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diff --git a/buch/chapters/090-pde/Makefile.inc b/buch/chapters/090-pde/Makefile.inc new file mode 100644 index 0000000..191bad6 --- /dev/null +++ b/buch/chapters/090-pde/Makefile.inc @@ -0,0 +1,12 @@ +# +# Makefile.inc -- Makefile dependencies for chapter 9 +# +# (c) 2022 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +# + +CHAPTERFILES = $(CHAPTERFILES) \ + chapters/090-pde/gleichung.tex \ + chapters/090-pde/separation.tex \ + chapters/090-pde/rechteck.tex \ + chapters/090-pde/kreis.tex \ + chapters/090-pde/chapter.tex diff --git a/buch/chapters/090-pde/bessel/Makefile b/buch/chapters/090-pde/bessel/Makefile new file mode 100644 index 0000000..c189517 --- /dev/null +++ b/buch/chapters/090-pde/bessel/Makefile @@ -0,0 +1,15 @@ +# +# Makefile +# +# (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +# +all: besselzeros.tex besselnodes.tex pauke.pdf + +besselzeros.tex: besselzeros.m + octave besselzeros.m + +besselnodes.tex: besselnodes.m + octave besselnodes.m + +pauke.pdf: pauke.tex besselnodes.tex + pdflatex pauke.tex diff --git a/buch/chapters/090-pde/bessel/besselnodes.m b/buch/chapters/090-pde/bessel/besselnodes.m new file mode 100644 index 0000000..0dcba3e --- /dev/null +++ b/buch/chapters/090-pde/bessel/besselnodes.m @@ -0,0 +1,106 @@ +# +# besselnodes.m +# +# (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +# +global maxmu; +maxmu = 3; +global maxk; +maxk = 4; +global mu; + +nachkommastellen = 4; + +function retval = f(x) + global mu; + retval = besselj(mu, x); +endfunction + +global kzeros; +kzeros = zeros(maxk+1, maxmu+1); +for mu = (0:maxmu) + k = 0; + x = 0.0001; + while (k <= maxk) + bracket = [ x, x+1 ]; + if (f(bracket(1)) * f(bracket(2)) < 0) + kzeros(k+1,mu+1) = fzero("f", bracket); + k = k + 1; + endif + x = x + 1; + endwhile +endfor + +xshift = 4; +yshift = 4; +global r; +r = 1.8; + +function retval = anderefarbe(f) + if (1 == strcmp("red", f)) + retval = "blue"; + else + retval = "red"; + endif +endfunction + +function sektor(fn, mu, k, w0, w1, startfarbe) + global kzeros; + global r; + fprintf(fn, "\\begin{scope}\n"); + fprintf(fn, "\\clip (0,0)--(%.4f:%.4f) arc (%.4f:%.4f:%.4f)--cycle;\n", + w0, r, w0, w1, r); + faktor = kzeros(k+1,mu+1); + + K = k + 1; + farbe = startfarbe; + while (K > 0) + R = r * kzeros(K, mu+1) / faktor; + fprintf(fn, "\\fill[color=%s!20] ", farbe); + fprintf(fn, "(0,0) circle[radius=%.4f];\n", R); + farbe = anderefarbe(farbe); + K = K-1; + end + fprintf(fn, "\\end{scope}\n"); +endfunction + +fn = fopen("besselnodes.tex", "w"); + +#fprintf(fn, "\\begin{tikzpicture}[>=latex,thick]\n"); + +for mu = (0:maxmu) + if (mu > 0) + winkel = 180 / mu; + else + winkel = 360; + endif + for k = (0:maxk) + fprintf(fn, "\\begin{scope}[xshift=%.3fcm,yshift=-%.3fcm]\n", + mu * xshift, k * yshift); + for w0 = (0:2*winkel:360) + sektor(fn, mu, k, w0, w0 + winkel, "red"); + if (winkel < 270) + sektor(fn, mu, k, w0 + winkel, w0 + 2 * winkel, "blue"); + endif + endfor + + fprintf(fn, "\\draw (0,0) circle[radius=%.4f];\n", r); + + fprintf(fn, "\\end{scope}\n\n"); + endfor +endfor + +for mu = (0:maxmu) + fprintf(fn, "\\node at (%.4f,%.4f) [above] {$\\mu=%d$};\n", + mu * xshift, 0.5 * yshift, mu); +endfor + +for k = (0:maxk) + fprintf(fn, "\\node at (%.4f,%.4f) [above,rotate=90] {$k=%d$};\n", + -0.5 * xshift, -k * yshift, k); +endfor + +#fprintf(fn, "\\end{tikzpicture}\n"); + +fclose(fn); + diff --git a/buch/chapters/090-pde/bessel/besselzeros.m b/buch/chapters/090-pde/bessel/besselzeros.m new file mode 100644 index 0000000..9c8fa9d --- /dev/null +++ b/buch/chapters/090-pde/bessel/besselzeros.m @@ -0,0 +1,70 @@ +# +# besselzeros.m -- find zeros of bessel functions +# +# (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +# +global maxmu; +maxmu = 7; +global maxk; +maxk = 10; +global mu; + +nachkommastellen = 4; + +function retval = f(x) + global mu; + retval = besselj(mu, x); +endfunction + +kzeros = zeros(maxk+1, maxmu+1); +for mu = (0:maxmu) + k = 0; + if (mu > 0) + kzeros(1, mu+1) = 0; + k = k+1; + endif + x = 0.0001; + while (k <= maxk) + bracket = [ x, x+1 ]; + if (f(bracket(1)) * f(bracket(2)) < 0) + kzeros(k+1,mu+1) = fzero("f", bracket); + k = k + 1; + endif + x = x + 1; + endwhile +endfor + +# kzeros + +fn = fopen("besselzeros.tex", "w"); + +fprintf(fn, "\\begin{tabular}{|>{$}c<{$}"); +for mu = (0:maxmu) + fprintf(fn, "|>{$}r<{$}"); +endfor +fprintf(fn, "|}\n"); + +fprintf(fn, "\\hline\n"); +fprintf(fn, " k "); +for mu = (0:maxmu) + fprintf(fn, "& \\mu = %d ", mu); +endfor +fprintf(fn, "\\\\\n"); +fprintf(fn, "\\hline\n"); + +for k = (0:maxk) + fprintf(fn, " %d ", k); + for mu = (0:maxmu) + value = kzeros(k+1, mu+1); + if (value == 0) + fprintf(fn, "& 0\\phantom{.%0*d}", nachkommastellen, 0); + else + fprintf(fn, "& %*.*f", nachkommastellen+4, nachkommastellen, kzeros(k+1, mu+1)); + endif + endfor + fprintf(fn, "\\\\\n"); +endfor +fprintf(fn, "\\hline\n"); +fprintf(fn, "\\end{tabular}\n"); + +fclose(fn); diff --git a/buch/chapters/090-pde/bessel/besselzeros.tex b/buch/chapters/090-pde/bessel/besselzeros.tex new file mode 100644 index 0000000..1b8d33b --- /dev/null +++ b/buch/chapters/090-pde/bessel/besselzeros.tex @@ -0,0 +1,17 @@ +\begin{tabular}{|>{$}c<{$}|>{$}r<{$}|>{$}r<{$}|>{$}r<{$}|>{$}r<{$}|>{$}r<{$}|>{$}r<{$}|>{$}r<{$}|>{$}r<{$}|} +\hline + k & \mu = 0 & \mu = 1 & \mu = 2 & \mu = 3 & \mu = 4 & \mu = 5 & \mu = 6 & \mu = 7 \\ +\hline + 0 & 2.4048& 0\phantom{.0000}& 0\phantom{.0000}& 0\phantom{.0000}& 0\phantom{.0000}& 0\phantom{.0000}& 0\phantom{.0000}& 0\phantom{.0000}\\ + 1 & 5.5201& 3.8317& 5.1356& 6.3802& 7.5883& 8.7715& 9.9361& 11.0864\\ + 2 & 8.6537& 7.0156& 8.4172& 9.7610& 11.0647& 12.3386& 13.5893& 14.8213\\ + 3 & 11.7915& 10.1735& 11.6198& 13.0152& 14.3725& 15.7002& 17.0038& 18.2876\\ + 4 & 14.9309& 13.3237& 14.7960& 16.2235& 17.6160& 18.9801& 20.3208& 21.6415\\ + 5 & 18.0711& 16.4706& 17.9598& 19.4094& 20.8269& 22.2178& 23.5861& 24.9349\\ + 6 & 21.2116& 19.6159& 21.1170& 22.5827& 24.0190& 25.4303& 26.8202& 28.1912\\ + 7 & 24.3525& 22.7601& 24.2701& 25.7482& 27.1991& 28.6266& 30.0337& 31.4228\\ + 8 & 27.4935& 25.9037& 27.4206& 28.9084& 30.3710& 31.8117& 33.2330& 34.6371\\ + 9 & 30.6346& 29.0468& 30.5692& 32.0649& 33.5371& 34.9888& 36.4220& 37.8387\\ + 10 & 33.7758& 32.1897& 33.7165& 35.2187& 36.6990& 38.1599& 39.6032& 41.0308\\ +\hline +\end{tabular} diff --git a/buch/chapters/090-pde/bessel/pauke.pdf b/buch/chapters/090-pde/bessel/pauke.pdf Binary files differnew file mode 100644 index 0000000..54edc20 --- /dev/null +++ b/buch/chapters/090-pde/bessel/pauke.pdf diff --git a/buch/chapters/090-pde/bessel/pauke.tex b/buch/chapters/090-pde/bessel/pauke.tex new file mode 100644 index 0000000..bba092e --- /dev/null +++ b/buch/chapters/090-pde/bessel/pauke.tex @@ -0,0 +1,21 @@ +% +% pauke.tex -- template for standalon tikz images +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\documentclass[tikz]{standalone} +\usepackage{amsmath} +\usepackage{times} +\usepackage{txfonts} +\usepackage{pgfplots} +\usepackage{csvsimple} +\usetikzlibrary{arrows,intersections,math} +\begin{document} +\def\skala{1} +\begin{tikzpicture}[>=latex,thick,scale=\skala] + +\input{besselnodes.tex} + +\end{tikzpicture} +\end{document} + diff --git a/buch/chapters/090-pde/chapter.tex b/buch/chapters/090-pde/chapter.tex new file mode 100644 index 0000000..543a92d --- /dev/null +++ b/buch/chapters/090-pde/chapter.tex @@ -0,0 +1,30 @@ +% +% chapter.tex -- Kapitel zu partiellen Differentialgleichungen +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +% !TeX spellcheck = de_CH +\chapter{Partielle Differentialgleichungen +\label{buch:chapter:pde}} +\lhead{Partielle Differentialgleichungen} +\rhead{} +Partielle Differentialgleichungen sind eine besonders ergiebige +Quelle für Anwendungen spezieller Funktionen. +Die Separationsmethode zum Beispiel für die Wellengleichung +auf gewissen, besonders einfachen Gebieten wie Rechtecken, +Kreisscheiben oder Kugel führt auf gewöhnliche Differentialgleichungen, +deren Lösungen spezielle Funktionen sind. + +\input{chapters/090-pde/gleichung.tex} +\input{chapters/090-pde/separation.tex} +\input{chapters/090-pde/rechteck.tex} +\input{chapters/090-pde/kreis.tex} + +%\section*{Übungsaufgaben} +%\rhead{Übungsaufgaben} +%\aufgabetoplevel{chapters/020-exponential/uebungsaufgaben} +%\begin{uebungsaufgaben} +%\uebungsaufgabe{0} +%\uebungsaufgabe{1} +%\end{uebungsaufgaben} + diff --git a/buch/chapters/090-pde/gleichung.tex b/buch/chapters/090-pde/gleichung.tex new file mode 100644 index 0000000..07dd2ff --- /dev/null +++ b/buch/chapters/090-pde/gleichung.tex @@ -0,0 +1,11 @@ +% +% gleichung.tex +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\section{Gleichungen und Randbedingungen +\label{buch:pde:section:gleichungen-und-randbedingungen}} + +\subsection{Laplace-Operator} + +\subsection{Orthogonalität} diff --git a/buch/chapters/090-pde/kreis.tex b/buch/chapters/090-pde/kreis.tex new file mode 100644 index 0000000..a54ce38 --- /dev/null +++ b/buch/chapters/090-pde/kreis.tex @@ -0,0 +1,219 @@ +% +% kreis.tex +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\section{Kreisförmige Membran +\label{buch:pde:section:kreis}} +In diesem Abschnitt soll die Differentialgleichung einer kreisförmigen +Membran mit Hilfe der Separationsmethode gelöst werden. +Dabei werden die Bessel-Funktionen als Lösungsfunktionen +auftreten und die Eigenfrequenzen werden durch ihre Nullstellen +berechnet. + +\subsection{Differentialgleichung und Randbedingung} +Die Wellengleichung auf einem Kreisgebiet mit Radius $r_0$ +lässt sich am besten mit Hilfe von Polarkoordinaten $(r,\varphi)$ +ausdrücken. +Gesucht ist also eine Funktion $u(t,r,\varphi)$ gesucht, wobei +$0\le r<r_0$ und $0\le \varphi\le 2\pi$. +Die Funktion muss eine Lösung der Wellengleichung +\[ +\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2u}{\partial t^2} = \Delta u +\] +sein. + +Der Laplace-Operator hat in Polarkoordinaten die Form +\begin{equation} +\Delta += +\frac{\partial^2}{\partial r^2} ++ +\frac1r +\frac{\partial}{\partial r} ++ +\frac{1}{r 2} +\frac{\partial^2}{\partial\varphi^2}. +\label{buch:pde:kreis:laplace} +\end{equation} +Die Differentialgleichung ist +\[ +\frac{1}{c^2} \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} += +\Delta u. +\] +Die Separation der Zeit führt auf die Eigenwertgleichung +\[ +\Delta U(r,\varphi) = -\lambda^2 U(r,\varphi) +\] +für eine Funktion, die nur von $r$ und $\varphi$ abhängt. + +Die Randbedingungen besagen, dass $u(t,r_0,\varphi)=0$ für $t>0$. +Dies bedeutet für die Funktion $U(r,\varphi)$, dass +$U(r_0,\varphi)=0$ sein muss für alle $\varphi$. + +Die Bedingungen an $U$ reichen aber nicht ganz. +Alle Koordinaten $(0,\varphi)$ bezeichnen ja gleichermassen +den Nullpunkt des Koordinatensystems, es muss also auch sichergestellt +sein, dass $U(0,\varphi)$ für alle $\varphi$ den gleichen Wert gibt. + +\subsection{Separation} +Das Eigenwertproblem $\Delta U=-\lambda^2 U$ soll jetzt in Polarkoordinaten +separiert werden. +Dazu schreiben wir die Lösung als +\[ +U(r,\varphi) += +R(r)\cdot \Phi(\varphi). +\] +Die Randbedingungen an $U$ werden zu $R(r_0)=0$. + +Im Ursprung des Koordinatensystems ist die Randbedingung etwas +komplizierter. +Wenn $R(0)=0$ ist, dann ist sichergestellt, dass +$U(0,\varphi)=R(0)\Phi(\varphi)0$ ist, dass also der Wert unabhängig +ist von $\varphi$. +Wenn aber $R(0)\ne 0$ ist, dann kann die geforderte Unabhängigkeit +von $\varphi$ nur erfüllt werden, wenn $\Phi(\varphi)$ konstant ist. +Da die Funktion aber auch noch differenzierbar sein soll, darf es +an der Stelle $r=0$ keine ``Spitze'' geben, die Ableitung $R'(0)$ +muss also auch $=0$ sein. +% XXX Evtl Bild zur Illustration dieses Problems + +Die Differntialgleichungen wird mit der Form~\eqref{buch:pde:kreis:laplace} +des Laplace-Operators +\[ +\Delta U += +R''(r) \Phi(\varphi) ++ +\frac1r R'(r)\Phi(\varphi) ++ +\frac{1}{r^2} R(r)\Phi''(\varphi) += +-\lambda^2 +R(r)\Phi(\varphi) +\] +Nach Division durch die rechte Seite erhalten wir +\[ +\frac{R''(r)}{R(r)} ++ +\frac1r \frac{R'(r)}{R(r)} ++ +\frac{1}{r^2} \frac{\Phi''(\varphi)}{\Phi(\varphi)} += +-\lambda^2 +\] +Im letzten Term auf der linken Seite kommen die Variablen $r$ und $\varphi$ +gemischt vor, man muss also die Gleichung erst mit $r^2$ multiplizieren, +bevor man sie in +\[ +\frac{r^2R''(r)+rR'(r)+\lambda^2 r^2R(r)}{R(r)} += +-\frac{\Phi''(\varphi)}{\Phi(\varphi)} +\] +separieren kann. +Die beiden Seiten sind also konstant, wir nennen die gemeinsame +Konstanten $\mu^2$, das vereinfacht die Lösung der Gleichung +für $\Phi(\varphi)$. + +Die Gleichung für $\Phi$ hat für $\mu\ne 0$ die Lösungen +\begin{align*} +\Phi(\varphi) &= \cos\mu\varphi +\text{und}\qquad +\Phi(\varphi) &= \sin\mu\varphi. +\end{align*} +Die Lösung muss aber auch stetig sein, d.~h.~es muss $\Phi(0)=\Phi(2\pi)$ +gelten. +Dies ist nur möglich, wenn $\mu$ eine ganze Zahl ist. + +Für $\mu=0$ hat das charakteristische Polynome eine doppelte Nullstelle, +die allgemeine Lösung lautet daher +\[ +\Phi(\varphi)= C \varphi + D. +\] +Die Funktion $\Phi$ muss aber auch stetig sein, d.~h.~$\Phi(0)=\Phi(2\pi)$, +das ist mit $C\ne 0$ nicht möglich, somit kommt für $\mu=0$ nur die +Lösung $\Phi(\varphi)=D$ in Frage. + +Die Gleichung für $R(r)$ wird jetzt +\begin{equation} +r^2R''(r) + rR'(r)+(\lambda^2 r^2-\mu^2)R(r) += +0. +\label{buch:pde:kreis:Rdgl} +\end{equation} +Bis auf den Faktor $\lambda^2$ ist dies eine Besselsche Differentialgleichung. + +\subsection{Umformung in eine Besselsche Differentialgleichung} +Die Funktion $y(x) = J_\mu(sx)$ hat die Ableitungen +\begin{align*} +y'(x) &= sJ'_mu(sx) +\\ +y''(x) &= s^2J''_\mu(sx) +\end{align*} +Setzt man dies in die Besselsche Differentialgleichung für $J_\mu$ an +der Stelle $sx$ ein, erhält man +\[ +s^2x^2 J''_\mu(sx) + sx J'_\mu(sx) + (s^2x^2 -\mu^2) J_\mu(sx) = 0. +\] +Die Differentialgleichung \eqref{buch:pde:kreis:Rdgl} der Funktion $R(r)$ +wird also gelöst von den Funktionen $R(r) = J_\mu(\lambda r)$. + +\subsection{Eigenfrequenzen} +Im vorangegangenen Abschnitt haben wir gefunden, dass die Lösungen +für $R(r)$ die Funktionen $J_\mu(\lambda r)$ sind. +Bis jetzt haben wir aber nicht nachgeprüft, dass die Randbedingung +eingehalten wird. +Diese ist erfüllt, $R(r_0)=0$ ist. +Es muss also +$J_\mu(\lambda r_0)=0$ sein, oder $\lambda r_0$ muss eine +Nullstelle von $J_{\mu}$ sein. +Bezeichnen wir die Nullstellen von $J_\mu$ mit $j_{\mu k}$, wobei $k$ +eine natürliche Zahl ist, dann muss +\[ +\lambda = \frac{j_{\mu k}}{r_0} +\] +sein. +Die Eigenfrequenzen der kreisförmigen Membran werden also im Wesentlichen +durch die Nullstellen der Bessel-Funktionen gegeben. + +Zu jedem ganzzahligen $\mu$ gibt es also eine Folge $j_{\mu k}/r_0$ von +Eigenfrequenzen. +Die Lösungen mit Index $k$ der Differentialgleichung mit Index $k$ hat +die Form +\[ +U_{\mu k}(r,\varphi) += +C \cos(\mu \varphi+\delta) +J_{\mu}\biggl( +\frac{j_{\mu k}}{r_0}r +\biggr) +\] +Der Faktor $J_{\mu}$ hat $k$ weitere Nullstellen für Radien $r<r_0$,diese +gehören zu kreisförmigen Knotenlinien der Membran, dort bewegt sie sich +nicht. +Der Faktor $\cos(\mu\varphi+\delta)$ hat $2\mu$ Nullstellen im Intervall +$[0,2\pi)$, es gibt also noch zusätzlich $\mu$ diametrale Knotenlinien. +Nur für $\mu=0$ gibt es Lösungen, die keine radialen Knotenlinien haben, +da in diesem Fall $\Phi$ eine konstante Funktion sein muss. + +\begin{table} +\centering +\input{chapters/090-pde/bessel/besselzeros.tex} +\caption{Nullstellen der Bessel-Funktionen +\label{buch:pde:kreis:table:besselzeros}} +\end{table} + +\begin{figure} +\centering +\includegraphics[width=\textwidth]{chapters/090-pde/bessel/pauke.pdf} +\caption{Vorzeichen der Lösungsfunktionen und Knotenlinien +für verschiedene Werte von $\mu$ und $k$. +Die Bereiche, in denen die Lösungsfunktion positiv sind, ist +rot dargestellt, die negativen Bereiche blau. +In jeder Darstellung gibt es genau $k+\mu$ Knotenlinien. +Die Radien der kreisförmigen Knotenlinien müssen aus den Nullstellen +der Besselfunktionen berechnet werden. +\label{buch:pde:kreis:fig:pauke}} +\end{figure} diff --git a/buch/chapters/090-pde/rechteck.tex b/buch/chapters/090-pde/rechteck.tex new file mode 100644 index 0000000..944fbf1 --- /dev/null +++ b/buch/chapters/090-pde/rechteck.tex @@ -0,0 +1,7 @@ +% +% rechteck.tex +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\section{Rechteckige Membran +\label{buch:pde:section:rechteck}} diff --git a/buch/chapters/090-pde/separation.tex b/buch/chapters/090-pde/separation.tex new file mode 100644 index 0000000..81195d3 --- /dev/null +++ b/buch/chapters/090-pde/separation.tex @@ -0,0 +1,391 @@ +% +% separation.tex +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\section{Separationsmethode +\label{buch:pde:section:separation}} +Die Existenz der Lösung einer gewöhnlichen Differentialgleichung +ist unter einigermassen milden Bedingungen in der Nähe der +Anfangsbedingung garantiert. +Ausserdem steht eine ganze Reihe von Lösungsverfahren zur +Verfügung, nicht zuletzt das Potenzreihenverfahren, welches in +Kapitel~\ref{buch:chapter:differential} beschrieben wurde. +Das Ziel dieses Abschnitts ist eine Methode vorzustellen, mit +der partielle Differentialgleichungen auf gewöhnliche +Differentialgleichungen zurückgeführt werden können. + +% +% Ansatz +% +\subsection{Separationsansatz} +Die Separationsmethode ist motiviert durch die Beobachtung, dass in +vielen partiellen Differentialgleichungen die Ableitungen nach +verschiedenen Variablen sich in verschiedenen Termen befinden und +sich daher algebraisch trennen lassen. +Für eine beliebige Funktion bringt das nicht viel, aber für +Funktionen mit einer speziellen Form kann man daraus eine Vereinfachung +ableiten. + +% +% Prinzip der Separation +% +\subsubsection{Prinzip} +Die Grundlage der Separationsmethode ist die Idee, die Differentialgleichung +in zwei Teile aufzuteilen, die keine gemeinsamen Variablen enthalten. +Eine partielle Differentialgleichungen in einem zweidimensionalen +Gebiet mit den Koordinaten $x$ und $y$ soll so umgeformt +werden, dass auf der linken Seite des Gleichheitszeichens nur +die Variable $x$ vorkommt und auf der rechten nur die Variable $y$. +Es entsteht also eine Gleichung der Form +\begin{equation} +F(x) = G(y). +\label{buch:pde:ansatz:eqn:F=G} +\end{equation} +Wie so etwas gehen gehen kann wird weiter unten untersucht. + +Betrachtet hält man in der Gleichung~\eqref{buch:pde:ansatz:eqn:F=G} +die Variable $x$ fest, steht links eine fest Zahl, schreiben wir +sie $\lambda$. +Die Gleichung wird also zu +\[ +\lambda = G(y), +\] +sie muss für alle $y$ gelten. +Es folgt dann, dass die rechte Seite gar nicht von $y$ abhängen kann. +Für jeden Wert von $y$ muss $G$ den gleichen Wert $\lambda$ geben. + +Wenn aber $G$ konstant ist und immer den Wert $\lambda$ ergibt, dann +ist die Gleichung~\eqref{buch:pde:ansatz:eqn:F=G} auch gleichbedeutend +mit der Gleichung +\[ +F(x) = \lambda, +\] +$F$ muss also auch konstant sein. + +Die algebraische Trennung der beiden Variablen $x$ und $y$ hat also +zur Folge, dass die beiden Seiten der Gleichung gar nicht varieren +können, beide Seiten müssen konstant sein. +Die Konstante ist allerdings nicht bekannt und muss im Laufe der +weiteren Lösungsschritte der Gleichung bestimmt werden. + +Die Überlegungen funktionieren auch für eine grössere Zahl von +Variablen. +Entscheidend ist nur, dass die einen Variablen, zum Beispiel +$x_1,\dots,x_k$, nur auf der linken Seite vorkommen und die anderen, +wir nennen sie $x_{k+1},\dots,x_n$ nur auf der rechten. +Die Gleichung hat dann die Form +\begin{equation} +F(x_1,\dots,x_k) += +G(x_{k+1},\dots,x_n). +\label{buch:pde:ansatz:eqn:FF=GG} +\end{equation} +Setzt man feste Werte von $x_1,\dots,x_k$ ein, ist die linke Seite +eine Zahl, die wir wieder $\lambda$ nennen können. +Es muss also für alle $x_{k+1},\dots,x_n$ gelten, dass +$G(x_{k+1},\dots,x_n)=\lambda$ ist. +Daher ist $G$ eine Konstante, sie ist gar nicht von den Variablen +abhängig. +Wenn aber die rechte Seite konstant ist, dann muss auch für alle +$x_1,\dots,x_k$ gelten, dass $F(x_1,\dots,x_k)=\lambda$ ist, +die linke Seite kann also auch nicht varieren. + +\begin{prinzip} +In einer Gleichung +\[ +F(x_1,\dots,x_k) = G(x_{k+1},\dots,x_n), +\] +in der die linke Seite nur von $x_1,\dots,x_k$ abhängt und die +rechte nur von $x_{k+1},\dots,x_n$ müssen beide Seiten konstant sein. +\end{prinzip} + +% +% Beispiel zur Erklärung des Separationsvorgehens +% +\subsubsection{Ein Beispiel} +In der Differentialgleichung +\[ +x\frac{\partial u}{\partial x} +- +y^2\frac{\partial^2 u}{\partial y^2} += +y^4 +\] +kommen die Ableitungen nach $x$ und $y$ in verschiedenen Termen vor. +Wir versuchen daher, auch die Lösungsfunktion als Summe +\[ +u(x,y) = X(x) + Y(y) +\] +von Termen zu schreiben, die nur von jeweils einer Variablen abhängen. +Setzt man dies in die Differentialgleichung ein, erhält man +\[ +x\frac{\partial}{\partial x}(X(x)+Y(y)) +-y^2\frac{\partial}{\partial y}(X(x)+Y(y)) += +xX'(x) -y^2Y'(y) += +y^4. +\] +Indem man den Term mit $y$ auf die rechte Seite schafft, findet man +die Gleichung +\[ +xX'(x) = y^2Y'(y) + y^4, +\] +in der die Variablen $x$ und $y$ separiert sind. +Es folgt, dass beide Seiten konstant sein müssen, es gibt also eine +Konstante $\lambda$ derart, dass +\[ +xX'(x) = \lambda +\qquad\text{und}\qquad +y^2Y''(y) +y^4 = \lambda. +\] +Diese beiden Gleichungen lassen sich als Differentialgleichungen in +der üblicheren Form als +\begin{align*} +X'(x) &= \frac{\lambda}{x} +&&\Rightarrow& +X(x) &= \int \frac{\lambda}{x}\,dx = \lambda \log x + C +\\ +Y''(y) &= \frac{\lambda - y^4}{y^2} +&&\Rightarrow& +Y'(y) +&= +\int \frac{\lambda-y^4}{y^2}\,dy += +-\frac{\lambda}{y}-\frac{y^3}3 + D +\\ +& +&&\Rightarrow& +Y(y) +&= +\int Y'(y)\,dy += +-\lambda \log y - \frac{y^4}{12} +Dy +E +\end{align*} +schreiben und im Falle von $X(x)$ mit einem Integral lösen. +$Y(y)$ benötigt zwei Integrationen, ist aber ansonsten nicht +schwieriger zu bestimmen. + +Das Beispiel zeigt, dass ein Separationsansatz ermöglicht, eine +partielle Differntialgleichung in mehrere gewöhnliche Differentialgleichungen +zu zerlegen, eine für jede Variable, und zu lösen. + +% +% Anpassung des Ansatzes an die Randbedingungen +% +\subsubsection{Separationsansatz und Randbedingungen} +Die im Beispiel gewählte Aufteilung der Lösungsfunktion in eine +Summe macht es sehr schwierig, Randbedingungen der partiellen +Differentialgleichungen in Randbedingungen der gewöhnlichen +Differentialgleichungen zu übersetzen. + +Als Beispiel dieser Schwierigkeit betrachten wir die Differentialgleichung +\[ +\Delta u += +\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} ++ +\frac{\partial^2 u}{\partial y^2} += +a u +\] +auf dem Gebiet +$\Omega = [0,a]\times [0,b] = \{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mid 0<x<a\wedge 0<y<b\}$ +mit den Randwerten $u(x,y)=0$ für Punkte auf dem Rand von $\Omega$. +Genauer: +\[ +\begin{aligned} +u(0,y) &= 0,& u(a,y) &= 0&&\text{für $0<y<b$} \\ +u(x,0) &= 0,& u(x,b) &= 0&&\text{für $0<x<a$}. +\end{aligned} +\] +Ein Ansatz der Form $u(x,y)=X(x) + Y(y)$ bedeutet für die +Randwerte $u(x,y)=0$, dass auf dem Rand $X(x)=-Y(y)$ gelten muss. +Das bedeutet aber, dass $X(0) = -Y(y)$, $Y$ müsste also konstant +sein. + +Ein Produktansatz löst das Problem. +Wir verwenden stattdessen einen Produktansatz +$u(x,y) = X(x)\cdot Y(y)$, wobei die Funktionen $X(x)$ und $Y(y)$ +nicht konstant sein sollen. +Die Randbedingungen sind +\[ +\begin{aligned} +u(0,y) &= X(0) Y(y) = 0&&\Rightarrow& X(0)&=0\\ +u(a,y) &= X(a) Y(y) = 0&&\Rightarrow& X(a)&=0\\ +u(x,0) &= X(x) Y(0) = 0&&\Rightarrow& Y(0)&=0\\ +u(x,b) &= X(x) Y(b) = 0&&\Rightarrow& Y(b)&=0. +\end{aligned} +\] +Der Produktansatz ermöglicht also, die Randbedingungen für die Funktion +$u(x,y)$ in Randbedingungen für die Funktionen $X(x)$ oder $Y(y)$ +umzuwandeln. + +% +% Eigenwertprobleme +% +\subsection{Eigenwertproblem} +Viele partielle Differentialgleichungen der mathematischen Physik +sind zeitabhängig, aber das räumliche Gebiet, in dem sie +definiert sind, ist nicht von der Zeit abhängig. +Dies + +\subsubsection{Wellengleichung} +Die Schwingung einer ebenen Membran, die in ein emGebiet +$G\subset\mathbb{R}^n$ eingespannt ist, wird durch die +Wellengleichung +\begin{equation} +\frac{1}{c^2} \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = \Delta u, +\label{buch:pde:separation:wellengleichung} +\end{equation} +beschrieben. +Darin ist $u(t,x)$ die Auslenkung der Membran zur Zeit $t>0$ in einem +Punkt $x\in G$ des Gebietes $G$ ist. +Die Randbedingungen zerfallen in zwei Teile: +\begin{itemize} +\item +Bedingungen, die wiedergeben, dass die Membran in einen +Rahmen eingespannt und damit unbeweglich ist. +Dies bedeutet, dass $u(t,x)=0$ für alle Zeiten $t>0$ und für +Randpunkte $x\in\partial G$ von $G$ ist. +\item +Bedingungen, die Auslenkung und Geschwindigkeit der Membran zur +Zeit $t=0$ beschreiben, typischerweise ind er Form +\begin{align*} +u(0,x) = f(x), +\frac{\partial u}{\partial t}(0,x) = g(x) +\end{align*} +wobei $f(x)$ und $g(x)$ Funktionen auf dem Gebiet $G$ sind. +\end{itemize} + +In der Zeitableitung auf der linken Seite +von~\eqref{buch:pde:separation:wellengleichung} +kommen die Ortskoordinaten nicht vor und im Laplace-Operator +auf der rechten Seite tritt die Zeit nicht auf. +Es ist daher naheliegend zu versuchen, die Lösung der Differntialgleichung +als Produkt +\[ +u(t,x) = T(t) \cdot U(x) +\] +zu schreiben. +Wendet man die Differentialgleichung darauf an, wird daraus die Gleichung +\[ +\frac{1}{c^2} +T''(t)\cdot U(x) += +T(t) \cdot \Delta U(x). +\] +Indem man druch $T(t)$ und $U(x)$ teilt, entsteht die separierte Gleichung +\[ +\frac{1}{c^2} \frac{T''(t)}{T(t)} += +\frac{\Delta U(x)}{U(x)}. +\] +Die linke Seite ist nur von der Zeit abhängig, die rechte nur von den +Ortskoordinaten. +Damit ist die Differentialgleichung separiert und das Problem darauf +reduziert, die gewöhnliche Differentialgleichung +\[ +T''(t) = \lambda T(t) +\] +und die partielle Differentialgleichung +\[ +\Delta U(x) = \lambda U(x) +\] +niedrigerer Dimension zu lösen. + +\subsubsection{Allgemeine Situation} +Das Definitionsgebiet der partiellen Differentialgleichung ist +also von der Form $\mathbb{R}^+\times G$, wobei $G\subset\mathbb{R}^n$ +ein räumliches Gebiet ist und $\mathbb{R}^+$ die Zeitachse. +Auch die Randbedingungen zerfallen in zwei Arten: +\begin{itemize} +\item +Bedingungen über die Lösungsfunktion zur Zeit $t=0$ im inneren des +räumliche Gebietes $G$, zum Beispiel +die Anfangsauslenkung und/oder Anfangsgeschwindigkeit einer schwingenden +Saite oder Membran. +\item +Bedingungen über die Lösungsfunktion auf dem Rand $\partial G$ von +$G$ für alle Zeiten $t>0$, zum Beispiel die Bedingung, dass die +Membran fest eingespannt ist. +\end{itemize} +Oft zerfällt auch der Differentialoperator in Zeitableitungen +und einen zeitunabhängigen Teil der nur Ableitungen nach den +Ortsvariablen enthält. +Die Wellengleichung +\[ +\frac{1}{c^2} +\frac{\partial^2}{\partial t^2} u += +\Delta u +\qquad\Leftrightarrow\qquad +\biggl( +\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2} - \Delta +\biggr) u = 0 +\] +enthält Ableitungen nach der Zeit, die nicht von Ortskoordinaten +abhängig sind. +Der Laplace-Operator $\Delta$ ist nicht von der Zeitabhängig und das +Gebiet $G$ hängt ebenfalls nicht von der Zeit ab. + +\subsubsection{Separation der Zeit} +Unter den gegeben Voraussetzungen ist es naheliegend, die Lösungsfunktion +$u(t,x)$ als Produkt +\[ +u(t,x) = T(t) \cdot U(x),\qquad t\in\mathbb{R}^+, x\in G +\] +anzusetezen. +Die Wellengleichung wird dann +\[ +\frac{1}{c^2} +T''(t)\cdot U(x) += +T(t)\cdot\Delta U(x) +\] +und nach Separation +\[ +\frac{1}{c^2} \frac{T''(t)}{T(t)} += +\frac{\Delta U(x)}{U(x)}. +\] +Es gibt also eine gemeinsame Konstante. +Da wir Schwingungslösungen erwarten, für die $T''(t) = -\omega^2 T(t)$ +ist, schreiben wir die gemeinsame Konstante als $-\lambda^2$, was +später die Formeln vereinfachen wird. +Die separierten Differentialgleichungen werden jetzt +\begin{align*} +\frac{1}{c^2} +\frac{T''(t)}{T(t)} +&= +-\lambda^2 +&&\Rightarrow& +T''(t)-c^2\lambda T(t)&=0 +&&\Rightarrow& +T''(t) &= A \cos(c\sqrt\lambda t) + B \sin(c \lambda t) +\\ +&&&&&&&& + &= C \cos(c \lambda t+\delta) +\\ +\frac{\Delta U(x)}{U(x)}&=-\lambda^2 +&&\Rightarrow& +\Delta U &= -\lambda^2 U +\end{align*} +Die letzte Gleichung für die Funktion $U(x)$ hat die Form +eines Eigenwertproblems mit dem Eigenwert $-\lambda^2$. + +\begin{definition} +Eine Eigenfunktion eines Operators $L$ zum Eigenwert $\lambda$ +ist eine Funktion $U$ derart, dass $LU=\lambda U$. +\end{definition} + +Die Separation ermöglich also, das ursprüngliche Problem aufzuspalten +in ein Eigenwertproblem für eine nur ortsabhängige Funktion $U(x)$ +und eine Schwingungsgleichung für $T(t)$. +Die Schwingungsfrequenz $c \lambda $ hängt direkt mit dem +Eigenwert zusammen. +Die Funktion $U(x)$ beschreibt die Form der Membran, die Amplitude +in jedem Punkt, der Faktor $T(t)$ beschreibt die Schwingung. + + |