\begin{tikzpicture}[>=latex,thick] +\draw (-6,0) -- (6,0); + +\node at (-5,0) [above] {$n-1\mathstrut$}; +\node at (0,0) [above] {$n\mathstrut$}; +\node at (3,0) [above] {$n+x\mathstrut$}; +\node at (5,0) [above] {$n+1\mathstrut$}; + +\node[color=blue] at (-5,-2.3) {$S(n-1,n)\mathstrut$}; +\node[color=red] at (-1.666,-2.3) {$S(n-1,n+x)\mathstrut$}; +\node[color=darkgreen] at (1.666,-2.3) {$S(n,n+x)\mathstrut$}; +\node[color=orange] at (5,-2.3) {$S(n,n+1)\mathstrut$}; + +\node at (-3.333,-2.3) {$<\mathstrut$}; +\node at (0,-2.3) {$<\mathstrut$}; +\node at (3.333,-2.3) {$<\mathstrut$}; + +\draw[color=blue] (-5,0) -- (-5,-2) -- (0,0); +\draw[color=red] (-5,0) -- (-1.666,-2) -- (3,0); +\draw[color=darkgreen] (0,0) -- (1.666,-2) -- (3,0); +\draw[color=orange] (0,0) -- (5,-2) -- (5,0); + +\fill (-5,0) circle[radius=0.08]; +\fill (0,0) circle[radius=0.08]; +\fill (3,0) circle[radius=0.08]; +\fill (5,0) circle[radius=0.08]; + +\draw[double,color=blue] (-5,-2.5) -- (-5,-3.0); +\draw[double,color=orange] (5,-2.5) -- (5,-3.0); + +\node[color=blue] at (-5,-3.3) {$\log (n-1)\mathstrut$}; +\node[color=orange] at (5,-3.3) {$\log (n)\mathstrut$}; + +\end{tikzpicture} +\end{center} +\caption{Für den Beweis des Satzes von Bohr-Mollerup wird die +Sekantensteigung $S(x,y)$ für die Argumente $n-1$, $n$, $n+x$ und $n+1$ +verwendet. +\label{buch:rekursion:fig:bohr-mollerup}} +\end{figure} +Wir wenden jetzt die eben erwähnte Tatsache, dass $S(x,y)$ monoton +wachsend ist, auf die Punkte $n-1$, $n$, $n+x$ und $n+1$ wie +in Abbildung~\ref{buch:rekursion:fig:bohr-mollerup} an, wobei +$0<x<1$ ist. + +Die linke Ungleichung in Abbildung~\ref{buch:rekursion:fig:bohr-mollerup} +ist +\begin{align} +\log(n-1) +&< +S(n-1,n+x) += +\frac{\log f(n+x) -\log(n-2)!}{n+x-n+1} +\notag +\\ +(x+1)\log(n-1) + \log(n-2)! +&< \log f(n+x), +\notag +\\ +x\log(n-1) + \log(n-1)! +&< \log f(n+x) +\label{buch:rekursion:bohr-mollerup:eqn1} +\intertext{sie schätzt $\log f(n+x)$ nach unten ab. +Die Exponentialfunktion ist monoton wachsen, wendet man sie auf +\eqref{buch:rekursion:bohr-mollerup:eqn1} an, erhält man} +(n-1)^x (n-1)! +&< +f(n+x). +\label{buch:rekursion:bohr-mollerup:ungllinks} +\end{align} +Ganz ähnlich folgt aus der Ungleichung rechts in +Abbildung~\ref{buch:rekursion:fig:bohr-mollerup} +\begin{align} +\frac{\log f(n+x)-\log (n-1)!}{n+x-n} +&< \log n +\notag +\\ +\log f(n+x) - \log(n-1)! +&< +x \log n +\notag +\\ +\log f(n+x) +&< +x\log n + \log(n-1)! +\notag +\intertext{und nach Anwendung der Exponentialfunktion} +f(n+x) +&< +n^x (n-1)! +\label{buch:rekursion:bohr-mollerup:unglrechts} +\end{align} +Die Funktion $f(n+x)$ können wir jetzt mit der Funktionalgleichung ii) +durch $f(x)$ ausdrücken: +\begin{align*} +f(n+x) +&= +(x+n-1)f(n+x-1) +\\ +&= +(x+n-1)(x+n-2)f(n+x-2) +\\ +&\vdots +\\ +&= +(x+n-1)(x+n-2)\dots x\,f(x) += +(x)_n f(x). +\end{align*} +Zusammen mit den Ungleichungen +\eqref{buch:rekursion:bohr-mollerup:ungllinks} +und +\eqref{buch:rekursion:bohr-mollerup:unglrechts} +erhalten wir +\begin{align*} +(n-1)^x (n-1)! +&< +(x)_n f(x) +< +n^x (n-1)! +\intertext{oder nach Division durch $(x)_n$} +%\underbrace{ +\frac{(n-1)^x (n-1)!}{(x)_n} +%}_{\displaystyle\to \Gamma(x)} +&< f(x) +< +\frac{n^x (n-1)!}{(x)_n} += +%\underbrace{ +\frac{n^x n!}{(x)_{n+1}} +%}_{\displaystyle\to \Gamma(x)} +\cdot +%\underbrace{ +\frac{x+n}{n} +%}_{\displaystyle\to 1} +. +\end{align*} +Der Ausdruck ganz links und der erste Bruch rechts konvergieren +für $n\to\infty$ beide gegen $\Gamma(x)$ und der Bruch ganz rechts +konvergiert gegen $1$. +Daher muss auch $f(x)=\Gamma(x)$ sein. +\end{proof} diff --git a/buch/chapters/040-rekursion/gamma.tex b/buch/chapters/040-rekursion/gamma.tex index 737cf7f..7d4453b 100644 --- a/buch/chapters/040-rekursion/gamma.tex +++ b/buch/chapters/040-rekursion/gamma.tex @@ -651,8 +651,11 @@ Abschnitt~\ref{buch:funktionentheorie:section:fortsetzung} beschrieben wird, kann die Funktion auf ganz $\mathbb{C}$ ausgedehnt werden, mit Ausnahme einzelner Pole. Die Funktionalgleichung gilt natürlich für alle $z\in\mathbb{C}$, -für die $\Gamma(z)$ definiert ist. -In einer Umgebung von $z=-n$ gilt +für die $\Gamma(z)$ definiert ist, nicht nur für diejenigen $z$, für +die das Integral konvergiert. +Wir können Sie daher verwenden, um das Argument in den Bereich +zu bringen, wo das Integral zur Berechnung verwendet werden kann. +Dazu berechnen wir \[ \Gamma(z) = @@ -665,12 +668,20 @@ In einer Umgebung von $z=-n$ gilt \dots = \frac{\Gamma(z+n)}{z(z+1)(z+2)\cdots(z+n-1)} += +\frac{\Gamma(z+n)}{(z)_n}. \] -Keiner der Faktoren im Nenner verschwindet in der Nähe von $z=-n$, der -Zähler hat aber einen Pol erster Ordnung an dieser Stelle. -Daher hat auch der Quotient einen Pol erster Ordnung. -Abbildung~\ref{buch:rekursion:fig:gamma} zeigt die Pole bei den -nicht negativen ganzen Zahlen. +Dies gilt für jedes natürlich $n$. +Für $n$ gross genug, genauer für +$n\ge |\operatorname{Re}z|$, +ist $\operatorname{Re}(z+n)=\operatorname{Re}z + n>0$ und damit +kann $\Gamma(z+n)$ mit der Integralformel berechnet werden. + +Die Gamma-Funktion hat keine Nullstellen, aber in der Nähe von $z=-n$ +hat der Nenner eine Nullstelle erster Ordnung. +Somit hat $\Gamma(z)$ Pole erster Ordnung bei den negativen +ganzen Zahlen und bei $0$, wie sie in +Abbildung~\ref{buch:rekursion:fig:gamma} gezeigt werden. \subsubsection{Numerische Berechnung} \begin{table} @@ -714,4 +725,6 @@ Die Genauigkeit erreicht sechs korrekte Nachkommastellen mit nur % % % +\input{chapters/040-rekursion/bohrmollerup.tex} +\input{chapters/040-rekursion/integral.tex} diff --git a/buch/chapters/040-rekursion/images/Makefile b/buch/chapters/040-rekursion/images/Makefile index 9608a94..86dfa1e 100644 --- a/buch/chapters/040-rekursion/images/Makefile +++ b/buch/chapters/040-rekursion/images/Makefile @@ -3,7 +3,7 @@ # # (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule # -all: gammaplot.pdf fibonacci.pdf +all: gammaplot.pdf fibonacci.pdf order.pdf beta.pdf gammaplot.pdf: gammaplot.tex gammapaths.tex pdflatex gammaplot.tex @@ -16,3 +16,17 @@ fibonaccigrid.tex: fibonacci.m fibonacci.pdf: fibonacci.tex fibonaccigrid.tex pdflatex fibonacci.tex + +order.pdf: order.tex orderpath.tex + pdflatex order.tex + +orderpath.tex: order.m + octave order.m + +beta.pdf: beta.tex betapaths.tex + pdflatex beta.tex + +betapaths.tex: betadist.m + octave betadist.m + + diff --git a/buch/chapters/040-rekursion/images/beta.pdf b/buch/chapters/040-rekursion/images/beta.pdf Binary files differnew file mode 100644 index 0000000..0e6567b --- /dev/null +++ b/buch/chapters/040-rekursion/images/beta.pdf diff --git a/buch/chapters/040-rekursion/images/beta.tex b/buch/chapters/040-rekursion/images/beta.tex new file mode 100644 index 0000000..1e1a1b3 --- /dev/null +++ b/buch/chapters/040-rekursion/images/beta.tex @@ -0,0 +1,236 @@ +% +% beta.tex -- display some symmetric beta distributions +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\documentclass[tikz]{standalone} +\usepackage{amsmath} +\usepackage{times} +\usepackage{txfonts} +\usepackage{pgfplots} +\usepackage{csvsimple} +\usetikzlibrary{arrows,intersections,math,calc} +\input{betapaths.tex} +\begin{document} +\def\skala{12} +\definecolor{colorone}{rgb}{1.0,0.6,0.0} +\definecolor{colortwo}{rgb}{1.0,0.0,0.0} +\definecolor{colorthree}{rgb}{0.6,0.0,0.6} +\definecolor{colorfour}{rgb}{0.6,0.0,1.0} +\definecolor{colorfive}{rgb}{0.0,0.0,1.0} +\definecolor{colorsix}{rgb}{0.4,0.6,1.0} +\definecolor{colorseven}{rgb}{0.0,0.0,0.0} +\definecolor{coloreight}{rgb}{0.0,0.8,0.8} +\definecolor{colornine}{rgb}{0.0,0.8,0.2} +\definecolor{colorten}{rgb}{0.2,0.4,0.0} +\definecolor{coloreleven}{rgb}{0.6,1.0,0.0} +\definecolor{colortwelve}{rgb}{1.0,0.8,0.4} + +\def\achsen{ + \foreach \x in {0.1,0.2,0.3,0.4,0.5,0.6,0.7,0.8,0.9}{ + \draw ({\x*\dx},{-0.1/\skala}) -- ({\x*\dx},{0.1/\skala}); + \node at ({\x*\dx},{-0.1/\skala}) [below] {$\x$}; + } + \foreach \y in {1,2,3,4}{ + \draw ({-0.1/\skala},{\y*\dy}) -- ({0.1/\skala},{\y*\dy}); + \node at ({-0.1/\skala},{\y*\dy}) [left] {$\y$}; + } + \def\x{1} + \draw ({\x*\dx},{-0.1/\skala}) -- ({\x*\dx},{0.1/\skala}); + \node at ({\x*\dx},{-0.1/\skala}) [below] {$\x$}; + \def\x{0} + \node at ({\x*\dx},{-0.1/\skala}) [below] {$\x$}; + + \draw[->] ({-0.1/\skala},0) -- ({1*\dx+0.4/\skala},0) + coordinate[label={$x$}]; + \draw[->] (0,{-0.1/\skala}) -- (0,{\betamax*\dy+0.4/\skala},0) + coordinate[label={right:$\beta(a,b,x)$}]; +} + +\def\farbcoord#1#2{ + ({\dx*(0.63+((#1)/5)*0.27)},{\dx*(0.18+((#2)/5)*0.27)}) +} +\def\farbviereck{ + \foreach \x in {1,2,3,4}{ + \draw[color=gray!30] \farbcoord{\x}{0} -- \farbcoord{\x}{4}; + \draw[color=gray!30] \farbcoord{0}{\x} -- \farbcoord{4}{\x}; + } + \draw[->] \farbcoord{0}{0} -- \farbcoord{4.4}{0} + coordinate[label={$a$}]; + \draw[->] \farbcoord{0}{0} -- \farbcoord{0}{4.4} + coordinate[label={left: $b$}]; + \foreach \x in {1,2,3,4}{ + \node[color=gray] at \farbcoord{4}{\x} [right] {\tiny $b=\x$}; + %\fill[color=white,opacity=0.7] + % \farbcoord{(\x-0.1)}{3.3} + % rectangle + % \farbcoord{(\x+0.1)}{4}; + \node[color=gray] at \farbcoord{\x}{4} [right,rotate=90] + {\tiny $a=\x$}; + } +} +\def\farbpunkt#1#2#3{ + \fill[color=#3] \farbcoord{#1}{#2} circle[radius={0.1/\skala}]; +} + +\begin{tikzpicture}[>=latex,thick,scale=\skala] + +\def\dx{1.15} +\def\dy{0.1} +\def\opa{0.1} + +\def\betamax{4.9} + +\begin{scope} +\clip (0,0) rectangle ({1*\dx},{\betamax*\dy}); +\fill[color=colorone,opacity=\opa] (0,0) -- \betaaa -- (\dx,0) -- cycle; +\fill[color=colortwo,opacity=\opa] (0,0) -- \betabb -- (\dx,0) -- cycle; +\fill[color=colorthree,opacity=\opa] (0,0) -- \betacc -- (\dx,0) -- cycle; +\fill[color=colorfour,opacity=\opa] (0,0) -- \betadd -- (\dx,0) -- cycle; +\fill[color=colorfive,opacity=\opa] (0,0) -- \betaee -- (\dx,0) -- cycle; +\fill[color=colorsix,opacity=\opa] (0,0) -- \betaff -- (\dx,0) -- cycle; +\fill[color=colorseven,opacity=\opa] (0,0) -- \betagg -- (\dx,0) -- cycle; +\fill[color=coloreight,opacity=\opa] (0,0) -- \betahh -- (\dx,0) -- cycle; +\fill[color=colornine,opacity=\opa] (0,0) -- \betaii -- (\dx,0) -- cycle; +\fill[color=colorten,opacity=\opa] (0,0) -- \betajj -- (\dx,0) -- cycle; +\fill[color=coloreleven,opacity=\opa] (0,0) -- \betakk -- (\dx,0) -- cycle; +\fill[color=colortwelve,opacity=\opa] (0,0) -- \betall -- (\dx,0) -- cycle; + +\draw[color=colorone] \betaaa; +\draw[color=colortwo] \betabb; +\draw[color=colorthree] \betacc; +\draw[color=colorfour] \betadd; +\draw[color=colorfive] \betaee; +\draw[color=colorsix] \betaff; +\draw[color=colorseven] \betagg; +\draw[color=coloreight] \betahh; +\draw[color=colornine] \betaii; +\draw[color=colorten] \betajj; +\draw[color=coloreleven] \betakk; +\draw[color=colortwelve] \betall; + +\end{scope} + +\achsen + +\farbviereck + +\farbpunkt{\alphatwelve}{\betatwelve}{colortwelve} +\farbpunkt{\alphaeleven}{\betaeleven}{coloreleven} +\farbpunkt{\alphaten}{\betaten}{colorten} +\farbpunkt{\alphanine}{\betanine}{colornine} +\farbpunkt{\alphaeight}{\betaeight}{coloreight} +\farbpunkt{\alphaseven}{\betaseven}{colorseven} +\farbpunkt{\alphasix}{\betasix}{colorsix} +\farbpunkt{\alphafive}{\betafive}{colorfive} +\farbpunkt{\alphafour}{\betafour}{colorfour} +\farbpunkt{\alphathree}{\betathree}{colorthree} +\farbpunkt{\alphatwo}{\betatwo}{colortwo} +\farbpunkt{\alphaone}{\betaone}{colorone} + + +\def\betamax{4.9} + +\begin{scope}[yshift=-0.6cm] + +\begin{scope} +\clip (0,0) rectangle ({1*\dx},{\betamax*\dy}); +\fill[color=colorone,opacity=\opa] (0,0) -- \betaea -- (\dx,0) -- cycle; +\fill[color=colortwo,opacity=\opa] (0,0) -- \betaeb -- (\dx,0) -- cycle; +\fill[color=colorthree,opacity=\opa] (0,0) -- \betaec -- (\dx,0) -- cycle; +\fill[color=colorfour,opacity=\opa] (0,0) -- \betaed -- (\dx,0) -- cycle; +\fill[color=colorfive,opacity=\opa] (0,0) -- \betaee -- (\dx,0) -- cycle; +\fill[color=colorsix,opacity=\opa] (0,0) -- \betaef -- (\dx,0) -- cycle; +\fill[color=colorseven,opacity=\opa] (0,0) -- \betaeg -- (\dx,0) -- cycle; +\fill[color=coloreight,opacity=\opa] (0,0) -- \betaeh -- (\dx,0) -- cycle; +\fill[color=colornine,opacity=\opa] (0,0) -- \betaei -- (\dx,0) -- cycle; +\fill[color=colorten,opacity=\opa] (0,0) -- \betaej -- (\dx,0) -- cycle; +\fill[color=coloreleven,opacity=\opa] (0,0) -- \betaek -- (\dx,0) -- cycle; +\fill[color=colortwelve,opacity=\opa] (0,0) -- \betael -- (\dx,0) -- cycle; + +\draw[color=colorone] \betaea; +\draw[color=colortwo] \betaeb; +\draw[color=colorthree] \betaec; +\draw[color=colorfour] \betaed; +\draw[color=colorfive] \betaee; +\draw[color=colorsix] \betaef; +\draw[color=colorseven] \betaeg; +\draw[color=coloreight] \betaeh; +\draw[color=colornine] \betaei; +\draw[color=colorten] \betaej; +\draw[color=coloreleven] \betaek; +\draw[color=colortwelve] \betael; +\end{scope} + +\achsen + +\farbviereck + +\farbpunkt{\alphafive}{\betatwelve}{colortwelve} +\farbpunkt{\alphafive}{\betaeleven}{coloreleven} +\farbpunkt{\alphafive}{\betaten}{colorten} +\farbpunkt{\alphafive}{\betanine}{colornine} +\farbpunkt{\alphafive}{\betaeight}{coloreight} +\farbpunkt{\alphafive}{\betaseven}{colorseven} +\farbpunkt{\alphafive}{\betasix}{colorsix} +\farbpunkt{\alphafive}{\betafive}{colorfive} +\farbpunkt{\alphafive}{\betafour}{colorfour} +\farbpunkt{\alphafive}{\betathree}{colorthree} +\farbpunkt{\alphafive}{\betatwo}{colortwo} +\farbpunkt{\alphafive}{\betaone}{colorone} + +\end{scope} + +\begin{scope}[yshift=-1.2cm] + +\begin{scope} +\clip (0,0) rectangle ({1*\dx},{\betamax*\dy}); +\fill[color=colorone,opacity=\opa] (0,0) -- \betaal -- (\dx,0) -- cycle; +\fill[color=colortwo,opacity=\opa] (0,0) -- \betabl -- (\dx,0) -- cycle; +\fill[color=colorthree,opacity=\opa] (0,0) -- \betacl -- (\dx,0) -- cycle; +\fill[color=colorfour,opacity=\opa] (0,0) -- \betadl -- (\dx,0) -- cycle; +\fill[color=colorfive,opacity=\opa] (0,0) -- \betael -- (\dx,0) -- cycle; +\fill[color=colorsix,opacity=\opa] (0,0) -- \betafl -- (\dx,0) -- cycle; +\fill[color=colorseven,opacity=\opa] (0,0) -- \betagl -- (\dx,0) -- cycle; +\fill[color=coloreight,opacity=\opa] (0,0) -- \betahl -- (\dx,0) -- cycle; +\fill[color=colornine,opacity=\opa] (0,0) -- \betail -- (\dx,0) -- cycle; +\fill[color=colorten,opacity=\opa] (0,0) -- \betajl -- (\dx,0) -- cycle; +\fill[color=coloreleven,opacity=\opa] (0,0) -- \betakl -- (\dx,0) -- cycle; +\fill[color=colortwelve,opacity=\opa] (0,0) -- \betall -- (\dx,0) -- cycle; + +\draw[color=colorone] \betaal; +\draw[color=colortwo] \betabl; +\draw[color=colorthree] \betacl; +\draw[color=colorfour] \betadl; +\draw[color=colorfive] \betael; +\draw[color=colorsix] \betafl; +\draw[color=colorseven] \betagl; +\draw[color=coloreight] \betahl; +\draw[color=colornine] \betail; +\draw[color=colorten] \betajl; +\draw[color=coloreleven] \betakl; +\draw[color=colortwelve] \betall; +\end{scope} + +\achsen + +\farbviereck + +\farbpunkt{\alphatwelve}{\betatwelve}{colortwelve} +\farbpunkt{\alphaeleven}{\betatwelve}{coloreleven} +\farbpunkt{\alphaten}{\betatwelve}{colorten} +\farbpunkt{\alphanine}{\betatwelve}{colornine} +\farbpunkt{\alphaeight}{\betatwelve}{coloreight} +\farbpunkt{\alphaseven}{\betatwelve}{colorseven} +\farbpunkt{\alphasix}{\betatwelve}{colorsix} +\farbpunkt{\alphafive}{\betatwelve}{colorfive} +\farbpunkt{\alphafour}{\betatwelve}{colorfour} +\farbpunkt{\alphathree}{\betatwelve}{colorthree} +\farbpunkt{\alphatwo}{\betatwelve}{colortwo} +\farbpunkt{\alphaone}{\betatwelve}{colorone} + +\end{scope} + +\end{tikzpicture} +\end{document} + diff --git a/buch/chapters/040-rekursion/images/betadist.m b/buch/chapters/040-rekursion/images/betadist.m new file mode 100644 index 0000000..5b466a6 --- /dev/null +++ b/buch/chapters/040-rekursion/images/betadist.m @@ -0,0 +1,58 @@ +# +# betadist.m +# +# (c) 2022 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +# +global N; +N = 201; +global nmin; +global nmax; +nmin = -4; +nmax = 7; +n = nmax - nmin + 1 +A = 3; + +t = (nmin:nmax) / nmax; +alpha = 1 + A * t .* abs(t) +#alpha(1) = 0.01; + +#alpha = [ 1, 1.03, 1.05, 1.1, 1.25, 1.5, 2, 2.5, 3, 4, 5 ]; +beta = alpha; +names = [ "one"; "two"; "three"; "four"; "five"; "six"; "seven"; "eight"; + "nine"; "ten"; "eleven"; "twelve" ] + +function retval = Beta(a, b, x) + retval = x^(a-1) * (1-x)^(b-1) / beta(a, b); + if (retval > 100) + retval = 100 + end +end + +function plotbeta(fn, a, b, name) + global N; + fprintf(fn, "\\def\\beta%s{\n", strtrim(name)); + fprintf(fn, "\t({%.4f*\\dx},{%.4f*\\dy})", 0, Beta(a, b, 0)); + for x = (1:N-1)/(N-1) + X = (1-cos(pi * x))/2; + fprintf(fn, "\n\t--({%.4f*\\dx},{%.4f*\\dy})", + X, Beta(a, b, X)); + end + fprintf(fn, "\n}\n"); +end + +fn = fopen("betapaths.tex", "w"); + +for i = (1:n) + fprintf(fn, "\\def\\alpha%s{%f}\n", strtrim(names(i,:)), alpha(i)); + fprintf(fn, "\\def\\beta%s{%f}\n", strtrim(names(i,:)), beta(i)); +end + +for i = (1:n) + for j = (1:n) + printf("working on %d,%d:\n", i, j); + plotbeta(fn, alpha(i), beta(j), + char(['a' + i - 1, 'a' + j - 1])); + end +end + +fclose(fn); diff --git a/buch/chapters/040-rekursion/images/order.m b/buch/chapters/040-rekursion/images/order.m new file mode 100644 index 0000000..762f458 --- /dev/null +++ b/buch/chapters/040-rekursion/images/order.m @@ -0,0 +1,119 @@ +# +# order.m +# +# (c) 2022 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +# +global N; +N = 10; +global subdivisions; +subdivisions = 100; +global P; +P = 0.5 + +function retval = orderF(p, n, k) + retval = 0; + for i = (k:n) + retval = retval + nchoosek(n,i) * p^i * (1-p)^(n-i); + end +end + +function retval = orderd(p, n, k) + retval = 0; + for i = (k:n) + s = i * p^(i-1) * (1-p)^(n-i); + s = s - p^i * (n-i) * (1-p)^(n-i-1); + retval = retval + nchoosek(n,i) * s; + end +end + +function retval = orders(p, n, k) + retval = k * nchoosek(n, k) * p^(k-1) * (1-p)^(n-k); +end + +function orderpath(fn, k, name) + fprintf(fn, "\\def\\order%s{\n\t(0,0)", name); + global N; + global subdivisions; + for i = (0:subdivisions) + p = i/subdivisions; + fprintf(fn, "\n\t-- ({%.4f*\\dx},{%.4f*\\dy})", + p, orderF(p, N, k)); + end + fprintf(fn, "\n}\n"); +end + +function orderdpath(fn, k, name) + fprintf(fn, "\\def\\orderd%s{\n\t(0,0)", name); + global N; + global subdivisions; + for i = (1:subdivisions-1) + p = i/subdivisions; + fprintf(fn, "\n\t-- ({%.4f*\\dx},{%.4f*\\dy})", + p, orderd(p, N, k)); + end + fprintf(fn, "\n\t-- ({1*\\dx},0)"); + fprintf(fn, "\n}\n"); +end + +function orderspath(fn, k, name) + fprintf(fn, "\\def\\orders%s{\n\t(0,0)", name); + global N; + global subdivisions; + for i = (1:subdivisions-1) + p = i/subdivisions; + fprintf(fn, "\n\t-- ({%.4f*\\dx},{%.4f*\\dy})", + p, orders(p, N, k)); + end + fprintf(fn, "\n\t-- ({1*\\dx},0)"); + fprintf(fn, "\n}\n"); +end + +fn = fopen("orderpath.tex", "w"); + +orderpath(fn, 0, "zero"); +orderdpath(fn, 0, "zero"); +orderspath(fn, 0, "zero"); + +orderpath(fn, 1, "one"); +orderdpath(fn, 1, "one"); +orderspath(fn, 1, "one"); + +orderpath(fn, 2, "two"); +orderdpath(fn, 2, "two"); +orderspath(fn, 2, "two"); + +orderpath(fn, 3, "three"); +orderdpath(fn, 3, "three"); +orderspath(fn, 3, "three"); + +orderpath(fn, 4, "four"); +orderdpath(fn, 4, "four"); +orderspath(fn, 4, "four"); + +orderpath(fn, 5, "five"); +orderdpath(fn, 5, "five"); +orderspath(fn, 5, "five"); + +orderpath(fn, 6, "six"); +orderdpath(fn, 6, "six"); +orderspath(fn, 6, "six"); + +orderpath(fn, 7, "seven"); +orderdpath(fn, 7, "seven"); +orderspath(fn, 7, "seven"); + +orderpath(fn, 8, "eight"); +orderdpath(fn, 8, "eight"); +orderspath(fn, 8, "eight"); + +orderpath(fn, 9, "nine"); +orderdpath(fn, 9, "nine"); +orderspath(fn, 9, "nine"); + +orderpath(fn, 10, "ten"); +orderdpath(fn, 10, "ten"); +orderspath(fn, 10, "ten"); + +fclose(fn); + + diff --git a/buch/chapters/040-rekursion/images/order.pdf b/buch/chapters/040-rekursion/images/order.pdf Binary files differnew file mode 100644 index 0000000..cc175a9 --- /dev/null +++ b/buch/chapters/040-rekursion/images/order.pdf diff --git a/buch/chapters/040-rekursion/images/order.tex b/buch/chapters/040-rekursion/images/order.tex new file mode 100644 index 0000000..9a2511c --- /dev/null +++ b/buch/chapters/040-rekursion/images/order.tex @@ -0,0 +1,125 @@ +% +% order.tex -- Verteilungsfunktion für Ordnungsstatistik +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\documentclass[tikz]{standalone} +\usepackage{amsmath} +\usepackage{times} +\usepackage{txfonts} +\usepackage{pgfplots} +\usepackage{csvsimple} +\usetikzlibrary{arrows,intersections,math} +\begin{document} +\def\skala{8} +\definecolor{darkgreen}{rgb}{0,0.6,0} + +\def\n{10} +\def\E#1#2{ + \draw[color=#2] + ({\dx*#1/(\n+1)},{-0.1/\skala}) -- ({\dx*#1/(\n+1)},{4.4*\dy}); + \node[color=#2] at ({\dx*#1/(\n+1)},{3.2*\dy}) + [rotate=90,above right] {$k=#1$}; +} +\def\var#1#2{ + \pgfmathparse{\dx*sqrt(#1*(\n-#1+1)/((\n+1)*(\n+1)*(\n+2)))} + \xdef\var{\pgfmathresult} + \fill[color=#2,opacity=0.5] + ({\dx*#1/(\n+1)-\var},0) rectangle ({\dx*#1/(\n+1)+\var},{4.4*\dy}); +} + +\input{orderpath.tex} +\begin{tikzpicture}[>=latex,thick,scale=\skala] + +\def\dx{1.6} +\def\dy{0.5} + +\def\pfad#1#2{ +\draw[color=#2,line width=1.4pt] ({-0.1/\skala},0) + -- + #1 + -- + ({1*\dx+0.1/\skala},0.5); +} + +\pfad{\orderzero}{darkgreen!20} +\pfad{\orderone}{darkgreen!20} +\pfad{\ordertwo}{darkgreen!20} +\pfad{\orderthree}{darkgreen!20} +\pfad{\orderfour}{darkgreen!20} +\pfad{\orderfive}{darkgreen!20} +\pfad{\ordersix}{darkgreen!20} +\pfad{\ordereight}{darkgreen!20} +\pfad{\ordernine}{darkgreen!20} +\pfad{\orderten}{darkgreen!20} +\pfad{\orderseven}{darkgreen} + +\draw[->] ({-0.1/\skala},0) -- ({1.03*\dx},0) coordinate[label={$x$}]; +\draw[->] (0,{-0.1/\skala}) -- (0,0.6) coordinate[label={right:$F(X)$}]; +\foreach \x in {0,0.2,0.4,0.6,0.8,1}{ + \draw ({\x*\dx},{-0.1/\skala}) -- ({\x*\dx},{0.1/\skala}); + \node at ({\x*\dx},{-0.1/\skala}) [below] {$\x$}; +} +\foreach \y in {0.5,1}{ + \draw ({-0.1/\skala},{\y*\dy}) -- ({0.1/\skala},{\y*\dy}); + \node at ({-0.1/\skala},{\y*\dy}) [left] {$\y$}; +} + +\node[color=darkgreen] at (0.65,{0.5*\dy}) [above,rotate=55] {$k=7$}; + +\begin{scope}[yshift=-0.7cm] +\def\dy{0.125} + +\foreach \k in {1,2,3,4,5,6,8,9,10}{ + \E{\k}{blue!30} +} +\def\k{7} +\var{\k}{orange!40} +\node[color=blue] at ({\dx*\k/(\n+1)},{4.3*\dy}) [above] {$E(X_{7:n})$}; + +\def\pfad#1#2{ + \draw[color=#2,line width=1.4pt] ({-0.1/\skala},0) + -- + #1 + -- + ({1*\dx+0.1/\skala},0.0); +} + +\begin{scope} +\clip ({-0.1/\skala},{-0.1/\skala}) + rectangle ({1*\dx+0.1/\skala},{0.56+0.1/\skala}); + +\pfad{\orderdzero}{red!20} +\pfad{\orderdone}{red!20} +\pfad{\orderdtwo}{red!20} +\pfad{\orderdthree}{red!20} +\pfad{\orderdfour}{red!20} +\pfad{\orderdfive}{red!20} +\pfad{\orderdsix}{red!20} +\pfad{\orderdeight}{red!20} +\pfad{\orderdnine}{red!20} +\pfad{\orderdten}{red!20} +\E{\k}{blue} +\pfad{\orderdseven}{red} + +\end{scope} + +\draw[->] ({-0.1/\skala},0) -- ({1.03*\dx},0) coordinate[label={$x$}]; +\draw[->] (0,{-0.1/\skala}) -- (0,0.6) coordinate[label={right:$\varphi(X)$}]; +\foreach \x in {0,0.2,0.4,0.6,0.8,1}{ + \draw ({\x*\dx},{-0.1/\skala}) -- ({\x*\dx},{0.1/\skala}); + \node at ({\x*\dx},{-0.1/\skala}) [below] {$\x$}; +} +\foreach \y in {1,2,3,4}{ + \draw ({-0.1/\skala},{\y*\dy}) -- ({0.1/\skala},{\y*\dy}); + \node at ({-0.1/\skala},{\y*\dy}) [left] {$\y$}; +} + +\node[color=red] at ({0.67*\dx},{2.7*\dy}) [above] {$k=7$}; + + +\end{scope} + +\end{tikzpicture} +\end{document} + diff --git a/buch/chapters/040-rekursion/integral.tex b/buch/chapters/040-rekursion/integral.tex new file mode 100644 index 0000000..df52a58 --- /dev/null +++ b/buch/chapters/040-rekursion/integral.tex @@ -0,0 +1,103 @@ +% +% integral.tex +% +% (c) 2022 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Hochschule +% +\subsection{Integraldarstellung und der Satz von Bohr-Mollerup +\label{buch:subsection:integral-eindeutig}} +Die Integralformel +\[ +f(x) += +\int_0^\infty t^{x-1}e^{-t}\,dt +\] +für die Gamma-Funktion erfüllt die Funktionalgleichung der Gamma-Funktion. +Aus dem Satz von Bohr-Mollerup~\ref{buch:satz:bohr-mollerup} folgt, +dass $f(x)=\Gamma(x)$, wenn gezeigt werden kann, dass $\log f(x)$ +konvex ist. +Dies soll im Folgenden gezeigt werden. + +\subsubsection{Logarithmische Ableitung} +Die Ableitungen der Funktion $\log f(x)$ sind die erste und +zweite logarithmische +Ableitung +\begin{align} +\frac{d}{dx}\log f(x) +&= +\frac{f'(x)}{f(x)} +\notag +\\ +\frac{d^2}{dx^2} \log f(x) +&= +\frac{f''(x)f(x)-f'(x)^2}{f(x)^2}. +\label{buch:rekursion:eqn:zweiteablteitung} +\end{align} +Durch Ableiten unter dem Integralzeichen können die Ableitungen +von $f$ als +\begin{align*} +f'(x) +&= +\int_0^\infty \log(t)\, t^{x-1} e^{-t}\,dt +\\ +f''(x) +&= +\int_0^\infty \log(t)^2\, t^{x-1} e^{-t}\,dt +\end{align*} +bestimmt werden. +Um nachzuweisen, dass $\log f(x)$ konvex ist, muss nur gezeigt werden, +dass die zweite logarithmische Ableitung von $f(x)$ positiv ist, was +gemäss~\eqref{buch:rekursion:eqn:zweiteablteitung} mit +\begin{equation} +f''(x)f(x)-f'(x)^2 += +\int_0^\infty \log(t)^2\, t^{x-1}e^{-t}\,dt +\int_0^\infty t^{x-1}e^{-t}\,dt +- +\biggl( +\int_0^\infty \log(t)\, t^{x-1}e^{-t}\,dt +\biggr)^2 +\ge 0 +\label{buch:rekursion:gamma-integral:ungleichung} +\end{equation} +gleichbedeutend ist. + +\subsubsection{Skalarprodukt} +Die Integral in~\eqref{buch:rekursion:gamma-integral:ungleichung} +können als Werte eines Skalarproduktes von Funktionen auf $\mathbb{R}^+$ +gelesen werden. +Dazu definieren wir +\begin{align} +\langle u,v\rangle +&= +\int_0^\infty u(t)v(t)\,t^{x-1}e^{-t}\,dt +\label{buch:rekursion:gamma-integral:eqn:skalarprodukt} +\\ +\|u\|^2 +&= +\int_0^\infty u(t)^2 \,t^{x-1}e^{-t}\,dt, +\notag +\end{align} +für alle Funktionen $u$ und $v$, für die die Integrale definiert sind. + +\subsubsection{Cauchy-Schwarz-Ungleichung} +Die Cauchy-Schwarz-Ungleichung für das +Skalarprodukt~\eqref{buch:rekursion:gamma-integral:eqn:skalarprodukt} +für die Funktion $u(t)=1$ und $v(t)=\log(t)$ +lautet +\[ +|\langle u,v\rangle|^2 += +\biggl| +\int_0^1 \log(t)\,t^{x-1}e^{-t}\,dt +\biggr|^2 +\le +\|u\|^2\cdot \|v\|^2 += +\int_0^\infty 1\cdot t^{x-1}e^{-t}\,dt +\int_0^\infty \log(t)^2\cdot t^{x-1}e^{-t}\,dt. +\] +Daraus folgt aber durch Umstellen unmittelbar die +Ungleichung~\eqref{buch:rekursion:gamma-integral:ungleichung}. +Damit ist gezeigt, dass $\log f(t)$ konvex ist und nach +dem Satz~\ref{buch:satz:bohr-mollerup} folgt nun, dass $f(x)=\Gamma(x)$. + diff --git a/buch/chapters/050-differential/Makefile.inc b/buch/chapters/050-differential/Makefile.inc index b72a275..7151c07 100644 --- a/buch/chapters/050-differential/Makefile.inc +++ b/buch/chapters/050-differential/Makefile.inc @@ -4,7 +4,7 @@ # (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule # -CHAPTERFILES = $(CHAPTERFILES) \ +CHAPTERFILES += \ chapters/050-differential/beispiele.tex \ chapters/050-differential/potenzreihenmethode.tex \ chapters/050-differential/bessel.tex \ diff --git a/buch/chapters/050-differential/besselhyper.maxima b/buch/chapters/050-differential/besselhyper.maxima new file mode 100644 index 0000000..0a67819 --- /dev/null +++ b/buch/chapters/050-differential/besselhyper.maxima @@ -0,0 +1,37 @@ +/* + * besselhyper.maxima + */ +gradef(y(x), yp(x)); +gradef(yp(x), ypp(x)); + +w(x) := x^alpha * y(-x^2/4); + +/* Zusammenhang zwischen Y und W */ +Y: x^(-alpha) * W; + +/* erste Ableitung Yp ausgedrückt durch W und W' */ +e: Wp=diff(w(x),x) $ +e: ratsimp(e); +e: subst(W * x^(-alpha), y(-x^2/4), e) $ +e: subst(Yp, yp(-x^2/4), e) $ +s: solve(e, Yp) $ +Yp: rhs(s[1]) $ +Yp: ratsimp(Yp); +ratsimp(subst(0,W,Yp)); +ratsimp(subst(0,Wp,Yp)); + +/* zweite Ableitung Yp ausgedrückt durch W, W' und W'' */ +e: Wpp = ratsimp(diff(diff(w(x),x),x)); +e: subst(W * x^(-alpha), y(-x^2/4), e) $ +e: subst(Yp, yp(-x^2/4), e) $ +e: subst(Ypp, ypp(-x^2/4), e) $ +e: ratsimp(e) $ +Ypp: rhs(solve(e, Ypp)[1]) $ +Ypp: ratsimp(Ypp); +ratsimp(subst(0, W, subst(0, Wp, Ypp))); +ratsimp(subst(0, W, subst(0, Wpp, Ypp))); +ratsimp(subst(0, Wp, subst(0, Wpp, Ypp))); + + +B: (-x^2/4) * Ypp + (alpha+1)*Yp - Y; +expand(-x^(alpha+2) * B); diff --git a/buch/chapters/050-differential/uebungsaufgaben/airy.cpp b/buch/chapters/050-differential/uebungsaufgaben/airy.cpp index e4df8e1..eb5c6be 100644 --- a/buch/chapters/050-differential/uebungsaufgaben/airy.cpp +++ b/buch/chapters/050-differential/uebungsaufgaben/airy.cpp @@ -44,8 +44,8 @@ double h0f1(double c, double x) { double f1(double x) { // unfortunately, gsl_sf_hyperg_0F1 does not work if c<1, because // it uses a relation to the bessel functions - //return gsl_sf_hyperg_0F1(2/3, x*x*x/9.); - return h0f1(2./3., x*x*x/9.); + return gsl_sf_hyperg_0F1(2/3, x*x*x/9.); + //return h0f1(2./3., x*x*x/9.); } double f2(double x) { diff --git a/buch/chapters/060-integral/Makefile.inc b/buch/chapters/060-integral/Makefile.inc index e19cb0c..e0dfc21 100644 --- a/buch/chapters/060-integral/Makefile.inc +++ b/buch/chapters/060-integral/Makefile.inc @@ -4,13 +4,16 @@ # (c) 2022 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule # -CHAPTERFILES = $(CHAPTERFILES) \ +CHAPTERFILES += \ chapters/060-integral/fehlerfunktion.tex \ chapters/060-integral/eulertransformation.tex \ chapters/060-integral/differentialkoerper.tex \ + chapters/060-integral/rational.tex \ + chapters/060-integral/erweiterungen.tex \ + chapters/060-integral/diffke.tex \ + chapters/060-integral/irat.tex \ + chapters/060-integral/sqratrat.tex \ chapters/060-integral/risch.tex \ - chapters/060-integral/orthogonal.tex \ - chapters/060-integral/legendredgl.tex \ - chapters/060-integral/sturm.tex \ - chapters/060-integral/gaussquadratur.tex \ + chapters/060-integral/logexp.tex \ + chapters/060-integral/elementar.tex \ chapters/060-integral/chapter.tex diff --git a/buch/chapters/060-integral/differentialkoerper.tex b/buch/chapters/060-integral/differentialkoerper.tex index f41d3ba..a112e33 100644 --- a/buch/chapters/060-integral/differentialkoerper.tex +++ b/buch/chapters/060-integral/differentialkoerper.tex @@ -1,1953 +1,29 @@ % -% differentialalgebren.tex +% differentialkoerper.tex % % (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule % -\section{Differentialkörper und der Satz von Liouville +\section{Differentialkörper und das Integrationsproblem \label{buch:integrale:section:dkoerper}} -\rhead{Differentialkörper und der Satz von Liouville} -Das Problem der Darstellbarkeit eines Integrals in geschlossener -Form verlangt zunächst einmal nach einer Definition dessen, was man -als ``geschlossene Form'' akzeptieren will. -Die sogenannten {\em elementaren Funktionen} von -Abschnitt~\ref{buch:integrale:section:elementar} -bilden dafür den theoretischen Rahmen. -Das Problem ist dann die Frage zu beantworten, ob ein Integral eine -Stammfunktion hat, die eine elementare Funktion ist. -Der Satz von Liouville von Abschnitt~\ref{buch:integrale:section:liouville} -löst das Problem. - -\subsection{Eine Analogie -\label{buch:integrale:section:analogie}} -% XXX Analogie: Formel für Polynom-Nullstellen -% XXX Stammfunktion als elementare Funktion -Das Analysis-Problem, eine Stammfunktion zu finden, ist analog zum -wohlbekannten algebraischen Problem, Nullstellen von Polynomen zu finden. -Wir entwickeln diese Analogie in etwas mehr Detail, um zu sehen, ob man -aus dem algebraischen Problem etwas über das Problem der Analysis -lernen kann. - -Für ein Polynom $p(X) = a_nX^n+a_{n-1}X^{n-1}+\dots+a_1X+a_0\in\mathbb{C}[X]$ -mit Koeffizienten $a_k\in\mathbb{C}$ ist es sehr einfach, für jede beliebige -komplexe Zahl $z\in\mathbb{C}$ den Wert $p(z)$ des Polynoms auszurechnen. -Ein paar wenige Rechenregeln genügen dazu, man kann leicht einem Kind -beibringen, mit einem Taschenrechner so einen Wert auszurechnen. - -Ähnlich sieht es mit der Ableitungsoperation aus. -Einige wenige Ableitungsregeln, die man in der Analysis~I lernt, -erlauben, auf mehr oder weniger mechanische Art und Weise, jede -beliebige Funktion abzuleiten. -Man kann auch leicht einen Computer dazu programmieren, solche Ableitungen -symbolisch zu berechnen. - -Aus dem Fundamentalsatz der Algebra, der von Gauss vollständig bewiesen -wurde, ist bekannt, dass jedes Polynom mit Koeffizienten in $\mathbb{C}$ -genau so viele Lösungen in $\mathbb{C}$, wie der Grad des Polynoms angibt. -Dies ist aber ein Existenzsatz, er sagt nichts darüber aus, wie man diese -Lösungen finden kann. -In Spezialfällen, wie zum Beispiel für quadratische Polynome, gibt -es spezialsierte Lösungsverfahren, mit denen man Lösungen angeben kann. -Natürlich existieren numerische Methoden wie zum Beispiel das -Newton-Verfahren, mit dem man Nullstellen von Polynomen beliebig genau -bestimmen kann. - -Der Fundamentalsatz der Integralrechnung besagt, dass jede stetige -Funktion eine Stammfunktion hat, die bis auf eine Konstante eindeutig -bestimmt ist. -Auch dieser Existenzsatz gibt keinerlei Hinweise darauf, wie man die -Stammfunktion finden kann. -In der Analysis-Vorlesung lernt man viele Tricks, die in einer -beindruckenden Zahl von Spezialfällen ermöglichen, ein passende -Funktion anzugeben. -Man lernt auch numerische Verfahren kennen, mit denen sich Werte der -Stammfunktion, also bestimmte Integrale, mit beliebiger Genauigkeit -finden kann. - -Die numerische Lösung des Nullstellenproblems ist insofern unbefriedigend, -als sie nur schwer eine Diskussion der Abhängigkeit der Nullstellen von -den Koeffizienten des Polynoms ermöglichen. -Eine Formel wie die Lösungsformel für die quadratische Gleichung -stellt genau für solche Fälle ein ideales Werkzeug bereit. -Was man sich also wünscht ist nicht nur einfach eine Lösung, sondern eine -einfache Formel zur Bestimmung aller Lösungen. -Im Zusammenhang mit algebraischen Gleichungen erwartet man eine Formel, -in der nur arithmetische Operationen und Wurzeln vorkommen. -Für quadratische Gleichungen ist so eine Formel seit dem Altertum bekannt, -Formeln für die kubische Gleichung und die Gleichung vierten Grades wurden -im 16.~Jahrhundert von Cardano bzw.~Ferrari gefunden. -Erst viel später haben Abel und Ruffini gezeigt, dass so eine allgemeine -Formel für Polynome höheren Grades als 4 nicht existiert. -Die Galois-Theorie, die auf den Ideen von Évariste Galois beruht, -stellt eine vollständige Theorie unter anderem für die Lösbarkeit -von Gleichungen durch Wurzelausdrücke dar. - -Numerische Integralwerte haben ebenfalls den Nachteil, dass damit -Diskussionen wie die Abhängigkeit von Parametern eines Integranden -nur schwer möglich sind. -Was man sich daher wünscht ist eine Formel für die Stammfunktion, -die Werte als Zusammensetzung gut bekannter Funktionen wie der Exponential- -und Logarithmus-Funktionen oder der trigonometrischen Funktionen -sowie Wurzeln, Potenzen und den arithmetischen Operationen. -Man sagt, man möchte die Stammfunktion in ``geschlossener Form'' -dargestellt haben. -Tatsächlich ist dieses Problem auch zu Beginn des 19.~Jahrhunderts -von Joseph Liouville genauer untersucht worden. -Er hat zunächst eine Klasse von ``elementaren Funktionen'' definiert, -die als Darstellungen einer Stammfunktion in Frage kommen. -Der Satz von Liouville besagt dann, dass nur Funktionen mit einer -ganz speziellen Form eine elementare Stammfunktion haben. -Damit wird es möglich, zu entscheiden, ob ein Integrand wie $e^{-x^2}$ -eine elementare Stammfunktion hat. -Seit dieser Zeit weiss man zum Beispiel, dass die Fehlerfunktion nicht -mit den bekannten Funktionen dargestellt werden kann. - -Mit dem Aufkommen der Computer und vor allem der Computer-Algebra-System (CAS) -wurde die Frage nach der Bestimmung einer Stammfunktion erneut aktuell. -Die ebenfalls weiter entwickelte abstrakte Algebra hat ermöglicht, die -Ideen von Liouville in eine erweiterte, sogenannte differentielle -Galois-Theorie zu verpacken, die eine vollständige Lösung des Problems -darstellt. -Robert Henry Risch hat in den Sechzigerjahren auf dieser Basis -einen Algorithmus entwickelt, mit dem es möglich wird, zu entscheiden, -ob eine Funktion eine elementare Stammfunktion hat und diese -gegebenenfalls auch zu finden. -Moderne CAS implementieren diesen Algorithmus -in Teilen, besonders weit zu gehen scheint das quelloffene System -Axiom. - -Der Risch-Algorithmus hat allerdings eine Achillesferse: er benötigt -eine Method zu entscheiden, ob zwei Ausdrücke übereinstimmen. -Dies ist jedoch ein im Allgemeinen nicht entscheidbares Problem. -Moderne CAS treiben einigen Aufwand, um die -Gleichheit von Ausdrücken zu entscheiden, sie können das Problem -aber grundsätzlich nicht vollständig lösen. -Damit kann der Risch-Algorithmus in praktischen Anwendungen das -Stammfunktionsproblem ebenfalls nur mit Einschränkungen lösen, -die durch die Fähigkeiten des Ausdrucksvergleichs in einem CAS -gesetzt werden. - -Im Folgenden sollen elementare Funktionen definiert werden, es sollen -die Grundideen der differentiellen Galois-Theorie zusammengetragen werden -und der Satz von Liouvill vorgestellt werden. -An Hand der Fehler-Funktion soll dann gezeigt werden, wie man jetzt -einsehen kann, dass die Fehlerfunktion nicht elementar darstellbar ist. -Im nächsten Abschnitt dann soll der Risch-Algorithmus skizziert werden. - -\subsection{Elementare Funktionen -\label{buch:integrale:section:elementar}} -Es soll die Frage beantwortet werden, welche Stammfunktionen sich -in ``geschlossener Form'' oder durch ``wohlbekannte Funktionen'' -ausdrücken lassen. -Welche Funktionen dabei als ``wohlbekannt'' gelten dürfen ist -ziemlich willkürlich. -Sicher möchte man Potenzen und Wurzeln, Logarithmus und Exponentialfunktion, -aber auch die trigonometrischen Funktionen dazu zählen dürfen. -Ausserdem will man beliebig mit den arithmetischen Operationen -rechnen. -So entsteht die Menge der Funktionen, die man ``elementar'' nennen -will. - -In der Menge der elementaren Funktionen möchte man jetzt -Stammfunktionen ausgewählter Funktionen suchen. -Dazu muss man von jeder Funktion ihre Ableitung kennen. -Die Ableitungsoperation macht aus der Funktionenmenge eine -differentielle Algebra. -Der Satz von Liouville (Satz~\ref{buch:integrale:satz:liouville1}) -liefert Bedingungen, die erfüllt sein müssen, wenn eine Funktion -eine elementare Stammfunktion hat. -Sind diese Bedingungen nicht erfüllbar, ist auch keine -elementare Stammfunktion möglich. - -In den folgenden Abschnitten soll die differentielle Algebra -der elementaren Funktionen konstruiert werden. - -\subsubsection{Körper} -Die einfachsten Funktionen sind die die Konstanten, für die wir -für die nachfolgenden Betrachtungen fast immer die komplexen Zahlen -$\mathbb{C}$ -zu Grunde legen wollen. -Dabei ist vor allem wichtig, dass sich darin alle arithmetischen -Operationen durchführen lassen mit der einzigen Ausnahme, dass -nicht durch $0$ dividiert werden darf. -Man nennt $\mathbb{C}$ daher ein {\em Körper}. -\index{Körper}% -\label{buch:integrale:def:koerper} - -\subsubsection{Polynome und rationale Funktionen} -Die Polynome einer Variablen beschreiben eine Menge von -Funktionen, in der Addition, Subtraktion, Multiplikation -von Funktionen und Multiplikation mit komplexen Zahlen -uneingeschränkt möglich ist. -Wir bezeichen wie früher die Menge der Polynome in $z$ mit -$\mathbb{C}[z]$. - -Die Division ist erst möglich, wenn man beliebige Brüche -zulässt, deren Zähler und Nenner Polynome sind. -Die Menge -\[ -\mathbb{C}(z) -= -\biggl\{ -\frac{p(z)}{q(z)} -\;\bigg|\; -p,q\in \mathbb{C}[z] -\biggr\} -\] -heisst die Menge der {\em rationalen Funktionen}. -\label{buch:integrale:def:rationalefunktion} -\index{Funktion, rationale}% -\index{rationale Funktion}% -In ihr sind jetzt alle arithmetischen Operationen ausführbar -ausser natürlich die Division durch die Nullfunktion. -Die rationalen Funktionen bilden also wieder eine Körper. - -Die Tatsache, dass die rationalen Funktionen einen Körper -bilden bedeutet auch, dass die Konstruktion erneut durchgeführt -werden kann. -Ausgehend von einem beliebigen Körper $K$ können wieder zunächst -die Polynome $K[X]$ und anschliesen die rationalen Funktionen $K[X]$ -in der neuen Variablen, jetzt aber mit Koeffizienten in $K$ -gebildet werden. -So entstehen Funktionen von mehreren Variablen und, indem -wir für die neue Variable $X$ zum Beispiel die im übernächsten -Abschnitt betrachtete Wurzel $X=\sqrt{z}$ -einsetzen, rationale Funktionen in $z$ und $\sqrt{z}$. - -Solche Funktionenkörper werden im folgenden mit geschweiften -Buchstaben $\mathscr{D}$ bezeichnet. -\index{Funktionenkörper}% - -\subsubsection{Ableitungsoperation} -In allen Untersuchungen soll immer die Ableitungsoperation -mit berücksichtigt werden. -In unserer Betrachtungsweise spielt es keine Rolle, dass die -Ableitung aus einem Grenzwert entsteht, es sind nur die algebraischen -Eigenschaften wichtig. -Diese sind in der folgenden Definition zusammengefasst. - -\begin{definition} -\label{buch:integrale:def:derivation} -Ein {\em Ableitungsoperator} oder eine {\em Derivation} einer Algebra -$\mathscr{D}$ von Funktionen ist eine lineare Abbildung -\[ -\frac{d}{dz} -\colon \mathscr{D} \to \mathscr{D} -: -f \mapsto \frac{df}{dz} = f', -\] -die zusätzlich die Produktregel -\begin{equation} -\frac{d}{dz} (fg) -= -\frac{df}{dz} \cdot g + f \cdot \frac{dg}{dz} -\qquad\Leftrightarrow\qquad -(fg)' = f' g + fg' -\label{buch:integrale:eqn:produktregel} -\end{equation} -\index{Produktregel}% -erfüllt. -Die Funktion $f'\in \mathscr{D}$ heisst auch die {\em Ableitung} -von $f\in\mathscr{D}$. -\index{Derivation}% -\index{Ableitungsoperator}% -\index{Ableitung}% -\end{definition} - -Die Produktregel hat zum Beispiel auch die bekannten Quotientenregel -zur Folge. -Dazu betrachten wir das Produkt $f= (f/g)\cdot g$ und leiten es mit -Hilfe der Produktregel ab: -\[ -\frac{d}{dz}f -= -\frac{d}{dz} -\biggl( -\frac{f}{g}\cdot g -\biggr) -= -{\color{darkred} -\frac{d}{dz} -\biggl( -\frac{f}{g} -\biggr)} -\cdot g -+ -\frac{f}{g}\cdot \frac{d}{dz}g. -\] -Jetzt lösen wir nach der {\color{darkred}roten} Ableitung des Quotienten -auf und erhalten -\begin{equation} -\biggl(\frac{f}{g}\biggr)' -= -\frac{d}{dz}\biggl(\frac{f}{g}\biggr) -= -\frac1g\biggl( -\frac{d}{dz}f - \frac{f}{g}\cdot \frac{d}{dz}g -\biggr) -= -\frac{1}{g} -\biggl( -f'-\frac{fg'}{g} -\biggr) -= -\frac{f'g-fg'}{g^2}. -\label{buch:integrale:eqn:quotientenregel} -\end{equation} -Dies ist die Quotientenregel. - -Aus der Produktregel folgt natürlich sofort auch die Potenzregel -für die Ableitung der $n$ten Potenz einer Funktion $f\in\mathscr{D}$, -sie lautet: -\begin{equation} -\frac{d}{dz} f^n -= -\underbrace{ -f'f^{n-1} + ff'f^{n-2} + f^2f'f^{n-3}+\dots f^{n-1}f' -}_{\displaystyle \text{$n$ Terme}} -= -nf^{n-1}f'. -\label{buch:integrale:eqn:potenzregel} -\end{equation} -In dieser Form versteckt sich natürlich auch die Kettenregel, die -Potenzfunktion ist die äussere Funktion, $f$ die innere, $f'$ ist also -die Ableitung er inneren Funktion, wie in der Kettenregel verlangt. -Falls $f$ ein Element von $\mathscr{D}$ ist mit der Eigenschaft -$df/dz=1$, dann entsteht die übliche Produktregel. - -\begin{definition} -Eine Algebra $\mathscr{D}$ von Funktionen mit einem Ableitungsoperator -$d/dz$ heisst eine {\em differentielle Algebra}. -\index{differentielle Algebra}% -\index{Algebra, differentielle}% -In einer differentiellen Algebra gelten die üblichen -Ableitungsregeln. -\end{definition} - -Die Potenzregel war in der Form~\eqref{buch:integrale:eqn:potenzregel} -geschrieben worden, nicht als die Ableitung von $z$. -Der Grund dafür ist, dass wir gar nicht voraussetzen wollen, dass in -unserer differentiellen Algebra eine Funktion existiert, die die -Rolle von $z$ hat. -Dies ist gar nicht nötig, wie das folgende Beispiel zeigt. - -\begin{beispiel} -Als Funktionenmenge $\mathscr{D}$ nehmen wir rationale Funktionen -in zwei Variablen, die wir $\cos x $ und $\sin x$ nennen. -Diese Menge bezeichnen wir mit -$\mathscr{D}=\mathbb{Q}(\cos x,\sin x)$ -Der Ableitungsoperator ist -\begin{align*} -\frac{d}{dx} \cos x &= -\sin x -\\ -\frac{d}{dx} \sin x &= \phantom{-}\cos x. -\end{align*} -Die Funktionen von $\mathbb{Q}(\cos x,\sin x)$ sind also Brüche, -deren Zähler und Nenner Polynome in $\cos x$ und $\sin x$ sind. -Aus den Produkt- und Quotientenregeln und den Ableitungsregeln für -$\cos x$ und $\sin x$ folgt, dass die Ableitung einer Funktion in -$\mathscr{D}$ wieder in $\mathscr{D}$ ist, $\mathscr{D}$ ist eine -differentielle Algebra. -\end{beispiel} - -Die konstanten Funktionen spielen eine besondere Rolle. -Da wir bei der Ableitung nicht von der Vorstellung einer -Funktion mit einem variablen Argument ausgehen wollten und -die Ableitung nicht als Grenzwert definieren wollten, müssen -wir auch bei der Definition der ``Konstanten'' einen neuen -Weg gehen. -In der Analysis sind die Konstanten genau die Funktionen, -deren Ableitung $0$ ist. - -\begin{definition} -\label{buch:integrale:def:konstante} -Ein Element $f\in \mathscr{D}$ mit $df/dz=f'=0$ heissen -{\em Konstante} in $\mathscr{D}$. -\index{Konstante}% -\end{definition} - -Die in der Potenzregel~\eqref{buch:integrale:eqn:potenzregel} -vermisste Funktion $z$ kann man ähnlich zu den Konstanten -zu definieren versuchen. -$z$ müsste ein Element von $\mathscr{D}$ mit $z' = 1$ sein. -Allerdings gibt es viele solche Elemente, ist $c$ eine Konstanten -und $z'=1$, dann ist auch $(z+c)'=1$, $(z+c)$ hat also für -die Zwecke unserer Untersuchung die gleichen Eigenschaften wie -$z$. -Dies deckt sich natürlich auch mit der Erwartung, dass Stammfunktionen -nur bis auf eine Konstante bestimmt sind. -Eine differentielle Algebra muss allerdings kein Element $z$ mit der -Eigenschaft $z'=1$ enthalten. - -\begin{beispiel} -In $\mathscr{D}=\mathbb{Q}(\cos x,\sin x)$ gibt es kein Element $x$. -Ein solches wäre von der Form -\[ -x = \frac{p(\cos x,\sin x)}{q(\cos x,\sin x)}. -\] -Eine solche goniometrische Beziehung würde für $x=\frac{\pi}4$ bedeuten, -dass -\[ -\frac{\pi}4 -= -\frac{p(\sqrt{2}/2,\sqrt{2}/2)}{q(\sqrt{2}/2,\sqrt{2}/2)}. -\] -Auf der rechten Seite steht ein Quotient von Polynome, in dessen -Argument nur rationale Zahlen und $\sqrt{2}$ steht. -So ein Ausdruck kann immer in die Form -\[ -\pi -= -4\frac{a\sqrt{2}+b}{c\sqrt{2}+d} -= -\frac{4(a\sqrt{2}+b)(c\sqrt{2}-d)}{2c^2+d^2} -= -r\sqrt{2}+s -\] -gebracht werden. -Die Zahl auf der rechten Seite ist zwar irrational, aber sie ist Nullstelle -des quadratischen Polynoms -\[ -p(x) -= -(x-r\sqrt{2}-s)(x+r\sqrt{2}-s) -= -x^2 --2sx --2r^2+s^2 -\] -mit rationalen Koeffizienten, wie man mit der Lösungsformel für die -quadratische Gleichung nachprüfen kann. -Es ist bekannt, dass $\pi$ als transzendente Zahl nicht Nullstelle -eines Polynoms mit rationalen Koeffizienten ist. -Dieser Widerspruch zeigt, dass $x$ nicht in $\mathbb{Q}(\cos x, \sin x)$ -vorkommen kann. -\end{beispiel} - -In einer differentiellen Algebra kann jetzt die Frage nach der -Existenz einer Stammfunktion gestellt werden. - -\begin{aufgabe} -\label{buch:integrale:aufgabe:existenz-stammfunktion} -Gegeben eine differentielle Algebra $\mathscr{D}$ und ein Element -$f\in\mathscr{D}$, entscheide, ob es ein Element $F\in\mathscr{D}$ -gibt mit der Eigenschaft $F'=f$. -Ein solches $F\in\mathscr{D}$ heisst {\em Stammfunktion} von $f$. -\end{aufgabe} - -\begin{satz} -In einer differentiellen Algebra $\mathscr{D}$ mit $z\in\mathscr{D}$ -hat die Potenzfunktion $f=z^n$ für $n\in\mathbb{N}\setminus\{-1\}$ -ein Stammfunktion, nämlich -\[ -F = \frac{1}{n+1} z^{n+1}. -\] -\label{buch:integrale:satz:potenzstammfunktion} -\end{satz} - -\begin{proof}[Beweis] -Tatsächlich kann man dies sofort nachrechnen, muss allerdings die -Fälle $n+1 >0$ und $n+1<0$ unterscheiden, da die Potenzregel -\eqref{buch:integrale:eqn:potenzregel} nur für natürliche Exponenten -gilt. -Man erhält -\begin{align*} -n+1&>0\colon -& -\frac{d}{dz}\frac{1}{n+1}z^{n+1} -&= -\frac{1}{n+1}(n+1)z^{n+1-1} -= -z^n, -\\ -n+1&<0\colon -& -\frac{d}{dz}\frac{1}{n+1}\frac{1}{z^{-(n+1)}} -&= -\frac{1}{n+1}\frac{1'z^{-(n+1)}-1(-(n+1))z^{-n-1-1}}{z^{-2n-2}} -\\ -&& -&= -\frac{1}{n+1} -\frac{(n+1)z^n{-n-2}}{z^{-2n-2}} -\\ -&& -&= -\frac{1}{z^{-n}}=z^n. -\end{align*} -Man beachte, dass in dieser Rechnung nichts anderes als die -algebraischen Eigenschaften der Produkt- und Quotientenregel -verwendet wurden. -\end{proof} - -\subsubsection{Wurzeln} -Die Wurzelfunktionen sollen natürlich als elementare Funktionen -erlaubt sein. -Es ist bekannt, dass $\sqrt{z}\not\in \mathscr{D}=\mathbb{C}(z)$ -ist, ein solches Element müsste also erst noch hinzugefügt werden. -Dabei muss auch seine Ableitung definiert werden. -Auch dabei dürfen wir nicht auf eine Grenzwertüberlegung zurückgreifen, -vielmehr müssen wir die Ableitung auf vollständig algebraische -Weise bestimmen. - -Wir schreiben $f=\sqrt{z}$ und leiten die Gleichung $f^2=z$ nach $z$ ab. -Dabei ergibt sich nach der Potenzregel -\[ -\frac{d}{dz}f^2 = 2f'f = \frac{d}{dz}z=1 -\qquad\Rightarrow\qquad f' = \frac{1}{2f}. -\] -Diese Rechnung lässt sich auch auf $n$-Wurzeln $g=\root{n}\of{z}$ mit -der Gleichung $g^n = z$ verallgemeinern. -Die Ableitung der $n$-ten Wurzel ist -\begin{equation} -\frac{d}{dz}g^n -= -ng^{n-1} = \frac{d}{dz}z=1 -\qquad\Rightarrow\qquad -\frac{d}{dz}g = \frac{1}{ng^{n-1}}. -\end{equation} -Es ist also möglich, eine differentielle Algebra $\mathscr{D}$ mit einer -$n$-ten Wurzel $g$ zu einer grösseren differentiellen Algebra $\mathscr{D}(g)$ -zu erweitern, in der wieder alle Regeln für das Rechnen mit Ableitungen -erfüllt sind. - -\subsubsection{Algebraische Elemente} -Die Charakterisierung der Wurzelfunktionen passt zwar zum verlangten -algebraischen Vorgehen, ist aber zu spezielle und nicht gut für die -nachfolgenden Untersuchengen geeignet. -Etwas allgemeiner ist der Begriff der algebraischen Elemente. - -\begin{definition} -\label{buch:integrale:def:algebraisches-element} -Seien $K\subset L$ zwei Körper. -Ein Element $\alpha \in L$ heisst {\em algebraisch} über $K$, -wenn $\alpha$ Nullstelle eines Polynoms $p\in K[X]$ mit Koeffizienten -in $K$ ist. -\index{algebraisch}% -\end{definition} - -Jedes Element $\alpha\in K$ ist algebraisch, da $\alpha$ Nullstelle -von $X-\alpha\in K[X]$ ist. -Die $n$tem Wurzeln eines Elemente $\alpha\in K$ sind ebenfalls algebraisch, -da sie Nullstellen des Polynoms $p(X) = X^n - \alpha$ sind. -Allerdings ist nicht klar, dass diese Wurzeln überhaupt existieren. -Nach dem Satz von Abel~\ref{buch:potenzen:satz:abel} gibt es aber -Nullstellen von Polynomen, die sich nicht als Wurzelausdrücke schreiben -lassen. -Der Begriff der algebraischen Elemente ist also allgemeiner als der -Begriff der Wurzel. - -\begin{definition} -\label{buch:integrale:def:algebraisch-abgeschlossen} -Ein Körper $K$ heisst {\em algebraisch abgeschlossen}, wenn jedes Polynom mit -Koeffizienten in $K$ eine Nullstelle in $K$ hat. -\end{definition} - -Der Körper $\mathbb{C}$ ist nach dem -Fundamentalsatz~\label{buch:potenzen:satz:fundamentalsatz} -der Algebra algebraisch abgeschlossen. -Da wir aber mit Funktionen arbeiten, müssen wir auch Wurzeln -von Funktionen finden können. -Dies ist nicht selbstverständlich, wie das folgende Beispiel zeigt. - -\begin{beispiel} -Es gibt keine stetige Funktion $f\colon \mathbb{C}\to\mathbb{C}$, die -die Gleichung $f(z)^2 = z$ und $f(1)=1$ erfüllt. -Für die Argumente $z(t)= e^{it}$ folgt, dass $f(z(t)) = e^{it/2}$ sein -muss. -Setzt man aber $t=\pm \pi$ ein, ergeben sich die Werte -$f(z(\pm\pi))=e^{\pm i\pi/2}=\pm 1$, die beiden Grenzwerte -für $t\to\pm\pi$ sind also verschieden. -\end{beispiel} - -Die Mathematik hat verschiedene ``Tricks'' entwickelt, wie mit diesem -Problem umgegangen werden kann: Funktionskeime, Garben, Riemannsche -Flächen. -Sie sind alle gleichermassen gut geeignet, das Problem zu lösen. -Für die vorliegende Aufgabe genügt es aber, dass es tatsächlich -immer ein wie auch immer geartetes Element gibt, welches Nullstelle -des Polynoms ist. - -Ist $f$ eine Nullstelle des Polynoms $p(X)$ mit Koeffizienten in -$\mathscr{D}$, dann kann man die Ableitung wie folgt berechnen. -Zunächst leitet man $p(f)$ ab: -\begin{align} -0&= -\frac{d}{dz}(a_nf^n + a_{n-1}f^{n-1}+\ldots+a_1f+a_0) -\notag -\\ -&= -a_n'f^n + a_{n-1}'f^{n-1}+\ldots+a_1'f+a_0' -+ -na_nf^{n-1}f' -+ -(n-1)a_nf^{n-2}f' -+ -\ldots -+ -a_2ff' -+ -a_1f' -\notag -\\ -&= -a_n'f^n + a_{n-1}'f^{n-1}+\ldots+a_1'f+a_0' -+ -( -na_nf^{n-1} -+ -(n-1)a_nf^{n-2} -+ -\ldots -+ -a_2f -+ -a_1 -)f' -\notag -\\ -\Rightarrow -\qquad -f'&=\frac{ -a_n'f^n + a_{n-1}'f^{n-1}+\dots+a_1'f+a_0' -}{ -na_nf^{n-1} -+ -(n-1)a_nf^{n-2} -+ -\dots -+ -a_1 -}. -\label{buch:integrale:eqn:algabl} -\end{align} -Das einzige, was dabei schief gehen könnte ist, dass der Nenner ebenfalls -verschwindet. -Dieses Problem kann man dadurch lösen, dass man als Polynom das -sogenannte Minimalpolynom verwendet. - -\begin{definition} -Das {\em Minimalpolynome} $m(X)$ eines algebraischen Elementes $\alpha$ ist -das Polynom kleinsten Grades, welches $m(\alpha)=0$ erfüllt. -\end{definition} - -Da das Minimalpolynom den kleinstmöglichen Grad hat, kann der Nenner -von~\eqref{buch:integrale:eqn:algabl}, -der noch kleineren Grad hat, unmöglich verschwinden. -Das Minimalpolynom ist auch im wesentlichen eindeutig. -Gäbe es nämlich zwei verschiedene Minimalpolynome $m_1$ und $m_2$, -dann müsste $\alpha$ auch eine Nullstelle des grössten gemeinsamen -Teilers $m_3=\operatorname{ggT}(m_1,m_2)$ sein. -Wären die beiden Polynome wesentlich verschieden, dann hätte $m_3$ -kleineren Grad, im Widerspruch zur Definition des Minimalpolynoms. -Also unterscheiden sich die beiden Polynome $m_1$ und $m_2$ nur um -einen skalaren Faktor. - -\subsubsection{Konjugation, Spur und Norm} -% Konjugation, Spur und Norm -Das Minimalpolynom eines algebraischen Elementes ist nicht -eindeutig bestimmt. -Zum Beispiel ist $\sqrt{2}$ algebraisch über $\mathbb{Q}$, das -Minimalpolynom ist $m(X)=X^2-2\in\mathbb{Q}[X]$. -Es hat aber noch eine zweite Nullstelle $-\sqrt{2}$. -Mit rein algebraischen Mitteln sind die beiden Nullstellen $\pm\sqrt{2}$ -nicht zu unterscheiden, erst die Verwendung der Vergleichsrelation -ermöglicht, sie zu unterscheiden. - -Dasselbe gilt für die imaginäre Einheit $i$, die das Minimalpolynom -$m(X)=X^2+1\in\mathbb{R}[X]$ hat. -Hier gibt es nicht einmal mehr eine Vergleichsrelation, mit der man -die beiden Nullstellen unterscheiden könnte. -In der Tat ändert sich aus algebraischer Sicht nichts, wenn man in -allen Formeln $i$ durch $-i$ ersetzt. - -Etwas komplizierter wird es bei $\root{3}\of{2}$. -Das Polynom $m=x^3-2\in\mathbb{Q}[X]$ hat $\root{3}\of{2}$ als -Nullstelle und dies ist auch tatsächlich das Minimalpolynom. -Das Polynom hat noch zwei weitere Nullstellen -\[ -\alpha_+ = \frac{-1+i\sqrt{3}}{2}\root{3}\of{2} -\qquad\text{und}\qquad -\alpha_- = \frac{-1-i\sqrt{3}}{2}\root{3}\of{2}. -\] -Die beiden Lösungen gehen durch die Vertauschung von $i$ und $-i$ -auseinander hervor. -Betrachtet man dasselbe Polynom aber als Polynom in $\mathbb{R}[X]$, -dann ist es nicht mehr das Minimalpolynom von $\root{3}\of{2}$, da -$X-\root{3}\of{2}\in\mathbb{R}[X]$ kleineren Grad und $\root{3}\of{2}$ -als Nullstelle hat. -Indem man -\[ -m(X)/(X-\root{3}\of{2})=X^2+\root{3}\of{2}X+\root{3}\of{2}^2=m_2(X) -\] -rechnet, bekommt man das Minimalpolynom der beiden Nullstellen $\alpha_+$ -und $\alpha_-$. -Wir lernen aus diesen Beispielen, dass das Minimalpolynom vom Grundkörper -abhängig ist (Die Faktorisierung $(X-\root{3}\of{2})\cdot m_2(X)$ von -$m(X)$ ist in $\mathbb{Q}[X]$ nicht möglich) und dass wir keine -algebraische Möglichkeit haben, die verschiedenen Nullstellen des -Minimalpolynoms zu unterscheiden. - -Die beiden Nullstellen $\alpha_+$ und $\alpha_-$ des Polynoms $m_2(X)$ -erlauben, $m_2(X)=(X-\alpha_+)(X-\alpha_-)$ zu faktorisieren. -Durch Ausmultiplizieren -\[ -(X-\alpha_+)(X-\alpha_-) -= -X^2 -(\alpha_++\alpha_-)X+\alpha_+\alpha_- -\] -und Koeffizientenvergleich mit $m_2(X)$ findet man die symmetrischen -Formeln -\[ -\alpha_+ + \alpha_- = \root{3}\of{2} -\qquad\text{und}\qquad -\alpha_+ \alpha_ = \root{3}\of{2}. -\] -Diese Ausdrücke sind nicht mehr abhängig von einer speziellen Wahl -der Nullstellen. - -Das Problem verschärft sich nocheinmal, wenn wir Funktionen betrachten. -Das Polynom $m(X)=X^3-z$ ist das Minimalpolynom der Funktion $\root{3}\of{z}$. -Die komplexe Zahl $z=re^{i\varphi}$ hat aber drei die algebraisch nicht -unterscheidbaren Nullstellen -\[ -\alpha_0(z)=\root{3}\of{r}e^{i\varphi/3}, -\quad -\alpha_1(z)=\root{3}\of{r}e^{i\varphi/3+2\pi/3} -\qquad\text{und}\qquad -\alpha_2(z)=\root{3}\of{r}e^{i\varphi/3+4\pi/3}. -\] -Aus der Faktorisierung $ (X-\alpha_0(z)) (X-\alpha_1(z)) (X-\alpha_2(z))$ -und dem Koeffizientenvergleich mit dem Minimalpolynom kann man wieder -schliessen, dass die Relationen -\[ -\alpha_0(z) + \alpha_1(z) + \alpha_2(z)=0 -\qquad\text{und}\qquad -\alpha_0(z) \alpha_1(z) \alpha_2(z) = z -\] -gelten. - -Wir können also oft keine Aussagen über individuelle Nullstellen -eines Minimalpolynoms machen, sondern nur über deren Summe oder -Produkt. - -\begin{definition} -\index{buch:integrale:def:spur-und-norm} -Sie $m(X)\in K[X]$ das Minimalpolynom eines über $K$ algebraischen -Elements und -\[ -m(X) = a_nX^n + a_{n-1}X^{n-1} + \ldots + a_1X + a_0. -\] -Dann heissen -\[ -\operatorname{Tr}(\alpha) = -a_{n-1} -\qquad\text{und}\qquad -\operatorname{Norm}(\alpha) = (-1)^n a_0 -\] -die {\em Spur} und die {\em Norm} des Elementes $\alpha$. -\index{Spur eines algebraischen Elementes}% -\index{Norm eines algebraischen Elementes}% -\end{definition} - -Die Spur und die Norm können als Spur und Determinante einer Matrix -verstanden werden, diese allgemeineren Definitionen, die man in der -Fachliteratur, z.~B.~in~\cite{buch:lang} nachlesen kann, führen aber -für unsere Zwecke zu weit. - -\begin{hilfssatz} -Die Ableitungen von Spur und Norm sind -\[ -\operatorname{Tr}(\alpha)' -= -\operatorname{Tr}(\alpha') -\qquad\text{und}\qquad -\operatorname{Norm}(\alpha)' -= -\operatorname{Tr}(\alpha)' -\] -XXX Wirklich? -\end{hilfssatz} - -\subsubsection{Logarithmen und Exponentialfunktionen} -Die Funktion $z^{-1}$ musste im -Satz~\ref{buch:integrale:satz:potenzstammfunktion} -ausgeschlossen werden, sie hat keine Stammfunktion in $\mathbb{C}(z)$. -Aus der Analysis ist bekannt, dass die Logarithmusfunktion $\log z$ -eine Stammfunktion ist. -Der Logarithmus von $z$ aber auch der Logarithmus $\log f(z)$ -einer beliebigen Funktion $f(z)$ oder die Exponentialfunktion $e^{f(z)}$ -sollen ebenfalls elementare Funktionen sein. -Da wir aber auch hier nicht auf die analytischen Eigenschaften zurückgreifen -wollen, brauchen wir ein rein algebraische Definition. - -\begin{definition} -\label{buch:integrale:def:logexp} -Sei $\mathscr{D}$ ein differentielle Algebra und $f\in\mathscr{D}$. -Ein Element $\vartheta\in\mathscr{D}$ heisst ein {\em Logarithmus} -von $f$, geschrieben $\vartheta = \log f$, wenn $f\vartheta' = f'$ gilt. -$\vartheta$ heisst eine Exponentialfunktion von $f$ wenn -$\vartheta'=\vartheta f'$ gilt. -\end{definition} - -Die Formel für die Exponentialfunktion ist etwas vertrauter, sie ist -die bekannte Kettenregel -\begin{equation} -\vartheta' -= -\frac{d}{dz} e^f -= -e^f \cdot \frac{d}{dz} f -= -\vartheta \cdot f'. -\label{buch:integrale:eqn:exponentialableitung} -\end{equation} -Da wir uns vorstellen, dass Logarithmen Umkehrfunktionen von -Exponentialfunktionen sein sollen, -muss die definierende Gleichung genau wie -\eqref{buch:integrale:eqn:exponentialableitung} -aussehen, allerdings mit vertauschten Plätzen von $f$ und $\vartheta$, -also -\begin{equation} -\vartheta' = \vartheta\cdot f' -\qquad -\rightarrow -\qquad -f' = f\cdot \vartheta' -\;\Leftrightarrow\; -\vartheta' = (\log f)' = \frac{f'}{f}. -\label{buch:integrale:eqn:logarithmischeableitung} -\end{equation} -Dies ist die aus der Analysis bekannte Formel für die logarithmische -Ableitung. - -Der Logarithmus von $f$ und die Exponentialfunktion von $f$ sollen -also ebenfalls als elementare Funktionen betrachtet werden. - -\subsubsection{Die trigonometrischen Funktionen} -Die bekannten trigonometrischen Funktionen und ihre Umkehrfunktionen -sollten natürlich auch elementare Funktionen sein. -Dabei kommt uns zur Hilfe, dass sie sich mit Hilfe der Exponentialfunktion -als -\[ -\cos f = \frac{e^{if}+e^{-if}}2 -\qquad\text{und}\qquad -\sin f = \frac{e^{if}-e^{-if}}{2i} -\] -schreiben lassen. -Eine differentielle Algebra, die die Exponentialfunktionen von $if$ und -$-if$ enthält, enthält also automatisch auch die trigonometrischen -Funktionen. -Im Folgenden ist es daher nicht mehr nötig, die trigonometrischen -Funktionen speziell zu untersuchen. - -\subsubsection{Elementare Funktionen} -Damit sind wir nun in der Lage, den Begriff der elementaren Funktion -genau zu fassen. - -\begin{definition} -\label{buch:integrale:def:einfache-elementare-funktion} -Sie $\mathscr{D}$ eine differentielle Algebra über $\mathbb{C}$ und -$\mathscr{D}(\vartheta)$ eine Erweiterung von $\mathscr{D}$ um eine -neue Funktion $\vartheta$, dann heissen $\vartheta$ und die Elemente -von $\mathscr{D}(\vartheta)$ einfach elementar, wenn eine der folgenden -Bedingungen erfüllt ist: -\begin{enumerate} -\item $\vartheta$ ist algebraisch über $\mathscr{D}$, d.~h.~$\vartheta$ -ist eine ``Wurzel''. -\item $\vartheta$ ist ein Logarithmus einer Funktion in $\mathscr{D}$, -d.~h.~es gibt $f\in \mathscr{D}$ mit $f'=f\vartheta'$ -(Definition~\ref{buch:integrale:def:logexp}). -\item $\vartheta$ ist eine Exponentialfunktion einer Funktion in $\mathscr{D}$, -d.~h.~es bit $f\in\mathscr{D}$ mit $\vartheta'=\vartheta f'$ -(Definition~\ref{buch:integrale:def:logexp}). -\end{enumerate} -\end{definition} - -Einfache elementare Funktionen entstehen also ausgehend von einer -differentiellen Algebra, indem man genau einmal eine Wurzel, einen -Logarithmus oder eine Exponentialfunktion hinzufügt. -So etwas wie die zusammengesetzte Funktion $e^{\sqrt{z}}$ ist -damit noch nicht möglich. -Daher erlauben wir, dass man die gesuchten Funktionen in mehreren -Schritten aufbauen kann. - -\begin{definition} -Sei $\mathscr{F}$ eine differentielle Algebra, die die differentielle -Algebra $\mathscr{D}$ enthält, also $\mathscr{D}\subset\mathscr{F}$. -$\mathscr{F}$ und die Elemente von $\mathscr{F}$ heissen einfach, -wenn es endlich viele Elemente $\vartheta_1,\dots,\vartheta_n$ gibt -derart, dass -\[ -\renewcommand{\arraycolsep}{2pt} -\begin{array}{ccccccccccccc} -\mathscr{D} -&\subset& -\mathscr{D}(\vartheta_1) -&\subset& -\mathscr{D}(\vartheta_1,\vartheta_2) -&\subset& -\; -\cdots -\; -&\subset& -\mathscr{D}(\vartheta_1,\vartheta_2,\dots,\vartheta_{n-1}) -&\subset& -\mathscr{D}(\vartheta_1,\vartheta_2,\dots,\vartheta_{n-1},\vartheta_n) -&=& -\mathscr{F} -\\ -\| -&& -\| -&& -\| -&& -&& -\| -&& -\| -&& -\\ -\mathscr{F}_0 -&\subset& -\mathscr{F}_1 -&\subset& -\mathscr{F}_2 -&\subset& -\cdots -&\subset& -\mathscr{F}_{n-1} -&\subset& -\mathscr{F}_{n\mathstrut} -&& -\end{array} -\] -gilt so, dass jedes $\vartheta_{i+1}$ einfach ist über -$\mathscr{F}_i=\mathscr{D}(\vartheta_1,\dots,\vartheta_i)$. -\end{definition} - -In Worten bedeutet dies, dass man den Funktionen von $\mathscr{D}$ -nacheinander Wurzeln, Logarithmen oder Exponentialfunktionen einzelner -Funktionen hinzufügt. -Die Aufgabe~\ref{buch:integrale:aufgabe:existenz-stammfunktion} kann -jetzt so formuliert werden. - -\begin{aufgabe} -\label{buch:integrale:aufgabe:existenz-stammfunktion-dalg} -Gegeben ist eine Differentielle Algebra $\mathscr{D}$ und eine -Funktion $f\in \mathscr{D}$. -Gibt es eine Folge $\vartheta_1,\dots,\vartheta_n$ und eine Funktion -$F\in\mathscr{D}(\vartheta_1,\dots,\vartheta_n)$ derart, dass -$F'=f$. -\end{aufgabe} - -Das folgende Beispiel zeigt, wie man möglicherweise mehrere -Erweiterungsschritte vornehmen muss, um zu einer Stammfunktion -zu kommen. -Es illustriert auch die zentrale Rolle, die der Partialbruchzerlegung -in der weiteren Entwicklung zukommen wird. - -\begin{beispiel} -\label{buch:integrale:beispiel:nichteinfacheelementarefunktion} -Es soll eine Stammfunktion der Funktion -\[ -f(z) -= -\frac{z}{(az+b)(cz+d)} -\in -\mathbb{C}(z) -\] -gefunden werden. -In der Analysis lernt man, dass solche Integrale mit der -Partialbruchzerlegung -\[ -\frac{z}{(az+b)(cz+d)} -= -\frac{A_1}{az+b}+\frac{A_2}{cz+d} -= -\frac{A_1cz+A_1d+A_2az+A_2b}{(az+b)(cz+d)} -\quad\Rightarrow\quad -\left\{ -\renewcommand{\arraycolsep}{2pt} -\begin{array}{rcrcr} -cA_1&+&aA_2&=&1\\ -dA_1&+&bA_2&=&0 -\end{array} -\right. -\] -bestimmt werden. -Die Lösung des Gleichungssystems ergibt -$A_1=b/(bc-ad)$ und $A_2=d/(ad-bc)$. -Die Stammfunktion kann dann aus -\begin{align*} -\int f(z)\,dz -&= -\int\frac{A_1}{az+b}\,dz -+ -\int\frac{A_2}{cz+d}\,dz -= -\frac{A_1}{a}\int\frac{a}{az+b}\,dz -+ -\frac{A_2}{c}\int\frac{c}{cz+d}\,dz -\end{align*} -bestimmt werden. -In den Integralen auf der rechten Seite ist der Zähler jeweils die -Ableitung des Nenners, der Integrand hat also die Form $g'/g$. -Genau diese Form tritt in der Definition eines Logarithmus auf. -Die Stammfunktion ist jetzt -\[ -F(z) -= -\int f(z)\,dz -= -\frac{A_1}{a}\log(az+b) -+ -\frac{A_2}{c}\log(cz+d) -= -\frac{b\log(az+b)}{a(bc-ad)} -+ -\frac{d\log(cz+d)}{c(ad-bc)}. -\] -Die beiden Logarithmen kann man nicht durch rein rationale Operationen -ineinander überführen. -Sie müssen daher beide der Algebra $\mathscr{D}$ hinzugefügt werden. -\[ -\left. -\begin{aligned} -\vartheta_1&=\log(az+b)\\ -\vartheta_2&=\log(cz+d) -\end{aligned} -\quad -\right\} -\qquad\Rightarrow\qquad -F(z) \in \mathscr{F}=\mathscr{D}(\vartheta_1,\vartheta_2). -\] -Die Stammfunktion $F(z)$ ist also keine einfache elementare Funktion, -aber $F$ ist immer noch eine elementare Funktion. -\end{beispiel} - -\subsection{Partialbruchzerlegung -\label{buch:integrale:section:partialbruchzerlegung}} -Die Konstruktionen des letzten Abschnitts haben gezeigt, -wie man die Funktionen, die man als Stammfunktionen einer Funktion -zulassen möchte, schrittweise konstruieren kann. -Die Aufgabe~\ref{buch:integrale:aufgabe:existenz-stammfunktion-dalg} -ist eine rein algebraische Formulierung der ursprünglichen -Aufgabe~\ref{buch:integrale:aufgabe:existenz-stammfunktion}. -Schliesslich hat das Beispiel auf -Seite~\pageref{buch:integrale:beispiel:nichteinfacheelementarefunktion} -gezeigt, dass es im allgemeinen mehrere Schritte braucht, um zu einer -elementaren Stammfunktion zu gelangen. -Die Lösung setzt sich aus den Termen der Partialbruchzerlegung. -In diesem Abschnitt soll diese genauer studiert werden. - -In diesem Abschnitt gehen wir immer von einer differentiellen -Algebra über den komplexen Zahlen aus und verlangen, dass die -Konstanten in allen betrachteten differentiellen Algebren -$\mathbb{C}$ sind. - -\subsubsection{Monome} -Die beiden Funktionen $\vartheta-1=\log(az+b)$ und $\vartheta_2=(cz+d)$, -die im Beispiel hinzugefügt werden mussten, verhalten sich ich algebraischer -Hinsicht wie ein Monom: man kann es nicht faktorisieren oder bereits -bekannte Summanden aufspalten. -Solchen Funktionen kommt eine besondere Bedeutung zu. - -\begin{definition} -\label{buch:integrale:def:monom} -Die Funktion $\vartheta$ heisst ein Monom, wenn $\vartheta$ nicht -algebraisch ist über $\mathscr{D}$ und $\mathscr{D}(\vartheta)$ die -gleichen Konstanten enthält wie $\mathscr{D}$. -\end{definition} - -\begin{beispiel} -Als Beispiel beginnen wir mit den komplexen Zahlen $\mathbb{C}$ -und fügen die Funktion $\vartheta_1=z$ hinzu und erhalten -$\mathscr{D}=\mathbb{C}(z)$. -Die Funktionen $z^k$ sind für alle $k$ linear unabhängig, d.~h.~es -gibt keinen Ausdruck -\[ -a_nz^n + a_{n-1}z^{n-1}+\cdots+a_1z+a_0=0. -\] -Dies ist gleichbedeutend damit, dass $z$ nicht algebraisch ist. -Das Monom $z$ ist also auch ein Monom im Sinne der -Definition~\ref{buch:integrale:def:monom}. -\end{beispiel} - -\begin{beispiel} -Wir beginnen wieder mit $\mathbb{C}$ und fügen die Funktion -$e^z$ hinzu. -Gäbe es eine Beziehung -\[ -b_m(e^z)^m + b_{m-1}(e^z)^{m-1}+\dots+b_1e^z + b_0=0 -\] -mit komplexen Koeffizienten $b_i\in\mathbb{C}$, -dann würde daraus durch Einsetzen von $z=1$ die Relation -\[ -b_me^m + b_{m-1}e^{m-1} + \dots + b_1e + b_0=0, -\] -die zeigen würde, dass $e$ eine algebraische Zahl ist. -Es ist aber bekannt, dass $e$ transzendent ist. -Dieser Widersprich zeigt, dass $e^z$ ein Monom ist. -\end{beispiel} - -\begin{beispiel} -Jetzt fügen wir die Exponentialfunktion $\vartheta_2=e^z$ -der differentiellen Algebra $\mathscr{D}=\mathbb{C}(z)$ hinzu -und erhalten $\mathscr{F}_1=\mathscr{D}(e^z) = \mathbb{C}(z,e^z)$. -Gäbe es das Minimalpolynom -\begin{equation} -b_m(z)(e^z)^m + b_{m-1}(z)(e^z)^{m-1}+\dots+b_1(z)e^z + b_0(z)=0 -\label{buch:integrale:beweis:exp-analytisch} -\end{equation} -mit Koeffizienten $b_i\in\mathbb{C}(z)$, dann könnte man mit dem -gemeinsamen Nenner der Koeffizienten durchmultiplizieren und erhielte -eine Relation~\eqref{buch:integrale:beweis:exp-analytisch} mit -Koeffizienten in $\mathbb{C}[z]$. -Dividiert man durch $e^{mz}$ erhält man -\[ -b_m(z) + b_{m-1}(z)\frac{1}{e^z} + \dots + b_1(z)\frac{1}{(e^z)^{m-1}} + b_0(z)\frac{1}{(e^z)^m}=0. -\] -Aus der Analysis weiss man, dass die Exponentialfunktion schneller -anwächst als jedes Polynom, alle Terme auf der rechten Seite -konvergieren daher gegen 0 für $z\to\infty$. -Das bedeutet, dass $b_m(z)\to0$ für $z\to \infty$. -Das Polynom~\eqref{buch:integrale:beweis:exp-analytisch} wäre also gar -nicht das Minimalpolynom. -Dieser Widerspruch zeigt, dass $e^z$ nicht algebraisch ist über -$\mathbb{C}(z)$ und damit ein Monom ist\footnote{Etwas unbefriedigend -an diesem Argument ist, dass man hier wieder rein analytische statt -algebraische Eigenschaften von $e^z$ verwendet. -Gäbe es aber eine minimale Relation wie -\eqref{buch:integrale:beweis:exp-analytisch} -mit Polynomkoeffizienten, dann wäre sie von der Form -\[ -P(z,e^z)=p(z)(e^z)^m + q(z,e^z)=0, -\] -wobei Grad von $e^z$ in $q$ höchstens $m-1$ ist. -Die Ableitung wäre dann -\[ -Q(z,e^z) -= -mp(z)(e^z)^m + p'(z)(e^z)^m + r(z,e^z) -= -(mp(z) + p'(z))(e^z)^m + r(z,e^z) -=0, -\] -wobei der Grad von $e^z$ in $r$ wieder höchstens $m-1$ ist. -Bildet man $mP(z,e^z) - Q(z,e^z) = 0$ ensteht eine Relation, -in der der Grad des Koeffizienten von $(e^z)^m$ um eins abgenommen hat. -Wiederholt man dies $m$ mal, verschwindet der Term $(e^z)^m$, die -Relation~\eqref{buch:integrale:beweis:exp-analytisch} -war also gar nicht minimal. -Dieser Widerspruch zeigt wieder, dass $e^z$ nicht algebraisch ist, -verwendet aber nur die algebraischen Eigenschaften der differentiellen -Algebra. -}. -\end{beispiel} - -\begin{beispiel} -Wir hätten auch in $\mathbb{Q}$ arbeiten können und $\mathbb{Q}$ -erst die Exponentialfunktion $e^z$ und dann den Logarithmus $z$ von $e^z$ -hinzufügen können. -Es gibt aber noch weitere Logarithmen von $e^z$ zum Beispiel $z+2\pi i$. -Offenbar ist $\psi=z+2\pi i\not\in \mathbb{Q}(z,e^z)$, wir könnten also -auch noch $\psi$ hinzufügen. -Zwar ist $\psi$ auch nicht algebraisch, aber wenn wir $\psi$ hinzufügen, -dann wird aber die Menge der Konstanten grösser, sie umfasst jetzt -$\mathbb{Q}(2\pi i)$. -Die Bedingung in der Definition~\ref{buch:integrale:def:monom}, -dass die Menge der Konstanten nicht grösser werden darf, ist also -verletzt. - -Hätte man mit $\mathbb{Q}(e^z, z+2\pi i)$ begonnen, wäre $z$ aus -dem gleichen Grund kein Monom, aber $z+2\pi i$ wäre eines im Sinne -der Definition~\ref{buch:integrale:def:monom}. -In allen Rechnungen könnte man $\psi=z+2\pi i$ nicht weiter aufteilen, -da $\pi$ oder seine Potenzen keine Elemente von $\mathbb{Q}(e^z)$ sind. -\end{beispiel} - -Da wir im Folgenden davon ausgehen, dass die Konstanten unserer -differentiellen Körper immer $\mathbb{C}$ sind, wird es jeweils -genügen zu untersuchen, ob eine neu hinzuzufügende Funktion algebraisch -ist oder nicht. - -\subsubsection{Ableitungen von Polynomen und rationalen Funktionen von Monomen} -Fügt man einer differentiellen Algebra ein Monom hinzu, dann lässt -sich etwas mehr über Ableitungen von Polynomen oder Brüchen in diesen -Monomen sagen. -Diese Eigenschaften werden später bei der Auflösung der Partialbruchzerlegung -nützlich sein. - -\begin{satz} -\label{buch:integrale:satz:polynom-ableitung-grad} -Sei -\[ -P -= -A_nX^n + A_{n-1}X^{n-1} + \dots A_1X+A_0 -\in\mathscr{D}[X] -\] -ein Polynom mit Koeffizienten in einer differentiellen Algebra $\mathscr{D}$ -und $\vartheta$ ein Monom über $\mathscr{D}$. -Dann gilt -\begin{enumerate} -\item -\label{buch:integrale:satz:polynom-ableitung-grad-log} -Falls $\vartheta=\log f$ ist, ist $P(\vartheta)'$ ein -Polynom vom Grad $n$ in $\vartheta$, wenn der Leitkoeffizient $A_n$ -nicht konstant ist, andernfalls ein Polynom vom Grad $n-1$. -\item -\label{buch:integrale:satz:polynom-ableitung-grad-exp} -Falls $\vartheta = \exp f$ ist, dann ist $P(\vartheta)'$ ein Polynom -in $\vartheta$ vom Grad $n$. -\end{enumerate} -\end{satz} - -Der Satz macht also genaue Aussagen darüber, wie sich der Grad eines -Polynoms in $\vartheta$ beim Ableiten ändert. - -\begin{proof}[Beweis] -Für Exponentialfunktion ist $\vartheta'=\vartheta f'$, die Ableitung -fügt also einfach einen Faktor $f'$ hinzu. -Terme der Form $A_k\vartheta^k$ haben die Ableitung -\[ -(A_k\vartheta^k) -= -A'_k\vartheta^k + A_kk\vartheta^{k-1}\vartheta' -= -A'_k\vartheta^k + A_kk\vartheta^{k-1}\vartheta f' -= -(A'_k + kA_k f)\vartheta^k. -\] -Damit wird die Ableitung des Polynoms -\begin{equation} -P(\vartheta)' -= -\underbrace{(A'_n+nA_nf')\vartheta^n}_{\displaystyle=(A_n\vartheta^n)'} -+ -(A'_{n-1}+(n-1)A_{n-1}f')\vartheta^{n-1} -+ \dots + -(A'_1+A_1f')\vartheta + A_0'. -\label{buch:integrale:ableitung:polynom} -\end{equation} -Der Grad der Ableitung kann sich also nur ändern, wenn $A_n'+nA_nf'=0$ ist. -Dies bedeutet aber wegen -\( -(A_n\vartheta^n)' -= -0 -\), dass $A_n\vartheta^n=c$ eine Konstante ist. -Da alle Konstanten bereits in $\mathscr{D}$ sind, folgt, dass -\[ -\vartheta^n=\frac{c}{A_n} -\qquad\Rightarrow\qquad -\vartheta^n - \frac{c}{A_n}=0, -\] -also wäre $\vartheta$ algebraisch über $\mathscr{D}$, also auch kein Monom. -Dieser Widerspruch zeigt, dass der Leitkoeffizient nicht verschwinden kann. - -Für die erste Aussage ist die Ableitung der einzelnen Terme des Polynoms -\[ -(A_k\vartheta^k)' -= -A_k'\vartheta^k + A_kk\vartheta^{k-1}\vartheta' -= -A_k'\vartheta^k + A_kk\vartheta^{k-1}\frac{f'}{f} -= -\biggl(A_k'\vartheta + kA_k\frac{f'}{f}\biggr)\vartheta^{k-1}. -\] -Die Ableitung des Polynoms ist daher -\[ -P(\vartheta)' -= -A_n'\vartheta^n + \biggl(nA_n\frac{f'}{f}+ A'_{n-1}\biggr)\vartheta^{n-1}+\dots -\] -Wenn $A_n$ keine Konstante ist, ist $A_n'\ne 0$ und der Grad von -$P(\vartheta)'$ ist $n$. -Wenn $A_n$ eine Konstante ist, müssen wir noch zeigen, dass der nächste -Koeffizient nicht verschwinden kann. -Wäre der zweite Koeffizient $=0$, dann wäre die Ableitung -\[ -(nA_n\vartheta+A_{n-1})' -= -nA_n\vartheta'+A'_{n-1} -= -nA_n\frac{f'}{f}+A'_{n-1} -= -0, -\] -d.h. $nA_n\vartheta+A_{n-1}=c$ wäre eine Konstante. -Da alle Konstanten schon in $\mathscr{D}$ sind, müsste auch -\[ -\vartheta = \frac{c-A_{n-1}}{nA_n} \in \mathscr{D} -\] -sein, wieder wäre $\vartheta$ kein Monom. -\end{proof} - -Der nächste Satz gibt Auskunft über den führenden Term in -$(\log P(\vartheta))' = P(\vartheta)'/P(\vartheta)$. - -\begin{satz} -\label{buch:integrale:satz:log-polynom-ableitung-grad} -Sei $P$ ein Polynom vom Grad $n$ wie in -\label{buch:integrale:satz:log-polynom-ableitung} -welches zusätzlich normiert ist, also $A_n=1$. -\begin{enumerate} -\item -\label{buch:integrale:satz:log-polynom-ableitung-log} -Ist $\vartheta=\log f$, dann ist -$(\log P(\vartheta))' = P(\vartheta)'/P(\vartheta)$ und $P(\vartheta)'$ -hat Grad $n-1$. -\item -\label{buch:integrale:satz:log-polynom-ableitung-exp} -Ist $\vartheta=\exp f$, dann gibt es ein Polynom $N(\vartheta)$ so, dass -$(\log P(\vartheta))' -= -P(\vartheta)'/P(\vartheta) -= -N(\vartheta)/P(\vartheta)+nf'$ -ist. -Falls $P(\vartheta)=\vartheta$ ist $N=0$, andernfalls ist $N(\vartheta)$ -ein Polynom vom Grad $<n$. -\end{enumerate} -\end{satz} - -\begin{proof}[Beweis] -Die Gleichung $(\log P(\vartheta))'=P(\vartheta)'/P(\vartheta)$ ist die -Definition eines Logarithmus, es geht also vor allem um die Frage -des Grades von $P(\vartheta)'$. -Da der Leitkoeffizient als $1$ und damit konstant vorausgesetzt wurde, -folgt die Behauptung \ref{buch:integrale:satz:log-polynom-ableitung-log} -aus -Aussage \ref{buch:integrale:satz:polynom-ableitung-grad-log} -von Satz~\ref{buch:integrale:satz:polynom-ableitung-grad}. - -Für Aussage \ref{buch:integrale:satz:log-polynom-ableitung-exp} -beachten wir wieder die -Ableitungsformel~\eqref{buch:integrale:ableitung:polynom} -und berücksichtigen, dass $A_n=1$ eine Konstante ist. -Da $A_n'=0$ ist, wird -\begin{align*} -P(\vartheta)' -&= -nA_n\vartheta^n f' + \text{Terme niedrigeren Grades in $\vartheta$}. -\intertext{Das Polynom $nf'P(\vartheta)$ hat den gleichen Term vom -Grad $n$, man kann also $P(\vartheta)'$ auch schreiben als} -&= -nf' -P(\vartheta) -+ -\underbrace{ -\text{Terme niedrigeren Grades in $\vartheta$}}_{\displaystyle=N(\vartheta)}. -\end{align*} -Division durch $P(\vartheta)$ ergibt die versprochene Formel. - -Im Fall $P(\vartheta)=\vartheta$ ist $n=1$ und -$(\log P(\vartheta))'=P(\vartheta)'/P(\vartheta) -= -\vartheta f'/\vartheta -= -nf'$ und somit $N(\vartheta)=0$. -\end{proof} - -\subsubsection{Partialbruchzerlegungen} -Der vorangegangene Abschnitt hat gezeigt, dass sich Monome im Sinne -der Definition~\ref{buch:integrale:def:monom} algebraisch wie eine -unabhängige Variable verhalten. -Für die Berechnung von Integralen rationaler Funktionen in einer -Variablen $x$ verwendet -man die Partialbruchzerlegung, um Brüche mit einfachen Nennern zu -erhalten. -Es liegt daher nahe, dieselbe Idee auch auf die -Monome $\vartheta_i$ zu verwenden. -Dazu muss man die Brüche besser verstehen, die in einer Partialbruchzerlegung -vorkommen können. - -Eine Partialbruchzerlegung in der Variablen $X$ setzt sich zusammen -aus Brüchen der Form -\begin{equation} -g(X) -= -\frac{P(X)}{Q(X)^r}, -\label{buch:integrale:eqn:partialbruch-quotient} -\end{equation} -wobei das Nennerpolynom $Q(X)$ ist ein normiertes irreduzibles Polynom -vom Grad $q$ und $P(X)$ ein beliebiges Polynom vom Grad $p<q$. - -Ist der Grad von $P(X)$ -im Quotienten -\eqref{buch:integrale:eqn:partialbruch-quotient} -grösser als $q$, dann kann man $P(X)$ um Vielfache von Potenzen von -$Q(X)$ reduzieren und eine Summe von Termen der Art -\eqref{buch:integrale:eqn:partialbruch-quotient} -erhalten, deren Nenner alle Grad $< q$ haben. -Die Anzahl neu enstehender Terme ist dabei ums grösser, je grösser -der Grad des Zählers ist. -Dies ist der Inhalt des folgenden Satzes. - -\begin{satz} -\label{buch:integrale:satz:partialbruch-reduktion} -Sei $Q(X)$ ein irreduzibles Polynom vom Grad $q$ und $P(X)$ ein beliebiges -Polynom vom Grad $p < (k+1)q$. -Dann gibt es Polynome $P_i(X)$, $i=0,\dots,k$, vom Grad $<q$ derart, -dass -\begin{equation} -\frac{P(X)}{Q(X)^r} -= -\sum_{i=0}^k \frac{P_i(X)}{Q(X)^{r-i}}. -\label{buch:integrale:satz:partialbruch-aufgeloest} -\end{equation} -\end{satz} - -\begin{proof}[Beweis] -Für $k=0$ ist $p<q$ und es muss nichts weiter gezeigt werden. - -Sei jetzt also $k>0$ das kleinste $k$ so, dass $p<(k+1)q$. -Insbesondere ist dann $kq\le p$. -Nach dem euklidischen Satz für die Division von $P(X)$ durch $Q(X)^k$ -gibt es ein Polynom $P_k(X)$ vom Grad $\le p-qk$ derart, dass -\[ -P(X) = P_k(X)Q(X)^k + R_k(X) -\] -mit einem Rest $R_k(X)$ vom Grad $<kq$. -Es folgt -\[ -\frac{ P(X)}{Q(X)^r} -= -\frac{P_k(X)}{Q(X)^{r-k}} -+ -\frac{R_k(X)}{Q(X)^r}. -\] -Der zweite Term ist wieder von der im Satz beschriebenen Art, allerdings -mit einem Wert von $k$, der um $1$ kleiner ist. -Durch rekursive Anwendung der gleichen Prozedur in $k$ weiteren Schritten -erhält man die Form -Das gleiche Argument kann jetzt auf das Polynom $R_k(X)$ anstelle -von $P(X)$ angewendet werden, erhalt man den Ausdruck -\eqref{buch:integrale:satz:partialbruch-aufgeloest}. -\end{proof} - -In der differentiellen Algebra $\mathscr{D}(\vartheta)$ muss man jetzt -auch Bescheid wissen über die Partialbruchzerlegung von Ableitungen solcher -Terme. - -\begin{satz} -\label{buch:integrale:satz:partialbruch-monom} -Sei $\vartheta$ ein Monom über $\mathscr{D}$ und -seien $P(\vartheta),Q(\vartheta)\in\mathscr{D}[\vartheta]$ Polynome, -wobei $Q(\vartheta)$ ein irreduzibles normiertes Polynom vom Grad $q$ -ist und $P(\vartheta)$ ein beliebiges Polynom vom Grad $p<q$. -Dann ist die Ableitung -\begin{equation} -g(\vartheta)' -= -\biggl( -\frac{P(\vartheta)}{Q(\vartheta)^r} -\biggr)' -= --r\frac{P(\vartheta)Q(\vartheta)'}{Q(\vartheta)^{r+1}} -+ -\frac{P(\vartheta)'}{Q(\vartheta)^r}. -\label{buch:integrale:eqn:partialbruch-ableitung} -\end{equation} -Falls $\vartheta=\exp f$ eine Exponentialfunktion ist und -$Q(\vartheta)=\vartheta$, dann hat die Partialbruchzerlegung von $g(X)'$ -die Form -\begin{equation} -g(\vartheta)' -= -\frac{ -{P(\vartheta)'-rP(\vartheta)f} -}{ -\vartheta^{r} -}. -\label{buch:integrale:eqn:partialbruch-ableitung-fall0} -\end{equation} -Für $Q(\vartheta)\ne \vartheta$ oder $\vartheta$ keine Exponentialfunktion -hat die Partialbruchzerlegung von $g(X)'$ die Form -\[ -g(\vartheta)' -= -\frac{R(\vartheta)}{Q(\vartheta)^{r+1}}+\frac{S(\vartheta)}{Q(\vartheta)^r} -\qquad\text{mit $R(\vartheta)\ne 0$}. -\] -\end{satz} - -\begin{proof}[Beweis] -Schreibt man den Quotienten $g(\vartheta)$ als -$g(\vartheta)=P(\vartheta)Q(\vartheta)^{-r}$, dann folgt aus -Produkt- und Potenzregel -\[ -g(\vartheta)' -= -P(\vartheta)'Q(\vartheta)^{-r} -+ -P(\vartheta)\bigl(Q(\vartheta)^{-r}\bigr)' -= -\frac{P(\vartheta)'}{Q(\vartheta)^{r}} --r\frac{P(\vartheta)Q(\vartheta)'}{Q(\vartheta)^{r+1}}, -\] -dies ist -\eqref{buch:integrale:eqn:partialbruch-ableitung}. -Auf die Ableitungen von $P(\vartheta)$ und $Q(\vartheta)$ können -jetzt die Sätze -\ref{buch:integrale:satz:polynom-ableitung-grad}, -\ref{buch:integrale:satz:log-polynom-ableitung-grad} -und -\ref{buch:integrale:satz:partialbruch-monom} -angewendet werden. -Es sind jweils zwei Dinge zu prüfen: es dürfen in der Partialbruchzerlegung -im Nenner keine Potenzen $<r$ vorkommen und wegen $R\ne 0$ muss der Nenner -$Q(\vartheta)^{r+1}$ vorkommen. - -Falls $\vartheta=\log f$ ist, ist $Q(\vartheta)'$ ein Polynom vom -Grad $q-1$ nach Satz~\eqref{buch:integrale:satz:polynom-ableitung-grad} -\ref{buch:integrale:satz:polynom-ableitung-grad-log} -und $P(\vartheta)'$ ist ein Polynom vom Grad höchstens $p$. -Der Zähler $P(\vartheta)Q(\vartheta)'$ im zweiten Term ist nicht -durch $Q(\vartheta)$ teilbar, denn weil $Q(\vartheta)$ irreduzibel -ist, müsste $Q(\vartheta)$ entweder $P(\vartheta)$ oder $Q(\vartheta)'$ -teilen, aber beide haben zu geringen Grad. - -Falls $\vartheta=\exp f$ ist, ist $Q(\vartheta)'$ ein Polynom vom -Grad $q$ und $P(\vartheta)'$ ist eine Polynom vom Grad $p$. -Der Grad von $P(\vartheta)Q(\vartheta)'$ ist $<2q$, daher -werden nach -Satz~\ref{buch:integrale:satz:partialbruch-reduktion} -keine Nenner mit kleinerem Exponenten als $r$ auftreten. -Es ist noch zu prüfen, ob $Q(\vartheta)$ den Nenner des zweiten Termes -von~\eqref{buch:integrale:eqn:partialbruch-ableitung} teilt. -Nehmen wir $Q(\vartheta)\mid P(\vartheta)Q(\vartheta)'$ an, dann muss -$Q(\vartheta)\mid Q(\vartheta)'$ sein. -Für -\[ -Q(\vartheta) = \vartheta^q + q_{q-1}\vartheta^{q-1} + \dots -\] -ist die Ableitung -\[ -Q(\vartheta)' -= -q\vartheta^q f' -+ -\dots -\] -und damit -\[ -\frac{Q(\vartheta)'}{Q(\vartheta)} -= -qf'. -\] -Andererseits ist in der -Aussage~\label{buch:integrale:satz:log-polynom-ableitung-exp} -von -Satz~\ref{buch:integrale:satz:log-polynom-ableitung-grad} -angewendet auf das Polynom $Q(\vartheta)$ das Polynom $N(\vartheta)=0$, -und daher muss $Q(\vartheta)=\vartheta$ und $q=1$ sein. -Dies ist der einzige Ausnahmefall, in die Partialbruchzerlegung die Form -\eqref{buch:integrale:eqn:partialbruch-ableitung-fall0} -annimmt. -\end{proof} - -Der Satz besagt also, dass in fast allen Fällen die einzelnen Terme -der Partialbruchzerlegung der Ableitungen wieder von der gleichen -Form sind. - -\subsection{Der Satz von Liouville -\label{buch:integrale:section:liouville}} -Die Funktion -\[ -f(z) = \frac{(z+1)^2}{(z-1)^3} \in \mathbb{C}(z) = \mathscr{D} -\] -kann mit Hilfe der Partialbruchzerlegung -\[ -f(z) -= -\frac{1}{z-1} -+ -\frac{4}{(z-1)^2} -+ -\frac{4}{(z-1)^3} -\] -integriert werden. -Die Integranden $(z-1)^{-k}$ mit $k>1$ können mit der Potenzregel -integriert werden, aber für eine Stammfunktion $1/(z-1)$ muss -der Logarithmus $\log(z-1)$ hinzugefügt werden. -Die Stammfunktion -\[ -\int f(z)\,dz -= -\int -\frac{1}{z-1} -\,dz -+ -\int -\frac{4}{(z-1)^2} -\,dz -+ -\int -\frac{4}{(z-1)^3} -\,dz -= -\log(z-1) -- -\underbrace{\frac{4z-2}{(z-1)^2}}_{\displaystyle\in\mathscr{D}} -\in \mathscr{D}(\log(z-1)) = \mathscr{F} -\] -hat eine sehr spezielle Form. -Sie besteht aus einem Term in $\mathscr{D}$ und einem Logarithmus -einer Funktion von $\mathscr{D}$, also einem Monom über $\mathscr{D}$. - -\subsubsection{Einfach elementare Stammfunktionen} -Der in diesem Abschnitt zu beweisende Satz von Liouville zeigt, -dass die im einführenden Beispiel konstruierte Form der Stammfunktion -eine allgemeine Eigenschaft elementar integrierbarer -Funktionen ist. -Zunächst aber soll dieses Bespiel etwas verallgemeinert werden. - -\begin{satz}[Liouville-Vorstufe für Monome] -\label{buch:integrale:satz:liouville-vorstufe-1} -Sei $\vartheta$ ein Monom über $\mathscr{D}$ und $g\in\mathscr{D}(\vartheta)$ -mit $g'\in\mathscr{D}$. -Dann hat $g$ die Form $v_0 + c_1\vartheta$ mit $v_0\in\mathscr{D}$ und -$c_1\in\mathbb{C}$. -\end{satz} - -\begin{proof}[Beweis] -In Anlehnung an das einführende Beispiel nehmen wir an, dass die -Stammfunktion $g\in\mathscr{D}[\vartheta]$ für ein Monom $\vartheta$ -über $\mathscr{D}$ ist. -Dann hat $g$ die Partialbruchzerlegung -\[ -g -= -H(\vartheta) -+ -\sum_{j\le r(i)} \frac{P_{ij}(\vartheta)}{Q_i(\vartheta)^j} -\] -mit irreduziblen normierten Polynomen $Q_i(\vartheta)$ und -Polynomen $P_{ij}(\vartheta)$ vom Grad kleiner als $\deg Q_i(\vartheta)$. -Ausserdem ist $H(\vartheta)$ ein Polynom. -Die Ableitung von $g$ muss jetzt aber wieder in $\mathscr{D}$ sein. -Zu ihrer Berechnung können die Sätze -\ref{buch:integrale:satz:polynom-ableitung-grad}, -\ref{buch:integrale:satz:log-polynom-ableitung-grad} -und -\ref{buch:integrale:satz:partialbruch-monom} -verwendet werden. -Diese besagen, dass in der Partialbruchzerlegung die Exponenten der -Nenner die Quotienten in der Summe nicht kleiner werden. -Die Ableitung $g'\in\mathscr{D}$ darf aber gar keine Nenner mit -$\vartheta$ enthalten, also dürfen die Quotienten gar nicht erst -vorkommen. -$g=H(\vartheta)$ muss also ein Polynom in $\vartheta$ sein. -Die Ableitung des Polynoms darf wegen $g'\in\mathscr{d}$ das Monom -$\vartheta$ ebenfalls nicht mehr enthalten, daher kann es höchstens vom -Grad $1$ sein. -Nach Satz~\ref{buch:integrale:satz:log-polynom-ableitung-grad} -muss ausserdem der Leitkoeffizient von $g$ eine Konstante sein, -das Polynom hat also genau die behauptete Form. -\end{proof} - -\begin{satz}[Liouville-Vorstufe für algebraische Elemente] -\label{buch:integrale:satz:liouville-vorstufe-2} -Sei $\vartheta$ algebraische über $\mathscr{D}$ und -$g\in\mathscr{D}(\vartheta)$ mit $g'\in\mathscr{D}$. -\end{satz} - -\subsubsection{Elementare Stammfunktionen} -Nach den Vorbereitungen über einfach elementare Stammfunktionen -in den Sätzen~\label{buch:integrale:satz:liouville-vorstufe-1} -und -\label{buch:integrale:satz:liouville-vorstufe-2} sind wir jetzt -in der Lage, den allgemeinen Satz von Liouville zu formulieren -und zu beweisen. - -\begin{satz}[Liouville] -Sei $\mathscr{D}$ ein Differentialkörper, $\mathscr{F}$ einfach über -$\mathscr{D}$ mit gleichem Konstantenkörper $\mathbb{C}$. -Wenn $g\in \mathscr{F}$ eine Stammfunktion von $f\in\mathscr{D}$ ist, -also $g'=f$, dann gibt es Zahlen $c_i\in\mathbb{C}$ und -$v_0,v_i\in\mathscr{D}$ derart, dass -\begin{equation} -g = v_0 + \sum_{i=1}^k c_i \log v_i -\qquad\Rightarrow\qquad -g' = v_0' + \sum_{i=1}^k c_i \frac{v_i'}{v_i} = f -\label{buch:integrale:satz:liouville-fform} -\end{equation} -gilt. -\end{satz} - -Der Satz hat zur Folge, dass eine elementare Stammfunktion für $f$ -nur dann existieren kann, wenn sich $f$ in der speziellen Form -\eqref{buch:integrale:satz:liouville-fform} -schreiben lässt. -Die Aufgabe~\ref{buch:integrale:aufgabe:existenz-stammfunktion-dalg} -lässt sich damit jetzt lösen. - - -\begin{proof}[Beweis] -Wenn die Stammfunktion $g\in\mathscr{D}$ ist, dann hat $g$ die Form -\eqref{buch:integrale:satz:liouville-fform} mit $v_0=g$, die Summe -wird nicht benötigt. - -Wir verwenden Induktion nach der Anzahl der Elemente, die zu $\mathscr{D}$ -hinzugefügt werden müssen, um einen Differentialkörper -$\mathscr{F}=\mathscr{D}(\vartheta_1,\dots,\vartheta_n)$ zu konstruieren, -der $g$ enthält. -Da $f\in\mathscr{D}\subset\mathscr{D}(\vartheta_1)$ ist, können wir die -Induktionsannahme auf die Erweiterung -\[ -\mathscr{D}(\vartheta_1)\subset\mathscr{D}(\vartheta_1,\vartheta_2) -\subset\cdots\subset \mathscr{D}(\vartheta_1,\cdots,\vartheta_n)=\mathscr{F} -\] -anwenden, die durch Hinzufügen von nur $n-1$ Elemente -$\vartheta_2,\dots,\vartheta_n$ aus $\mathscr{D}(\vartheta_1)$ den -Differentialkörper $\mathscr{F}$ erreicht, der $g$ enthält. -Sie besagt, dass sich $g$ schreiben lässt als -\[ -g = w_0 + \sum_{i=1}^{k_1} c_i\log w_i -\qquad\text{mit $c_i\in\mathbb{C}$ und $w_0,w_i\in\mathscr{D}(\vartheta_1)$.} -\] -Wir müssen jetzt zeigen, dass sich dieser Ausdruck umformen lässt -in den Ausdruck der Form~\eqref{buch:integrale:satz:liouville-fform}. - -Der Term $w_0\in\mathscr{D}(\vartheta_1)$ hat eine Partialbruchzerlegung -\[ -H(\vartheta_1) -+ -\sum_{j\le r(l)} \frac{P_{lj}(\vartheta_1)}{Q_l(\vartheta_1)^j} -\] -in der Variablen $\vartheta_1$. - -Da $w_i\in\mathscr{D}(\vartheta_1)$ ist, kann man Zähler und Nenner -von $w_i$ als Produkt irreduzibler normierter Polynome schreiben: -\[ -w_i -= -\frac{h_i Z_{i1}(\vartheta_1)^{s_{i1}}\cdots Z_{im(i)}^{s_{im(i)}} -}{ -N_{i1}(\vartheta_1)^{t_{i1}}\cdots N_{in(i)}(\vartheta_1)^{t_{in(i)}} -} -\] -Der Logarithmus hat die Form -\begin{align*} -\log w_i -&= \log h_i + -s_{i1} -\log Z_{i1}(\vartheta_1) -+ -\cdots -+ -s_{im(i)} -\log Z_{im(i)} -- -t_{i1} -\log -N_{i1}(\vartheta_1) -- -\cdots -- -t_{in(i)} -\log -N_{in(i)}(\vartheta_1). -\end{align*} -$g$ kann also geschrieben werden als eine Summe von Polynomen, Brüchen, -wie sie in der Partialbruchzerlegung vorkommen, Logarithmen von irreduziblen -normierten Polynomen und Logarithmen von Elementen von $\mathscr{D}$. - -Die Ableitung $g'$ muss jetzt aber wieder in $\mathscr{D}$ sein, beim -Ableiten müssen also alle Terme verschwinden, die $\vartheta_1$ enthalten. -Dabei spielt es eine Rolle, ob $\vartheta_1$ ein Monom oder algebraisch ist. -\begin{enumerate} -\item -Wenn $\vartheta_1$ ein Monom ist, dann kann man wie im Beweis des -Satzes~\ref{buch:integrale:satz:liouville-vorstufe-1} argumentieren, -dass die Brüchterme gar nicht vorkommen und -$H(\vartheta_1)=v_0+c_1\vartheta_1$ sein muss. -Die Ableitung Termen der Form $\log Z(\vartheta_1)$ ist ein Bruchterm -mit dem irreduziblen Nenner $Z(\vartheta_1)$, die ebenfalls verschwinden -müssen. -Ist $\vartheta_1$ eine Exponentialfunktion, dann ist -$\vartheta_1' \in \mathscr{D}(\vartheta_1)\setminus\mathscr{D}$, also muss -$c_1=0$ sein. -Ist $\vartheta_1$ ein Logarithmus, also $\vartheta_1=\log v_1$, dann -kommen nur noch Terme der in -\eqref{buch:integrale:satz:liouville-fform} -erlaubten Form vor. - -\item -Wenn $\vartheta_1$ algebraisch vom Grad $m$ ist, dann ist -\[ -g' = w_0' + \sum_{i=1}^{k_1} d_i\frac{w_i'}{w_i} = f. -\] -Weder $w_0$ noch $\log w_i$ sind in $\mathscr{D}(\vartheta_1)$. -Aber wenn man $\vartheta_1$ durch die $m$ konjugierten Elemente -ersetzt und alle summiert, dann ist -\[ -mf -= -\operatorname{Tr}(w_0) + \sum_{i=1}^{k_1} d_i \log\operatorname{Norm}(w_i). -\] -Da die Spur und die Norm in $\mathscr{D}$ sind, folgt, dass -\[ -f -= -\underbrace{\frac{1}{m} -\operatorname{Tr}(w_0)}_{\displaystyle= v_0} -+ -\sum_{i=1}^{k_1} \underbrace{\frac{d_i}{m}}_{\displaystyle=c_i} -\log -\underbrace{ \operatorname{Norm}(w_i)}_{\displaystyle=v_i} -= -v_0 + \sum_{i=1}^{k_1} c_i\log v_i -\] -die verlangte Form hat. -\qedhere -\end{enumerate} -\end{proof} - -\subsection{Die Fehlerfunktion ist keine elementare Funktion -\label{buch:integrale:section:fehlernichtelementar}} -% \url{https://youtu.be/bIdPQTVF5n4} -Mit Hilfe des Satzes von Liouville kann man jetzt beweisen, dass -die Fehlerfunktion keine elementare Funktion ist. -Dazu braucht man die folgende spezielle Form des Satzes. - -\begin{satz} -\label{buch:integrale:satz:elementarestammfunktion} -Wenn $f(x)$ und $g(x)$ rationale Funktionen von $x$ sind, dann -ist die Stammfunktion von $f(x)e^{g(x)}$ genau dann eine -elementare Funktion, wenn es eine rationale Funktion gibt, die -Lösung der Differentialgleichung -\[ -r'(x) + g'(x)r(x)=f(x) -\] -ist. -\end{satz} - -\begin{satz} -Die Funktion $x\mapsto e^{-x^2}$ hat keine elementare Stammfunktion. -\label{buch:iintegrale:satz:expx2} -\end{satz} - -\begin{proof}[Beweis] -Unter Anwendung des Satzes~\ref{buch:integrale:satz:elementarestammfunktion} -auf $f(x)=1$ und $g(x)=-x^2$ folgt, $e^{-x^2}$ genau dann eine rationale -Stammfunktion hat, wenn es eine rationale Funktion $r(x)$ gibt, die -Lösung der Differentialgleichung -\begin{equation} -r'(x) -2xr(x)=1 -\label{buch:integrale:expx2dgl} -\end{equation} -ist. - -Zunächst halten wir fest, dass $r(x)$ kein Polynom sein kann. -Wäre nämlich -\[ -r(x) -= -a_0 + a_1x + \dots + a_nx^n -= -\sum_{k=0}^n a_kx^k -\quad\Rightarrow\quad -r'(x) -= -a_1 + 2a_2x + \dots + na_nx^{n-1} -= -\sum_{k=1}^n -ka_kx^{k-1} -\] -ein Polynom, dann ergäbe sich beim Einsetzen in die Differentialgleichung -\begin{align*} -1 -&= -r'(x)-2xr(x) -\\ -&= -a_1 + 2a_2x + 3a_3x^2 + \dots + (n-1)a_{n-1}x^{n-2} + na_nx^{n-1} -\\ -&\qquad -- -2a_0x -2a_1x^2 -2a_2x^3 - \dots - 2a_{n-1}x^n - 2a_nx^{n+1} -\\ -& -\hspace{0.7pt} -\renewcommand{\arraycolsep}{1.8pt} -\begin{array}{crcrcrcrcrcrcrcr} -=&a_1&+&2a_2x&+&3a_3x^2&+&\dots&+&(n-1)a_{n-1}x^{n-2}&+&na_{n }x^{n-1}& & & & \\ - & &-&2a_0x&-&2a_1x^2&-&\dots&-& 2a_{n-3}x^{n-2}&-&2a_{n-2}x^{n-1}&-&2a_{n-1}x^n&-&2a_nx^{n+1} -\end{array} -\\ -&= -a_1 -+ -(2a_2-2a_0)x -+ -(3a_3-2a_1)x^2 -%+ -%(4a_4-2a_2)x^3 -+ -\dots -+ -(na_n-2a_{n-2})x^{n-1} -- -2a_{n-1}x^n -- -2a_nx^{n+1}. -\end{align*} -Koeffizientenvergleich zeigt, dass $a_1=1$ sein muss. -Aus den letzten zwei Termen liest man ebenfalls mittels Koeffizientenvergleich -ab, dass $a_n=0$ und $a_{n-1}=0$ sein müssen. -Aus den Koeffizienten $(ka_k-2a_{k-2})=0$ folgt, dass -$a_{k-2}=\frac{k}{2}a_k$ für alle $k>1$ sein muss, diese Koeffizienten -verschwinden also auch, inklusive $a_1=0$. -Dies ist allerdings im Widerspruch zu $a_1=1$. -Es folgt, dass $r(x)$ kein Polynom sein kann. - -Der Nenner der rationalen Funktion $r(x)$ hat also mindestens eine Nullstelle -$\alpha$, man kann daher $r(x)$ auch schreiben als -\[ -r(x) = \frac{s(x)}{(x-\alpha)^n}, -\] -wobei die rationale Funktion $s(x)$ keine Nullstellen und keine Pole hat. -Einsetzen in die Differentialgleichung ergibt: -\[ -1 -= -r'(x) -2xr(x) -= -\frac{s'(x)}{(x-\alpha)^n} --n -\frac{s(x)}{(x-\alpha)^{n+1}} -- -\frac{2xs(x)}{(x-\alpha)^n}. -\] -Multiplizieren mit $(x-\alpha)^{n+1}$ gibt -\[ -(x-\alpha)^{n+1} -= -s'(x)(x-\alpha) -- -ns(x) -- -2xs(x)(x-\alpha) -\] -Setzt man $x=\alpha$ ein, verschwinden alle Terme ausser dem mittleren -auf der rechten Seite, es bleibt -\[ -ns(\alpha) = 0. -\] -Dies widerspricht aber der Wahl der rationalen Funktion $s(x)$, für die -$\alpha$ keine Nullstelle ist. - -Somit kann es keine rationale Funktion $r(x)$ geben, die eine Lösung der -Differentialgleichung~\eqref{buch:integrale:expx2dgl} ist und -die Funktion $e^{-x^2}$ hat keine elementare Stammfunktion. -\end{proof} - -Der Satz~\ref{buch:iintegrale:satz:expx2} rechtfertigt die Einführung -der Fehlerfunktion $\operatorname{erf}(x)$ als neue spezielle Funktion, -mit deren Hilfe die Funktion $e^{-x^2}$ integriert werden kann. - - - +\rhead{Differentialkörper} +Die Einführung einer neuen Funktion $\operatorname{erf}(x)$ wurde +durch die Behauptung gerechtfertigt, dass es für den Integranden +$e^{-x^2}$ keine Stammfunktion in geschlossener Form gäbe. +Die Fehlerfunktion ist bei weitem nicht die einzige mit dieser +Eigenschaft. +Doch woher weiss man, dass es keine solche Funktion gibt, und +was heisst überhaupt ``Stammfunktion in geschlossener Form''? +In diesem Abschnitt wird daher ein algebraischer Rahmen entwickelt, +in dem diese Frage sinnvoll gestellt werden kann. +Das ultimative Ziel, welches aber erst in +Abschnitt~\ref{buch:integral:section:risch} in Angriff genommen +wird, ist ein Computer-Algorithmus, der Integrale in geschlossener +Form findet oder beweist, dass dies für einen gegebenen Integranden +nicht möglich ist. + +\input{chapters/060-integral/rational.tex} +\input{chapters/060-integral/erweiterungen.tex} +\input{chapters/060-integral/diffke.tex} +\input{chapters/060-integral/iproblem.tex} +\input{chapters/060-integral/irat.tex} +\input{chapters/060-integral/sqrat.tex} diff --git a/buch/chapters/060-integral/differentialkoerper2.tex b/buch/chapters/060-integral/differentialkoerper2.tex new file mode 100644 index 0000000..f41d3ba --- /dev/null +++ b/buch/chapters/060-integral/differentialkoerper2.tex @@ -0,0 +1,1953 @@ +% +% differentialalgebren.tex +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\section{Differentialkörper und der Satz von Liouville +\label{buch:integrale:section:dkoerper}} +\rhead{Differentialkörper und der Satz von Liouville} +Das Problem der Darstellbarkeit eines Integrals in geschlossener +Form verlangt zunächst einmal nach einer Definition dessen, was man +als ``geschlossene Form'' akzeptieren will. +Die sogenannten {\em elementaren Funktionen} von +Abschnitt~\ref{buch:integrale:section:elementar} +bilden dafür den theoretischen Rahmen. +Das Problem ist dann die Frage zu beantworten, ob ein Integral eine +Stammfunktion hat, die eine elementare Funktion ist. +Der Satz von Liouville von Abschnitt~\ref{buch:integrale:section:liouville} +löst das Problem. + +\subsection{Eine Analogie +\label{buch:integrale:section:analogie}} +% XXX Analogie: Formel für Polynom-Nullstellen +% XXX Stammfunktion als elementare Funktion +Das Analysis-Problem, eine Stammfunktion zu finden, ist analog zum +wohlbekannten algebraischen Problem, Nullstellen von Polynomen zu finden. +Wir entwickeln diese Analogie in etwas mehr Detail, um zu sehen, ob man +aus dem algebraischen Problem etwas über das Problem der Analysis +lernen kann. + +Für ein Polynom $p(X) = a_nX^n+a_{n-1}X^{n-1}+\dots+a_1X+a_0\in\mathbb{C}[X]$ +mit Koeffizienten $a_k\in\mathbb{C}$ ist es sehr einfach, für jede beliebige +komplexe Zahl $z\in\mathbb{C}$ den Wert $p(z)$ des Polynoms auszurechnen. +Ein paar wenige Rechenregeln genügen dazu, man kann leicht einem Kind +beibringen, mit einem Taschenrechner so einen Wert auszurechnen. + +Ähnlich sieht es mit der Ableitungsoperation aus. +Einige wenige Ableitungsregeln, die man in der Analysis~I lernt, +erlauben, auf mehr oder weniger mechanische Art und Weise, jede +beliebige Funktion abzuleiten. +Man kann auch leicht einen Computer dazu programmieren, solche Ableitungen +symbolisch zu berechnen. + +Aus dem Fundamentalsatz der Algebra, der von Gauss vollständig bewiesen +wurde, ist bekannt, dass jedes Polynom mit Koeffizienten in $\mathbb{C}$ +genau so viele Lösungen in $\mathbb{C}$, wie der Grad des Polynoms angibt. +Dies ist aber ein Existenzsatz, er sagt nichts darüber aus, wie man diese +Lösungen finden kann. +In Spezialfällen, wie zum Beispiel für quadratische Polynome, gibt +es spezialsierte Lösungsverfahren, mit denen man Lösungen angeben kann. +Natürlich existieren numerische Methoden wie zum Beispiel das +Newton-Verfahren, mit dem man Nullstellen von Polynomen beliebig genau +bestimmen kann. + +Der Fundamentalsatz der Integralrechnung besagt, dass jede stetige +Funktion eine Stammfunktion hat, die bis auf eine Konstante eindeutig +bestimmt ist. +Auch dieser Existenzsatz gibt keinerlei Hinweise darauf, wie man die +Stammfunktion finden kann. +In der Analysis-Vorlesung lernt man viele Tricks, die in einer +beindruckenden Zahl von Spezialfällen ermöglichen, ein passende +Funktion anzugeben. +Man lernt auch numerische Verfahren kennen, mit denen sich Werte der +Stammfunktion, also bestimmte Integrale, mit beliebiger Genauigkeit +finden kann. + +Die numerische Lösung des Nullstellenproblems ist insofern unbefriedigend, +als sie nur schwer eine Diskussion der Abhängigkeit der Nullstellen von +den Koeffizienten des Polynoms ermöglichen. +Eine Formel wie die Lösungsformel für die quadratische Gleichung +stellt genau für solche Fälle ein ideales Werkzeug bereit. +Was man sich also wünscht ist nicht nur einfach eine Lösung, sondern eine +einfache Formel zur Bestimmung aller Lösungen. +Im Zusammenhang mit algebraischen Gleichungen erwartet man eine Formel, +in der nur arithmetische Operationen und Wurzeln vorkommen. +Für quadratische Gleichungen ist so eine Formel seit dem Altertum bekannt, +Formeln für die kubische Gleichung und die Gleichung vierten Grades wurden +im 16.~Jahrhundert von Cardano bzw.~Ferrari gefunden. +Erst viel später haben Abel und Ruffini gezeigt, dass so eine allgemeine +Formel für Polynome höheren Grades als 4 nicht existiert. +Die Galois-Theorie, die auf den Ideen von Évariste Galois beruht, +stellt eine vollständige Theorie unter anderem für die Lösbarkeit +von Gleichungen durch Wurzelausdrücke dar. + +Numerische Integralwerte haben ebenfalls den Nachteil, dass damit +Diskussionen wie die Abhängigkeit von Parametern eines Integranden +nur schwer möglich sind. +Was man sich daher wünscht ist eine Formel für die Stammfunktion, +die Werte als Zusammensetzung gut bekannter Funktionen wie der Exponential- +und Logarithmus-Funktionen oder der trigonometrischen Funktionen +sowie Wurzeln, Potenzen und den arithmetischen Operationen. +Man sagt, man möchte die Stammfunktion in ``geschlossener Form'' +dargestellt haben. +Tatsächlich ist dieses Problem auch zu Beginn des 19.~Jahrhunderts +von Joseph Liouville genauer untersucht worden. +Er hat zunächst eine Klasse von ``elementaren Funktionen'' definiert, +die als Darstellungen einer Stammfunktion in Frage kommen. +Der Satz von Liouville besagt dann, dass nur Funktionen mit einer +ganz speziellen Form eine elementare Stammfunktion haben. +Damit wird es möglich, zu entscheiden, ob ein Integrand wie $e^{-x^2}$ +eine elementare Stammfunktion hat. +Seit dieser Zeit weiss man zum Beispiel, dass die Fehlerfunktion nicht +mit den bekannten Funktionen dargestellt werden kann. + +Mit dem Aufkommen der Computer und vor allem der Computer-Algebra-System (CAS) +wurde die Frage nach der Bestimmung einer Stammfunktion erneut aktuell. +Die ebenfalls weiter entwickelte abstrakte Algebra hat ermöglicht, die +Ideen von Liouville in eine erweiterte, sogenannte differentielle +Galois-Theorie zu verpacken, die eine vollständige Lösung des Problems +darstellt. +Robert Henry Risch hat in den Sechzigerjahren auf dieser Basis +einen Algorithmus entwickelt, mit dem es möglich wird, zu entscheiden, +ob eine Funktion eine elementare Stammfunktion hat und diese +gegebenenfalls auch zu finden. +Moderne CAS implementieren diesen Algorithmus +in Teilen, besonders weit zu gehen scheint das quelloffene System +Axiom. + +Der Risch-Algorithmus hat allerdings eine Achillesferse: er benötigt +eine Method zu entscheiden, ob zwei Ausdrücke übereinstimmen. +Dies ist jedoch ein im Allgemeinen nicht entscheidbares Problem. +Moderne CAS treiben einigen Aufwand, um die +Gleichheit von Ausdrücken zu entscheiden, sie können das Problem +aber grundsätzlich nicht vollständig lösen. +Damit kann der Risch-Algorithmus in praktischen Anwendungen das +Stammfunktionsproblem ebenfalls nur mit Einschränkungen lösen, +die durch die Fähigkeiten des Ausdrucksvergleichs in einem CAS +gesetzt werden. + +Im Folgenden sollen elementare Funktionen definiert werden, es sollen +die Grundideen der differentiellen Galois-Theorie zusammengetragen werden +und der Satz von Liouvill vorgestellt werden. +An Hand der Fehler-Funktion soll dann gezeigt werden, wie man jetzt +einsehen kann, dass die Fehlerfunktion nicht elementar darstellbar ist. +Im nächsten Abschnitt dann soll der Risch-Algorithmus skizziert werden. + +\subsection{Elementare Funktionen +\label{buch:integrale:section:elementar}} +Es soll die Frage beantwortet werden, welche Stammfunktionen sich +in ``geschlossener Form'' oder durch ``wohlbekannte Funktionen'' +ausdrücken lassen. +Welche Funktionen dabei als ``wohlbekannt'' gelten dürfen ist +ziemlich willkürlich. +Sicher möchte man Potenzen und Wurzeln, Logarithmus und Exponentialfunktion, +aber auch die trigonometrischen Funktionen dazu zählen dürfen. +Ausserdem will man beliebig mit den arithmetischen Operationen +rechnen. +So entsteht die Menge der Funktionen, die man ``elementar'' nennen +will. + +In der Menge der elementaren Funktionen möchte man jetzt +Stammfunktionen ausgewählter Funktionen suchen. +Dazu muss man von jeder Funktion ihre Ableitung kennen. +Die Ableitungsoperation macht aus der Funktionenmenge eine +differentielle Algebra. +Der Satz von Liouville (Satz~\ref{buch:integrale:satz:liouville1}) +liefert Bedingungen, die erfüllt sein müssen, wenn eine Funktion +eine elementare Stammfunktion hat. +Sind diese Bedingungen nicht erfüllbar, ist auch keine +elementare Stammfunktion möglich. + +In den folgenden Abschnitten soll die differentielle Algebra +der elementaren Funktionen konstruiert werden. + +\subsubsection{Körper} +Die einfachsten Funktionen sind die die Konstanten, für die wir +für die nachfolgenden Betrachtungen fast immer die komplexen Zahlen +$\mathbb{C}$ +zu Grunde legen wollen. +Dabei ist vor allem wichtig, dass sich darin alle arithmetischen +Operationen durchführen lassen mit der einzigen Ausnahme, dass +nicht durch $0$ dividiert werden darf. +Man nennt $\mathbb{C}$ daher ein {\em Körper}. +\index{Körper}% +\label{buch:integrale:def:koerper} + +\subsubsection{Polynome und rationale Funktionen} +Die Polynome einer Variablen beschreiben eine Menge von +Funktionen, in der Addition, Subtraktion, Multiplikation +von Funktionen und Multiplikation mit komplexen Zahlen +uneingeschränkt möglich ist. +Wir bezeichen wie früher die Menge der Polynome in $z$ mit +$\mathbb{C}[z]$. + +Die Division ist erst möglich, wenn man beliebige Brüche +zulässt, deren Zähler und Nenner Polynome sind. +Die Menge +\[ +\mathbb{C}(z) += +\biggl\{ +\frac{p(z)}{q(z)} +\;\bigg|\; +p,q\in \mathbb{C}[z] +\biggr\} +\] +heisst die Menge der {\em rationalen Funktionen}. +\label{buch:integrale:def:rationalefunktion} +\index{Funktion, rationale}% +\index{rationale Funktion}% +In ihr sind jetzt alle arithmetischen Operationen ausführbar +ausser natürlich die Division durch die Nullfunktion. +Die rationalen Funktionen bilden also wieder eine Körper. + +Die Tatsache, dass die rationalen Funktionen einen Körper +bilden bedeutet auch, dass die Konstruktion erneut durchgeführt +werden kann. +Ausgehend von einem beliebigen Körper $K$ können wieder zunächst +die Polynome $K[X]$ und anschliesen die rationalen Funktionen $K[X]$ +in der neuen Variablen, jetzt aber mit Koeffizienten in $K$ +gebildet werden. +So entstehen Funktionen von mehreren Variablen und, indem +wir für die neue Variable $X$ zum Beispiel die im übernächsten +Abschnitt betrachtete Wurzel $X=\sqrt{z}$ +einsetzen, rationale Funktionen in $z$ und $\sqrt{z}$. + +Solche Funktionenkörper werden im folgenden mit geschweiften +Buchstaben $\mathscr{D}$ bezeichnet. +\index{Funktionenkörper}% + +\subsubsection{Ableitungsoperation} +In allen Untersuchungen soll immer die Ableitungsoperation +mit berücksichtigt werden. +In unserer Betrachtungsweise spielt es keine Rolle, dass die +Ableitung aus einem Grenzwert entsteht, es sind nur die algebraischen +Eigenschaften wichtig. +Diese sind in der folgenden Definition zusammengefasst. + +\begin{definition} +\label{buch:integrale:def:derivation} +Ein {\em Ableitungsoperator} oder eine {\em Derivation} einer Algebra +$\mathscr{D}$ von Funktionen ist eine lineare Abbildung +\[ +\frac{d}{dz} +\colon \mathscr{D} \to \mathscr{D} +: +f \mapsto \frac{df}{dz} = f', +\] +die zusätzlich die Produktregel +\begin{equation} +\frac{d}{dz} (fg) += +\frac{df}{dz} \cdot g + f \cdot \frac{dg}{dz} +\qquad\Leftrightarrow\qquad +(fg)' = f' g + fg' +\label{buch:integrale:eqn:produktregel} +\end{equation} +\index{Produktregel}% +erfüllt. +Die Funktion $f'\in \mathscr{D}$ heisst auch die {\em Ableitung} +von $f\in\mathscr{D}$. +\index{Derivation}% +\index{Ableitungsoperator}% +\index{Ableitung}% +\end{definition} + +Die Produktregel hat zum Beispiel auch die bekannten Quotientenregel +zur Folge. +Dazu betrachten wir das Produkt $f= (f/g)\cdot g$ und leiten es mit +Hilfe der Produktregel ab: +\[ +\frac{d}{dz}f += +\frac{d}{dz} +\biggl( +\frac{f}{g}\cdot g +\biggr) += +{\color{darkred} +\frac{d}{dz} +\biggl( +\frac{f}{g} +\biggr)} +\cdot g ++ +\frac{f}{g}\cdot \frac{d}{dz}g. +\] +Jetzt lösen wir nach der {\color{darkred}roten} Ableitung des Quotienten +auf und erhalten +\begin{equation} +\biggl(\frac{f}{g}\biggr)' += +\frac{d}{dz}\biggl(\frac{f}{g}\biggr) += +\frac1g\biggl( +\frac{d}{dz}f - \frac{f}{g}\cdot \frac{d}{dz}g +\biggr) += +\frac{1}{g} +\biggl( +f'-\frac{fg'}{g} +\biggr) += +\frac{f'g-fg'}{g^2}. +\label{buch:integrale:eqn:quotientenregel} +\end{equation} +Dies ist die Quotientenregel. + +Aus der Produktregel folgt natürlich sofort auch die Potenzregel +für die Ableitung der $n$ten Potenz einer Funktion $f\in\mathscr{D}$, +sie lautet: +\begin{equation} +\frac{d}{dz} f^n += +\underbrace{ +f'f^{n-1} + ff'f^{n-2} + f^2f'f^{n-3}+\dots f^{n-1}f' +}_{\displaystyle \text{$n$ Terme}} += +nf^{n-1}f'. +\label{buch:integrale:eqn:potenzregel} +\end{equation} +In dieser Form versteckt sich natürlich auch die Kettenregel, die +Potenzfunktion ist die äussere Funktion, $f$ die innere, $f'$ ist also +die Ableitung er inneren Funktion, wie in der Kettenregel verlangt. +Falls $f$ ein Element von $\mathscr{D}$ ist mit der Eigenschaft +$df/dz=1$, dann entsteht die übliche Produktregel. + +\begin{definition} +Eine Algebra $\mathscr{D}$ von Funktionen mit einem Ableitungsoperator +$d/dz$ heisst eine {\em differentielle Algebra}. +\index{differentielle Algebra}% +\index{Algebra, differentielle}% +In einer differentiellen Algebra gelten die üblichen +Ableitungsregeln. +\end{definition} + +Die Potenzregel war in der Form~\eqref{buch:integrale:eqn:potenzregel} +geschrieben worden, nicht als die Ableitung von $z$. +Der Grund dafür ist, dass wir gar nicht voraussetzen wollen, dass in +unserer differentiellen Algebra eine Funktion existiert, die die +Rolle von $z$ hat. +Dies ist gar nicht nötig, wie das folgende Beispiel zeigt. + +\begin{beispiel} +Als Funktionenmenge $\mathscr{D}$ nehmen wir rationale Funktionen +in zwei Variablen, die wir $\cos x $ und $\sin x$ nennen. +Diese Menge bezeichnen wir mit +$\mathscr{D}=\mathbb{Q}(\cos x,\sin x)$ +Der Ableitungsoperator ist +\begin{align*} +\frac{d}{dx} \cos x &= -\sin x +\\ +\frac{d}{dx} \sin x &= \phantom{-}\cos x. +\end{align*} +Die Funktionen von $\mathbb{Q}(\cos x,\sin x)$ sind also Brüche, +deren Zähler und Nenner Polynome in $\cos x$ und $\sin x$ sind. +Aus den Produkt- und Quotientenregeln und den Ableitungsregeln für +$\cos x$ und $\sin x$ folgt, dass die Ableitung einer Funktion in +$\mathscr{D}$ wieder in $\mathscr{D}$ ist, $\mathscr{D}$ ist eine +differentielle Algebra. +\end{beispiel} + +Die konstanten Funktionen spielen eine besondere Rolle. +Da wir bei der Ableitung nicht von der Vorstellung einer +Funktion mit einem variablen Argument ausgehen wollten und +die Ableitung nicht als Grenzwert definieren wollten, müssen +wir auch bei der Definition der ``Konstanten'' einen neuen +Weg gehen. +In der Analysis sind die Konstanten genau die Funktionen, +deren Ableitung $0$ ist. + +\begin{definition} +\label{buch:integrale:def:konstante} +Ein Element $f\in \mathscr{D}$ mit $df/dz=f'=0$ heissen +{\em Konstante} in $\mathscr{D}$. +\index{Konstante}% +\end{definition} + +Die in der Potenzregel~\eqref{buch:integrale:eqn:potenzregel} +vermisste Funktion $z$ kann man ähnlich zu den Konstanten +zu definieren versuchen. +$z$ müsste ein Element von $\mathscr{D}$ mit $z' = 1$ sein. +Allerdings gibt es viele solche Elemente, ist $c$ eine Konstanten +und $z'=1$, dann ist auch $(z+c)'=1$, $(z+c)$ hat also für +die Zwecke unserer Untersuchung die gleichen Eigenschaften wie +$z$. +Dies deckt sich natürlich auch mit der Erwartung, dass Stammfunktionen +nur bis auf eine Konstante bestimmt sind. +Eine differentielle Algebra muss allerdings kein Element $z$ mit der +Eigenschaft $z'=1$ enthalten. + +\begin{beispiel} +In $\mathscr{D}=\mathbb{Q}(\cos x,\sin x)$ gibt es kein Element $x$. +Ein solches wäre von der Form +\[ +x = \frac{p(\cos x,\sin x)}{q(\cos x,\sin x)}. +\] +Eine solche goniometrische Beziehung würde für $x=\frac{\pi}4$ bedeuten, +dass +\[ +\frac{\pi}4 += +\frac{p(\sqrt{2}/2,\sqrt{2}/2)}{q(\sqrt{2}/2,\sqrt{2}/2)}. +\] +Auf der rechten Seite steht ein Quotient von Polynome, in dessen +Argument nur rationale Zahlen und $\sqrt{2}$ steht. +So ein Ausdruck kann immer in die Form +\[ +\pi += +4\frac{a\sqrt{2}+b}{c\sqrt{2}+d} += +\frac{4(a\sqrt{2}+b)(c\sqrt{2}-d)}{2c^2+d^2} += +r\sqrt{2}+s +\] +gebracht werden. +Die Zahl auf der rechten Seite ist zwar irrational, aber sie ist Nullstelle +des quadratischen Polynoms +\[ +p(x) += +(x-r\sqrt{2}-s)(x+r\sqrt{2}-s) += +x^2 +-2sx +-2r^2+s^2 +\] +mit rationalen Koeffizienten, wie man mit der Lösungsformel für die +quadratische Gleichung nachprüfen kann. +Es ist bekannt, dass $\pi$ als transzendente Zahl nicht Nullstelle +eines Polynoms mit rationalen Koeffizienten ist. +Dieser Widerspruch zeigt, dass $x$ nicht in $\mathbb{Q}(\cos x, \sin x)$ +vorkommen kann. +\end{beispiel} + +In einer differentiellen Algebra kann jetzt die Frage nach der +Existenz einer Stammfunktion gestellt werden. + +\begin{aufgabe} +\label{buch:integrale:aufgabe:existenz-stammfunktion} +Gegeben eine differentielle Algebra $\mathscr{D}$ und ein Element +$f\in\mathscr{D}$, entscheide, ob es ein Element $F\in\mathscr{D}$ +gibt mit der Eigenschaft $F'=f$. +Ein solches $F\in\mathscr{D}$ heisst {\em Stammfunktion} von $f$. +\end{aufgabe} + +\begin{satz} +In einer differentiellen Algebra $\mathscr{D}$ mit $z\in\mathscr{D}$ +hat die Potenzfunktion $f=z^n$ für $n\in\mathbb{N}\setminus\{-1\}$ +ein Stammfunktion, nämlich +\[ +F = \frac{1}{n+1} z^{n+1}. +\] +\label{buch:integrale:satz:potenzstammfunktion} +\end{satz} + +\begin{proof}[Beweis] +Tatsächlich kann man dies sofort nachrechnen, muss allerdings die +Fälle $n+1 >0$ und $n+1<0$ unterscheiden, da die Potenzregel +\eqref{buch:integrale:eqn:potenzregel} nur für natürliche Exponenten +gilt. +Man erhält +\begin{align*} +n+1&>0\colon +& +\frac{d}{dz}\frac{1}{n+1}z^{n+1} +&= +\frac{1}{n+1}(n+1)z^{n+1-1} += +z^n, +\\ +n+1&<0\colon +& +\frac{d}{dz}\frac{1}{n+1}\frac{1}{z^{-(n+1)}} +&= +\frac{1}{n+1}\frac{1'z^{-(n+1)}-1(-(n+1))z^{-n-1-1}}{z^{-2n-2}} +\\ +&& +&= +\frac{1}{n+1} +\frac{(n+1)z^n{-n-2}}{z^{-2n-2}} +\\ +&& +&= +\frac{1}{z^{-n}}=z^n. +\end{align*} +Man beachte, dass in dieser Rechnung nichts anderes als die +algebraischen Eigenschaften der Produkt- und Quotientenregel +verwendet wurden. +\end{proof} + +\subsubsection{Wurzeln} +Die Wurzelfunktionen sollen natürlich als elementare Funktionen +erlaubt sein. +Es ist bekannt, dass $\sqrt{z}\not\in \mathscr{D}=\mathbb{C}(z)$ +ist, ein solches Element müsste also erst noch hinzugefügt werden. +Dabei muss auch seine Ableitung definiert werden. +Auch dabei dürfen wir nicht auf eine Grenzwertüberlegung zurückgreifen, +vielmehr müssen wir die Ableitung auf vollständig algebraische +Weise bestimmen. + +Wir schreiben $f=\sqrt{z}$ und leiten die Gleichung $f^2=z$ nach $z$ ab. +Dabei ergibt sich nach der Potenzregel +\[ +\frac{d}{dz}f^2 = 2f'f = \frac{d}{dz}z=1 +\qquad\Rightarrow\qquad f' = \frac{1}{2f}. +\] +Diese Rechnung lässt sich auch auf $n$-Wurzeln $g=\root{n}\of{z}$ mit +der Gleichung $g^n = z$ verallgemeinern. +Die Ableitung der $n$-ten Wurzel ist +\begin{equation} +\frac{d}{dz}g^n += +ng^{n-1} = \frac{d}{dz}z=1 +\qquad\Rightarrow\qquad +\frac{d}{dz}g = \frac{1}{ng^{n-1}}. +\end{equation} +Es ist also möglich, eine differentielle Algebra $\mathscr{D}$ mit einer +$n$-ten Wurzel $g$ zu einer grösseren differentiellen Algebra $\mathscr{D}(g)$ +zu erweitern, in der wieder alle Regeln für das Rechnen mit Ableitungen +erfüllt sind. + +\subsubsection{Algebraische Elemente} +Die Charakterisierung der Wurzelfunktionen passt zwar zum verlangten +algebraischen Vorgehen, ist aber zu spezielle und nicht gut für die +nachfolgenden Untersuchengen geeignet. +Etwas allgemeiner ist der Begriff der algebraischen Elemente. + +\begin{definition} +\label{buch:integrale:def:algebraisches-element} +Seien $K\subset L$ zwei Körper. +Ein Element $\alpha \in L$ heisst {\em algebraisch} über $K$, +wenn $\alpha$ Nullstelle eines Polynoms $p\in K[X]$ mit Koeffizienten +in $K$ ist. +\index{algebraisch}% +\end{definition} + +Jedes Element $\alpha\in K$ ist algebraisch, da $\alpha$ Nullstelle +von $X-\alpha\in K[X]$ ist. +Die $n$tem Wurzeln eines Elemente $\alpha\in K$ sind ebenfalls algebraisch, +da sie Nullstellen des Polynoms $p(X) = X^n - \alpha$ sind. +Allerdings ist nicht klar, dass diese Wurzeln überhaupt existieren. +Nach dem Satz von Abel~\ref{buch:potenzen:satz:abel} gibt es aber +Nullstellen von Polynomen, die sich nicht als Wurzelausdrücke schreiben +lassen. +Der Begriff der algebraischen Elemente ist also allgemeiner als der +Begriff der Wurzel. + +\begin{definition} +\label{buch:integrale:def:algebraisch-abgeschlossen} +Ein Körper $K$ heisst {\em algebraisch abgeschlossen}, wenn jedes Polynom mit +Koeffizienten in $K$ eine Nullstelle in $K$ hat. +\end{definition} + +Der Körper $\mathbb{C}$ ist nach dem +Fundamentalsatz~\label{buch:potenzen:satz:fundamentalsatz} +der Algebra algebraisch abgeschlossen. +Da wir aber mit Funktionen arbeiten, müssen wir auch Wurzeln +von Funktionen finden können. +Dies ist nicht selbstverständlich, wie das folgende Beispiel zeigt. + +\begin{beispiel} +Es gibt keine stetige Funktion $f\colon \mathbb{C}\to\mathbb{C}$, die +die Gleichung $f(z)^2 = z$ und $f(1)=1$ erfüllt. +Für die Argumente $z(t)= e^{it}$ folgt, dass $f(z(t)) = e^{it/2}$ sein +muss. +Setzt man aber $t=\pm \pi$ ein, ergeben sich die Werte +$f(z(\pm\pi))=e^{\pm i\pi/2}=\pm 1$, die beiden Grenzwerte +für $t\to\pm\pi$ sind also verschieden. +\end{beispiel} + +Die Mathematik hat verschiedene ``Tricks'' entwickelt, wie mit diesem +Problem umgegangen werden kann: Funktionskeime, Garben, Riemannsche +Flächen. +Sie sind alle gleichermassen gut geeignet, das Problem zu lösen. +Für die vorliegende Aufgabe genügt es aber, dass es tatsächlich +immer ein wie auch immer geartetes Element gibt, welches Nullstelle +des Polynoms ist. + +Ist $f$ eine Nullstelle des Polynoms $p(X)$ mit Koeffizienten in +$\mathscr{D}$, dann kann man die Ableitung wie folgt berechnen. +Zunächst leitet man $p(f)$ ab: +\begin{align} +0&= +\frac{d}{dz}(a_nf^n + a_{n-1}f^{n-1}+\ldots+a_1f+a_0) +\notag +\\ +&= +a_n'f^n + a_{n-1}'f^{n-1}+\ldots+a_1'f+a_0' ++ +na_nf^{n-1}f' ++ +(n-1)a_nf^{n-2}f' ++ +\ldots ++ +a_2ff' ++ +a_1f' +\notag +\\ +&= +a_n'f^n + a_{n-1}'f^{n-1}+\ldots+a_1'f+a_0' ++ +( +na_nf^{n-1} ++ +(n-1)a_nf^{n-2} ++ +\ldots ++ +a_2f ++ +a_1 +)f' +\notag +\\ +\Rightarrow +\qquad +f'&=\frac{ +a_n'f^n + a_{n-1}'f^{n-1}+\dots+a_1'f+a_0' +}{ +na_nf^{n-1} ++ +(n-1)a_nf^{n-2} ++ +\dots ++ +a_1 +}. +\label{buch:integrale:eqn:algabl} +\end{align} +Das einzige, was dabei schief gehen könnte ist, dass der Nenner ebenfalls +verschwindet. +Dieses Problem kann man dadurch lösen, dass man als Polynom das +sogenannte Minimalpolynom verwendet. + +\begin{definition} +Das {\em Minimalpolynome} $m(X)$ eines algebraischen Elementes $\alpha$ ist +das Polynom kleinsten Grades, welches $m(\alpha)=0$ erfüllt. +\end{definition} + +Da das Minimalpolynom den kleinstmöglichen Grad hat, kann der Nenner +von~\eqref{buch:integrale:eqn:algabl}, +der noch kleineren Grad hat, unmöglich verschwinden. +Das Minimalpolynom ist auch im wesentlichen eindeutig. +Gäbe es nämlich zwei verschiedene Minimalpolynome $m_1$ und $m_2$, +dann müsste $\alpha$ auch eine Nullstelle des grössten gemeinsamen +Teilers $m_3=\operatorname{ggT}(m_1,m_2)$ sein. +Wären die beiden Polynome wesentlich verschieden, dann hätte $m_3$ +kleineren Grad, im Widerspruch zur Definition des Minimalpolynoms. +Also unterscheiden sich die beiden Polynome $m_1$ und $m_2$ nur um +einen skalaren Faktor. + +\subsubsection{Konjugation, Spur und Norm} +% Konjugation, Spur und Norm +Das Minimalpolynom eines algebraischen Elementes ist nicht +eindeutig bestimmt. +Zum Beispiel ist $\sqrt{2}$ algebraisch über $\mathbb{Q}$, das +Minimalpolynom ist $m(X)=X^2-2\in\mathbb{Q}[X]$. +Es hat aber noch eine zweite Nullstelle $-\sqrt{2}$. +Mit rein algebraischen Mitteln sind die beiden Nullstellen $\pm\sqrt{2}$ +nicht zu unterscheiden, erst die Verwendung der Vergleichsrelation +ermöglicht, sie zu unterscheiden. + +Dasselbe gilt für die imaginäre Einheit $i$, die das Minimalpolynom +$m(X)=X^2+1\in\mathbb{R}[X]$ hat. +Hier gibt es nicht einmal mehr eine Vergleichsrelation, mit der man +die beiden Nullstellen unterscheiden könnte. +In der Tat ändert sich aus algebraischer Sicht nichts, wenn man in +allen Formeln $i$ durch $-i$ ersetzt. + +Etwas komplizierter wird es bei $\root{3}\of{2}$. +Das Polynom $m=x^3-2\in\mathbb{Q}[X]$ hat $\root{3}\of{2}$ als +Nullstelle und dies ist auch tatsächlich das Minimalpolynom. +Das Polynom hat noch zwei weitere Nullstellen +\[ +\alpha_+ = \frac{-1+i\sqrt{3}}{2}\root{3}\of{2} +\qquad\text{und}\qquad +\alpha_- = \frac{-1-i\sqrt{3}}{2}\root{3}\of{2}. +\] +Die beiden Lösungen gehen durch die Vertauschung von $i$ und $-i$ +auseinander hervor. +Betrachtet man dasselbe Polynom aber als Polynom in $\mathbb{R}[X]$, +dann ist es nicht mehr das Minimalpolynom von $\root{3}\of{2}$, da +$X-\root{3}\of{2}\in\mathbb{R}[X]$ kleineren Grad und $\root{3}\of{2}$ +als Nullstelle hat. +Indem man +\[ +m(X)/(X-\root{3}\of{2})=X^2+\root{3}\of{2}X+\root{3}\of{2}^2=m_2(X) +\] +rechnet, bekommt man das Minimalpolynom der beiden Nullstellen $\alpha_+$ +und $\alpha_-$. +Wir lernen aus diesen Beispielen, dass das Minimalpolynom vom Grundkörper +abhängig ist (Die Faktorisierung $(X-\root{3}\of{2})\cdot m_2(X)$ von +$m(X)$ ist in $\mathbb{Q}[X]$ nicht möglich) und dass wir keine +algebraische Möglichkeit haben, die verschiedenen Nullstellen des +Minimalpolynoms zu unterscheiden. + +Die beiden Nullstellen $\alpha_+$ und $\alpha_-$ des Polynoms $m_2(X)$ +erlauben, $m_2(X)=(X-\alpha_+)(X-\alpha_-)$ zu faktorisieren. +Durch Ausmultiplizieren +\[ +(X-\alpha_+)(X-\alpha_-) += +X^2 -(\alpha_++\alpha_-)X+\alpha_+\alpha_- +\] +und Koeffizientenvergleich mit $m_2(X)$ findet man die symmetrischen +Formeln +\[ +\alpha_+ + \alpha_- = \root{3}\of{2} +\qquad\text{und}\qquad +\alpha_+ \alpha_ = \root{3}\of{2}. +\] +Diese Ausdrücke sind nicht mehr abhängig von einer speziellen Wahl +der Nullstellen. + +Das Problem verschärft sich nocheinmal, wenn wir Funktionen betrachten. +Das Polynom $m(X)=X^3-z$ ist das Minimalpolynom der Funktion $\root{3}\of{z}$. +Die komplexe Zahl $z=re^{i\varphi}$ hat aber drei die algebraisch nicht +unterscheidbaren Nullstellen +\[ +\alpha_0(z)=\root{3}\of{r}e^{i\varphi/3}, +\quad +\alpha_1(z)=\root{3}\of{r}e^{i\varphi/3+2\pi/3} +\qquad\text{und}\qquad +\alpha_2(z)=\root{3}\of{r}e^{i\varphi/3+4\pi/3}. +\] +Aus der Faktorisierung $ (X-\alpha_0(z)) (X-\alpha_1(z)) (X-\alpha_2(z))$ +und dem Koeffizientenvergleich mit dem Minimalpolynom kann man wieder +schliessen, dass die Relationen +\[ +\alpha_0(z) + \alpha_1(z) + \alpha_2(z)=0 +\qquad\text{und}\qquad +\alpha_0(z) \alpha_1(z) \alpha_2(z) = z +\] +gelten. + +Wir können also oft keine Aussagen über individuelle Nullstellen +eines Minimalpolynoms machen, sondern nur über deren Summe oder +Produkt. + +\begin{definition} +\index{buch:integrale:def:spur-und-norm} +Sie $m(X)\in K[X]$ das Minimalpolynom eines über $K$ algebraischen +Elements und +\[ +m(X) = a_nX^n + a_{n-1}X^{n-1} + \ldots + a_1X + a_0. +\] +Dann heissen +\[ +\operatorname{Tr}(\alpha) = -a_{n-1} +\qquad\text{und}\qquad +\operatorname{Norm}(\alpha) = (-1)^n a_0 +\] +die {\em Spur} und die {\em Norm} des Elementes $\alpha$. +\index{Spur eines algebraischen Elementes}% +\index{Norm eines algebraischen Elementes}% +\end{definition} + +Die Spur und die Norm können als Spur und Determinante einer Matrix +verstanden werden, diese allgemeineren Definitionen, die man in der +Fachliteratur, z.~B.~in~\cite{buch:lang} nachlesen kann, führen aber +für unsere Zwecke zu weit. + +\begin{hilfssatz} +Die Ableitungen von Spur und Norm sind +\[ +\operatorname{Tr}(\alpha)' += +\operatorname{Tr}(\alpha') +\qquad\text{und}\qquad +\operatorname{Norm}(\alpha)' += +\operatorname{Tr}(\alpha)' +\] +XXX Wirklich? +\end{hilfssatz} + +\subsubsection{Logarithmen und Exponentialfunktionen} +Die Funktion $z^{-1}$ musste im +Satz~\ref{buch:integrale:satz:potenzstammfunktion} +ausgeschlossen werden, sie hat keine Stammfunktion in $\mathbb{C}(z)$. +Aus der Analysis ist bekannt, dass die Logarithmusfunktion $\log z$ +eine Stammfunktion ist. +Der Logarithmus von $z$ aber auch der Logarithmus $\log f(z)$ +einer beliebigen Funktion $f(z)$ oder die Exponentialfunktion $e^{f(z)}$ +sollen ebenfalls elementare Funktionen sein. +Da wir aber auch hier nicht auf die analytischen Eigenschaften zurückgreifen +wollen, brauchen wir ein rein algebraische Definition. + +\begin{definition} +\label{buch:integrale:def:logexp} +Sei $\mathscr{D}$ ein differentielle Algebra und $f\in\mathscr{D}$. +Ein Element $\vartheta\in\mathscr{D}$ heisst ein {\em Logarithmus} +von $f$, geschrieben $\vartheta = \log f$, wenn $f\vartheta' = f'$ gilt. +$\vartheta$ heisst eine Exponentialfunktion von $f$ wenn +$\vartheta'=\vartheta f'$ gilt. +\end{definition} + +Die Formel für die Exponentialfunktion ist etwas vertrauter, sie ist +die bekannte Kettenregel +\begin{equation} +\vartheta' += +\frac{d}{dz} e^f += +e^f \cdot \frac{d}{dz} f += +\vartheta \cdot f'. +\label{buch:integrale:eqn:exponentialableitung} +\end{equation} +Da wir uns vorstellen, dass Logarithmen Umkehrfunktionen von +Exponentialfunktionen sein sollen, +muss die definierende Gleichung genau wie +\eqref{buch:integrale:eqn:exponentialableitung} +aussehen, allerdings mit vertauschten Plätzen von $f$ und $\vartheta$, +also +\begin{equation} +\vartheta' = \vartheta\cdot f' +\qquad +\rightarrow +\qquad +f' = f\cdot \vartheta' +\;\Leftrightarrow\; +\vartheta' = (\log f)' = \frac{f'}{f}. +\label{buch:integrale:eqn:logarithmischeableitung} +\end{equation} +Dies ist die aus der Analysis bekannte Formel für die logarithmische +Ableitung. + +Der Logarithmus von $f$ und die Exponentialfunktion von $f$ sollen +also ebenfalls als elementare Funktionen betrachtet werden. + +\subsubsection{Die trigonometrischen Funktionen} +Die bekannten trigonometrischen Funktionen und ihre Umkehrfunktionen +sollten natürlich auch elementare Funktionen sein. +Dabei kommt uns zur Hilfe, dass sie sich mit Hilfe der Exponentialfunktion +als +\[ +\cos f = \frac{e^{if}+e^{-if}}2 +\qquad\text{und}\qquad +\sin f = \frac{e^{if}-e^{-if}}{2i} +\] +schreiben lassen. +Eine differentielle Algebra, die die Exponentialfunktionen von $if$ und +$-if$ enthält, enthält also automatisch auch die trigonometrischen +Funktionen. +Im Folgenden ist es daher nicht mehr nötig, die trigonometrischen +Funktionen speziell zu untersuchen. + +\subsubsection{Elementare Funktionen} +Damit sind wir nun in der Lage, den Begriff der elementaren Funktion +genau zu fassen. + +\begin{definition} +\label{buch:integrale:def:einfache-elementare-funktion} +Sie $\mathscr{D}$ eine differentielle Algebra über $\mathbb{C}$ und +$\mathscr{D}(\vartheta)$ eine Erweiterung von $\mathscr{D}$ um eine +neue Funktion $\vartheta$, dann heissen $\vartheta$ und die Elemente +von $\mathscr{D}(\vartheta)$ einfach elementar, wenn eine der folgenden +Bedingungen erfüllt ist: +\begin{enumerate} +\item $\vartheta$ ist algebraisch über $\mathscr{D}$, d.~h.~$\vartheta$ +ist eine ``Wurzel''. +\item $\vartheta$ ist ein Logarithmus einer Funktion in $\mathscr{D}$, +d.~h.~es gibt $f\in \mathscr{D}$ mit $f'=f\vartheta'$ +(Definition~\ref{buch:integrale:def:logexp}). +\item $\vartheta$ ist eine Exponentialfunktion einer Funktion in $\mathscr{D}$, +d.~h.~es bit $f\in\mathscr{D}$ mit $\vartheta'=\vartheta f'$ +(Definition~\ref{buch:integrale:def:logexp}). +\end{enumerate} +\end{definition} + +Einfache elementare Funktionen entstehen also ausgehend von einer +differentiellen Algebra, indem man genau einmal eine Wurzel, einen +Logarithmus oder eine Exponentialfunktion hinzufügt. +So etwas wie die zusammengesetzte Funktion $e^{\sqrt{z}}$ ist +damit noch nicht möglich. +Daher erlauben wir, dass man die gesuchten Funktionen in mehreren +Schritten aufbauen kann. + +\begin{definition} +Sei $\mathscr{F}$ eine differentielle Algebra, die die differentielle +Algebra $\mathscr{D}$ enthält, also $\mathscr{D}\subset\mathscr{F}$. +$\mathscr{F}$ und die Elemente von $\mathscr{F}$ heissen einfach, +wenn es endlich viele Elemente $\vartheta_1,\dots,\vartheta_n$ gibt +derart, dass +\[ +\renewcommand{\arraycolsep}{2pt} +\begin{array}{ccccccccccccc} +\mathscr{D} +&\subset& +\mathscr{D}(\vartheta_1) +&\subset& +\mathscr{D}(\vartheta_1,\vartheta_2) +&\subset& +\; +\cdots +\; +&\subset& +\mathscr{D}(\vartheta_1,\vartheta_2,\dots,\vartheta_{n-1}) +&\subset& +\mathscr{D}(\vartheta_1,\vartheta_2,\dots,\vartheta_{n-1},\vartheta_n) +&=& +\mathscr{F} +\\ +\| +&& +\| +&& +\| +&& +&& +\| +&& +\| +&& +\\ +\mathscr{F}_0 +&\subset& +\mathscr{F}_1 +&\subset& +\mathscr{F}_2 +&\subset& +\cdots +&\subset& +\mathscr{F}_{n-1} +&\subset& +\mathscr{F}_{n\mathstrut} +&& +\end{array} +\] +gilt so, dass jedes $\vartheta_{i+1}$ einfach ist über +$\mathscr{F}_i=\mathscr{D}(\vartheta_1,\dots,\vartheta_i)$. +\end{definition} + +In Worten bedeutet dies, dass man den Funktionen von $\mathscr{D}$ +nacheinander Wurzeln, Logarithmen oder Exponentialfunktionen einzelner +Funktionen hinzufügt. +Die Aufgabe~\ref{buch:integrale:aufgabe:existenz-stammfunktion} kann +jetzt so formuliert werden. + +\begin{aufgabe} +\label{buch:integrale:aufgabe:existenz-stammfunktion-dalg} +Gegeben ist eine Differentielle Algebra $\mathscr{D}$ und eine +Funktion $f\in \mathscr{D}$. +Gibt es eine Folge $\vartheta_1,\dots,\vartheta_n$ und eine Funktion +$F\in\mathscr{D}(\vartheta_1,\dots,\vartheta_n)$ derart, dass +$F'=f$. +\end{aufgabe} + +Das folgende Beispiel zeigt, wie man möglicherweise mehrere +Erweiterungsschritte vornehmen muss, um zu einer Stammfunktion +zu kommen. +Es illustriert auch die zentrale Rolle, die der Partialbruchzerlegung +in der weiteren Entwicklung zukommen wird. + +\begin{beispiel} +\label{buch:integrale:beispiel:nichteinfacheelementarefunktion} +Es soll eine Stammfunktion der Funktion +\[ +f(z) += +\frac{z}{(az+b)(cz+d)} +\in +\mathbb{C}(z) +\] +gefunden werden. +In der Analysis lernt man, dass solche Integrale mit der +Partialbruchzerlegung +\[ +\frac{z}{(az+b)(cz+d)} += +\frac{A_1}{az+b}+\frac{A_2}{cz+d} += +\frac{A_1cz+A_1d+A_2az+A_2b}{(az+b)(cz+d)} +\quad\Rightarrow\quad +\left\{ +\renewcommand{\arraycolsep}{2pt} +\begin{array}{rcrcr} +cA_1&+&aA_2&=&1\\ +dA_1&+&bA_2&=&0 +\end{array} +\right. +\] +bestimmt werden. +Die Lösung des Gleichungssystems ergibt +$A_1=b/(bc-ad)$ und $A_2=d/(ad-bc)$. +Die Stammfunktion kann dann aus +\begin{align*} +\int f(z)\,dz +&= +\int\frac{A_1}{az+b}\,dz ++ +\int\frac{A_2}{cz+d}\,dz += +\frac{A_1}{a}\int\frac{a}{az+b}\,dz ++ +\frac{A_2}{c}\int\frac{c}{cz+d}\,dz +\end{align*} +bestimmt werden. +In den Integralen auf der rechten Seite ist der Zähler jeweils die +Ableitung des Nenners, der Integrand hat also die Form $g'/g$. +Genau diese Form tritt in der Definition eines Logarithmus auf. +Die Stammfunktion ist jetzt +\[ +F(z) += +\int f(z)\,dz += +\frac{A_1}{a}\log(az+b) ++ +\frac{A_2}{c}\log(cz+d) += +\frac{b\log(az+b)}{a(bc-ad)} ++ +\frac{d\log(cz+d)}{c(ad-bc)}. +\] +Die beiden Logarithmen kann man nicht durch rein rationale Operationen +ineinander überführen. +Sie müssen daher beide der Algebra $\mathscr{D}$ hinzugefügt werden. +\[ +\left. +\begin{aligned} +\vartheta_1&=\log(az+b)\\ +\vartheta_2&=\log(cz+d) +\end{aligned} +\quad +\right\} +\qquad\Rightarrow\qquad +F(z) \in \mathscr{F}=\mathscr{D}(\vartheta_1,\vartheta_2). +\] +Die Stammfunktion $F(z)$ ist also keine einfache elementare Funktion, +aber $F$ ist immer noch eine elementare Funktion. +\end{beispiel} + +\subsection{Partialbruchzerlegung +\label{buch:integrale:section:partialbruchzerlegung}} +Die Konstruktionen des letzten Abschnitts haben gezeigt, +wie man die Funktionen, die man als Stammfunktionen einer Funktion +zulassen möchte, schrittweise konstruieren kann. +Die Aufgabe~\ref{buch:integrale:aufgabe:existenz-stammfunktion-dalg} +ist eine rein algebraische Formulierung der ursprünglichen +Aufgabe~\ref{buch:integrale:aufgabe:existenz-stammfunktion}. +Schliesslich hat das Beispiel auf +Seite~\pageref{buch:integrale:beispiel:nichteinfacheelementarefunktion} +gezeigt, dass es im allgemeinen mehrere Schritte braucht, um zu einer +elementaren Stammfunktion zu gelangen. +Die Lösung setzt sich aus den Termen der Partialbruchzerlegung. +In diesem Abschnitt soll diese genauer studiert werden. + +In diesem Abschnitt gehen wir immer von einer differentiellen +Algebra über den komplexen Zahlen aus und verlangen, dass die +Konstanten in allen betrachteten differentiellen Algebren +$\mathbb{C}$ sind. + +\subsubsection{Monome} +Die beiden Funktionen $\vartheta-1=\log(az+b)$ und $\vartheta_2=(cz+d)$, +die im Beispiel hinzugefügt werden mussten, verhalten sich ich algebraischer +Hinsicht wie ein Monom: man kann es nicht faktorisieren oder bereits +bekannte Summanden aufspalten. +Solchen Funktionen kommt eine besondere Bedeutung zu. + +\begin{definition} +\label{buch:integrale:def:monom} +Die Funktion $\vartheta$ heisst ein Monom, wenn $\vartheta$ nicht +algebraisch ist über $\mathscr{D}$ und $\mathscr{D}(\vartheta)$ die +gleichen Konstanten enthält wie $\mathscr{D}$. +\end{definition} + +\begin{beispiel} +Als Beispiel beginnen wir mit den komplexen Zahlen $\mathbb{C}$ +und fügen die Funktion $\vartheta_1=z$ hinzu und erhalten +$\mathscr{D}=\mathbb{C}(z)$. +Die Funktionen $z^k$ sind für alle $k$ linear unabhängig, d.~h.~es +gibt keinen Ausdruck +\[ +a_nz^n + a_{n-1}z^{n-1}+\cdots+a_1z+a_0=0. +\] +Dies ist gleichbedeutend damit, dass $z$ nicht algebraisch ist. +Das Monom $z$ ist also auch ein Monom im Sinne der +Definition~\ref{buch:integrale:def:monom}. +\end{beispiel} + +\begin{beispiel} +Wir beginnen wieder mit $\mathbb{C}$ und fügen die Funktion +$e^z$ hinzu. +Gäbe es eine Beziehung +\[ +b_m(e^z)^m + b_{m-1}(e^z)^{m-1}+\dots+b_1e^z + b_0=0 +\] +mit komplexen Koeffizienten $b_i\in\mathbb{C}$, +dann würde daraus durch Einsetzen von $z=1$ die Relation +\[ +b_me^m + b_{m-1}e^{m-1} + \dots + b_1e + b_0=0, +\] +die zeigen würde, dass $e$ eine algebraische Zahl ist. +Es ist aber bekannt, dass $e$ transzendent ist. +Dieser Widersprich zeigt, dass $e^z$ ein Monom ist. +\end{beispiel} + +\begin{beispiel} +Jetzt fügen wir die Exponentialfunktion $\vartheta_2=e^z$ +der differentiellen Algebra $\mathscr{D}=\mathbb{C}(z)$ hinzu +und erhalten $\mathscr{F}_1=\mathscr{D}(e^z) = \mathbb{C}(z,e^z)$. +Gäbe es das Minimalpolynom +\begin{equation} +b_m(z)(e^z)^m + b_{m-1}(z)(e^z)^{m-1}+\dots+b_1(z)e^z + b_0(z)=0 +\label{buch:integrale:beweis:exp-analytisch} +\end{equation} +mit Koeffizienten $b_i\in\mathbb{C}(z)$, dann könnte man mit dem +gemeinsamen Nenner der Koeffizienten durchmultiplizieren und erhielte +eine Relation~\eqref{buch:integrale:beweis:exp-analytisch} mit +Koeffizienten in $\mathbb{C}[z]$. +Dividiert man durch $e^{mz}$ erhält man +\[ +b_m(z) + b_{m-1}(z)\frac{1}{e^z} + \dots + b_1(z)\frac{1}{(e^z)^{m-1}} + b_0(z)\frac{1}{(e^z)^m}=0. +\] +Aus der Analysis weiss man, dass die Exponentialfunktion schneller +anwächst als jedes Polynom, alle Terme auf der rechten Seite +konvergieren daher gegen 0 für $z\to\infty$. +Das bedeutet, dass $b_m(z)\to0$ für $z\to \infty$. +Das Polynom~\eqref{buch:integrale:beweis:exp-analytisch} wäre also gar +nicht das Minimalpolynom. +Dieser Widerspruch zeigt, dass $e^z$ nicht algebraisch ist über +$\mathbb{C}(z)$ und damit ein Monom ist\footnote{Etwas unbefriedigend +an diesem Argument ist, dass man hier wieder rein analytische statt +algebraische Eigenschaften von $e^z$ verwendet. +Gäbe es aber eine minimale Relation wie +\eqref{buch:integrale:beweis:exp-analytisch} +mit Polynomkoeffizienten, dann wäre sie von der Form +\[ +P(z,e^z)=p(z)(e^z)^m + q(z,e^z)=0, +\] +wobei Grad von $e^z$ in $q$ höchstens $m-1$ ist. +Die Ableitung wäre dann +\[ +Q(z,e^z) += +mp(z)(e^z)^m + p'(z)(e^z)^m + r(z,e^z) += +(mp(z) + p'(z))(e^z)^m + r(z,e^z) +=0, +\] +wobei der Grad von $e^z$ in $r$ wieder höchstens $m-1$ ist. +Bildet man $mP(z,e^z) - Q(z,e^z) = 0$ ensteht eine Relation, +in der der Grad des Koeffizienten von $(e^z)^m$ um eins abgenommen hat. +Wiederholt man dies $m$ mal, verschwindet der Term $(e^z)^m$, die +Relation~\eqref{buch:integrale:beweis:exp-analytisch} +war also gar nicht minimal. +Dieser Widerspruch zeigt wieder, dass $e^z$ nicht algebraisch ist, +verwendet aber nur die algebraischen Eigenschaften der differentiellen +Algebra. +}. +\end{beispiel} + +\begin{beispiel} +Wir hätten auch in $\mathbb{Q}$ arbeiten können und $\mathbb{Q}$ +erst die Exponentialfunktion $e^z$ und dann den Logarithmus $z$ von $e^z$ +hinzufügen können. +Es gibt aber noch weitere Logarithmen von $e^z$ zum Beispiel $z+2\pi i$. +Offenbar ist $\psi=z+2\pi i\not\in \mathbb{Q}(z,e^z)$, wir könnten also +auch noch $\psi$ hinzufügen. +Zwar ist $\psi$ auch nicht algebraisch, aber wenn wir $\psi$ hinzufügen, +dann wird aber die Menge der Konstanten grösser, sie umfasst jetzt +$\mathbb{Q}(2\pi i)$. +Die Bedingung in der Definition~\ref{buch:integrale:def:monom}, +dass die Menge der Konstanten nicht grösser werden darf, ist also +verletzt. + +Hätte man mit $\mathbb{Q}(e^z, z+2\pi i)$ begonnen, wäre $z$ aus +dem gleichen Grund kein Monom, aber $z+2\pi i$ wäre eines im Sinne +der Definition~\ref{buch:integrale:def:monom}. +In allen Rechnungen könnte man $\psi=z+2\pi i$ nicht weiter aufteilen, +da $\pi$ oder seine Potenzen keine Elemente von $\mathbb{Q}(e^z)$ sind. +\end{beispiel} + +Da wir im Folgenden davon ausgehen, dass die Konstanten unserer +differentiellen Körper immer $\mathbb{C}$ sind, wird es jeweils +genügen zu untersuchen, ob eine neu hinzuzufügende Funktion algebraisch +ist oder nicht. + +\subsubsection{Ableitungen von Polynomen und rationalen Funktionen von Monomen} +Fügt man einer differentiellen Algebra ein Monom hinzu, dann lässt +sich etwas mehr über Ableitungen von Polynomen oder Brüchen in diesen +Monomen sagen. +Diese Eigenschaften werden später bei der Auflösung der Partialbruchzerlegung +nützlich sein. + +\begin{satz} +\label{buch:integrale:satz:polynom-ableitung-grad} +Sei +\[ +P += +A_nX^n + A_{n-1}X^{n-1} + \dots A_1X+A_0 +\in\mathscr{D}[X] +\] +ein Polynom mit Koeffizienten in einer differentiellen Algebra $\mathscr{D}$ +und $\vartheta$ ein Monom über $\mathscr{D}$. +Dann gilt +\begin{enumerate} +\item +\label{buch:integrale:satz:polynom-ableitung-grad-log} +Falls $\vartheta=\log f$ ist, ist $P(\vartheta)'$ ein +Polynom vom Grad $n$ in $\vartheta$, wenn der Leitkoeffizient $A_n$ +nicht konstant ist, andernfalls ein Polynom vom Grad $n-1$. +\item +\label{buch:integrale:satz:polynom-ableitung-grad-exp} +Falls $\vartheta = \exp f$ ist, dann ist $P(\vartheta)'$ ein Polynom +in $\vartheta$ vom Grad $n$. +\end{enumerate} +\end{satz} + +Der Satz macht also genaue Aussagen darüber, wie sich der Grad eines +Polynoms in $\vartheta$ beim Ableiten ändert. + +\begin{proof}[Beweis] +Für Exponentialfunktion ist $\vartheta'=\vartheta f'$, die Ableitung +fügt also einfach einen Faktor $f'$ hinzu. +Terme der Form $A_k\vartheta^k$ haben die Ableitung +\[ +(A_k\vartheta^k) += +A'_k\vartheta^k + A_kk\vartheta^{k-1}\vartheta' += +A'_k\vartheta^k + A_kk\vartheta^{k-1}\vartheta f' += +(A'_k + kA_k f)\vartheta^k. +\] +Damit wird die Ableitung des Polynoms +\begin{equation} +P(\vartheta)' += +\underbrace{(A'_n+nA_nf')\vartheta^n}_{\displaystyle=(A_n\vartheta^n)'} ++ +(A'_{n-1}+(n-1)A_{n-1}f')\vartheta^{n-1} ++ \dots + +(A'_1+A_1f')\vartheta + A_0'. +\label{buch:integrale:ableitung:polynom} +\end{equation} +Der Grad der Ableitung kann sich also nur ändern, wenn $A_n'+nA_nf'=0$ ist. +Dies bedeutet aber wegen +\( +(A_n\vartheta^n)' += +0 +\), dass $A_n\vartheta^n=c$ eine Konstante ist. +Da alle Konstanten bereits in $\mathscr{D}$ sind, folgt, dass +\[ +\vartheta^n=\frac{c}{A_n} +\qquad\Rightarrow\qquad +\vartheta^n - \frac{c}{A_n}=0, +\] +also wäre $\vartheta$ algebraisch über $\mathscr{D}$, also auch kein Monom. +Dieser Widerspruch zeigt, dass der Leitkoeffizient nicht verschwinden kann. + +Für die erste Aussage ist die Ableitung der einzelnen Terme des Polynoms +\[ +(A_k\vartheta^k)' += +A_k'\vartheta^k + A_kk\vartheta^{k-1}\vartheta' += +A_k'\vartheta^k + A_kk\vartheta^{k-1}\frac{f'}{f} += +\biggl(A_k'\vartheta + kA_k\frac{f'}{f}\biggr)\vartheta^{k-1}. +\] +Die Ableitung des Polynoms ist daher +\[ +P(\vartheta)' += +A_n'\vartheta^n + \biggl(nA_n\frac{f'}{f}+ A'_{n-1}\biggr)\vartheta^{n-1}+\dots +\] +Wenn $A_n$ keine Konstante ist, ist $A_n'\ne 0$ und der Grad von +$P(\vartheta)'$ ist $n$. +Wenn $A_n$ eine Konstante ist, müssen wir noch zeigen, dass der nächste +Koeffizient nicht verschwinden kann. +Wäre der zweite Koeffizient $=0$, dann wäre die Ableitung +\[ +(nA_n\vartheta+A_{n-1})' += +nA_n\vartheta'+A'_{n-1} += +nA_n\frac{f'}{f}+A'_{n-1} += +0, +\] +d.h. $nA_n\vartheta+A_{n-1}=c$ wäre eine Konstante. +Da alle Konstanten schon in $\mathscr{D}$ sind, müsste auch +\[ +\vartheta = \frac{c-A_{n-1}}{nA_n} \in \mathscr{D} +\] +sein, wieder wäre $\vartheta$ kein Monom. +\end{proof} + +Der nächste Satz gibt Auskunft über den führenden Term in +$(\log P(\vartheta))' = P(\vartheta)'/P(\vartheta)$. + +\begin{satz} +\label{buch:integrale:satz:log-polynom-ableitung-grad} +Sei $P$ ein Polynom vom Grad $n$ wie in +\label{buch:integrale:satz:log-polynom-ableitung} +welches zusätzlich normiert ist, also $A_n=1$. +\begin{enumerate} +\item +\label{buch:integrale:satz:log-polynom-ableitung-log} +Ist $\vartheta=\log f$, dann ist +$(\log P(\vartheta))' = P(\vartheta)'/P(\vartheta)$ und $P(\vartheta)'$ +hat Grad $n-1$. +\item +\label{buch:integrale:satz:log-polynom-ableitung-exp} +Ist $\vartheta=\exp f$, dann gibt es ein Polynom $N(\vartheta)$ so, dass +$(\log P(\vartheta))' += +P(\vartheta)'/P(\vartheta) += +N(\vartheta)/P(\vartheta)+nf'$ +ist. +Falls $P(\vartheta)=\vartheta$ ist $N=0$, andernfalls ist $N(\vartheta)$ +ein Polynom vom Grad $<n$. +\end{enumerate} +\end{satz} + +\begin{proof}[Beweis] +Die Gleichung $(\log P(\vartheta))'=P(\vartheta)'/P(\vartheta)$ ist die +Definition eines Logarithmus, es geht also vor allem um die Frage +des Grades von $P(\vartheta)'$. +Da der Leitkoeffizient als $1$ und damit konstant vorausgesetzt wurde, +folgt die Behauptung \ref{buch:integrale:satz:log-polynom-ableitung-log} +aus +Aussage \ref{buch:integrale:satz:polynom-ableitung-grad-log} +von Satz~\ref{buch:integrale:satz:polynom-ableitung-grad}. + +Für Aussage \ref{buch:integrale:satz:log-polynom-ableitung-exp} +beachten wir wieder die +Ableitungsformel~\eqref{buch:integrale:ableitung:polynom} +und berücksichtigen, dass $A_n=1$ eine Konstante ist. +Da $A_n'=0$ ist, wird +\begin{align*} +P(\vartheta)' +&= +nA_n\vartheta^n f' + \text{Terme niedrigeren Grades in $\vartheta$}. +\intertext{Das Polynom $nf'P(\vartheta)$ hat den gleichen Term vom +Grad $n$, man kann also $P(\vartheta)'$ auch schreiben als} +&= +nf' +P(\vartheta) ++ +\underbrace{ +\text{Terme niedrigeren Grades in $\vartheta$}}_{\displaystyle=N(\vartheta)}. +\end{align*} +Division durch $P(\vartheta)$ ergibt die versprochene Formel. + +Im Fall $P(\vartheta)=\vartheta$ ist $n=1$ und +$(\log P(\vartheta))'=P(\vartheta)'/P(\vartheta) += +\vartheta f'/\vartheta += +nf'$ und somit $N(\vartheta)=0$. +\end{proof} + +\subsubsection{Partialbruchzerlegungen} +Der vorangegangene Abschnitt hat gezeigt, dass sich Monome im Sinne +der Definition~\ref{buch:integrale:def:monom} algebraisch wie eine +unabhängige Variable verhalten. +Für die Berechnung von Integralen rationaler Funktionen in einer +Variablen $x$ verwendet +man die Partialbruchzerlegung, um Brüche mit einfachen Nennern zu +erhalten. +Es liegt daher nahe, dieselbe Idee auch auf die +Monome $\vartheta_i$ zu verwenden. +Dazu muss man die Brüche besser verstehen, die in einer Partialbruchzerlegung +vorkommen können. + +Eine Partialbruchzerlegung in der Variablen $X$ setzt sich zusammen +aus Brüchen der Form +\begin{equation} +g(X) += +\frac{P(X)}{Q(X)^r}, +\label{buch:integrale:eqn:partialbruch-quotient} +\end{equation} +wobei das Nennerpolynom $Q(X)$ ist ein normiertes irreduzibles Polynom +vom Grad $q$ und $P(X)$ ein beliebiges Polynom vom Grad $p<q$. + +Ist der Grad von $P(X)$ +im Quotienten +\eqref{buch:integrale:eqn:partialbruch-quotient} +grösser als $q$, dann kann man $P(X)$ um Vielfache von Potenzen von +$Q(X)$ reduzieren und eine Summe von Termen der Art +\eqref{buch:integrale:eqn:partialbruch-quotient} +erhalten, deren Nenner alle Grad $< q$ haben. +Die Anzahl neu enstehender Terme ist dabei ums grösser, je grösser +der Grad des Zählers ist. +Dies ist der Inhalt des folgenden Satzes. + +\begin{satz} +\label{buch:integrale:satz:partialbruch-reduktion} +Sei $Q(X)$ ein irreduzibles Polynom vom Grad $q$ und $P(X)$ ein beliebiges +Polynom vom Grad $p < (k+1)q$. +Dann gibt es Polynome $P_i(X)$, $i=0,\dots,k$, vom Grad $<q$ derart, +dass +\begin{equation} +\frac{P(X)}{Q(X)^r} += +\sum_{i=0}^k \frac{P_i(X)}{Q(X)^{r-i}}. +\label{buch:integrale:satz:partialbruch-aufgeloest} +\end{equation} +\end{satz} + +\begin{proof}[Beweis] +Für $k=0$ ist $p<q$ und es muss nichts weiter gezeigt werden. + +Sei jetzt also $k>0$ das kleinste $k$ so, dass $p<(k+1)q$. +Insbesondere ist dann $kq\le p$. +Nach dem euklidischen Satz für die Division von $P(X)$ durch $Q(X)^k$ +gibt es ein Polynom $P_k(X)$ vom Grad $\le p-qk$ derart, dass +\[ +P(X) = P_k(X)Q(X)^k + R_k(X) +\] +mit einem Rest $R_k(X)$ vom Grad $<kq$. +Es folgt +\[ +\frac{ P(X)}{Q(X)^r} += +\frac{P_k(X)}{Q(X)^{r-k}} ++ +\frac{R_k(X)}{Q(X)^r}. +\] +Der zweite Term ist wieder von der im Satz beschriebenen Art, allerdings +mit einem Wert von $k$, der um $1$ kleiner ist. +Durch rekursive Anwendung der gleichen Prozedur in $k$ weiteren Schritten +erhält man die Form +Das gleiche Argument kann jetzt auf das Polynom $R_k(X)$ anstelle +von $P(X)$ angewendet werden, erhalt man den Ausdruck +\eqref{buch:integrale:satz:partialbruch-aufgeloest}. +\end{proof} + +In der differentiellen Algebra $\mathscr{D}(\vartheta)$ muss man jetzt +auch Bescheid wissen über die Partialbruchzerlegung von Ableitungen solcher +Terme. + +\begin{satz} +\label{buch:integrale:satz:partialbruch-monom} +Sei $\vartheta$ ein Monom über $\mathscr{D}$ und +seien $P(\vartheta),Q(\vartheta)\in\mathscr{D}[\vartheta]$ Polynome, +wobei $Q(\vartheta)$ ein irreduzibles normiertes Polynom vom Grad $q$ +ist und $P(\vartheta)$ ein beliebiges Polynom vom Grad $p<q$. +Dann ist die Ableitung +\begin{equation} +g(\vartheta)' += +\biggl( +\frac{P(\vartheta)}{Q(\vartheta)^r} +\biggr)' += +-r\frac{P(\vartheta)Q(\vartheta)'}{Q(\vartheta)^{r+1}} ++ +\frac{P(\vartheta)'}{Q(\vartheta)^r}. +\label{buch:integrale:eqn:partialbruch-ableitung} +\end{equation} +Falls $\vartheta=\exp f$ eine Exponentialfunktion ist und +$Q(\vartheta)=\vartheta$, dann hat die Partialbruchzerlegung von $g(X)'$ +die Form +\begin{equation} +g(\vartheta)' += +\frac{ +{P(\vartheta)'-rP(\vartheta)f} +}{ +\vartheta^{r} +}. +\label{buch:integrale:eqn:partialbruch-ableitung-fall0} +\end{equation} +Für $Q(\vartheta)\ne \vartheta$ oder $\vartheta$ keine Exponentialfunktion +hat die Partialbruchzerlegung von $g(X)'$ die Form +\[ +g(\vartheta)' += +\frac{R(\vartheta)}{Q(\vartheta)^{r+1}}+\frac{S(\vartheta)}{Q(\vartheta)^r} +\qquad\text{mit $R(\vartheta)\ne 0$}. +\] +\end{satz} + +\begin{proof}[Beweis] +Schreibt man den Quotienten $g(\vartheta)$ als +$g(\vartheta)=P(\vartheta)Q(\vartheta)^{-r}$, dann folgt aus +Produkt- und Potenzregel +\[ +g(\vartheta)' += +P(\vartheta)'Q(\vartheta)^{-r} ++ +P(\vartheta)\bigl(Q(\vartheta)^{-r}\bigr)' += +\frac{P(\vartheta)'}{Q(\vartheta)^{r}} +-r\frac{P(\vartheta)Q(\vartheta)'}{Q(\vartheta)^{r+1}}, +\] +dies ist +\eqref{buch:integrale:eqn:partialbruch-ableitung}. +Auf die Ableitungen von $P(\vartheta)$ und $Q(\vartheta)$ können +jetzt die Sätze +\ref{buch:integrale:satz:polynom-ableitung-grad}, +\ref{buch:integrale:satz:log-polynom-ableitung-grad} +und +\ref{buch:integrale:satz:partialbruch-monom} +angewendet werden. +Es sind jweils zwei Dinge zu prüfen: es dürfen in der Partialbruchzerlegung +im Nenner keine Potenzen $<r$ vorkommen und wegen $R\ne 0$ muss der Nenner +$Q(\vartheta)^{r+1}$ vorkommen. + +Falls $\vartheta=\log f$ ist, ist $Q(\vartheta)'$ ein Polynom vom +Grad $q-1$ nach Satz~\eqref{buch:integrale:satz:polynom-ableitung-grad} +\ref{buch:integrale:satz:polynom-ableitung-grad-log} +und $P(\vartheta)'$ ist ein Polynom vom Grad höchstens $p$. +Der Zähler $P(\vartheta)Q(\vartheta)'$ im zweiten Term ist nicht +durch $Q(\vartheta)$ teilbar, denn weil $Q(\vartheta)$ irreduzibel +ist, müsste $Q(\vartheta)$ entweder $P(\vartheta)$ oder $Q(\vartheta)'$ +teilen, aber beide haben zu geringen Grad. + +Falls $\vartheta=\exp f$ ist, ist $Q(\vartheta)'$ ein Polynom vom +Grad $q$ und $P(\vartheta)'$ ist eine Polynom vom Grad $p$. +Der Grad von $P(\vartheta)Q(\vartheta)'$ ist $<2q$, daher +werden nach +Satz~\ref{buch:integrale:satz:partialbruch-reduktion} +keine Nenner mit kleinerem Exponenten als $r$ auftreten. +Es ist noch zu prüfen, ob $Q(\vartheta)$ den Nenner des zweiten Termes +von~\eqref{buch:integrale:eqn:partialbruch-ableitung} teilt. +Nehmen wir $Q(\vartheta)\mid P(\vartheta)Q(\vartheta)'$ an, dann muss +$Q(\vartheta)\mid Q(\vartheta)'$ sein. +Für +\[ +Q(\vartheta) = \vartheta^q + q_{q-1}\vartheta^{q-1} + \dots +\] +ist die Ableitung +\[ +Q(\vartheta)' += +q\vartheta^q f' ++ +\dots +\] +und damit +\[ +\frac{Q(\vartheta)'}{Q(\vartheta)} += +qf'. +\] +Andererseits ist in der +Aussage~\label{buch:integrale:satz:log-polynom-ableitung-exp} +von +Satz~\ref{buch:integrale:satz:log-polynom-ableitung-grad} +angewendet auf das Polynom $Q(\vartheta)$ das Polynom $N(\vartheta)=0$, +und daher muss $Q(\vartheta)=\vartheta$ und $q=1$ sein. +Dies ist der einzige Ausnahmefall, in die Partialbruchzerlegung die Form +\eqref{buch:integrale:eqn:partialbruch-ableitung-fall0} +annimmt. +\end{proof} + +Der Satz besagt also, dass in fast allen Fällen die einzelnen Terme +der Partialbruchzerlegung der Ableitungen wieder von der gleichen +Form sind. + +\subsection{Der Satz von Liouville +\label{buch:integrale:section:liouville}} +Die Funktion +\[ +f(z) = \frac{(z+1)^2}{(z-1)^3} \in \mathbb{C}(z) = \mathscr{D} +\] +kann mit Hilfe der Partialbruchzerlegung +\[ +f(z) += +\frac{1}{z-1} ++ +\frac{4}{(z-1)^2} ++ +\frac{4}{(z-1)^3} +\] +integriert werden. +Die Integranden $(z-1)^{-k}$ mit $k>1$ können mit der Potenzregel +integriert werden, aber für eine Stammfunktion $1/(z-1)$ muss +der Logarithmus $\log(z-1)$ hinzugefügt werden. +Die Stammfunktion +\[ +\int f(z)\,dz += +\int +\frac{1}{z-1} +\,dz ++ +\int +\frac{4}{(z-1)^2} +\,dz ++ +\int +\frac{4}{(z-1)^3} +\,dz += +\log(z-1) +- +\underbrace{\frac{4z-2}{(z-1)^2}}_{\displaystyle\in\mathscr{D}} +\in \mathscr{D}(\log(z-1)) = \mathscr{F} +\] +hat eine sehr spezielle Form. +Sie besteht aus einem Term in $\mathscr{D}$ und einem Logarithmus +einer Funktion von $\mathscr{D}$, also einem Monom über $\mathscr{D}$. + +\subsubsection{Einfach elementare Stammfunktionen} +Der in diesem Abschnitt zu beweisende Satz von Liouville zeigt, +dass die im einführenden Beispiel konstruierte Form der Stammfunktion +eine allgemeine Eigenschaft elementar integrierbarer +Funktionen ist. +Zunächst aber soll dieses Bespiel etwas verallgemeinert werden. + +\begin{satz}[Liouville-Vorstufe für Monome] +\label{buch:integrale:satz:liouville-vorstufe-1} +Sei $\vartheta$ ein Monom über $\mathscr{D}$ und $g\in\mathscr{D}(\vartheta)$ +mit $g'\in\mathscr{D}$. +Dann hat $g$ die Form $v_0 + c_1\vartheta$ mit $v_0\in\mathscr{D}$ und +$c_1\in\mathbb{C}$. +\end{satz} + +\begin{proof}[Beweis] +In Anlehnung an das einführende Beispiel nehmen wir an, dass die +Stammfunktion $g\in\mathscr{D}[\vartheta]$ für ein Monom $\vartheta$ +über $\mathscr{D}$ ist. +Dann hat $g$ die Partialbruchzerlegung +\[ +g += +H(\vartheta) ++ +\sum_{j\le r(i)} \frac{P_{ij}(\vartheta)}{Q_i(\vartheta)^j} +\] +mit irreduziblen normierten Polynomen $Q_i(\vartheta)$ und +Polynomen $P_{ij}(\vartheta)$ vom Grad kleiner als $\deg Q_i(\vartheta)$. +Ausserdem ist $H(\vartheta)$ ein Polynom. +Die Ableitung von $g$ muss jetzt aber wieder in $\mathscr{D}$ sein. +Zu ihrer Berechnung können die Sätze +\ref{buch:integrale:satz:polynom-ableitung-grad}, +\ref{buch:integrale:satz:log-polynom-ableitung-grad} +und +\ref{buch:integrale:satz:partialbruch-monom} +verwendet werden. +Diese besagen, dass in der Partialbruchzerlegung die Exponenten der +Nenner die Quotienten in der Summe nicht kleiner werden. +Die Ableitung $g'\in\mathscr{D}$ darf aber gar keine Nenner mit +$\vartheta$ enthalten, also dürfen die Quotienten gar nicht erst +vorkommen. +$g=H(\vartheta)$ muss also ein Polynom in $\vartheta$ sein. +Die Ableitung des Polynoms darf wegen $g'\in\mathscr{d}$ das Monom +$\vartheta$ ebenfalls nicht mehr enthalten, daher kann es höchstens vom +Grad $1$ sein. +Nach Satz~\ref{buch:integrale:satz:log-polynom-ableitung-grad} +muss ausserdem der Leitkoeffizient von $g$ eine Konstante sein, +das Polynom hat also genau die behauptete Form. +\end{proof} + +\begin{satz}[Liouville-Vorstufe für algebraische Elemente] +\label{buch:integrale:satz:liouville-vorstufe-2} +Sei $\vartheta$ algebraische über $\mathscr{D}$ und +$g\in\mathscr{D}(\vartheta)$ mit $g'\in\mathscr{D}$. +\end{satz} + +\subsubsection{Elementare Stammfunktionen} +Nach den Vorbereitungen über einfach elementare Stammfunktionen +in den Sätzen~\label{buch:integrale:satz:liouville-vorstufe-1} +und +\label{buch:integrale:satz:liouville-vorstufe-2} sind wir jetzt +in der Lage, den allgemeinen Satz von Liouville zu formulieren +und zu beweisen. + +\begin{satz}[Liouville] +Sei $\mathscr{D}$ ein Differentialkörper, $\mathscr{F}$ einfach über +$\mathscr{D}$ mit gleichem Konstantenkörper $\mathbb{C}$. +Wenn $g\in \mathscr{F}$ eine Stammfunktion von $f\in\mathscr{D}$ ist, +also $g'=f$, dann gibt es Zahlen $c_i\in\mathbb{C}$ und +$v_0,v_i\in\mathscr{D}$ derart, dass +\begin{equation} +g = v_0 + \sum_{i=1}^k c_i \log v_i +\qquad\Rightarrow\qquad +g' = v_0' + \sum_{i=1}^k c_i \frac{v_i'}{v_i} = f +\label{buch:integrale:satz:liouville-fform} +\end{equation} +gilt. +\end{satz} + +Der Satz hat zur Folge, dass eine elementare Stammfunktion für $f$ +nur dann existieren kann, wenn sich $f$ in der speziellen Form +\eqref{buch:integrale:satz:liouville-fform} +schreiben lässt. +Die Aufgabe~\ref{buch:integrale:aufgabe:existenz-stammfunktion-dalg} +lässt sich damit jetzt lösen. + + +\begin{proof}[Beweis] +Wenn die Stammfunktion $g\in\mathscr{D}$ ist, dann hat $g$ die Form +\eqref{buch:integrale:satz:liouville-fform} mit $v_0=g$, die Summe +wird nicht benötigt. + +Wir verwenden Induktion nach der Anzahl der Elemente, die zu $\mathscr{D}$ +hinzugefügt werden müssen, um einen Differentialkörper +$\mathscr{F}=\mathscr{D}(\vartheta_1,\dots,\vartheta_n)$ zu konstruieren, +der $g$ enthält. +Da $f\in\mathscr{D}\subset\mathscr{D}(\vartheta_1)$ ist, können wir die +Induktionsannahme auf die Erweiterung +\[ +\mathscr{D}(\vartheta_1)\subset\mathscr{D}(\vartheta_1,\vartheta_2) +\subset\cdots\subset \mathscr{D}(\vartheta_1,\cdots,\vartheta_n)=\mathscr{F} +\] +anwenden, die durch Hinzufügen von nur $n-1$ Elemente +$\vartheta_2,\dots,\vartheta_n$ aus $\mathscr{D}(\vartheta_1)$ den +Differentialkörper $\mathscr{F}$ erreicht, der $g$ enthält. +Sie besagt, dass sich $g$ schreiben lässt als +\[ +g = w_0 + \sum_{i=1}^{k_1} c_i\log w_i +\qquad\text{mit $c_i\in\mathbb{C}$ und $w_0,w_i\in\mathscr{D}(\vartheta_1)$.} +\] +Wir müssen jetzt zeigen, dass sich dieser Ausdruck umformen lässt +in den Ausdruck der Form~\eqref{buch:integrale:satz:liouville-fform}. + +Der Term $w_0\in\mathscr{D}(\vartheta_1)$ hat eine Partialbruchzerlegung +\[ +H(\vartheta_1) ++ +\sum_{j\le r(l)} \frac{P_{lj}(\vartheta_1)}{Q_l(\vartheta_1)^j} +\] +in der Variablen $\vartheta_1$. + +Da $w_i\in\mathscr{D}(\vartheta_1)$ ist, kann man Zähler und Nenner +von $w_i$ als Produkt irreduzibler normierter Polynome schreiben: +\[ +w_i += +\frac{h_i Z_{i1}(\vartheta_1)^{s_{i1}}\cdots Z_{im(i)}^{s_{im(i)}} +}{ +N_{i1}(\vartheta_1)^{t_{i1}}\cdots N_{in(i)}(\vartheta_1)^{t_{in(i)}} +} +\] +Der Logarithmus hat die Form +\begin{align*} +\log w_i +&= \log h_i + +s_{i1} +\log Z_{i1}(\vartheta_1) ++ +\cdots ++ +s_{im(i)} +\log Z_{im(i)} +- +t_{i1} +\log +N_{i1}(\vartheta_1) +- +\cdots +- +t_{in(i)} +\log +N_{in(i)}(\vartheta_1). +\end{align*} +$g$ kann also geschrieben werden als eine Summe von Polynomen, Brüchen, +wie sie in der Partialbruchzerlegung vorkommen, Logarithmen von irreduziblen +normierten Polynomen und Logarithmen von Elementen von $\mathscr{D}$. + +Die Ableitung $g'$ muss jetzt aber wieder in $\mathscr{D}$ sein, beim +Ableiten müssen also alle Terme verschwinden, die $\vartheta_1$ enthalten. +Dabei spielt es eine Rolle, ob $\vartheta_1$ ein Monom oder algebraisch ist. +\begin{enumerate} +\item +Wenn $\vartheta_1$ ein Monom ist, dann kann man wie im Beweis des +Satzes~\ref{buch:integrale:satz:liouville-vorstufe-1} argumentieren, +dass die Brüchterme gar nicht vorkommen und +$H(\vartheta_1)=v_0+c_1\vartheta_1$ sein muss. +Die Ableitung Termen der Form $\log Z(\vartheta_1)$ ist ein Bruchterm +mit dem irreduziblen Nenner $Z(\vartheta_1)$, die ebenfalls verschwinden +müssen. +Ist $\vartheta_1$ eine Exponentialfunktion, dann ist +$\vartheta_1' \in \mathscr{D}(\vartheta_1)\setminus\mathscr{D}$, also muss +$c_1=0$ sein. +Ist $\vartheta_1$ ein Logarithmus, also $\vartheta_1=\log v_1$, dann +kommen nur noch Terme der in +\eqref{buch:integrale:satz:liouville-fform} +erlaubten Form vor. + +\item +Wenn $\vartheta_1$ algebraisch vom Grad $m$ ist, dann ist +\[ +g' = w_0' + \sum_{i=1}^{k_1} d_i\frac{w_i'}{w_i} = f. +\] +Weder $w_0$ noch $\log w_i$ sind in $\mathscr{D}(\vartheta_1)$. +Aber wenn man $\vartheta_1$ durch die $m$ konjugierten Elemente +ersetzt und alle summiert, dann ist +\[ +mf += +\operatorname{Tr}(w_0) + \sum_{i=1}^{k_1} d_i \log\operatorname{Norm}(w_i). +\] +Da die Spur und die Norm in $\mathscr{D}$ sind, folgt, dass +\[ +f += +\underbrace{\frac{1}{m} +\operatorname{Tr}(w_0)}_{\displaystyle= v_0} ++ +\sum_{i=1}^{k_1} \underbrace{\frac{d_i}{m}}_{\displaystyle=c_i} +\log +\underbrace{ \operatorname{Norm}(w_i)}_{\displaystyle=v_i} += +v_0 + \sum_{i=1}^{k_1} c_i\log v_i +\] +die verlangte Form hat. +\qedhere +\end{enumerate} +\end{proof} + +\subsection{Die Fehlerfunktion ist keine elementare Funktion +\label{buch:integrale:section:fehlernichtelementar}} +% \url{https://youtu.be/bIdPQTVF5n4} +Mit Hilfe des Satzes von Liouville kann man jetzt beweisen, dass +die Fehlerfunktion keine elementare Funktion ist. +Dazu braucht man die folgende spezielle Form des Satzes. + +\begin{satz} +\label{buch:integrale:satz:elementarestammfunktion} +Wenn $f(x)$ und $g(x)$ rationale Funktionen von $x$ sind, dann +ist die Stammfunktion von $f(x)e^{g(x)}$ genau dann eine +elementare Funktion, wenn es eine rationale Funktion gibt, die +Lösung der Differentialgleichung +\[ +r'(x) + g'(x)r(x)=f(x) +\] +ist. +\end{satz} + +\begin{satz} +Die Funktion $x\mapsto e^{-x^2}$ hat keine elementare Stammfunktion. +\label{buch:iintegrale:satz:expx2} +\end{satz} + +\begin{proof}[Beweis] +Unter Anwendung des Satzes~\ref{buch:integrale:satz:elementarestammfunktion} +auf $f(x)=1$ und $g(x)=-x^2$ folgt, $e^{-x^2}$ genau dann eine rationale +Stammfunktion hat, wenn es eine rationale Funktion $r(x)$ gibt, die +Lösung der Differentialgleichung +\begin{equation} +r'(x) -2xr(x)=1 +\label{buch:integrale:expx2dgl} +\end{equation} +ist. + +Zunächst halten wir fest, dass $r(x)$ kein Polynom sein kann. +Wäre nämlich +\[ +r(x) += +a_0 + a_1x + \dots + a_nx^n += +\sum_{k=0}^n a_kx^k +\quad\Rightarrow\quad +r'(x) += +a_1 + 2a_2x + \dots + na_nx^{n-1} += +\sum_{k=1}^n +ka_kx^{k-1} +\] +ein Polynom, dann ergäbe sich beim Einsetzen in die Differentialgleichung +\begin{align*} +1 +&= +r'(x)-2xr(x) +\\ +&= +a_1 + 2a_2x + 3a_3x^2 + \dots + (n-1)a_{n-1}x^{n-2} + na_nx^{n-1} +\\ +&\qquad +- +2a_0x -2a_1x^2 -2a_2x^3 - \dots - 2a_{n-1}x^n - 2a_nx^{n+1} +\\ +& +\hspace{0.7pt} +\renewcommand{\arraycolsep}{1.8pt} +\begin{array}{crcrcrcrcrcrcrcr} +=&a_1&+&2a_2x&+&3a_3x^2&+&\dots&+&(n-1)a_{n-1}x^{n-2}&+&na_{n }x^{n-1}& & & & \\ + & &-&2a_0x&-&2a_1x^2&-&\dots&-& 2a_{n-3}x^{n-2}&-&2a_{n-2}x^{n-1}&-&2a_{n-1}x^n&-&2a_nx^{n+1} +\end{array} +\\ +&= +a_1 ++ +(2a_2-2a_0)x ++ +(3a_3-2a_1)x^2 +%+ +%(4a_4-2a_2)x^3 ++ +\dots ++ +(na_n-2a_{n-2})x^{n-1} +- +2a_{n-1}x^n +- +2a_nx^{n+1}. +\end{align*} +Koeffizientenvergleich zeigt, dass $a_1=1$ sein muss. +Aus den letzten zwei Termen liest man ebenfalls mittels Koeffizientenvergleich +ab, dass $a_n=0$ und $a_{n-1}=0$ sein müssen. +Aus den Koeffizienten $(ka_k-2a_{k-2})=0$ folgt, dass +$a_{k-2}=\frac{k}{2}a_k$ für alle $k>1$ sein muss, diese Koeffizienten +verschwinden also auch, inklusive $a_1=0$. +Dies ist allerdings im Widerspruch zu $a_1=1$. +Es folgt, dass $r(x)$ kein Polynom sein kann. + +Der Nenner der rationalen Funktion $r(x)$ hat also mindestens eine Nullstelle +$\alpha$, man kann daher $r(x)$ auch schreiben als +\[ +r(x) = \frac{s(x)}{(x-\alpha)^n}, +\] +wobei die rationale Funktion $s(x)$ keine Nullstellen und keine Pole hat. +Einsetzen in die Differentialgleichung ergibt: +\[ +1 += +r'(x) -2xr(x) += +\frac{s'(x)}{(x-\alpha)^n} +-n +\frac{s(x)}{(x-\alpha)^{n+1}} +- +\frac{2xs(x)}{(x-\alpha)^n}. +\] +Multiplizieren mit $(x-\alpha)^{n+1}$ gibt +\[ +(x-\alpha)^{n+1} += +s'(x)(x-\alpha) +- +ns(x) +- +2xs(x)(x-\alpha) +\] +Setzt man $x=\alpha$ ein, verschwinden alle Terme ausser dem mittleren +auf der rechten Seite, es bleibt +\[ +ns(\alpha) = 0. +\] +Dies widerspricht aber der Wahl der rationalen Funktion $s(x)$, für die +$\alpha$ keine Nullstelle ist. + +Somit kann es keine rationale Funktion $r(x)$ geben, die eine Lösung der +Differentialgleichung~\eqref{buch:integrale:expx2dgl} ist und +die Funktion $e^{-x^2}$ hat keine elementare Stammfunktion. +\end{proof} + +Der Satz~\ref{buch:iintegrale:satz:expx2} rechtfertigt die Einführung +der Fehlerfunktion $\operatorname{erf}(x)$ als neue spezielle Funktion, +mit deren Hilfe die Funktion $e^{-x^2}$ integriert werden kann. + + + diff --git a/buch/chapters/060-integral/diffke.tex b/buch/chapters/060-integral/diffke.tex new file mode 100644 index 0000000..61badc8 --- /dev/null +++ b/buch/chapters/060-integral/diffke.tex @@ -0,0 +1,237 @@ +% +% diffke.tex +% +% (c) 2022 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschlue +% +\subsection{Differentialkörper und ihre Erweiterungen +\label{buch:integral:subsection:diffke}} +Die Ableitung wird in den Grundvorlesungen der Analysis jeweils +als ein Grenzprozess eingeführt. +Die praktische Berechnung von Ableitungen verwendet aber praktisch +nie diese Definition, sondern fast ausschliesslich die rein algebraischen +Ableitungsregeln. +So wie die Wurzelfunktionen im letzten Abschnitt als algebraische +Körpererweiterungen erkannt wurden, muss jetzt auch für die Ableitung +eine rein algebraische Definition gefunden werden. +Die entstehende Struktur ist der Differentialkörper, der in diesem +Abschnitt definiert werden soll. + +% +% Derivation +% +\subsubsection{Derivation} +Für die praktische Berechnung der Ableitung einer Funktion verwendet +man in erster Linie die bekannten Rechenregeln. +Dazu gehören für zwei Funktionen $f$ und $g$ +\begin{itemize} +\item Linearität: $(\alpha f+\beta g)' = \alpha f' + \beta g'$ für +Konstanten $\alpha$, $\beta$. +\item Produktregel: $(fg)'=f'g+fg'$. +\index{Produktregel}% +\item Quotientenregel: $(f/g)' = (f'g-fg')/g^2$. +\index{Quotientenregel}% +\end{itemize} +Die ebenfalls häufig verwendete Kettenregel $(f\circ g)' = (f'\circ g) g'$ +\index{Kettenregel}% +für zusammengesetzte Funktionen wird später kaum benötigt, da wir +Verkettungen durch Körpererweiterungen ersetzen wollen. +Die Ableitung hat somit die rein algebraischen Eigenschaften +einer Derivation gemäss folgender Definition. + +\begin{definition} +Sei $\mathscr{F}$ ein Körper. +Eine {\em Derivation} ist eine lineare Abbildung +\index{Derivation}% +$D\colon \mathscr{F}\to\mathscr{F}$ +mit der Eigenschaft +\[ +D(fg) = (Df)g+f(Dg). +\] +Ein {\em Differentialkörper} ist ein Körper mit einer Derivation. +\index{Differentialkoerper@Differentialkörper}% +\end{definition} + +Die Ableitung in einem Funktionenkörper ist eine Derivation, +die sich zusätzlich dadurch auszeichnet, dass $Dx=x'=1$. +Sie wird weiterhin mit dem Strich bezeichnet. + +% +% Ableitungsregeln +% +\subsubsection{Ableitungsregeln} +Die Definition einer Derivation macht keine Aussagen über Quotienten, +diese kann man aber aus den Eigenschaften einer Derivation sofort +ableiten. +Wir schreiben $q=f/g$ für $f,g\in\mathscr{F}$, dann ist $f=qg$. +Nach der Kettenregel gilt +\( +f'=q'g+qg' +\). +Substituiert man darin $q=f/g$ und löst nach $q'$ auf, erhält man +\[ +f'=q'g+\frac{fg'}{g} +\qquad\Rightarrow\qquad +q'=\frac1{g}\biggl(f'-\frac{fg'}{g}\biggr) += +\frac{f'g-fg'}{g^2}. +\] + + +% +% Konstantenkörper +% +\subsubsection{Konstantenkörper} +Die Ableitung einer Konstanten verschwindet. +Beim Hinzufügen von Funktionen zu einem Funktionenkörper können weitere +Konstanten hinzukommen, ohne dass dies auf den ersten Blick sichtbar wird. +Zum Beispiel enthält $\mathbb{Q}(x,\!\sqrt{x+\pi})$ wegen +$(\!\sqrt{x+\pi})^2-x=\pi$ auch die Konstante $\pi$. +Eine Derivation ermöglicht dank des nachfolgenden Satzes auch, +solche Konstanten zu erkennen. + +\begin{satz} +Sei $\mathscr{F}$ ein Körper und $D$ eine Derivation in $\mathscr{F}$. +Dann ist die Menge $C=\{a\in\mathscr{F}\;|\;Da=0\}$ ein Körper. +\end{satz} + +\begin{proof}[Beweis] +Es muss gezeigt werden, dass Summe und Produkt von Element von $C$ +wieder in $C$ liegen. +Wenn $Da=Db=0$, dann ist $D(a+b)=Da+Db=0$, also ist $a+b\in C$. +Für das Produkt gilt $D(ab)=(Da)b+a(Db)=0b+a0=0$, also ist auch +$ab\in C$. +\end{proof} + +Die Menge $C$ heisst der {\em Konstantenkörper} von $\mathscr{F}$. +\index{Konstantenkörper}% + +% +% Ableitung algebraischer Elemente +% +\subsubsection{Ableitung und algebraische Körpererweiterungen} +Die Rechenregeln in einem Differentialkörper $\mathscr{F}$ legen auch die +Ableitung eines algebraischen Elements fest. +Sei $m(z)=m_0+m_1z+\ldots+m_{n-1}z^{n-1}+z^n$ das Minimalpolynom eines +über $\mathscr{F}$ algebraischen Elements $f$. +Aus $m(f)=0$ folgt durch Ableiten +\[ +0 += +m(f)' += +m_0' ++ +(m_1'f+m_1f') ++ +(m_2'f + m_12f'f) ++ +\ldots ++ +(m_{n-1}'f^{n-1} + m_{n-1} (n-1)f'f^{n-2}) ++ +nf'f^{n-1}. +\] +Zusammenfassen der Ableitung $f'$ auf der linken Seite liefert die +Gleichung +\[ +f'( +m_1+2m_2f+\ldots+(n-1)m_{n-1}f^{n-2}+nf^{n-1} +) += +m_0' + m_1'f + m_2'f^2 + \ldots + m_{n-1}'f^{n-1} + f^n, +\] +aus der +\[ +f' += +\frac{ +m_0' + m_1'f + m_2'f^2 + \ldots + m_{n-1}'f^{n-1} + f^n +}{ +m_1+2m_2f+\ldots+(n-1)m_{n-1}f^{n-2}+nf^{n-1} +} +\] +als Element von $\mathscr{F}(g)$ berechnet werden kann. +Die Ableitungsoperation lässt sich somit auf die Körpererweiterung +$\mathscr{F}(f)$ fortsetzen. + +\begin{beispiel} +Das über $\mathbb{Q}(x)$ algebraische Element $y=\sqrt{ax^2+bx+c}$ +hat das Minimalpolynom +\[ +m(z) += +z^2 - [ax^2+bx+c] +\in +\mathbb{Q}(x)[z] +\] +mit Koeffizienten $m_0 = ax^2+bx+c,$ $m_1=0$ und $m_2=1$. +Es hat die Ableitung +\[ +y' += +\frac{m_0'}{2m_2y} += +\frac{ +2ax+b +}{ +2y +} +\in +\mathbb{Q}(x,y) +\] +wegen $m_0'=2ax+b$. +\end{beispiel} + +\begin{definition} +Eine differentielle Körpererweiterung ist eine Körpererweiterung +$\mathscr{K}\subset\mathscr{F}$ von Differentialkörpern derart, dass +die Ableitungen $D_{\mathscr{K}}$ in $\mathscr{K}$ +und $D_{\mathscr{F}}$ in $\mathscr{F}$ übereinstimmen: +\( +D_{\mathscr{K}}g= D_{\mathscr{F}} g +\) +für alle $g\in\mathscr{K}$. +\end{definition} + +% +% Logarithmus und Exponantialfunktion +% +\subsubsection{Logarithmus und Exponentialfunktion} +Die Exponentialfunktion und der Logarithmus sind nicht algebraisch +über $\mathbb{Q}(x)$, sie lassen sich nicht durch eine algebraische +Gleichung charakterisieren. +Sie zeichnen sich aber durch besondere Ableitungseigenschaften aus. +Die Theorie der gewöhnlichen Differentialgleichungen garantiert, +dass eine Funktion durch eine Differentialgleichung und Anfangsbedingungen +festgelegt ist. +\label{buch:integral:expundlog} +Für die Exponentialfunktion und der Logarithmus haben die +Ableitungseigenschaften +\[ +\exp'(x) = \exp(x) +\qquad\text{und}\qquad +x \log'(x) = 1. +\] +\index{Exponentialfunktion}% +\index{Logarithmus}% +In der algebraischen Beschreibung eines Funktionenkörpers gibt es +das Konzept des Wertes einer Funktion an einer bestimmten Stelle nicht. +Somit können keine Anfangsbedingungen vorgegeben werden. +Da die Gleichung für $\exp$ linear sind, sind Vielfache einer Lösung wieder +Lösungen, +insbesondere ist mit $\exp(x)$ auch $a\exp(x)$ eine Lösung. +Die Gleichung für $\log$ ist nicht linear, aber es ist +$\log'(x) = 1/x$, $\log$ ist eine Stammfunktion von $1/x$, die +nur bis auf eine Konstante bestimmt ist. +Tatsächlich gilt +\[ +x(\log(x)+a)' += +x\log(x) + xa' = x\log(x)=1, +\] +die Funktion $\log(x)+a$ ist also auch eine Lösung für den Logarithmus. + +Die Eigenschaft, dass die Exponentialfunktion die Umkehrfunktion +des Logarithmus ist, lässt sich mit den Mitteln eines Differentialkörpers +nicht ausdrücken. + diff --git a/buch/chapters/060-integral/elementar.tex b/buch/chapters/060-integral/elementar.tex new file mode 100644 index 0000000..fd5f051 --- /dev/null +++ b/buch/chapters/060-integral/elementar.tex @@ -0,0 +1,214 @@ +% +% elementar.tex +% +% (c) 2022 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschlue +% +\subsection{Elementare Funktionen +\label{buch:integral:subsection:elementar}} +Etwas allgemeiner kann man sagen, dass in den +Beispielen~\eqref{buch:integration:risch:eqn:integralbeispiel2} +algebraische Erweiterungen von $\mathbb{Q}(x)$ und Erweiterungen +um Logarithmen oder Exponentialfunktionen vorgekommen sind. +Die Stammfunktionen verwenden dieselben Funktionen oder höchstens +Erweiterungen um Logarithmen von Funktionen, die man schon im +Integranden gesehen hat. + +% +% Exponentielle und logarithmische Funktione +% +\subsubsection{Exponentielle und logarithmische Funktionen} +In Abschnitt~\ref{buch:integral:subsection:diffke} haben wir +bereits die Exponentialfunktion $e^x$ und die Logarithmusfunktion +$\log x$ charakterisiert als eine Körpererweiterung durch +Elemente, die der Differentialgleichung +\[ +\exp' = \exp +\qquad\text{und}\qquad +\log' = \frac{1}{x} +\] +genügen. +Für die Stammfunktionen, die in +Abschnitt~\ref{buch:integral:subsection:logexp} +gefunden wurden, sind aber Logarithmusfunktionen nicht von +$x$ sondern von beliebigen über $\mathbb{Q}$ algebraischen Elementen +nötig. +Um zu verstehen, wie wir diese Funktion als Körpererweiterung erhalten +könnten, betrachten wir die Ableitung einer Exponentialfunktion +$\vartheta(x) = \exp(f(x))$ und eines +Logarithmus +$\psi(x) = \log(f(x))$, wie man sie mit der Kettenregel +berechnet hätte: +\begin{align*} +\vartheta'(x) +&=\exp(f(x)) \cdot f'(x) +& +\psi'(x) +&= +\frac{f'(x)}{f(x)} +\quad\Leftrightarrow\quad +f(x)\psi'(x) += +f'(x). +\end{align*} +Dies motiviert die folgende Definition + +\begin{definition} +\label{buch:integral:def:explog} +Sei $\mathscr{F}$ ein Differentialklörper und $f\in\mathscr{F}$. +Ein Exponentialfunktion von $f$ ist ein $\vartheta\in \mathscr{F}$mit +$\vartheta' = \vartheta f'$. +Ein Logarithmus von $f$ ist ein $\vartheta\in\mathscr{F}$ mit +$f\vartheta'=f'$. +\end{definition} + +Für $f=x$ mit $f'=1$ reduziert sich die +Definition~\ref{buch:integral:def:explog} +auf die Definition der Exponentialfunktion $\exp(x)$ und +Logarithmusfunktion $\log(x)$ auf Seite~\pageref{buch:integral:expundlog}. + + +% +% +% +\subsubsection{Transzendente Körpererweiterungen} +Die Wurzelfunktionen haben wir früher als algebraische Erweiterungen +eines Differentialkörpers erkannt. +Die logarithmischen und exponentiellen Elemente gemäss +Definition~\ref{buch:integral:def:explog} sind nicht algebraisch. + +\begin{definition} +\label{buch:integral:def:transzendent} +Sei $\mathscr{F}\subset\mathscr{G}$ eine Körpererweiterung und +$\vartheta\in\mathscr{G}$. +$\vartheta$ heisst {\em transzendent}, wenn $\vartheta$ nicht +algebraisch ist. +\end{definition} + +\begin{beispiel} +Die Funktion $f = e^x + e^{2x} + e^{x/2}$ ist sicher transzendent, +in diesem Beispiel zeigen wir, dass es mindestens drei verschiedene +Möglichkeiten gibt, eine Körpererweiterung von $\mathbb{Q}(x)$ zu +konstruieren, die $f$ enthält. + +Erste Möglichkeit: $f=\vartheta_1 + \vartheta_2 + \vartheta_3$ mit +$\vartheta_1=e^x$, +$\vartheta_2=e^{2x}$ +und +$\vartheta_3=e^{x/2}$. +Jedes der Elemente $\vartheta_i$ ist exponentiell über $\mathbb{Q}(x)$ und +$f$ ist in +\[ +\mathbb{Q}(x) +\subset +\mathbb{Q}(x,\vartheta_1) +\subset +\mathbb{Q}(x,\vartheta_1,\vartheta_2) +\subset +\mathbb{Q}(x,\vartheta_1,\vartheta_2,\vartheta_3) +\ni +f. +\] +Jede dieser Körpererweiterungen ist transzendent. + +Zweite Möglichkeit: $\vartheta_1=e^x$ ist exponentiell über +$\mathbb{Q}(x)$ und $\mathbb{Q}(x,\vartheta_1)$ enthält wegen +\[ +(\vartheta_1^2)' += +2\vartheta_1\vartheta_1' += +2\vartheta_1^2, +\] +somit ist $\vartheta_1^2=\vartheta_2$ eine Exponentialfunktion von $2x$ +über $\mathbb{Q}(x)$. +Das Element $\vartheta_3=e^{x/2}$ ist zwar auch exponentiell über +$\mathbb{Q}(x)$, es ist aber auch eine Nullstelle des Polynoms +$m(z)=z^2-[\vartheta_1]$. +Die Erweiterung +$\mathbb{Q}(x,\vartheta_1)\subset\mathbb{Q}(x,\vartheta_1,\vartheta_3)$ +ist eine algebraische Erweiterung, die +$f=\vartheta_1 + \vartheta_1^2+\vartheta_3$ enthält. + +Dritte Möglichkeit: $\vartheta_3=e^{x/2}$ ist exponentiell über +$\mathbb{Q}(x)$. +Die transzendente Körpererweiterung +\[ +\mathbb{Q}(x) \subset \mathbb{Q}(x,\vartheta_3) +\] +enthält das Element +$f=\vartheta_3^4+\vartheta_3^2 + \vartheta_3 $. +\end{beispiel} + +Das Beispiel zeigt, dass man nicht sagen kann, dass eine Funktion +ausschliesslich in einer algebraischen oder transzendenten Körpererweiterung +zu finden ist. +Vielmehr gibt es für die gleiche Funktion möglicherweise verschiedene +Körpererweiterungen, die alle die Funktion enthalten können. + +% +% Elementare Funktionen +% +\subsubsection{Elementare Funktionen} +Die Stammfunktionen~\eqref{buch:integration:risch:eqn:integralbeispiel2} +können aufgebaut werden, indem man dem Körper $\mathbb{Q}(x)$ schrittweise +sowohl algebraische wie auch transzendente Elemente hinzufügt, +wie in der folgenden Definition, die dies für abstrakte +Differentialkörpererweiterungen formuliert. + +\begin{definition} +Eine Körpererweiterung $\mathscr{F}\subset\mathscr{G}$ heisst +{\em transzendente elementare Erweiterung}, wenn +$\mathscr{G} = \mathscr{F}(\vartheta_1,\dots,\vartheta_n)$ und +jedes der Element $\vartheta_i$ transzendent und logarithmisch oder +exponentiell ist über +$\mathscr{F}_{i-1}=\mathscr{F}(\vartheta_1,\dots,\vartheta_{i-1})$. +Die Körpererweiterung $\mathscr{F}\subset\mathscr{G}$ heisst +{\em elementare Erweiterung}, wenn +$\mathscr{G} = \mathscr{F}(\vartheta_1,\dots,\vartheta_n)$ und +jedes Element $\vartheta_i$ ist entweder logarithmisch, exponentiell +oder algebraisch über $\mathscr{F}_{i-1}$. +\end{definition} + +Die Funktionen, die als akzeptable Stammfunktionen für das Integrationsproblem +in Betracht kommen, sind also jene, die in einer geeigneten elementaren +Erweiterung des von $\mathbb{Q}(x)$ liegen. +Ausserdem können auch noch weitere Konstanten nötig sein, sowohl +algebraische Zahlen wie auch Konstanten wie $\pi$ oder $e$. + +\begin{definition} +Sei $\mathscr{K}(x)$ der Differentialklörper der rationalen Funktionen +über dem Konstantenkörper $\mathscr{K}\supset\mathbb{Q}$, der in $\mathbb{C}$ +enthalten ist. +Ist $\mathscr{F}\supset \mathscr{K}(x)$ eine transzendente elementare +Erweiterung von $\mathscr{K}(x)$, dann heisst $\mathscr{F}$ +ein Körper von {\em transzendenten elementaren Funktionen}. +Ist $\mathscr{F}$ eine elementare Erweiterung von $\mathscr{K}(x)$, dann +heisst $\mathscr{F}$ ein Körper von {\em elementaren Funktionen}. +\end{definition} + +\subsubsection{Das Integrationsproblem} +Die elementaren Funktionen enthalten alle Funktionen, die sich mit +arithmetischen Operationen, Wurzeln, Exponentialfunktionen, Logarithmen und +damit auch mit trigonometrischen und hyperbolischen Funktionen und ihren +Umkehrfunktionen aus den rationalen Zahlen, der unabhängigen Variablen $x$ +und möglicherweise einigen zusätzlichen Konstanten aufbauen lassen. +Sei also $f$ eine Funktion in einem Körper von elementaren +Funktionen +\[ +\mathscr(F) += +\mathbb{Q}(\alpha_1,\dots,\alpha_l)(x,\vartheta_1,\dots,\vartheta_n). +\] +Eine elementare Stammfunktion ist eine Funktion $F=\int f$ in einer +elementaren Körpererweiterung +\[ +\mathscr{G} += +\mathbb{Q}(\alpha_1,\dots,\alpha_l,\dots,\alpha_{l+k}) +(x,\vartheta_1,\dots,\vartheta_n,\dots,\vartheta_{n+m}) +\] +mit $F'=f$. +Das Ziel ist, $F$ mit Hilfe eines Algorithmus zu bestimmen. + + + diff --git a/buch/chapters/060-integral/erweiterungen.tex b/buch/chapters/060-integral/erweiterungen.tex new file mode 100644 index 0000000..9138f3e --- /dev/null +++ b/buch/chapters/060-integral/erweiterungen.tex @@ -0,0 +1,343 @@ +% +% erweiterungen.tex +% +% (c) 2022 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschlue +% +\subsection{Körpererweiterungen +\label{buch:integral:subsection:koerpererweiterungen}} +Das Beispiel des Körpers $\mathbb{Q}(\!\sqrt{2})$ auf Seite +\pageref{buch:integral:beispiel:Qsqrt2} illustriert eine Möglichkeit, +einen kleinen Körper zu vergrössern. +Das Prinzip ist verallgemeinerungsfähig und soll in diesem Abschnitt +erarbeitet werden. + +% +% algebraische Zahl-Erweiterungen +\subsubsection{Algebraische Erweiterungen} +Der Körper $\mathbb{Q}(\!\sqrt{2})$ entsteht aus dem Körper $\mathbb{Q}$ +dadurch, dass man die Zahl $\sqrt{2}$ hinzufügt und alle erlaubten +arithmetischen Operationen zulässt. +Die Darstellung von Elementen von $\mathbb{Q}(\!\sqrt{2})$ als +$a+b\sqrt{2}$ ist möglich, weil die Zahl $\alpha=\sqrt{2}$ die +algebraische Relation +\[ +\alpha^2-2 = \sqrt{2}^2 -2 = 0 +\] +erfüllt. +Voraussetzung für diese Aussage ist, dass es die Zahl $\sqrt{2}$ in einem +geeigneten grösseren Körper gibt. +Die reellen oder komplexen Zahlen bilden einen solchen Körper. +Wir verallgemeinern diese Situation wie folgt. + +\begin{definition} +Ist $K$ ein Körper, dann heisst ein Körper $L$ mit $K\subset L$ ein +{\em Erweiterungskörper} von $K$. +\index{Erweiterungskoerper@Erweiterungskörper} +\end{definition} + +\begin{definition} +\label{buch:integral:definition:algebraisch} +Sei $K\subset L$ eine Körpererweiterung. +Das Element $\alpha\in L$ heisst {\em algebraisch} über $K$, wenn es +ein Polynom $p(x)\in K[x]$ gibt derart, dass $\alpha$ eine Nullstelle +von $p(x)$ ist, also gibt mit $p(\alpha)=0$. +Das normierte Polynom $m(x)$ geringsten Grades, welches $m(\alpha)=0$ +erfüllt, heisst das {\em Minimalpolynom} von $\alpha$. +\index{Minimalpolynom}% +\end{definition} + +Man sagt auch $\alpha$ ist algebraisch vom Grad $n$, wenn das Minimalpolynom +den Grad $n$ hat. +Wenn $\alpha\ne 0$ algebraisch ist, dann ist auch $1/\alpha$ algebraisch, +wie das folgende Argument zeigt. +Für das Minimalpolynom $m(x)$ von $\alpha$, ist $m(\alpha)=0$. +Teilt man diese Gleichung durch $\alpha^n$ teilt, erhält man +\[ +m_0\frac{1}{\alpha^n} ++ +m_1\frac{1}{\alpha^{n-1}} ++ +\ldots ++ +m_{n-1}\frac{1}{\alpha} ++ +1 += +0, +\] +das Polynom +\[ +\hat{m}(x) += +m_0x^n + m_1x^{n-1} + \ldots m_{n-1} x + 1 +\in +K[x] +\] +hat also $\alpha^{-1}$ als Nullstelle. +Das Polynom $\hat{m}(x)$ beweist daher, dass $\alpha^{-1}$ algebraisch ist. + +Die Zahl $\sqrt{2}\in\mathbb{R}$ ist also algebraisch über $\mathbb{Q}$ +und jede andere Quadratwurzel von Elementen von $\mathbb{Q}$ ist +ebenfalls algebraisch über $\mathbb{Q}$. +Auch der Körper $\mathbb{Q}(\alpha)$ kann für jede andere Quadratwurzel +auf die genau gleiche Art wie für $\sqrt{2}$ konstruiert werden. + +\begin{definition} +\label{buch:integral:definition:algebraischeerweiterung} +Sei $K\subset L$ eine Körpererweiterung und $\alpha\in L$ ein algebraisches +Element mit Minimalpolynom $m(x)\in K[x]$. +Dann heisst die Menge +\begin{equation} +K(\alpha) += +\{ +a_0 + a_1\alpha + \ldots +a_n\alpha^n +\;|\; +a_i\in K +\} +\label{buch:integral:eqn:algelement} +\end{equation} +mit $n=\deg m(x) - 1$ der durch {\em Adjunktion} oder Hinzufügen +von $\alpha$ erhaltene Erweiterungsköper. +\end{definition} + +Wieder muss nur überprüft werden, dass jedes Produkt oder jeder +Quotient von Ausdrücken der Form~\eqref{buch:integral:eqn:algelement} +wieder in diese Form gebracht werden kann. +Dazu sei +\[ +m(x) += +m_0+m_1x + m_2x^2 ++\ldots +m_{n-1}x^{n-1} + x^n +\] +das Minimalpolynom von $\alpha$. +Die Gleichung $m(\alpha)=0$ kann nach $\alpha^n$ aufgelöst werden und +liefert +\[ +\alpha^n = -m_0 - m_1\alpha - m_2\alpha^2 -\ldots -m_{n-1}\alpha^{n-1}. +\] +Damit kann jede Potenz von $\alpha$ mit einem Exponenten grösser als $n$ +in eine Linearkombination von Potenzen mit kleineren Exponenten +reduziert werden. +Ein Polynom in $\alpha$ kann also immer auf die +Form~\eqref{buch:integral:eqn:algelement} +gebracht werden. + +Es muss aber noch gezeigt werden, dass auch der Kehrwert eines Elements +der Form~\eqref{buch:integral:eqn:algelement} in dieser Form geschrieben +werden kann. +Sei also $a(\alpha)$ so ein Element, dann sind die beiden Polynome +$a(x)$ und $m(x)$ teilerfremd, der grösste gemeinsame Teiler ist $1$. +Mit dem erweiterten euklidischen Algorithmus kann man zwei Polynome +$s(x)$ und $t(x)$ finden derart, dass $s(x)a(x)+t(x)m(x)=1$. +Setzt man $\alpha$ für $x$ ein, verschwindet das Minimalpolynom und +es bleibt +\[ +s(\alpha)a(\alpha) = 1 +\qquad\Rightarrow\qquad +s(\alpha) = \frac{1}{a(\alpha)}. +\] +Damit ist $s(\alpha)$ eine Darstellung von $1/a(\alpha)$ in der +Form~\eqref{buch:integral:eqn:algelement}. + +% +% Komplexe Zahlen +% +\subsubsection{Komplexe Zahlen} +Die imaginäre Einheit $i$ hat die Eigenschaft, dass $i^2=-1$, insbesondere +ist sie Nullstelle des Polynoms $m(x)=x^2+1\in\mathbb{Q}[x]$. +Die Menge $\mathbb{Q}(i)$ ist daher eine algebraische Körpererweiterung +von $\mathbb{Q}$ bestehend aus den komplexen Zahlen mit rationalem +Real- und Imaginärteil. + +% +% Transzendente Körpererweiterungen +% +\subsubsection{Transzendente Erweiterungen} +Nicht alle Zahlen in $\mathbb{R}$ sind algebraisch. +Lindemann bewies 1882 einen allgemeinen Satz, aus dem folgt, +dass $\pi$ und $e$ nicht algebraisch sind, es gibt also +kein Polynom mit rationalen Koeffizienten, welches $\pi$ +oder $e$ als Nullstelle hat. + +\begin{definition} +Eine Zahl $\alpha\in L$ in einer Körpererweiterung $K\subset L$ +heisst {\em transzendent}, wenn $\alpha$ nicht algebraisch ist, +wenn es also kein Polynom in $K[x]$ gibt, welches $\alpha$ als +Nullstelle hat. +\end{definition} + +Die Zahlen $\pi$ und $e$ sind also transzendent. +Eine andere Art, diese Eigenschaft zu beschreiben ist zu sagen, +dass die Potenzen +\[ +1=\pi^0, \pi, \pi^2,\pi^3,\dots +\] +linear unabhängig sind. +Gäbe es nämlich eine lineare Abhängigkeit, dann gäbe es Koeffizienten +$l_i$ derart, dass +\[ +l_0 + l_1\pi^1 + l_2\pi^2 + \ldots + l_{n-1}\pi^{n-1} + l_{n}\pi^n = l(\pi)=0, +\] +und damit wäre dann ein Polynom gefunden, welches $\pi$ als Nullstelle hat. + +Selbstverstländlich kann man zu einem transzendenten Element $\alpha$ +immer noch einen Körper konstruieren, der alle Zahlen enthält, welche man +mit den arithmetischen Operationen aus $\alpha$ bilden kann. +Man kann ihn schreiben als +\[ +K(\alpha) += +\biggl\{ +\frac{p(\alpha)}{q(\alpha)} +\;\bigg|\; +p(x),q(x)\in K[x] \wedge p(x)\ne 0 +\biggr\}, +\] +aber die Vereinfachungen zur +Form~\eqref{buch:integral:eqn:algelement}, die bei einem algebraischen +Element $\alpha$ möglich waren, können jetzt nicht mehr durchgeführt +werden. +$K\subset K(\alpha)$ ist zwar immer noch eine Körpererweiterung, aber +$K(\alpha)$ ist nicht mehr ein endlichdimensionaler Vektorraum. +Die Körpererweiterung $K\subset K(\alpha)$ heisst {\em transzendent}. + +% +% rationale Funktionen als Körpererweiterungen +% +\subsubsection{Rationale Funktionen als Körpererweiterung} +Die unabhängige Variable wird bei Rechnen so behandelt, dass die +Potenzen alle linear unabhängig sind. +Dies ist die Grundlage für den Koeffizientenvergleich. +Der Körper der rationalen Funktion $K(x)$ +ist also eine transzendente Körpererweiterung von $K$. + +% +% Erweiterungen mit algebraischen Funktionen +% +\subsubsection{Algebraische Funktionen} +Für das Integrationsproblem möchten wir nicht nur rationale Funktionen +verwenden können, sondern auch Wurzelfunktionen. +Wir möchten also zum Beispiel auch mit der Funktion $\sqrt{ax^2+bx+c}$ +und allem, was man mit arithmetischen Operationen daraus machen kann, +arbeiten können. +Eine Körpererweiterung, die $\sqrt{ax^2+bx+c}$ enthält, enthält auch +alles, was man daraus bilden kann. +Doch wie bekommen wir die Funktion $\sqrt{ax^2+bx+c}$ in den Körper? + +Die Art und Weise, wie man Wurzeln in der Schule kennenlernt ist als +eine neue Operation, die zu einer Zahl die Quadratwurzel liefert. +Diese Idee, den Körper mit einer weiteren Funktion anzureichern, +führt über nicht auf eine nützliche neue algebraische Struktur. +Wir dürfen daher $\sqrt{ax^2+bx+c}$ nicht als die Zusammensetzung +einer einzelnen neuen Funktion $\sqrt{\phantom{A}}$ mit +einem Polynom betrachten. + +Die Wurzel $\sqrt{ax^2+bx+c}$ ist aber auch die Nullstelle des Polynoms +\[ +p(z) += +z^2 - [ax^2+bx+c] +\in +K(x)[z] +\] +mit Koeffizienten in $K(x)$. +Die eckigen Klammern sollen helfen, die Koeffizienten in $K(x)$ +zu erkennen. +Die Funktion $\sqrt{ax^2+bx+c}$ ist also algebraisch über $K(x)$. +Einen Funktionenkörper, der die Funktion enthält, kann man also erhalten, +indem man den Körper $K(x)$ um das über $K(x)$ algebraische Element +$y=\sqrt{ax^2+bx+c}$ zu $K(x,y)=K(x,\sqrt{ax^2+bx+c}$ erweitert. +Wurzelfunktion werden daher nicht als Zusammensetzungen, sondern als +algebraische Erweiterungen eines Funktionenkörpers betrachtet. + +% +% Konjugation +% +\subsubsection{Konjugation} +Die komplexen Zahlen sind die algebraische Erweiterung der reellen Zahlen +um die Nullstelle $i$ des Polynoms $m(x)=x^2+1$. +Die Zahl $-i$ ist aber auch eine Nullstelle von $m(x)$, die mit algebraischen +Mitteln nicht von $i$ unterscheidbar ist. +Die komplexe Konjugation $a+bi\mapsto a-bi$ vertauscht die beiden +\index{Konjugation, komplexe}% +\index{komplexe Konjugation}% +Nullstellen des Minimalpolynoms. + +Ähnliches gilt für die Körpererweiterung $\mathbb{Q}(\!\sqrt{2})$. +$\sqrt{2}$ und $\sqrt{2}$ sind beide Nullstellen des Minimalpolynoms +$m(x)=x^2-2$, die mit algebraischen Mitteln nicht unterschiedbar sind. +Sie haben zwar verschiedene Vorzeichen, doch ohne eine Ordnungsrelation +können diese nicht unterschieden werden. +\index{Ordnungsrelation}% +Eine Ordnungsrelation zwischen rationalen Zahlen lässt sich zwar +definieren, aber die Zahl $\sqrt{2}$ ist nicht rational, es braucht +also eine zusätzliche Annahme, zum Beispiel die Identifikation von +$\sqrt{2}$ mit einer reellen Zahl in $\mathbb{R}$, wo der Vergleich +möglich ist. + +Auch in $\mathbb{Q}(\!\sqrt{2})$ ist die Konjugation +$a+b\sqrt{2}\mapsto a-b\sqrt{2}$ eine Selbstabbildung, die +die Körperoperationen respektiert. + +Das Polynom $m(x)=x^2-x-1$ hat die Nullstellen +\[ +\frac12 \pm\sqrt{\biggl(\frac12\biggr)^2+1} += +\frac{1\pm\sqrt{5}}{2} += +\left\{ +\bgroup +\renewcommand{\arraystretch}{2.20} +\renewcommand{\arraycolsep}{2pt} +\begin{array}{lcl} +\displaystyle +\frac{1+\sqrt{5}}{2} &=& \phantom{-}\varphi \\ +\displaystyle +\frac{1-\sqrt{5}}{2} &=& \displaystyle-\frac{1}{\varphi}. +\end{array} +\egroup +\right. +\] +Sie erfüllen die gleiche algebraische Relation $x^2=x+1$. +Sie sind sowohl im Vorzeichen wie auch im absoluten Betrag +verschieden, beides verlangt jedoch eine Ordnungsrelation als +Voraussetzung, die uns fehlt. +Aus beiden kann man mit rationalen Operationen $\sqrt{5}$ gewinnen, +denn +\[ +\sqrt{5} += +4\varphi-1 += +-4\biggl(-\frac{1}{\varphi}\biggr)^2-1 +\qquad\Rightarrow\qquad +\mathbb{Q}(\!\sqrt{5}) += +\mathbb{Q}(\varphi) += +\mathbb{Q}(-1/\varphi). +\] +Die Abbildung $a+b\varphi\mapsto a-b/\varphi$ ist eine Selbstabbildung +des Körpers $\mathbb{Q}(\!\sqrt{5})$, welche die beiden Nullstellen +vertauscht. + +Dieses Phänomen gilt für jede algebraische Erweiterung. +Die Nullstellen des Minimalpolynoms, welches die Erweiterung +definiert, sind grundsätzlich nicht unterscheidbar. +Mit der Adjunktion einer Nullstelle enthält der Erweiterungskörper +auch alle anderen. +Sind $\alpha_1$ und $\alpha_2$ zwei Nullstellen des Minimalpolynoms, +dann definiert die Abbildung $\alpha_1\mapsto\alpha_2$ eine Selbstabbildung, +die die Nullstellen permutiert. + +Die algebraische Körpererweiterung +$\mathbb{Q}(x)\subset \mathbb{Q}(x,\sqrt{ax^2+bx+c})$ +ist nicht unterscheidbar von +$\mathbb{Q}(x)\subset \mathbb{Q}(x,-\!\sqrt{ax^2+bx+c})$. +Für das Integrationsproblem bedeutet dies, dass alle Methoden so +formuliert werden müssen, dass die Wahl der Nullstellen auf die +Lösung keinen Einfluss haben. + + diff --git a/buch/chapters/060-integral/experiments/rxy.maxima b/buch/chapters/060-integral/experiments/rxy.maxima new file mode 100644 index 0000000..0d5a56d --- /dev/null +++ b/buch/chapters/060-integral/experiments/rxy.maxima @@ -0,0 +1,9 @@ +y: sqrt(a*x^2+b*x+c); + +F: log(x + b/(2 * a) + y/sqrt(a))/sqrt(a); + +f: diff(F, x); + +ratsimp(f); + +ratsimp(y*f); diff --git a/buch/chapters/060-integral/iproblem.tex b/buch/chapters/060-integral/iproblem.tex new file mode 100644 index 0000000..85db464 --- /dev/null +++ b/buch/chapters/060-integral/iproblem.tex @@ -0,0 +1,93 @@ +% +% iproblem.tex +% +% (c) 2022 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschlue +% +\subsection{Das Integrationsproblem +\label{buch:integral:subsection:integrationsproblem}} +\index{Integrationsproblem}% +Die Ableitung ist ein einem Differentialkörper mit Hilfe der Ableitungsregeln +immer ausführbar, ganz ähnlich wie die Berechnung von Potenzen in einem Körper +immer ausführbar ist. +Die Umkehrung, also eine sogenannte Stammfunktion zu finden, ist dagegen +deutlich schwieriger. + +\begin{definition} +\index{Stammfunktion} +Eine {\em Stammfunktion} einer Funktion $f\in\mathscr{K}$ im Funktionenkörper +$\mathscr{K}$ ist eine Funktion $F\in\mathscr{K}$ derart, dass $F'=f$. +Wir schreiben auch $F=\int f$. +\end{definition} + +Zwei Stammfunktionen $F_1$ und $F_2$ einer Funktion $f\in\mathscr{K}$ +haben die Eigenschaft +\[ +\left.\begin{aligned} +F_1' &= f \\ +F_2' &= f +\end{aligned}\quad\right\} +\qquad +\Rightarrow +\qquad +(F_1-F_2)' = 0 +\qquad\Rightarrow\qquad +F_1-F_2\in\mathscr{C}, +\] +die beiden Stammfunktionen unterscheiden sich daher nur durch eine +Konstante. + +\subsubsection{Stammfunktion von Polynomen} +Für Polynome ist das Problem leicht lösbar. +Aus der Ableitungsregel +\[ +\frac{d}{dx} x^n = nx^{n-1} +\] +folgt, dass +\[ +\int x^n = \frac{1}{n+1} x^{n+1} +\] +eine Stammfunktion von $x^n$ ist. +Da $\int$ linear ist, ergibt sich damit auch eine Stammfunktion für +ein beliebiges Polynom +\[ +g(x) += +g_0 + g_1x + g_2x^2 + \dots g_nx^n += +\sum_{k=0}^n g_kx^k +\in\mathbb{Q}(x) +\] +angeben: +\begin{equation} +\int g(x) += +g_0x + \frac12g_1x^2 + \frac13g_2x^3 + \dots \frac{1}{n+1}g_nx^{n+1} += +\sum_{k=0}^n +\frac{g_k}{k+1}x^{k+1}. +\label{buch:integral:iproblem:eqn:polyintegral} +\end{equation} + +\subsubsection{Körpererweiterungen} +Obwohl die Ableitung in einem Differentialkörper immer ausgeführt werden +kann, gibt es keine Garantie, dass es eine Stammfunktion im gleichen +Körper gibt. +Im kleinsten denkbaren Funktionenkörper $\mathbb{Q}(x)$ +haben die negativen Potenzen linearer Funktionen die Stammfunktionen +\[ +\int +\frac{1}{(x-\alpha)^k} += +\frac{1}{(-k+1)(x-\alpha)^{k-1}} +\] +für $k\ne 1$, sind also wieder in $\mathbb{Q}(x)$. +Für $k=1$ ist aber +\[ +\int \frac{1}{x-\alpha} += +\log(x-\alpha), +\] +es braucht also eine Körpererweiterung um $\log(x-\alpha)$, damit +$(x-\alpha)^{-1}$ eine Stammfunktion in $\mathbb{Q}(x,\log(x-\alpha))$ +hat. + diff --git a/buch/chapters/060-integral/irat.tex b/buch/chapters/060-integral/irat.tex new file mode 100644 index 0000000..4c472ea --- /dev/null +++ b/buch/chapters/060-integral/irat.tex @@ -0,0 +1,140 @@ +% +% irat.tex +% +% (c) 2022 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschlue +% +\subsection{Integration rationaler Funktionen +\label{buch:integral:subsection:rationalefunktionen}} +Für die Integration der rationalen Funktionen lernt man in einem +Analysis-Kurs üblicherweise ein Lösungsverfahren. +Dies zeigt zunächst, dass rationale Funktionen immer eine Stammfunktion +in einem geeigneten Erweiterungskörper haben. +Es deutet aber auch an, dass Stammfunktionen eine ziemlich spezielle +Form haben, die später als +Satz von Liouville~\ref{buch:integral:satz:liouville} +ein besondere Rolle spielen wird. + +% +% Aufgabenstellung +% +\subsubsection{Aufgabenstellung} +In diesem Abschnitt ist eine rationale Funktion $f(x)\in\mathbb{Q}(x)$ +gegeben, deren Stammfunktion bestimmt werden soll. +Als rationale Funktion kann sie als Bruch +\begin{equation} +f(x) = \frac{p(x)}{q(x)} +\label{buch:integral:irat:eqn:quotient} +\end{equation} +mit Polynomen $p(x),q(x)\in\mathbb{Q}[x]$ geschrieben werden. +Gesucht ist ein Erweiterungskörper $\mathscr{K}\supset \mathbb{Q}(x)$ +derart und eine Stammfunktion $F\in\mathscr{K}$ von $f$, also $F'=f$. + +% +% Polynomdivision +% +\subsubsection{Polynomdivision} +Der Quotient~\eqref{buch:integral:irat:eqn:quotient} kann durch Polynomdivision +mit Rest vereinfacht werden in einen polynomialen Teil und einen echten +Bruch: +\begin{equation} +f(x) += +g(x) ++ +\frac{a(x)}{b(x)} +\label{buch:integral:irat:eqn:polydiv} +\end{equation} +mit Polynomen $g(x),a(x),b(x)\in\mathbb[Q](x)$ und $\deg a(x) < \deg b(x)$. +Für den ersten Summanden liefert +\eqref{buch:integral:iproblem:eqn:polyintegral} eine Stammfunktion. +Im Folgenden bleibt also nur noch der zweite Term zu behandeln. + +% +% Partialbruchzerlegung +% +\subsubsection{Partialbruchzerlegung} +Zur Berechnung des Integral des Bruchs +in~\eqref{buch:integral:irat:eqn:polydiv} wird die Partialbruchzerlegung +benötigt. +Der Einfachheit halber nehmen wir an, dass wir den Körper $\mathbb{Q}(x)$ +mit alle Nullstellen $\beta_i$ des Nenner-Polynoms $b(x)$ zu einem Körper +$\mathscr{K}$ erweitert haben, in dem Nenner in Linearfaktoren zerfällt. +Unter diesen Voraussetzungen hat die Partialbruchzerlegung die Form +\begin{equation} +\frac{a(x)}{b(x)} += +\sum_{i=1}^m +\sum_{k=1}^{k_i} +\frac{A_{ik}}{(x-\beta_i)^k}, +\label{buch:integral:irat:eqn:partialbruch} +\end{equation} +wobei $k_i$ die Vielfachheit der Nullstelle $\beta_i$ ist. +Die Koeffizienten $A_{ik}$ können zum Beispiel mit Hilfe eines linearen +Gleichungssystems bestimmt werden. + +Um eine Stammfunktion zu finden, muss man also Stammfunktionen für +jeden einzelnen Summanden bestimmen. +Für Exponenten $k>1$ im Nenner eines Terms der +Partialbruchzerlegung~\eqref{buch:integral:irat:eqn:partialbruch} +kann dazu die Regel +\[ +\int \frac{A_{ik}}{(x-\beta_i)^k} += +\frac{A_{ik}}{(-k+1)(x-\beta_i)^{k-1}} +\] +verwendet werden. +Diese Stammfunktion liegt wieder in $\mathscr{K}(x)$ liegt. + +% +% Körpererweiterungen +% +\subsubsection{Körpererweiterung} +Für $k=1$ ist eine logarithmische Erweiterung um die Funktion +\begin{equation} +\int \frac{A_{i1}}{x-\alpha_i} += +A_{i1} +\log(x-\alpha_i) +\label{buch:integral:irat:eqn:logs} +\end{equation} +nötig. +Es gibt also eine Stammfunktion in einem Erweiterungskörper, sofern +er zusätzlich alle logarithmischen Funktionen +in~\ref{buch:integral:irat:eqn:logs} enthält. +Sie hat die Form +\[ +\sum_{i=1}^m A_{i1} \log(x-\beta_i), +\] +wobei $A_{i1}\in\mathscr{K}$ ist. + +Setzt man alle vorher schon gefundenen Teile der Stammfunktion zusammen, +kann man sehen, dass die Stammfunktion die Form +\begin{equation} +F(x) = v_0(x) + \sum_{i=1}^m c_i \log v_i(x) +\label{buch:integral:irat:eqn:liouvillstammfunktion} +\end{equation} +haben muss. +Dabei ist $v_0(x)\in\mathscr{K}(x)$ und besteht aus der Stammfunktion +des polynomiellen Teils und den Stammfunktionen der Terme der Partialbruchzerlegung mit Exponenten $k>1$. +Die logarithmischen Terme bestehen aus den Konstanten $c_i=A_{i1}$ +und den Logarithmusfunktionen $v_i(x)=x-\beta_i\in\mathscr{K}(x)$. +Die Funktion $f(x)$ muss daher die Form +\[ +f(x) += +v_0'(x) ++ +\sum_{i=1}^m c_i\frac{v'_i(x)}{v_i(x)} +\] +gehabt haben. +Die Form~\eqref{buch:integral:irat:eqn:liouvillstammfunktion} +der Stammfunktion ist nicht eine Spezialität der rationalen Funktionen. +Sie wird auch bei grösseren Funktionenkörpern immer wieder auftreten +und ist als Satz von Liouville bekannt. + +% +% Minimale algebraische Erweiterung +% +\subsubsection{Minimale algebraische Erweiterung} +XXX Rothstein-Trager + diff --git a/buch/chapters/060-integral/logexp.tex b/buch/chapters/060-integral/logexp.tex new file mode 100644 index 0000000..e0efab2 --- /dev/null +++ b/buch/chapters/060-integral/logexp.tex @@ -0,0 +1,146 @@ +% +% logexp.tex +% +% (c) 2022 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschlue +% +\subsection{Log-Exp-Notation für trigonometrische und hyperbolische Funktionen +\label{buch:integral:subsection:logexp}} +Die Integration rationaler Funktionen hat bereits gezeigt, dass +eine Stammfunktion nicht immer im Körper der rationalen Funktionen +existiert. +Es kann notwendig sein, dem Körper logarithmische Erweiterungen der Form +$\log(x-\alpha)$ hinzuzufügen. + +Es können jedoch noch ganz andere neue Funktionen auftreten, wie die +folgende Zusammenstellung einiger Stammfunktionen zeigt: +\begin{equation} +\begin{aligned} +\int\frac{dx}{1+x^2} +&= +\arctan x, +\\ +\int \cos x\,dx +&= +\sin x, +\\ +\int\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}} +&= +\arcsin x, +\\ +\int +\operatorname{arcosh} x\,dx +&= +x \operatorname{arcosh} x - \sqrt{x^2-1}. +\end{aligned} +\label{buch:integration:risch:allgform} +\end{equation} +In der Stammfunktion treten Funktionen auf, die auf den ersten +Blick nichts mit den Funktionen im Integranden zu tun haben. + +\subsubsection{Trigonometrische und hyperbolische Funktionen} +Die trigonometrischen und hyperbolichen Funktionen +in~\eqref{buch:integration:risch:allgform} +lassen sich alle durch Exponentialfunktionen ausdrücken. +So gilt +\begin{equation} +\begin{aligned} +\sin x &= \frac{1}{2i}\bigl( e^{ix} - e^{-ix}\bigr), +& +&\qquad& +\cos x &= \frac{1}{2}\bigl( e^{ix} + e^{-ix}\bigr), +\\ +\sinh x &= \frac12\bigl( e^x - e^{-x} \bigr), +& +&\qquad& +\cosh x &= \frac12\bigl( e^x + e^{-x} \bigr). +\end{aligned} +\label{buch:integral:risch:trighyp} +\end{equation} +Nach Multiplikation mit $e^{ix}$ bzw.~$e^{x}$ entsteht eine +quadratische Gleichung in $e^{ix}$ bzw.~$e^{x}$. +Die Lösungsformel für quadratische Gleichungen erlaubt daher, $e^{ix}$ +bzw.~$e^{x}$ zu finden und damit auch die Umkehrfunktionen. +Die Rechnung ergibt +\begin{equation} +\begin{aligned} +\arcsin y +&= +\frac{1}{i}\log\bigl( +iy\pm\sqrt{1-y^2} +\bigr), +& +&\qquad& +\arccos y +&= +\log\bigl( +y\pm \sqrt{y^2-1} +\bigr), +\\ +\operatorname{arsinh}y +&= +\log\bigl( +y \pm \sqrt{1+y^2} +\bigr), +& +&\qquad& +\operatorname{arcosh} y +&= +\log\bigl( +y\pm \sqrt{y^2-1} +\bigr). +\end{aligned} +\label{buch:integral:risch:trighypinv} +\end{equation} +Alle Funktionen, die man aus dem elementaren Analysisunterricht +kennt, können also mit Hilfe von Exponentialfunktionen und Logarithmen +geschrieben werden. +Man nennt dies die $\log$-$\exp$-Notation der trigonometrischen +und hyperbolischen Funktionen. +\index{logexpnotation@$\log$-$\exp$-Notation}% + +\subsubsection{$\log$-$\exp$-Notation} +Wendet man die Substitutionen +\eqref{buch:integral:risch:trighyp} +und +\eqref{buch:integral:risch:trighypinv} +auf die Integrale +\eqref{buch:integration:risch:allgform} +an, entstehen die Beziehungen +\begin{equation} +\begin{aligned} +\int\frac{1}{1+x^2} +&= +\frac12i\bigl( +\log(1-ix) - \log(1+ix) +\bigr), +\\ +\int\bigl( +{\textstyle\frac12} +e^{ix} ++ +{\textstyle\frac12} +e^{-ix} +\bigr) +&= +-{\textstyle\frac12}ie^{ix} ++{\textstyle\frac12}ie^{-ix}, +\\ +\int +\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} +&= +-i\log\bigl(ix+\sqrt{1-x^2}), +\\ +\int \log\bigl(x+\sqrt{x^2-1}\bigr) +&= +x\log\bigl(x+\sqrt{x^2-1}\bigr) - \sqrt{x^2-1}. +\end{aligned} +\label{buch:integration:risch:eqn:integralbeispiel2} +\end{equation} +Die in den Stammfuntionen auftretenden Funktionen treten entweder +schon im Integranden auf oder sind Logarithmen von solchen +Funktionen. +Zum Beispiel hat der Nenner im ersten Integral die Faktorisierung +$1+x^2=(1+ix)(1-ix)$, in der Stammfunktion findet man die Logarithmen +der Faktoren. + + diff --git a/buch/chapters/060-integral/rational.tex b/buch/chapters/060-integral/rational.tex new file mode 100644 index 0000000..0ca164d --- /dev/null +++ b/buch/chapters/060-integral/rational.tex @@ -0,0 +1,203 @@ +% +% rational.tex +% +% (c) 2022 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschlue +% +\subsection{Rationale Funktionen und Funktionenkörper +\label{buch:integral:subsection:rational}} +Welche Funktionen sollen als Antwort auf die Frage nach einer Stammfunktion +akzeptiert werden? +Polynome in der unabhängigen Variablen $x$ sollten sicher dazu gehören, +also alles, was man mit Hilfe der Multiplikation, Addition und Subtraktion +aus Koeffizienten zum Beispiel in den rationalen Zahlen $\mathbb{Q}$ und +der unabhängigen Variablen aufbauen kann. +Doch welche weiteren Operationen sollen zugelassen werden und was lässt +sich über die entstehende Funktionenmenge aussagen? + +\subsubsection{Körper} +Die kleinste Zahlenmenge, in der alle arithmetischen Operationen soweit +sinnvoll durchgeführt werden können, ist die Menge $\mathbb{Q}$ der +rationalen Zahlen. +Etwas formaler ist eine solche Menge, in der die Arithmetik uneingeschränkt +ausgeführt werden kann, ein Körper gemäss der folgenden Definition. +\index{Korper@Körper}% + +\begin{definition} +\label{buch:integral:definition:koerper} +Eine {\em Körper} ist eine Menge $K$ mit zwei Verknüpfungen $+$, die Addition, +und $\cdot$, die Multiplikation, +welche die folgenden Eigenschaften haben. +\begin{center} +\renewcommand{\tabcolsep}{0pt} +\begin{tabular}{p{68mm}p{4mm}p{68mm}} +%Eigenschaften der +Addition: +\begin{enumerate}[{\bf A}.1)] +\item assoziativ: $(a+b)+c=a+(b+c)$ +für alle $a,b,c\in K$ +\item kommutativ: $a+b=b+a$ +für alle $a,b\in K$ +\item Neutrales Element der Addition: es gibt ein Element $0\in K$ mit +der Eigenschaft $a+0=a$ für alle $a\in K$ +\item Additiv inverses Element: zu jedem Element $a\in K$ gibt es das Element +$-a$ mit der Eigenschaft $a+(-a)=0$. +\end{enumerate} +&&% +%Eigenschaften der +Multiplikation: +\begin{enumerate}[{\bf M}.1)] +\item assoziativ: $(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$ +für alle $a,b,c\in K$ +\index{Assoziativgesetz}% +\index{assoziativ}% +\item kommutativ: $a\cdot b=b\cdot a$ +für alle $a,b\in K$ +\index{Kommutativgesetz}% +\index{kommutativ}% +\item Neutrales Element der Multiplikation: es gibt ein Element $1\in K$ mit +der Eigenschaft $a\cdot 1 =a$ für alle $a\in K$ +\index{neutrales Element}% +\item Multiplikativ inverses Element: zu jedem Element +\index{inverses Element}% +$a\in K^*=K\setminus\{0\}$ +gibt es das Element $a^{-1}$ mit der Eigenschaft $a\cdot a^{-1}=1$. +\index{Einheitengruppe}% +\index{Gruppe der invertierbaren Elemente}% +\end{enumerate} +\end{tabular} +\end{center} +\vspace{-22pt} +Ausserdem gilt das Distributivgesetz: für alle $a,b,c\in K$ gilt +$a\cdot(b+c)=a\cdot b + a\cdot c$. +\index{Disitributivgesetz}% +Die Menge $K^*$ heisst auch die {\em Einheitengruppe} oder die +{\em Gruppe der invertierbaren Elemente} des Körpers. +\end{definition} + +Das Assoziativgesetz {\bf A}.1 besagt, dass Summen mit beliebig +vielen Termen ohne Klammern geschrieben werden kann, weil es nicht +darauf ankommt, in welcher Reihenfolge die Additionen ausgeführt werden. +Ebenso für das Assoziativgesetz {\bf M}.1 der Multiplikation. +Die Kommutativgesetze {\bf A}.2 und {\bf M}.2 implizieren, dass man +nicht auf die Reihenfolge der Summanden oder Faktoren achten muss. +Das Distributivgesetz schliesslich besagt, dass man Produkte ausmultiplizieren +oder gemeinsame Faktoren ausklammern kann, wie man es in der Schule +gelernt hat. + +Die rellen Zahlen $\mathbb{R}$ und die komplexen Zahlen $\mathbb{C}$ +bilden ebenfalls einen Körper, die von den rationalen Zahlen geerbten +Eigenschaften der Verknüpfungen setzen sich auf $\mathbb{R}$ und +$\mathbb{C}$ fort. +Es lassen sich allerdings auch Zahlkörper zwischen $\mathbb{Q}$ und +$\mathbb{R}$ konstruieren, wie das folgende Beispiel zeigt. + +\begin{beispiel} +\label{buch:integral:beispiel:Qsqrt2} +Die Menge +\[ +\mathbb{Q}(\!\sqrt{2}) += +\{ +a+b\sqrt{2} +\;|\; +a,b\in \mathbb{Q} +\} +\] +ist eine Teilmenge von $\mathbb{R}$. +Die Rechenoperationen haben alle verlangten Eigenschaften, wenn gezeigt +werden kann, dass Produkte und Quotienten von Zahlen in $\mathbb{Q}(\!\sqrt{2})$ +wieder in $\mathbb{Q}(\!\sqrt{2})$ sind. +Dazu rechnet man +\begin{align*} +(a+b\sqrt{2}) +(c+d\sqrt{2}) +&= +ac + 2bd + (ad+bc)\sqrt{2} \in \mathbb{Q}(\!\sqrt{2}) +\intertext{und} +\frac{a+b\sqrt{2}}{c+d\sqrt{2}} +&= +\frac{a+b\sqrt{2}}{c+d\sqrt{2}} +\cdot +\frac{c-d\sqrt{2}}{c-d\sqrt{2}} += +\frac{ac-2bd +(-ad+bc)\sqrt{2}}{c^2-2d^2} +\\ +&= +\underbrace{\frac{ac-2bd}{c^2-2d^2}}_{\displaystyle\in\mathbb{Q}} ++ +\underbrace{\frac{-ad+bc}{c^2-2d^2}}_{\displaystyle\in\mathbb{Q}} +\sqrt{2} +\in \mathbb{Q}(\!\sqrt{2}). +\qedhere +\end{align*} +\end{beispiel} + +% +% Rationale Funktionen +% +\subsubsection{Rationalen Funktionen} +Die als Antworten auf die Frage nach einer Stammfunktion akzeptablen +Funktionen sollten alle rationalen Zahlen sowie die unabhängige +Variable $x$ enthalten. +Ausserdem sollte man beliebige arithmetische Operationen mit +diesen Ausdrücken durchführen können. +Mit Addition, Subtraktion und Multiplikation entstehen aus den +rationalen Zahlen und der unabhängigen Variablen die Polynome $\mathbb{Q}[x]$ +(siehe auch Abschnitt~\ref{buch:potenzen:section:polynome}). + + +\begin{definition} +Die Menge +\[ +\mathbb{Q}(x) += +\biggl\{ +\frac{p(x)}{q(x)} +\;\bigg|\; +p(x),q(x)\in\mathbb{Q}[x] +\wedge +q(x)\ne 0 +\biggr\}, +\] +bestehend aus allen Quotienten von Polynomen, deren Nenner nicht +das Nullpolynom ist, heisst der Körper der {\em rationalen Funktionen} +\index{rationale Funktion}% +mit Koeffizienten in $\mathbb{Q}$. +\end{definition} + +Die Definition erlaubt, dass der Nenner Nullstellen hat, die sich in +Polen der Funktion äussern. +Die Eigenschaften eines Körpers sind sicher erfüllt, wenn wir uns +nur davon überzeugen können, +dass die arithmetischen Operationen nicht aus dieser Funktionenmenge +herausführen. +Dazu muss man nur verstehen, dass die Operation des gleichnamig Machens +zweier Brüche auch für Nenner funktioniert, die Polynome sind, und die +Summe wzeier Brüche von Polynomen wieder in einen Bruch von Polynomen +umwandelt. + +% +% Warum rationale Zahlen? +% +\subsubsection{Warum die Beschränkung auf rationale Zahlen?} +Aus mathematischer Sicht gibt es gute Gründe, Analysis im Körper $\mathbb{R}$ +oder $\mathbb{C}$ zu betreiben. +Da Ableitung und Integral als Grenzwerte definiert sind, stellt diese +Wahl des Körpers sicher, dass die Grenzwerte auch tatsächlich existieren. +Der Fundamentalsatz der Algebra garantiert, dass über $\mathbb{C}$ +jedes Polynome in Linearfaktoren zerlegt werden kann. + +Der Einfachheit der Analyse in $\mathbb{R}$ oder $\mathbb{C}$ steht +die Schwierigkeit gegenüber, beliebige Elemente von $\mathbb{R}$ in +einem Computer exakt darzustellen. +Für Brüche in $\mathbb{Q}$ gibt es eine solche Darstellung durch +Paare von Ganzzahlen, wie sie die GNU Multiprecision Arithmetic Library +\cite{buch:gmp} realisiert. +Irrationale Zahlen dagegen können nur exakt gehandhabt werden, wenn +man im wesentlichen symbolisch mit ihnen rechnet. +Die Grundlage dafür wird in +Abschnitt~\ref{buch:integral:subsection:koerpererweiterungen} +gelegt. + + + diff --git a/buch/chapters/060-integral/risch.tex b/buch/chapters/060-integral/risch.tex index 6c8ff96..2080ce8 100644 --- a/buch/chapters/060-integral/risch.tex +++ b/buch/chapters/060-integral/risch.tex @@ -6,7 +6,20 @@ \section{Der Risch-Algorithmus \label{buch:integral:section:risch}} \rhead{Risch-Algorithmus} +Die Lösung des Integrationsproblem für $\mathbb{Q}(x)$ und für +$\mathbb{Q}(x,y)$ mit $y=\!\sqrt{ax^2+bx+c}$ hat gezeigt, dass +ein Differentialkörper genau die richtige Bühne für dieses Unterfangen +sein dürfte. +Die Stammfunktionen konnten in einem Erweiterungskörper gefunden +werden, der ein paar Logarithmen hinzugefügt worden sind. +Tatsächlich lässt sich in diesem Rahmen sogar ein Algorithmus +formulieren, der in einem noch zu definierenden Sinn ``elementare'' +Funktionen als Stammfunktionen finden kann oder beweisen kann, dass +eine solche nicht existiert. +Dieser Abschnitt soll einen Überblick darüber geben. +\input{chapters/060-integral/logexp.tex} +\input{chapters/060-integral/elementar.tex} diff --git a/buch/chapters/060-integral/sqrat.tex b/buch/chapters/060-integral/sqrat.tex new file mode 100644 index 0000000..787cfc9 --- /dev/null +++ b/buch/chapters/060-integral/sqrat.tex @@ -0,0 +1,480 @@ +% +% sqrat.tex +% +% (c) 2022 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschlue +% +\subsection{Integranden der Form $R(x,\sqrt{ax^2+bx+c})$ +\label{buch:integral:subsection:rxy}} +Für rationale Funktionen lässt sich immer eine Stammfunktion in einem +Erweiterungskörper angeben, der durch hinzufügen einzelner logarithmischer +Funktionen entsteht. +Die dabei verwendeten Techniken lassen sich verallgemeinern. +Zur Illustration und Motivation des später beschriebenen Risch-Algorithmus +stellen wir uns in diesem Abschnitt der Aufgabe, Integrale +mit einem Integranden zu berechnen, der eine rationale Funktion von $x$ +und $\sqrt{ax^2+bx+c}$ ist. + +% +% Aufgabenstellung +% +\subsubsection{Aufgabenstellung} +Eine rationale Funktion von $x$ und $\sqrt{ax^2+bx+c}$ ist ein +Element des Differentialkörpers, den man aus $\mathbb{Q}(x)$ durch +hinzufügen des Elementes +\[ +y=\sqrt{ax^2+bx+c} +\] +erhält. +Eine Funktion $f\in\mathbb{Q}(x,y)$ kann geschrieben werden als Bruch +\begin{equation} +f += +\frac{ +\tilde{p}_0 + \tilde{p}_1y + \dots + \tilde{p}_n y^n +}{ +\tilde{q}_0 + \tilde{q}_1y + \dots + \tilde{q}_m y^m +} +\label{buch:integral:sqrat:eqn:ftilde} +\end{equation} +mit rationalen Koeffizienten $\tilde{p}_i,\tilde{q}_i\in\mathbb{Q}(x)$. +Gesucht ist eine Stammfunktion von $f$. + +% +% Algebraische Vereinfachungen +% +\subsubsection{Algebraische Vereinfachungen} +Da $x^2=ax^2+bx+c$ ein Polynom ist, sind auch alle geraden Potenzen +von $y$ Polynome in $\mathbb{Q}(x)$, +und die ungeraden Potenzen von $y$ lassen sich als Produkt aus einem +Polynom und dem Faktor $y$ schreiben. +Der Integrand~\eqref{buch:integral:sqrat:eqn:ftilde} +lässt sich daher vereinfachen zu einem Bruch der Form +\begin{equation} +f(x) += +\frac{p_0+p_1y}{q_0+q_1y}, +\label{buch:integral:sqrat:eqn:moebius} +\end{equation} +wobei $p_i$ und $q_i$ rationale Funktionen in $\mathbb{Q}(x)$ sind. + +% +% Rationalisieren +% +\subsubsection{Rationalisieren} +Unschön an der Form~\eqref{buch:integral:sqrat:eqn:moebius} ist die +Tatsache, dass $y$ sowohl im Nenner wie auch im Zähler auftreten kann. +Da aber $y$ die quadratische Identität $y^2=ax^2+bx+c$ erfüllt, +kann das $y$ im Nenner durch Erweitern mit $q_0-q_1y$ zum verschwinden +gebracht werden. +Die Rechnung ergibt +\begin{align*} +\frac{p_0+p_1y}{q_0+q_1y} +&= +\frac{p_0+p_1y}{q_0+q_1y} +\cdot +\frac{q_0-q_1y}{q_0-q_1y} += +\frac{(p_0+p_1y)(q_0-q_1y)}{q_0^2-q_1^2y^2} +\\ +&= +\frac{p_0q_0-p_1q_1(ax^2+bx+c)}{q_0^2-q_1^2(ax^2+bx+c)} ++ +\frac{q_0p_1-q_1p_0}{q_0^2-q_1^2(ax^2+bx+c)} y. +\end{align*} +Die Quotienten enthalten $y$ nicht mehr, sind also in $\mathbb{Q}(x)$. +In der späteren Rechnung stellt sich heraus, dass es praktischer ist, +das $y$ im Nenner zu haben, was man durch erweitern mit $y$ wieder +unter Ausnützung von $y^2=ax^2+bx+c$ erreichen kann. +Die zu integrierende Funktion kann also in der Form +\begin{equation} +f(x) += +W_1 + W_2\frac{1}{y} +\label{buch:integral:sqint:eqn:w1w2y} +\end{equation} +geschrieben werden mit rationalen Funktionen +$W_1,W_2\in\mathbb{Q}(x)$. +Eine Stammfunktion von $W_1$ kann mit der Methode von +Abschnitt~\ref{buch:integral:subsection:rationalefunktionen} +gefunden werden. +Im Folgenden kümmern wir uns daher nur noch um $W_1$. + +% +% Polynomdivision +% +\subsubsection{Polynomdivision} +Die Funktion $W_2$ in \eqref{buch:integral:sqint:eqn:w1w2y} ist eine +rationale Funktion $W_2\in \mathbb{K}(x)$, also ein Bruch mit Polynomen +in $x$ als Zähler und Nenner. +Durch Polynomdivision mit Rest können wir $W_2$ schreiben als +\[ +W_1 = \varphi + W_3, +\] +wobei $\varphi$ ein Polynom in $x$ ist und $W_3$ eine rationale +Funktion, deren Zählergrad kleiner ist als der Nennergrad. +Zur Bestimmung der Stammfunktion bleibt jetzt nur noch +\begin{equation} +\int W_2\frac{1}{y} += +\int \frac{\varphi}{y} ++ +\int W_3\frac1{y} +\label{buch:integral:sqint:eqn:Wy} +\end{equation} +zu berechnen. + +% +% Integranden der Form $\varphi(x)/y$ +% +\subsubsection{Integranden der Form $\varphi(x)/y$} +Der erste Term in~\eqref{buch:integral:sqint:eqn:Wy} ist ein Integral eines +Quotienten eines Polynoms geteilt durch $y$. +Solche Integrale können, wie im Folgenden gezeigt werden soll, reduziert +werden auf das Integral von $1/y$. +Genauer gilt der folgende Satz. + +\begin{satz} +\label{buch:integral:sqint:satz:polyy} +Sei $\varphi\in\mathcal{K}(x)$ ein Polynom in $x$, dann gibt +es ein Polynom $\psi\in\mathcal{K}(x)$ vom Grad $\deg\psi < \deg\varphi$, +und $A\in\mathcal{K}$ derart, dass +\begin{equation} +\int \frac{\varphi}{y} += +\psi y + A\int\frac{1}{y}. +\label{buch:integral:sqint:eqn:phipsi} +\end{equation} +\end{satz} + +\begin{proof}[Beweis] +Wir schreiben die Polynome in der Form +\begin{align*} +\varphi +&= +\varphi_mx^m + \varphi_{m-1}x^{m-1} + \dots + \varphi_2x^2 + \varphi_1x + \varphi_0 +\\ +\psi +&= +\phantom{\varphi_mx^m+\mathstrut} +\psi_{m-1}x^{m-1} + \dots + \psi_2x^2 + \psi_1x + \psi_0 +\intertext{mit der Ableitung} +\psi' +&= +\phantom{\varphi_mx^m+\mathstrut} +\psi_{m-1}(m-1)x^{m-2} + \dots + 2\psi_2x + \psi_1. +\end{align*} +Wir leiten die Gleichung~\eqref{buch:integral:sqint:eqn:phipsi} +nach $x$ ab und erhalten +\begin{align*} +\frac{\varphi}{y} +&= +\psi'y + \psi y' + \frac{A}{y} += +\psi'y + \psi \frac{ax+b/2}{y} + \frac{A}{y}. +\intertext{Durch Multiplikation mit $y$ wird die Gleichung wesentlich +vereinfacht zu} +\varphi +&= +\psi' y^2 + \psi y' y + A += +\psi' \cdot(ax^2+bx+c) + \psi\cdot (ax+b/2) + A. +\end{align*} +Auf beiden Seiten stehen Polynome, man kann daher versuchen, die +Koeffizienten von $\psi$ mit Hilfe eines Koeffizientenvergleichs zu +bestimmen. +Dazu müssen die Produkte auf der rechten Seite ausmultipliziert werden. +So ergeben sich die Gleichungen +\begin{equation} +\renewcommand{\arraycolsep}{2pt} +\begin{array}{lcrcrcrcrcrcrcr} +\varphi_m +&=& +(m-1)\psi_{m-1} a &+& & & +&+& +\psi_{m-1} a & & & & +\\ +\varphi_{m-1} +&=& +(m-2)\psi_{m-2}a +&+& +(m-1)\psi_{m-1}b +& & +&+& +\psi_{m-2}a +&+& +\psi_{m-1}\frac{b}2 +& & +\\ +\varphi_{m-2} +&=& +(m-3)\psi_{m-3}a +&+& +(m-2)\psi_{m-2}b +&+& +(m-1)\psi_{m-1}c +&+& +\psi_{m-3}a +&+& +\psi_{m-2}\frac{b}2 +& & +\\ +&\vdots&&&&&&&&&&& +\\ +\varphi_2 +&=& +\psi_{1\phantom{-m}}a +&+& +2\psi_{2\phantom{-m}}b +&+& +3\psi_{3\phantom{-m}}c +&+& +\psi_{1\phantom{-m}}a +&+& +\psi_{2\phantom{-m}}\frac{b}2 +& & +\\ +\varphi_1 +&=& +& & +\psi_{1\phantom{-m}}b +& & +2\psi_{2\phantom{-m}}c +&+& +\psi_{0\phantom{-m}}a +&+& +\psi_{1\phantom{-m}}\frac{b}2 +\\ +\varphi_0 +&=& +& & +& & +\psi_{1\phantom{-m}}c +& & +&+& +\psi_{0\phantom{-m}}\frac{b}2 +&+&A +\end{array} +\end{equation} +In jeder Gleichung kommen hächstens drei der Koeffizienten von $\psi$ vor. +Fasst man sie zusammen und stellt die Terme etwas um, +erhält man die einfacheren Gleichungen +\begin{equation} +\renewcommand{\arraycolsep}{2pt} +\renewcommand{\arraystretch}{1.3} +\begin{array}{lcrcrcrcrcrcrcr} +\varphi_m +&=& +(m-0){\color{red}\psi_{m-1}}a & & & & +& & +\\ +\varphi_{m-1} +&=& +(m-1+\frac12)\psi_{m-1}b +&+& +(m-1){\color{red}\psi_{m-2}}a +& & +& & +\\ +\varphi_{m-2} +&=& +(m-1)\psi_{m-1}c +&+& +(m-2+\frac12)\psi_{m-2}b +&+& +(m-2){\color{red}\psi_{m-3}}a +& & +\\ +&\vdots&&&&&&&&&&& +\\ +\varphi_2 +&=& +3\psi_{3\phantom{-m}}c +&+& +(2+\frac12)\psi_{2\phantom{-m}}b +&+& +2{\color{red}\psi_{1\phantom{-m}}}a +& & +\\ +\varphi_1 +&=& +2\psi_{2\phantom{-m}}c +&+& +(1+\frac12)\psi_{1\phantom{-m}}b +&+& +{\color{red}\psi_{0\phantom{-m}}}a +& & +\\ +\varphi_0 +&=& +\psi_{1\phantom{-m}}c +& & +&+& +(0+\frac12) \psi_{0\phantom{-m}}b +&+&{\color{red}A} +\end{array} +\end{equation} +Die erste Gleichung kann wegen $a\ne 0$ nach $\psi_{m-1}$ aufgelöst werden, +dadurch ist $\psi_{m-1}$ bestimmt. +In allen folgenden Gleichungen taucht jeweils ein neuer Koeffizient +von $\psi$ auf, der rot hervorgehoben ist. +Wieder wegen $a\ne 0$ kann die Gleichung immer nach dieser Variablen +aufgelöst werden. +Die Gleichungen zeigen daher, dass die Koeffizienten des Polynoms $\psi$ +in absteigender Folge und die Konstanten $A$ eindeutig bestimmt werden. +\end{proof} + +Mit diesem Satz ist das Integral über den Teil $\varphi/y$ auf den +Fall des Integrals von $1/y$ reduziert. +Letzteres wird im nächsten Abschnitt berechnet. + +% +% Das Integral von $1/y$ +% +\subsubsection{Das Integral von $1/y$} +Eine Stammfunktion von $1/y$ kann mit etwas Geschick mit den +Interationstechniken gefunden werden, die man in einem Analysis-Kurs +lernt. +Durch Ableitung der Funktion +\[ +F += +\frac{1}{\sqrt{a}}\log\biggl(x+\frac{b}{2a}+\frac{y}{\sqrt{a}}\biggr) +\] +kann man nachprüfen, dass $F$ eine Stammfunktion von $1/y$ ist, +also +\begin{equation} +\int +\frac{1}{y} += +\frac{1}{\sqrt{a}}\log\biggl(x+\frac{b}{2a}+\frac{y}{\sqrt{a}}\biggr). +\end{equation} + +% +% Partialbruchzerlegung +% +\subsubsection{Partialbruchzerlegung} +In der rationalen Funktion $W_3$ in \eqref{buch:integral:sqint:eqn:Wy} +hat der Zähler kleineren Grad als der Nenner, sie kann daher wieder +in Partialbrüche +\[ +W_3 += +\sum_{i=1}^n +\sum_{k=1}^{k_i} +\frac{A_{ik}}{(x-\alpha_i)^k} +\] +mit den Nullstellen $\alpha_i$ des Nenners von $W_3$ mit Vielfachheiten +$k_i$ zerlegt werden. +Die Stammfunktion von $W_3/y$ wird damit zu +\begin{equation} +\int W_3\frac{1}{y} += +\sum_{i=1}^n +\sum_{k=1}^{k_i} +A_{ik} +\int +\frac{1}{(x-\alpha_i)^ky} += +\sum_{i=1}^n +\sum_{k=1}^{k_i} +A_{ik} +\int +\frac{1}{(x-\alpha_i)^k \sqrt{ax^2+bx+c}}. +\end{equation} +Die Stammfunktion ist damit reduziert auf Integrale der Form +\begin{equation} +\int +\frac{1}{(x-\alpha)^k \sqrt{ax^2+bx+c}} +\label{buch:integral:sqrat:eqn:2teart} +\end{equation} +mit $k>0$. + +% +% Integrale der Form \eqref{buch:integral:sqrat:eqn:2teart} +% +\subsubsection{Integrale der Form \eqref{buch:integral:sqrat:eqn:2teart}} +Die Integrale~\eqref{buch:integral:sqrat:eqn:2teart} +können mit Hilfe der Substution +\[ +t=\frac{1}{x-\alpha} +\qquad\text{oder}\qquad +x=\frac1t+\alpha +\] +In ein Integral verwandelt werden, für welches bereits eine +Berechnungsmethode entwickelt wurde. +Dazu berechnet man +\begin{align*} +y^2 +&= a\biggl(\frac1t+\alpha\biggr)^2 + b\biggl(\frac1t+\alpha\biggr) + c +\\ +&= +a\biggl(\frac{1}{t^2}+2\frac{\alpha}{t}+\alpha^2\biggr) ++\frac{b}{t}+b\alpha+c += +\frac{1}{t^2}\bigl( +\underbrace{a+(2a\alpha+b)t+(a\alpha^2+c)t^2}_{\displaystyle=Y^2} +\bigr) +\intertext{und damit} +y&=\frac{Y}{t}. +\end{align*} +Führt man die Substition +$dx = -dt/t^2$ im Integral aus, erhält man +\begin{align*} +\int\frac{dx}{(x-\alpha)^ky} +&= +- +\int +t^k\cdot\frac{t}{Y}\frac{dt}{t^2} += +-\int\frac{t^{k-1}}{Y}\,dt. +\end{align*} +Das letzte Integral ist wieder von der Form, die in +Satz~\ref{buch:integral:sqint:satz:polyy} behandelt wurde. +Insbesondere gibt es ein Polynom $\psi$ vom Grad $k-2$ und +eine Konstante $A$ derart, dass +\[ +\int\frac{1}{(x-\alpha)^ky} += +\psi Y + A\int\frac{1}{Y} +\] +ist. +Damit ist das Integral von $R(x,y)$ vollständig bestimmt. + +\subsubsection{Beobachtungen} +Die eben dargestellte Berechnung des Integrals von $R(x,y)$ zeigt einige +Gemeinsamkeiten mit der entsprechenden Rechnung für rationale +Integranden, aber auch einige wesentliche Unterschiede. +Wieder zeigt sich, dass Polynomdivision und Partialbruchzerlegung +die zentralen Werkzeuge sind, mit denen der Integrand zerlegt und +leichter integrierbare Funktionen umgeformt werden kann. +Andererseits ist der in +Satz~\ref{buch:integral:sqint:satz:polyy} +zusammengefasste Schritt eine wesentliche zusätzliche Vereinfachung, +die keine Entsprechung bei rationalen Integranden hat. + +Die gefunden Form der Stammfunktion hat jedoch die allgemeine +Form +\[ +\int R(x,y) += +v_0 + +C +\log\biggl(x+\frac{b}{2a}+\frac{y}{\sqrt{a}}\biggr) ++ +\sum_{i=1}^n c_i +\log v_i, +\] +die ganz der bei rationalen Integranden gefunden Form entspricht. +Darin ist $v_0$ die Summe der angefallenen rationalen Teilintegrale, +also $v_0\in\mathcal{K}(x,y)$. +Die $v_i\in\mathcal{K}(x,y)$ sind die entsprechenden Logarithmusfunktionen, +die bei der Berechnung der Integrale \eqref{buch:integral:sqrat:eqn:2teart} +auftreten. +Insbesondere liefert die Rechnung eine Körpererweiterung von +$\mathcal{K}(x,y)$ um die logarithmische Funktionen +$\log(x+b/2a+y/\!\sqrt{y})$ und $\log v_i$, in der $R(x,y)$ eine +Stammfunktion hat. + + + + diff --git a/buch/chapters/070-orthogonalitaet/Makefile.inc b/buch/chapters/070-orthogonalitaet/Makefile.inc index 48e5356..8f58489 100644 --- a/buch/chapters/070-orthogonalitaet/Makefile.inc +++ b/buch/chapters/070-orthogonalitaet/Makefile.inc @@ -4,7 +4,7 @@ # (c) 2022 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule # -CHAPTERFILES = $(CHAPTERFILES) \ +CHAPTERFILES += \ chapters/070-orthogonalitaet/orthogonal.tex \ chapters/070-orthogonalitaet/rekursion.tex \ chapters/070-orthogonalitaet/rodrigues.tex \ @@ -13,4 +13,5 @@ CHAPTERFILES = $(CHAPTERFILES) \ chapters/070-orthogonalitaet/jacobi.tex \ chapters/070-orthogonalitaet/sturm.tex \ chapters/070-orthogonalitaet/gaussquadratur.tex \ + chapters/070-orthogonalitaet/uebungsaufgaben/701.tex \ chapters/070-orthogonalitaet/chapter.tex diff --git a/buch/chapters/070-orthogonalitaet/chapter.tex b/buch/chapters/070-orthogonalitaet/chapter.tex index 5ebb795..4756844 100644 --- a/buch/chapters/070-orthogonalitaet/chapter.tex +++ b/buch/chapters/070-orthogonalitaet/chapter.tex @@ -25,7 +25,7 @@ \rhead{Übungsaufgaben} \aufgabetoplevel{chapters/070-orthogonalitaet/uebungsaufgaben} \begin{uebungsaufgaben} -%\uebungsaufgabe{0} +\uebungsaufgabe{701} %\uebungsaufgabe{1} \end{uebungsaufgaben} diff --git a/buch/chapters/070-orthogonalitaet/gaussquadratur.tex b/buch/chapters/070-orthogonalitaet/gaussquadratur.tex index 55f9700..2e43cec 100644 --- a/buch/chapters/070-orthogonalitaet/gaussquadratur.tex +++ b/buch/chapters/070-orthogonalitaet/gaussquadratur.tex @@ -135,12 +135,12 @@ p(x)&=x^2\colon& \frac23 &= A_0x_0^2 + A_1x_1^2\\ p(x)&=x^3\colon& 0 &= A_0x_0^3 + A_1x_1^3. \end{aligned} \] -Dividiert man die zweite und vierte Gleichung in der Form +Dividiert man die vierte durch die zweite Gleichung in der Form \[ \left. \begin{aligned} -A_0x_0 &= -A_1x_1\\ -A_0x_0^2 &= -A_1x_1^2 +A_0x_0^3 &= -A_1x_1^3 &\qquad&\text{(vierte Gleichung)}\\ +A_0x_0 &= -A_1x_1 &\qquad&\text{(zweite Gleichung)} \end{aligned} \quad \right\} @@ -155,7 +155,7 @@ x_1=-x_0. \] Indem wir dies in die zweite Gleichung einsetzen, finden wir \[ -0 = A_0x_0 + A_1x_1 = A_0x_1 -A_1x_0 = (A_0-A_1)x_0 +0 = A_0x_0 + A_1x_1 = A_0x_0 -A_1x_0 = (A_0-A_1)x_0 \quad\Rightarrow\quad A_0=A_1. \] @@ -263,7 +263,7 @@ werden können, muss auch = \int_{-1}^1 q(x)p(x)\,dx = -\sum_{i=0}^n q(x_i)p(x_i) +\sum_{i=0}^n A_iq(x_i)p(x_i) \] für jedes beliebige Polynom $q\in R_{n-1}$ gelten. Da man für $q$ die Interpolationspolynome $l_j(x)$ verwenden @@ -272,9 +272,11 @@ kann, den Grad $n-1$ haben, folgt 0 = \sum_{i=0}^n -l_j(x_i)p(x_i) +A_il_j(x_i)p(x_i) = -\sum_{i=0}^n \delta_{ij}p(x_i), +\sum_{i=0}^n A_i\delta_{ij}p(x_i) += +A_jp(x_j), \] die Stützstellen $x_i$ müssen also die Nullstellen des Polynoms $p(x)$ sein. diff --git a/buch/chapters/070-orthogonalitaet/jacobi.tex b/buch/chapters/070-orthogonalitaet/jacobi.tex index 042d466..f776c03 100644 --- a/buch/chapters/070-orthogonalitaet/jacobi.tex +++ b/buch/chapters/070-orthogonalitaet/jacobi.tex @@ -189,6 +189,28 @@ rechten Rand haben. \label{buch:orthogonal:fig:jacobi-parameter}} \end{figure} +\subsection{Jacobi-Gewichtsfunktion und Beta-Verteilung +\label{buch:orthogonal:subsection:beta-verteilung}} +Die Jacobi-Gewichtsfunktion entsteht aus der Wahrscheinlichkeitsdichte +der Beta-Verteilung, die in +Abschnitt~\ref{buch:rekursion:subsection:beta-verteilung} +eingeführt wurde mit Hilfe der Variablen-Transformation $x = 2t-1$ +oder $t=(x+1)/2$. +Das Integral mit der Jacobi-Gewichtsfunktion $w^{(\alpha,\beta)}(x)$ +kann damit umgeformt werden in +\[ +\int_{-1}^1 +f(x)\,w^{(\alpha,\beta)}(x)\,dx += +\int_0^1 +f(2t-1) w^{(\alpha,\beta)}(2t-1)\,2\,dt += +\int_0^1 +f(2t-1) +(1-(2t-1))^\alpha (1+(2t-1))^\beta +\,2\,dt +\] + % % % diff --git a/buch/chapters/070-orthogonalitaet/orthogonal.tex b/buch/chapters/070-orthogonalitaet/orthogonal.tex index d06f46e..677e865 100644 --- a/buch/chapters/070-orthogonalitaet/orthogonal.tex +++ b/buch/chapters/070-orthogonalitaet/orthogonal.tex @@ -737,6 +737,57 @@ rechten Rand haben. \label{buch:orthogonal:fig:jacobi-parameter}} \end{figure} +\subsubsection{Jacobi-Gewichtsfunktion und Beta-Verteilung +\label{buch:orthogonal:subsection:beta-verteilung}} +Die Jacobi-Gewichtsfunktion entsteht aus der Wahrscheinlichkeitsdichte +der Beta-Verteilung, die in +Abschnitt~\ref{buch:rekursion:subsection:beta-verteilung} +eingeführt wurde mit Hilfe der Variablen-Transformation $x = 2t-1$ +oder $t=(x+1)/2$. +Das Integral mit der Jacobi-Gewichtsfunktion $w^{(\alpha,\beta)}(x)$ +kann damit umgeformt werden in +\begin{align*} +\int_{-1}^1 +f(x)\,w^{(\alpha,\beta)}(x)\,dx +&= +\int_0^1 +f(2t-1) w^{(\alpha,\beta)}(2t-1)\,2\,dt +\\ +&= +\int_0^1 +f(2t-1) +(1-(2t-1))^\alpha (1+(2t-1))^\beta +\,2\,dt +\\ +&= +2^{\alpha+\beta+1} +\int_0^1 +f(2t-1) +\, +t^\beta +(1-t)^\alpha +\,dt +\\ +&= +2^{\alpha+\beta+1} +B(\alpha+1,\beta+1) +\int_0^1 +f(2t-1) +\, +\frac{ +t^\beta +(1-t)^\alpha +}{B(\alpha+1,\beta+1)} +\,dt. +\end{align*} +Auf der letzten Zeile steht ein Integral mit der Wahrscheinlichkeitsdichte +der Beta-Verteilung. +Orthogonale Funktionen bezüglich der Jacobischen Gewichtsfunktion +$w^{(\alpha,\beta)}$ werden mit der genannten Substitution also +zu orthogonalen Funktionen bezüglich der Beta-Verteilung mit +Parametern $\beta+1$ und $\alpha+1$. + + % % Tschebyscheff-Gewichtsfunktion % @@ -791,14 +842,14 @@ bei geeigneter Normierung die {\em Hermite-Polynome}. % % Laguerre-Gewichtsfunktion % -\subsection{Laguerre-Gewichtsfunktion} +\subsubsection{Laguerre-Gewichtsfunktion} Ähnlich wie die Hermite-Gewichtsfunktion ist die {\em Laguerre-Gewichtsfunktion} \index{Laguerre-Gewichtsfunktion}% \[ w_{\text{Laguerre}}(x) = -w^{-x} +e^{-x} \] auf ganz $\mathbb{R}$ definiert, und sie geht für $x\to\infty$ wieder sehr rasch gegen $0$. diff --git a/buch/chapters/070-orthogonalitaet/rekursion.tex b/buch/chapters/070-orthogonalitaet/rekursion.tex index 5ec7fed..dc5531b 100644 --- a/buch/chapters/070-orthogonalitaet/rekursion.tex +++ b/buch/chapters/070-orthogonalitaet/rekursion.tex @@ -30,7 +30,7 @@ Skalarproduktes $\langle\,\;,\;\rangle_w$, wenn für alle $n$, $m$. \end{definition} -\subsection{Allgemeine Drei-Term-Rekursion für orthogonale Polynome} +\subsubsection{Allgemeine Drei-Term-Rekursion für orthogonale Polynome} Der folgende Satz besagt, dass $p_n$ eine Rekursionsbeziehung erfüllt. \begin{satz} @@ -55,7 +55,7 @@ C_{n+1} = \frac{A_{n+1}}{A_n}\frac{h_{n+1}}{h_n}. \end{equation} \end{satz} -\subsection{Multiplikationsoperator mit $x$} +\subsubsection{Multiplikationsoperator mit $x$} Man kann die Relation auch nach dem Produkt $xp_n(x)$ auflösen, dann wird sie \begin{equation} @@ -72,7 +72,7 @@ Die Multiplikation mit $x$ ist eine lineare Abbildung im Raum der Funktionen. Die Relation~\eqref{buch:orthogonal:eqn:multixrelation} besagt, dass diese Abbildung in der Basis der Polynome $p_k$ tridiagonale Form hat. -\subsection{Drei-Term-Rekursion für die Tschebyscheff-Polynome} +\subsubsection{Drei-Term-Rekursion für die Tschebyscheff-Polynome} Eine Relation der Form~\eqref{buch:orthogonal:eqn:multixrelation} wurde bereits in Abschnitt~\ref{buch:potenzen:tschebyscheff:rekursionsbeziehungen} @@ -80,12 +80,12 @@ hergeleitet. In der Form~\eqref{buch:orthogonal:eqn:rekursion} geschrieben lautet sie \[ -T_{n+1}(x) = 2x\,T_n(x)-T_{n-1}(x). +T_{n+1}(x) = 2x\,T_n(x)-T_{n-1}(x), \] also $A_n=2$, $B_n=0$ und $C_n=1$. -\subsection{Beweis von Satz~\ref{buch:orthogonal:satz:drei-term-rekursion}} +\subsubsection{Beweis von Satz~\ref{buch:orthogonal:satz:drei-term-rekursion}} Die Relation~\eqref{buch:orthogonal:eqn:multixrelation} zeigt auch, dass der Beweis die Koeffizienten $\langle xp_k,p_j\rangle_w$ berechnen muss. diff --git a/buch/chapters/070-orthogonalitaet/sturm.tex b/buch/chapters/070-orthogonalitaet/sturm.tex index c9c9cc6..35054ab 100644 --- a/buch/chapters/070-orthogonalitaet/sturm.tex +++ b/buch/chapters/070-orthogonalitaet/sturm.tex @@ -375,7 +375,7 @@ automatisch für diese Funktionenfamilien. \subsubsection{Trigonometrische Funktionen} Die trigonometrischen Funktionen sind Eigenfunktionen des Operators $d^2/dx^2$, also eines Sturm-Liouville-Operators mit $p(x)=1$, $q(x)=0$ -und $w(x)=0$. +und $w(x)=1$. Auf dem Intervall $(-\pi,\pi)$ können wir die Randbedingungen \bgroup \renewcommand{\arraycolsep}{2pt} diff --git a/buch/chapters/070-orthogonalitaet/uebungsaufgaben/701.tex b/buch/chapters/070-orthogonalitaet/uebungsaufgaben/701.tex new file mode 100644 index 0000000..dad489f --- /dev/null +++ b/buch/chapters/070-orthogonalitaet/uebungsaufgaben/701.tex @@ -0,0 +1,137 @@ +Für Funktionen auf dem Interval $(-\frac{\pi}2,\frac{\pi}2)$ ist +\[ +\langle f,g\rangle += +\frac12\int_{-\frac{\pi}2}^{\frac{\pi}2} f(x)g(x)\cos x\,dx +\] +ein Skalarprodukt. +Bestimmen Sie bezüglich dieses Skalarproduktes orthogonale Polynome +bis zum Grad $2$. + +\begin{hinweis} +Verwenden Sie +\begin{align*} +\int_{-\frac{\pi}2}^{\frac{\pi}2} 1\cos x\,dx +&= +1, +& +\int_{-\frac{\pi}2}^{\frac{\pi}2} x^2\cos x\,dx +&= +\frac{\pi^2-8}{2}, +& +\int_{-\frac{\pi}2}^{\frac{\pi}2} x^4\cos x\,dx +&= +\frac{\pi^4-48\pi^2+384}{8}. +\end{align*} +\end{hinweis} + +\begin{loesung} +Wir müssen den Gram-Schmidt-Orthogonalisierungsprozess für die +Polynome $f_0(x)=1$, $f_1(x)=x$ und $f_2(x)=x^2$ durchführen. +Zunächst halten wir fest, dass +\[ +\langle f_0,f_0\rangle += +\frac12 +\int_{-\frac{\pi}2}^{\frac{\pi}2} \cos x\,dx += +1, +\] +das Polynom $g_0(x)=f_0(x)$ ist hat also Norm $1$. + +Ein dazu orthogonales Polynom ist +\( +f_1(x) - \langle g_0,f_1\rangle g_0(x), +\) +wir müssen also das Skalarprodukt +\[ +\langle g_0,f_1\rangle += +\frac{1}{2} +\int_{-\frac{\pi}2}^{\frac{\pi}2} +x\cos x\,dx +\] +bestimmen. +Es verschwindet, weil die Funktion $x\cos x$ ungerade ist. +Somit ist die Funktion $f_1(x)=x$ orthogonal zu $f_0(x)=1$, um sie auch zu +normieren berechnen wir das Integral +\[ +\| f_1\|^2 += +\frac12\int_{-\frac{\pi}2}^{\frac{\pi}2} x^2\cos x\,dx += +\frac{\pi^2-8}{4}, +\] +und +\[ +g_1(x) += +\frac{2}{\sqrt{\pi^2-8}} x. +\] + +Zur Berechnung von $g_2$ müssen wir die Skalarprodukte +\begin{align*} +\langle g_0,f_2\rangle +&= +\frac{1}{2} +\int_{-\frac{\pi}2}^{\frac{\pi}2} +x^2 +\cos x +\,dx += +\frac{\pi^2-8}{4} +\\ +\langle g_1,f_2\rangle +&= +\frac{1}{2} +\int_{-\frac{\pi}2}^{\frac{\pi}2} +\frac{2}{\sqrt{\pi^2-8}} +x +\cdot x^2 +\cos x +\,dx += +0 +\end{align*} +bestimmen. +Damit wird das dritte Polynom +\[ +f_2(x) +- g_0(x)\langle g_0,f_2\rangle +- g_1(x)\langle g_1,f_2\rangle += +x^2 - \frac{\pi^2-8}{4}, +\] +welches bereits orthogonal ist zu $g_0$ und $g_1$. +Wir können auch noch erreichen, obwohl das nicht verlangt war, +dass es normiert ist, indem wir die Norm berechnen: +\[ +\left\| x^2-\frac{\pi^2-8}{4} \right\|^2 += +\frac12 +\int_{-\frac{\pi}2}^{\frac{\pi}2} +\biggl(x^2-\frac{\pi^2-8}{4}\biggr)^2 +\cos x\,dx += +20-2\pi^2 +\] +woraus sich +\[ +g_2(x) += +\frac{1}{\sqrt{20-2\pi^2}} +\biggl( +x^2 - \frac{\pi^2-8}{4} +\biggr). +\] +Damit haben wir die ersten drei bezüglich des obigen Skalarproduktes +orthogonalen Polynome +\begin{align*} +g_0(x)&=1, +& +g_1(x)&=\frac{2x}{\sqrt{\pi^2-8}}, +& +g_2(x)&=\frac{1}{\sqrt{20-2\pi^2}}\biggl(x^2-\frac{\pi^2-8}{4}\biggr) +\end{align*} +gefunden. +\end{loesung} diff --git a/buch/chapters/075-fourier/2d.tex b/buch/chapters/075-fourier/2d.tex new file mode 100644 index 0000000..cc019c7 --- /dev/null +++ b/buch/chapters/075-fourier/2d.tex @@ -0,0 +1,19 @@ +% +% 2d.tex +% +% (c) 2022 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\section{Zweidimensionale Fourier-Transformation +\label{buch:fourier:section:2d}} +\rhead{Zweidimensionale Fourier-Transformation} + +\subsection{Fourier-Transformation und partielle Differentialgleichungen} + +\subsection{Fourier-Transformation in kartesischen Koordinaten} + +\subsection{Basisfunktionen in Polarkoordinaten} + + + + + diff --git a/buch/chapters/075-fourier/Makefile.inc b/buch/chapters/075-fourier/Makefile.inc index ee9641c..a762e63 100644 --- a/buch/chapters/075-fourier/Makefile.inc +++ b/buch/chapters/075-fourier/Makefile.inc @@ -4,5 +4,7 @@ # (c) 2022 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule # -CHAPTERFILES = $(CHAPTERFILES) \ +CHAPTERFILES += \ + chapters/075-fourier/bessel.tex \ + chapters/075-fourier/2d.tex \ chapters/075-fourier/chapter.tex diff --git a/buch/chapters/075-fourier/bessel.tex b/buch/chapters/075-fourier/bessel.tex new file mode 100644 index 0000000..7e978f7 --- /dev/null +++ b/buch/chapters/075-fourier/bessel.tex @@ -0,0 +1,620 @@ +% +% bessel.tex +% +% (c) 2022 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\section{Fourier-Transformation und Bessel-Funktionen +\label{buch:fourier:section:fourier-und-bessel}} +\rhead{Fourier-Transformation und Bessel-Funktionen} + +Sei $f\colon \mathbb{R}^2\to\mathbb{C}$ eine auf $\mathbb{R}$ definierte +Funktion. +Die Fourier-Transformation von $f$ ist das Integral +\begin{equation} +(\mathscr{F}f)(u,v) += +F(u,v) += +\frac{1}{2\pi} +\int_{-\infty}^\infty +\int_{-\infty}^\infty +f(x,y) e^{i(xu+yv)} +\,dx\,dy. +\label{buch:fourier:eqn:2dfourier} +\end{equation} +Die Funktionen $e_{u,v}\colon (x,y)\mapsto e^{i(xu+yv)}$ +sind die Eigenfunktionen des Laplace-Operators in kartesischen Koordinaten, +sie erfüllen +\[ +\Delta e_{u,v} = (u^2+v^2) \Delta e_{u,v}. +\] +Die Fourier-Integrale sind die Skalarprodukte +\[ +(\mathscr{F}f)(u,v) += +\langle +e_{u,v}, +f +\rangle, +\] +wobei das Skalarprodukt durch +\[ +\langle f,g\rangle += +\int_{-\infty}^\infty +\int_{-\infty}^\infty +\overline{f(x)} g(x) +\,dx\,dy +\] +definiert ist. + +Jede Funktion in der Ebene kann auch in Polarkoordinaten ausgedrückt werden. +Die kartesischen Koordinaten können mittels +\begin{align*} +x&=r\cos\varphi +y&=r\sin\varphi +\end{align*} +durch die Polarkoordinaten $(r,\varphi)$ ausgedrückt werden. +Wir schreiben +\[ +\tilde{f}(r,\varphi) += +f(r\cos\varphi,r\sin\varphi) +\] +für die Funktion $f$ ausgedrückt in Polarkoordinaten. + +In Polarkoordinaten wird das Skalarprodukt +\[ +\langle f,g\rangle += +\int_0^\infty \int_{0}^{2\pi} e^{in\varphi} +\overline{ +\tilde{f}(r,\varphi) +} +\tilde{g}(r,\varphi) +r\,dr\,d\varphi. +\] +Auch die Fouriertransformation kann jetzt durch Berechnung eines +doppelten Integrals in Polarkoordinaten ermittelt werden. +Ziel dieses Abschnitts ist zu zeigen, dass auch diese Berechnung auf +Bessel-Funktionen führt. +Im Gegenzug werden sich neue Eigenschaften und Darstellungen derselben +ergeben. + + +\subsection{Berechnung der Fourier-Transformation in Polarkoordinaten} +Die Fourier-Transformation $(\mathscr{F}f)(u,v)$ ist eine Funktion +$\mathbb{R}^2\to\mathbb{C}$, die vom Wellenvektor $(u,v)$ abhängt. +Auch dieser Vektor kann in Polarkoordinaten ausgedrückt werden. +Für die Polarkoordinaten in der Wellenvektor-Ebene soll die Bezeichnung +$(R,\vartheta)$ verwendet werden, was auf die Transformationsgleichungen +\begin{align*} +u&=R\cos\vartheta\\ +v&=R\sin\vartheta +\end{align*} +führt. +Im Exponenten der Exponentialfunktion +des Fourier-Integrals~\eqref{buch:fourier:eqn:2dfourier} +steht der Ausdruck +\[ +xu+yv += +r\cos\varphi\cdot R\cos\vartheta ++ +r\sin\varphi\cdot R\sin\vartheta += +rR\cos(\varphi-\vartheta). +\] +Mit diesen Bezeichnungen wird das +Fourier-Integral~\eqref{buch:fourier:eqn:2dfourier} +zu +\begin{align} +\tilde{F}(R,\vartheta) +&= +\frac{1}{2\pi} +\int_{0}^{\infty} +\int_{0}^{2\pi} +f(r\cos\varphi,r\sin\varphi) +e^{irR\cos(\varphi-\vartheta)} +\,d\varphi\,r\, dr +\notag +\\ +&= +\frac{1}{2\pi} +\int_{0}^{\infty} +\int_{0}^{2\pi} +\tilde{f}(r,\varphi) +e^{irR\cos(\varphi-\vartheta)} +\,d\varphi\,r\, dr. +\label{buch:fourier:eqn:fouriertrafopolar} +\end{align} +Die partielle Funktion $\varphi\mapsto \tilde{f}(r,\varphi)$ +ist eine $2\pi$-periodische Funktion, sie lässt sich also als +komplexe Fourier-Reihe +\begin{equation} +\tilde{f}(r,\varphi) += +\sum_{n\in\mathbb{Z}} \hat{f}_n(r) e^{in\varphi} +\label{buch:fourier:eqn:fourierkoef} +\end{equation} +schreiben, die Funktionen $\hat{f}_n(r)$ sind die komplexen +Fourier-Koeffizienten. +Setzt man \eqref{buch:fourier:eqn:fourierkoef} in die Fourier-Transformation +\eqref{buch:fourier:eqn:fouriertrafopolar} ein, erhält man +\begin{align*} +\tilde{F}(R,\vartheta) +&= +\sum_{n\in\mathbb{Z}} +\int_0^\infty +\hat{f}_n(r) +\frac{1}{2\pi} +\int_0^{2\pi} +e^{in\varphi+irR\cos(\varphi-\vartheta)} +\,d\varphi +\, +r\,dr. +\end{align*} +Der Exponent im inneren Integral kann als +\[ +in\varphi+irR\cos(\varphi-\vartheta) += +i(n(\varphi-\vartheta)+rR\cos(\varphi-\vartheta)) ++ +in\vartheta, +\] +oder im Integral als +\[ +\tilde{F}(R,\vartheta) += +\sum_{n\in\mathbb{Z}} +\int_0^\infty +\hat{f}_n(r) +\frac{1}{2\pi} +\int_0^{2\pi} +e^{in(\varphi-\vartheta)+irR\cos(\varphi-\vartheta)} +e^{in\vartheta} +\,d\varphi +\, +r\,dr +\] +geschrieben werden. +Der zweite Exonentialfaktor hängt nicht von $\varphi$ ab und kann daher +aus dem Integral herausgezogen werden. +Der erste Exponentialfaktor hängt nur von $\varphi-\vartheta$ ab. +Da die Exponentialfunktion $2\pi$-periodisch ist, hat die Verschiebung +um $\vartheta$ keinen Einfluss auf den Wert des Integrals. +Die Fourier-Transformation ist daher auch +\[ +\tilde{F}(R,\vartheta) += +\sum_{n\in\mathbb{Z}} +\int_0^\infty +\hat{f}_n(r) +e^{in\vartheta} +\underbrace{ +\frac{1}{2\pi} +\int_0^{2\pi} +e^{in\varphi+irR\cos\varphi} +\,d\varphi +}_{\displaystyle =:F_n(rR)} +\, +r\,dr. +\] +Die Beziehung zu den Besselfunktionen können wir daraus herstellen, +indem wir zunächst $\xi = rR$ abkürzen und dann das innere Integral +\begin{equation} +F_n(\xi) += +\frac{1}{2\pi} +\int_{0}^{2\pi} +e^{in\varphi+i\xi\cos\varphi} +\,d\varphi += +\frac{1}{2\pi} +\int_{0}^{2\pi} +e^{in\varphi}e^{i\xi\cos\varphi} +\,d\varphi +\label{buch:fourier:eqn:Fncosphi} +\end{equation} +auswerten. +Exponentialfunktion als Potenzreihe entwickeln: +\[ +F_n(\xi) += +\frac{1}{2\pi} +\int_0^{2\pi} +e^{in\varphi} +\sum_{k=0}^\infty +\frac{ +i^k\xi^k \cos^k\varphi +}{k!} +\,d\varphi += +\sum_{k=0}^\infty +\frac{i^k\xi^k}{k!} +\underbrace{ +\frac{1}{2\pi} +\int_0^{2\pi} +e^{in\varphi} +\cos^k\varphi +\,d\varphi}_{\displaystyle =c_{n,k}}. +\] +Das Integral auf der rechten Seite ist im Wesentlichen ein +Fourier-Koeffizient der Funktion $\varphi\mapsto \cos^k\varphi$. + +\subsubsection{Berechnung der Fourier-Koeffizienten von $\cos^k\varphi$} +Indem man die Kosinus-Funktion als die Linearkombination +\[ +\cos\varphi += +\frac{e^{i\varphi}+e^{-i\varphi}}2 +\] +von Exponentialfunktionen ausdrückt, kann man auch die $k$-te Potenz +mit Hilfe des binomischen Satzes als +\[ +\cos^k\varphi += +\sum_{m=0}^k +\frac{1}{2^k} +\binom{k}{m} +e^{im\varphi}e^{i(m-k)\varphi} += +\sum_{m=0}^k +\frac{1}{2^k} +\binom{k}{m} +e^{i(2m-k)\varphi} +\] +ausdrücken. +Der Fourier-Koeffizient von $\cos^k\varphi$ ist daher das Integral +\begin{align*} +c_{n,k} +&= +\frac{1}{2\pi} +\int_0^{2\pi} +e^{in\varphi}\cos^k\varphi\,d\varphi +\\ +&= +\frac{1}{2^k} +\sum_{m=0}^k +\binom{k}{m} +\frac{1}{2\pi} +\int_0^{2\pi} +e^{in\varphi}e^{i(2m-k)\varphi} +\,d\varphi +\\ +&= +\frac{1}{2^k} +\sum_{m=0}^k +\binom{k}{m} +\frac{1}{2\pi} +\int_0^{2\pi} +e^{i(2m-k+n)\varphi} +\,d\varphi. +\end{align*} +Für $2m-k+n=0$ ist das Integral ein Integral der Funktion $1$ über +ein Intervall der Länge $2\pi$, zusammen mit dem Faktor $1/2\pi$ hat +es daher den Wert $1$. +Für $2m-k+n\ne 0$ ist das Integral +\[ +\frac{1}{2\pi} +\int_0^{2\pi} +e^{i(2m-k+n)\varphi} +\,d\varphi += +\frac{1}{i} +\biggl[ +\frac{e^{i(2m-k+n)\varphi}}{2m-k+n} +\biggr]_0^{2\pi} += +0 +\] +weil die Exponentialfunktion $2\pi$-periodisch ist. +Nur für $k=2m+n$ ergibt sich ein nicht verschwindender +Fourier-Koeffizient. +Eine Summe über $k\in\mathbb{N}$ kann daher auch als Summe über +$m\in\mathbb{N}$ interpretiert werden, in der $k$ durch die Formel +$k=2m+n$ gegeben wird. +Mit dieser Konvention wird +\[ +c_{n,k} += +c_{n,2m+n} +%= +%\frac{1}{2\pi} +%\int_0^{2\pi} +%e^{-i(2m+n)\varphi} +%\cos^{2m+n}\varphi +%\,d\varphi += +\frac{1}{2^{2m+n}} +\binom{2m+n}{m} +\] +schreiben lässt. + +\subsubsection{Berechnung von $F_n(\xi)$} +Die Reihe für $F_n(\xi)$ lässt sich weiter vereinfachen. +Wir verwenden wieder die Tatsache, dass sich nur für $n=-2m-k$ +ein Beitrag ergibt. +Dies bedeutet, dass $k=2m+n$ sein muss, die Summe kann damit als +Summe über $m$ statt über $k$ geschrieben werden. +Somit ist +\begin{align*} +F_n(\xi) +&= +\sum_{k=0}^\infty +\frac{i^k\xi^k}{k!} +c_{n,k} += +\sum_{m=0}^\infty +\frac{i^{2m+n}\xi^{2m+n}}{(2m+n)!} +c_{n,2m+n} +\\ +&= +\sum_{m=0}^\infty +\frac{1}{2^{2m+n}} +\binom{2m+n}{m} +\frac{i^{2m+n}\xi^{2m+n}}{(2m+n)!} +\\ +&= +i^n +\sum_{m=0}^\infty +\frac{(-1)^m}{(2m+n)!} +\frac{(2m+n)!}{m!\,(2m+n-m)!} +\biggl(\frac{\xi}{2}\biggr)^{2m+n} +\\ +&= +i^n +\sum_{m=0}^\infty +\frac{(-1)^m} +{m!\,\Gamma(m+n+1)} +\biggl(\frac{\xi}{2}\biggr)^{2m+n} += +i^n J_n(\xi). +\end{align*} +Die Funktionen $F_n(\xi)$ sind daher bis auf einen Phasenfaktor der +Wert $J_n(\xi)$ einer Bessel-Funktion. + +\subsubsection{Berechnung der Fourier-Transformation mit Bessel-Funktionen} +Mit allen oben zusammengestellten Notationen kann die Fourier-Transformation +jetzt in Polarkoordinaten als +\[ +\tilde{F}(R,\vartheta) += +\sum_{n\in\mathbb{Z}} +e^{in\vartheta} +\int_0^\infty +\hat{f}_n(r) +i^n +J_n(rR) +r\,dr +\] +geschrieben werden. +Dies hat tatsächlich die Form eines Skalarproduktes der Funktion +$\tilde{f}(r,\varphi)$ mit einer Funktion der Form +\[ +\tilde{e}_{n,R}(r,\varphi) += +e^{in\varphi} +J_n(rR). +\] +Letzeres sind die in Abschnitt~\ref{buch:fourier:section:2d} +versprochenen Basisfunktionen. + +\subsubsection{Fourier-Reihe von $e^{i\xi\cos\varphi}$} +Die Funktionen $F_n(\xi)$ sind wegen +\[ +F_n(\xi) += +\frac{1}{2\pi} +\int_0^{2\pi} +e^{in\varphi} +e^{i\xi\cos\varphi} +\,d\varphi, +\] +daraus kann man die Fourier-Reihe von $e^{i\xi\cos\varphi}$ +berechnen, dies wird im folgenden Satz durchgeführt. + + +\begin{satz} +\label{buch:fourier:satz:expinphi} +Die komplexe Fourier-Reihe der Funktion +$\varphi\mapsto \exp(i\xi\cos\varphi)$ +ist +\begin{align} +e^{i\xi\cos\varphi} +&= +J_0(\xi) ++ +2\sum_{n=1}^\infty i^n J_n(\xi) \cos n\varphi. +\label{buch:fourier:eqn:expinphicomplex}. +\intertext{Real- und Imaginärteil davon sind die Fourier-Reihen} +\cos(\xi\cos\varphi) +&= +J_0(\xi) + 2\sum_{m=1}^\infty (-1)^m J_{2m}(\xi) \cos2m\varphi +\label{buch:fourier:eqn:expinphireal} +\\ +\sin(\xi\cos\varphi) +&= +2\sum_{m=0}^\infty (-1)^m J_{2m+1}(\xi) \cos(2m+1)\varphi. +\label{buch:fourier:eqn:expinphiimaginary} +\end{align} +\end{satz} + +\begin{proof}[Beweis] +Die Fourier-Koeffizienten $F_n(\xi)$ der Funktion $e^{i\xi\cos\varphi}$ +führen auf die Fourier-Reihe +\begin{align*} +e^{i\xi\cos\varphi} +&= +\sum_{n\in\mathbb{Z}} F_n(\xi) e^{in\varphi} += +\sum_{n\in\mathbb{Z}} i^n J_n(\xi) e^{in\varphi}. +\end{align*} +Terme mit $\pm n$ können wegen +\[ +\left. +\begin{aligned} +J_{-n}(\xi) &= (-1)^n J_n(\xi) +\\ +i^{-n}&=(-1)^n i^n +\end{aligned} +\quad +\right\} +\qquad\Rightarrow\qquad +i^{-n}J_{-n}(\xi) = i^n J_n(\xi) +\] +zusammengefasst werden, auf diese Weise erhält man +\begin{align*} +e^{i\xi\cos\varphi} +&= +J_0(\xi) ++ +\sum_{n=1}^\infty i^n J_n(\xi) (e^{in\varphi}+e^{-in\varphi}) += +2\sum_{n=1}^\infty i^n J_n(\xi) \cos n\varphi. +\end{align*} +Dies beweist +\eqref{buch:fourier:eqn:expinphicomplex}. + +Indem man Real- und Imaginärteil trennt, kann man daraus auch +die Fourier-Reihen von $\cos(\xi\cos\varphi)$ und +$\sin(\xi\cos\varphi)$ gewinnen, sie sind +\begin{align*} +\exp(\xi\cos\varphi) +&= +J_0(\xi) + 2\sum_{n=1}^\infty i^{n} J_{n}(\xi) \cos n\varphi +\\ +&= +J_0(\xi) ++ +2\sum_{m=1}^\infty i^{2m}J_{2m}(\xi)\cos 2m\varphi ++ +2\sum_{m=0}^\infty i^{2m+1}J_{2m+1}(\xi)\cos(2m+1)\varphi +\\ +&= +J_0(\xi) ++ +2\sum_{m=1}^\infty (-1)^{m}J_{2m}(\xi)\cos 2m\varphi ++ +2i\sum_{m=0}^\infty (-1)^{m}J_{2m+1}(\xi)\cos(2m+1)\varphi +\\ +\cos(\xi\cos\varphi) +&= +J_0(\xi) ++ +2\sum_{m=1}^\infty (-1)^{m}J_{2m}(\xi)\cos 2m\varphi +\\ +\sin(\xi\cos\varphi) +&= +2\sum_{m=0}^\infty (-1)^m J_{2m+1}(\xi) \cos(2m+1)\varphi. +\end{align*} +Damit sind auch die Formeln +\eqref{buch:fourier:eqn:expinphireal} +und +\eqref{buch:fourier:eqn:expinphiimaginary} +für die reellen Fourier-Reihen bewiesen. +\end{proof} + +% +% Integraldarstellung der Bessel-Funktion +% +\subsection{Integraldarstellung der Bessel-Funktion} +Aus \eqref{buch:fourier:eqn:Fncosphi} kann jetzt die Integraldarstelltung +der Bessel-Funktionen gewonnen werden. +Dazu substituiert man $\varphi$ durch $\tau$ mit +$\varphi = \frac{\pi}2-\tau$ +oder +$\tau=\frac{\pi}2-\varphi$ +und $d\tau = -d\varphi$ +im Integral und berechnet +\begin{align*} +J_n(\xi) +&= +(-i)^n +\frac{1}{2\pi} +\int_0^{2\pi} +e^{in\varphi+i\xi \cos\varphi} +\,d\varphi +\\ +&= +- +(-i)^n +\frac{1}{2\pi} +\int_{\frac{\pi}2}^{-\frac{3\pi}2} +e^{in(\frac{\pi}2-\tau) + i\xi\cos(\frac{\pi}2-\tau)} +\,d\tau +\\ +&= +(-i)^n +\frac{1}{2\pi} +\int^{\frac{\pi}2}_{-\frac{3\pi}2} +i^n +e^{-in\tau + i\xi\sin\tau)} +\,d\tau. +\intertext{Da der Integrand $2\pi$-periodisch ist, kann das +Integrationsintervall auf $[-\pi,\pi]$ verschoben werden, was} +&= +\frac{1}{2\pi} +\int_{-\pi}^{\pi} +e^{-in\tau + i\xi\sin\tau)} +\,d\tau. +\intertext{ergibt. +Das Integral kann in zwei Integrale} +&= +\frac{1}{2\pi} +\int_0^\pi +e^{-in\tau + i\xi\sin\tau} +\,d\tau ++ +\frac{1}{2\pi} +\int_0^\pi +e^{in\tau - i\xi\sin\tau} +\,d\tau +\intertext{aufgeteilt werden, +} +&= +\frac{1}{\pi} +\int_0^\pi +\frac{ +e^{-in\tau + i\xi\sin\tau} ++ +e^{in\tau - i\xi\sin\tau} +}{2} +\,d\tau +\\ +&= +\frac{1}{\pi} +\int_0^\pi +\frac{ +e^{i(-n\tau + \xi\sin\tau)} ++ +e^{-i(-n\tau + \xi\sin\tau)} +}{2} +\,d\tau +\\ +&= +\frac{1}{\pi} +\int_0^\pi +\cos(n\tau - \xi\sin\tau) +\,d\tau. +\end{align*} +Damit haben wir den folgenden Satz bewiesen: + +\begin{satz}[Integraldarstelltung der Bessel-Funktionen] +\label{buch:fourier:satz:bessel-integraldarstellung} +Die Bessel-Funktionen $J_n$ mit ganzzahliger Ordnung $n$ haben +die Integraldarstellung +\begin{equation} +J_n(\xi) += +\frac{1}{\pi} +\int_0^\pi +\cos(n\tau - \xi\sin\tau) +\,d\tau. +\label{buch:fourier:eqn:bessel-integraldarstellung} +\end{equation} +\end{satz} + + + + diff --git a/buch/chapters/075-fourier/chapter.tex b/buch/chapters/075-fourier/chapter.tex index 341d8df..681a1c0 100644 --- a/buch/chapters/075-fourier/chapter.tex +++ b/buch/chapters/075-fourier/chapter.tex @@ -13,7 +13,8 @@ führen zu neuen speziellen Funktionen. In diesem Kapitel soll als Beispiel die Fourier-Transformation der Bessel-Funktionen untersucht werden. -%\input{chapters/075-fourier/bessel.tex} +\input{chapters/075-fourier/2d.tex} +\input{chapters/075-fourier/bessel.tex} %\section{TODO} %\begin{itemize} diff --git a/buch/chapters/080-funktionentheorie/Makefile.inc b/buch/chapters/080-funktionentheorie/Makefile.inc index 813865f..779cd80 100644 --- a/buch/chapters/080-funktionentheorie/Makefile.inc +++ b/buch/chapters/080-funktionentheorie/Makefile.inc @@ -4,7 +4,7 @@ # (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule # -CHAPTERFILES = $(CHAPTERFILES) \ +CHAPTERFILES += \ chapters/080-funktionentheorie/holomorph.tex \ chapters/080-funktionentheorie/analytisch.tex \ chapters/080-funktionentheorie/cauchy.tex \ @@ -12,6 +12,7 @@ CHAPTERFILES = $(CHAPTERFILES) \ chapters/080-funktionentheorie/anwendungen.tex \ chapters/080-funktionentheorie/gammareflektion.tex \ chapters/080-funktionentheorie/carlson.tex \ + chapters/080-funktionentheorie/singularitaeten.tex \ chapters/080-funktionentheorie/uebungsaufgaben/1.tex \ chapters/080-funktionentheorie/uebungsaufgaben/2.tex \ chapters/080-funktionentheorie/chapter.tex diff --git a/buch/chapters/080-funktionentheorie/anwendungen.tex b/buch/chapters/080-funktionentheorie/anwendungen.tex index e02fb3e..4cdf9be 100644 --- a/buch/chapters/080-funktionentheorie/anwendungen.tex +++ b/buch/chapters/080-funktionentheorie/anwendungen.tex @@ -8,3 +8,4 @@ \input{chapters/080-funktionentheorie/gammareflektion.tex} \input{chapters/080-funktionentheorie/carlson.tex} +\input{chapters/080-funktionentheorie/singularitaeten.tex} diff --git a/buch/chapters/080-funktionentheorie/images/operator-1.pdf b/buch/chapters/080-funktionentheorie/images/operator-1.pdf Binary files differnew file mode 100644 index 0000000..4ba1346 --- /dev/null +++ b/buch/chapters/080-funktionentheorie/images/operator-1.pdf diff --git a/buch/chapters/080-funktionentheorie/images/operator.mp b/buch/chapters/080-funktionentheorie/images/operator.mp new file mode 100644 index 0000000..35f4303 --- /dev/null +++ b/buch/chapters/080-funktionentheorie/images/operator.mp @@ -0,0 +1,46 @@ +% +% operatormp -- Seitz-Kull-Operator in Metapost +% +% (c) 2016 Prof Dr Andreas Mueller, Hochschule Rapperswil +% +verbatimtex +\documentclass{book} +\usepackage{times} +\usepackage{amsmath} +\usepackage{amssymb} +\usepackage{amsfonts} +\usepackage{txfonts} +\begin{document} +etex; + +beginfig(1) + +label(btex $A$ etex, (0,0)); + +path circle; + +numeric r; +r := 4.7; +numeric b; +b := 0.45; + +circle := r * (cosd(40), sind(40)); + +for alpha = 41 step 1 until 370: + circle := circle--(r * (cosd(alpha), sind(alpha))); +endfor; + +path head; +head := (0,0)--(5,-3)--(0,6)--(-5,-3)--cycle; + +z1 = (-0.3,-0.4); + +pickup pencircle scaled b; +draw circle shifted z1; +fill head scaled 0.2 rotated 10 shifted (r,0) rotated 10 shifted z1; + +endfig; + +end + + diff --git a/buch/chapters/080-funktionentheorie/singularitaeten.tex b/buch/chapters/080-funktionentheorie/singularitaeten.tex new file mode 100644 index 0000000..71d1844 --- /dev/null +++ b/buch/chapters/080-funktionentheorie/singularitaeten.tex @@ -0,0 +1,427 @@ +% +% singularitaeten.tex +% +% (c) 2022 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\newcommand*\sk{\vcenter{\hbox{\includegraphics[scale=0.8]{chapters/080-funktionentheorie/images/operator-1.pdf}}}} + +\subsection{Lösungen von linearen Differentialgleichungen mit Singularitäten +\label{buch:funktionentheorie:subsection:dglsing}} +Die Potenzreihenmethode hat ermöglicht, mindestens eine Lösung gewisser +linearer Differentialgleichungen zu finden. +Bei Differentialgleichungen wie der Besselschen Differentialgleichung, +deren Koeffizienten Singularitäten aufweisen, konnte aber nur eine +Lösung gefunden werden, während die Theorie verlangt, dass eine +Differentialgleichung zweiter Ordnung zwei linear unabhängige Lösungen +haben muss. + +Ziel dieses Abschnitts ist zu zeigen, warum dies nicht möglich war und +wie diese Schwierigkeit mit Hilfe der analytischen Fortsetzung überwunden +werden kann. + +\subsubsection{Differentialgleichungen mit Singularitäten} +Mit der Besselschen +Differentialgleichung~\eqref{buch:differentialgleichungen:eqn:bessel} +ist es nicht möglich, die zweite Ableitung $y''(0)$ an der Stelle $x=0$ +zu bestimmen. +Die Differentialgleichung kann an der Stelle $x=0$ nicht nach $y''$ +aufgelöst werden. +Wenn man die Differentialgleichung in ein Differntialgleichungssystem +\[ +\frac{d}{dx} +\begin{pmatrix} +y_1\\y_2 +\end{pmatrix} += +\begin{pmatrix} +0&1\\ +1-\frac{\alpha^2}{x^2} +& +-\frac{1}{x} +\end{pmatrix} +\begin{pmatrix} +y_1\\y_2 +\end{pmatrix} +\] +erster Ordnung umwandelt, zeigt sich an der Stelle $x=0$ eine +Singularität in der Matrix, die Ableitung kann also für $x=0$ +nicht bestimmt werden. +In einer Umgebung von $x=0$ erfüllt die Differentialgleichung +die Voraussetzungen bekannter Existenz- und Eindeutigkeitssätze +für gewöhnliche Differentialgleichungen nicht. + +Ein ähnliches Problem tritt bei jeder hypergeometrischen +Differentialgleichung auf. +Diese werden gemäss Abschnitt +\ref{buch:differentialgleichungen:section:hypergeometrisch} +aus den Differentialoperatoren +\[ +D_a=z\frac{d}{dz} + a +\] +zusammengesetzt. +Die Ableitung höchster Ordnung eines Produktes solcher Operationen ist +\[ +D_{a_1} +\cdots +D_{a_p} += +z^p\frac{d^p}{dz^p} + \text{Ableitungen niedrigerer Ordnung}. +\] +Dies zeigt, dass für $p>0$ oder $q>0$ ein Faktor $x$ bei der +Ableitung höchster Ordnung unvermeidlich ist, die Differentialgleichung +kann also wieder nicht nach dieser Ableitung aufgelöst werden und +erfüllt die Voraussetzungen der Existenz- und Eindeutigkeitssätze +in einer Umgebung von $x=0$ wieder nicht. + +Die Besselsche Differentialgleichung +hat auch nicht die Form $y''+p(x)xy'+q(x)=0$, die der Theorie der +Indexgleichung zugrunde lag. +Daher kann es auch keine Garantie geben, dass die Methode der +verallgemeinerten Potenzreihen zwei linear unabhängige Lösungen +liefern kann. +Tatsächlich wurde für ganzzahlige $n$ wegen $J_n(x) = (-1)^n J_{-n}(x)$ +nur eine Lösung statt der erwarteten zwei linear unabhängigen +Lösungen gefunden. + +Sind die Koeffizienten einer linearen Differentialgleichungen wie +in den genannten Beispielen singulär bei $x=0$, kann man auch nicht +erwarten, dass die Lösungen singulär sind. +Dies war schliesslich die Motivation, einen Lösungsansatz mit einer +verallgemeinerten Potenzreihe zu versuchen. +Mit den Funktion $x^\varrho$ lässt sich bereits eine recht grosse +Klasse von Singularitäten beschreiben, aber es ist nicht klar, +welche weiteren Arten von Singularitäten berücksichtigt werden sollten. +Dies soll im Folgenden geklärt werden. + +\subsubsection{Der Lösungsraum einer Differentialgleichung zweiter Ordnung} +Eine Differentialgleichung $n$-ter Ordnung hat lokal einen $n$-dimensionalen +Vektorraum als Lösungsraum. + +\begin{definition} +Sei +\begin{equation} +\sum_{k=0}^n a_k(x) y^{(n)}(x) = 0 +\label{buch:funktionentheorie:singularitaeten:eqn:defdgl} +\end{equation} +eine Differentialgleichung $n$-ter Ordnung mit analytischen Koeffizienten +und $x_0\in \mathbb{C}$. +Dann ist +\[ +\mathbb{L}_{x_0} += +\left\{ +y(x) +\;\left|\; +\begin{minipage}{6cm} +$y$ ist Lösung der Differentialgleichung +\eqref{buch:funktionentheorie:singularitaeten:eqn:defdgl} +in einer Umgebung von $x_0$ +\end{minipage} +\right. +\right\} +\] +der Lösungsraum der Differentialgleichung +\eqref{buch:funktionentheorie:singularitaeten:eqn:defdgl}. +Wenn der Punkt $x_0$ aus dem Kontext klar ist, kann er auch weggelassen +werden: $\mathbb{L}_{x_0}=\mathbb{L}$. +\end{definition} + +\subsubsection{Analytische Fortsetzung auf einem Weg um $0$} +Die betrachteten Differentialgleichungen haben holomorphe +Koeffizienten, Lösungen der Differentialgleichung lassen sich +daher immer in die komplexe Ebene fortsetzen, solange man die +Singularitäten der Koeffizienten vermeidet. +Hat eine Funktion $y(z)$ eine Laurent-Reihe +\[ +y(z) = \sum_{k=-\infty}^\infty a_kz^k, +\] +dann ist sie automatisch in einer Umgebung von $0$ definiert +ausser in $0$. +Die analytische Fortsetzung entlang eines Pfades, der $0$ +umschliesst, ist die Funktion $y(z)$ selbst. + +Für die Wurzelfunktion $y(z)=z^{\frac1n}$ ist dies nicht möglich. +Die analytische Fortsetzung von $\sqrt[n]{x}$ auf der positiven reellen +Achse entlang einer Kurve, die $0$ umschliesst, +produziert die Funktion +\[ +\sqrt[n]{z} += +\sqrt[n]{re^{i\varphi}} += +\sqrt[n]{r}e^{i\frac{\varphi}n}, +\] +die für $\varphi=2\pi$ zu $e^{i\frac{2\pi}n}\sqrt{x}$ wird. +Verallgemeinerte Potenzreihen als Lösungen zeigen daher, dass +die analytische Fortsetzung der Lösung entlang eines Pfades um +eine Singularität nicht mit der Lösung übereinstimmen muss. +Das Studium dieser analytischen Fortsetzung dürfte daher zusätzliche +Informationen über die Lösung hervorbringen. + +\begin{definition} +Der {\em Fortsetzungsoperator} $\sk$ ist der lineare Operator, der eine +in einem Punkt $x\in\mathbb{R}^+$ analytische Funktion $f(x)$ entlang eines +geschlossenen Weges fortsetzt, der $0$ im Gegenuhrzeigersinn umläuft. +Die Einschränkung der analytischen Fortsetzung auf $\mathbb{R}^+$ wird +mit $\sk f(x)$ bezeichnet. +\end{definition} + +Die obengenannten Beispiele lassen sich mit dem Operator $\sk$ als +\[ +\begin{aligned} +\sk z^n +&= +z^n +&\qquad& n \in \mathbb{Z} +\\ +\sk +\sum_{k=-\infty}^\infty a_kz^k +&= +\sum_{k=-\infty}^\infty a_kz^k +\\ +\sk z^\varrho +&= +e^{2\pi i\varrho} z^\varrho +\end{aligned} +\] +schreiben. + +\subsubsection{Rechenregeln für die analytische Fortsetzung} +Der Operator $\sk$ ist ein Algebrahomomorphismus, d.~h.~für zwei analytische +Funktionen $f$ und $g$ gilt +\[ +\begin{aligned} +\sk(\lambda f + \mu g) +&= +\lambda \sk f + \mu \sk g +\\ +\sk(fg) +&= +(\sk f)(\sk g) +\end{aligned} +\] +für beliebige $\lambda,\mu\in\mathbb{C}$. +Ist $f$ eine in ganz $\mathbb{C}$ holomorphe Funktion, dann lässt sie +sich mit Hilfe einer Potenzreihe berechnen. +Der Wert $f(g(z))$ entsteht durch Einsetzen von $g(z)$ in die Potenzreihe. +Analytische Fortsetzung mit $\sk$ reproduziert jeden einzelnen Term +der Potenzreihe, es folgt +$\sk f(g(z)) = f(\sk g(z))$. +Ebenso folgt auch, dass der Operator $\sk$ mit der Ableitung +vertauscht, dass also +\[ +\frac{d^n}{dz^n}(\sk f) += +\sk(f^{(n)}). +\] + + +\subsubsection{Analytische Fortsetzung von Lösungen einer Differentialgleichung} +Wir untersuchen jetzt die Wirkung des Operators $\sk$ auf +den Lösungsraum $\mathbb{L}$ einer Differentialgleichung mit +analytischen Koeffizienten, die in einer Umgebung von $0$ +definiert sind. +Auf den Koeffizienten wirkt $\sk$ als die Identität. +Ist $y(x)$ eine Lösung der Differentialgleichung, dann gilt +\[ +0 += +\sk\biggl( +\sum_{k=0}^n a_k(x) y^{(n)}(x) +\biggr) += +\sum_{k=0}^n (\sk a_k)(x) \cdot (\sk y)^{(n)}(x) += +\sum_{k=0}^n a_k(x) \cdot (\sk y)^{(n)}(x), +\] +somit ist $\sk y$ ebenfalls eine Lösung. +Wir schliessen daraus, dass $\sk$ eine lineare Abbildung +$\mathbb{L}\to\mathbb{L}$ ist. + +Der Lösungsraum einer Differentialgleichung $n$-ter Ordnung +ist $n$-dimensional. +Nach Wahl einer Basis des Lösungsraums kann der Operator $\sk$ +mit Hilfe einer Matrix $A\in M_{n\times n}(\mathbb{C})$ beschrieben werden. +Sei $\mathscr{W}=\{w_1,\dots,w_n\}$ eine Basis des Lösungsraums, dann +kann $\sk w_j$ wieder eine Lösung der Differentialgleichung +und kann daher geschrieben werden als Linearkombination +\begin{equation} +\sk w_j += +\sum_{k=1}^n +a_{jk} w_k +\end{equation} +der Funktionen in $\mathscr{W}$. + +Die Matrix $A$ mit den Einträgen $a_{jk}$ kann durch Wahl einer +geeigneten Basis in besonders einfache Form gebracht. +Wir führen diese Diskussion im folgenden nur für eine Differentialgleichung +zweiter Ordnung $n=2$. + + +\subsubsection{Fall $A$ diagonalisierbar: verallgemeinerte Potenzreihen} +In diesem Fall kann man die Lösungsfunktionen $w_1$ und $w_2$ so +wählen, dass die Matrix +\[ +A=\begin{pmatrix}\lambda_1&0\\0&\lambda_2\end{pmatrix} +\] +diagonal wird mit Eigenwerten $\lambda_j$, $j=1,2$. +Dies bedeutet, dass $\sk w_j = \lambda_j w_j$. +Wir schreiben +\[ +\varrho_j = \frac{1}{2\pi i} \log\lambda_j. +\] +Der Logarithmus ist nicht eindeutig, er ist nur bis auf ein Vielfaches +von $2\pi i$ bestimmt. +Folglich aus auch $\varrho_j$ nicht eindeutig bestimmt, eine +andere Wahl des Logarithmus ändert $\varrho_j$ aber um eine ganze Zahl. + +Die Funktion $z^{\varrho_j}$ wird unter der Wirkung von $\sk$ zu +\[ +\sk z^{\varrho_j} += +e^{2\pi i\varrho_j} z^{\varrho_j} += +e^{\log \lambda_j} z^{\varrho_j} += +\lambda_j z^{\varrho_j}. +\] +Auf den Funktionen $z^{\varrho_j}$ und $w_j$ wirkt der Operator $\sk$ +also die gleich durch Multiplikation mit $\lambda_j$. +Deren Quotient +\[ +f(z) = \frac{w_j(z)}{z^{\varrho_j}} +\qquad\text{erfüllt}\qquad +\sk f += +\frac{\sk w_j}{\sk z^{\varrho_j}} += +\frac{\lambda_j w_j}{\lambda_j z^{\varrho_j}} += +\frac{w_j}{z^{\varrho_j}} += +f. +\] +Die Funktion $f$ kann daher als Laurent-Reihe +\[ +f(z) += +\sum_{k=-\infty}^\infty a_kz^k +\] +geschrieben werden. +Die Lösung $w_2(z)$ muss daher die Form +\begin{equation} +w_j(z) += +z^{\varrho_j} f(z) += +z^{\varrho_j} \sum_{k=-\infty}^\infty a_kz^k +\end{equation} +haben, also die einer verallgemeinerten Potenzreihe. +Auch hier zeigt sich, dass die Wahl des Logarithmus in der Definition +von $\varrho_j$ unbedeutend ist, sie äussert sich nur in einer +Verschiebung der Koeffizienten $a_k$. + +Falls der Operator $\sk$ also diagonalisierbar ist, dann gibt es +zwei linear unabhängige Lösungen der Differentialgleichung in der +Form einer verallgemeinerten Potenzreihe. + +\subsubsection{Fall $A$ nicht diagonalisierbar: logarithmische Lösungen} +Falls die Matrix $A$ nicht diagonalisierbar ist, hat sie nur einen +Eigenwert $\lambda$ und kann durch geeignete Wahl einer Basis in +Jordansche Normalform +\[ +A += +\begin{pmatrix} +\lambda & 1 \\ + 0 & \lambda +\end{pmatrix} +\] +gebracht werden. +Dies bedeutet, dass +\begin{align*} +\sk w_1 &= \lambda w_1 + w_2 +\\ +\sk w_2 &= \lambda w_2. +\end{align*} +Die Funktion $w_2$ hat unter $\sk$ die gleichen Eigenschaften +wie im diagonalisierbaren Fall, man kann also wieder schliessen, +dass $w_2$ durch eine verallgemeinerte Potenzreihe mit +\[ +\varrho=\frac{1}{2\pi i} \log \lambda +\] +dargestellt werden kann. + +Für den Quotienten $w_1/w_2$ findet man jetzt das Bild +\begin{equation} +\sk \frac{w_1}{w_2} += +\frac{\sk w_1}{\sk w_2} += +\frac{\lambda w_1+w_2}{\lambda w_2} += +\frac{w_1}{w_2} + \frac{1}{\lambda} +\label{buch:funktionentheorie:singularitaeten:sklog} +\end{equation} +Das Verhalten von $w_1$ unter $\sk$ in +\eqref{buch:funktionentheorie:singularitaeten:sklog} +ist dasselbe wie bei $\log(z)/\lambda$, denn +\[ +\sk \frac{\log(z)}{\lambda} += +\frac{\log(z)}{\lambda} + 1. +\] +Die Differenz $w_1-\log(z)/\lambda$ wird bei der analytischen +Fortsetzung zu +\[ +\sk\biggl( +\frac{w_1}{w_2}-\frac{\log(z)}{\lambda} +\biggr) += +\sk \frac{w_1}{w_2} - \sk\frac{\log(z)}{\lambda} += +\frac{w_1}{w_2} + \frac{1}{\lambda} +- +\frac{\log(z)}{\lambda} +-\frac{1}{\lambda} += +\frac{w_1}{w_2}-\frac{\log(z)}{\lambda}. +\] +Die Differenz ist daher wieder als Laurent-Reihe +\[ +\frac{w_1}{w_2}-\frac{\log(z)}{\lambda} += +\sum_{k=-\infty}^\infty b_kz^k +\] +darstellbar, was nach $w_1$ aufgelöst +\[ +w_1(z) += +\frac{1}{\lambda} \log(z) w_2(z) ++ +w_2(z) \sum_{k=-\infty}^\infty b_kz^k +\] +ergibt. +Da $w_2$ eine verallgemeinerte Potenzreihe ist, kann man dies auch +als +\begin{equation} +w_1(z) += +c \log(z) w_2(z) ++ +z^{\varrho} +\sum_{k=-\infty}^{\infty} c_kz^k +\label{buch:funktionentheorie:singularitäten:eqn:w1} +\end{equation} +schreiben, wobei Konstanten $c$ und $c_k$ noch bestimmt werden müssen. +Setzt man +\eqref{buch:funktionentheorie:singularitäten:eqn:w1} +in die ursprüngliche Differentialgleichung ein, verschwindet der +$\log(z)$-Term und für die verbleibenden Koeffizienten kann die +bekannte Methode des Koeffizientenvergleichs verwendet werden. + +\subsubsection{Bessel-Funktionen zweiter Art} + + + diff --git a/buch/chapters/090-pde/Makefile.inc b/buch/chapters/090-pde/Makefile.inc index a9ef74a..5b52d27 100644 --- a/buch/chapters/090-pde/Makefile.inc +++ b/buch/chapters/090-pde/Makefile.inc @@ -4,10 +4,11 @@ # (c) 2022 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule # -CHAPTERFILES = $(CHAPTERFILES) \ +CHAPTERFILES += \ chapters/090-pde/gleichung.tex \ chapters/090-pde/separation.tex \ chapters/090-pde/rechteck.tex \ chapters/090-pde/kreis.tex \ chapters/090-pde/kugel.tex \ + chapters/090-pde/uebungsaufgaben/901.tex \ chapters/090-pde/chapter.tex diff --git a/buch/chapters/090-pde/chapter.tex b/buch/chapters/090-pde/chapter.tex index db909ee..a393da5 100644 --- a/buch/chapters/090-pde/chapter.tex +++ b/buch/chapters/090-pde/chapter.tex @@ -21,11 +21,11 @@ deren Lösungen spezielle Funktionen sind. \input{chapters/090-pde/kreis.tex} \input{chapters/090-pde/kugel.tex} -%\section*{Übungsaufgaben} -%\rhead{Übungsaufgaben} -%\aufgabetoplevel{chapters/020-exponential/uebungsaufgaben} -%\begin{uebungsaufgaben} -%\uebungsaufgabe{0} +\section*{Übungsaufgaben} +\rhead{Übungsaufgaben} +\aufgabetoplevel{chapters/090-pde/uebungsaufgaben} +\begin{uebungsaufgaben} +\uebungsaufgabe{901} %\uebungsaufgabe{1} -%\end{uebungsaufgaben} +\end{uebungsaufgaben} diff --git a/buch/chapters/090-pde/gleichung.tex b/buch/chapters/090-pde/gleichung.tex index 7f65f06..583895d 100644 --- a/buch/chapters/090-pde/gleichung.tex +++ b/buch/chapters/090-pde/gleichung.tex @@ -5,6 +5,7 @@ % \section{Gleichungen und Randbedingungen \label{buch:pde:section:gleichungen-und-randbedingungen}} +\rhead{Gebiete, Gleichungen und Randbedingungen} \subsection{Gebiete, Differentialoperatoren, Randbedingungen} diff --git a/buch/chapters/090-pde/kreis.tex b/buch/chapters/090-pde/kreis.tex index a24b6bb..a8cab3e 100644 --- a/buch/chapters/090-pde/kreis.tex +++ b/buch/chapters/090-pde/kreis.tex @@ -5,6 +5,7 @@ % \section{Kreisförmige Membran \label{buch:pde:section:kreis}} +\rhead{Kreisförmige Membran} In diesem Abschnitt soll die Differentialgleichung einer kreisförmigen Membran mit Hilfe der Separationsmethode gelöst werden. Dabei werden die Bessel-Funktionen als Lösungsfunktionen @@ -32,7 +33,7 @@ Der Laplace-Operator hat in Polarkoordinaten die Form \frac1r \frac{\partial}{\partial r} + -\frac{1}{r 2} +\frac{1}{r^2} \frac{\partial^2}{\partial\varphi^2}. \label{buch:pde:kreis:laplace} \end{equation} @@ -120,7 +121,7 @@ für $\Phi(\varphi)$. Die Gleichung für $\Phi$ hat für $\mu\ne 0$ die Lösungen \begin{align*} \Phi(\varphi) &= \cos\mu\varphi -\text{und}\qquad +&&\text{und}& \Phi(\varphi) &= \sin\mu\varphi. \end{align*} Die Lösung muss aber auch stetig sein, d.~h.~es muss $\Phi(0)=\Phi(2\pi)$ diff --git a/buch/chapters/090-pde/kugel.tex b/buch/chapters/090-pde/kugel.tex index 0e3524f..ee56316 100644 --- a/buch/chapters/090-pde/kugel.tex +++ b/buch/chapters/090-pde/kugel.tex @@ -5,4 +5,386 @@ % \section{Kugelfunktionen \label{buch:pde:section:kugel}} +\rhead{Kugelfunktionen} +Kugelsymmetrische Probleme können oft vorteilhaft in Kugelkoordinaten +beschrieben werden. +Die Separationsmethode kann auf partielle Differentialgleichungen +mit dem Laplace-Operator angewendet werden. +Die daraus resultierenden gewöhnlichen Differentialgleichungen führen +einerseits auf die Laguerre-Differentialgleichung für den radialen +Anteil sowie auf Kugelfunktionen für die Koordinaten der +geographischen Länge und Breite. + +\subsection{Kugelkoordinaten} +Wir verwenden Kugelkoordinaten $(r,\vartheta,\varphi)$, wobei $r$ +der Radius ist, $\vartheta$ die geographische Breite gemessen vom +Nordpol der Kugel und $\varphi$ die geographische Breite. +Der Definitionsbereich für Kugelkoordinaten ist +\[ +\Omega += +\{(r,\vartheta,\varphi) +\;|\; +r\ge 0\wedge +0\le \vartheta\le \pi\wedge +0\le \varphi< 2\pi +\}. +\] +Die Entfernung eines Punktes von der $z$-Achse ist $r\sin\vartheta$. +Daraus lassen sich die karteischen Koordinaten eines Punktes mit Hilfe +von +\[ +\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix} += +\begin{pmatrix} +r\cos\vartheta\\ +r\sin\vartheta\cos\varphi\\ +r\sin\vartheta\sin\varphi +\end{pmatrix}. +\] +Man beachte, dass die Punkte auf der $z$-Achse keine eindeutigen +Kugelkoordinaten haben. +Sie sind charakterisiert durch $r\sin\vartheta=0$, was $\cos\vartheta=\pm1$ +impliziert. +Entsprechend führen alle Werte von $\varphi$ auf den gleichen Punkt +$(0,0,\pm r)$. + +\subsection{Der Laplace-Operator in Kugelkoordinaten} +Der Laplace-Operator in Kugelkoordinaten lautet +\begin{align} +\Delta +&= +\frac{1}{r^2} \frac{\partial}{\partial r}r^2\frac{\partial}{\partial r} ++ +\frac{1}{r^2\sin\vartheta}\frac{\partial}{\partial\vartheta} +\sin\vartheta\frac{\partial}{\partial\vartheta} ++ +\frac{1}{r^2\sin^2\vartheta}\frac{\partial^2}{\partial\varphi^2}. +\label{buch:pde:kugel:laplace1} +\intertext{Dies kann auch geschrieben werden als} +&= +\frac{\partial^2}{\partial r^2} ++ +\frac{2}{r}\frac{\partial}{\partial r} ++ +\frac{1}{r^2\sin\vartheta}\frac{\partial}{\partial\vartheta} +\sin\vartheta\frac{\partial}{\partial\vartheta} ++ +\frac{1}{r^2\sin^2\vartheta}\frac{\partial^2}{\partial\varphi^2} +\label{buch:pde:kugel:laplace2} +\intertext{oder} +&= +\frac{1}{r} +\frac{\partial^2}{\partial r^2} r ++ +\frac{1}{r^2\sin\vartheta}\frac{\partial}{\partial\vartheta} +\sin\vartheta\frac{\partial}{\partial\vartheta} ++ +\frac{1}{r^2\sin^2\vartheta}\frac{\partial^2}{\partial\varphi^2}. +\label{buch:pde:kugel:laplace3} +\end{align} +Dabei ist zu berücksichtigen, dass mit der Notation gemeint ist, +dass ein Ableitungsoperator auf alles wirkt, was rechts im gleichen +Term steht. +Der Operator +\[ +\frac{1}{r} +\frac{\partial^2}{\partial r^2}r +\quad\text{wirkt daher als}\quad +\frac{1}{r} +\frac{\partial^2}{\partial r^2}rf += +\frac{1}{r} +\frac{\partial}{\partial r}\biggl(f + r\frac{\partial f}{\partial r}\biggr) += +\frac{1}{r} +\frac{\partial f}{\partial r} ++ +\frac{1}{r} +\frac{\partial f}{\partial r} ++ +\frac{\partial^2f}{\partial r^2}. += +\frac{2}{r}\frac{\partial f}{\partial r} ++ +\frac{\partial^2f}{\partial r^2}, +\] +was die Äquivalenz der beiden Formen +\eqref{buch:pde:kugel:laplace2} +und +\eqref{buch:pde:kugel:laplace3} +rechtfertigt. +Auch die Äquivalenz mit +\eqref{buch:pde:kugel:laplace1} +kann auf ähnliche Weise verstanden werden. + +Die Herleitung dieser Formel ist ziemlich aufwendig und soll hier +nicht dargestellt werden. +Es sei aber darauf hingewiesen, dass sich für $\vartheta=\frac{\pi}2$ +wegen $\sin\vartheta=\sin\frac{\pi}2=1$ +der eingeschränkte Operator +\[ +\Delta += +\frac{1}{r^2}\frac{\partial }{\partial r} r^2\frac{\partial}{\partial r} ++ +\frac{1}{r^2}\frac{\partial^2}{\partial\varphi^2} +\] +ergibt. +Wendet man wie oben die Produktregel auf den ersten Term an, entsteht die +Form +\[ +\frac{\partial^2}{\partial r^2} ++ +\frac{2}{r} +\frac{\partial}{\partial r} ++ +\frac{1}{r^2}\frac{\partial^2}{\partial\varphi^2} +\] +die {\em nicht} übereinstimmt mit dem Laplace-Operator in +Polarkoordinaten~\eqref{buch:pde:kreis:laplace}. +Der Unterschied rührt daher, dass der Laplace-Operator die Krümmung +der Koordinatenlinien berücksichtigt, in diesem Fall der Meridiane. + +\subsection{Separation} +In Abschnitt~\ref{buch:pde:subsection:eigenwertproblem} +wurde bereits gzeigt, wie die Wellengleichung +\[ +\frac{1}{c^2} +\frac{\partial^2 U}{\partial t^2} +-\Delta U += +0 +\] +durch Separation der Zeit auf ein Eigenwertproblem für eine +Funktion $u$ reduziert werden kann, die nur von den Ortskoordinaten +abhängt. +Es geht also nur noch darum, dass Eigenwertproblem +\[ +\Delta u = -\lambda^2 u +\] +mit geeigneten Randbedingungen zu lösen. +Dazu gehören einerseits eventuelle Gebietsränder, die im Moment +nicht interessieren. +Andererseits muss sichergestellt sein, dass die Lösungsfunktionen +stetig und differentierbar sind an den Orten, wo das Koordinatensystem +singulär ist. +So müssen $u(r,\vartheta,\varphi)$ $2\pi$-periodisch in $\varphi$ sein. +% XXX Ableitungen + +\subsubsection{Separation des radialen Anteils} +Für das Eigenwertproblem verwenden wir den Ansatz +\[ +u(r,\vartheta,\varphi) += +R(r) \Theta(\vartheta) \Phi(\varphi), +\] +den wir in die Differentialgleichung einsetzen. +So erhalten wir +\[ +\biggl(\frac{1}{r^2}R''(r)+\frac{2}{r}R'(r) \biggr) +\Theta(\vartheta)\Phi(\varphi) ++ +R(r) +\frac{1}{r^2\sin\vartheta} +\frac{\partial}{\partial\vartheta}(\sin\vartheta \Theta'(\vartheta)) +\Phi(\varphi) ++ +R(r)\Theta(\vartheta) +\frac{1}{r^2\sin\vartheta} \Phi''(\varphi) += +-\lambda^2 R(r)\Theta(\vartheta)\Phi(\varphi). +\] +Die Gleichung lässt sich nach Multiplikation mit $r^2$ und +Division durch $u$ separieren in +\begin{equation} +\frac{R''(r)+2rR'(r)+\lambda^2r^2}{R(r)} ++ +\frac{1}{\Theta(\vartheta) \sin\vartheta} +\frac{\partial}{\partial\vartheta}\sin\vartheta\Theta'(\vartheta) ++ +\frac{1}{\sin^2\vartheta}\frac{\Phi''(\varphi)}{\Phi(\varphi)} += +0 +\label{buch:pde:kugel:separiert2} +\end{equation} +Der erste Term hängt nur von $r$ ab, die anderen nur von $\vartheta$ und +$\varphi$, daher muss der erste Term konstant sein. +Damit ergbit sich für den Radialanteil die gewöhnliche Differentialgleichung +\[ +R''(r) + 2rR'(r) +\lambda^2 r^2 = \mu^2 R(r), +\] +die zum Beispiel mit der Potenzreihenmethode gelöst werden kann. +Sie kann aber durch eine geeignete Substition nochmals auf die +Laguerre-Differentialgleichung reduziert werden, wie in +Kapitel~\ref{chapter:laguerre} dargelegt wird. + +\subsubsection{Kugelflächenanteil} +Für die Separation der verbleibenden winkelabhängigen Teile muss die +Gleichung +\[ +\frac{1}{\Theta(\vartheta) \sin\vartheta} +\frac{\partial}{\partial\vartheta}\sin\vartheta\Theta'(\vartheta) ++ +\frac{1}{\sin^2\vartheta}\frac{\Phi''(\varphi)}{\Phi(\varphi)} += +-\mu^2 +\] +mit $\sin^2\vartheta$ multipliziert werden, was auf +\[ +\frac{\sin\vartheta}{\Theta(\vartheta)} +\frac{\partial}{\partial\vartheta}\sin\vartheta\Theta'(\vartheta) ++ +\frac{\Phi''(\varphi)}{\Phi(\varphi)} += +-\mu^2\sin^2\vartheta +\quad\Rightarrow\quad +\frac{\sin\vartheta}{\Theta(\vartheta)} +\frac{\partial}{\partial\vartheta}\sin\vartheta\Theta'(\vartheta) ++ +\mu^2\sin^2\vartheta += +- +\frac{\Phi''(\varphi)}{\Phi(\varphi)} +\] +führt. +Die linke Seite der letzten Gleichung hängt nur von $\vartheta$ +ab, die rechte nur von $\varphi$, beide Seiten müssen daher +konstant sein, wir bezeichnen diese Konstante mit $\alpha^2$. +So ergibt sich die Differentialgleichung +\[ +\alpha^2 += +-\frac{\Phi''(\varphi)}{\Phi(\varphi)} +\] +für die Abhängigkeit von $\varphi$, mit der allgemeinen Lösung +\[ +\Phi(\varphi) += +A\cos\alpha \varphi ++ +B\sin\alpha \varphi. +\] +Die Randbedingungen verlangen, dass $\Phi(\varphi)$ eine $2\pi$-periodische +Funktion ist, was genau dann möglich ist, wenn $\alpha=m$ ganzzahlig ist. +Damit ergibt sich für die $\vartheta$-Abhängigkeit die Differentialgleichung +\begin{equation} +\frac{\sin\vartheta}{\Theta(\vartheta)} +\frac{\partial}{\partial\vartheta}\sin\vartheta\Theta'(\vartheta) ++ +\mu^2\sin^2\vartheta += +m^2. +\label{buch:pde:kugel:eqn:thetaanteil} +\end{equation} + +\subsubsection{Abhängigkeit von $\vartheta$} +Die Differentialgleichung~\eqref{buch:pde:kugel:eqn:thetaanteil} +ist etwas unhandlich, daher verwenden wir die Substitution $z=\cos\vartheta$, +um die trigonometrischen Funktionen los zu werden. +Wegen +\[ +\frac{dz}{d\vartheta} = -\sin\vartheta =-\sqrt{1-z^2} +\] +können die Ableitungen nach $\vartheta$ auch durch Ableitungen nach $z$ +ausgedrückt werden. +Wir schreiben dazu $Z(z)=\Theta(\vartheta)$ und berechnen +\[ +\Theta'(\vartheta) += +\frac{d\Theta}{d\vartheta} += +\frac{dZ}{dz}\frac{dz}{d\vartheta} += +- +\sqrt{1-z^2} +Z'(z). +\] +Dies bedeutet auch, dass +\[ +\sin\vartheta\frac{d}{d\vartheta} += +- +(1-z^2)\frac{d}{dz}, +\] +damit lässt sich die Differentialgleichung für $\Theta(\vartheta)$ umschreiben +in eine Differentialgleichung für $Z(z)$, nämlich +\[ +(1-z^2)\frac{d}{dz}(1-z^2)\frac{d}{dz} Z(z) ++ +\mu^2 +(1-z^2) +Z(z) += +m^2 +Z(z). +\] +Indem man die Ableitung im ersten Term mit Hilfe der Produktregel +ausführt, kann man die Gleichung +\[ +(1-z^2)\biggl( +-2zZ'(z) + (1-z^2)Z''(z) +\biggr) ++ +\mu^2(1-z^2)Z(z) += +-m^2 Z(z) +\] +bekommen. +Division durch $1-z^2$ ergibt die +{\em Legendre-Differentialgleichung} +\begin{equation} +(1-z^2)Z''(z) +-2zZ'(z) ++ +\biggl( +\mu^2 - \frac{m^2}{1-z^2} +\biggr) +Z(z) += +0. +\label{buch:pde:kugel:eqn:legendre-dgl} +\end{equation} +Eine Diskussion der Lösungen dieser Differentialgleichung erfolgt im +Kapitel~\ref{chapter:kugel}. + +\subsection{Kugelfunktionen} +Die Legendre-Differentialgleichung~\eqref{buch:pde:kugel:eqn:legendre-dgl} +hat Lösungen für Werte von $\mu$ derart, dass $\mu^2=l(l+1)$ für natürliche +Zahlen $l$. +Die Lösungen sind sogar Polynome, die wir mit $P_l^{(m)}(z)$ +bezeichnen, dabei ist $m$ eine ganze Zahl mit $-l\le m\le l$. +Die Funktionen $P_l^{(m)}(\cos\vartheta)e^{im\varphi}$ +sind daher alle Lösungen des von $\vartheta$ und $\varphi$ +abhängigen Teils der Lösungen des Eigenwertproblems. +Mit einer geeigneten Normierung kann man zudem eine Familie von +bezüglich des Skalarproduktes +\[ +\langle f,g\rangle_{S^2} += +\int_{-\pi}^{\pi} +\int_{0}^{\pi} +\overline{f(\vartheta,\varphi)} +g(\vartheta,\varphi) +\sin\vartheta +\,d\vartheta +\,d\varphi +\] +orthonormiete Funktionen auf der Kugeloberfläche erhalten, die +man normalerweise als +\[ +Y_{lm}(\vartheta,\varphi) += +\frac{1}{\sqrt{2\pi}} +\sqrt{ +\frac{2l+1}{2}\cdot +\frac{(l-m)!}{(l+m)!} +} +P_{l}^{(m)}(\cos\vartheta)e^{im\varphi} +\] +bezeichnet. + + + + diff --git a/buch/chapters/090-pde/rechteck.tex b/buch/chapters/090-pde/rechteck.tex index 72e2806..b7dfe11 100644 --- a/buch/chapters/090-pde/rechteck.tex +++ b/buch/chapters/090-pde/rechteck.tex @@ -5,6 +5,7 @@ % \section{Rechteckige Membran \label{buch:pde:section:rechteck}} +\rhead{Rechteckige Membran} Als Beispiel für die Lösung des in Abschnitt~\ref{buch:pde:subsection:eigenwertproblem} aus der Wellengleichung abgeleiteten Eigenwertproblems diff --git a/buch/chapters/090-pde/separation.tex b/buch/chapters/090-pde/separation.tex index 6faceaa..e5e144a 100644 --- a/buch/chapters/090-pde/separation.tex +++ b/buch/chapters/090-pde/separation.tex @@ -5,6 +5,7 @@ % \section{Separationsmethode \label{buch:pde:section:separation}} +\rhead{Separationsmethode} Die Existenz der Lösung einer gewöhnlichen Differentialgleichung ist unter einigermassen milden Bedingungen in der Nähe der Anfangsbedingung garantiert. diff --git a/buch/chapters/090-pde/uebungsaufgaben/901.tex b/buch/chapters/090-pde/uebungsaufgaben/901.tex new file mode 100644 index 0000000..67fa8e5 --- /dev/null +++ b/buch/chapters/090-pde/uebungsaufgaben/901.tex @@ -0,0 +1,82 @@ +Die Differentialgleichung +\begin{equation} +\frac{\partial u}{\partial t} = \kappa \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} +\qquad +\text{im Gebiet} +\qquad +(t,x)\in \Omega=\mathbb{R}^+\times (0,l) +\label{505:waermeleitungsgleichung} +\end{equation} +beschreibt die Änderung der Temperatur eines Stabes der Länge $l$. +Die homogene Randbedingung +\begin{equation} +u(t,0)= +u(t,l)=0 +\label{505:homogene-randbedingung} +\end{equation} +besagt, dass der Stab an seinen Enden auf Temperatur $0$ gehalten. +Zur Lösung dieser Differentialgleichung muss auch die Temperatur +zur Zeit $t=0$ in Form einer Randbedingung +\[ +u(0,x) = T_0(x) +\] +gegeben sein. +Führen Sie Separation für die +Differentialgleichung~\eqref{505:waermeleitungsgleichung} +durch und bestimmen Sie die zulässigen Werte der Separationskonstanten. + +\begin{loesung} +Man verwendet den Ansatz $u(t,x)= T(t)\cdot X(x)$ und setzt diesen +in die Differentialgleichung ein, die dadurch zu +\[ +T'(t)X(x) = \kappa T(t) X''(x) +\] +wird. +Division durch $T(t)X(x)$ wird dies zu +\[ +\frac{T'(t)}{T(t)} += +\kappa +\frac{X''(x)}{X(x)}. +\] +Da die linke Seite nur von $t$ abhängt, die rechte aber nur von $x$, müssen +beide Seiten konstant sein. +Wir bezeichnen die Konstante mit $-\lambda^2$, so dass wir die beiden +gewöhnlichen Differentialgleichungen +\begin{align*} +\frac{1}{\kappa} +\frac{T'(t)}{T(t)}&=-\lambda^2 +& +\frac{X''(x)}{X(x)}&=-\lambda^2 +\\ +T'(t)&=-\lambda^2\kappa T(t) +& +X''(x) &= -\lambda^2 X(x) +\intertext{welche die Lösungen} +T(t)&=Ce^{-\lambda^2\kappa t} +& +X(x)&= A\cos\lambda x + B\sin\lambda x +\end{align*} +haben. +Die Lösung $X(x)$ muss aber auch die homogene Randbedingung +\eqref{505:homogene-randbedingung} erfüllen. +Setzt man $x=0$ und $x=l$ ein, folgt +\begin{align*} +0 = X(0)&=A\cos 0 + B\sin 0 = A +& +0 = X(l)&=B\sin \lambda l, +\end{align*} +woraus man schliessen kann, dass $\lambda l$ ein ganzzahliges +Vielfaches von $\pi$ ist, wir schreiben $\lambda l = k\pi$ oder +\[ +\lambda = \frac{k\pi}{l}. +\] +Damit sind die möglichen Werte $\lambda$ bestimmt und man kann jetzt +auch die möglichen Lösungen aufschreiben, sie sind +\[ +u(t,x) += +\sum_{k=1}^\infty b_k e^{-k^2\pi^2\kappa t/l^2}\sin\frac{k\pi x}{l}. +\qedhere +\] +\end{loesung} diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/Makefile.inc b/buch/chapters/110-elliptisch/Makefile.inc index 0ca1392..639cb8f 100644 --- a/buch/chapters/110-elliptisch/Makefile.inc +++ b/buch/chapters/110-elliptisch/Makefile.inc @@ -4,8 +4,12 @@ # (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule # -CHAPTERFILES = $(CHAPTERFILES) \ +CHAPTERFILES += \ chapters/110-elliptisch/ellintegral.tex \ chapters/110-elliptisch/jacobi.tex \ + chapters/110-elliptisch/elltrigo.tex \ + chapters/110-elliptisch/dglsol.tex \ + chapters/110-elliptisch/mathpendel.tex \ chapters/110-elliptisch/lemniskate.tex \ - chapters/110-geometrie/chapter.tex + chapters/110-elliptisch/uebungsaufgaben/1.tex \ + chapters/110-elliptisch/chapter.tex diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/chapter.tex b/buch/chapters/110-elliptisch/chapter.tex index a03ce24..e05f3bd 100644 --- a/buch/chapters/110-elliptisch/chapter.tex +++ b/buch/chapters/110-elliptisch/chapter.tex @@ -10,21 +10,36 @@ \rhead{} Der Versuch, die Länge eines Ellipsenbogens zu berechnen, hat -in Abschnitt~\ref{buch:geometrie:subsection:hyperbeln-und-ellipsen} +in Abschnitt~\ref{buch:geometrie:subsection:kegelschnitte} zu Integralen geführt, die nicht in geschlossener Form ausgewertet werden können. Neben den dort gefundenen Integralen sind noch weitere, ähnlich aufgebaute Integrale in dieser Familie zu finden. +Auf die trigonometrischen Funktionen stösst man, indem man Funktion +der Bogenlänge umkehrt. +Ein analoges Vorgehen bei den elliptischen Integralen führt auf +die Jacobischen elliptischen Funktionen, die in +Abschnitt~\ref{buch:elliptisch:section:jacobi} allerdings auf +eine eher geometrische Art eingeführt werden. +Die Verbindung zu den elliptischen Integralen wird dann in +Abschnitt~\ref{buch:elliptisch:subsection:differentialgleichungen} +wieder hergestellt. + \input{chapters/110-elliptisch/ellintegral.tex} + \input{chapters/110-elliptisch/jacobi.tex} +\input{chapters/110-elliptisch/elltrigo.tex} +\input{chapters/110-elliptisch/dglsol.tex} +\input{chapters/110-elliptisch/mathpendel.tex} + \input{chapters/110-elliptisch/lemniskate.tex} -%\section*{Übungsaufgaben} -%\rhead{Übungsaufgaben} -%\aufgabetoplevel{chapters/020-exponential/uebungsaufgaben} -%\begin{uebungsaufgaben} +\section*{Übungsaufgabe} +\rhead{Übungsaufgabe} +\aufgabetoplevel{chapters/110-elliptisch/uebungsaufgaben} +\begin{uebungsaufgaben} %\uebungsaufgabe{0} -%\uebungsaufgabe{1} -%\end{uebungsaufgaben} +\uebungsaufgabe{1} +\end{uebungsaufgaben} diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/dglsol.tex b/buch/chapters/110-elliptisch/dglsol.tex new file mode 100644 index 0000000..7eaab38 --- /dev/null +++ b/buch/chapters/110-elliptisch/dglsol.tex @@ -0,0 +1,494 @@ +% +% dglsol.tex -- Lösung von Differentialgleichungen +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% + +% +% Lösung von Differentialgleichungen +% +\subsection{Lösungen von Differentialgleichungen +\label{buch:elliptisch:subsection:differentialgleichungen}} +Die elliptischen Funktionen ermöglichen die Lösung gewisser nichtlinearer +Differentialgleichungen in geschlossener Form. +Ziel dieses Abschnitts ist, Differentialgleichungen der Form +\( +\dot{x}(t)^2 += +P(x(t)) +\) +mit einem Polynom $P$ vierten Grades oder +\( +\ddot{x}(t) += +p(x(t)) +\) +mit einem Polynom dritten Grades als rechter Seite lösen zu können. + +% +% Die Differentialgleichung der elliptischen Funktionen +% +\subsubsection{Die Differentialgleichungen der elliptischen Funktionen} +Um Differentialgleichungen mit elliptischen Funktion lösen zu +können, muss man als erstes die Differentialgleichungen derselben +finden. +Quadriert man die Ableitungsregel für $\operatorname{sn}(u,k)$, erhält +man +\[ +\biggl(\frac{d}{du}\operatorname{sn}(u,k)\biggr)^2 += +\operatorname{cn}(u,k)^2 \operatorname{dn}(u,k)^2. +\] +Die Funktionen auf der rechten Seite können durch $\operatorname{sn}(u,k)$ +ausgedrückt werden, dies führt auf die Differentialgleichung +\begin{align*} +\biggl(\frac{d}{du}\operatorname{sn}(u,k)\biggr)^2 +&= +\bigl( +1-\operatorname{sn}(u,k)^2 +\bigr) +\bigl( +1-k^2 \operatorname{sn}(u,k)^2 +\bigr) +\\ +&= +k^2\operatorname{sn}(u,k)^4 +-(1+k^2) +\operatorname{sn}(u,k)^2 ++1. +\end{align*} +Für die Funktion $\operatorname{cn}(u,k)$ ergibt die analoge Rechnung +\begin{align*} +\frac{d}{du}\operatorname{cn}(u,k) +&= +-\operatorname{sn}(u,k) \operatorname{dn}(u,k) +\\ +\biggl(\frac{d}{du}\operatorname{cn}(u,k)\biggr)^2 +&= +\operatorname{sn}(u,k)^2 \operatorname{dn}(u,k)^2 +\\ +&= +\bigl(1-\operatorname{cn}(u,k)^2\bigr) +\bigl(k^{\prime 2}+k^2 \operatorname{cn}(u,k)^2\bigr) +\\ +&= +-k^2\operatorname{cn}(u,k)^4 ++ +(k^2-k^{\prime 2})\operatorname{cn}(u,k)^2 ++ +k^{\prime 2} +\intertext{und weiter für $\operatorname{dn}(u,k)$:} +\frac{d}{du}\operatorname{dn}(u,k) +&= +-k^2\operatorname{sn}(u,k)\operatorname{cn}(u,k) +\\ +\biggl( +\frac{d}{du}\operatorname{dn}(u,k) +\biggr)^2 +&= +\bigl(k^2 \operatorname{sn}(u,k)^2\bigr) +\bigl(k^2 \operatorname{cn}(u,k)^2\bigr) +\\ +&= +\bigl( +1-\operatorname{dn}(u,k)^2 +\bigr) +\bigl( +\operatorname{dn}(u,k)^2-k^{\prime 2} +\bigr) +\\ +&= +-\operatorname{dn}(u,k)^4 ++ +(1+k^{\prime 2})\operatorname{dn}(u,k)^2 +-k^{\prime 2}. +\end{align*} + +\begin{table} +\centering +\renewcommand{\arraystretch}{1.7} +\begin{tabular}{|>{$}l<{$}|>{$}l<{$}|>{$}c<{$}|>{$}c<{$}|>{$}c<{$}|} +\hline +\text{Funktion $y=$}&\text{Differentialgleichung}&\alpha&\beta&\gamma\\ +\hline +\operatorname{sn}(u,k) + & y'^2 = \phantom{-}(1-y^2)(1-k^2y^2) + &k^2&1+k^2&1 +\\ +\operatorname{cn}(u,k) &y'^2 = \phantom{-}(1-y^2)(k^{\prime2}+k^2y^2) + &-k^2 &k^2-k^{\prime 2}=2k^2-1&k^{\prime2} +\\ +\operatorname{dn}(u,k) + & y'^2 = -(1-y^2)(k^{\prime 2}-y^2) + &-1 &1+k^{\prime 2}=2-k^2 &-k^{\prime2} +\\ +\hline +\end{tabular} +\caption{Elliptische Funktionen als Lösungsfunktionen für verschiedene +nichtlineare Differentialgleichungen der Art +\eqref{buch:elliptisch:eqn:1storderdglell}. +Die Vorzeichen der Koeffizienten $\alpha$, $\beta$ und $\gamma$ +entscheidet darüber, welche Funktion für die Lösung verwendet werden +muss. +\label{buch:elliptisch:tabelle:loesungsfunktionen}} +\end{table} + +Die drei grundlegenden Jacobischen elliptischen Funktionen genügen also alle +einer nichtlinearen Differentialgleichung erster Ordnung der selben Art. +Das Quadrat der Ableitung ist ein Polynom vierten Grades der Funktion. +Die Differentialgleichungen sind in der +Tabelle~\ref{buch:elliptisch:tabelle:loesungsfunktionen} zusammengefasst. + +% +% Differentialgleichung der abgeleiteten elliptischen Funktionen +% +\subsubsection{Die Differentialgleichung der abgeleiteten elliptischen +Funktionen} +Da auch die Ableitungen der abgeleiteten Jacobischen elliptischen +Funktionen Produkte von genau zwei Funktionen sind, die sich wieder +durch die ursprüngliche Funktion ausdrücken lassen, darf man erwarten, +dass alle elliptischen Funktionen einer ähnlichen Differentialgleichung +genügen. +Um dies besser einzufangen, schreiben wir $\operatorname{pq}(u,k)$, +wenn wir eine beliebige abgeleitete Jacobische elliptische Funktion. +Für +$\operatorname{pq}=\operatorname{sn}$ +$\operatorname{pq}=\operatorname{cn}$ +und +$\operatorname{pq}=\operatorname{dn}$ +wissen wir bereits und erwarten für jede andere Funktion dass +$\operatorname{pq}(u,k)$ auch, dass sie Lösung einer Differentialgleichung +der Form +\begin{equation} +\operatorname{pq}'(u,k)^2 += +\alpha \operatorname{pq}(u,k)^4 + \beta \operatorname{pq}(u,k)^2 + \gamma +\label{buch:elliptisch:eqn:1storderdglell} +\end{equation} +erfüllt, +wobei wir mit $\operatorname{pq}'(u,k)$ die Ableitung von +$\operatorname{pq}(u,k)$ nach dem ersten Argument meinen. +Die Koeffizienten $\alpha$, $\beta$ und $\gamma$ hängen von $k$ ab, +ihre Werte für die grundlegenden Jacobischen elliptischen +sind in Tabelle~\ref{buch:elliptisch:table:differentialgleichungen} +zusammengestellt. + +Die Koeffizienten müssen nicht für jede Funktion wieder neu bestimmt +werden, denn für den Kehrwert einer Funktion lässt sich die +Differentialgleichung aus der Differentialgleichung der ursprünglichen +Funktion ermitteln. + +% +% Differentialgleichung der Kehrwertfunktion +% +\subsubsection{Differentialgleichung für den Kehrwert einer elliptischen Funktion} +Aus der Differentialgleichung~\eqref{buch:elliptisch:eqn:1storderdglell} +für die Funktion $\operatorname{pq}(u,k)$ kann auch eine +Differentialgleichung für den Kehrwert +$\operatorname{qp}(u,k)=\operatorname{pq}(u,k)^{-1}$ +ableiten. +Dazu rechnet man +\[ +\operatorname{qp}'(u,k) += +\frac{d}{du}\frac{1}{\operatorname{pq}(u,k)} += +\frac{\operatorname{pq}'(u,k)}{\operatorname{pq}(u,k)^2} +\qquad\Rightarrow\qquad +\left\{ +\quad +\begin{aligned} +\operatorname{pq}(u,k) +&= +\frac{1}{\operatorname{qp}(u,k)} +\\ +\operatorname{pq}'(u,k) +&= +\frac{\operatorname{qp}'(u,k)}{\operatorname{qp}(u,k)^2} +\end{aligned} +\right. +\] +und setzt in die Differentialgleichung ein: +\begin{align*} +\biggl( +\frac{ +\operatorname{qp}'(u,k) +}{ +\operatorname{qp}(u,k) +} +\biggr)^2 +&= +\alpha \frac{1}{\operatorname{qp}(u,k)^4} ++ +\beta \frac{1}{\operatorname{qp}(u,k)^2} ++ +\gamma. +\end{align*} +Nach Multiplikation mit $\operatorname{qp}(u,k)^4$ erhält man den +folgenden Satz. + +\begin{satz} +Wenn die Jacobische elliptische Funktion $\operatorname{pq}(u,k)$ +der Differentialgleichung genügt, dann genügt der Kehrwert +$\operatorname{qp}(u,k) = 1/\operatorname{pq}(u,k)$ der Differentialgleichung +\begin{equation} +(\operatorname{qp}'(u,k))^2 += +\gamma \operatorname{qp}(u,k)^4 ++ +\beta \operatorname{qp}(u,k)^2 ++ +\alpha +\label{buch:elliptisch:eqn:kehrwertdgl} +\end{equation} +\end{satz} + +\begin{table} +\centering +\def\lfn#1{\multicolumn{1}{|l|}{#1}} +\def\rfn#1{\multicolumn{1}{r|}{#1}} +\renewcommand{\arraystretch}{1.3} +\begin{tabular}{l|>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}|r} +\cline{1-4} +\lfn{Funktion} + & \alpha & \beta & \gamma &\\ +\hline +\lfn{sn}& k^2 & -(1+k^2) & 1 &\rfn{ns}\\ +\lfn{cn}& -k^2 & -(1-2k^2) & 1-k^2 &\rfn{nc}\\ +\lfn{dn}& 1 & 2-k^2 & -(1-k^2) &\rfn{nd}\\ +\hline +\lfn{sc}& 1-k^2 & 2-k^2 & 1 &\rfn{cs}\\ +\lfn{sd}&-k^2(1-k^2)&-(1-2k^2) & 1 &\rfn{ds}\\ +\lfn{cd}& k^2 &-(1+k^2) & 1 &\rfn{dc}\\ +\hline + & \gamma & \beta & \alpha &\rfn{Reziproke}\\ +\cline{2-5} +\end{tabular} +\caption{Koeffizienten der Differentialgleichungen für die Jacobischen +elliptischen Funktionen. +Der Kehrwert einer Funktion hat jeweils die Differentialgleichung der +ursprünglichen Funktion, in der die Koeffizienten $\alpha$ und $\gamma$ +vertauscht worden sind. +\label{buch:elliptisch:table:differentialgleichungen}} +\end{table} + +% +% Differentialgleichung zweiter Ordnung +% +\subsubsection{Differentialgleichung zweiter Ordnung} +Leitet die Differentialgleichung~\eqref{buch:elliptisch:eqn:1storderdglell} +man dies nochmals nach $u$ ab, erhält man die Differentialgleichung +\[ +2\operatorname{pq}''(u,k)\operatorname{pq}'(u,k) += +4\alpha \operatorname{pq}(u,k)^3\operatorname{pq}'(u,k) + 2\beta \operatorname{pq}'(u,k)\operatorname{pq}(u,k). +\] +Teilt man auf beiden Seiten durch $2\operatorname{pq}'(u,k)$, +bleibt die nichtlineare +Differentialgleichung +\[ +\frac{d^2\operatorname{pq}}{du^2} += +\beta \operatorname{pq} + 2\alpha \operatorname{pq}^3. +\] +Dies ist die Gleichung eines harmonischen Oszillators mit einer +Anharmonizität der Form $2\alpha z^3$. + + + +% +% Jacobischen elliptische Funktionen und elliptische Integrale +% +\subsubsection{Jacobische elliptische Funktionen als elliptische Integrale} +Die in Tabelle~\ref{buch:elliptisch:tabelle:loesungsfunktionen} +zusammengestellten Differentialgleichungen ermöglichen nun, den +Zusammenhang zwischen den Funktionen +$\operatorname{sn}(u,k)$, $\operatorname{cn}(u,k)$ und $\operatorname{dn}(u,k)$ +und den unvollständigen elliptischen Integralen herzustellen. +Die Differentialgleichungen sind alle von der Form +\begin{equation} +\biggl( +\frac{d y}{d u} +\biggr)^2 += +p(u), +\label{buch:elliptisch:eqn:allgdgl} +\end{equation} +wobei $p(u)$ ein Polynom vierten Grades in $y$ ist. +Diese Differentialgleichung lässt sich mit Separation lösen. +Dazu zieht man aus~\eqref{buch:elliptisch:eqn:allgdgl} die +Wurzel +\begin{align} +\frac{dy}{du} += +\sqrt{p(y)} +\notag +\intertext{und trennt die Variablen. Man erhält} +\int\frac{dy}{\sqrt{p(y)}} = u+C. +\label{buch:elliptisch:eqn:yintegral} +\end{align} +Solange $p(y)>0$ ist, ist der Integrand auf der linken Seite +von~\eqref{buch:elliptisch:eqn:yintegral} ebenfalls positiv und +das Integral ist eine monoton wachsende Funktion $F(y)$. +Insbesondere ist $F(y)$ invertierbar. +Die Lösung $y(u)$ der Differentialgleichung~\eqref{buch:elliptisch:eqn:allgdgl} +ist daher +\[ +y(u) = F^{-1}(u+C). +\] +Die Jacobischen elliptischen Funktionen sind daher inverse Funktionen +der unvollständigen elliptischen Integrale. + + +% +% Differentialgleichung des anharmonischen Oszillators +% +\subsubsection{Differentialgleichung des anharmonischen Oszillators} +Wir möchten die nichtlineare Differentialgleichung +\begin{equation} +\biggl( +\frac{dx}{dt} +\biggr)^2 += +Ax^4+Bx^2 + C +\label{buch:elliptisch:eqn:allgdgl} +\end{equation} +mit Hilfe elliptischer Funktionen lösen. +Wir nehmen also an, dass die gesuchte Lösung eine Funktion der Form +\begin{equation} +x(t) = a\operatorname{zn}(bt,k) +\label{buch:elliptisch:eqn:loesungsansatz} +\end{equation} +ist. +Die erste Ableitung von $x(t)$ ist +\[ +\dot{x}(t) += +a\operatorname{zn}'(bt,k). +\] + +Indem wir diesen Lösungsansatz in die +Differentialgleichung~\eqref{buch:elliptisch:eqn:allgdgl} +einsetzen, erhalten wir +\begin{equation} +a^2b^2 \operatorname{zn}'(bt,k)^2 += +a^4A\operatorname{zn}(bt,k)^4 ++ +a^2B\operatorname{zn}(bt,k)^2 ++C +\label{buch:elliptisch:eqn:dglx} +\end{equation} +Andererseits wissen wir, dass $\operatorname{zn}(u,k)$ einer +Differentilgleichung der Form~\eqref{buch:elliptisch:eqn:1storderdglell} +erfüllt. +Wenn wir \eqref{buch:elliptisch:eqn:dglx} durch $a^2b^2$ teilen, können wir +die rechte Seite von \eqref{buch:elliptisch:eqn:dglx} mit der rechten +Seite von \eqref{buch:elliptisch:eqn:1storderdglell} vergleichen: +\[ +\frac{a^2A}{b^2}\operatorname{zn}(bt,k)^4 ++ +\frac{B}{b^2}\operatorname{zn}(bt,k)^2 ++\frac{C}{a^2b^2} += +\alpha\operatorname{zn}(bt,k)^4 ++ +\beta\operatorname{zn}(bt,k)^2 ++ +\gamma\operatorname{zn}(bt,k). +\] +Daraus ergeben sich die Gleichungen +\begin{align} +\alpha &= \frac{a^2A}{b^2}, +& +\beta &= \frac{B}{b^2} +&&\text{und} +& +\gamma &= \frac{C}{a^2b^2} +\label{buch:elliptisch:eqn:koeffvergl} +\intertext{oder aufgelöst nach den Koeffizienten der ursprünglichen +Differentialgleichung} +A&=\frac{\alpha b^2}{a^2} +& +B&=\beta b^2 +&&\text{und}& +C &= \gamma a^2b^2 +\label{buch:elliptisch:eqn:koeffABC} +\end{align} +für die Koeffizienten der Differentialgleichung der zu verwendenden +Funktion. + +Man beachte, dass nach \eqref{buch:elliptisch:eqn:koeffvergl} die +Koeffizienten $A$, $B$ und $C$ die gleichen Vorzeichen haben wie +$\alpha$, $\beta$ und $\gamma$, da in +\eqref{buch:elliptisch:eqn:koeffvergl} nur mit Quadraten multipliziert +wird, die immer positiv sind. +Diese Vorzeichen bestimmen, welche der Funktionen gewählt werden muss. + +In den Differentialgleichungen für die elliptischen Funktionen gibt +es nur den Parameter $k$, der angepasst werden kann. +Es folgt, dass die Gleichungen +\eqref{buch:elliptisch:eqn:koeffvergl} +auch $a$ und $b$ bestimmen. +Zum Beispiel folgt aus der letzten Gleichung, dass +\[ +b = \pm\sqrt{\frac{B}{\beta}}. +\] +Damit folgt dann aus der zweiten +\[ +a=\pm\sqrt{\frac{\beta C}{\gamma B}}. +\] +Die verbleibende Gleichung legt $k$ fest. +Das folgende Beispiel illustriert das Vorgehen am Beispiel einer +Gleichung, die Lösungsfunktion $\operatorname{sn}(u,k)$ verlangt. + +\begin{beispiel} +Wir nehmen an, dass die Vorzeichen von $A$, $B$ und $C$ gemäss +Tabelle~\ref{buch:elliptische:tabelle:loesungsfunktionen} verlangen, +dass die Funktion $\operatorname{sn}(u,k)$ für die Lösung verwendet +werden muss. +Die Tabelle sagt dann auch, dass +$\alpha=k^2$, $\beta=1$ und $\gamma=1$ gewählt werden müssen. +Aus dem Koeffizientenvergleich~\eqref{buch:elliptisch:eqn:koeffvergl} +folgt dann der Reihe nach +\begin{align*} +b&=\pm \sqrt{B} +\\ +a&=\pm \sqrt{\frac{C}{B}} +\\ +k^2 +&= +\frac{AC}{B^2}. +\end{align*} +Man beachte, dass man $k^2$ durch Einsetzen von +\eqref{buch:elliptisch:eqn:koeffABC} +auch direkt aus den Koeffizienten $\alpha$, $\beta$ und $\gamma$ +erhalten kann, nämlich +\[ +\frac{AC}{B^2} += +\frac{\frac{\alpha b^2}{a^2} \gamma a^2b^2}{\beta^2 b^4} += +\frac{\alpha\gamma}{\beta^2}. +\qedhere +\] +\end{beispiel} + +Da alle Parameter im +Lösungsansatz~\eqref{buch:elliptisch:eqn:loesungsansatz} bereits +festgelegt sind stellt sich die Frage, woher man einen weiteren +Parameter nehmen kann, mit dem Anfangsbedingungen erfüllen kann. +Die Differentialgleichung~\eqref{buch:elliptisch:eqn:allgdgl} ist +autonom, die Koeffizienten der rechten Seite der Differentialgleichung +sind nicht von der Zeit abhängig. +Damit ist eine zeitverschobene Funktion $x(t-t_0)$ ebenfalls eine +Lösung der Differentialgleichung. +Die allgmeine Lösung der +Differentialgleichung~\eqref{buch:elliptisch:eqn:allgdgl} hat +also die Form +\[ +x(t) = a\operatorname{zn}(b(t-t_0)), +\] +wobei die Funktion $\operatorname{zn}(u,k)$ auf Grund der Vorzeichen +von $A$, $B$ und $C$ gewählt werden müssen. + diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/ellintegral.tex b/buch/chapters/110-elliptisch/ellintegral.tex index 46659cd..3acce2f 100644 --- a/buch/chapters/110-elliptisch/ellintegral.tex +++ b/buch/chapters/110-elliptisch/ellintegral.tex @@ -7,7 +7,7 @@ \label{buch:elliptisch:section:integral}} \rhead{Elliptisches Integral} Bei der Berechnung des Ellipsenbogens in -Abschnitt~\ref{buch:geometrie:subsection:hyperbeln-und-ellipsen} +Abschnitt~\ref{buch:geometrie:subsection:kegelschnitte} sind wir auf ein Integral gestossen, welches sich nicht in geschlossener Form ausdrücken liess. Um solche Integrale in den Griff zu bekommen, ist es nötig, sie als @@ -172,7 +172,188 @@ die {\em Jacobi-Normalform} heisst. \subsubsection{Vollständige elliptische Integrale als hypergeometrische Funktionen} -XXX Als hypergeometrische Funktionen \url{https://www.youtube.com/watch?v=j0t1yWrvKmE} \\ +%XXX Als hypergeometrische Funktionen \url{https://www.youtube.com/watch?v=j0t1yWrvKmE} \\ +Das vollständige elliptische Integral $K(k)$ kann mit Hilfe der +Binomialreihe umgeformt werden in eine hypergeometrische Reihe. +Da im Integral nur $k^2$ auftaucht, wird sich $K(k)$ als +hypergeometrische Funktion von $k^2$ ausdrücken lassen. + +\begin{satz} +\label{buch:elliptisch:satz:hyperK} +Das vollständige elliptische Integral $K(k)$ lässt sich durch die +hypergeometrische Funktion $\mathstrut_2F_1$ als +\[ +K(k) += +\frac{\pi}2 +\cdot +\mathstrut_2F_1\biggl( +\begin{matrix}\frac12,\frac12\\1\end{matrix};1;k^2 +\biggr) +\] +ausdrücken. +\end{satz} + +\begin{proof}[Beweis] +Zunächst ist das vollständige elliptische Integral in der Legendre-Form +\begin{align} +K(k) +&= +\int_0^{\frac{\pi}2} +\frac{d\vartheta}{\sqrt{1-k^2\sin^2\vartheta}} +%\notag +%\\ +%& += +\int_0^{\frac{\pi}2} +\bigl( +1-(k\sin\vartheta)^2 +\bigr)^{-\frac12}\,d\vartheta. +\notag +\intertext{Die Wurzel im letzten Integral kann mit Hilfe der binomischen +Reihe vereinfacht werden zu} +&= +\sum_{n=0}^\infty +(-1)^n k^2\binom{-\frac12}{n} +\int_0^{\frac{\pi}2} +\sin^{2n}\vartheta +\,d\vartheta. +\label{buch:elliptisch:beweis:ellharm2} +\end{align} +Der verallgemeinerte Binomialkoeffizient lässt sich nach +\begin{align*} +\binom{-\frac12}{n} +&= +\frac{(-\frac12)(-\frac32)(-\frac52)\cdot\ldots\cdot(-\frac12-n+1)}{n!} += +(-1)^n +\cdot +\frac{1}{n!} +\cdot +\frac12\cdot\frac32\cdot\frac52\cdot\ldots\cdot\biggl(\frac12+n-1\biggr) += +(-1)^n\frac{(\frac12)_n}{n!} +\end{align*} +vereinfachen. +Setzt man dies in \eqref{buch:elliptisch:beweis:ellharm2} ein, erhält +man +\begin{align*} +K(k) +&= +\sum_{n=0}^\infty +(-1)^n k^{2n} +\cdot +(-1)^n +\frac{(\frac12)_n}{n!} +\cdot +\int_0^{\frac{\pi}2} \sin^{2n}\vartheta\,d\vartheta += +\sum_{n=0}^\infty +\frac{(\frac12)_n}{n!} +\int_0^{\frac{\pi}2} \sin^{2n}\vartheta\,d\vartheta +\cdot (k^2)^n. +\end{align*} +Es muss jetzt also nur noch das Integral von $\sin^{2n}\vartheta$ +berechnet werden. +Mit partieller Integration kann man +\begin{align*} +\int \sin^m\vartheta\,d\vartheta +&= +\int +\underbrace{\sin \vartheta}_{\uparrow} +\underbrace{\sin^{m-1}\vartheta}_{\downarrow} +\,d\vartheta +\\ +&= +-\cos\vartheta\sin^{m-1}\vartheta ++ +\int \cos^2\vartheta (m-1)\sin^{m-2}\vartheta\,d\vartheta +\\ +&= +-\cos\vartheta \sin^{m-1}\vartheta ++ +(m-1) +\int +(1-\sin^2\vartheta) +\sin^{m-2}\vartheta\,d\vartheta. +\end{align*} +Wegen $\sin 0=0$ und +$\cos\frac{\pi}2=0$ verschwindet der erste Term im bestimmten Integral +und der zweite wird +\begin{align*} +\int_0^{\frac{\pi}2} +\sin^{m} \vartheta +\,d\vartheta +&= +(m-1) +\int_0^{\frac{\pi}2} +\sin^{m-2}\vartheta\,d\vartheta +- +(m-1) +\int_0^{\frac{\pi}2} +\sin^m \vartheta\,d\vartheta +\\ +m +\int_0^{\frac{\pi}2} +\sin^{m} \vartheta\,d\vartheta +&= +(m-1) +\int_0^{\frac{\pi}2} +\sin^{m-2} \vartheta\,d\vartheta +\\ +\int_0^{\frac{\pi}2} +\sin^{m} \vartheta\,d\vartheta +&= +\frac{m-1}{m} +\int_0^{\frac{\pi}2} +\sin^{m-2} \vartheta\,d\vartheta. +\end{align*} +Mit dieser Rekursionsformel kann jetzt das Integral berechnet werden. +Es folgt +\begin{align*} +\int_0^{\frac{\pi}2} +\sin^{2n}\vartheta\,d\vartheta +&= +\frac{2n-1}{2n} +\int_0^{\frac{\pi}2} +\sin^{2n-2}\vartheta\,d\vartheta +\\ +&= +\frac{2n-1}{2n} +\frac{2n-3}{2n-2} +\frac{2n-5}{2n-4} +\cdots +\frac{2n-(2n-1)}{2(n-1)} +\int_0^{\frac{\pi}2} +\sin^{2n-4}\vartheta\,d\vartheta +\\ +&= +\frac{ +(n-\frac12)(n-\frac32)(n-\frac52)\cdot\ldots\cdot\frac32\cdot\frac12 +}{ +n! +} +\int_0^{\frac{\pi}2} 1\,d\vartheta +\\ +&= +\frac{(\frac12)_n}{n!} +\cdot +\frac{\pi}2. +\end{align*} +Damit wird die Reihenentwicklung für $K(k)$ jetzt zu +\[ +K(k) += +\frac{\pi}2 +\sum_{n=0}^\infty +\frac{(\frac12)_n(\frac12)_n}{n!} \cdot \frac{(k^2)^n}{n!} += +\frac{\pi}2 +\cdot +\mathstrut_2F_1\biggl(\begin{matrix}\frac12,\frac12\\1\end{matrix};k^2\biggr), +\] +dies beweist die Behauptung. +\end{proof} @@ -247,6 +428,29 @@ Für den extremen Wert $\varepsilon=0$ entsteht der Umfang einer Ellipse, also $E(0)=\frac{\pi}2$. Für $\varepsilon=1$ ist $a=0$, es entsteht eine Strecke mit Länge $E(1)=1$. +\begin{satz} +\label{buch:elliptisch:satz:hyperE} +Das volständige elliptische Integral $E(k)$ ist +\[ +E(k) += +\int_0^{\frac{\pi}2} \sqrt{1-k^2\sin^2\vartheta}\,d\vartheta += +\frac{\pi}2 +\cdot +\mathstrut_2F_1\biggl( +\begin{matrix}-\frac12,\frac12\\1\end{matrix}; +k^2 +\biggr). +\] +\end{satz} + +\begin{proof}[Beweis] +Die Identität kann wie im Satz~\ref{buch:elliptisch:satz:hyperK} mit +Hilfe einer Entwicklung der Wurzel mit der Binomialreihe gefunden +werden. +\end{proof} + \subsubsection{Komplementäre Integrale} \subsubsection{Ableitung} @@ -447,7 +651,7 @@ werden, dass $1-k'^2=k^2$ ist. \begin{definition} Ist $0\le k\le 1$ der Modul eines elliptischen Integrals, dann heisst -$k' = \sqrt{1-k^2}$ er {\em Komplementärmodul} oder {\em Komplement +$k' = \sqrt{1-k^2}$ der {\em Komplementärmodul} oder {\em Komplement des Moduls}. Es ist $k^2+k'^2=1$. \end{definition} diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/elltrigo.tex b/buch/chapters/110-elliptisch/elltrigo.tex new file mode 100644 index 0000000..d600243 --- /dev/null +++ b/buch/chapters/110-elliptisch/elltrigo.tex @@ -0,0 +1,1012 @@ +% +% elltrigo.tex +% +% (c) 2022 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% + +% +% elliptische Funktionen als Trigonometrie +% +\subsection{Elliptische Funktionen als Trigonometrie} +\begin{figure} +\centering +\includegraphics{chapters/110-elliptisch/images/ellipse.pdf} +\caption{Kreis und Ellipse zum Vergleich und zur Herleitung der +elliptischen Funktionen von Jacobi als ``trigonometrische'' Funktionen +auf einer Ellipse. +\label{buch:elliptisch:fig:ellipse}} +\end{figure} +% based on Willliam Schwalm, Elliptic functions and elliptic integrals +% https://youtu.be/DCXItCajCyo + +% +% Geometrie einer Ellipse +% +\subsubsection{Geometrie einer Ellipse} +Eine {\em Ellipse} ist die Menge der Punkte der Ebene, für die die Summe +\index{Ellipse}% +der Entfernungen von zwei festen Punkten $F_1$ und $F_2$, +den {\em Brennpunkten}, konstant ist. +\index{Brennpunkt}% +In Abbildung~\ref{buch:elliptisch:fig:ellipse} eine Ellipse +mit Brennpunkten in $F_1=(-e,0)$ und $F_2=(e,0)$ dargestellt, +die durch die Punkte $(\pm a,0)$ und $(0,\pm b)$ auf den Achsen geht. +Der Punkt $(a,0)$ hat die Entfernungen $a+e$ und $a-e$ von den beiden +Brennpunkten, also die Entfernungssumme $a+e+a-e=2a$. +Jeder andere Punkt auf der Ellipse muss ebenfalls diese Entfernungssumme +haben, insbesondere auch der Punkt $(0,b)$. +Seine Entfernung zu jedem Brennpunkt muss aus Symmetriegründen gleich gross, +also $a$ sein. +Aus dem Satz von Pythagoras liest man daher ab, dass +\[ +b^2+e^2=a^2 +\qquad\Rightarrow\qquad +e^2 = a^2-b^2 +\] +sein muss. +Die Strecke $e$ heisst auch {\em (lineare) Exzentrizität} der Ellipse. +Das Verhältnis $\varepsilon= e/a$ heisst die {\em numerische Exzentrizität} +der Ellipse. + +% +% Die Ellipsengleichung +% +\subsubsection{Ellipsengleichung} +Der Punkt $P=(x,y)$ auf der Ellipse hat die Entfernungen +\begin{equation} +\begin{aligned} +\overline{PF_1}^2 +&= +y^2 + (x+e)^2 +\\ +\overline{PF_2}^2 +&= +y^2 + (x-e)^2 +\end{aligned} +\label{buch:elliptisch:eqn:wurzelausdruecke} +\end{equation} +von den Brennpunkten, für die +\begin{equation} +\overline{PF_1}+\overline{PF_2} += +2a +\label{buch:elliptisch:eqn:pf1pf2a} +\end{equation} +gelten muss. +Man kann nachrechnen, dass ein Punkt $P$, der die Gleichung +\[ +\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2}=1 +\] +erfüllt, auch die Eigenschaft~\eqref{buch:elliptisch:eqn:pf1pf2a} +erfüllt. +Zur Vereinfachung setzen wir $l_1=\overline{PF_1}$ und $l_2=\overline{PF_2}$. +$l_1$ und $l_2$ sind Wurzeln aus der rechten Seite von +\eqref{buch:elliptisch:eqn:wurzelausdruecke}. +Das Quadrat von $l_1+l_2$ ist +\[ +l_1^2 + 2l_1l_2 + l_2^2 = 4a^2. +\] +Um die Wurzeln ganz zu eliminieren, bringt man das Produkt $l_1l_2$ alleine +auf die rechte Seite und quadriert. +Man muss also verifizieren, dass +\[ +(l_1^2 + l_2^2 -4a^2)^2 = 4l_1^2l_2^2. +\] +In den entstehenden Ausdrücken muss man ausserdem $e=\sqrt{a^2-b^2}$ und +\[ +y=b\sqrt{1-\frac{x^2}{a^2}} +\] +substituieren. +Diese Rechnung führt man am einfachsten mit Hilfe eines +Computeralgebraprogramms durch, welches obige Behauptung bestätigt. + +% +% Normierung +% +\subsubsection{Normierung} +Die trigonometrischen Funktionen sind definiert als Verhältnisse +von Seiten rechtwinkliger Dreiecke. +Dadurch, dass man den die Hypothenuse auf Länge $1$ normiert, +kann man die Sinus- und Kosinus-Funktion als Koordinaten eines +Punktes auf dem Einheitskreis interpretieren. + +Für die Koordinaten eines Punktes auf der Ellipse ist dies nicht so einfach, +weil es nicht nur eine Ellipse gibt, sondern für jede numerische Exzentrizität +mindestens eine mit Halbeachse $1$. +Wir wählen die Ellipsen so, dass $a$ die grosse Halbachse ist, also $a>b$. +Als Normierungsbedingung verwenden wir, dass $b=1$ sein soll, wie in +Abbildung~\ref{buch:elliptisch:fig:jacobidef}. +Dann ist $a=1/\varepsilon>1$. +In dieser Normierung haben Punkte $(x,y)$ auf der Ellipse $y$-Koordinaten +zwischen $-1$ und $1$ und $x$-Koordinaten zwischen $-a$ und $a$. + +Im Zusammenhang mit elliptischen Funktionen wird die numerische Exzentrizität +$\varepsilon$ auch mit +\[ +k += +\varepsilon += +\frac{e}{a} += +\frac{\sqrt{a^2-b^2}}{a} += +\frac{\sqrt{a^2-1}}{a}, +\] +die Zahl $k$ heisst auch der {\em Modulus}. +Man kann $a$ auch durch $k$ ausdrücken, durch Quadrieren und Umstellen +findet man +\[ +k^2a^2 = a^2-1 +\quad\Rightarrow\quad +1=a^2(k^2-1) +\quad\Rightarrow\quad +a=\frac{1}{\sqrt{k^2-1}}. +\] + +Die Gleichung der ``Einheitsellipse'' zu diesem Modulus ist +\[ +\frac{x^2}{a^2}+y^2=1 +\qquad\text{oder}\qquad +x^2(k^2-1) + y^2 = 1. +\] + +% +% Definition der elliptischen Funktionen +% +\begin{figure} +\centering +\includegraphics{chapters/110-elliptisch/images/jacobidef.pdf} +\caption{Definition der elliptischen Funktionen als Trigonometrie +an einer Ellipse mit Halbachsen $a$ und $1$. +\label{buch:elliptisch:fig:jacobidef}} +\end{figure} +\subsubsection{Definition der elliptischen Funktionen} +Die elliptischen Funktionen für einen Punkt $P$ auf der Ellipse mit Modulus $k$ +können jetzt als Verhältnisse der Koordinaten des Punktes definieren. +Es stellt sich aber die Frage, was man als Argument verwenden soll. +Es soll so etwas wie den Winkel $\varphi$ zwischen der $x$-Achse und dem +Radiusvektor zum Punkt $P$ +darstellen, aber wir haben hier noch eine Wahlfreiheit, die wir später +ausnützen möchten. +Im Moment müssen wir die Frage noch nicht beantworten und nennen das +noch unbestimmte Argument $u$. +Wir kümmern uns später um die Frage, wie $u$ von $\varphi$ abhängt. + +Die Funktionen, die wir definieren wollen, hängen ausserdem auch +vom Modulus ab. +Falls der verwendete Modulus aus dem Zusammenhang klar ist, lassen +wir das $k$-Argument weg. + +Die Punkte auf dem Einheitskreis haben alle den gleichen Abstand vom +Nullpunkt, dies ist gleichzeitig die definierende Gleichung $r^2=x^2+y^2=1$ +des Kreises. +Die Punkte auf der Ellipse erfüllen die Gleichung $x^2/a^2+y^2=1$, +die Entfernung der Punkte $r=\sqrt{x^2+y^2}$ vom Nullpunkt variert aber. + +In Analogie zu den trigonometrischen Funktionen setzen wir jetzt für +die Funktionen +\[ +\begin{aligned} +&\text{sinus amplitudinis:}& +{\color{red}\operatorname{sn}(u,k)}&= y \\ +&\text{cosinus amplitudinis:}& +{\color{blue}\operatorname{cn}(u,k)}&= \frac{x}{a} \\ +&\text{delta amplitudinis:}& +{\color{darkgreen}\operatorname{dn}(u,k)}&=\frac{r}{a}, +\end{aligned} +\] +die auch in Abbildung~\ref{buch:elliptisch:fig:jacobidef} +dargestellt sind. +Aus der Gleichung der Ellipse folgt sofort, dass +\[ +\operatorname{sn}(u,k)^2 + \operatorname{cn}(u,k)^2 = 1 +\] +ist. +Der Satz von Pythagoras kann verwendet werden, um die Entfernung zu +berechnen, also gilt +\begin{equation} +r^2 += +a^2 \operatorname{dn}(u,k)^2 += +x^2 + y^2 += +a^2\operatorname{cn}(u,k)^2 + \operatorname{sn}(u,k)^2 +\quad +\Rightarrow +\quad +a^2 \operatorname{dn}(u,k)^2 += +a^2\operatorname{cn}(u,k)^2 + \operatorname{sn}(u,k)^2. +\label{buch:elliptisch:eqn:sncndnrelation} +\end{equation} +Ersetzt man +$ +a^2\operatorname{cn}(u,k)^2 += +a^2-a^2\operatorname{sn}(u,k)^2 +$, ergibt sich +\[ +a^2 \operatorname{dn}(u,k)^2 += +a^2-a^2\operatorname{sn}(u,k)^2 ++ +\operatorname{sn}(u,k)^2 +\quad +\Rightarrow +\quad +\operatorname{dn}(u,k)^2 ++ +\frac{a^2-1}{a^2}\operatorname{sn}(u,k)^2 += +1, +\] +woraus sich die Identität +\[ +\operatorname{dn}(u,k)^2 + k^2 \operatorname{sn}(u,k)^2 = 1 +\] +ergibt. +Ebenso kann man aus~\eqref{buch:elliptisch:eqn:sncndnrelation} +die Funktion $\operatorname{cn}(u,k)$ eliminieren, was auf +\[ +a^2\operatorname{dn}(u,k)^2 += +a^2\operatorname{cn}(u,k)^2 ++1-\operatorname{cn}(u,k)^2 += +(a^2-1)\operatorname{cn}(u,k)^2 ++1. +\] +Nach Division durch $a^2$ ergibt sich +\begin{align*} +\operatorname{dn}(u,k)^2 +- +k^2\operatorname{cn}(u,k)^2 +&= +\frac{1}{a^2} += +\frac{a^2-a^2+1}{a^2} += +1-k^2 =: k^{\prime 2}. +\end{align*} +Wir stellen die hiermit gefundenen Relationen zwischen den grundlegenden +Jacobischen elliptischen Funktionen für später zusammen in den Formeln +\begin{equation} +\begin{aligned} +\operatorname{sn}^2(u,k) ++ +\operatorname{cn}^2(u,k) +&= +1 +\\ +\operatorname{dn}^2(u,k) + k^2\operatorname{sn}^2(u,k) +&= +1 +\\ +\operatorname{dn}^2(u,k) -k^2\operatorname{cn}^2(u,k) +&= +k^{\prime 2}. +\end{aligned} +\label{buch:elliptisch:eqn:jacobi-relationen} +\end{equation} +zusammen. +So wie es möglich ist, $\sin\alpha$ durch $\cos\alpha$ auszudrücken, +ist es mit +\eqref{buch:elliptisch:eqn:jacobi-relationen} +jetzt auch möglich jede grundlegende elliptische Funktion durch +jede anderen auszudrücken. +Die Resultate sind in der Tabelle~\ref{buch:elliptisch:fig:jacobi-relationen} +zusammengestellt. + +\begin{table} +\centering +\renewcommand{\arraystretch}{2.1} +\begin{tabular}{|>{$\displaystyle}c<{$}|>{$\displaystyle}c<{$}>{$\displaystyle}c<{$}>{$\displaystyle}c<{$}|} +\hline +&\operatorname{sn}(u,k) +&\operatorname{cn}(u,k) +&\operatorname{dn}(u,k)\\ +\hline +\operatorname{sn}(u,k) +&\operatorname{sn}(u,k) +&\sqrt{1-\operatorname{cn}^2(u,k)} +&\frac1k\sqrt{1-\operatorname{dn}^2(u,k)} +\\ +\operatorname{cn}(u,k) +&\sqrt{1-\operatorname{sn}^2(u,k)} +&\operatorname{cn}(u,k) +&\frac{1}{k}\sqrt{\operatorname{dn}^2(u,k)-k^{\prime2}} +\\ +\operatorname{dn}(u,k) +&\sqrt{1-k^2\operatorname{sn}^2(u,k)} +&\sqrt{k^{\prime2}+k^2\operatorname{cn}^2(u,k)} +&\operatorname{dn}(u,k) +\\ +\hline +\end{tabular} +\caption{Jede der Jacobischen elliptischen Funktionen lässt sich +unter Verwendung der Relationen~\eqref{buch:elliptisch:eqn:jacobi-relationen} +durch jede andere ausdrücken. +\label{buch:elliptisch:fig:jacobi-relationen}} +\end{table} + +% +% Ableitungen der Jacobi-ellpitischen Funktionen +% +\subsubsection{Ableitung} +Die trigonometrischen Funktionen sind deshalb so besonders nützlich +für die Lösung von Schwingungsdifferentialgleichungen, weil sie die +Beziehungen +\[ +\frac{d}{d\varphi} \cos\varphi = -\sin\varphi +\qquad\text{und}\qquad +\frac{d}{d\varphi} \sin\varphi = \cos\varphi +\] +erfüllen. +So einfach können die Beziehungen natürlich nicht sein, sonst würde sich +durch Integration ja wieder nur die trigonometrischen Funktionen ergeben. +Durch geschickte Wahl des Arguments $u$ kann man aber erreichen, dass +sie ähnlich nützliche Beziehungen zwischen den Ableitungen ergeben. + +Gesucht ist jetzt also eine Wahl für das Argument $u$ zum Beispiel in +Abhängigkeit von $\varphi$, dass sich einfache und nützliche +Ableitungsformeln ergeben. +Wir setzen daher $u(\varphi)$ voraus und beachten, dass $x$ und $y$ +ebenfalls von $\varphi$ abhängen, es ist +$y=\sin\varphi$ und $x=a\cos\varphi$. +Die Ableitungen von $x$ und $y$ nach $\varphi$ sind +\begin{align*} +\frac{dy}{d\varphi} +&= +\cos\varphi += +\frac{1}{a} x += +\operatorname{cn}(u,k) +\\ +\frac{dx}{d\varphi} +&= +-a\sin\varphi += +-a y += +-a\operatorname{sn}(u,k). +\end{align*} +Daraus kann man jetzt die folgenden Ausdrücke für die Ableitungen der +elliptischen Funktionen nach $\varphi$ ableiten: +\begin{align*} +\frac{d}{d\varphi} \operatorname{sn}(u,z) +&= +\frac{d}{d\varphi} y(\varphi) += +\cos\varphi += +\frac{x}{a} += +\operatorname{cn}(u,k) +&&\Rightarrow& +\frac{d}{du} +\operatorname{sn}(u,k) +&= +\operatorname{cn}(u,k) \frac{d\varphi}{du} +\\ +\frac{d}{d\varphi} \operatorname{cn}(u,z) +&= +\frac{d}{d\varphi} \frac{x(\varphi)}{a} += +-\sin\varphi += +-\operatorname{sn}(u,k) +&&\Rightarrow& +\frac{d}{du}\operatorname{cn}(u,k) +&= +-\operatorname{sn}(u,k) \frac{d\varphi}{du} +\\ +\frac{d}{d\varphi} \operatorname{dn}(u,z) +&= +\frac{1}{a}\frac{dr}{d\varphi} += +\frac{1}{a}\frac{d\sqrt{x^2+y^2}}{d\varphi} +%\\ +%& +\rlap{$\displaystyle\mathstrut += +\frac{x}{ar} \frac{dx}{d\varphi} ++ +\frac{y}{ar} \frac{dy}{d\varphi} +%\\ +%& += +\frac{x}{ar} (-a\operatorname{sn}(u,k)) ++ +\frac{y}{ar} \operatorname{cn}(u,k) +$} +\\ +& +\rlap{$\displaystyle\mathstrut += +\frac{x}{ar}(-ay) ++ +\frac{y}{ar} \frac{x}{a} +%\rlap{$\displaystyle += +\frac{xy(-1+\frac{1}{a^2})}{r} +%$} +%\\ +%& += +-\frac{xy(a^2-1)}{a^2r} +$} +\\ +&= +-\frac{a^2-1}{ar} +\operatorname{cn}(u,k) \operatorname{sn}(u,k) +%\\ +%& +\rlap{$\displaystyle\mathstrut += +-k^2 +\frac{a}{r} +\operatorname{cn}(u,k) \operatorname{sn}(u,k) +$} +\\ +&= +-k^2\frac{\operatorname{cn}(u,k)\operatorname{sn}(u,k)}{\operatorname{dn}(u,k)} +&&\Rightarrow& +\frac{d}{du} \operatorname{dn}(u,k) +&= +-k^2\frac{\operatorname{cn}(u,k) +\operatorname{sn}(u,k)}{\operatorname{dn}(u,k)} +\frac{d\varphi}{du}. +\end{align*} +Die einfachsten Beziehungen ergeben sich offenbar, wenn man $u$ so +wählt, dass +\[ +\frac{d\varphi}{du} += +\operatorname{dn}(u,k) += +\frac{r}{a}. +\] +Damit haben wir die grundlegenden Ableitungsregeln + +\begin{satz} +\label{buch:elliptisch:satz:ableitungen} +Die Jacobischen elliptischen Funktionen haben die Ableitungen +\begin{equation} +\begin{aligned} +\frac{d}{du}\operatorname{sn}(u,k) +&= +\phantom{-}\operatorname{cn}(u,k)\operatorname{dn}(u,k) +\\ +\frac{d}{du}\operatorname{cn}(u,k) +&= +-\operatorname{sn}(u,k)\operatorname{dn}(u,k) +\\ +\frac{d}{du}\operatorname{dn}(u,k) +&= +-k^2\operatorname{sn}(u,k)\operatorname{cn}(u,k). +\end{aligned} +\label{buch:elliptisch:eqn:ableitungsregeln} +\end{equation} +\end{satz} + +% +% Der Grenzfall $k=1$ +% +\subsubsection{Der Grenzwert $k\to1$} +\begin{figure} +\centering +\includegraphics{chapters/110-elliptisch/images/sncnlimit.pdf} +\caption{Grenzfälle der Jacobischen elliptischen Funktionen +für die Werte $0$ und $1$ des Parameters $k$. +\label{buch:elliptisch:fig:sncnlimit}} +\end{figure} +Für $k=1$ ist $k^{\prime2}=1-k^2=$ und es folgt aus den +Relationen~\eqref{buch:elliptisch:eqn:jacobi-relationen} +\[ +\operatorname{cn}^2(u,k) +- +k^2 +\operatorname{dn}^2(u,k) += +k^{\prime2} += +0 +\qquad\Rightarrow\qquad +\operatorname{cn}^2(u,1) += +\operatorname{dn}^2(u,1), +\] +die beiden Funktionen +$\operatorname{cn}(u,k)$ +und +$\operatorname{dn}(u,k)$ +fallen also zusammen. +Die Ableitungsregeln werden dadurch vereinfacht: +\begin{align*} +\operatorname{sn}'(u,1) +&= +\operatorname{cn}(u,1) +\operatorname{dn}(u,1) += +\operatorname{cn}^2(u,1) += +1-\operatorname{sn}^2(u,1) +&&\Rightarrow& y'&=1-y^2 +\\ +\operatorname{cn}'(u,1) +&= +- +\operatorname{sn}(u,1) +\operatorname{dn}(u,1) += +- +\operatorname{sn}(u,1)\operatorname{cn}(u,1) +&&\Rightarrow& +\frac{z'}{z}&=(\log z)' = -y +\end{align*} +Die erste Differentialgleichung für $y$ lässt sich separieren, man findet +die Lösung +\[ +\frac{y'}{1-y^2} += +1 +\quad\Rightarrow\quad +\int \frac{dy}{1-y^2} = \int \,du +\quad\Rightarrow\quad +\operatorname{artanh}(y) = u +\quad\Rightarrow\quad +\operatorname{sn}(u,1)=\tanh u. +\] +Damit kann man jetzt auch $z$ berechnen: +\begin{align*} +(\log \operatorname{cn}(u,1))' +&= +\tanh u +&&\Rightarrow& +\log\operatorname{cn}(u,1) +&= +-\int\tanh u\,du += +-\log\cosh u +\\ +& +&&\Rightarrow& +\operatorname{cn}(u,1) +&= +\frac{1}{\cosh u} += +\operatorname{sech}u. +\end{align*} +Die Grenzfunktionen sind in Abbildung~\ref{buch:elliptisch:fig:sncnlimit} +dargestellt. + +% +% Das Argument u +% +\subsubsection{Das Argument $u$} +Die Gleichung +\begin{equation} +\frac{d\varphi}{du} += +\operatorname{dn}(u,k) +\label{buch:elliptisch:eqn:uableitung} +\end{equation} +ermöglicht, $\varphi$ in Abhängigkeit von $u$ zu berechnen, ohne jedoch +die geometrische Bedeutung zu klären. +Das beginnt bereits damit, dass der Winkel $\varphi$ nicht nicht der +Polarwinkel des Punktes $P$ in Abbildung~\ref{buch:elliptisch:fig:jacobidef} +ist, diesen nennen wir $\vartheta$. +Der Zusammenhang zwischen $\varphi$ und $\vartheta$ ist +\begin{equation} +\frac1{a}\tan\varphi = \tan\vartheta +\label{buch:elliptisch:eqn:phitheta} +\end{equation} + +Um die geometrische Bedeutung besser zu verstehen, nehmen wir jetzt an, +dass die Ellipse mit einem Parameter $t$ parametrisiert ist, dass also +$\varphi(t)$, $\vartheta(t)$ und $u(t)$ Funktionen von $t$ sind. +Die Ableitung von~\eqref{buch:elliptisch:eqn:phitheta} ist +\[ +\frac1{a}\cdot \frac{1}{\cos^2\varphi}\cdot \dot{\varphi} += +\frac{1}{\cos^2\vartheta}\cdot \dot{\vartheta}. +\] +Daraus kann die Ableitung von $\vartheta$ nach $\varphi$ bestimmt +werden, sie ist +\[ +\frac{d\vartheta}{d\varphi} += +\frac{\dot{\vartheta}}{\dot{\varphi}} += +\frac{1}{a} +\cdot +\frac{\cos^2\vartheta}{\cos^2\varphi} += +\frac{1}{a} +\cdot +\frac{(x/r)^2}{(x/a)^2} += +\frac{1}{a}\cdot +\frac{a^2}{r^2} += +\frac{1}{a}\cdot\frac{1}{\operatorname{dn}^2(u,k)}. +\] +Damit kann man jetzt mit Hilfe von~\eqref{buch:elliptisch:eqn:uableitung} +Die Ableitung von $\vartheta$ nach $u$ ermitteln, sie ist +\[ +\frac{d\vartheta}{du} += +\frac{d\vartheta}{d\varphi} +\cdot +\frac{d\varphi}{du} += +\frac{1}{a}\cdot\frac{1}{\operatorname{dn}^2(u,k)} +\cdot +\operatorname{dn}(u,k) += +\frac{1}{a} +\cdot +\frac{1}{\operatorname{dn}(u,k)} += +\frac{1}{a} +\cdot\frac{a}{r} += +\frac{1}{r}, +\] +wobei wir auch die Definition der Funktion $\operatorname{dn}(u,k)$ +verwendet haben. + +In der Parametrisierung mit dem Parameter $t$ kann man jetzt die Ableitung +von $u$ nach $t$ berechnen als +\[ +\frac{du}{dt} += +\frac{du}{d\vartheta} +\frac{d\vartheta}{dt} += +r +\dot{\vartheta}. +\] +Darin ist $\dot{\vartheta}$ die Winkelgeschwindigkeit des Punktes um +das Zentrum $O$ und $r$ ist die aktuelle Entfernung des Punktes $P$ +von $O$. +$r\dot{\vartheta}$ ist also die Geschwindigkeitskomponenten des Punktes +$P$ senkrecht auf den aktuellen Radiusvektor. +Der Parameter $u$, der zum Punkt $P$ gehört, ist also das Integral +\[ +u(P) = \int_0^P r\,d\vartheta. +\] +Für einen Kreis ist die Geschwindigkeit von $P$ immer senkrecht +auf dem Radiusvektor und der Radius ist konstant, so dass +$u(P)=\vartheta(P)$ ist. + +% +% Die abgeleiteten elliptischen Funktionen +% +\begin{figure} +\centering +\includegraphics[width=\textwidth]{chapters/110-elliptisch/images/jacobi12.pdf} +\caption{Die Verhältnisse der Funktionen +$\operatorname{sn}(u,k)$, +$\operatorname{cn}(u,k)$ +udn +$\operatorname{dn}(u,k)$ +geben Anlass zu neun weitere Funktionen, die sich mit Hilfe +des Strahlensatzes geometrisch interpretieren lassen. +\label{buch:elliptisch:fig:jacobi12}} +\end{figure} +\begin{table} +\centering +\renewcommand{\arraystretch}{2.5} +\begin{tabular}{|>{$\displaystyle}c<{$}|>{$\displaystyle}c<{$}>{$\displaystyle}c<{$}>{$\displaystyle}c<{$}>{$\displaystyle}c<{$}|} +\hline +\cdot & +\frac{1}{1} & +\frac{1}{\operatorname{sn}(u,k)} & +\frac{1}{\operatorname{cn}(u,k)} & +\frac{1}{\operatorname{dn}(u,k)} +\\[5pt] +\hline +1& +&%\operatorname{nn}(u,k)=\frac{1}{1} & +\operatorname{ns}(u,k)=\frac{1}{\operatorname{sn}(u,k)} & +\operatorname{nc}(u,k)=\frac{1}{\operatorname{cn}(u,k)} & +\operatorname{nd}(u,k)=\frac{1}{\operatorname{dn}(u,k)} +\\ +\operatorname{sn}(u,k) & +\operatorname{sn}(u,k)=\frac{\operatorname{sn}(u,k)}{1}& +&%\operatorname{ss}(u,k)=\frac{\operatorname{sn}(u,k)}{\operatorname{sn}(u,k)}& +\operatorname{sc}(u,k)=\frac{\operatorname{sn}(u,k)}{\operatorname{cn}(u,k)}& +\operatorname{sd}(u,k)=\frac{\operatorname{sn}(u,k)}{\operatorname{dn}(u,k)} +\\ +\operatorname{cn}(u,k) & +\operatorname{cn}(u,k)=\frac{\operatorname{cn}(u,k)}{1} & +\operatorname{cs}(u,k)=\frac{\operatorname{cn}(u,k)}{\operatorname{sn}(u,k)}& +&%\operatorname{cc}(u,k)=\frac{\operatorname{cn}(u,k)}{\operatorname{cn}(u,k)}& +\operatorname{cd}(u,k)=\frac{\operatorname{cn}(u,k)}{\operatorname{dn}(u,k)} +\\ +\operatorname{dn}(u,k) & +\operatorname{dn}(u,k)=\frac{\operatorname{dn}(u,k)}{1} & +\operatorname{ds}(u,k)=\frac{\operatorname{dn}(u,k)}{\operatorname{sn}(u,k)}& +\operatorname{dc}(u,k)=\frac{\operatorname{dn}(u,k)}{\operatorname{cn}(u,k)}& +%\operatorname{dd}(u,k)=\frac{\operatorname{dn}(u,k)}{\operatorname{dn}(u,k)} +\\[5pt] +\hline +\end{tabular} +\caption{Zusammenstellung der abgeleiteten Jacobischen elliptischen +Funktionen in hinteren drei Spalten als Quotienten der grundlegenden +Jacobischen elliptischen Funktionen. +Die erste Spalte zum Nenner $1$ enthält die grundlegenden +Jacobischen elliptischen Funktionen. +\label{buch:elliptisch:table:abgeleitetjacobi}} +\end{table} + +% +% Die abgeleiteten elliptischen Funktionen +% +\subsubsection{Die abgeleiteten elliptischen Funktionen} +Zusätzlich zu den grundlegenden Jacobischen elliptischen Funktioenn +lassen sich weitere elliptische Funktionen bilden, die unglücklicherweise +die {\em abgeleiteten elliptischen Funktionen} genannt werden. +Ähnlich wie die trigonometrischen Funktionen $\tan\alpha$, $\cot\alpha$, +$\sec\alpha$ und $\csc\alpha$ als Quotienten von $\sin\alpha$ und +$\cos\alpha$ definiert sind, sind die abgeleiteten elliptischen Funktionen +die in Tabelle~\ref{buch:elliptisch:table:abgeleitetjacobi} zusammengestellten +Quotienten der grundlegenden Jacobischen elliptischen Funktionen. +Die Bezeichnungskonvention ist, dass die Funktion $\operatorname{pq}(u,k)$ +ein Quotient ist, dessen Zähler durch den Buchstaben p bestimmt ist, +der Nenner durch den Buchstaben q. +Der Buchstabe n steht für eine $1$, die Buchstaben s, c und d stehen für +die Anfangsbuchstaben der grundlegenden Jacobischen elliptischen +Funktionen. +Meint man irgend eine der Jacobischen elliptischen Funktionen, schreibt +man manchmal auch $\operatorname{zn}(u,k)$. + +In Abbildung~\ref{buch:elliptisch:fig:jacobi12} sind die Quotienten auch +geometrisch interpretiert. +Der Wert der Funktion $\operatorname{nq}(u,k)$ ist die auf dem Strahl +mit Polarwinkel $\varphi$ abgetragene Länge bis zu den vertikalen +Geraden, die den verschiedenen möglichen Nennern entsprechen. +Entsprechend ist der Wert der Funktion $\operatorname{dq}(u,k)$ die +Länge auf dem Strahl mit Polarwinkel $\vartheta$. + +Die Relationen~\ref{buch:elliptisch:eqn:jacobi-relationen} +ermöglichen, jede Funktion $\operatorname{zn}(u,k)$ durch jede +andere auszudrücken. +Die schiere Anzahl solcher Beziehungen macht es unmöglich, sie +übersichtlich in einer Tabelle zusammenzustellen, daher soll hier +nur an einem Beispiel das Vorgehen gezeigt werden: + +\begin{beispiel} +Die Funktion $\operatorname{sc}(u,k)$ soll durch $\operatorname{cd}(u,k)$ +ausgedrückt werden. +Zunächst ist +\[ +\operatorname{sc}(u,k) += +\frac{\operatorname{sn}(u,k)}{\operatorname{cn}(u,k)} +\] +nach Definition. +Im Resultat sollen nur noch $\operatorname{cn}(u,k)$ und +$\operatorname{dn}(u,k)$ vorkommen. +Daher eliminieren wir zunächst die Funktion $\operatorname{sn}(u,k)$ +mit Hilfe von \eqref{buch:elliptisch:eqn:jacobi-relationen} und erhalten +\begin{equation} +\operatorname{sc}(u,k) += +\frac{\sqrt{1-\operatorname{cn}^2(u,k)}}{\operatorname{cn}(u,k)}. +\label{buch:elliptisch:eqn:allgausdruecken} +\end{equation} +Nun genügt es, die Funktion $\operatorname{cn}(u,k)$ durch +$\operatorname{cd}(u,k)$ auszudrücken. +Aus der Definition und der +dritten Relation in \eqref{buch:elliptisch:eqn:jacobi-relationen} +erhält man +\begin{align*} +\operatorname{cd}^2(u,k) +&= +\frac{\operatorname{cn}^2(u,k)}{\operatorname{dn}^2(u,k)} += +\frac{\operatorname{cn}^2(u,k)}{k^{\prime2}+k^2\operatorname{cn}^2(u,k)} +\\ +\Rightarrow +\qquad +k^{\prime 2} +\operatorname{cd}^2(u,k) ++ +k^2\operatorname{cd}^2(u,k)\operatorname{cn}^2(u,k) +&= +\operatorname{cn}^2(u,k) +\\ +\operatorname{cn}^2(u,k) +- +k^2\operatorname{cd}^2(u,k)\operatorname{cn}^2(u,k) +&= +k^{\prime 2} +\operatorname{cd}^2(u,k) +\\ +\operatorname{cn}^2(u,k) +&= +\frac{ +k^{\prime 2} +\operatorname{cd}^2(u,k) +}{ +1 - k^2\operatorname{cd}^2(u,k) +} +\end{align*} +Für den Zähler brauchen wir $1-\operatorname{cn}^2(u,k)$, also +\[ +1-\operatorname{cn}^2(u,k) += +\frac{ +1 +- +k^2\operatorname{cd}^2(u,k) +- +k^{\prime 2} +\operatorname{cd}^2(u,k) +}{ +1 +- +k^2\operatorname{cd}^2(u,k) +} += +\frac{1-\operatorname{cd}^2(u,k)}{1-k^2\operatorname{cd}^2(u,k)} +\] +Einsetzen in~\eqref{buch:elliptisch:eqn:allgausdruecken} gibt +\begin{align*} +\operatorname{sc}(u,k) +&= +\frac{ +\sqrt{1-\operatorname{cd}^2(u,k)} +}{\sqrt{1-k^2\operatorname{cd}^2(u,k)}} +\cdot +\frac{ +\sqrt{1 - k^2\operatorname{cd}^2(u,k)} +}{ +k' +\operatorname{cd}(u,k) +} += +\frac{ +\sqrt{1-\operatorname{cd}^2(u,k)} +}{ +k' +\operatorname{cd}(u,k) +}. +\qedhere +\end{align*} +\end{beispiel} + +\subsubsection{Ableitung der abgeleiteten elliptischen Funktionen} +Aus den Ableitungen der grundlegenden Jacobischen elliptischen Funktionen +können mit der Quotientenregel nun auch beliebige Ableitungen der +abgeleiteten Jacobischen elliptischen Funktionen gefunden werden. +Als Beispiel berechnen wir die Ableitung von $\operatorname{sc}(u,k)$. +Sie ist +\begin{align*} +\frac{d}{du} +\operatorname{sc}(u,k) +&= +\frac{d}{du} +\frac{\operatorname{sn}(u,k)}{\operatorname{cn}(u,k)} += +\frac{ +\operatorname{sn}'(u,k)\operatorname{cn}(u,k) +- +\operatorname{sn}(u,k)\operatorname{cn}'(u,k)}{ +\operatorname{cn}^2(u,k) +} +\\ +&= +\frac{ +\operatorname{cn}^2(u,k)\operatorname{dn}(u,k) ++ +\operatorname{sn}^2(u,k)\operatorname{dn}(u,k) +}{ +\operatorname{cn}^2(u,k) +} += +\frac{( +\operatorname{sn}^2(u,k) ++ +\operatorname{cn}^2(u,k) +)\operatorname{dn}(u,k)}{ +\operatorname{cn}^2(u,k) +} +\\ +&= +\frac{1}{\operatorname{cn}(u,k)} +\cdot +\frac{\operatorname{dn}(u,k)}{\operatorname{cn}(u,k)} += +\operatorname{nc}(u,k) +\operatorname{dc}(u,k). +\end{align*} +Man beachte, dass das Quadrat der Nennerfunktion im Resultat +der Quotientenregel zur Folge hat, dass die +beiden Funktionen im Resultat beide den gleichen Nenner haben wie +die Funktion, die abgeleitet wird. + +Mit etwas Fleiss kann man nach diesem Muster alle Ableitungen +\begin{equation} +%\small +\begin{aligned} +\operatorname{sn}'(u,k) +&= +\phantom{-} +\operatorname{cn}(u,k)\,\operatorname{dn}(u,k) +&&\qquad& +\operatorname{ns}'(u,k) +&= +- +\operatorname{cs}(u,k)\,\operatorname{ds}(u,k) +\\ +\operatorname{cn}'(u,k) +&= +- +\operatorname{sn}(u,k)\,\operatorname{dn}(u,k) +&&& +\operatorname{nc}'(u,k) +&= +\phantom{-} +\operatorname{sc}(u,k)\,\operatorname{dc}(u,k) +\\ +\operatorname{dn}'(u,k) +&= +-k^2 +\operatorname{sn}(u,k)\,\operatorname{cn}(u,k) +&&& +\operatorname{nd}'(u,k) +&= +\phantom{-} +k^2 +\operatorname{sd}(u,k)\,\operatorname{cd}(u,k) +\\ +\operatorname{sc}'(u,k) +&= +\phantom{-} +\operatorname{dc}(u,k)\,\operatorname{nc}(u,k) +&&& +\operatorname{cs}'(u,k) +&= +- +\operatorname{ds}(u,k)\,\operatorname{ns}(u,k) +\\ +\operatorname{cd}'(u,k) +&= +-k^{\prime2} +\operatorname{sd}(u,k)\,\operatorname{nd}(u,k) +&&& +\operatorname{dc}'(u,k) +&= +\phantom{-} +k^{\prime2} +\operatorname{dc}(u,k)\,\operatorname{nc}(u,k) +\\ +\operatorname{ds}'(d,k) +&= +- +\operatorname{cs}(u,k)\,\operatorname{ns}(u,k) +&&& +\operatorname{sd}'(d,k) +&= +\phantom{-} +\operatorname{cd}(u,k)\,\operatorname{nd}(u,k) +\end{aligned} +\label{buch:elliptisch:eqn:alleableitungen} +\end{equation} +finden. +Man beachte, dass in jeder Identität alle Funktionen den gleichen +zweiten Buchstaben haben. + +\subsubsection{TODO} +XXX algebraische Beziehungen \\ +XXX Additionstheoreme \\ +XXX Perioden +% use https://math.stackexchange.com/questions/3013692/how-to-show-that-jacobi-sine-function-is-doubly-periodic + + diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/images/Makefile b/buch/chapters/110-elliptisch/images/Makefile index 68322b6..a7c9e74 100644 --- a/buch/chapters/110-elliptisch/images/Makefile +++ b/buch/chapters/110-elliptisch/images/Makefile @@ -5,7 +5,7 @@ # all: lemniskate.pdf ellipsenumfang.pdf unvollstaendig.pdf rechteck.pdf \ ellipse.pdf pendel.pdf jacobiplots.pdf jacobidef.pdf jacobi12.pdf \ - sncnlimit.pdf + sncnlimit.pdf slcl.pdf lemniskate.pdf: lemniskate.tex pdflatex lemniskate.tex @@ -71,3 +71,10 @@ jacobi12.pdf: jacobi12.tex sncnlimit.pdf: sncnlimit.tex pdflatex sncnlimit.tex +slcl: slcl.cpp + g++ -O -Wall -std=c++11 slcl.cpp -o slcl `pkg-config --cflags gsl` `pkg-config --libs gsl` + +slcldata.tex: slcl + ./slcl --outfile=slcldata.tex --a=0 --b=13.4 --steps=200 +slcl.pdf: slcl.tex slcldata.tex + pdflatex slcl.tex diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/images/jacobiplots.pdf b/buch/chapters/110-elliptisch/images/jacobiplots.pdf Binary files differindex d11bde8..f0e6e78 100644 --- a/buch/chapters/110-elliptisch/images/jacobiplots.pdf +++ b/buch/chapters/110-elliptisch/images/jacobiplots.pdf diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/images/jacobiplots.tex b/buch/chapters/110-elliptisch/images/jacobiplots.tex index 4fc572e..fec04fc 100644 --- a/buch/chapters/110-elliptisch/images/jacobiplots.tex +++ b/buch/chapters/110-elliptisch/images/jacobiplots.tex @@ -31,7 +31,7 @@ \fill[color=gray!50] (-0.2,1.65) rectangle (7.0,2.3); \draw[line width=0.5pt] (-0.2,-6) rectangle (7.0,2.3); \begin{scope}[scale=0.5] -\node at (6.5,{\dy+2}) {$m = #1$}; +\node at (6.5,{\dy+2}) {$k^2 = #1$}; \end{scope} } \def\jacobiplot#1#2#3#4{ diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/images/lemniskate.pdf b/buch/chapters/110-elliptisch/images/lemniskate.pdf Binary files differindex 063a3e1..9e02c3c 100644 --- a/buch/chapters/110-elliptisch/images/lemniskate.pdf +++ b/buch/chapters/110-elliptisch/images/lemniskate.pdf diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/images/lemniskate.tex b/buch/chapters/110-elliptisch/images/lemniskate.tex index f74a81f..fe90631 100644 --- a/buch/chapters/110-elliptisch/images/lemniskate.tex +++ b/buch/chapters/110-elliptisch/images/lemniskate.tex @@ -27,13 +27,16 @@ \draw[color=red,line width=2.0pt] plot[domain=45:\a,samples=100] ({\x}:{sqrt(2*cos(2*\x))}); -\draw[->] (-1.5,0) -- (1.5,0) coordinate[label={$x$}]; -\draw[->] (0,-0.7) -- (0,0.7) coordinate[label={right:$y$}]; +\draw[->] (-1.5,0) -- (1.7,0) coordinate[label={$X$}]; +\draw[->] (0,-0.7) -- (0,0.7) coordinate[label={right:$Y$}]; \fill[color=white] (1,0) circle[radius=0.02]; \draw (1,0) circle[radius=0.02]; +\node at ({1},0) [below] {$\displaystyle a\mathstrut$}; + \fill[color=white] (-1,0) circle[radius=0.02]; \draw (-1,0) circle[radius=0.02]; +\node at ({-1},0) [below] {$\displaystyle\llap{$-$}a\mathstrut$}; \node[color=blue] at (\a:{0.6*sqrt(2*cos(2*\a))}) [below] {$r$}; \node[color=red] at ({\b}:{sqrt(2*cos(2*\b))}) [above] {$s$}; @@ -41,6 +44,14 @@ \fill[color=white] (\a:{sqrt(2*cos(2*\a))}) circle[radius=0.02]; \draw[color=red] (\a:{sqrt(2*cos(2*\a))}) circle[radius=0.02]; +\draw ({sqrt(2)},{-0.1/\skala}) -- ({sqrt(2)},{0.1/\skala}); +\node at ({sqrt(2)},0) [below right] + {$\displaystyle a\mathstrut\sqrt{2}$}; +\draw ({-sqrt(2)},{-0.1/\skala}) -- ({-sqrt(2)},{0.1/\skala}); +\node at ({-sqrt(2)},0) [below left] + {$\displaystyle -a\mathstrut\sqrt{2}$}; + + \end{tikzpicture} \end{document} diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/images/slcl.cpp b/buch/chapters/110-elliptisch/images/slcl.cpp new file mode 100644 index 0000000..8584e94 --- /dev/null +++ b/buch/chapters/110-elliptisch/images/slcl.cpp @@ -0,0 +1,128 @@ +/* + * slcl.cpp + * + * (c) 2022 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule + */ +#include <cstdlib> +#include <cstdio> +#include <cmath> +#include <iostream> +#include <fstream> +#include <sstream> +#include <getopt.h> +#include <vector> +#include <gsl/gsl_sf_elljac.h> + +namespace slcl { + +static struct option longopts[] { +{ "outfile", required_argument, NULL, 'o' }, +{ "a", required_argument, NULL, 'a' }, +{ "b", required_argument, NULL, 'b' }, +{ "steps", required_argument, NULL, 'n' }, +{ NULL, 0, NULL, 0 } +}; + +class plot { + typedef std::pair<double, double> point_t; + typedef std::vector<point_t> curve_t; + curve_t _sl; + curve_t _cl; + double _a; + double _b; + int _steps; +public: + double a() const { return _a; } + double b() const { return _b; } + int steps() const { return _steps; } +public: + plot(double a, double b, int steps) : _a(a), _b(b), _steps(steps) { + double l = sqrt(2); + double k = 1 / l; + double m = k * k; + double h = (b - a) / steps; + for (int i = 0; i <= steps; i++) { + double x = a + h * i; + double sn, cn, dn; + gsl_sf_elljac_e(x, m, &sn, &cn, &dn); + _sl.push_back(std::make_pair(l * x, k * sn / dn)); + _cl.push_back(std::make_pair(l * x, cn)); + } + } +private: + std::string point(const point_t p) const { + char buffer[128]; + snprintf(buffer, sizeof(buffer), "({%.4f*\\dx},{%.4f*\\dy})", + p.first, p.second); + return std::string(buffer); + } + std::string path(const curve_t& curve) const { + std::ostringstream out; + auto i = curve.begin(); + out << point(*(i++)); + do { + out << std::endl << " -- " << point(*(i++)); + } while (i != curve.end()); + out.flush(); + return out.str(); + } +public: + std::string slpath() const { + return path(_sl); + } + std::string clpath() const { + return path(_cl); + } +}; + +/** + * \brief Main function for the slcl program + */ +int main(int argc, char *argv[]) { + int longindex; + int c; + double a = 0; + double b = 10; + int steps = 100; + std::ostream *out = &std::cout; + while (EOF != (c = getopt_long(argc, argv, "a:b:o:n:", + longopts, &longindex))) + switch (c) { + case 'a': + a = std::stod(optarg); + break; + case 'b': + b = std::stod(optarg) / sqrt(2); + break; + case 'n': + steps = std::stol(optarg); + break; + case 'o': + out = new std::ofstream(optarg); + break; + } + + plot p(a, b, steps); + (*out) << "\\def\\slpath{ " << p.slpath(); + (*out) << std::endl << " }" << std::endl; + (*out) << "\\def\\clpath{ " << p.clpath(); + (*out) << std::endl << " }" << std::endl; + + out->flush(); + //out->close(); + return EXIT_SUCCESS; +} + +} // namespace slcl + +int main(int argc, char *argv[]) { + try { + return slcl::main(argc, argv); + } catch (const std::exception& e) { + std::cerr << "terminated by exception: " << e.what(); + std::cerr << std::endl; + } catch (...) { + std::cerr << "terminated by unknown exception" << std::endl; + } + return EXIT_FAILURE; +} diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/images/slcl.pdf b/buch/chapters/110-elliptisch/images/slcl.pdf Binary files differnew file mode 100644 index 0000000..c15051b --- /dev/null +++ b/buch/chapters/110-elliptisch/images/slcl.pdf diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/images/slcl.tex b/buch/chapters/110-elliptisch/images/slcl.tex new file mode 100644 index 0000000..0af1027 --- /dev/null +++ b/buch/chapters/110-elliptisch/images/slcl.tex @@ -0,0 +1,88 @@ +% +% tikztemplate.tex -- template for standalon tikz images +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\documentclass[tikz]{standalone} +\usepackage{amsmath} +\usepackage{times} +\usepackage{txfonts} +\usepackage{pgfplots} +\usepackage{csvsimple} +\usetikzlibrary{arrows,intersections,math} +\begin{document} +\input{slcldata.tex} +\def\skala{1} +\begin{tikzpicture}[>=latex,thick,scale=\skala] + +% add image content here +\def\lemniscateconstant{2.6220575542} +\pgfmathparse{(3.1415926535/2)/\lemniscateconstant} +\xdef\scalechange{\pgfmathresult} + +\pgfmathparse{\scalechange*(180/3.1415926535)} +\xdef\ts{\pgfmathresult} + +\def\dx{1} +\def\dy{3} + +\draw[line width=0.3pt] + ({\lemniscateconstant*\dx},0) + -- + ({\lemniscateconstant*\dx},{1*\dy}); +\draw[line width=0.3pt] + ({2*\lemniscateconstant*\dx},0) + -- + ({2*\lemniscateconstant*\dx},{-1*\dy}); +\draw[line width=0.3pt] + ({3*\lemniscateconstant*\dx},0) + -- + ({3*\lemniscateconstant*\dx},{-1*\dy}); +\draw[line width=0.3pt] + ({4*\lemniscateconstant*\dx},0) + -- + ({4*\lemniscateconstant*\dx},{1*\dy}); +\draw[line width=0.3pt] + ({5*\lemniscateconstant*\dx},0) + -- + ({5*\lemniscateconstant*\dx},{1*\dy}); + +\draw[color=red!40,line width=1.4pt] + plot[domain=0:13,samples=200] ({\x},{\dy*sin(\ts*\x)}); +\draw[color=blue!40,line width=1.4pt] + plot[domain=0:13,samples=200] ({\x},{\dy*cos(\ts*\x)}); + +\draw[color=red,line width=1.4pt] \slpath; +\draw[color=blue,line width=1.4pt] \clpath; + +\draw[->] (0,{-1*\dy-0.1}) -- (0,{1*\dy+0.4}) coordinate[label={right:$r$}]; +\draw[->] (-0.1,0) -- (13.6,0) coordinate[label={$s$}]; + +\foreach \i in {1,2,3,4,5}{ + \draw ({\lemniscateconstant*\i},-0.1) -- ({\lemniscateconstant*\i},0.1); +} +\node at ({\lemniscateconstant*\dx},0) [below left] {$\frac{\varpi}2\mathstrut$}; +\node at ({2*\lemniscateconstant*\dx},0) [below left] {$\varpi\mathstrut$}; +\node at ({3*\lemniscateconstant*\dx},0) [below right] {$\frac{3\varpi}2\mathstrut$}; +\node at ({4*\lemniscateconstant*\dx},0) [below right] {$2\varpi\mathstrut$}; +\node at ({5*\lemniscateconstant*\dx},0) [below left] {$\frac{5\varpi}2\mathstrut$}; + +\node[color=red] at ({1.6*\lemniscateconstant*\dx},{0.6*\dy}) + [below left] {$\operatorname{sl}(s)$}; +\node[color=red!50] at ({1.5*\lemniscateconstant*\dx},{sin(1.5*90)*\dy*0.90}) + [above right] {$\sin \bigl(\frac{\pi}{\varpi}s\bigr)$}; + +\node[color=blue] at ({1.4*\lemniscateconstant*\dx},{-0.6*\dy}) + [above right] {$\operatorname{cl}(s)$}; +\node[color=blue!50] at ({1.5*\lemniscateconstant*\dx},{cos(1.5*90)*\dy*0.90}) + [below left] {$\cos\bigl(\frac{\pi}{\varpi}s\bigr)$}; + +\draw (-0.1,{1*\dy}) -- (0.1,{1*\dy}); +\draw (-0.1,{-1*\dy}) -- (0.1,{-1*\dy}); +\node at (0,{1*\dy}) [left] {$1\mathstrut$}; +\node at (0,0) [left] {$0\mathstrut$}; +\node at (0,{-1*\dy}) [left] {$-1\mathstrut$}; + +\end{tikzpicture} +\end{document} + diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/jacobi.tex b/buch/chapters/110-elliptisch/jacobi.tex index f1e0987..166ea41 100644 --- a/buch/chapters/110-elliptisch/jacobi.tex +++ b/buch/chapters/110-elliptisch/jacobi.tex @@ -22,1597 +22,5 @@ dann muss man die Umkehrfunktionen der elliptischen Integrale dafür ins Auge fassen. -% -% ellpitische Funktionen als Trigonometrie -% -\subsection{Elliptische Funktionen als Trigonometrie} -\begin{figure} -\centering -\includegraphics{chapters/110-elliptisch/images/ellipse.pdf} -\caption{Kreis und Ellipse zum Vergleich und zur Herleitung der -elliptischen Funktionen von Jacobi als ``trigonometrische'' Funktionen -auf einer Ellipse. -\label{buch:elliptisch:fig:ellipse}} -\end{figure} -% based on Willliam Schwalm, Elliptic functions and elliptic integrals -% https://youtu.be/DCXItCajCyo - -% -% Geometrie einer Ellipse -% -\subsubsection{Geometrie einer Ellipse} -Eine {\em Ellipse} ist die Menge der Punkte der Ebene, für die die Summe -\index{Ellipse}% -der Entfernungen von zwei festen Punkten $F_1$ und $F_2$, -den {\em Brennpunkten}, konstant ist. -\index{Brennpunkt}% -In Abbildung~\ref{buch:elliptisch:fig:ellipse} eine Ellipse -mit Brennpunkten in $F_1=(-e,0)$ und $F_2=(e,0)$ dargestellt, -die durch die Punkte $(\pm a,0)$ und $(0,\pm b)$ auf den Achsen geht. -Der Punkt $(a,0)$ hat die Entfernungen $a+e$ und $a-e$ von den beiden -Brennpunkten, also die Entfernungssumme $a+e+a-e=2a$. -Jeder andere Punkt auf der Ellipse muss ebenfalls diese Entfernungssumme -haben, insbesondere auch der Punkt $(0,b)$. -Seine Entfernung zu jedem Brennpunkt muss aus Symmetriegründen gleich gross, -also $a$ sein. -Aus dem Satz von Pythagoras liest man daher ab, dass -\[ -b^2+e^2=a^2 -\qquad\Rightarrow\qquad -e^2 = a^2-b^2 -\] -sein muss. -Die Strecke $e$ heisst auch {\em (lineare) Exzentrizität} der Ellipse. -Das Verhältnis $\varepsilon= e/a$ heisst die {\em numerische Exzentrizität} -der Ellipse. - -% -% Die Ellipsengleichung -% -\subsubsection{Ellipsengleichung} -Der Punkt $P=(x,y)$ auf der Ellipse hat die Entfernungen -\begin{equation} -\begin{aligned} -\overline{PF_1}^2 -&= -y^2 + (x+e)^2 -\\ -\overline{PF_2}^2 -&= -y^2 + (x-e)^2 -\end{aligned} -\label{buch:elliptisch:eqn:wurzelausdruecke} -\end{equation} -von den Brennpunkten, für die -\begin{equation} -\overline{PF_1}+\overline{PF_2} -= -2a -\label{buch:elliptisch:eqn:pf1pf2a} -\end{equation} -gelten muss. -Man kann nachrechnen, dass ein Punkt $P$, der die Gleichung -\[ -\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2}=1 -\] -erfüllt, auch die Eigenschaft~\eqref{buch:elliptisch:eqn:pf1pf2a} -erfüllt. -Zur Vereinfachung setzen wir $l_1=\overline{PF_1}$ und $l_2=\overline{PF_2}$. -$l_1$ und $l_2$ sind Wurzeln aus der rechten Seite von -\eqref{buch:elliptisch:eqn:wurzelausdruecke}. -Das Quadrat von $l_1+l_2$ ist -\[ -l_1^2 + 2l_1l_2 + l_2^2 = 4a^2. -\] -Um die Wurzeln ganz zu eliminieren, bringt man das Produkt $l_1l_2$ alleine -auf die rechte Seite und quadriert. -Man muss also verifizieren, dass -\[ -(l_1^2 + l_2^2 -4a^2)^2 = 4l_1^2l_2^2. -\] -In den entstehenden Ausdrücken muss man ausserdem $e=\sqrt{a^2-b^2}$ und -\[ -y=b\sqrt{1-\frac{x^2}{a^2}} -\] -substituieren. -Diese Rechnung führt man am einfachsten mit Hilfe eines -Computeralgebraprogramms durch, welches obige Behauptung bestätigt. - -% -% Normierung -% -\subsubsection{Normierung} -Die trigonometrischen Funktionen sind definiert als Verhältnisse -von Seiten rechtwinkliger Dreiecke. -Dadurch, dass man den die Hypothenuse auf Länge $1$ normiert, -kann man die Sinus- und Kosinus-Funktion als Koordinaten eines -Punktes auf dem Einheitskreis interpretieren. - -Für die Koordinaten eines Punktes auf der Ellipse ist dies nicht so einfach, -weil es nicht nur eine Ellipse gibt, sondern für jede numerische Exzentrizität -mindestens eine mit Halbeachse $1$. -Wir wählen die Ellipsen so, dass $a$ die grosse Halbachse ist, also $a>b$. -Als Normierungsbedingung verwenden wir, dass $b=1$ sein soll, wie in -Abbildung~\ref{buch:elliptisch:fig:jacobidef}. -Dann ist $a=1/\varepsilon>1$. -In dieser Normierung haben Punkte $(x,y)$ auf der Ellipse $y$-Koordinaten -zwischen $-1$ und $1$ und $x$-Koordinaten zwischen $-a$ und $a$. - -Im Zusammenhang mit elliptischen Funktionen wird die numerische Exzentrizität -$\varepsilon$ auch mit -\[ -k -= -\varepsilon -= -\frac{e}{a} -= -\frac{\sqrt{a^2-b^2}}{a} -= -\frac{\sqrt{a^2-1}}{a}, -\] -die Zahl $k$ heisst auch der {\em Modulus}. -Man kann $a$ auch durch $k$ ausdrücken, durch Quadrieren und Umstellen -findet man -\[ -k^2a^2 = a^2-1 -\quad\Rightarrow\quad -1=a^2(k^2-1) -\quad\Rightarrow\quad -a=\frac{1}{\sqrt{k^2-1}}. -\] - -Die Gleichung der ``Einheitsellipse'' zu diesem Modulus ist -\[ -\frac{x^2}{a^2}+y^2=1 -\qquad\text{oder}\qquad -x^2(k^2-1) + y^2 = 1. -\] - -% -% Definition der elliptischen Funktionen -% -\begin{figure} -\centering -\includegraphics{chapters/110-elliptisch/images/jacobidef.pdf} -\caption{Definition der elliptischen Funktionen als Trigonometrie -an einer Ellipse mit Halbachsen $a$ und $1$. -\label{buch:elliptisch:fig:jacobidef}} -\end{figure} -\subsubsection{Definition der elliptischen Funktionen} -Die elliptischen Funktionen für einen Punkt $P$ auf der Ellipse mit Modulus $k$ -können jetzt als Verhältnisse der Koordinaten des Punktes definieren. -Es stellt sich aber die Frage, was man als Argument verwenden soll. -Es soll so etwas wie den Winkel $\varphi$ zwischen der $x$-Achse und dem -Radiusvektor zum Punkt $P$ -darstellen, aber wir haben hier noch eine Wahlfreiheit, die wir später -ausnützen möchten. -Im Moment müssen wir die Frage noch nicht beantworten und nennen das -noch unbestimmte Argument $u$. -Wir kümmern uns später um die Frage, wie $u$ von $\varphi$ abhängt. - -Die Funktionen, die wir definieren wollen, hängen ausserdem auch -vom Modulus ab. -Falls der verwendete Modulus aus dem Zusammenhang klar ist, lassen -wir das $k$-Argument weg. - -Die Punkte auf dem Einheitskreis haben alle den gleichen Abstand vom -Nullpunkt, dies ist gleichzeitig die definierende Gleichung $r^2=x^2+y^2=1$ -des Kreises. -Die Punkte auf der Ellipse erfüllen die Gleichung $x^2/a^2+y^2=1$, -die Entfernung der Punkte $r=\sqrt{x^2+y^2}$ vom Nullpunkt variert aber. - -In Analogie zu den trigonometrischen Funktionen setzen wir jetzt für -die Funktionen -\[ -\begin{aligned} -&\text{sinus amplitudinis:}& -{\color{red}\operatorname{sn}(u,k)}&= y \\ -&\text{cosinus amplitudinis:}& -{\color{blue}\operatorname{cn}(u,k)}&= \frac{x}{a} \\ -&\text{delta amplitudinis:}& -{\color{darkgreen}\operatorname{dn}(u,k)}&=\frac{r}{a}, -\end{aligned} -\] -die auch in Abbildung~\ref{buch:elliptisch:fig:jacobidef} -dargestellt sind. -Aus der Gleichung der Ellipse folgt sofort, dass -\[ -\operatorname{sn}(u,k)^2 + \operatorname{cn}(u,k)^2 = 1 -\] -ist. -Der Satz von Pythagoras kann verwendet werden, um die Entfernung zu -berechnen, also gilt -\begin{equation} -r^2 -= -a^2 \operatorname{dn}(u,k)^2 -= -x^2 + y^2 -= -a^2\operatorname{cn}(u,k)^2 + \operatorname{sn}(u,k)^2 -\quad -\Rightarrow -\quad -a^2 \operatorname{dn}(u,k)^2 -= -a^2\operatorname{cn}(u,k)^2 + \operatorname{sn}(u,k)^2. -\label{buch:elliptisch:eqn:sncndnrelation} -\end{equation} -Ersetzt man -$ -a^2\operatorname{cn}(u,k)^2 -= -a^2-a^2\operatorname{sn}(u,k)^2 -$, ergibt sich -\[ -a^2 \operatorname{dn}(u,k)^2 -= -a^2-a^2\operatorname{sn}(u,k)^2 -+ -\operatorname{sn}(u,k)^2 -\quad -\Rightarrow -\quad -\operatorname{dn}(u,k)^2 -+ -\frac{a^2-1}{a^2}\operatorname{sn}(u,k)^2 -= -1, -\] -woraus sich die Identität -\[ -\operatorname{dn}(u,k)^2 + k^2 \operatorname{sn}(u,k)^2 = 1 -\] -ergibt. -Ebenso kann man aus~\eqref{buch:elliptisch:eqn:sncndnrelation} -die Funktion $\operatorname{cn}(u,k)$ eliminieren, was auf -\[ -a^2\operatorname{dn}(u,k)^2 -= -a^2\operatorname{cn}(u,k)^2 -+1-\operatorname{cn}(u,k)^2 -= -(a^2-1)\operatorname{cn}(u,k)^2 -+1. -\] -Nach Division durch $a^2$ ergibt sich -\begin{align*} -\operatorname{dn}(u,k)^2 -- -k^2\operatorname{cn}(u,k)^2 -&= -\frac{1}{a^2} -= -\frac{a^2-a^2+1}{a^2} -= -1-k^2 =: k^{\prime 2}. -\end{align*} -Wir stellen die hiermit gefundenen Relationen zwischen den grundlegenden -Jacobischen elliptischen Funktionen für später zusammen in den Formeln -\begin{equation} -\begin{aligned} -\operatorname{sn}^2(u,k) -+ -\operatorname{cn}^2(u,k) -&= -1 -\\ -\operatorname{dn}^2(u,k) + k^2\operatorname{sn}^2(u,k) -&= -1 -\\ -\operatorname{dn}^2(u,k) -k^2\operatorname{cn}^2(u,k) -&= -k^{\prime 2}. -\end{aligned} -\label{buch:elliptisch:eqn:jacobi-relationen} -\end{equation} -zusammen. -So wie es möglich ist, $\sin\alpha$ durch $\cos\alpha$ auszudrücken, -ist es mit -\eqref{buch:elliptisch:eqn:jacobi-relationen} -jetzt auch möglich jede grundlegende elliptische Funktion durch -jede anderen auszudrücken. -Die Resultate sind in der Tabelle~\ref{buch:elliptisch:fig:jacobi-relationen} -zusammengestellt. - -\begin{table} -\centering -\renewcommand{\arraystretch}{2.1} -\begin{tabular}{|>{$\displaystyle}c<{$}|>{$\displaystyle}c<{$}>{$\displaystyle}c<{$}>{$\displaystyle}c<{$}|} -\hline -&\operatorname{sn}(u,k) -&\operatorname{cn}(u,k) -&\operatorname{dn}(u,k)\\ -\hline -\operatorname{sn}(u,k) -&\operatorname{sn}(u,k) -&\sqrt{1-\operatorname{cn}^2(u,k)} -&\frac1k\sqrt{1-\operatorname{dn}^2(u,k)} -\\ -\operatorname{cn}(u,k) -&\sqrt{1-\operatorname{sn}^2(u,k)} -&\operatorname{cn}(u,k) -&\frac{1}{k}\sqrt{\operatorname{dn}^2(u,k)-k^{\prime2}} -\\ -\operatorname{dn}(u,k) -&\sqrt{1-k^2\operatorname{sn}^2(u,k)} -&\sqrt{k^{\prime2}+k^2\operatorname{cn}^2(u,k)} -&\operatorname{dn}(u,k) -\\ -\hline -\end{tabular} -\caption{Jede der Jacobischen elliptischen Funktionen lässt sich -unter Verwendung der Relationen~\eqref{buch:elliptisch:eqn:jacobi-relationen} -durch jede andere ausdrücken. -\label{buch:elliptisch:fig:jacobi-relationen}} -\end{table} - -% -% Ableitungen der Jacobi-ellpitischen Funktionen -% -\subsubsection{Ableitung} -Die trigonometrischen Funktionen sind deshalb so besonders nützlich -für die Lösung von Schwingungsdifferentialgleichungen, weil sie die -Beziehungen -\[ -\frac{d}{d\varphi} \cos\varphi = -\sin\varphi -\qquad\text{und}\qquad -\frac{d}{d\varphi} \sin\varphi = \cos\varphi -\] -erfüllen. -So einfach können die Beziehungen natürlich nicht sein, sonst würde sich -durch Integration ja wieder nur die trigonometrischen Funktionen ergeben. -Durch geschickte Wahl des Arguments $u$ kann man aber erreichen, dass -sie ähnlich nützliche Beziehungen zwischen den Ableitungen ergeben. - -Gesucht ist jetzt also eine Wahl für das Argument $u$ zum Beispiel in -Abhängigkeit von $\varphi$, dass sich einfache und nützliche -Ableitungsformeln ergeben. -Wir setzen daher $u(\varphi)$ voraus und beachten, dass $x$ und $y$ -ebenfalls von $\varphi$ abhängen, es ist -$y=\sin\varphi$ und $x=a\cos\varphi$. -Die Ableitungen von $x$ und $y$ nach $\varphi$ sind -\begin{align*} -\frac{dy}{d\varphi} -&= -\cos\varphi -= -\frac{1}{a} x -= -\operatorname{cn}(u,k) -\\ -\frac{dx}{d\varphi} -&= --a\sin\varphi -= --a y -= --a\operatorname{sn}(u,k). -\end{align*} -Daraus kann man jetzt die folgenden Ausdrücke für die Ableitungen der -elliptischen Funktionen nach $\varphi$ ableiten: -\begin{align*} -\frac{d}{d\varphi} \operatorname{sn}(u,z) -&= -\frac{d}{d\varphi} y(\varphi) -= -\cos\varphi -= -\frac{x}{a} -= -\operatorname{cn}(u,k) -&&\Rightarrow& -\frac{d}{du} -\operatorname{sn}(u,k) -&= -\operatorname{cn}(u,k) \frac{d\varphi}{du} -\\ -\frac{d}{d\varphi} \operatorname{cn}(u,z) -&= -\frac{d}{d\varphi} \frac{x(\varphi)}{a} -= --\sin\varphi -= --\operatorname{sn}(u,k) -&&\Rightarrow& -\frac{d}{du}\operatorname{cn}(u,k) -&= --\operatorname{sn}(u,k) \frac{d\varphi}{du} -\\ -\frac{d}{d\varphi} \operatorname{dn}(u,z) -&= -\frac{1}{a}\frac{dr}{d\varphi} -= -\frac{1}{a}\frac{d\sqrt{x^2+y^2}}{d\varphi} -\\ -&= -\frac{x}{ar} \frac{dx}{d\varphi} -+ -\frac{y}{ar} \frac{dy}{d\varphi} -\\ -&= -\frac{x}{ar} (-a\operatorname{sn}(u,k)) -+ -\frac{y}{ar} \operatorname{cn}(u,k) -\\ -&= -\frac{x}{ar}(-ay) -+ -\frac{y}{ar} \frac{x}{a} -= -\frac{xy(-1+\frac{1}{a^2})}{r} -\\ -&= --\frac{xy(a^2-1)}{a^2r} -\\ -&= --\frac{a^2-1}{ar} -\operatorname{cn}(u,k) \operatorname{sn}(u,k) -\\ -&=-k^2 -\frac{a}{r} -\operatorname{cn}(u,k) \operatorname{sn}(u,k) -\\ -&= --k^2\frac{\operatorname{cn}(u,k)\operatorname{sn}(u,k)}{\operatorname{dn}(u,k)} -&&\Rightarrow& -\frac{d}{du} \operatorname{dn}(u,k) -&= --k^2\frac{\operatorname{cn}(u,k) -\operatorname{sn}(u,k)}{\operatorname{dn}(u,k)} -\frac{d\varphi}{du} -\end{align*} -Die einfachsten Beziehungen ergeben sich offenbar, wenn man $u$ so -wählt, dass -\[ -\frac{d\varphi}{du} -= -\operatorname{dn}(u,k) -= -\frac{r}{a} -\] -Damit haben wir die grundlegenden Ableitungsregeln -\begin{align*} -\frac{d}{du}\operatorname{sn}(u,k) -&= -\phantom{-}\operatorname{cn}(u,k)\operatorname{dn}(u,k) -\\ -\frac{d}{du}\operatorname{cn}(u,k) -&= --\operatorname{sn}(u,k)\operatorname{dn}(u,k) -\\ -\frac{d}{du}\operatorname{dn}(u,k) -&= --k^2\operatorname{sn}(u,k)\operatorname{cn}(u,k) -\end{align*} -der elliptischen Funktionen nach Jacobi. - -% -% Der Grenzfall $k=1$ -% -\subsubsection{Der Grenzwert $k\to1$} -\begin{figure} -\centering -\includegraphics{chapters/110-elliptisch/images/sncnlimit.pdf} -\caption{Grenzfälle der Jacobischen elliptischen Funktionen -für die Werte $0$ und $1$ des Parameters $k$. -\label{buch:elliptisch:fig:sncnlimit}} -\end{figure} -Für $k=1$ ist $k^{\prime2}=1-k^2=$ und es folgt aus den -Relationen~\eqref{buch:elliptisch:eqn:jacobi-relationen} -\[ -\operatorname{cn}^2(u,k) -- -k^2 -\operatorname{dn}^2(u,k) -= -k^{\prime2} -= -0 -\qquad\Rightarrow\qquad -\operatorname{cn}^2(u,1) -= -\operatorname{dn}^2(u,1), -\] -die beiden Funktionen -$\operatorname{cn}(u,k)$ -und -$\operatorname{dn}(u,k)$ -fallen also zusammen. -Die Ableitungsregeln werden dadurch vereinfacht: -\begin{align*} -\operatorname{sn}'(u,1) -&= -\operatorname{cn}(u,1) -\operatorname{dn}(u,1) -= -\operatorname{cn}^2(u,1) -= -1-\operatorname{sn}^2(u,1) -&&\Rightarrow& y'&=1-y^2 -\\ -\operatorname{cn}'(u,1) -&= -- -\operatorname{sn}(u,1) -\operatorname{dn}(u,1) -= -- -\operatorname{sn}(u,1)\operatorname{cn}(u,1) -&&\Rightarrow& -\frac{z'}{z}&=(\log z)' = -y -\end{align*} -Die erste Differentialgleichung für $y$ lässt sich separieren, man findet -die Lösung -\[ -\frac{y'}{1-y^2} -= -1 -\quad\Rightarrow\quad -\int \frac{dy}{1-y^2} = \int \,du -\quad\Rightarrow\quad -\operatorname{artanh}(y) = u -\quad\Rightarrow\quad -\operatorname{sn}(u,1)=\tanh u. -\] -Damit kann man jetzt auch $z$ berechnen: -\begin{align*} -(\log \operatorname{cn}(u,1))' -&= -\tanh u -&&\Rightarrow& -\log\operatorname{cn}(u,1) -&= --\int\tanh u\,du -= --\log\cosh u -\\ -& -&&\Rightarrow& -\operatorname{cn}(u,1) -&= -\frac{1}{\cosh u} -= -\operatorname{sech}u. -\end{align*} -Die Grenzfunktionen sind in Abbildung~\ref{buch:elliptisch:fig:sncnlimit} -dargestellt. - -% -% Das Argument u -% -\subsubsection{Das Argument $u$} -Die Gleichung -\begin{equation} -\frac{d\varphi}{du} -= -\operatorname{dn}(u,k) -\label{buch:elliptisch:eqn:uableitung} -\end{equation} -ermöglicht, $\varphi$ in Abhängigkeit von $u$ zu berechnen, ohne jedoch -die geometrische Bedeutung zu klären. -Das beginnt bereits damit, dass der Winkel $\varphi$ nicht nicht der -Polarwinkel des Punktes $P$ in Abbildung~\ref{buch:elliptisch:fig:jacobidef} -ist, diesen nennen wir $\vartheta$. -Der Zusammenhang zwischen $\varphi$ und $\vartheta$ ist -\begin{equation} -\frac1{a}\tan\varphi = \tan\vartheta -\label{buch:elliptisch:eqn:phitheta} -\end{equation} - -Um die geometrische Bedeutung besser zu verstehen, nehmen wir jetzt an, -dass die Ellipse mit einem Parameter $t$ parametrisiert ist, dass also -$\varphi(t)$, $\vartheta(t)$ und $u(t)$ Funktionen von $t$ sind. -Die Ableitung von~\eqref{buch:elliptisch:eqn:phitheta} ist -\[ -\frac1{a}\cdot \frac{1}{\cos^2\varphi}\cdot \dot{\varphi} -= -\frac{1}{\cos^2\vartheta}\cdot \dot{\vartheta}. -\] -Daraus kann die Ableitung von $\vartheta$ nach $\varphi$ bestimmt -werden, sie ist -\[ -\frac{d\vartheta}{d\varphi} -= -\frac{\dot{\vartheta}}{\dot{\varphi}} -= -\frac{1}{a} -\cdot -\frac{\cos^2\vartheta}{\cos^2\varphi} -= -\frac{1}{a} -\cdot -\frac{(x/r)^2}{(x/a)^2} -= -\frac{1}{a}\cdot -\frac{a^2}{r^2} -= -\frac{1}{a}\cdot\frac{1}{\operatorname{dn}^2(u,k)}. -\] -Damit kann man jetzt mit Hilfe von~\eqref{buch:elliptisch:eqn:uableitung} -Die Ableitung von $\vartheta$ nach $u$ ermitteln, sie ist -\[ -\frac{d\vartheta}{du} -= -\frac{d\vartheta}{d\varphi} -\cdot -\frac{d\varphi}{du} -= -\frac{1}{a}\cdot\frac{1}{\operatorname{dn}^2(u,k)} -\cdot -\operatorname{dn}(u,k) -= -\frac{1}{a} -\cdot -\frac{1}{\operatorname{dn}(u,k)} -= -\frac{1}{a} -\cdot\frac{a}{r} -= -\frac{1}{r}, -\] -wobei wir auch die Definition der Funktion $\operatorname{dn}(u,k)$ -verwendet haben. - -In der Parametrisierung mit dem Parameter $t$ kann man jetzt die Ableitung -von $u$ nach $t$ berechnen als -\[ -\frac{du}{dt} -= -\frac{du}{d\vartheta} -\frac{d\vartheta}{dt} -= -r -\dot{\vartheta}. -\] -Darin ist $\dot{\vartheta}$ die Winkelgeschwindigkeit des Punktes um -das Zentrum $O$ und $r$ ist die aktuelle Entfernung des Punktes $P$ -von $O$. -$r\dot{\vartheta}$ ist also die Geschwindigkeitskomponenten des Punktes -$P$ senkrecht auf den aktuellen Radiusvektor. -Der Parameter $u$, der zum Punkt $P$ gehört, ist also das Integral -\[ -u(P) = \int_0^P r\,d\vartheta. -\] -Für einen Kreis ist die Geschwindigkeit von $P$ immer senkrecht -auf dem Radiusvektor und der Radius ist konstant, so dass -$u(P)=\vartheta(P)$ ist. - -% -% Die abgeleiteten elliptischen Funktionen -% -\begin{figure} -\centering -\includegraphics[width=\textwidth]{chapters/110-elliptisch/images/jacobi12.pdf} -\caption{Die Verhältnisse der Funktionen -$\operatorname{sn}(u,k)$, -$\operatorname{cn}(u,k)$ -udn -$\operatorname{dn}(u,k)$ -geben Anlass zu neun weitere Funktionen, die sich mit Hilfe -des Strahlensatzes geometrisch interpretieren lassen. -\label{buch:elliptisch:fig:jacobi12}} -\end{figure} -\begin{table} -\centering -\renewcommand{\arraystretch}{2.5} -\begin{tabular}{|>{$\displaystyle}c<{$}|>{$\displaystyle}c<{$}>{$\displaystyle}c<{$}>{$\displaystyle}c<{$}>{$\displaystyle}c<{$}|} -\hline -\cdot & -\frac{1}{1} & -\frac{1}{\operatorname{sn}(u,k)} & -\frac{1}{\operatorname{cn}(u,k)} & -\frac{1}{\operatorname{dn}(u,k)} -\\[5pt] -\hline -1& -&%\operatorname{nn}(u,k)=\frac{1}{1} & -\operatorname{ns}(u,k)=\frac{1}{\operatorname{sn}(u,k)} & -\operatorname{nc}(u,k)=\frac{1}{\operatorname{cn}(u,k)} & -\operatorname{nd}(u,k)=\frac{1}{\operatorname{dn}(u,k)} -\\ -\operatorname{sn}(u,k) & -\operatorname{sn}(u,k)=\frac{\operatorname{sn}(u,k)}{1}& -&%\operatorname{ss}(u,k)=\frac{\operatorname{sn}(u,k)}{\operatorname{sn}(u,k)}& -\operatorname{sc}(u,k)=\frac{\operatorname{sn}(u,k)}{\operatorname{cn}(u,k)}& -\operatorname{sd}(u,k)=\frac{\operatorname{sn}(u,k)}{\operatorname{dn}(u,k)} -\\ -\operatorname{cn}(u,k) & -\operatorname{cn}(u,k)=\frac{\operatorname{cn}(u,k)}{1} & -\operatorname{cs}(u,k)=\frac{\operatorname{cn}(u,k)}{\operatorname{sn}(u,k)}& -&%\operatorname{cc}(u,k)=\frac{\operatorname{cn}(u,k)}{\operatorname{cn}(u,k)}& -\operatorname{cd}(u,k)=\frac{\operatorname{cn}(u,k)}{\operatorname{dn}(u,k)} -\\ -\operatorname{dn}(u,k) & -\operatorname{dn}(u,k)=\frac{\operatorname{dn}(u,k)}{1} & -\operatorname{ds}(u,k)=\frac{\operatorname{dn}(u,k)}{\operatorname{sn}(u,k)}& -\operatorname{dc}(u,k)=\frac{\operatorname{dn}(u,k)}{\operatorname{cn}(u,k)}& -%\operatorname{dd}(u,k)=\frac{\operatorname{dn}(u,k)}{\operatorname{dn}(u,k)} -\\[5pt] -\hline -\end{tabular} -\caption{Zusammenstellung der abgeleiteten Jacobischen elliptischen -Funktionen in hinteren drei Spalten als Quotienten der grundlegenden -Jacobischen elliptischen Funktionen. -Die erste Spalte zum Nenner $1$ enthält die grundlegenden -Jacobischen elliptischen Funktionen. -\label{buch:elliptisch:table:abgeleitetjacobi}} -\end{table} -\subsubsection{Die abgeleiteten elliptischen Funktionen} -Zusätzlich zu den grundlegenden Jacobischen elliptischen Funktioenn -lassen sich weitere elliptische Funktionen bilden, die unglücklicherweise -die {\em abgeleiteten elliptischen Funktionen} genannt werden. -Ähnlich wie die trigonometrischen Funktionen $\tan\alpha$, $\cot\alpha$, -$\sec\alpha$ und $\csc\alpha$ als Quotienten von $\sin\alpha$ und -$\cos\alpha$ definiert sind, sind die abgeleiteten elliptischen Funktionen -die in Tabelle~\ref{buch:elliptisch:table:abgeleitetjacobi} zusammengestellten -Quotienten der grundlegenden Jacobischen elliptischen Funktionen. -Die Bezeichnungskonvention ist, dass die Funktion $\operatorname{pq}(u,k)$ -ein Quotient ist, dessen Zähler durch den Buchstaben p bestimmt ist, -der Nenner durch den Buchstaben q. -Der Buchstabe n steht für eine $1$, die Buchstaben s, c und d stehen für -die Anfangsbuchstaben der grundlegenden Jacobischen elliptischen -Funktionen. -Meint man irgend eine der Jacobischen elliptischen Funktionen, schreibt -man manchmal auch $\operatorname{zn}(u,k)$. - -In Abbildung~\ref{buch:elliptisch:fig:jacobi12} sind die Quotienten auch -geometrisch interpretiert. -Der Wert der Funktion $\operatorname{nq}(u,k)$ ist die auf dem Strahl -mit Polarwinkel $\varphi$ abgetragene Länge bis zu den vertikalen -Geraden, die den verschiedenen möglichen Nennern entsprechen. -Entsprechend ist der Wert der Funktion $\operatorname{dq}(u,k)$ die -Länge auf dem Strahl mit Polarwinkel $\vartheta$. - -Die Relationen~\ref{buch:elliptisch:eqn:jacobi-relationen} -ermöglichen, jede Funktion $\operatorname{zn}(u,k)$ durch jede -andere auszudrücken. -Die schiere Anzahl solcher Beziehungen macht es unmöglich, sie -übersichtlich in einer Tabelle zusammenzustellen, daher soll hier -nur an einem Beispiel das Vorgehen gezeigt werden: - -\begin{beispiel} -Die Funktion $\operatorname{sc}(u,k)$ soll durch $\operatorname{cd}(u,k)$ -ausgedrückt werden. -Zunächst ist -\[ -\operatorname{sc}(u,k) -= -\frac{\operatorname{sn}(u,k)}{\operatorname{cn}(u,k)} -\] -nach Definition. -Im Resultat sollen nur noch $\operatorname{cn}(u,k)$ und -$\operatorname{dn}(u,k)$ vorkommen. -Daher eliminieren wir zunächst die Funktion $\operatorname{sn}(u,k)$ -mit Hilfe von \eqref{buch:elliptisch:eqn:jacobi-relationen} und erhalten -\begin{equation} -\operatorname{sc}(u,k) -= -\frac{\sqrt{1-\operatorname{cn}^2(u,k)}}{\operatorname{cn}(u,k)}. -\label{buch:elliptisch:eqn:allgausdruecken} -\end{equation} -Nun genügt es, die Funktion $\operatorname{cn}(u,k)$ durch -$\operatorname{cd}(u,k)$ auszudrücken. -Aus der Definition und der -dritten Relation in \eqref{buch:elliptisch:eqn:jacobi-relationen} -erhält man -\begin{align*} -\operatorname{cd}^2(u,k) -&= -\frac{\operatorname{cn}^2(u,k)}{\operatorname{dn}^2(u,k)} -= -\frac{\operatorname{cn}^2(u,k)}{k^{\prime2}+k^2\operatorname{cn}^2(u,k)} -\\ -\Rightarrow -\qquad -k^{\prime 2} -\operatorname{cd}^2(u,k) -+ -k^2\operatorname{cd}^2(u,k)\operatorname{cn}^2(u,k) -&= -\operatorname{cn}^2(u,k) -\\ -\operatorname{cn}^2(u,k) -- -k^2\operatorname{cd}^2(u,k)\operatorname{cn}^2(u,k) -&= -k^{\prime 2} -\operatorname{cd}^2(u,k) -\\ -\operatorname{cn}^2(u,k) -&= -\frac{ -k^{\prime 2} -\operatorname{cd}^2(u,k) -}{ -1 - k^2\operatorname{cd}^2(u,k) -} -\end{align*} -Für den Zähler brauchen wir $1-\operatorname{cn}^2(u,k)$, also -\[ -1-\operatorname{cn}^2(u,k) -= -\frac{ -1 -- -k^2\operatorname{cd}^2(u,k) -- -k^{\prime 2} -\operatorname{cd}^2(u,k) -}{ -1 -- -k^2\operatorname{cd}^2(u,k) -} -= -\frac{1-\operatorname{cd}^2(u,k)}{1-k^2\operatorname{cd}^2(u,k)} -\] -Einsetzen in~\eqref{buch:elliptisch:eqn:allgausdruecken} gibt -\begin{align*} -\operatorname{sc}(u,k) -&= -\frac{ -\sqrt{1-\operatorname{cd}^2(u,k)} -}{\sqrt{1-k^2\operatorname{cd}^2(u,k)}} -\cdot -\frac{ -\sqrt{1 - k^2\operatorname{cd}^2(u,k)} -}{ -k' -\operatorname{cd}(u,k) -} -= -\frac{ -\sqrt{1-\operatorname{cd}^2(u,k)} -}{ -k' -\operatorname{cd}(u,k) -}. -\qedhere -\end{align*} -\end{beispiel} - -\subsubsection{Ableitung der abgeleiteten elliptischen Funktionen} -Aus den Ableitungen der grundlegenden Jacobischen elliptischen Funktionen -können mit der Quotientenregel nun auch beliebige Ableitungen der -abgeleiteten Jacobischen elliptischen Funktionen gefunden werden. -Als Beispiel berechnen wir die Ableitung von $\operatorname{sc}(u,k)$. -Sie ist -\begin{align*} -\frac{d}{du} -\operatorname{sc}(u,k) -&= -\frac{d}{du} -\frac{\operatorname{sn}(u,k)}{\operatorname{cn}(u,k)} -= -\frac{ -\operatorname{sn}'(u,k)\operatorname{cn}(u,k) -- -\operatorname{sn}(u,k)\operatorname{cn}'(u,k)}{ -\operatorname{cn}^2(u,k) -} -\\ -&= -\frac{ -\operatorname{cn}^2(u,k)\operatorname{dn}(u,k) -+ -\operatorname{sn}^2(u,k)\operatorname{dn}(u,k) -}{ -\operatorname{cn}^2(u,k) -} -= -\frac{( -\operatorname{sn}^2(u,k) -+ -\operatorname{cn}^2(u,k) -)\operatorname{dn}(u,k)}{ -\operatorname{cn}^2(u,k) -} -\\ -&= -\frac{1}{\operatorname{cn}(u,k)} -\cdot -\frac{\operatorname{dn}(u,k)}{\operatorname{cn}(u,k)} -= -\operatorname{nc}(u,k) -\operatorname{dc}(u,k). -\end{align*} -Man beachte, dass das Quadrat der Nennerfunktion im Resultat -der Quotientenregel zur Folge hat, dass die -beiden Funktionen im Resultat beide den gleichen Nenner haben wie -die Funktion, die abgeleitet wird. - -Mit etwas Fleiss kann man nach diesem Muster alle Ableitungen -\begin{equation} -%\small -\begin{aligned} -\operatorname{sn}'(u,k) -&= -\phantom{-} -\operatorname{cn}(u,k)\,\operatorname{dn}(u,k) -&&\qquad& -\operatorname{ns}'(u,k) -&= -- -\operatorname{cs}(u,k)\,\operatorname{ds}(u,k) -\\ -\operatorname{cn}'(u,k) -&= -- -\operatorname{sn}(u,k)\,\operatorname{dn}(u,k) -&&& -\operatorname{nc}'(u,k) -&= -\phantom{-} -\operatorname{sc}(u,k)\,\operatorname{dc}(u,k) -\\ -\operatorname{dn}'(u,k) -&= --k^2 -\operatorname{sn}(u,k)\,\operatorname{cn}(u,k) -&&& -\operatorname{nd}'(u,k) -&= -\phantom{-} -k^2 -\operatorname{sd}(u,k)\,\operatorname{cd}(u,k) -\\ -\operatorname{sc}'(u,k) -&= -\phantom{-} -\operatorname{dc}(u,k)\,\operatorname{nc}(u,k) -&&& -\operatorname{cs}'(u,k) -&= -- -\operatorname{ds}(u,k)\,\operatorname{ns}(u,k) -\\ -\operatorname{cd}'(u,k) -&= --k^{\prime2} -\operatorname{sd}(u,k)\,\operatorname{nd}(u,k) -&&& -\operatorname{dc}'(u,k) -&= -\phantom{-} -k^{\prime2} -\operatorname{dc}(u,k)\,\operatorname{nc}(u,k) -\\ -\operatorname{ds}'(d,k) -&= -- -\operatorname{cs}(u,k)\,\operatorname{ns}(u,k) -&&& -\operatorname{sd}'(d,k) -&= -\phantom{-} -\operatorname{cd}(u,k)\,\operatorname{nd}(u,k) -\end{aligned} -\label{buch:elliptisch:eqn:alleableitungen} -\end{equation} -finden. -Man beachte, dass in jeder Identität alle Funktionen den gleichen -zweiten Buchstaben haben. - -\subsubsection{TODO} -XXX algebraische Beziehungen \\ -XXX Additionstheoreme \\ -XXX Perioden -% use https://math.stackexchange.com/questions/3013692/how-to-show-that-jacobi-sine-function-is-doubly-periodic - - -XXX Ableitungen \\ -XXX Werte \\ - -% -% Lösung von Differentialgleichungen -% -\subsection{Lösungen von Differentialgleichungen} -Die elliptischen Funktionen ermöglichen die Lösung gewisser nichtlinearer -Differentialgleichungen in geschlossener Form. -Ziel dieses Abschnitts ist, Differentialgleichungen der Form -\( -\ddot{x}(t) -= -p(x(t)) -\) -mit einem Polynom dritten Grades als rechter Seite lösen zu können. - -% -% Die Differentialgleichung der elliptischen Funktionen -% -\subsubsection{Die Differentialgleichungen der elliptischen Funktionen} -Um Differentialgleichungen mit elliptischen Funktion lösen zu -können, muss man als erstes die Differentialgleichungen derselben -finden. -Quadriert man die Ableitungsregel für $\operatorname{sn}(u,k)$, erhält -man -\[ -\biggl(\frac{d}{du}\operatorname{sn}(u,k)\biggr)^2 -= -\operatorname{cn}(u,k)^2 \operatorname{dn}(u,k)^2. -\] -Die Funktionen auf der rechten Seite können durch $\operatorname{sn}(u,k)$ -ausgedrückt werden. -\begin{align*} -\biggl(\frac{d}{du}\operatorname{sn}(u,k)\biggr)^2 -&= -\biggl( -1-\operatorname{sn}(u,k)^2 -\biggr) -\biggl( -1-k^2 \operatorname{sn}(u,k)^2 -\biggr) -\\ -&= -k^2\operatorname{sn}(u,k)^4 --(1+k^2) -\operatorname{sn}(u,k)^2 -+1. -\end{align*} -Für die Funktion $\operatorname{cn}(u,k)$ ergibt analoge Rechnung -\begin{align*} -\frac{d}{du}\operatorname{cn}(u,k) -&= --\operatorname{sn}(u,k) \operatorname{dn}(u,k) -\\ -\biggl(\frac{d}{du}\operatorname{cn}(u,k)\biggr)^2 -&= -\operatorname{sn}(u,k)^2 \operatorname{dn}(u,k)^2 -\\ -&= -\biggl(1-\operatorname{cn}(u,k)^2\biggr) -\biggl(1-k^2+k^2 \operatorname{cn}(u,k)^2\biggr) -\\ -&= --k^2\operatorname{cn}(u,k)^4 -- -(1-k^2-k^2)\operatorname{cn}(u,k)^2 -+ -(1-k^2) -\\ -\frac{d}{du}\operatorname{dn}(u,k) -&= --k^2\operatorname{sn}(u,k)\operatorname{cn}(u,k) -\\ -\biggl( -\frac{d}{du}\operatorname{dn}(u,k) -\biggr)^2 -&= -\bigl(k^2 \operatorname{sn}(u,k)^2\bigr) -\bigl(k^2 \operatorname{cn}(u,k)^2\bigr) -\\ -&= -\biggl( -1-\operatorname{dn}(u,k)^2 -\biggr) -\biggl( -\operatorname{dn}(u,k)^2-k^2+1 -\biggr) -\\ -&= --\operatorname{dn}(u,k)^4 -- -2\operatorname{dn}(u,k)^2 --k^2+1. -\end{align*} -\begin{table} -\centering -\renewcommand{\arraystretch}{2} -\begin{tabular}{|>{$}l<{$}|>{$}l<{$}|>{$}c<{$}|>{$}c<{$}|>{$}c<{$}|>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}|} -\hline -\text{Funktion $y=$}&\text{Differentialgleichung}&\alpha&\beta&\gamma&\multicolumn{3}{c|}{Signatur}\\ -\hline -\operatorname{sn}(u,k) - & y'^2 = \phantom{-}(1-y^2)(1-k^2y^2) - &k^2&1&1 &+&+&+ -\\ -\operatorname{cn}(u,k) - &y'^2 = \phantom{-}(1-y^2)(1-k^2+k^2y^2) - &-k^2 &2k^2-1&1-k^2 &-&&+ -\\ -\operatorname{dn}(u,k) - & y'^2 = -(1-y^2)(1-k^2-y^2) - &1 &1-k^2 &-(1-k^2)&+&+&- -\\ -\hline -\end{tabular} -\caption{Elliptische Funktionen als Lösungsfunktionen für verschiedene -nichtlineare Differentialgleichungen der Art -\eqref{buch:elliptisch:eqn:1storderdglell}. -Die Vorzeichen der Koeffizienten $\alpha$, $\beta$ und $\gamma$ -entscheidet darüber, welche Funktion für die Lösung verwendet werden -muss. -\label{buch:elliptisch:tabelle:loesungsfunktionen}} -\end{table} - -Die elliptischen Funktionen genügen also alle einer nichtlinearen -Differentialgleichung erster Ordnung der selben Art. -Das Quadrat der Ableitung ist ein Polynom vierten Grades der Funktion. -Um dies besser einzufangen, schreiben wir $\operatorname{zn}(u,k)$, -wenn wir eine beliebige der drei Funktionen -$\operatorname{sn}(u,k)$, -$\operatorname{cn}(u,k)$ -oder -$\operatorname{dn}(u,k)$ -meinen. -Die Funktion $\operatorname{zn}(u,k)$ ist also Lösung der -Differentialgleichung -\begin{equation} -\operatorname{zn}'(u,k)^2 -= -\alpha \operatorname{zn}(u,k)^4 + \beta \operatorname{zn}(u,)^2 + \gamma, -\label{buch:elliptisch:eqn:1storderdglell} -\end{equation} -wobei wir mit $\operatorname{zn}'(u,k)$ die Ableitung von -$\operatorname{zn}(u,k)$ nach dem ersten Argument meinen. -Die Koeffizienten $\alpha$, $\beta$ und $\gamma$ hängen von $k$ ab, -vor allem aber haben Sie verschiedene Vorzeichen. -Je nach Vorzeichen sind also eine andere elliptische Funktion als -Lösung zu verwenden. - -% -% Jacobischen elliptische Funktionen und elliptische Integrale -% -\subsubsection{Jacobische elliptische Funktionen als elliptische Integrale} -Die in Tabelle~\ref{buch:elliptisch:tabelle:loesungsfunktionen} -zusammengestellten Differentialgleichungen ermöglichen nun, den -Zusammenhang zwischen den Funktionen -$\operatorname{sn}(u,k)$, $\operatorname{cn}(u,k)$ und $\operatorname{dn}(u,k)$ -und den unvollständigen elliptischen Integralen herzustellen. -Die Differentialgleichungen sind alle von der Form -\begin{equation} -\biggl( -\frac{d y}{d u} -\biggr)^2 -= -p(u), -\label{buch:elliptisch:eqn:allgdgl} -\end{equation} -wobei $p(u)$ ein Polynom vierten Grades in $y$ ist. -Diese Differentialgleichung lässt sich mit Separation lösen. -Dazu zieht man aus~\eqref{buch:elliptisch:eqn:allgdgl} die -Wurzel -\begin{align} -\frac{dy}{du} -= -\sqrt{p(y)} -\notag -\intertext{und trennt die Variablen. Man erhält} -\int\frac{dy}{\sqrt{p(y)}} = u+C. -\label{buch:elliptisch:eqn:yintegral} -\end{align} -Solange $p(y)>0$ ist, ist der Integrand auf der linken Seite -von~\eqref{buch:elliptisch:eqn:yintegral} ebenfalls positiv und -das Integral ist eine monoton wachsende Funktion $F(y)$. -Insbesondere ist $F(y)$ invertierbar. -Die Lösung $y(u)$ der Differentialgleichung~\eqref{buch:elliptisch:eqn:allgdgl} -ist daher -\[ -y(u) = F^{-1}(u+C). -\] -Die Jacobischen elliptischen Funktionen sind daher inverse Funktionen -der unvollständigen elliptischen Integrale. - -\subsubsection{Differentialgleichung zweiter Ordnung} -Leitet die Differentialgleichung ~\eqref{buch:elliptisch:eqn:1storderdglell} -man dies nochmals nach $u$ ab, erhält man die Differentialgleichung -\[ -2\operatorname{zn}''(u,k)\operatorname{zn}'(u,k) -= -4\alpha \operatorname{zn}(u,k)^3\operatorname{zn}'(u,k) + 2\beta \operatorname{zn}'(u,k)\operatorname{zn}(u,k). -\] -Teilt man auf beiden Seiten durch $2\operatorname{zn}'(u,k)$, -bleibt die nichtlineare -Differentialgleichung -\[ -\frac{d^2\operatorname{zn}}{du^2} -= -\beta \operatorname{zn} + 2\alpha \operatorname{zn}^3. -\] -Dies ist die Gleichung eines harmonischen Oszillators mit einer -Anharmonizität der Form $2\alpha z^3$. - -% -% Differentialgleichung des anharmonischen Oszillators -% -\subsubsection{Differentialgleichung des anharmonischen Oszillators} -Wir möchten die nichtlineare Differentialgleichung -\begin{equation} -\biggl( -\frac{dx}{dt} -\biggr)^2 -= -Ax^4+Bx^2 + C -\label{buch:elliptisch:eqn:allgdgl} -\end{equation} -mit Hilfe elliptischer Funktionen lösen. -Wir nehmen also an, dass die gesuchte Lösung eine Funktion der Form -\begin{equation} -x(t) = a\operatorname{zn}(bt,k) -\label{buch:elliptisch:eqn:loesungsansatz} -\end{equation} -ist. -Die erste Ableitung von $x(t)$ ist -\[ -\dot{x}(t) -= -a\operatorname{zn}'(bt,k). -\] - -Indem wir diesen Lösungsansatz in die -Differentialgleichung~\eqref{buch:elliptisch:eqn:allgdgl} -einsetzen, erhalten wir -\begin{equation} -a^2b^2 \operatorname{zn}'(bt,k)^2 -= -a^4A\operatorname{zn}(bt,k)^4 -+ -a^2B\operatorname{zn}(bt,k)^2 -+C -\label{buch:elliptisch:eqn:dglx} -\end{equation} -Andererseits wissen wir, dass $\operatorname{zn}(u,k)$ einer -Differentilgleichung der Form~\eqref{buch:elliptisch:eqn:1storderdglell} -erfüllt. -Wenn wir \eqref{buch:elliptisch:eqn:dglx} durch $a^2b^2$ teilen, können wir -die rechte Seite von \eqref{buch:elliptisch:eqn:dglx} mit der rechten -Seite von \eqref{buch:elliptisch:eqn:1storderdglell} vergleichen: -\[ -\frac{a^2A}{b^2}\operatorname{zn}(bt,k)^4 -+ -\frac{B}{b^2}\operatorname{zn}(bt,k)^2 -+\frac{C}{a^2b^2} -= -\alpha\operatorname{zn}(bt,k)^4 -+ -\beta\operatorname{zn}(bt,k)^2 -+ -\gamma\operatorname{zn}(bt,k). -\] -Daraus ergeben sich die Gleichungen -\begin{align} -\alpha &= \frac{a^2A}{b^2}, -& -\beta &= \frac{B}{b^2} -&&\text{und} -& -\gamma &= \frac{C}{a^2b^2} -\label{buch:elliptisch:eqn:koeffvergl} -\intertext{oder aufgelöst nach den Koeffizienten der ursprünglichen -Differentialgleichung} -A&=\frac{\alpha b^2}{a^2} -& -B&=\beta b^2 -&&\text{und}& -C &= \gamma a^2b^2 -\label{buch:elliptisch:eqn:koeffABC} -\end{align} -für die Koeffizienten der Differentialgleichung der zu verwendenden -Funktion. - -Man beachte, dass nach \eqref{buch:elliptisch:eqn:koeffvergl} die -Koeffizienten $A$, $B$ und $C$ die gleichen Vorzeichen haben wie -$\alpha$, $\beta$ und $\gamma$, da in -\eqref{buch:elliptisch:eqn:koeffvergl} nur mit Quadraten multipliziert -wird, die immer positiv sind. -Diese Vorzeichen bestimmen, welche der Funktionen gewählt werden muss. - -In den Differentialgleichungen für die elliptischen Funktionen gibt -es nur den Parameter $k$, der angepasst werden kann. -Es folgt, dass die Gleichungen -\eqref{buch:elliptisch:eqn:koeffvergl} -auch $a$ und $b$ bestimmen. -Zum Beispiel folgt aus der letzten Gleichung, dass -\[ -b = \pm\sqrt{\frac{B}{\beta}}. -\] -Damit folgt dann aus der zweiten -\[ -a=\pm\sqrt{\frac{\beta C}{\gamma B}}. -\] -Die verbleibende Gleichung legt $k$ fest. -Das folgende Beispiel illustriert das Vorgehen am Beispiel einer -Gleichung, die Lösungsfunktion $\operatorname{sn}(u,k)$ verlangt. - -\begin{beispiel} -Wir nehmen an, dass die Vorzeichen von $A$, $B$ und $C$ gemäss -Tabelle~\ref{buch:elliptische:tabelle:loesungsfunktionen} verlangen, -dass die Funktion $\operatorname{sn}(u,k)$ für die Lösung verwendet -werden muss. -Die Tabelle sagt dann auch, dass -$\alpha=k^2$, $\beta=1$ und $\gamma=1$ gewählt werden müssen. -Aus dem Koeffizientenvergleich~\eqref{buch:elliptisch:eqn:koeffvergl} -folgt dann der Reihe nach -\begin{align*} -b&=\pm \sqrt{B} -\\ -a&=\pm \sqrt{\frac{C}{B}} -\\ -k^2 -&= -\frac{AC}{B^2}. -\end{align*} -Man beachte, dass man $k^2$ durch Einsetzen von -\eqref{buch:elliptisch:eqn:koeffABC} -auch direkt aus den Koeffizienten $\alpha$, $\beta$ und $\gamma$ -erhalten kann, nämlich -\[ -\frac{AC}{B^2} -= -\frac{\frac{\alpha b^2}{a^2} \gamma a^2b^2}{\beta^2 b^4} -= -\frac{\alpha\gamma}{\beta^2}. -\qedhere -\] -\end{beispiel} - -Da alle Parameter im -Lösungsansatz~\eqref{buch:elliptisch:eqn:loesungsansatz} bereits -festgelegt sind stellt sich die Frage, woher man einen weiteren -Parameter nehmen kann, mit dem Anfangsbedingungen erfüllen kann. -Die Differentialgleichung~\eqref{buch:elliptisch:eqn:allgdgl} ist -autonom, die Koeffizienten der rechten Seite der Differentialgleichung -sind nicht von der Zeit abhängig. -Damit ist eine zeitverschobene Funktion $x(t-t_0)$ ebenfalls eine -Lösung der Differentialgleichung. -Die allgmeine Lösung der -Differentialgleichung~\eqref{buch:elliptisch:eqn:allgdgl} hat -also die Form -\[ -x(t) = a\operatorname{zn}(b(t-t_0)), -\] -wobei die Funktion $\operatorname{zn}(u,k)$ auf Grund der Vorzeichen -von $A$, $B$ und $C$ gewählt werden müssen. - -% -% Das mathematische Pendel -% -\subsection{Das mathematische Pendel -\label{buch:elliptisch:subsection:mathpendel}} -\begin{figure} -\centering -\includegraphics{chapters/110-elliptisch/images/pendel.pdf} -\caption{Mathematisches Pendel -\label{buch:elliptisch:fig:mathpendel}} -\end{figure} -Das in Abbildung~\ref{buch:elliptisch:fig:mathpendel} dargestellte -Mathematische Pendel besteht aus einem Massepunkt der Masse $m$ -im Punkt $P$, -der über eine masselose Stange der Länge $l$ mit dem Drehpunkt $O$ -verbunden ist. -Das Pendel bewegt sich unter dem Einfluss der Schwerebeschleunigung $g$. - -Das Trägheitsmoment des Massepunktes um den Drehpunkt $O$ ist -\( -I=ml^2 -\). -Das Drehmoment der Schwerkraft ist -\(M=gl\sin\vartheta\). -Die Bewegungsgleichung wird daher -\[ -\begin{aligned} -\frac{d}{dt} I\dot{\vartheta} -&= -M -= -gl\sin\vartheta -\\ -ml^2\ddot{\vartheta} -&= -gl\sin\vartheta -&&\Rightarrow& -\ddot{\vartheta} -&=\frac{g}{l}\sin\vartheta -\end{aligned} -\] -Dies ist eine nichtlineare Differentialgleichung zweiter Ordnung, die -wir nicht unmittelbar mit den Differentialgleichungen erster Ordnung -der elliptischen Funktionen vergleichen können. - -Die Differentialgleichungen erster Ordnung der elliptischen Funktionen -enthalten das Quadrat der ersten Ableitung. -In unserem Fall entspricht das einer Gleichung, die $\dot{\vartheta}^2$ -enthält. -Der Energieerhaltungssatz kann uns eine solche Gleichung geben. -Die Summe von kinetischer und potentieller Energie muss konstant sein. -Dies führt auf -\[ -E_{\text{kinetisch}} -+ -E_{\text{potentiell}} -= -\frac12I\dot{\vartheta}^2 -+ -mgl(1-\cos\vartheta) -= -\frac12ml^2\dot{\vartheta}^2 -+ -mgl(1-\cos\vartheta) -= -E -\] -Durch Auflösen nach $\dot{\vartheta}$ kann man jetzt die -Differentialgleichung -\[ -\dot{\vartheta}^2 -= -- -\frac{2g}{l}(1-\cos\vartheta) -+\frac{2E}{ml^2} -\] -finden. -In erster Näherung, d.h. wenn man die rechte Seite bis zu vierten -Potenzen in eine Taylor-Reihe in $\vartheta$ entwickelt, ist dies -tatsächlich eine Differentialgleichung der Art, wie wir sie für -elliptische Funktionen gefunden haben, wir möchten aber eine exakte -Lösung konstruieren. - -Die maximale Energie für eine Bewegung, bei der sich das Pendel gerade -über den höchsten Punkt hinweg zu bewegen vermag, ist -$E=2lmg$. -Falls $E<2mgl$ ist, erwarten wir Schwingungslösungen, bei denen -der Winkel $\vartheta$ immer im offenen Interval $(-\pi,\pi)$ -bleibt. -Für $E>2mgl$ wird sich das Pendel im Kreis bewegen, für sehr grosse -Energie ist die kinetische Energie dominant, die Verlangsamung im -höchsten Punkt wird immer weniger ausgeprägt sein. - -% -% Koordinatentransformation auf elliptische Funktionen -% -\subsubsection{Koordinatentransformation auf elliptische Funktionen} -Wir verwenden als neue Variable -\[ -y = \sin\frac{\vartheta}2 -\] -mit der Ableitung -\[ -\dot{y}=\frac12\cos\frac{\vartheta}{2}\cdot \dot{\vartheta}. -\] -Man beachte, dass $y$ nicht eine Koordinate in -Abbildung~\ref{buch:elliptisch:fig:mathpendel} ist. - -Aus den Halbwinkelformeln finden wir -\[ -\cos\vartheta -= -1-2\sin^2 \frac{\vartheta}2 -= -1-2y^2. -\] -Dies können wir zusammen mit der -Identität $\cos^2\vartheta/2 = 1-\sin^2\vartheta/2 = 1-y^2$ -in die Energiegleichung einsetzen und erhalten -\[ -\frac12ml^2\dot{\vartheta}^2 + mgly^2 = E -\qquad\Rightarrow\qquad -\frac14 \dot{\vartheta}^2 = \frac{E}{2ml^2} - \frac{g}{2l}y^2. -\] -Der konstante Term auf der rechten Seite ist grösser oder kleiner als -$1$ je nachdem, ob das Pendel sich im Kreis bewegt oder nicht. - -Durch Multiplizieren mit $\cos^2\frac{\vartheta}{2}=1-y^2$ -erhalten wir auf der linken Seite einen Ausdruck, den wir -als Funktion von $\dot{y}$ ausdrücken können. -Wir erhalten -\begin{align*} -\frac14 -\cos^2\frac{\vartheta}2 -\cdot -\dot{\vartheta}^2 -&= -\frac14 -(1-y^2) -\biggl(\frac{E}{2ml^2} -\frac{g}{2l}y^2\biggr) -\\ -\dot{y}^2 -&= -\frac{1}{4} -(1-y^2) -\biggl(\frac{E}{2ml^2} -\frac{g}{2l}y^2\biggr) -\end{align*} -Die letzte Gleichung hat die Form einer Differentialgleichung -für elliptische Funktionen. -Welche Funktion verwendet werden muss, hängt von der Grösse der -Koeffizienten in der zweiten Klammer ab. -Die Tabelle~\ref{buch:elliptisch:tabelle:loesungsfunktionen} -zeigt, dass in der zweiten Klammer jeweils einer der Terme -$1$ sein muss. - -% -% Der Fall E < 2mgl -% -\subsubsection{Der Fall $E<2mgl$} -\begin{figure} -\centering -\includegraphics[width=\textwidth]{chapters/110-elliptisch/images/jacobiplots.pdf} -\caption{% -Abhängigkeit der elliptischen Funktionen von $u$ für -verschiedene Werte von $k^2=m$. -Für $m=0$ ist $\operatorname{sn}(u,0)=\sin u$, -$\operatorname{cn}(u,0)=\cos u$ und $\operatorname{dn}(u,0)=1$, diese -sind in allen Plots in einer helleren Farbe eingezeichnet. -Für kleine Werte von $m$ weichen die elliptischen Funktionen nur wenig -von den trigonometrischen Funktionen ab, -es ist aber klar erkennbar, dass die anharmonischen Terme in der -Differentialgleichung die Periode mit steigender Amplitude verlängern. -Sehr grosse Werte von $m$ nahe bei $1$ entsprechen der Situation, dass -die Energie des Pendels fast ausreicht, dass es den höchsten Punkt -erreichen kann, was es für $m$ macht. -\label{buch:elliptisch:fig:jacobiplots}} -\end{figure} - - -Wir verwenden als neue Variable -\[ -y = \sin\frac{\vartheta}2 -\] -mit der Ableitung -\[ -\dot{y}=\frac12\cos\frac{\vartheta}{2}\cdot \dot{\vartheta}. -\] -Man beachte, dass $y$ nicht eine Koordinate in -Abbildung~\ref{buch:elliptisch:fig:mathpendel} ist. - -Aus den Halbwinkelformeln finden wir -\[ -\cos\vartheta -= -1-2\sin^2 \frac{\vartheta}2 -= -1-2y^2. -\] -Dies können wir zusammen mit der -Identität $\cos^2\vartheta/2 = 1-\sin^2\vartheta/2 = 1-y^2$ -in die Energiegleichung einsetzen und erhalten -\[ -\frac12ml^2\dot{\vartheta}^2 + mgly^2 = E. -\] -Durch Multiplizieren mit $\cos^2\frac{\vartheta}{2}=1-y^2$ -erhalten wir auf der linken Seite einen Ausdruck, den wir -als Funktion von $\dot{y}$ ausdrücken können. -Wir erhalten -\begin{align*} -\frac12ml^2 -\cos^2\frac{\vartheta}2 -\dot{\vartheta}^2 -&= -(1-y^2) -(E -mgly^2) -\\ -\frac{1}{4}\cos^2\frac{\vartheta}{2}\dot{\vartheta}^2 -&= -\frac{1}{2} -(1-y^2) -\biggl(\frac{E}{ml^2} -\frac{g}{l}y^2\biggr) -\\ -\dot{y}^2 -&= -\frac{E}{2ml^2} -(1-y^2)\biggl( -1-\frac{2gml}{E}y^2 -\biggr). -\end{align*} -Dies ist genau die Form der Differentialgleichung für die elliptische -Funktion $\operatorname{sn}(u,k)$ -mit $k^2 = 2gml/E< 1$. - -% -% Der Fall E > 2mgl -% -\subsection{Der Fall $E > 2mgl$} -In diesem Fall hat das Pendel im höchsten Punkte immer noch genügend -kinetische Energie, so dass es sich im Kreise dreht. -Indem wir die Gleichung - -XXX Differentialgleichung \\ -XXX Mathematisches Pendel \\ -\subsection{Soliton-Lösungen der Sinus-Gordon-Gleichung} -\subsection{Nichtlineare Differentialgleichung vierter Ordnung} -XXX Möbius-Transformation \\ -XXX Reduktion auf die Differentialgleichung elliptischer Funktionen diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/lemniskate.tex b/buch/chapters/110-elliptisch/lemniskate.tex index 7083b63..f750a82 100644 --- a/buch/chapters/110-elliptisch/lemniskate.tex +++ b/buch/chapters/110-elliptisch/lemniskate.tex @@ -20,25 +20,50 @@ elliptischen Funktionen hergestellt werden. \caption{Bogenlänge und Radius der Lemniskate von Bernoulli. \label{buch:elliptisch:fig:lemniskate}} \end{figure} -Die Lemniskate von Bernoulli ist die Kurve vierten Grades mit der Gleichung +Die {\em Lemniskate von Bernoulli} ist die Kurve vierten Grades +mit der Gleichung +\index{Lemniskate von Bernoulli}% \begin{equation} -(x^2+y^2)^2 = 2a^2(x^2-y^2). +(X^2+Y^2)^2 = 2a^2(X^2-Y^2). \label{buch:elliptisch:eqn:lemniskate} \end{equation} Sie ist in Abbildung~\ref{buch:elliptisch:fig:lemniskate} dargestellt. -Die beiden Scheitel der Lemniskate befinden sich bei $x=\pm a/\sqrt{2}$. +Die beiden Scheitel der Lemniskate befinden sich bei $X_s=\pm a\sqrt{2}$. +Dividiert man die Gleichung der Lemniskate durch $X_s^2=4a^4$ entsteht +\begin{equation} +\biggl( +\biggl(\frac{X}{a\sqrt{2}}\biggr)^2 ++ +\biggl(\frac{Y}{a\sqrt{2}}\biggr)^2 +\biggr)^2 += +2\frac{a^2}{2a^2}\biggl( +\biggl(\frac{X}{a\sqrt{2}}\biggr)^2 +- +\biggl(\frac{Y}{a\sqrt{2}}\biggr)^2 +\biggr). +\qquad +\Leftrightarrow +\qquad +(x^2+y^2)^2 = x^2-y^2, +\label{buch:elliptisch:eqn:lemniskatenormiert} +\end{equation} +wobei wir $x=X/a\sqrt{2}$ und $y=Y/a\sqrt{2}$ gesetzt haben. +In dieser Normierung liegen die Scheitel bei $\pm 1$. +Dies ist die Skalierung, die für die Definition des lemniskatischen +Sinus und Kosinus verwendet werden soll. In Polarkoordinaten $x=r\cos\varphi$ und $y=r\sin\varphi$ -gilt nach Einsetzen in \eqref{buch:elliptisch:eqn:lemniskate} +gilt nach Einsetzen in \eqref{buch:elliptisch:eqn:lemniskatenormiert} \begin{equation} r^4 = -2a^2r^2(\cos^2\varphi-\sin^2\varphi) +r^2(\cos^2\varphi-\sin^2\varphi) = -2a^2r^2\cos2\varphi +r^2\cos2\varphi \qquad\Rightarrow\qquad -r^2 = 2a^2\cos 2\varphi +r^2 = \cos 2\varphi \label{buch:elliptisch:eqn:lemniskatepolar} \end{equation} als Darstellung der Lemniskate in Polardarstellung. @@ -46,15 +71,7 @@ Sie gilt für Winkel $\varphi\in[-\frac{\pi}4,\frac{\pi}4]$ für das rechte Blatt und $\varphi\in[\frac{3\pi}4,\frac{5\pi}4]$ für das linke Blatt der Lemniskate. -Für die Definition des lemniskatischen Sinus wird eine Skalierung -verwendet, die den rechten Scheitel im Punkt $(1,0)$. -Dies ist der Fall für $a=1/\sqrt{2}$, die Gleichung der Lemniskate -wird dann zu -\[ -(x^2+y^2)^2 = 2(x^2-y^2). -\] - -\subsubsection{Bogelänge} +\subsection{Bogenlänge} Die Funktionen \begin{equation} x(r) = \frac{r}{\sqrt{2}}\sqrt{1+r^2}, @@ -76,7 +93,7 @@ r^4 \end{align*} sie stellen also eine Parametrisierung der Lemniskate dar. -Mit Hilfe der Parametrsierung~\eqref{buch:geometrie:eqn:lemniskateparam} +Mit Hilfe der Parametrisierung~\eqref{buch:geometrie:eqn:lemniskateparam} kann man die Länge $s$ des in Abbildung~\ref{buch:elliptisch:fig:lemniskate} dargestellten Bogens der Lemniskate berechnen. Dazu benötigt man die Ableitungen nach $r$, die man mit der Produkt- und @@ -123,11 +140,16 @@ s(r) \label{buch:elliptisch:eqn:lemniskatebogenlaenge} \end{equation} -\subsubsection{Darstellung als elliptisches Integral} +% +% Als elliptisches Integral +% +\subsection{Darstellung als elliptisches Integral} Das unvollständige elliptische Integral erster Art mit Parameter -$m=-1$ ist +$k^2=-1$ oder $k=i$ ist \[ -K(r,-1) +K(r,i) += +\int_0^x \frac{dt}{\sqrt{(1-t^2)(1-i^2 t^2)}} = \int_0^x \frac{dt}{\sqrt{(1-t^2)(1-(-1)t^2)}} = @@ -136,11 +158,210 @@ K(r,-1) s(r). \] Der lemniskatische Sinus ist also eine Umkehrfunktion des -ellptischen Integrals erster Art für einen speziellen Wert des -Parameters $m$ +elliptischen Integrals erster Art für den speziellen Wert $i$ des +Parameters $k$. + +Die Länge des rechten Blattes der Lemniskate wird mit $\varpi$ bezeichnet +und hat den numerischen Wert +\begin{equation} +\varpi += +2\int_0^1\sqrt{\frac{1}{1-t^4}}\,dt += +2.6220575542. +\label{buch:elliptisch:eqn:varpi} +\end{equation} +$\varpi$ ist auch als die {\em lemniskatische Konstante} bekannt. +\index{lemniskatische Konstante}% +Der Lemniskatenbogen zwischen dem Nullpunkt und $(1,0)$ hat die Länge +$\varpi/2$. + +% +% Bogenlängenparametrisierung +% +\subsection{Bogenlängenparametrisierung} +Die Lemniskate mit der Gleichung +\[ +(X^2+Y^2)^2=2(X^2-Y^2) +\] +(der Fall $a=1$ in \eqref{buch:elliptisch:eqn:lemniskate}) +kann mit Jacobischen elliptischen Funktionen +parametrisiert werden. +Dazu schreibt man +\[ +\left. +\begin{aligned} +X(t) +&= +\sqrt{2}\operatorname{cn}(t,k) \operatorname{dn}(t,k) +\\ +Y(t) +&= +\phantom{\sqrt{2}} +\operatorname{cn}(t,k) \operatorname{sn}(t,k) +\end{aligned} +\quad\right\} +\qquad\text{mit $k=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}$} +\] +und berechnet die beiden Seiten der definierenden Gleichung der +Lemniskate. +Zunächst ist +\begin{align*} +X(t)^2 +&= +2\operatorname{cn}(t,k)^2 +\operatorname{dn}(t,k)^2 +\\ +Y(t)^2 +&= +\operatorname{cn}(t,k)^2 +\operatorname{sn}(t,k)^2 +\\ +X(t)^2+Y(t)^2 +&= +2\operatorname{cn}(t,k)^2 +\bigl( +\underbrace{ +\operatorname{dn}(t,k)^2 ++{\textstyle\frac12} +\operatorname{sn}(t,k)^2 +}_{\displaystyle =1} +\bigr) +%\\ +%& += +2\operatorname{cn}(t,k)^2 +\\ +X(t)^2-Y(t)^2 +&= +\operatorname{cn}(t,k)^2 +\bigl( +2\operatorname{dn}(t,k)^2 - \operatorname{sn}(t,k)^2 +\bigr) +\\ +&= +\operatorname{cn}(t,k)^2 +\bigl( +2\bigl({\textstyle\frac12}+{\textstyle\frac12}\operatorname{cn}(t,k)^2\bigr) +- +\bigl(1-\operatorname{cn}(t,k)^2\bigr) +\bigr) +\\ +&= +2\operatorname{cn}(t,k)^4 +\\ +\Rightarrow\qquad +(X(t)^2+Y(t)^2)^2 +&= +4\operatorname{cn}(t,k)^4 += +2(X(t)^2-Y(t)^2). +\end{align*} +Wir zeigen jetzt, dass dies tatsächlich eine Bogenlängenparametrisierung +der Lemniskate ist. +Dazu berechnen wir die Ableitungen +\begin{align*} +\dot{X}(t) +&= +\sqrt{2}\operatorname{cn}'(t,k)\operatorname{dn}(t,k) ++ +\sqrt{2}\operatorname{cn}(t,k)\operatorname{dn}'(t,k) +\\ +&= +-\sqrt{2}\operatorname{sn}(t,k)\operatorname{dn}(t,k)^2 +-\frac12\sqrt{2}\operatorname{sn}(t,k)\operatorname{cn}(t,k)^2 +\\ +&= +-\sqrt{2}\operatorname{sn}(t,k)\bigl( +1-{\textstyle\frac12}\operatorname{sn}(t,k)^2 ++{\textstyle\frac12}-{\textstyle\frac12}\operatorname{sn}(u,t)^2 +\bigr) +\\ +&= +\sqrt{2}\operatorname{sn}(t,k) +\bigl( +{\textstyle \frac32}-\operatorname{sn}(t,k)^2 +\bigr) +\\ +\dot{X}(t)^2 +&= +2\operatorname{sn}(t,k)^2 +\bigl( +{\textstyle \frac32}-\operatorname{sn}(t,k)^2 +\bigr)^2 +\\ +&= +{\textstyle\frac{9}{2}}\operatorname{sn}(t,k)^2 +- +6\operatorname{sn}(t,k)^4 ++2\operatorname{sn}(t,k)^6 +\\ +\dot{Y}(t) +&= +\operatorname{cn}'(t,k)\operatorname{sn}(t,k) ++ +\operatorname{cn}(t,k)\operatorname{sn}'(t,k) +\\ +&= +-\operatorname{sn}(t,k)^2 +\operatorname{dn}(t,k) ++\operatorname{cn}(t,k)^2 +\operatorname{dn}(t,k) +\\ +&= +\operatorname{dn}(t,k)\bigl(1-2\operatorname{sn}(t,k)^2\bigr) +\\ +\dot{Y}(t)^2 +&= +\bigl(1-{\textstyle\frac12}\operatorname{sn}(t,k)^2\bigr) +\bigl(1-2\operatorname|{sn}(t,k)^2\bigr)^2 +\\ +&= +1-{\textstyle\frac{9}{2}}\operatorname{sn}(t,k)^2 ++6\operatorname{sn}(t,k)^4 +-2\operatorname{sn}(t,k)^6 +\\ +\dot{X}(t)^2 + \dot{Y}(t)^2 +&= +1. +\end{align*} +Dies bedeutet, dass die Bogenlänge zwischen den Parameterwerten $0$ und $s$ +\[ +\int_0^s +\sqrt{\dot{X}(t)^2 + \dot{Y}(t)^2} +\,dt += +\int_0^s\,dt += +s, +\] +der Parameter $t$ ist also ein Bogenlängenparameter, man darf also +$s=t$ schreiben. -\subsubsection{Der lemniskatische Sinus und Kosinus} -Berechnet die Gegenkathete zu einer gegebenen Bogenlänge des Kreises. +Die mit dem Faktor $1/\sqrt{2}$ skalierte Standard-Lemniskate mit der +Gleichung +\[ +(x^2+y^2)^2 = x^2-y^2 +\] +hat daher eine Bogenlängenparametrisierung mit +\begin{equation} +\begin{aligned} +x(t) +&= +\phantom{\frac{1}{\sqrt{2}}} +\operatorname{cn}(\sqrt{2}t,k)\operatorname{dn}(\sqrt{2}t,k) +\\ +y(t) +&= +\frac{1}{\sqrt{2}}\operatorname{cn}(\sqrt{2}t,k)\operatorname{sn}(\sqrt{2}t,k) +\end{aligned} +\label{buch:elliptisch:lemniskate:bogenlaenge} +\end{equation} + +\subsection{Der lemniskatische Sinus und Kosinus} +Der Sinus berechnet die Gegenkathete zu einer gegebenen Bogenlänge des +Kreises, er ist die Umkehrfunktion der Funktion, die der Gegenkathete +die Bogenlänge zuordnet. Daher ist es naheliegend, die Umkehrfunktion von $s(r)$ in \eqref{buch:elliptisch:eqn:lemniskatebogenlaenge} den {\em lemniskatischen Sinus} zu nennen mit der Bezeichnung @@ -150,22 +371,36 @@ Der Kosinus ist der Sinus des komplementären Winkels. Auch für die lemniskatische Bogenlänge $s(r)$ lässt sich eine komplementäre Bogenlänge definieren, nämlich die Bogenlänge zwischen dem Punkt $(x(r), y(r))$ und $(1,0)$. -Die Länge des rechten Blattes der Lemniskate wird mit $\varpi$ bezeichnet -und hat den numerischen Wert +Da die Bogenlänge zwischen $(0,0)$ und $(1,0)$ in +in \eqref{buch:elliptisch:eqn:varpi} bereits bereichnet wurde. +ist sie $\varpi/2-s$. +Der {\em lemniskatische Kosinus} ist daher +$\operatorname{cl}(s) = \operatorname{sl}(\varpi/2-s)$ +Graphen des lemniskatische Sinus und Kosinus sind in +Abbildung~\label{buch:elliptisch:figure:slcl} dargestellt. + +Da die Parametrisierung~\eqref{buch:elliptisch:lemniskate:bogenlaenge} +eine Bogenlängenparametrisierung ist, darf man $t=s$ schreiben. +Dann kann man aber auch $r(s)$ daraus berechnen, +es ist \[ -\varphi +r(s)^2 = -2\int_0^1\sqrt{\frac{1}{1-t^4}}\,dt +x(s)^2 + y(s)^2 = -2.6220575542. +\operatorname{cn}(s\sqrt{2},k)^2 +\qquad\Rightarrow\qquad +r(s) += +\operatorname{cn}(s\sqrt{2},k) \] -Lemniskatenbogens zwischen dem Nullpunkt und $(1,0)$ hat die Länge -$\varpi/2$. - -Der {\em lemniskatische Kosinus} von $s$ ist derjenige Radiuswert $r$, -für den der Lemniskatenbogen zwischen $(x(r), y(r))$ und $(1,0)$ -die Länge $s$ hat. - -XXX Algebraische Beziehungen \\ -XXX Ableitungen \\ +\begin{figure} +\centering +\includegraphics[width=\textwidth]{chapters/110-elliptisch/images/slcl.pdf} +\caption{ +Lemniskatischer Sinus und Kosinus sowie Sinus und Kosinus +mit derart skaliertem Argument, dass die Funktionen die gleichen Nullstellen +haben. +\label{buch:elliptisch:figure:slcl}} +\end{figure} diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/mathpendel.tex b/buch/chapters/110-elliptisch/mathpendel.tex new file mode 100644 index 0000000..d61bcf6 --- /dev/null +++ b/buch/chapters/110-elliptisch/mathpendel.tex @@ -0,0 +1,250 @@ +% +% mathpendel.tex -- Das mathematische Pendel +% +% (c) 2022 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% + +\subsection{Das mathematische Pendel +\label{buch:elliptisch:subsection:mathpendel}} +\begin{figure} +\centering +\includegraphics{chapters/110-elliptisch/images/pendel.pdf} +\caption{Mathematisches Pendel +\label{buch:elliptisch:fig:mathpendel}} +\end{figure} +Das in Abbildung~\ref{buch:elliptisch:fig:mathpendel} dargestellte +Mathematische Pendel besteht aus einem Massepunkt der Masse $m$ +im Punkt $P$, +der über eine masselose Stange der Länge $l$ mit dem Drehpunkt $O$ +verbunden ist. +Das Pendel bewegt sich unter dem Einfluss der Schwerebeschleunigung $g$. + +Das Trägheitsmoment des Massepunktes um den Drehpunkt $O$ ist +\( +I=ml^2 +\). +Das Drehmoment der Schwerkraft ist +\(M=gl\sin\vartheta\). +Die Bewegungsgleichung wird daher +\[ +\begin{aligned} +\frac{d}{dt} I\dot{\vartheta} +&= +M += +gl\sin\vartheta +\\ +ml^2\ddot{\vartheta} +&= +gl\sin\vartheta +&&\Rightarrow& +\ddot{\vartheta} +&=\frac{g}{l}\sin\vartheta +\end{aligned} +\] +Dies ist eine nichtlineare Differentialgleichung zweiter Ordnung, die +wir nicht unmittelbar mit den Differentialgleichungen erster Ordnung +der elliptischen Funktionen vergleichen können. + +Die Differentialgleichungen erster Ordnung der elliptischen Funktionen +enthalten das Quadrat der ersten Ableitung. +In unserem Fall entspricht das einer Gleichung, die $\dot{\vartheta}^2$ +enthält. +Der Energieerhaltungssatz kann uns eine solche Gleichung geben. +Die Summe von kinetischer und potentieller Energie muss konstant sein. +Dies führt auf +\[ +E_{\text{kinetisch}} ++ +E_{\text{potentiell}} += +\frac12I\dot{\vartheta}^2 ++ +mgl(1-\cos\vartheta) += +\frac12ml^2\dot{\vartheta}^2 ++ +mgl(1-\cos\vartheta) += +E +\] +Durch Auflösen nach $\dot{\vartheta}$ kann man jetzt die +Differentialgleichung +\[ +\dot{\vartheta}^2 += +- +\frac{2g}{l}(1-\cos\vartheta) ++\frac{2E}{ml^2} +\] +finden. +In erster Näherung, d.h. wenn man die rechte Seite bis zu vierten +Potenzen in eine Taylor-Reihe in $\vartheta$ entwickelt, ist dies +tatsächlich eine Differentialgleichung der Art, wie wir sie für +elliptische Funktionen gefunden haben, wir möchten aber eine exakte +Lösung konstruieren. + +Die maximale Energie für eine Bewegung, bei der sich das Pendel gerade +über den höchsten Punkt hinweg zu bewegen vermag, ist +$E=2lmg$. +Falls $E<2mgl$ ist, erwarten wir Schwingungslösungen, bei denen +der Winkel $\vartheta$ immer im offenen Interval $(-\pi,\pi)$ +bleibt. +Für $E>2mgl$ wird sich das Pendel im Kreis bewegen, für sehr grosse +Energie ist die kinetische Energie dominant, die Verlangsamung im +höchsten Punkt wird immer weniger ausgeprägt sein. + +% +% Koordinatentransformation auf elliptische Funktionen +% +\subsubsection{Koordinatentransformation auf elliptische Funktionen} +Wir verwenden als neue Variable +\[ +y = \sin\frac{\vartheta}2 +\] +mit der Ableitung +\[ +\dot{y}=\frac12\cos\frac{\vartheta}{2}\cdot \dot{\vartheta}. +\] +Man beachte, dass $y$ nicht eine Koordinate in +Abbildung~\ref{buch:elliptisch:fig:mathpendel} ist. + +Aus den Halbwinkelformeln finden wir +\[ +\cos\vartheta += +1-2\sin^2 \frac{\vartheta}2 += +1-2y^2. +\] +Dies können wir zusammen mit der +Identität $\cos^2\vartheta/2 = 1-\sin^2\vartheta/2 = 1-y^2$ +in die Energiegleichung einsetzen und erhalten +\[ +\frac12ml^2\dot{\vartheta}^2 + mgly^2 = E +\qquad\Rightarrow\qquad +\frac14 \dot{\vartheta}^2 = \frac{E}{2ml^2} - \frac{g}{2l}y^2. +\] +Der konstante Term auf der rechten Seite ist grösser oder kleiner als +$1$ je nachdem, ob das Pendel sich im Kreis bewegt oder nicht. + +Durch Multiplizieren mit $\cos^2\frac{\vartheta}{2}=1-y^2$ +erhalten wir auf der linken Seite einen Ausdruck, den wir +als Funktion von $\dot{y}$ ausdrücken können. +Wir erhalten +\begin{align*} +\frac14 +\cos^2\frac{\vartheta}2 +\cdot +\dot{\vartheta}^2 +&= +\frac14 +(1-y^2) +\biggl(\frac{E}{2ml^2} -\frac{g}{2l}y^2\biggr) +\\ +\dot{y}^2 +&= +\frac{1}{4} +(1-y^2) +\biggl(\frac{E}{2ml^2} -\frac{g}{2l}y^2\biggr) +\end{align*} +Die letzte Gleichung hat die Form einer Differentialgleichung +für elliptische Funktionen. +Welche Funktion verwendet werden muss, hängt von der Grösse der +Koeffizienten in der zweiten Klammer ab. +Die Tabelle~\ref{buch:elliptisch:tabelle:loesungsfunktionen} +zeigt, dass in der zweiten Klammer jeweils einer der Terme +$1$ sein muss. + +% +% Der Fall E < 2mgl +% +\subsubsection{Der Fall $E<2mgl$} +\begin{figure} +\centering +\includegraphics[width=\textwidth]{chapters/110-elliptisch/images/jacobiplots.pdf} +\caption{% +Abhängigkeit der elliptischen Funktionen von $u$ für +verschiedene Werte von $k^2=m$. +Für $m=0$ ist $\operatorname{sn}(u,0)=\sin u$, +$\operatorname{cn}(u,0)=\cos u$ und $\operatorname{dn}(u,0)=1$, diese +sind in allen Plots in einer helleren Farbe eingezeichnet. +Für kleine Werte von $m$ weichen die elliptischen Funktionen nur wenig +von den trigonometrischen Funktionen ab, +es ist aber klar erkennbar, dass die anharmonischen Terme in der +Differentialgleichung die Periode mit steigender Amplitude verlängern. +Sehr grosse Werte von $m$ nahe bei $1$ entsprechen der Situation, dass +die Energie des Pendels fast ausreicht, dass es den höchsten Punkt +erreichen kann, was es für $m$ macht. +\label{buch:elliptisch:fig:jacobiplots}} +\end{figure} + + +Wir verwenden als neue Variable +\[ +y = \sin\frac{\vartheta}2 +\] +mit der Ableitung +\[ +\dot{y}=\frac12\cos\frac{\vartheta}{2}\cdot \dot{\vartheta}. +\] +Man beachte, dass $y$ nicht eine Koordinate in +Abbildung~\ref{buch:elliptisch:fig:mathpendel} ist. + +Aus den Halbwinkelformeln finden wir +\[ +\cos\vartheta += +1-2\sin^2 \frac{\vartheta}2 += +1-2y^2. +\] +Dies können wir zusammen mit der +Identität $\cos^2\vartheta/2 = 1-\sin^2\vartheta/2 = 1-y^2$ +in die Energiegleichung einsetzen und erhalten +\[ +\frac12ml^2\dot{\vartheta}^2 + mgly^2 = E. +\] +Durch Multiplizieren mit $\cos^2\frac{\vartheta}{2}=1-y^2$ +erhalten wir auf der linken Seite einen Ausdruck, den wir +als Funktion von $\dot{y}$ ausdrücken können. +Wir erhalten +\begin{align*} +\frac12ml^2 +\cos^2\frac{\vartheta}2 +\dot{\vartheta}^2 +&= +(1-y^2) +(E -mgly^2) +\\ +\frac{1}{4}\cos^2\frac{\vartheta}{2}\dot{\vartheta}^2 +&= +\frac{1}{2} +(1-y^2) +\biggl(\frac{E}{ml^2} -\frac{g}{l}y^2\biggr) +\\ +\dot{y}^2 +&= +\frac{E}{2ml^2} +(1-y^2)\biggl( +1-\frac{2gml}{E}y^2 +\biggr). +\end{align*} +Dies ist genau die Form der Differentialgleichung für die elliptische +Funktion $\operatorname{sn}(u,k)$ +mit $k^2 = 2gml/E< 1$. + +%% +%% Der Fall E > 2mgl +%% +%\subsection{Der Fall $E > 2mgl$} +%In diesem Fall hat das Pendel im höchsten Punkte immer noch genügend +%kinetische Energie, so dass es sich im Kreise dreht. +%Indem wir die Gleichung + + +%\subsection{Soliton-Lösungen der Sinus-Gordon-Gleichung} + +%\subsection{Nichtlineare Differentialgleichung vierter Ordnung} +%XXX Möbius-Transformation \\ +%XXX Reduktion auf die Differentialgleichung elliptischer Funktionen diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/uebungsaufgaben/1.tex b/buch/chapters/110-elliptisch/uebungsaufgaben/1.tex new file mode 100644 index 0000000..694f18a --- /dev/null +++ b/buch/chapters/110-elliptisch/uebungsaufgaben/1.tex @@ -0,0 +1,323 @@ +In einem anharmonische Oszillator oszilliert eine Masse $m$ unter dem +Einfluss einer Kraft, die nach dem Gesetz +\[ +F(x) = -\kappa x + \delta x^3 +\] +von der Auslenkung aus der Ruhelage abhängt. +Nehmen Sie im Folgenden an, dass $\delta >0$ ist, +dass also die rücktreibende Kraft $F(x)$ kleiner ist als bei einem +harmonischen Oszillator. +Ziel der folgenden Teilaufgaben ist, die Lösung $x(t)$ schrittweise +dadurch zu bestimmen, dass die Bewegungsgleichung in die Differentialgleichung +der Jacobischen elliptischen Funktion $\operatorname{sn}(u,k)$ umgeformt +wird. +\begin{teilaufgaben} +\item +Berechnen Sie die Auslenkung $x_0$, bei der die rücktreibende Kraft +verschwindet. +Eine beschränkte Schwingung kann diese Amplitude nicht überschreiten. +\item +Berechnen Sie die potentielle Energie in Abhängigkeit von der +Auslenkung. +\item +\label{buch:1101:basic-dgl} +Formulieren Sie den Energieerhaltungssatz für die Gesamtenergie $E$ +dieses Oszillators. +Leiten Sie daraus eine nichtlineare Differentialgleichung erster Ordnung +for den anharmonischen Oszillator ab, die sie in der Form +$\frac12m\dot{x}^2 = f(x)$ schreiben. +\item +Die Amplitude der Schwingung ist derjenige $x$-Wert, für den die +Geschwindigkeit $\dot{x}(t)$ verschwindet. +Leiten Sie die Amplitude aus der Differentialgleichung von +%\ref{buch:1101:basic-dgl} +Teilaufgabe c) +ab. +Sie erhalten zwei Werte $x_{\pm}$, wobei der kleinere $x_-$ +die Amplitude einer beschränkten Schwingung beschreibt, +während die $x_+$ die minimale Ausgangsamplitude einer gegen +$\infty$ divergenten Lösung ist. +\item +Rechnen Sie nach, dass +\[ +\frac{x_+^2+x_-^2}{2} += +x_0^2 +\qquad\text{und}\qquad +x_-^2x_+^2 += +\frac{4E}{\delta}. +\] +\item +Faktorisieren Sie die Funktion $f(x)$ in der Differentialgleichung +von Teilaufgabe c) mit Hilfe der in Teilaufgabe d) bestimmten +Nullstellen $x_{\pm}^2$. +\item +Dividieren Sie die Differentialgleichung durch $x_-^2$, schreiben +Sie $X=x/x_-$ und bringen Sie die Differentialgleichung in die +Form +\begin{equation} +A \dot{X}^2 += +(1-X^2) +(1-k^2X^2), +\label{buch:1101:eqn:dgl3} +\end{equation} +wobei $k^2=x_-^2/x_+^2$ und $A$ geeignet gewählt werden müssen. +\item +\label{buch:1101:teilaufgabe:dgl3} +Verwenden Sie $t(\tau) = \alpha\tau$ +und +$Y(\tau)=X(t(\tau))=X(\alpha\tau)$ um eine Differentialgleichung für +die Funktion $Y(\tau)$ zu gewinnen, die die Form der Differentialgleichung +von $\operatorname{sn}(u,k)$ hat (Abschnitt +\ref{buch:elliptisch:subsection:differentialgleichungen}), +für die also $A=0$ in \eqref{buch:1101:eqn:dgl3} ist. +\item +Verwenden Sie die Lösung $\operatorname{sn}(u,k)$ der in +Teilaufgabe h) +%\ref{buch:1101:teilaufgabe:dgl3} +erhaltenen Differentialgleichung, +um die Lösung $x(t)$ der ursprünglichen Gleichung aufzuschreiben. +\end{teilaufgaben} + +\begin{loesung} +\begin{figure} +\centering +\includegraphics{chapters/110-elliptisch/uebungsaufgaben/anharmonisch.pdf} +\caption{Rechte Seite der Differentialgleichung +\eqref{buch:1101:eqn:dglf}. +Eine beschränkte Lösung bewegt sich im Bereich $x<x_-$ +während im Bereich $x>x_+$ die Kraft abstossend ist und zu einer +divergenten Lösung führt. +\label{buch:1101:fig:potential} +} +\end{figure} +\begin{teilaufgaben} +\item +Wegen +\[ +F(x) += +-\kappa x\biggl(1-\frac{\delta}{\kappa}x^2\biggr) += +-Ix +\biggl(1-\sqrt{\frac{\delta}{\kappa}}x\biggr) +\biggl(1+\sqrt{\frac{\delta}{\kappa}}x\biggr) +\] +folgt, dass die rücktreibende Kraft bei der Auslenkung $\pm x_0$ mit +\[ +x_0^2 += +\frac{\kappa}{\delta} +\qquad\text{oder}\qquad +x_0 = \sqrt{\frac{\kappa}{\delta}} +\] +verschwindet. +\item +Die potentielle Energie ist die Arbeit, die gegen die rücktreibende Kraft +geleistet wird, um die Auslenkung $x$ zu erreichen. +Sie entsteht durch Integrieren der Kraft über +das Auslenkungsinterval, also +\[ +E_{\text{pot}} += +- +\int_0^x F(\xi) \,d\xi += +\int_0^x \kappa\xi-\delta\xi^3\,d\xi += +\biggl[ +\kappa\frac{\xi^2}{2} +- +\delta +\frac{\xi^4}{4} +\biggr]_0^x += +\kappa\frac{x^2}{2} +- +\delta\frac{x^4}{4}. +\] +\item +Die kinetische Energie ist gegeben durch +\[ +E_{\text{kin}} += +\frac12m\dot{x}^2. +\] +Die Gesamtenergie ist damit +\[ +E += +\frac12m\dot{x}^2 ++ +\kappa +\frac{x^2}{2} +- +\delta +\frac{x^4}{4}. +\] +Die verlangte Umformung ergibt +\begin{align} +\frac12m\dot{x}^2 +&= +E +- +\kappa\frac{x^2}{2} ++ +\delta\frac{x^4}{4} +\label{buch:1101:eqn:dglf} +\end{align} +als Differentialgleichung für $x$. +Die Ableitung $\dot{x}$ hat positives Vorzeichen wenn die Kraft +abstossend ist und negatives Vorzeichen dort, wo die Kraft anziehend ist. +% +\item +Die Amplitude der Schwingung ist derjenige $x$-Wert, für den +die Geschwindigkeit verschwindet, also eine Lösung der Gleichung +\[ +0 += +\frac{2E}{m} -\frac{\kappa}{m}x^2 + \frac{\delta}{2m}x^4. +\] +Der gemeinsame Nenner $m$ spielt offenbar keine Rolle. +Die Gleichung hat die zwei Lösungen +\[ +x_{\pm}^2 += +\frac{\kappa \pm \sqrt{\kappa^2-4E\delta}}{\delta} += +\frac{\kappa}{\delta} +\pm +\sqrt{ +\biggl(\frac{\kappa}{\delta}\biggr)^2 +- +\frac{4E}{\delta} +}. +\] +Die Situation ist in Abbildung~\ref{buch:1101:fig:potential} +Für $x>x_+$ ist die Kraft abstossend, die Lösung divergiert. +Die Lösung mit dem negativen Zeichen $x_-$ bleibt dagegen beschränkt, +dies ist die Lösung, die wir suchen. + +\item +Die beiden Formeln ergeben sich aus den Regeln von Vieta für die +Lösungen einer quadratischen Gleichungg der Form $x^4+px^2+q$. +Die Nullstellen haben den Mittelwert $-p/2$ und das Produkt $q$. + +\item +Die rechte Seite der Differentialgleichung lässt sich mit Hilfe +der beiden Nullstellen $x_{\pm}^2$ faktorisieren und bekommt die Form +\[ +\frac12m\dot{x}^2 += +\frac{\delta}{4}(x_+^2-x^2)(x_-^2-x^2). +\] + +\item +Indem die ganze Gleichung durch $x_-^2$ dividiert wird, entsteht +\[ +\frac12m +\biggl(\frac{\dot{x}}{x_-}\biggr)^2 += +\frac{\delta}{4} +(x_+^2-x^2) +\biggl(1-\frac{x^2}{x_-^2}\biggr). +\] +Schreiben wir $X=x/x_-$ wird daraus +\[ +\frac1{2}m\dot{X}^2 += +\frac{\delta}{4} +\biggl(x_+^2-x_-^2 X^2\biggr) +(1-X^2). +\] +Durch Ausklammern von $x_+^2$ im ersten Faktor wir daraus +\[ +\frac1{2}m\dot{X}^2 += +\frac{\delta}{4} +x_+^2 +\biggl(1-\frac{x_-^2}{x_+^2} X^2\biggr) +(1-X^2). +\] +Mit der Schreibweise $k^2 = x_-^2/x_+^2$ wird die Differentialgleichung +zu +\begin{equation} +\frac{2m}{\delta x_+^2} \dot{X}^2 += +(1-X^2)(1-k^2X^2), +\label{buch:1101:eqn:dgl2} +\end{equation} +was der Differentialgleichung für die Jacobische elliptische Funktion +$\operatorname{sn}(u,k)$ bereits sehr ähnlich sieht. +\item +Bis auf den Faktor vor $\dot{X}^2$ ist +\eqref{buch:1101:eqn:dgl2} +die Differentialgleichung +von +$\operatorname{sn}(u,k)$. +Um den Faktor zum Verschwinden zu bringen, schreiben wir +$t(\tau) = \alpha\tau$. +Die Ableitung von $Y(\tau)=X(t(\tau))$ nach $\tau$ ist +\[ +\frac{dY}{d\tau} += +\dot{X}(t(\tau))\frac{dt}{d\tau} += +\alpha +\dot{X}(t(\tau)) +\quad\Rightarrow\quad +\frac{1}{\alpha}\frac{dY}{d\tau} += +\dot{X}(t(\tau)) +\quad\Rightarrow\quad +\frac{1}{\alpha^2}\biggl(\frac{dY}{d\tau}\biggr)^2 += +\dot{X}(t(\tau))^2. +\] +Die Differentialgleichung für $Y(\tau)$ ist +\[ +\frac{2m}{\delta x_+^2\alpha^2} +\biggl( +\frac{dY}{d\tau} +\biggr)^2 += +(1-Y^2)(1-k^2Y^2). +\] +Der Koeffizient vor der Ableitung wird $1$, wenn man +\[ +\alpha^2 += +\frac{2m}{\delta x_+^2} +\] +wählt. +Diese Differentialgleichug hat die Lösung +\[ +Y(\tau) = \operatorname{sn}(\tau,k). +\] +\item +Indem man die gefunden Grössen einsetzt kann man jetzt die Lösung +der Differentialgleichung in geschlossener Form als +\begin{align*} +x(t) +&= +x_- X(t) += +x_- \operatorname{sn}\biggl( +t\sqrt{\frac{\delta x_+^2}{2m} } +,k +\biggr). +\end{align*} +Das Produkt $\delta x_+^2$ kann auch als +\[ +\delta x_+^2 += +\kappa+\sqrt{\kappa -4\delta E} +\] +geschrieben werden. +\qedhere +\end{teilaufgaben} +\end{loesung} + + diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/uebungsaufgaben/Makefile b/buch/chapters/110-elliptisch/uebungsaufgaben/Makefile new file mode 100644 index 0000000..0ca5234 --- /dev/null +++ b/buch/chapters/110-elliptisch/uebungsaufgaben/Makefile @@ -0,0 +1,8 @@ +# +# Makefile +# +# (c) 2022 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +# + +anharmonisch.pdf: anharmonisch.tex + pdflatex anharmonisch.tex diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/uebungsaufgaben/anharmonisch.pdf b/buch/chapters/110-elliptisch/uebungsaufgaben/anharmonisch.pdf Binary files differnew file mode 100644 index 0000000..4b00f4d --- /dev/null +++ b/buch/chapters/110-elliptisch/uebungsaufgaben/anharmonisch.pdf diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/uebungsaufgaben/anharmonisch.tex b/buch/chapters/110-elliptisch/uebungsaufgaben/anharmonisch.tex new file mode 100644 index 0000000..a00c393 --- /dev/null +++ b/buch/chapters/110-elliptisch/uebungsaufgaben/anharmonisch.tex @@ -0,0 +1,62 @@ +% +% anharmonisch.tex -- Potential einer anharmonischen Schwingung +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\documentclass[tikz]{standalone} +\usepackage{amsmath} +\usepackage{times} +\usepackage{txfonts} +\usepackage{pgfplots} +\usepackage{csvsimple} +\usetikzlibrary{arrows,intersections,math} +\begin{document} +\def\skala{1} +\definecolor{darkgreen}{rgb}{0,0.6,0} +\begin{tikzpicture}[>=latex,thick,scale=\skala] + +\def\E{3} +\def\K{0.2} +\def\D{0.0025} + +\pgfmathparse{sqrt(\K/\D)} +\xdef\xnull{\pgfmathresult} + +\pgfmathparse{sqrt((\K+sqrt(\K*\K-4*\E*\D))/\D)} +\xdef\xplus{\pgfmathresult} +\pgfmathparse{sqrt((\K-sqrt(\K*\K-4*\E*\D))/\D)} +\xdef\xminus{\pgfmathresult} + +\def\xmax{13} + +\fill[color=darkgreen!20] (0,-1.5) rectangle (\xminus,4.7); +\node[color=darkgreen] at ({0.5*\xminus},4.7) [below] {anziehende Kraft\strut}; + +\fill[color=orange!20] (\xplus,-1.5) rectangle (\xmax,4.7); +\node[color=orange] at ({0.5*(\xplus+\xmax)},4.7) [below] {abstossende\strut}; +\node[color=orange] at ({0.5*(\xplus+\xmax)},4.3) [below] {Kraft\strut}; + +\node[color=gray] at (\xnull,4.7) [below] {verbotener Bereich\strut}; + +\draw (-0.1,\E) -- (0.1,\E); +\node at (-0.1,\E) [left] {$E$}; + +\draw[color=red,line width=1pt] + plot[domain=0:13,samples=100] + ({\x},{\E-(0.5*\K-0.25*\D*\x*\x)*\x*\x}); + +\draw[->] (-0.1,0) -- ({\xmax+0.3},0) coordinate[label={$x$}]; +\draw[->] (0,-1.5) -- (0,5) coordinate[label={right:$f(x)$}]; + +\fill[color=blue] (\xminus,0) circle[radius=0.08]; +\node[color=blue] at (\xminus,0) [below left] {$x_-\mathstrut$}; + +\fill[color=blue] (\xplus,0) circle[radius=0.08]; +\node[color=blue] at (\xplus,0) [below right] {$x_+\mathstrut$}; + +\fill[color=blue] (\xnull,0) circle[radius=0.08]; +\node[color=blue] at (\xnull,0) [below] {$x_0\mathstrut$}; + +\end{tikzpicture} +\end{document} + diff --git a/buch/chapters/references.bib b/buch/chapters/references.bib index 17ef273..32a86ec 100644 --- a/buch/chapters/references.bib +++ b/buch/chapters/references.bib @@ -111,3 +111,10 @@ publisher = { Addison-Wesley } } +@online{buch:gmp, + title = {GNU Multiprecision Arithmetic Library}, + DAY = 26, + MONTH = 5, + YEAR = 2022, + url = {https://de.wikipedia.org/wiki/GNU_Multiple_Precision_Arithmetic_Library} +} |