add gamma function section

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diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/images/jacobiplots.pdf b/buch/chapters/110-elliptisch/images/jacobiplots.pdf
index c1885c9..47870ef 100644
--- a/buch/chapters/110-elliptisch/images/jacobiplots.pdf
+++ b/buch/chapters/110-elliptisch/images/jacobiplots.pdf
diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/jacobi.tex b/buch/chapters/110-elliptisch/jacobi.tex
index 1f52c2a..72cc70e 100644
--- a/buch/chapters/110-elliptisch/jacobi.tex
+++ b/buch/chapters/110-elliptisch/jacobi.tex
@@ -499,11 +499,11 @@ Für die Funktion $\operatorname{cn}(u,k)$ ergibt analoge Rechnung
 \text{Funktion $y=$}&\text{Differentialgleichung}&\alpha&\beta&\gamma&\multicolumn{3}{c|}{Signatur}\\
 \hline
 \operatorname{sn}(u,k)
-	& y'^2 = (1-y^2)(1-k^2y^2)
+	& y'^2 = \phantom{-}(1-y^2)(1-k^2y^2)
 		&k^2&1&1 &+&+&+
 \\
 \operatorname{cn}(u,k)
-	&y'^2 = (1-y^2)(1-k^2+k^2y^2)
+	&y'^2 = \phantom{-}(1-y^2)(1-k^2+k^2y^2)
 		&-k^2	&2k^2-1&1-k^2 &-&&+
 \\
 \operatorname{dn}(u,k)
@@ -715,7 +715,8 @@ x(t) = a\operatorname{zn}(b(t-t_0)),
 wobei die Funktion $\operatorname{zn}(u,k)$ auf Grund der Vorzeichen
 von $A$, $B$ und $C$ gewählt werden müssen.
 
-\subsubsection{Das mathematische Pendel}
+\subsection{Das mathematische Pendel
+\label{buch:elliptisch:subsection:mathpendel}}
 \begin{figure}
 \centering
 \includegraphics{chapters/110-elliptisch/images/pendel.pdf}
@@ -794,6 +795,96 @@ tatsächlich eine Differentialgleichung der Art, wie wir sie für
 elliptische Funktionen gefunden haben, wir möchten aber eine exakte
 Lösung konstruieren.
 
+Die maximale Energie für eine Bewegung, bei der sich das Pendel gerade
+über den höchsten Punkt hinweg zu bewegen vermag, ist 
+$E=2lmg$.
+Falls $E<2mgl$ ist, erwarten wir Schwingungslösungen, bei denen 
+der Winkel $\vartheta$ immer im offenen Interval $(-\pi,\pi)$
+bleibt.
+Für $E>2mgl$ wird sich das Pendel im Kreis bewegen, für sehr grosse
+Energie ist die kinetische Energie dominant, die Verlangsamung im
+höchsten Punkt wird immer weniger ausgeprägt sein.
+
+\subsubsection{Koordinatentransformation auf elliptische Funktionen}
+Wir verwenden als neue Variable 
+\[
+y = \sin\frac{\vartheta}2
+\]
+mit der Ableitung
+\[
+\dot{y}=\frac12\cos\frac{\vartheta}{2}\cdot \dot{\vartheta}.
+\]
+Man beachte, dass $y$ nicht eine Koordinate in
+Abbildung~\ref{buch:elliptisch:fig:mathpendel} ist.
+
+Aus den Halbwinkelformeln finden wir
+\[
+\cos\vartheta
+=
+1-2\sin^2 \frac{\vartheta}2
+=
+1-2y^2.
+\]
+Dies können wir zusammen mit der
+Identität $\cos^2\vartheta/2 = 1-\sin^2\vartheta/2 = 1-y^2$
+in die Energiegleichung einsetzen und erhalten
+\[
+\frac12ml^2\dot{\vartheta}^2 + mgly^2 = E
+\qquad\Rightarrow\qquad
+\frac14 \dot{\vartheta}^2 = \frac{E}{2ml^2} - \frac{g}{2l}y^2.
+\]
+Der konstante Term auf der rechten Seite ist grösser oder kleiner als
+$1$ je nachdem, ob das Pendel sich im Kreis bewegt oder nicht.
+
+Durch Multiplizieren mit $\cos^2\frac{\vartheta}{2}=1-y^2$
+erhalten wir auf der linken Seite einen Ausdruck, den wir
+als Funktion von $\dot{y}$ ausdrücken können.
+Wir erhalten
+\begin{align*}
+\frac14
+\cos^2\frac{\vartheta}2
+\cdot
+\dot{\vartheta}^2
+&=
+\frac14
+(1-y^2)
+\biggl(\frac{E}{2ml^2} -\frac{g}{2l}y^2\biggr)
+\\
+\dot{y}^2
+&=
+\frac{1}{4}
+(1-y^2)
+\biggl(\frac{E}{2ml^2} -\frac{g}{2l}y^2\biggr)
+\end{align*}
+Die letzte Gleichung hat die Form einer Differentialgleichung
+für elliptische Funktionen.
+Welche Funktion verwendet werden muss, hängt von der Grösse der
+Koeffizienten in der zweiten Klammer ab.
+Die Tabelle~\ref{buch:elliptisch:tabelle:loesungsfunktionen}
+zeigt, dass in der zweiten Klammer jeweils einer der Terme
+$1$ sein muss.
+
+\subsubsection{Der Fall $E<2mgl$}
+\begin{figure}
+\centering
+\includegraphics[width=\textwidth]{chapters/110-elliptisch/images/jacobiplots.pdf}
+\caption{%
+Abhängigkeit der elliptischen Funktionen von $u$ für
+verschiedene Werte von $k^2=m$.
+Für $m=0$ ist $\operatorname{sn}(u,0)=\sin u$, 
+$\operatorname{cn}(u,0)=\cos u$ und $\operatorname{dn}(u,0)=1$, diese
+sind in allen Plots in einer helleren Farbe eingezeichnet.
+Für kleine Werte von $m$ weichen die elliptischen Funktionen nur wenig
+von den trigonometrischen Funktionen ab,
+es ist aber klar erkennbar, dass die anharmonischen Terme in der
+Differentialgleichung die Periode mit steigender Amplitude verlängern.
+Sehr grosse Werte von $m$ nahe bei $1$ entsprechen der Situation, dass
+die Energie des Pendels fast ausreicht, dass es den höchsten Punkt
+erreichen kann, was es für $m$ macht.
+\label{buch:elliptisch:fig:jacobiplots}}
+\end{figure}
+
+
 Wir verwenden als neue Variable 
 \[
 y = \sin\frac{\vartheta}2
@@ -846,7 +937,12 @@ Wir erhalten
 \end{align*}
 Dies ist genau die Form der Differentialgleichung für die elliptische
 Funktion $\operatorname{sn}(u,k)$
-mit $k^2 = gml/2E$.
+mit $k^2 = 2gml/E< 1$.
+
+\subsection{Der Fall $E > 2mgl$}
+In diesem Fall hat das Pendel im höchsten Punkte immer noch genügend
+kinetische Energie, so dass es sich im Kreise dreht.
+Indem wir die Gleichung
 
 XXX Differentialgleichung \\
 XXX Mathematisches Pendel \\