add gamma function section

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diff --git a/buch/buch.tex b/buch/buch.tex
index b255ace..de40b1f 100644
--- a/buch/buch.tex
+++ b/buch/buch.tex
@@ -10,6 +10,12 @@
 % each paper
 \input{papers/common/addpackages.tex}
 
+% PDF info
+\hypersetup{
+pdftitle={Mathematisches Seminar Spezielle Funktionen},
+pdfauthor={Andreas Müller}
+}
+
 % workaround for biblatex bug
 \makeatletter
 \def\blx@maxline{77}
diff --git a/buch/chapters/040-rekursion/Makefile.inc b/buch/chapters/040-rekursion/Makefile.inc
new file mode 100644
index 0000000..c9b454c
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/040-rekursion/Makefile.inc
@@ -0,0 +1,9 @@
+#
+# Makefile.inc -- Makefile dependencies for chapter 4
+#
+# (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+#
+
+CHAPTERFILES = $(CHAPTERFILES)						\
+	chapters/040-rekursion/gamma.tex				\
+	chapters/040-rekursion/chapter.tex
diff --git a/buch/chapters/040-rekursion/chapter.tex b/buch/chapters/040-rekursion/chapter.tex
new file mode 100644
index 0000000..68a5e7a
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/040-rekursion/chapter.tex
@@ -0,0 +1,21 @@
+%
+% chapter.tex -- Beschreibung des Inhaltes
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
+%
+% !TeX spellcheck = de_CH
+\chapter{Spezielle Funktionen und Rekursion
+\label{buch:chapter:rekursion}}
+\lhead{Spezielle Funktionen und Rekursion}
+\rhead{}
+
+\input{chapters/040-rekursion/gamma.tex}
+
+%\section*{Übungsaufgaben}
+%\rhead{Übungsaufgaben}
+%\aufgabetoplevel{chapters/020-exponential/uebungsaufgaben}
+%\begin{uebungsaufgaben}
+%\uebungsaufgabe{0}
+%\uebungsaufgabe{1}
+%\end{uebungsaufgaben}
+
diff --git a/buch/chapters/040-rekursion/gamma.tex b/buch/chapters/040-rekursion/gamma.tex
new file mode 100644
index 0000000..1691fc0
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/040-rekursion/gamma.tex
@@ -0,0 +1,157 @@
+%
+% gamma.tex -- Abschnitt über die Gamma-funktion
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\section{Die Gamma-Funktion
+\label{buch:rekursion:section:gamma}}
+Die Fakultät $x!$ kann rekursiv durch 
+\[
+	x! = x\cdot (x-1)! \qquad\text{und}\qquad 0!=1
+\]
+für alle natürlichen Zahlen $x\in\mathbb{N}$ definiert werden.
+Äquivalent damit ist eine Funktion 
+\begin{equation}
+\Gamma(x+1) = x\Gamma(x)
+\qquad\text{und}\qquad 
+\Gamma(1)=1.
+\label{buch:rekursion:eqn:gammadef}
+\end{equation}
+Kann man eine reelle oder komplexe Funktion finden, die die
+Funktionalgleichung~\eqref{buch:rekursion:eqn:gammadef}
+erfüllt und damit die Fakultät auf beliebige Argumente ausdehnt?
+
+\subsection{Integralformel für die Gamma-Funktion}
+Euler hat die folgende Integraldefinition der Gamma-Funktion gegeben.
+
+\begin{definition}
+\label{buch:rekursion:def:gamma}
+Die Gamma-Funktion ist die Funktion 
+\[
+\Gamma
+\colon
+\{z\in\mathbb{C} \mid \operatorname{Re}z>0\}
+\to \mathbb{C}
+:
+z
+\mapsto
+\Gamma(z) = \int_0^\infty t^{x-1}e^{-t}\,dt
+\]
+\end{definition}
+
+Man beachte, dass das Integral für $x=0$ nicht definiert ist, eine
+Potenzreihenentwicklung um einen Punkt $x_0$ auf der positiven reellen
+Achse kann also höchstens den Konvergenzradius $\varrho=|x_0|$ haben.
+
+\begin{figure}
+\centering
+\includegraphics{chapters/040-rekursion/images/gammaplot.pdf}
+\caption{Graph der Gamma-Funktion $z\mapsto\Gamma(z)$ und der alternativen
+Funktion $\Gamma(z)+\sin(\pi z)$, die für ganzzahlige Argumente ebenfalls
+die Werte der Fakultät annimmt.
+\label{buch:rekursion:fig:gamma}}
+\end{figure}
+
+\subsubsection{Alternative Lösungen}
+Die Funktion $\Gamma(z)$ ist nicht die einzige Funktion, die natürlichen
+Zahlen die Werte $\Gamma(n+1) = n!$ der Fakultät annimmt.
+Indem man eine beliebige Funktion $f(z)$ addiert, die auf alle
+natürlichen Zahlen verschwindet, also $f(n)=0$ für $n\in\mathbb{N}$,
+erhält man eine weitere Funktion, die auf natürlichen Zahlen
+die Werte der Fakultät annimmt.
+Ein Beispiel einer solchen Funktion ist
+\begin{equation}
+z\mapsto f(z)=\Gamma(z) + \sin \pi z,
+\label{buch:rekursion:eqn:gammaalternative}
+\end{equation}
+die Funktion $f(z)=\sin\pi z$ verschwindet sogar auf allen ganzen
+Zahlen.
+
+In Abbildung~\ref{buch:rekursion:fig:gamma} ist die Gamma-Funktion
+in rot geplotet, die Funktion~\eqref{buch:rekursion:eqn:gammaalternative}
+in grün.
+Die Punkte $(n,(n-1)!)$ sind in blau bezeichnet, sie sind beiden Graphen
+gemeinsam.
+
+\subsubsection{Pol erster Ordnung bei $z=0$}
+Wir haben zu prüfen, dass sowohl der Wert $\Gamma(1)$ korrekt ist als
+auch die Rekursionsformel~\eqref{buch:rekursion:eqn:gammadef} gilt.
+Der Wert für $z=1$ ist
+\begin{align*}
+\Gamma(1)
+&=
+\int_0^\infty t^{1-1}e^{-t}\,dt
+=
+\left[ -e^{-t} \right]_0^\infty
+=
+1.
+\end{align*}
+Für die Rekursionsformel kann mit Hilfe von partieller Integration
+bekommen:
+\begin{align*}
+\Gamma(z+1)
+&=
+\int_0^\infty t^{z+1-1}e^{-t}\,dt
+=
+\biggl[-t^{z}e^{-t}\biggr]_0^\infty
++
+\int_0^\infty z t^{z-1}e^{-t}\,dt
+\\
+&=
+z
+\int_0^\infty
+t^{z-1}e^{-t}\,dt
+=
+z \Gamma(z).
+\end{align*}
+
+Für $0<z<\varepsilon$ für eine $\varepsilon >0$ folgt aus der 
+Funktionalgleichung
+\[
+\Gamma(z) = \frac{\Gamma(1+z)}{z}.
+\]
+Da $\Gamma(1)=1$ ist und $\Gamma$ eine in einer
+Umgebung von $1$ stetige Funktion ist, kann sie in der Form
+\(
+\Gamma(1+z)=\Gamma(1) + zf(z)
+\)
+schreiben, wobei  $f(z)$ eine differenzierbare Funktion ist mit
+$f'(1)=\Gamma'(1)$.
+Daraus ergibt sich für $\Gamma(z)$ der Ausdruck
+\[
+\Gamma(z) = \frac{\Gamma(1)}{z} + f(z) = \frac{1}{z} + f(z).
+\]
+Die Gamma-Funktion hat daher and er Stelle $z=0$ einen Pol erster Ordnung.
+
+\subsubsection{Ausdehnung auf $\operatorname{Re}z<0$}
+Die Integralformel konvergiert nicht für $\operatorname{Re}z\le 0$.
+Durch analytische Fortsetzung, wie sie im
+Abschnitt~\ref{buch:funktionentheorie:section:fortsetzung}
+beschrieben wird, kann die Funktion auf ganz $\mathbb{C}$ ausgedehnt
+werden, mit Ausnahme einzelner Pole.
+Die Funktionalgleichung gilt natürlich für alle $z\in\mathbb{C}$,
+für die $\Gamma(z)$ definiert ist.
+In einer Umgebung von $z=-n$ gilt
+\[
+\Gamma(z)
+=
+\frac{\Gamma(z+1)}{z}
+=
+\frac{\Gamma(z+2)}{z(z+1)}
+=
+\frac{\Gamma(z+3)}{z(z+1)(z+2)}
+=
+\dots
+=
+\frac{\Gamma(z+n)}{z(z+1)(z+2)\cdots(z+n-1)}
+\]
+Keiner der Faktoren im Nenner verschwindet in der Nähe von $z=-n$, der
+Zähler hat aber einen Pol erster Ordnung an dieser Stelle.
+Daher hat auch der Quotient einen Pol erster Ordnung.
+Abbildung~\ref{buch:rekursion:fig:gamma} zeigt die Pole bei den
+nicht negativen ganzen Zahlen.
+
+
+
+
+
diff --git a/buch/chapters/040-rekursion/images/Makefile b/buch/chapters/040-rekursion/images/Makefile
new file mode 100644
index 0000000..58f79b8
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/040-rekursion/images/Makefile
@@ -0,0 +1,12 @@
+#
+# Makefile
+#
+# (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+#
+all:	gammaplot.pdf
+
+gammaplot.pdf:	gammaplot.tex gammapaths.tex
+	pdflatex gammaplot.tex
+
+gammapaths.tex:	gammaplot.m
+	octave gammaplot.m
diff --git a/buch/chapters/040-rekursion/images/gammaplot.m b/buch/chapters/040-rekursion/images/gammaplot.m
new file mode 100644
index 0000000..3b1d23d
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/040-rekursion/images/gammaplot.m
@@ -0,0 +1,52 @@
+#
+# gammaplot.m
+#
+# (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+#
+
+fn = fopen("gammapaths.tex", "w");
+
+function finterval(f, fn, from, to, name, delta)
+	fprintf(fn, "\\def\\gamma%s{", name);
+	x = from + delta;
+	fprintf(fn, "({\\dx*%.4f},{\\dy*%.4f})", x, f(x));
+	x = from + 0.02;
+	for x = (from+0.02:0.02:to-0.02)
+		fprintf(fn, "\n -- ");
+		fprintf(fn, "({\\dx*%.4f},{\\dy*%.4f})", x, f(x));
+	endfor
+	x = to - delta;
+	fprintf(fn, "\n -- ");
+	fprintf(fn, "({\\dx*%.4f},{\\dy*%.4f})", x, f(x));
+	fprintf(fn, "}\n");
+endfunction
+
+function gammainterval(fn, from, to, name, delta)
+	finterval(@gamma, fn, from, to, name, delta)
+endfunction
+
+function retval = gammasin(x) 
+	retval = gamma(x) + sin(x * pi);
+endfunction
+
+function gammasininterval(fn, from, to, name, delta)
+	finterval(@gammasin, fn, from, to, name, delta)
+endfunction
+
+gammainterval(fn,  0,  4.1, "plus",  0.019);
+gammainterval(fn, -1,  0,   "one",   0.019);
+gammainterval(fn, -2, -1,   "two",   0.019);
+gammainterval(fn, -3, -2,   "three", 0.019);
+gammainterval(fn, -4, -3,   "four",  0.005);
+gammainterval(fn, -5, -4,   "five",  0.001);
+gammainterval(fn, -6, -5,   "six",  0.0002);
+
+gammasininterval(fn,  0,  4.1, "sinplus",  0.019);
+gammasininterval(fn, -1,  0,   "sinone",   0.019);
+gammasininterval(fn, -2, -1,   "sintwo",   0.019);
+gammasininterval(fn, -3, -2,   "sinthree", 0.019);
+gammasininterval(fn, -4, -3,   "sinfour",  0.005);
+gammasininterval(fn, -5, -4,   "sinfive",  0.001);
+gammasininterval(fn, -6, -5,   "sinsix",  0.0002);
+
+fclose(fn);
diff --git a/buch/chapters/040-rekursion/images/gammaplot.pdf b/buch/chapters/040-rekursion/images/gammaplot.pdf
new file mode 100644
index 0000000..d0a766e
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/040-rekursion/images/gammaplot.pdf
diff --git a/buch/chapters/040-rekursion/images/gammaplot.tex b/buch/chapters/040-rekursion/images/gammaplot.tex
new file mode 100644
index 0000000..4e11d32
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/040-rekursion/images/gammaplot.tex
@@ -0,0 +1,89 @@
+%
+% gammaplot.tex -- template for standalon tikz images
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\documentclass[tikz]{standalone}
+\usepackage{amsmath}
+\usepackage{times}
+\usepackage{txfonts}
+\usepackage{pgfplots}
+\usepackage{csvsimple}
+\usetikzlibrary{arrows,intersections,math}
+\input{gammapaths.tex}
+\begin{document}
+\def\skala{1}
+\begin{tikzpicture}[>=latex,thick,scale=\skala]
+
+\definecolor{darkgreen}{rgb}{0,0.8,0}
+
+\draw[->] (-6.1,0) -- (5.3,0) coordinate[label={$z$}];
+\draw[->] (0,-5.1) -- (0,6.4) coordinate[label={right:$\Gamma(z)$}];
+
+\foreach \x in {-1,-2,-3,-4,-5,-6}{
+	\draw (\x,-0.1) -- (\x,0.1);
+	\draw[line width=0.1pt] (\x,-5) -- (\x,6.2);
+}
+\foreach \x in {1,2,3,4,5}{
+	\draw (\x,-0.1) -- (\x,0.1);
+	\node at (\x,0) [below] {$\x$};
+}
+\foreach \y in {-5,-4,-3,-2,-1,1,2,3,4,5,6}{
+	\draw (-0.1,\y) -- (0.1,\y);
+}
+\foreach \y in {1,2,3,4,5,6}{
+	\node at (0,\y) [left] {$\y$};
+}
+\foreach \y in {-1,-2,-3,-4,-5}{
+	\node at (0,\y) [right] {$\y$};
+}
+\foreach \x in {-1,-3,-5}{
+	\node at (\x,0) [below left] {$\x$};
+}
+\foreach \x in {-2,-4,-6}{
+	\node at (\x,0) [above left] {$\x$};
+}
+
+\def\dx{1}
+\def\dy{1}
+
+\begin{scope}
+\clip (-6.1,-5) rectangle (4.3,6.2);
+
+\draw[color=darkgreen,line width=1.4pt] \gammasinplus;
+\draw[color=darkgreen,line width=1.4pt] \gammasinone;
+\draw[color=darkgreen,line width=1.4pt] \gammasintwo;
+\draw[color=darkgreen,line width=1.4pt] \gammasinthree;
+\draw[color=darkgreen,line width=1.4pt] \gammasinfour;
+\draw[color=darkgreen,line width=1.4pt] \gammasinfive;
+\draw[color=darkgreen,line width=1.4pt] \gammasinsix;
+
+\draw[color=red,line width=1.4pt] \gammaplus;
+\draw[color=red,line width=1.4pt] \gammaone;
+\draw[color=red,line width=1.4pt] \gammatwo;
+\draw[color=red,line width=1.4pt] \gammathree;
+\draw[color=red,line width=1.4pt] \gammafour;
+\draw[color=red,line width=1.4pt] \gammafive;
+\draw[color=red,line width=1.4pt] \gammasix;
+
+\end{scope}
+
+\fill[color=blue] (1,1) circle[radius=0.08];
+\node[color=blue] at (1,1-0.2) [below] {$\Gamma(1)=0!$};
+\fill[color=blue] (2,1) circle[radius=0.08];
+\node[color=blue] at (2,1) [below right] {$\Gamma(2)=1!$};
+\fill[color=blue] (3,2) circle[radius=0.08];
+\node[color=blue] at (3,2) [right] {$\Gamma(3)=2!$};
+\fill[color=blue] (4,6) circle[radius=0.08];
+\node[color=blue] at (4,6) [right] {$\Gamma(4)=3!$};
+
+\begin{scope}[xshift=3cm,yshift=-2.4cm]
+	\draw[color=red,line width=1.4pt] (-1,0) -- (0,0);
+	\draw[color=darkgreen,line width=1.4pt] (-1,-0.7) -- (0,-0.7);
+	\node at (0.1,0) [right] {$\Gamma(z)$};
+	\node at (0.1,-0.7) [right] {$\Gamma(z)+\sin\pi z$};
+\end{scope}
+
+\end{tikzpicture}
+\end{document}
+
diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/images/jacobiplots.pdf b/buch/chapters/110-elliptisch/images/jacobiplots.pdf
index c1885c9..47870ef 100644
--- a/buch/chapters/110-elliptisch/images/jacobiplots.pdf
+++ b/buch/chapters/110-elliptisch/images/jacobiplots.pdf
diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/jacobi.tex b/buch/chapters/110-elliptisch/jacobi.tex
index 1f52c2a..72cc70e 100644
--- a/buch/chapters/110-elliptisch/jacobi.tex
+++ b/buch/chapters/110-elliptisch/jacobi.tex
@@ -499,11 +499,11 @@ Für die Funktion $\operatorname{cn}(u,k)$ ergibt analoge Rechnung
 \text{Funktion $y=$}&\text{Differentialgleichung}&\alpha&\beta&\gamma&\multicolumn{3}{c|}{Signatur}\\
 \hline
 \operatorname{sn}(u,k)
-	& y'^2 = (1-y^2)(1-k^2y^2)
+	& y'^2 = \phantom{-}(1-y^2)(1-k^2y^2)
 		&k^2&1&1 &+&+&+
 \\
 \operatorname{cn}(u,k)
-	&y'^2 = (1-y^2)(1-k^2+k^2y^2)
+	&y'^2 = \phantom{-}(1-y^2)(1-k^2+k^2y^2)
 		&-k^2	&2k^2-1&1-k^2 &-&&+
 \\
 \operatorname{dn}(u,k)
@@ -715,7 +715,8 @@ x(t) = a\operatorname{zn}(b(t-t_0)),
 wobei die Funktion $\operatorname{zn}(u,k)$ auf Grund der Vorzeichen
 von $A$, $B$ und $C$ gewählt werden müssen.
 
-\subsubsection{Das mathematische Pendel}
+\subsection{Das mathematische Pendel
+\label{buch:elliptisch:subsection:mathpendel}}
 \begin{figure}
 \centering
 \includegraphics{chapters/110-elliptisch/images/pendel.pdf}
@@ -794,6 +795,96 @@ tatsächlich eine Differentialgleichung der Art, wie wir sie für
 elliptische Funktionen gefunden haben, wir möchten aber eine exakte
 Lösung konstruieren.
 
+Die maximale Energie für eine Bewegung, bei der sich das Pendel gerade
+über den höchsten Punkt hinweg zu bewegen vermag, ist 
+$E=2lmg$.
+Falls $E<2mgl$ ist, erwarten wir Schwingungslösungen, bei denen 
+der Winkel $\vartheta$ immer im offenen Interval $(-\pi,\pi)$
+bleibt.
+Für $E>2mgl$ wird sich das Pendel im Kreis bewegen, für sehr grosse
+Energie ist die kinetische Energie dominant, die Verlangsamung im
+höchsten Punkt wird immer weniger ausgeprägt sein.
+
+\subsubsection{Koordinatentransformation auf elliptische Funktionen}
+Wir verwenden als neue Variable 
+\[
+y = \sin\frac{\vartheta}2
+\]
+mit der Ableitung
+\[
+\dot{y}=\frac12\cos\frac{\vartheta}{2}\cdot \dot{\vartheta}.
+\]
+Man beachte, dass $y$ nicht eine Koordinate in
+Abbildung~\ref{buch:elliptisch:fig:mathpendel} ist.
+
+Aus den Halbwinkelformeln finden wir
+\[
+\cos\vartheta
+=
+1-2\sin^2 \frac{\vartheta}2
+=
+1-2y^2.
+\]
+Dies können wir zusammen mit der
+Identität $\cos^2\vartheta/2 = 1-\sin^2\vartheta/2 = 1-y^2$
+in die Energiegleichung einsetzen und erhalten
+\[
+\frac12ml^2\dot{\vartheta}^2 + mgly^2 = E
+\qquad\Rightarrow\qquad
+\frac14 \dot{\vartheta}^2 = \frac{E}{2ml^2} - \frac{g}{2l}y^2.
+\]
+Der konstante Term auf der rechten Seite ist grösser oder kleiner als
+$1$ je nachdem, ob das Pendel sich im Kreis bewegt oder nicht.
+
+Durch Multiplizieren mit $\cos^2\frac{\vartheta}{2}=1-y^2$
+erhalten wir auf der linken Seite einen Ausdruck, den wir
+als Funktion von $\dot{y}$ ausdrücken können.
+Wir erhalten
+\begin{align*}
+\frac14
+\cos^2\frac{\vartheta}2
+\cdot
+\dot{\vartheta}^2
+&=
+\frac14
+(1-y^2)
+\biggl(\frac{E}{2ml^2} -\frac{g}{2l}y^2\biggr)
+\\
+\dot{y}^2
+&=
+\frac{1}{4}
+(1-y^2)
+\biggl(\frac{E}{2ml^2} -\frac{g}{2l}y^2\biggr)
+\end{align*}
+Die letzte Gleichung hat die Form einer Differentialgleichung
+für elliptische Funktionen.
+Welche Funktion verwendet werden muss, hängt von der Grösse der
+Koeffizienten in der zweiten Klammer ab.
+Die Tabelle~\ref{buch:elliptisch:tabelle:loesungsfunktionen}
+zeigt, dass in der zweiten Klammer jeweils einer der Terme
+$1$ sein muss.
+
+\subsubsection{Der Fall $E<2mgl$}
+\begin{figure}
+\centering
+\includegraphics[width=\textwidth]{chapters/110-elliptisch/images/jacobiplots.pdf}
+\caption{%
+Abhängigkeit der elliptischen Funktionen von $u$ für
+verschiedene Werte von $k^2=m$.
+Für $m=0$ ist $\operatorname{sn}(u,0)=\sin u$, 
+$\operatorname{cn}(u,0)=\cos u$ und $\operatorname{dn}(u,0)=1$, diese
+sind in allen Plots in einer helleren Farbe eingezeichnet.
+Für kleine Werte von $m$ weichen die elliptischen Funktionen nur wenig
+von den trigonometrischen Funktionen ab,
+es ist aber klar erkennbar, dass die anharmonischen Terme in der
+Differentialgleichung die Periode mit steigender Amplitude verlängern.
+Sehr grosse Werte von $m$ nahe bei $1$ entsprechen der Situation, dass
+die Energie des Pendels fast ausreicht, dass es den höchsten Punkt
+erreichen kann, was es für $m$ macht.
+\label{buch:elliptisch:fig:jacobiplots}}
+\end{figure}
+
+
 Wir verwenden als neue Variable 
 \[
 y = \sin\frac{\vartheta}2
@@ -846,7 +937,12 @@ Wir erhalten
 \end{align*}
 Dies ist genau die Form der Differentialgleichung für die elliptische
 Funktion $\operatorname{sn}(u,k)$
-mit $k^2 = gml/2E$.
+mit $k^2 = 2gml/E< 1$.
+
+\subsection{Der Fall $E > 2mgl$}
+In diesem Fall hat das Pendel im höchsten Punkte immer noch genügend
+kinetische Energie, so dass es sich im Kreise dreht.
+Indem wir die Gleichung
 
 XXX Differentialgleichung \\
 XXX Mathematisches Pendel \\
diff --git a/buch/chapters/Makefile.inc b/buch/chapters/Makefile.inc
index f5346d7..9a452e0 100644
--- a/buch/chapters/Makefile.inc
+++ b/buch/chapters/Makefile.inc
@@ -11,6 +11,8 @@ CHAPTERFILES = 								\
 include chapters/000-einleitung/Makefile.inc
 include chapters/010-potenzen/Makefile.inc
 include chapters/020-exponential/Makefile.inc
+include chapters/030-geometrie/Makefile.inc
+include chapters/040-rekursion/Makefile.inc
 include chapters/060-integral/Makefile.inc
 include chapters/080-funktionentheorie/Makefile.inc
 
diff --git a/buch/chapters/part1.tex b/buch/chapters/part1.tex
index 04aba57..b449aa2 100644
--- a/buch/chapters/part1.tex
+++ b/buch/chapters/part1.tex
@@ -12,7 +12,7 @@
 \input{chapters/010-potenzen/chapter.tex}
 \input{chapters/020-exponential/chapter.tex}
 \input{chapters/030-geometrie/chapter.tex}
-%\input{chapters/040-rekursion/chapter.tex}
+\input{chapters/040-rekursion/chapter.tex}
 
 % analytisch definierte spezielle Funktionen
 \input{chapters/050-differential/chapter.tex}