add new bessel images

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diff --git a/buch/chapters/090-pde/Makefile.inc b/buch/chapters/090-pde/Makefile.inc
new file mode 100644
index 0000000..191bad6
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/090-pde/Makefile.inc
@@ -0,0 +1,12 @@
+#
+# Makefile.inc -- Makefile dependencies for chapter 9
+#
+# (c) 2022 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+#
+
+CHAPTERFILES = $(CHAPTERFILES)						\
+	chapters/090-pde/gleichung.tex					\
+	chapters/090-pde/separation.tex					\
+	chapters/090-pde/rechteck.tex					\
+	chapters/090-pde/kreis.tex					\
+	chapters/090-pde/chapter.tex
diff --git a/buch/chapters/090-pde/bessel/Makefile b/buch/chapters/090-pde/bessel/Makefile
new file mode 100644
index 0000000..c189517
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/090-pde/bessel/Makefile
@@ -0,0 +1,15 @@
+#
+# Makefile
+#
+# (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+#
+all:	besselzeros.tex besselnodes.tex pauke.pdf
+
+besselzeros.tex:	besselzeros.m
+	octave besselzeros.m
+
+besselnodes.tex:	besselnodes.m
+	octave besselnodes.m
+
+pauke.pdf:	pauke.tex besselnodes.tex
+	pdflatex pauke.tex
diff --git a/buch/chapters/090-pde/bessel/besselnodes.m b/buch/chapters/090-pde/bessel/besselnodes.m
new file mode 100644
index 0000000..0dcba3e
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/090-pde/bessel/besselnodes.m
@@ -0,0 +1,106 @@
+#
+# besselnodes.m
+#
+# (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+#
+global maxmu;
+maxmu = 3;
+global maxk;
+maxk = 4;
+global mu;
+
+nachkommastellen = 4;
+
+function retval = f(x)
+	global mu;
+	retval = besselj(mu, x);
+endfunction
+
+global kzeros;
+kzeros = zeros(maxk+1, maxmu+1);
+for mu = (0:maxmu)
+	k = 0;
+	x = 0.0001;
+	while (k <= maxk)
+		bracket = [ x, x+1 ];
+		if (f(bracket(1)) * f(bracket(2)) < 0) 
+			kzeros(k+1,mu+1) = fzero("f", bracket);
+			k = k + 1;
+		endif
+		x = x + 1;
+	endwhile
+endfor
+
+xshift = 4;
+yshift = 4;
+global	r;
+r = 1.8;
+
+function	retval = anderefarbe(f)
+	if (1 == strcmp("red", f))
+		retval = "blue";
+	else
+		retval = "red";
+	endif
+endfunction
+
+function sektor(fn, mu, k, w0, w1, startfarbe)
+	global	kzeros;
+	global 	r;
+	fprintf(fn, "\\begin{scope}\n");
+	fprintf(fn, "\\clip (0,0)--(%.4f:%.4f) arc (%.4f:%.4f:%.4f)--cycle;\n",
+		w0, r, w0, w1, r);
+	faktor = kzeros(k+1,mu+1);
+
+	K = k + 1;
+	farbe = startfarbe;
+	while (K > 0)
+		R = r * kzeros(K, mu+1) / faktor;
+		fprintf(fn, "\\fill[color=%s!20] ", farbe);
+		fprintf(fn, "(0,0) circle[radius=%.4f];\n", R);
+		farbe = anderefarbe(farbe);
+		K = K-1;
+	end
+	fprintf(fn, "\\end{scope}\n");
+endfunction
+
+fn = fopen("besselnodes.tex", "w");
+
+#fprintf(fn, "\\begin{tikzpicture}[>=latex,thick]\n");
+
+for mu = (0:maxmu)
+	if (mu > 0)
+		winkel = 180 / mu;
+	else
+		winkel = 360;
+	endif
+	for k = (0:maxk)
+		fprintf(fn, "\\begin{scope}[xshift=%.3fcm,yshift=-%.3fcm]\n",
+			mu * xshift, k * yshift);
+		for w0 = (0:2*winkel:360)
+			sektor(fn, mu, k, w0, w0 + winkel, "red");
+			if (winkel < 270)
+				sektor(fn, mu, k, w0 + winkel, w0 + 2 * winkel, "blue");
+			endif
+		endfor
+
+		fprintf(fn, "\\draw (0,0) circle[radius=%.4f];\n", r);
+
+		fprintf(fn, "\\end{scope}\n\n");
+	endfor
+endfor
+
+for mu = (0:maxmu)
+	fprintf(fn, "\\node at (%.4f,%.4f) [above] {$\\mu=%d$};\n",
+		mu * xshift, 0.5 * yshift, mu);
+endfor
+
+for k = (0:maxk)
+	fprintf(fn, "\\node at (%.4f,%.4f) [above,rotate=90] {$k=%d$};\n",
+		-0.5 * xshift, -k * yshift, k);
+endfor
+
+#fprintf(fn, "\\end{tikzpicture}\n");
+
+fclose(fn);
+
diff --git a/buch/chapters/090-pde/bessel/besselzeros.m b/buch/chapters/090-pde/bessel/besselzeros.m
new file mode 100644
index 0000000..9c8fa9d
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/090-pde/bessel/besselzeros.m
@@ -0,0 +1,70 @@
+#
+# besselzeros.m -- find zeros of bessel functions
+#
+# (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+# 
+global maxmu;
+maxmu = 7;
+global maxk;
+maxk = 10;
+global mu;
+
+nachkommastellen = 4;
+
+function retval = f(x)
+	global mu;
+	retval = besselj(mu, x);
+endfunction
+
+kzeros = zeros(maxk+1, maxmu+1);
+for mu = (0:maxmu)
+	k = 0;
+	if (mu > 0)
+		kzeros(1, mu+1) = 0;
+		k = k+1;
+	endif
+	x = 0.0001;
+	while (k <= maxk)
+		bracket = [ x, x+1 ];
+		if (f(bracket(1)) * f(bracket(2)) < 0) 
+			kzeros(k+1,mu+1) = fzero("f", bracket);
+			k = k + 1;
+		endif
+		x = x + 1;
+	endwhile
+endfor
+
+# kzeros
+
+fn = fopen("besselzeros.tex", "w");
+
+fprintf(fn, "\\begin{tabular}{|>{$}c<{$}");
+for mu = (0:maxmu)
+	fprintf(fn, "|>{$}r<{$}");
+endfor
+fprintf(fn, "|}\n");
+
+fprintf(fn, "\\hline\n");
+fprintf(fn, " k ");
+for mu = (0:maxmu)
+	fprintf(fn, "& \\mu = %d ", mu);
+endfor
+fprintf(fn, "\\\\\n");
+fprintf(fn, "\\hline\n");
+
+for k = (0:maxk)
+	fprintf(fn, " %d ", k);
+	for mu = (0:maxmu)
+		value = kzeros(k+1, mu+1);
+		if (value == 0) 
+			fprintf(fn, "& 0\\phantom{.%0*d}", nachkommastellen, 0);
+		else
+			fprintf(fn, "& %*.*f", nachkommastellen+4, nachkommastellen, kzeros(k+1, mu+1));
+		endif
+	endfor
+	fprintf(fn, "\\\\\n");
+endfor
+fprintf(fn, "\\hline\n");
+fprintf(fn, "\\end{tabular}\n");
+
+fclose(fn);
diff --git a/buch/chapters/090-pde/bessel/besselzeros.tex b/buch/chapters/090-pde/bessel/besselzeros.tex
new file mode 100644
index 0000000..1b8d33b
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/090-pde/bessel/besselzeros.tex
@@ -0,0 +1,17 @@
+\begin{tabular}{|>{$}c<{$}|>{$}r<{$}|>{$}r<{$}|>{$}r<{$}|>{$}r<{$}|>{$}r<{$}|>{$}r<{$}|>{$}r<{$}|>{$}r<{$}|}
+\hline
+ k & \mu = 0 & \mu = 1 & \mu = 2 & \mu = 3 & \mu = 4 & \mu = 5 & \mu = 6 & \mu = 7 \\
+\hline
+ 0 &   2.4048& 0\phantom{.0000}& 0\phantom{.0000}& 0\phantom{.0000}& 0\phantom{.0000}& 0\phantom{.0000}& 0\phantom{.0000}& 0\phantom{.0000}\\
+ 1 &   5.5201&   3.8317&   5.1356&   6.3802&   7.5883&   8.7715&   9.9361&  11.0864\\
+ 2 &   8.6537&   7.0156&   8.4172&   9.7610&  11.0647&  12.3386&  13.5893&  14.8213\\
+ 3 &  11.7915&  10.1735&  11.6198&  13.0152&  14.3725&  15.7002&  17.0038&  18.2876\\
+ 4 &  14.9309&  13.3237&  14.7960&  16.2235&  17.6160&  18.9801&  20.3208&  21.6415\\
+ 5 &  18.0711&  16.4706&  17.9598&  19.4094&  20.8269&  22.2178&  23.5861&  24.9349\\
+ 6 &  21.2116&  19.6159&  21.1170&  22.5827&  24.0190&  25.4303&  26.8202&  28.1912\\
+ 7 &  24.3525&  22.7601&  24.2701&  25.7482&  27.1991&  28.6266&  30.0337&  31.4228\\
+ 8 &  27.4935&  25.9037&  27.4206&  28.9084&  30.3710&  31.8117&  33.2330&  34.6371\\
+ 9 &  30.6346&  29.0468&  30.5692&  32.0649&  33.5371&  34.9888&  36.4220&  37.8387\\
+ 10 &  33.7758&  32.1897&  33.7165&  35.2187&  36.6990&  38.1599&  39.6032&  41.0308\\
+\hline
+\end{tabular}
diff --git a/buch/chapters/090-pde/bessel/pauke.pdf b/buch/chapters/090-pde/bessel/pauke.pdf
new file mode 100644
index 0000000..54edc20
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/090-pde/bessel/pauke.pdf
diff --git a/buch/chapters/090-pde/bessel/pauke.tex b/buch/chapters/090-pde/bessel/pauke.tex
new file mode 100644
index 0000000..bba092e
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/090-pde/bessel/pauke.tex
@@ -0,0 +1,21 @@
+%
+% pauke.tex -- template for standalon tikz images
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\documentclass[tikz]{standalone}
+\usepackage{amsmath}
+\usepackage{times}
+\usepackage{txfonts}
+\usepackage{pgfplots}
+\usepackage{csvsimple}
+\usetikzlibrary{arrows,intersections,math}
+\begin{document}
+\def\skala{1}
+\begin{tikzpicture}[>=latex,thick,scale=\skala]
+
+\input{besselnodes.tex}
+
+\end{tikzpicture}
+\end{document}
+
diff --git a/buch/chapters/090-pde/chapter.tex b/buch/chapters/090-pde/chapter.tex
new file mode 100644
index 0000000..543a92d
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/090-pde/chapter.tex
@@ -0,0 +1,30 @@
+%
+% chapter.tex -- Kapitel zu partiellen Differentialgleichungen
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+% !TeX spellcheck = de_CH
+\chapter{Partielle Differentialgleichungen
+\label{buch:chapter:pde}}
+\lhead{Partielle Differentialgleichungen}
+\rhead{}
+Partielle Differentialgleichungen sind eine besonders ergiebige
+Quelle für Anwendungen spezieller Funktionen.
+Die Separationsmethode zum Beispiel für die Wellengleichung
+auf gewissen, besonders einfachen Gebieten wie Rechtecken,
+Kreisscheiben oder Kugel führt auf gewöhnliche Differentialgleichungen,
+deren Lösungen spezielle Funktionen sind.
+
+\input{chapters/090-pde/gleichung.tex}
+\input{chapters/090-pde/separation.tex}
+\input{chapters/090-pde/rechteck.tex}
+\input{chapters/090-pde/kreis.tex}
+
+%\section*{Übungsaufgaben}
+%\rhead{Übungsaufgaben}
+%\aufgabetoplevel{chapters/020-exponential/uebungsaufgaben}
+%\begin{uebungsaufgaben}
+%\uebungsaufgabe{0}
+%\uebungsaufgabe{1}
+%\end{uebungsaufgaben}
+
diff --git a/buch/chapters/090-pde/gleichung.tex b/buch/chapters/090-pde/gleichung.tex
new file mode 100644
index 0000000..07dd2ff
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/090-pde/gleichung.tex
@@ -0,0 +1,11 @@
+%
+% gleichung.tex
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\section{Gleichungen und Randbedingungen
+\label{buch:pde:section:gleichungen-und-randbedingungen}}
+
+\subsection{Laplace-Operator}
+
+\subsection{Orthogonalität}
diff --git a/buch/chapters/090-pde/kreis.tex b/buch/chapters/090-pde/kreis.tex
new file mode 100644
index 0000000..a54ce38
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/090-pde/kreis.tex
@@ -0,0 +1,219 @@
+%
+% kreis.tex
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\section{Kreisförmige Membran
+\label{buch:pde:section:kreis}}
+In diesem Abschnitt soll die Differentialgleichung einer kreisförmigen
+Membran mit Hilfe der Separationsmethode gelöst werden.
+Dabei werden die Bessel-Funktionen als Lösungsfunktionen 
+auftreten und die Eigenfrequenzen werden durch ihre Nullstellen
+berechnet.
+
+\subsection{Differentialgleichung und Randbedingung}
+Die Wellengleichung auf einem Kreisgebiet mit Radius $r_0$ 
+lässt sich am besten mit Hilfe von Polarkoordinaten $(r,\varphi)$
+ausdrücken.
+Gesucht ist also eine Funktion $u(t,r,\varphi)$ gesucht, wobei
+$0\le r<r_0$ und $0\le \varphi\le 2\pi$.
+Die Funktion muss eine Lösung der Wellengleichung
+\[
+\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2u}{\partial t^2} = \Delta u
+\]
+sein.
+
+Der Laplace-Operator hat in Polarkoordinaten die Form
+\begin{equation}
+\Delta
+=
+\frac{\partial^2}{\partial r^2}
++
+\frac1r
+\frac{\partial}{\partial r}
++
+\frac{1}{r 2}
+\frac{\partial^2}{\partial\varphi^2}.
+\label{buch:pde:kreis:laplace}
+\end{equation}
+Die Differentialgleichung ist 
+\[
+\frac{1}{c^2} \frac{\partial^2 u}{\partial t^2}
+=
+\Delta u.
+\]
+Die Separation der Zeit führt auf die Eigenwertgleichung
+\[
+\Delta U(r,\varphi) = -\lambda^2 U(r,\varphi)
+\]
+für eine Funktion, die nur von $r$ und $\varphi$ abhängt.
+
+Die Randbedingungen besagen, dass $u(t,r_0,\varphi)=0$ für $t>0$.
+Dies bedeutet für die Funktion $U(r,\varphi)$, dass
+$U(r_0,\varphi)=0$ sein muss für alle $\varphi$.
+
+Die Bedingungen an $U$ reichen aber nicht ganz.
+Alle Koordinaten $(0,\varphi)$ bezeichnen ja gleichermassen
+den Nullpunkt des Koordinatensystems, es muss also auch sichergestellt
+sein, dass $U(0,\varphi)$ für alle $\varphi$ den gleichen Wert gibt.
+
+\subsection{Separation}
+Das Eigenwertproblem $\Delta U=-\lambda^2 U$ soll jetzt in Polarkoordinaten
+separiert werden.
+Dazu schreiben wir die Lösung als
+\[
+U(r,\varphi)
+=
+R(r)\cdot \Phi(\varphi).
+\]
+Die Randbedingungen an $U$ werden zu $R(r_0)=0$.
+
+Im Ursprung des Koordinatensystems ist die Randbedingung etwas
+komplizierter.
+Wenn $R(0)=0$ ist, dann ist sichergestellt, dass
+$U(0,\varphi)=R(0)\Phi(\varphi)0$ ist, dass also der Wert unabhängig
+ist von $\varphi$.
+Wenn aber $R(0)\ne 0$ ist, dann kann die geforderte Unabhängigkeit
+von $\varphi$ nur erfüllt werden, wenn $\Phi(\varphi)$ konstant ist.
+Da die Funktion aber auch noch differenzierbar sein soll, darf es
+an der Stelle $r=0$ keine ``Spitze'' geben, die Ableitung $R'(0)$
+muss also auch $=0$ sein.
+% XXX Evtl Bild zur Illustration dieses Problems
+
+Die Differntialgleichungen wird mit der Form~\eqref{buch:pde:kreis:laplace}
+des Laplace-Operators
+\[
+\Delta U
+=
+R''(r) \Phi(\varphi)
++
+\frac1r R'(r)\Phi(\varphi)
++
+\frac{1}{r^2} R(r)\Phi''(\varphi)
+=
+-\lambda^2
+R(r)\Phi(\varphi)
+\]
+Nach Division durch die rechte Seite erhalten wir
+\[
+\frac{R''(r)}{R(r)}
++
+\frac1r \frac{R'(r)}{R(r)}
++
+\frac{1}{r^2} \frac{\Phi''(\varphi)}{\Phi(\varphi)}
+=
+-\lambda^2
+\]
+Im letzten Term auf der linken Seite kommen die Variablen $r$ und $\varphi$
+gemischt vor, man muss also die Gleichung erst mit $r^2$ multiplizieren,
+bevor man sie in 
+\[
+\frac{r^2R''(r)+rR'(r)+\lambda^2 r^2R(r)}{R(r)}
+=
+-\frac{\Phi''(\varphi)}{\Phi(\varphi)}
+\]
+separieren kann.
+Die beiden Seiten sind also konstant, wir nennen die gemeinsame
+Konstanten $\mu^2$, das vereinfacht die Lösung der Gleichung
+für $\Phi(\varphi)$.
+
+Die Gleichung für $\Phi$ hat für $\mu\ne 0$ die Lösungen
+\begin{align*}
+\Phi(\varphi) &= \cos\mu\varphi
+\text{und}\qquad
+\Phi(\varphi) &= \sin\mu\varphi.
+\end{align*}
+Die Lösung muss aber auch stetig sein, d.~h.~es muss $\Phi(0)=\Phi(2\pi)$
+gelten.
+Dies ist nur möglich, wenn $\mu$ eine ganze Zahl ist.
+
+Für $\mu=0$ hat das charakteristische Polynome eine doppelte Nullstelle,
+die allgemeine Lösung lautet daher
+\[
+\Phi(\varphi)= C \varphi + D.
+\]
+Die Funktion $\Phi$ muss aber auch stetig sein, d.~h.~$\Phi(0)=\Phi(2\pi)$,
+das ist mit $C\ne 0$ nicht möglich, somit kommt für $\mu=0$ nur die
+Lösung $\Phi(\varphi)=D$ in Frage.
+
+Die Gleichung für $R(r)$ wird jetzt
+\begin{equation}
+r^2R''(r) + rR'(r)+(\lambda^2 r^2-\mu^2)R(r)
+=
+0.
+\label{buch:pde:kreis:Rdgl}
+\end{equation}
+Bis auf den Faktor $\lambda^2$ ist dies eine Besselsche Differentialgleichung.
+
+\subsection{Umformung in eine Besselsche Differentialgleichung}
+Die Funktion $y(x) = J_\mu(sx)$ hat die Ableitungen
+\begin{align*}
+y'(x) &= sJ'_mu(sx)      
+\\
+y''(x) &= s^2J''_\mu(sx)
+\end{align*}
+Setzt man dies in die Besselsche Differentialgleichung für $J_\mu$ an
+der Stelle $sx$ ein, erhält man
+\[
+s^2x^2 J''_\mu(sx) + sx J'_\mu(sx) + (s^2x^2 -\mu^2) J_\mu(sx) = 0.
+\]
+Die Differentialgleichung \eqref{buch:pde:kreis:Rdgl} der Funktion $R(r)$
+wird also gelöst von den Funktionen $R(r) = J_\mu(\lambda r)$.
+
+\subsection{Eigenfrequenzen}
+Im vorangegangenen Abschnitt haben wir gefunden, dass die Lösungen
+für $R(r)$ die Funktionen $J_\mu(\lambda r)$ sind.
+Bis jetzt haben wir aber nicht nachgeprüft, dass die Randbedingung
+eingehalten wird. 
+Diese ist erfüllt, $R(r_0)=0$ ist.
+Es muss also
+$J_\mu(\lambda r_0)=0$ sein, oder $\lambda r_0$ muss eine
+Nullstelle von $J_{\mu}$ sein.
+Bezeichnen wir die Nullstellen von $J_\mu$ mit $j_{\mu k}$, wobei $k$
+eine natürliche Zahl ist, dann muss
+\[
+\lambda = \frac{j_{\mu k}}{r_0}
+\]
+sein.
+Die Eigenfrequenzen der kreisförmigen Membran werden also im Wesentlichen
+durch die Nullstellen der Bessel-Funktionen gegeben.
+
+Zu jedem ganzzahligen $\mu$ gibt es also eine Folge $j_{\mu k}/r_0$  von
+Eigenfrequenzen. 
+Die Lösungen mit Index $k$ der Differentialgleichung mit Index $k$ hat
+die Form
+\[
+U_{\mu k}(r,\varphi)
+=
+C \cos(\mu \varphi+\delta)
+J_{\mu}\biggl(
+\frac{j_{\mu k}}{r_0}r
+\biggr)
+\]
+Der Faktor $J_{\mu}$ hat $k$ weitere Nullstellen für Radien $r<r_0$,diese
+gehören zu kreisförmigen Knotenlinien der Membran, dort bewegt sie sich
+nicht.
+Der Faktor $\cos(\mu\varphi+\delta)$ hat $2\mu$ Nullstellen im Intervall
+$[0,2\pi)$, es gibt also noch zusätzlich $\mu$ diametrale Knotenlinien.
+Nur für $\mu=0$ gibt es Lösungen, die keine radialen Knotenlinien haben,
+da in diesem Fall $\Phi$ eine konstante Funktion sein muss.
+
+\begin{table}
+\centering
+\input{chapters/090-pde/bessel/besselzeros.tex}
+\caption{Nullstellen der Bessel-Funktionen
+\label{buch:pde:kreis:table:besselzeros}}
+\end{table}
+
+\begin{figure}
+\centering
+\includegraphics[width=\textwidth]{chapters/090-pde/bessel/pauke.pdf}
+\caption{Vorzeichen der Lösungsfunktionen und Knotenlinien
+für verschiedene Werte von $\mu$ und $k$.
+Die Bereiche, in denen die Lösungsfunktion positiv sind, ist 
+rot dargestellt, die negativen Bereiche blau.
+In jeder Darstellung gibt es genau $k+\mu$ Knotenlinien.
+Die Radien der kreisförmigen Knotenlinien müssen aus den Nullstellen
+der Besselfunktionen berechnet werden.
+\label{buch:pde:kreis:fig:pauke}}
+\end{figure}
diff --git a/buch/chapters/090-pde/rechteck.tex b/buch/chapters/090-pde/rechteck.tex
new file mode 100644
index 0000000..944fbf1
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/090-pde/rechteck.tex
@@ -0,0 +1,7 @@
+%
+% rechteck.tex
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\section{Rechteckige Membran
+\label{buch:pde:section:rechteck}}
diff --git a/buch/chapters/090-pde/separation.tex b/buch/chapters/090-pde/separation.tex
new file mode 100644
index 0000000..81195d3
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/090-pde/separation.tex
@@ -0,0 +1,391 @@
+%
+% separation.tex
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\section{Separationsmethode
+\label{buch:pde:section:separation}}
+Die Existenz der Lösung einer gewöhnlichen Differentialgleichung
+ist unter einigermassen milden Bedingungen in der Nähe der
+Anfangsbedingung garantiert.
+Ausserdem steht eine ganze Reihe von Lösungsverfahren zur
+Verfügung, nicht zuletzt das Potenzreihenverfahren, welches in
+Kapitel~\ref{buch:chapter:differential} beschrieben wurde.
+Das Ziel dieses Abschnitts ist eine Methode vorzustellen, mit
+der partielle Differentialgleichungen auf gewöhnliche
+Differentialgleichungen zurückgeführt werden können.
+
+%
+% Ansatz
+%
+\subsection{Separationsansatz}
+Die Separationsmethode ist motiviert durch die Beobachtung, dass in
+vielen partiellen Differentialgleichungen die Ableitungen nach
+verschiedenen Variablen sich in verschiedenen Termen befinden und
+sich daher algebraisch trennen lassen.
+Für eine beliebige Funktion bringt das nicht viel, aber für
+Funktionen mit einer speziellen Form kann man daraus eine Vereinfachung
+ableiten.
+
+%
+% Prinzip der Separation
+%
+\subsubsection{Prinzip}
+Die Grundlage der Separationsmethode ist die Idee, die Differentialgleichung
+in zwei Teile aufzuteilen, die keine gemeinsamen Variablen enthalten.
+Eine partielle Differentialgleichungen in einem zweidimensionalen
+Gebiet mit den Koordinaten $x$ und $y$ soll so umgeformt
+werden, dass auf der linken Seite des Gleichheitszeichens nur
+die Variable $x$ vorkommt und auf der rechten nur die Variable $y$.
+Es entsteht also eine Gleichung der Form
+\begin{equation}
+F(x) = G(y).
+\label{buch:pde:ansatz:eqn:F=G}
+\end{equation}
+Wie so etwas gehen gehen kann wird weiter unten untersucht.
+
+Betrachtet hält man in der Gleichung~\eqref{buch:pde:ansatz:eqn:F=G}
+die Variable $x$ fest, steht links eine fest Zahl, schreiben wir 
+sie $\lambda$.
+Die Gleichung wird also zu
+\[
+\lambda = G(y),
+\]
+sie muss für alle $y$ gelten.
+Es folgt dann, dass die rechte Seite gar nicht von $y$ abhängen kann.
+Für jeden Wert von $y$ muss $G$ den gleichen Wert $\lambda$ geben.
+
+Wenn aber $G$ konstant ist und immer den Wert $\lambda$ ergibt, dann
+ist die Gleichung~\eqref{buch:pde:ansatz:eqn:F=G} auch gleichbedeutend
+mit der Gleichung
+\[
+F(x) = \lambda,
+\]
+$F$ muss also auch konstant sein.
+
+Die algebraische Trennung der beiden Variablen $x$ und $y$ hat also 
+zur Folge, dass die beiden Seiten der Gleichung gar nicht varieren
+können, beide Seiten müssen konstant sein.
+Die Konstante ist allerdings nicht bekannt und muss im Laufe der
+weiteren Lösungsschritte der Gleichung bestimmt werden.
+
+Die Überlegungen funktionieren auch für eine grössere Zahl von
+Variablen.
+Entscheidend ist nur, dass die einen Variablen, zum Beispiel
+$x_1,\dots,x_k$, nur auf der linken Seite vorkommen und die anderen,
+wir nennen sie $x_{k+1},\dots,x_n$ nur auf der rechten.
+Die Gleichung hat dann die Form
+\begin{equation}
+F(x_1,\dots,x_k)
+=
+G(x_{k+1},\dots,x_n).
+\label{buch:pde:ansatz:eqn:FF=GG}
+\end{equation}
+Setzt man feste Werte von $x_1,\dots,x_k$ ein, ist die linke Seite
+eine Zahl, die wir wieder $\lambda$ nennen können.
+Es muss also für alle $x_{k+1},\dots,x_n$ gelten, dass
+$G(x_{k+1},\dots,x_n)=\lambda$ ist.
+Daher ist $G$ eine Konstante, sie ist gar nicht von den Variablen
+abhängig.
+Wenn aber die rechte Seite konstant ist, dann muss auch für alle
+$x_1,\dots,x_k$ gelten, dass $F(x_1,\dots,x_k)=\lambda$ ist,
+die linke Seite kann also auch nicht varieren.
+
+\begin{prinzip}
+In einer Gleichung
+\[
+F(x_1,\dots,x_k) = G(x_{k+1},\dots,x_n),
+\]
+in der die linke Seite nur von $x_1,\dots,x_k$ abhängt und die
+rechte nur von $x_{k+1},\dots,x_n$ müssen beide Seiten konstant sein.
+\end{prinzip}
+
+%
+% Beispiel zur Erklärung des Separationsvorgehens
+%
+\subsubsection{Ein Beispiel}
+In der Differentialgleichung
+\[
+x\frac{\partial u}{\partial x}
+-
+y^2\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}
+=
+y^4
+\]
+kommen die Ableitungen nach $x$ und $y$ in verschiedenen Termen vor.
+Wir versuchen daher, auch die Lösungsfunktion als Summe
+\[
+u(x,y) = X(x) + Y(y)
+\]
+von Termen zu schreiben, die nur von jeweils einer Variablen abhängen.
+Setzt man dies in die Differentialgleichung ein, erhält man
+\[
+x\frac{\partial}{\partial x}(X(x)+Y(y))
+-y^2\frac{\partial}{\partial y}(X(x)+Y(y))
+=
+xX'(x) -y^2Y'(y)
+=
+y^4.
+\]
+Indem man den Term mit $y$ auf die rechte Seite schafft, findet man
+die Gleichung
+\[
+xX'(x) = y^2Y'(y) + y^4,
+\]
+in der die Variablen $x$ und $y$ separiert sind.
+Es folgt, dass beide Seiten konstant sein müssen, es gibt also eine
+Konstante $\lambda$ derart, dass
+\[
+xX'(x) = \lambda
+\qquad\text{und}\qquad
+y^2Y''(y) +y^4 = \lambda.
+\]
+Diese beiden Gleichungen lassen sich als Differentialgleichungen in
+der üblicheren Form als
+\begin{align*}
+X'(x) &= \frac{\lambda}{x}
+&&\Rightarrow&
+X(x) &= \int \frac{\lambda}{x}\,dx = \lambda \log x + C
+\\
+Y''(y) &= \frac{\lambda - y^4}{y^2}
+&&\Rightarrow&
+Y'(y)
+&=
+\int \frac{\lambda-y^4}{y^2}\,dy
+=
+-\frac{\lambda}{y}-\frac{y^3}3 + D
+\\
+&
+&&\Rightarrow&
+Y(y)
+&=
+\int Y'(y)\,dy
+=
+-\lambda \log y - \frac{y^4}{12} +Dy +E
+\end{align*}
+schreiben und im Falle von $X(x)$ mit einem Integral lösen.
+$Y(y)$ benötigt zwei Integrationen, ist aber ansonsten nicht
+schwieriger zu bestimmen.
+
+Das Beispiel zeigt, dass ein Separationsansatz ermöglicht, eine
+partielle Differntialgleichung in mehrere gewöhnliche Differentialgleichungen
+zu zerlegen, eine für jede Variable, und zu lösen.
+
+%
+% Anpassung des Ansatzes an die Randbedingungen
+%
+\subsubsection{Separationsansatz und Randbedingungen}
+Die im Beispiel gewählte Aufteilung der Lösungsfunktion in eine
+Summe macht es sehr schwierig, Randbedingungen der partiellen
+Differentialgleichungen in Randbedingungen der gewöhnlichen
+Differentialgleichungen zu übersetzen.
+
+Als Beispiel dieser Schwierigkeit betrachten wir die Differentialgleichung
+\[
+\Delta u
+=
+\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}
++
+\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}
+=
+a u
+\]
+auf dem Gebiet
+$\Omega = [0,a]\times [0,b] = \{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mid 0<x<a\wedge 0<y<b\}$
+mit den Randwerten $u(x,y)=0$ für Punkte auf dem Rand von $\Omega$.
+Genauer:
+\[
+\begin{aligned}
+u(0,y) &= 0,& u(a,y) &= 0&&\text{für $0<y<b$} \\
+u(x,0) &= 0,& u(x,b) &= 0&&\text{für $0<x<a$}.
+\end{aligned}
+\]
+Ein Ansatz der Form $u(x,y)=X(x) + Y(y)$ bedeutet für die
+Randwerte $u(x,y)=0$, dass auf dem Rand $X(x)=-Y(y)$ gelten muss.
+Das bedeutet aber, dass $X(0) = -Y(y)$, $Y$ müsste also konstant
+sein.
+
+Ein Produktansatz löst das Problem.
+Wir verwenden stattdessen einen Produktansatz
+$u(x,y) = X(x)\cdot Y(y)$, wobei die Funktionen $X(x)$ und $Y(y)$
+nicht konstant sein sollen.
+Die Randbedingungen sind
+\[
+\begin{aligned}
+u(0,y) &= X(0) Y(y) = 0&&\Rightarrow& X(0)&=0\\
+u(a,y) &= X(a) Y(y) = 0&&\Rightarrow& X(a)&=0\\
+u(x,0) &= X(x) Y(0) = 0&&\Rightarrow& Y(0)&=0\\
+u(x,b) &= X(x) Y(b) = 0&&\Rightarrow& Y(b)&=0.
+\end{aligned}
+\]
+Der Produktansatz ermöglicht also, die Randbedingungen für die Funktion
+$u(x,y)$ in Randbedingungen für die Funktionen $X(x)$ oder $Y(y)$
+umzuwandeln.
+
+%
+% Eigenwertprobleme
+%
+\subsection{Eigenwertproblem}
+Viele partielle Differentialgleichungen der mathematischen Physik
+sind zeitabhängig, aber das räumliche Gebiet, in dem sie 
+definiert sind, ist nicht von der Zeit abhängig.
+Dies 
+
+\subsubsection{Wellengleichung}
+Die Schwingung einer ebenen Membran, die in ein emGebiet
+$G\subset\mathbb{R}^n$ eingespannt ist, wird durch die
+Wellengleichung
+\begin{equation}
+\frac{1}{c^2} \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = \Delta u,
+\label{buch:pde:separation:wellengleichung}
+\end{equation}
+beschrieben.
+Darin ist $u(t,x)$ die Auslenkung der Membran zur Zeit $t>0$ in einem
+Punkt $x\in G$ des Gebietes $G$ ist.
+Die Randbedingungen zerfallen in zwei Teile:
+\begin{itemize}
+\item
+Bedingungen, die wiedergeben, dass die Membran in einen 
+Rahmen eingespannt und damit unbeweglich ist.
+Dies bedeutet, dass $u(t,x)=0$ für alle Zeiten $t>0$ und für 
+Randpunkte $x\in\partial G$ von $G$ ist.
+\item
+Bedingungen, die Auslenkung und Geschwindigkeit der Membran zur
+Zeit $t=0$ beschreiben, typischerweise ind er Form
+\begin{align*}
+u(0,x) = f(x),
+\frac{\partial u}{\partial t}(0,x) = g(x)
+\end{align*}
+wobei $f(x)$ und $g(x)$ Funktionen auf dem Gebiet $G$ sind.
+\end{itemize}
+
+In der Zeitableitung auf der linken Seite
+von~\eqref{buch:pde:separation:wellengleichung}
+kommen die Ortskoordinaten nicht vor und im Laplace-Operator
+auf der rechten Seite tritt die Zeit nicht auf.
+Es ist daher naheliegend zu versuchen, die Lösung der Differntialgleichung
+als Produkt
+\[
+u(t,x) = T(t) \cdot U(x)
+\]
+zu schreiben.
+Wendet man die Differentialgleichung darauf an, wird daraus die Gleichung
+\[
+\frac{1}{c^2}
+T''(t)\cdot U(x)
+=
+T(t) \cdot \Delta U(x).
+\]
+Indem man druch $T(t)$ und $U(x)$ teilt, entsteht die separierte Gleichung
+\[
+\frac{1}{c^2} \frac{T''(t)}{T(t)}
+=
+\frac{\Delta U(x)}{U(x)}.
+\]
+Die linke Seite ist nur von der Zeit abhängig, die rechte nur von den
+Ortskoordinaten.
+Damit ist die Differentialgleichung separiert und das Problem darauf
+reduziert, die gewöhnliche Differentialgleichung 
+\[
+T''(t) = \lambda T(t)
+\]
+und die partielle Differentialgleichung
+\[
+\Delta U(x) = \lambda U(x)
+\]
+niedrigerer Dimension zu lösen.
+
+\subsubsection{Allgemeine Situation}
+Das Definitionsgebiet der partiellen Differentialgleichung ist 
+also von der Form $\mathbb{R}^+\times G$, wobei $G\subset\mathbb{R}^n$
+ein räumliches Gebiet ist und $\mathbb{R}^+$ die Zeitachse.
+Auch die Randbedingungen zerfallen in zwei Arten:
+\begin{itemize}
+\item
+Bedingungen über die Lösungsfunktion zur Zeit $t=0$ im inneren des
+räumliche Gebietes $G$, zum Beispiel
+die Anfangsauslenkung und/oder Anfangsgeschwindigkeit einer schwingenden
+Saite oder Membran.
+\item
+Bedingungen über die Lösungsfunktion auf dem Rand $\partial G$ von
+$G$ für alle Zeiten $t>0$, zum Beispiel die Bedingung, dass die
+Membran fest eingespannt ist.
+\end{itemize}
+Oft zerfällt auch der Differentialoperator in Zeitableitungen
+und einen zeitunabhängigen Teil der nur Ableitungen nach den
+Ortsvariablen enthält.
+Die Wellengleichung
+\[
+\frac{1}{c^2}
+\frac{\partial^2}{\partial t^2} u
+=
+\Delta u
+\qquad\Leftrightarrow\qquad
+\biggl(
+\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2} - \Delta
+\biggr) u = 0
+\]
+enthält Ableitungen nach der Zeit, die nicht von Ortskoordinaten
+abhängig sind.
+Der Laplace-Operator $\Delta$ ist nicht von der Zeitabhängig und das
+Gebiet $G$ hängt ebenfalls nicht von der Zeit ab.
+
+\subsubsection{Separation der Zeit}
+Unter den gegeben Voraussetzungen ist es naheliegend, die Lösungsfunktion
+$u(t,x)$ als Produkt
+\[
+u(t,x) = T(t) \cdot U(x),\qquad t\in\mathbb{R}^+, x\in G
+\]
+anzusetezen.
+Die Wellengleichung wird dann
+\[
+\frac{1}{c^2}
+T''(t)\cdot U(x)
+=
+T(t)\cdot\Delta U(x)
+\]
+und nach Separation
+\[
+\frac{1}{c^2} \frac{T''(t)}{T(t)}
+=
+\frac{\Delta U(x)}{U(x)}.
+\]
+Es gibt also eine gemeinsame Konstante.
+Da wir Schwingungslösungen erwarten, für die $T''(t) = -\omega^2 T(t)$
+ist, schreiben wir die gemeinsame Konstante als $-\lambda^2$, was
+später die Formeln vereinfachen wird.
+Die separierten Differentialgleichungen werden jetzt
+\begin{align*}
+\frac{1}{c^2}
+\frac{T''(t)}{T(t)}
+&=
+-\lambda^2
+&&\Rightarrow&
+T''(t)-c^2\lambda T(t)&=0
+&&\Rightarrow&
+T''(t) &= A \cos(c\sqrt\lambda t) + B \sin(c \lambda t)
+\\
+&&&&&&&&
+       &= C \cos(c \lambda t+\delta)
+\\
+\frac{\Delta U(x)}{U(x)}&=-\lambda^2
+&&\Rightarrow&
+\Delta U &= -\lambda^2 U
+\end{align*}
+Die letzte Gleichung für die Funktion $U(x)$ hat die Form
+eines Eigenwertproblems mit dem Eigenwert $-\lambda^2$.
+
+\begin{definition}
+Eine Eigenfunktion eines Operators $L$ zum Eigenwert $\lambda$
+ist eine Funktion $U$ derart, dass $LU=\lambda U$.
+\end{definition}
+
+Die Separation ermöglich also, das ursprüngliche Problem aufzuspalten
+in ein Eigenwertproblem für eine nur ortsabhängige Funktion $U(x)$
+und eine Schwingungsgleichung für $T(t)$.
+Die Schwingungsfrequenz $c \lambda $ hängt direkt mit dem
+Eigenwert zusammen.
+Die Funktion $U(x)$ beschreibt die Form der Membran, die Amplitude
+in jedem Punkt, der Faktor $T(t)$ beschreibt die Schwingung.
+
+