more info about gamma function

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diff --git a/buch/chapters/080-funktionentheorie/Makefile.inc b/buch/chapters/080-funktionentheorie/Makefile.inc
index 891f488..a702182 100644
--- a/buch/chapters/080-funktionentheorie/Makefile.inc
+++ b/buch/chapters/080-funktionentheorie/Makefile.inc
@@ -9,4 +9,8 @@ CHAPTERFILES = $(CHAPTERFILES)						\
 	chapters/080-funktionentheorie/analytisch.tex			\
 	chapters/080-funktionentheorie/cauchy.tex			\
 	chapters/080-funktionentheorie/fortsetzung.tex			\
+	chapters/080-funktionentheorie/anwendungen.tex			\
+	chapters/080-funktionentheorie/gammareflektion.tex		\
+	chapters/080-funktionentheorie/uebungsaufgaben/1.tex		\
+	chapters/080-funktionentheorie/uebungsaufgaben/2.tex		\
 	chapters/080-funktionentheorie/chapter.tex
diff --git a/buch/chapters/080-funktionentheorie/anwendungen.tex b/buch/chapters/080-funktionentheorie/anwendungen.tex
new file mode 100644
index 0000000..aab0d6b
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/080-funktionentheorie/anwendungen.tex
@@ -0,0 +1,9 @@
+%
+% anwendungen.tex
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\section{Anwendungen
+\label{buch:funktionentheorie:section:anwendungen}}
+
+\input{chapters/080-funktionentheorie/gammareflektion.tex}
diff --git a/buch/chapters/080-funktionentheorie/chapter.tex b/buch/chapters/080-funktionentheorie/chapter.tex
index 877d1b1..b7b5325 100644
--- a/buch/chapters/080-funktionentheorie/chapter.tex
+++ b/buch/chapters/080-funktionentheorie/chapter.tex
@@ -35,17 +35,19 @@ auf der rellen Achse hinaus fortsetzen.
 \input{chapters/080-funktionentheorie/analytisch.tex}
 \input{chapters/080-funktionentheorie/cauchy.tex}
 \input{chapters/080-funktionentheorie/fortsetzung.tex}
+\input{chapters/080-funktionentheorie/anwendungen.tex}
 
 \section{TODO}
 \begin{itemize}
 \item Aurgument-Prinzip
 \end{itemize}
 
-%\section*{Übungsaufgaben}
-%\rhead{Übungsaufgaben}
-%\aufgabetoplevel{chapters/020-exponential/uebungsaufgaben}
-%\begin{uebungsaufgaben}
+\section*{Übungsaufgaben}
+\rhead{Übungsaufgaben}
+\aufgabetoplevel{chapters/080-funktionentheorie/uebungsaufgaben}
+\begin{uebungsaufgaben}
 %\uebungsaufgabe{0}
-%\uebungsaufgabe{1}
-%\end{uebungsaufgaben}
+\uebungsaufgabe{1}
+\uebungsaufgabe{2}
+\end{uebungsaufgaben}
 
diff --git a/buch/chapters/080-funktionentheorie/gammareflektion.tex b/buch/chapters/080-funktionentheorie/gammareflektion.tex
new file mode 100644
index 0000000..e77c8d6
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/080-funktionentheorie/gammareflektion.tex
@@ -0,0 +1,223 @@
+%
+% gammareflektion.tex
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\subsection{Reflektionsformel für die Gamma-Funktion
+\label{buch:funktionentheorie:subsection:gammareflektion}}
+Die Formel~\eqref{buch:rekursion:gamma:spiegelung-betaintegral}
+stellt eine Beziehung zwischen dem Produkt $\Gamma(x)\Gamma(1-x)$
+von zwei Werten der Gamma-Funktion in Punkten der komplexen Ebene,
+die durch Spiegelung an der Geraden $\operatorname{Re}x=\frac12$
+auseinander hervorgehen, und einem speziellen Beta-Integral her.
+
+\begin{satz}
+Für $0<x<1$ gilt
+\begin{equation}
+\Gamma(x)\Gamma(1-x)
+=
+\frac{\pi}{\sin\pi x}.
+\end{equation}
+\end{satz}
+
+\begin{figure}
+\centering
+\includegraphics{chapters/080-funktionentheorie/images/gammapfad.pdf}
+\caption{Pfad zur Auswertung des
+Integrals~\eqref{buch:funktionentheorie:eqn:gammapfadintegral}
+mit Hilfe des Residuensatzes.
+\label{buch:funktionentheorie:fig:gammapfad}}
+\end{figure}
+
+\begin{proof}[Beweis]
+In der Formel~\eqref{buch:rekursion:gamma:spiegelung-betaintegral}
+wurde bereits ein Zusammenhang zwischen $\Gamma(x)\Gamma(1-x)$
+und einem Beta-Integral hergestellt, konkret
+\[
+\Gamma(x)\Gamma(1-x)
+=
+B(x,1-x)
+=
+\int_0^1 t^{x-1}(1-t)^{-x}\,dt.
+\]
+Mit der Substitution $t=s/(s+1)$, die bereits für die Herleitung der
+Formel~\eqref{buch:rekursion:gamma:beta:sinf} verwendet wurde, ergibt sich
+\[
+\Gamma(x)\Gamma(1-x)
+=
+\int_0^\infty 
+\frac{s^{x-1}}{s+1}
+\,ds.
+\]
+Um dieses Integral zu berechnen, verwenden wir den Cauchy-Integralsatz,
+um das Integral
+\begin{equation}
+I
+=
+\oint_\gamma \frac{z^{x-1}}{1-z}\,dz
+\label{buch:funktionentheorie:eqn:gammapfadintegral}
+\end{equation}
+zu berechnen.
+Darin hat die Funktion im Zähler des Integranden $f(z)=z^{x-1}$ 
+nur ausserhalb der negativen reellen Achse einen wohldefinierten Wert.
+In Polarkoordinaten $z=re^{i\varphi}$ verwenden wir
+den Hauptwert $z^{x-1}=r^{x-1}e^{i(x-1)\varphi}$.
+Aus dem Cauchy-Integralsatz lesen wir den Wert
+\[
+I = 2\pi i
+\]
+ab.
+
+Das Integral \eqref{buch:funktionentheorie:eqn:gammapfadintegral}
+kann zerlegt werden in die Integrale
+\begin{align*}
+I
+&=
+I_R+I_++I_\varepsilon+I_-,
+\end{align*}
+wobei $I_R$ das Integral über den äusseren Kreis vom Radius $R$ ist,
+$I_\varepsilon$ das Integral im Gegenuhrzeigersinn über den inneren Kreis
+vom Radius $\varepsilon$.
+Die Terme $I_{\pm}$ sind die Integrale entlang der negativen
+reellen Achse, wobei das Pluszeichen für den oberen $-R$ nach
+$-\varepsilon$ gelten soll.
+
+Für die beiden Integrale $I_R$ und $I_\varepsilon$ wird die Parametrisierung
+$\varphi\mapsto z(\varphi) = re^{i\varphi}$ mit $dz=ire^{i\varphi}\,d\varphi$
+verwendet.
+Das Integral über den Kreis vom Radius $r$ im Gegenuhrzeigersinn ist
+\begin{align*}
+I_r
+&=
+\int_{-\pi}^\pi
+\frac{r^{x-1}e^{i(x-1)\varphi}}{1-re^{i\varphi}} ire^{i\varphi}\,d\varphi
+=
+i\int_{-\pi}^\pi
+\frac{r^xe^{ix\varphi}}{1-re^{i\varphi}}
+\,d\varphi
+\end{align*}
+Die beiden Teile $I_R$ und $I_\varepsilon$ können wie folgt noch
+weiter vereinfacht werden:
+\begin{align*}
+\\
+I_R
+&=
+iR^{x-1}
+\int_{-\pi}^\pi
+\frac{e^{ix\varphi}}{1/R-e^{i\varphi}}
+\,d\varphi
+\\
+I_{\varepsilon}
+&=
+-
+i
+\varepsilon^x
+\int_{\pi}^{-\pi}
+\frac{e^{ix\varphi}}{1-\varepsilon e^{i\varphi}}
+\,d\varphi,
+\end{align*}
+wobei das negative Zeichen bei $I_\varepsilon$ daher rührt, dass der
+kleine Kreis im Uhrzeigersinn durchlaufen wird.
+Für grosse Werte von $R$ ist das erste Integral beschränkt, aber wegen
+$x-1<0$ konvergiert der Vorfaktor $R^{x-1}$ gegen 0 für $R\to\infty$.
+Ähnlich ist das zweite Integral für kleine $\varepsilon$ beschränkt, aber
+$\varepsilon^x$ konvergiert gegen $0$ für  $\varepsilon\to 0$.
+Wir können daher
+\begin{align*}
+\lim_{R\to\infty}
+I_R
+&=
+\lim_{R\to\infty}
+R^{x-1}
+\int_{-\pi}^\pi
+\frac{e^{i(x-1)\varphi}}{1/R-e^{i\varphi}}
+ie^{i\varphi}
+\,d\varphi
+=0
+\\
+\text{und}
+\qquad
+\lim_{\varepsilon\to 0}
+I_\varepsilon
+&=
+-
+\lim_{\varepsilon\to 0}
+\int_{\pi}^{-\pi}
+\frac{\varepsilon^{x-1}e^{i(x-1)\varphi}}{1-\varepsilon e^{i\varphi}}
+i\varepsilon e^{i\varphi}
+\,d\varphi
+=
+0
+\end{align*}
+folgern.
+
+Die anderen zwei Integrale verwenden die Parametrisierung
+$z(s) = -s = se^{\pm i\pi}$ mit $dz = e^{\pm i\pi}\,ds$.
+Damit werden sie
+\begin{align*}
+I_+
+&=
+\int_{R}^{\varepsilon}
+\frac{s^{x-1}e^{i(x-1)\pi}}{1-se^{i\pi}}
+e^{i\pi}
+\,ds
+=
+\int_{\varepsilon}^R
+\frac{s^{x-1}e^{ix\pi}}{1+s}
+\,ds
+\\
+I_-
+&=
+\int_{\varepsilon}^{R}
+\frac{s^{x-1}e^{i(x-1)(-\pi)}}{1-se^{-i\pi}}
+e^{-i\pi}
+\,ds
+=
+-
+\int_{\varepsilon}^{R}
+\frac{s^{x-1}e^{-ix\pi}}{1+s}
+\,ds.
+\intertext{Die beiden Integrale stimmen bis auf den von $t$ unabhängigen
+Faktor $e^{\pm ix\pi}$ überein, sie können daher zusammegefasst werden zu}
+I_++I_-
+&=
+(e^{ix\pi}-e^{-ix\pi})
+\int_{\varepsilon}^{R}
+\frac{s^{x-1}}{1+s}
+\,ds
+=
+\frac{e^{ix\pi}-e^{-ix\pi}}{2i}
+\cdot
+2i \int_{\varepsilon}^{R}
+\frac{s^{x-1}}{1+s}
+\,ds
+\\
+&=
+2i
+\sin(\pi x)
+\int_{\varepsilon}^R
+\frac{s^{x-1}}{1+s}
+\,ds.
+\end{align*}
+Durch Grenzübergang $R\to\infty$ und $\varepsilon \to 0$ wird dies zu
+\[
+I
+=
+2i\sin(\pi x) \int_{0}^\infty \frac{s^{x-1}}{1+s}\,ds
+\]
+Zusammen mit dem früher bestimmten Wert $I=2\pi i$ folgt 
+\[
+2\pi i
+= 
+2i\sin(\pi x)
+\int_{0}^\infty \frac{s^{x-1}}{1+s}\,ds
+\qquad\Rightarrow\qquad
+\frac{\pi}{\sin \pi x}
+=
+\int_{0}^\infty \frac{s^{x-1}}1+s\,ds
+=
+\Gamma(x)\Gamma(1-x).
+\]
+Damit ist der Satz bewiesen.
+\end{proof}
+
diff --git a/buch/chapters/080-funktionentheorie/images/Makefile b/buch/chapters/080-funktionentheorie/images/Makefile
index 66e6d0f..1ddd585 100644
--- a/buch/chapters/080-funktionentheorie/images/Makefile
+++ b/buch/chapters/080-funktionentheorie/images/Makefile
@@ -4,7 +4,7 @@
 # (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
 #
 all:	nonanalytic.pdf integralanalytisch.pdf laurent.pdf \
-	fortsetzreziprok.pdf forts.pdf logforts.pdf
+	fortsetzreziprok.pdf forts.pdf logforts.pdf gammapfad.pdf
 
 nonanalytic.pdf:	nonanalytic.tex
 	pdflatex nonanalytic.tex
@@ -24,3 +24,6 @@ forts.pdf:	forts.tex
 logforts.pdf:	logforts.tex
 	pdflatex logforts.tex
 
+gammapfad.pdf:	gammapfad.tex
+	pdflatex gammapfad.tex
+
diff --git a/buch/chapters/080-funktionentheorie/images/gammapfad.pdf b/buch/chapters/080-funktionentheorie/images/gammapfad.pdf
new file mode 100644
index 0000000..13a6fc1
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/080-funktionentheorie/images/gammapfad.pdf
diff --git a/buch/chapters/080-funktionentheorie/images/gammapfad.tex b/buch/chapters/080-funktionentheorie/images/gammapfad.tex
new file mode 100644
index 0000000..cf24c95
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/080-funktionentheorie/images/gammapfad.tex
@@ -0,0 +1,54 @@
+%
+% gammapfad.tex -- Pfad zum Beweis der Reflektionsformel der Gamma-Funktion
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\documentclass[tikz]{standalone}
+\usepackage{amsmath}
+\usepackage{times}
+\usepackage{txfonts}
+\usepackage{pgfplots}
+\usepackage{csvsimple}
+\usetikzlibrary{arrows,intersections,math}
+\begin{document}
+\def\skala{2}
+\definecolor{darkred}{rgb}{0.8,0,0}
+\begin{tikzpicture}[>=latex,thick,scale=\skala]
+
+\draw[->] (-2.55,0) -- (2.7,0) coordinate[label={$\operatorname{Re}z$}];
+\draw[->] (0,-2.55) -- (0,2.7,0) coordinate[label={right:$\operatorname{Im}z$}];
+
+\def\repsilon{0.3}
+\def\R{2.5}
+\def\d{0.04}
+
+\pgfmathparse{asin(\d/sqrt(\R*\R-\d*\d))}
+\xdef\A{\pgfmathresult}
+\pgfmathparse{asin(\d/sqrt(\repsilon*\repsilon-\d*\d))}
+\xdef\a{\pgfmathresult}
+
+\draw[->] (0,0) -- (70:\R);
+\node at (70:{0.7*\R}) [right] {$R$};
+\draw[->] (0,0) -- (-40:\repsilon);
+\node at (-40:\repsilon) [below right] {$\varepsilon$};
+
+\draw[color=darkred,line width=1.4pt] 
+	({\A-180}:\R) arc ({\A-180}:{180-\A}:\R)
+	--
+	({-sqrt(\R*\R-\d*\d)},\d)
+	--
+	%({-sqrt(\repsilon*\repsilon-\d*\d)},\d)
+	({180-\a}:\repsilon) arc ({180-\a}:{\a-180}:\repsilon)
+	--
+	({-sqrt(\R*\R-\d*\d)},-\d)
+	--
+	cycle;
+
+\fill[color=blue] (1,0) circle[radius=0.04];
+\node[color=blue] at (1,0) [above] {$1$};
+
+\node[color=darkred] at (120:\R) [above left] {$\gamma$};
+
+\end{tikzpicture}
+\end{document}
+
diff --git a/buch/chapters/080-funktionentheorie/uebungsaufgaben/1.tex b/buch/chapters/080-funktionentheorie/uebungsaufgaben/1.tex
new file mode 100644
index 0000000..8bc276f
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/080-funktionentheorie/uebungsaufgaben/1.tex
@@ -0,0 +1,55 @@
+Verwenden Sie die Eulersche Spiegelungsformel um 
+\[
+S_n
+=
+\sum_{k=1}^n
+\Gamma\biggl(\frac{1+2k}2\biggr)\Gamma\biggl(\frac{1-2k}2\biggr)
+\]
+zu berechnen.
+
+\begin{loesung}
+Zunächst beachten wir, dass
+\[
+1 - \frac{1+2k}2
+=
+\frac{1-2k}2.
+\]
+Dies bedeutet, dass
+\[
+\Gamma\biggl(\frac{1+2k}2\biggr)
+\Gamma\biggl(\frac{1-2k}2\biggr)
+=
+\Gamma\biggl(\frac{1+2k}2\biggr)
+\Gamma\biggl(1-\frac{1+2k}2\biggr)
+=
+\frac{\pi}{
+\sin\pi\frac{1+2k}2
+}
+=
+\frac{\pi}{\sin(2k+1)\frac{\pi}2}
+\]
+nach der Eulerschen Spiegelungsformel.
+Das Argument der Sinus-Funktion ist ein ungerades Vielfaches 
+von $\frac{\pi}2$, die Sinus-Funktion hat dort die Werte $\pm 1$,
+genauer
+\[
+\sin(2k+1)\frac{\pi}2
+=
+(-1)^k.
+\]
+Damit wird die gesuchte Summe:
+\[
+S_n
+=
+\sum_{k=1}^n
+\frac{\pi}{(-1)^k}
+=
+-\pi+\pi-\pi+\dots+(-1)^n\pi
+=
+\begin{cases}
+0&\qquad\text{$n$ gerade}\\
+-\pi&\qquad\text{$n$ ungerade}.
+\end{cases}
+\qedhere
+\]
+\end{loesung}
diff --git a/buch/chapters/080-funktionentheorie/uebungsaufgaben/2.tex b/buch/chapters/080-funktionentheorie/uebungsaufgaben/2.tex
new file mode 100644
index 0000000..48e9bdc
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/080-funktionentheorie/uebungsaufgaben/2.tex
@@ -0,0 +1,31 @@
+Verwenden Sie die Legendresche Verdoppelungsformel und
+die Eulersche Spiegelungsformel für die Gamma-Funktion,
+um $\Gamma(\frac14)\Gamma(\frac34)$ zu berechnen und
+verifizieren Sie, dass beide Wege das gleiche Resultat geben.
+
+\begin{loesung}
+Aus der Spiegelungsformel für $x=\frac14$ folgt
+\[
+\Gamma({\textstyle\frac14})\Gamma({\textstyle\frac34})
+=
+\frac{\pi}{\sin\frac{\pi}4}
+=
+\frac{\pi}{1/\sqrt{2}}
+=
+\pi\sqrt{2}.
+\]
+Andererseits ist $\frac34=\frac14+\frac12$, so dass aus der Legendreschen
+Verdoppelungsformel folgt
+\[
+\Gamma({\textstyle\frac14})\Gamma({\textstyle\frac34})
+=
+2^{1-2\cdot \frac14}\sqrt{\pi}\Gamma(2\cdot {\textstyle\frac14})
+=
+\sqrt{2}
+\sqrt{\pi}\Gamma({\textstyle\frac12})
+=
+\sqrt{2}
+\pi.
+\]
+Offensichtlich stimmen die beiden Resultate überein.
+\end{loesung}