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author | Andreas Müller <andreas.mueller@ost.ch> | 2022-01-16 16:51:47 +0100 |
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committer | Andreas Müller <andreas.mueller@ost.ch> | 2022-01-16 16:51:47 +0100 |
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diff --git a/buch/chapters/070-orthogonalitaet/rekursion.tex b/buch/chapters/070-orthogonalitaet/rekursion.tex new file mode 100644 index 0000000..5ec7fed --- /dev/null +++ b/buch/chapters/070-orthogonalitaet/rekursion.tex @@ -0,0 +1,218 @@ +% +% rekursion.tex -- drei term rekursion für orthogonale Polynome +% +% (c) 2022 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\section{Drei-Term-Rekursion für orthogonale Polynome +\label{buch:orthogonal:section:drei-term-rekursion}} +Die Berechnung der Legendre-Polynome mit Hilfe des Gram-Schmidt-Verfahrens +ist wenig hilfreich, wenn es darum geht, Werte der Polynome zu berechnen. +Glücklicherweise erfüllen orthogonale Polynome automatisch eine +Rekursionsbeziehung mit nur drei Termen. +Zum Beispiel kann man zeigen, dass für die Legendre-Polynome die +Relation +\begin{align*} +nP_n(x) &= (2n-1)xP_{n-1}(x) - (n-1)P_{n-2}(x),\;\forall n\ge 2, +\\ +P_1(x) &= x, +\\ +P_0(x) &= 1. +\end{align*} +Mit so einer Rekursionsbeziehung ist es sehr einfach, die Funktionswerte +für alle $P_n(x)$ zu berechnen. + +\begin{definition} +Eine Folge von Polynomen $p_n(x)$ heisst orthogonal bezüglich des +Skalarproduktes $\langle\,\;,\;\rangle_w$, wenn +\[ +\langle p_n,p_m\rangle_w = h_n \delta_{nm} +\] +für alle $n$, $m$. +\end{definition} + +\subsection{Allgemeine Drei-Term-Rekursion für orthogonale Polynome} +Der folgende Satz besagt, dass $p_n$ eine Rekursionsbeziehung erfüllt. + +\begin{satz} +\label{buch:orthogonal:satz:drei-term-rekursion} +Eine Folge bezüglich $\langle\,\;,\;\rangle_w$ orthogonaler Polynome $p_n$ +mit dem Grade $\deg p_n = n$ erfüllt eine Rekursionsbeziehung der Form +\begin{equation} +p_{n+1}(x) += +(A_nx+B_n)p_n(x) - C_np_{n-1}(x) +\label{buch:orthogonal:eqn:rekursion} +\end{equation} +für $n\ge 0$, wobei $p_{-1}(x)=0$ gesetzt wird. +Die Zahlen $A_n$, $B_n$ und $C_n$ sind reell und es ist +$A_{n-1}A_nC_n\ge 0$ für $n>0$. +Wenn $k_n>0$ der Leitkoeffizient von $p_n(x)$ ist, dann gilt +\begin{equation} +A_n=\frac{k_{n+1}}{k_n}, +\qquad +C_{n+1} = \frac{A_{n+1}}{A_n}\frac{h_{n+1}}{h_n}. +\label{buch:orthogonal:eqn:koeffizientenrelation} +\end{equation} +\end{satz} + +\subsection{Multiplikationsoperator mit $x$} +Man kann die Relation auch nach dem Produkt $xp_n(x)$ auflösen, dann +wird sie +\begin{equation} +xp_n(x) += +\frac{1}{A_n}p_{n+1}(x) +- +\frac{B_n}{A_n}p_n(x) ++ +\frac{C_n}{A_n}p_{n-1}(x). +\label{buch:orthogonal:eqn:multixrelation} +\end{equation} +Die Multiplikation mit $x$ ist eine lineare Abbildung im Raum der Funktionen. +Die Relation~\eqref{buch:orthogonal:eqn:multixrelation} besagt, dass diese +Abbildung in der Basis der Polynome $p_k$ tridiagonale Form hat. + +\subsection{Drei-Term-Rekursion für die Tschebyscheff-Polynome} +Eine Relation der Form~\eqref{buch:orthogonal:eqn:multixrelation} +wurde bereits in +Abschnitt~\ref{buch:potenzen:tschebyscheff:rekursionsbeziehungen} +hergeleitet. +In der Form~\eqref{buch:orthogonal:eqn:rekursion} geschrieben lautet +sie +\[ +T_{n+1}(x) = 2x\,T_n(x)-T_{n-1}(x). +\] +also +$A_n=2$, $B_n=0$ und $C_n=1$. + +\subsection{Beweis von Satz~\ref{buch:orthogonal:satz:drei-term-rekursion}} +Die Relation~\eqref{buch:orthogonal:eqn:multixrelation} zeigt auch, +dass der Beweis die Koeffizienten $\langle xp_k,p_j\rangle_w$ +berechnen muss. +Dabei wird wiederholt der folgende Trick verwendet. +Für jede beliebige Funktion $f$ mit $\|f\|_w^2<\infty$ ist +\[ +\langle fp_k,p_j\rangle_w += +\langle p_k,fp_j\rangle_w. +\] +Für $f(x)=x$ kann man weiter verwenden, dass $xp_k(x)$ ein Polynom +vom Grad $k+1$ ist. +Die Gleichheit $\langle xp_k,p_j\rangle_w=\langle p_k,xp_j\rangle_w$ +ermöglicht also, den Faktor $x$ dorthin zu schieben, wo es nützlicher ist. + +\begin{proof}[Beweis des Satzes] +Multipliziert man die rechte Seite von +\eqref{buch:orthogonal:eqn:rekursion} aus, dann ist der einzige Term +vom Grad $n+1$ der Term $A_nxp_n(x)$. +Der Koeffizient $A_n$ ist also dadurch festgelegt, dass +\begin{equation} +b(x) += +p_{n+1}(x) - A_nxp_n(x) +\label{buch:orthogonal:rekbeweis} +\end{equation} +Grad $\le n$ hat. +Dazu müssen sich die Terme vom Grad $n+1$ in den Polynomen wegheben, +d.~h.~$k_{n+1}-A_nk_n=0$, woraus die erste Beziehung in +\eqref{buch:orthogonal:eqn:koeffizientenrelation} folgt. + +Die Polynome $p_k$ sind durch Orthogonalisierung der Monome +$1$, $x$,\dots $x^{k}$ entstanden. +Dies bedeutet, dass $\langle p_n,x^k\rangle_w=0$ für alle $k<n$ +gilt und daher auch $\langle p_n,Q\rangle_w=0$ für jedes Polynome +$Q(x)$ vom Grad $<n$. + +Das Polynom $b(x)$ ist vom Grad $\le n$, es lässt sich also als +Linearkombination +\[ +b(x) = \sum_{k=0}^n b_k p_k(x) +\] +der $p_k$ mit $k\le n$ schreiben. +Die Koeffizienten $b_j$ kann man erhalten, indem man +\eqref{buch:orthogonal:rekbeweis} Skalar mit $p_j$ multipliziert. +Dabei erhält man +\[ +h_jb_j += +\langle b,p_j\rangle_w += +\langle p_{n+1},p_j\rangle_w +- +A_n\langle xp_n,p_j\rangle_w. +\] +Für $j\le n$ verschwindet der erste Term nach der Definition einer +Folge von orthogonalen Polynomen. +Den zweiten Term kann man umformen in +\[ +\langle xp_n,p_j\rangle_w += +\langle p_n,xp_j\rangle_w. +\] +Darin ist $xp_j$ ein Polynom vom Grad $j+1$. +Für $n>j+1$ folgt, dass der zweite Term verschwindet. +Somit sind alle $b_j=0$ mit $j<n-1$, nur der Term $j=n-1$ +bleibt bestehen. +Mit $B_n=b_n$ und $C_n=b_{n-1}$ bekommt man die somit die +Rekursionsbeziehung~\eqref{buch:orthogonal:eqn:rekursion}. + +Indem man das Skalarprodukt von~\eqref{buch:orthogonal:eqn:rekursion} +mit $p_{n-1}$ bildet, findet man +\begin{align} +\underbrace{\langle +p_{n+1},p_{n-1} +\rangle_w}_{\displaystyle=0} +&= +\langle (A_nx+B_n)p_n+C_np_{n-1},p_{n-1} \rangle_w +\notag +\\ +0 +&= +A_n\langle xp_n,p_{n-1} \rangle_w ++B_n\underbrace{\langle p_n,b_{n-1}\rangle_w}_{\displaystyle=0} +-C_n\|p_{n-1}\|_w^2 +\notag +\\ +0 +&= +A_n\langle p_n,xp_{n-1} \rangle_w +-C_n\|p_{n-1}\|_w^2 +\label{buch:orthogonal:eqn:rekbeweis2} +\end{align} +Indem man $xp_n$ als +\[ +xp_{n-1}(x) += +\frac{k_{n-1}}{k_n} p_n(x) ++ +\sum_{k=0}^{n-1} d_kp_k(x) +\] +schreibt, bekommt man +\begin{align*} +\langle +p_n, +xp_{n-1} +\rangle_w +&= +\biggl\langle +p_n, +\frac{k_{n-1}}{k_n} p_n ++ +\sum_{k=0}^{n-1} d_kp_k +\biggr\rangle_w += +\frac{k_{n-1}}{k_n}h_n ++ +\sum_{k=0}^{n-1} d_k\underbrace{\langle p_n,p_k\rangle_w}_{\displaystyle=0} +\end{align*} +Eingesetzt in~\eqref{buch:orthogonal:eqn:rekbeweis2} erhält man +\[ +A_n\frac{k_{n-1}}{k_n}h_n = C_n h_{n-1} +\qquad\Rightarrow\qquad +C_n += +A_n\frac{k_{n-1}}{k_n}\frac{h_n}{h_{n-1}}, +\] +damit ist auch die zweite Beziehung von +\eqref{buch:orthogonal:eqn:koeffizientenrelation}. +\end{proof} |