more info about the lemniskate

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diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/images/Makefile b/buch/chapters/110-elliptisch/images/Makefile
index 7e4fa0c..2a23d88 100644
--- a/buch/chapters/110-elliptisch/images/Makefile
+++ b/buch/chapters/110-elliptisch/images/Makefile
@@ -79,7 +79,6 @@ slcldata.tex:	slcl
 slcl.pdf:	slcl.tex slcldata.tex
 	pdflatex slcl.tex
 
-POVRAYOPTIONS = -W1920 -H1080
 kegelpara.png:	kegelpara.pov
 	povray +A0.1 -W1080 -H1080 -Okegelpara.png kegelpara.pov
 
@@ -89,3 +88,14 @@ kegelpara.jpg:	kegelpara.png Makefile
 
 kegelpara.pdf:	kegelpara.tex kegelpara.jpg
 	pdflatex kegelpara.tex
+
+torusschnitt.png:	torusschnitt.pov
+	povray +A0.1 -W1920 -H1080 -Otorusschnitt.png torusschnitt.pov
+
+torusschnitt.jpg:	torusschnitt.png Makefile
+	convert -extract 1560x1080+180+0 torusschnitt.png \
+		-density 300 -units PixelsPerInch torusschnitt.jpg
+
+torusschnitt.pdf:	torusschnitt.tex torusschnitt.jpg
+	pdflatex torusschnitt.tex
+
diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/images/torusschnitt.pdf b/buch/chapters/110-elliptisch/images/torusschnitt.pdf
new file mode 100644
index 0000000..430447c
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/110-elliptisch/images/torusschnitt.pdf
diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/images/torusschnitt.pov b/buch/chapters/110-elliptisch/images/torusschnitt.pov
new file mode 100644
index 0000000..94190be
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/110-elliptisch/images/torusschnitt.pov
@@ -0,0 +1,185 @@
+//
+// kegelpara.pov
+//
+// (c) 2022 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+//
+#version 3.7;
+#include "colors.inc"
+
+#declare O = <0,0,0>;
+
+global_settings {
+        assumed_gamma 1
+}
+
+#declare imagescale = 0.060;
+
+camera {
+        location <28, 20, -40>
+        look_at <0, 0.55, 0>
+        right (16/9) * x * imagescale
+        up y * imagescale
+}
+
+light_source {
+        <30, 10, -40> color White
+        area_light <1,0,0> <0,0,1>, 10, 10
+        adaptive 1
+        jitter
+}
+
+sky_sphere {
+        pigment {
+                color rgb<1,1,1>
+        }
+}
+
+
+//
+// draw an arrow from <from> to <to> with thickness <arrowthickness> with
+// color <c>
+//
+#macro arrow(from, to, arrowthickness, c)
+#declare arrowdirection = vnormalize(to - from);
+#declare arrowlength = vlength(to - from);
+union {
+	sphere {
+		from, 1.1 * arrowthickness
+	}
+	cylinder {
+		from,
+		from + (arrowlength - 5 * arrowthickness) * arrowdirection,
+		arrowthickness
+	}
+	cone {
+		from + (arrowlength - 5 * arrowthickness) * arrowdirection,
+		2 * arrowthickness,
+		to,
+		0
+	}
+	pigment {
+		color c
+	}
+	finish {
+		specular 0.9
+		metallic
+	}
+}
+#end
+
+arrow(<-2,0,0>,<2,0,0>,0.02,White)
+arrow(<0,-1.1,0>,<0,2.2,0>,0.02,White)
+arrow(<0,0,-1.6>,<0,0,2.4>,0.02,White)
+
+#declare epsilon = 0.001;
+#declare l = 1.5;
+
+
+#declare a = sqrt(2);
+#macro G2(phi,sg)
+	a * sqrt(cos(2*phi)) * < sg * cos(phi), 0, sin(phi)>
+#end
+
+#macro Lemniskate(s, farbe)
+union {
+	#declare phi = -pi / 4;
+	#declare phimax = pi / 4;
+	#declare phisteps = 100;
+	#declare phistep = phimax / phisteps;
+	#while (phi < phimax - phistep/2)
+		sphere { G2(phi,1), s }
+		cylinder { G2(phi,1), G2(phi+phistep,1), s }
+		sphere { G2(phi,-1), s }
+		cylinder { G2(phi,-1), G2(phi+phistep,-1), s }
+		#declare phi = phi + phistep;
+	#end
+	pigment {
+		color farbe
+	}
+	finish {
+		specular 0.9
+		metallic
+	}
+}
+#end
+
+#macro Projektion(s, farbe)
+union {
+	#declare phistep = pi / 16;
+	#declare phi = -pi / 4 + phistep;
+	#declare phimax = pi / 4;
+	#while (phi < phimax - phistep/2)
+		cylinder { G(phi,  1), G2(phi,  1), s }
+		cylinder { G(phi, -1), G2(phi, -1), s }
+		#declare phi = phi + phistep;
+	#end
+	pigment {
+		color farbe
+	}
+	finish {
+		specular 0.9
+		metallic
+	}
+}
+#end
+
+#macro Ebene(farbe)
+box {
+	<-1.8, 0, -1.4>, <1.8, 0.001, 1.4>
+	pigment {
+		color farbe
+	}
+	finish {
+		specular 0.9
+		metallic
+	}
+}
+#end
+
+#declare b = 0.5;
+#macro T(phi, theta)
+	b * < (2 + cos(theta)) * cos(phi), (2 + cos(theta)) * sin(phi) + 1, sin(theta) >
+#end
+
+#macro Torus(farbe)
+mesh {
+	#declare phi = 0;
+	#declare phimax = 2 * pi;
+	#declare phisteps = 200;
+	#declare phistep = phimax/phisteps;
+	#while (phi < phimax - phistep/2)
+		#declare theta = 0;
+		#declare thetamax = 2 * pi;
+		#declare thetasteps = 200;
+		#declare thetastep = thetamax / thetasteps;
+		#while (theta < thetamax - thetastep/2)
+			triangle {
+				T(phi,           theta),
+				T(phi + phistep, theta),
+				T(phi + phistep, theta + thetastep)
+			}
+			triangle {
+				T(phi,           theta),
+				T(phi + phistep, theta + thetastep),
+				T(phi,           theta + thetastep)
+			}
+			#declare theta = theta + thetastep;
+		#end
+		#declare phi = phi + phistep;
+	#end
+	pigment {
+		color farbe
+	}
+	finish {
+		specular 0.9
+		metallic
+	}
+}
+#end
+
+#declare torusfarbe = rgbt<0.2,0.6,0.2,0.2>;
+#declare ebenenfarbe = rgbt<0.2,0.6,1.0,0.2>;
+
+Lemniskate(0.02, Red)
+Ebene(ebenenfarbe)
+Torus(torusfarbe)
diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/images/torusschnitt.tex b/buch/chapters/110-elliptisch/images/torusschnitt.tex
new file mode 100644
index 0000000..3053ac5
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/110-elliptisch/images/torusschnitt.tex
@@ -0,0 +1,41 @@
+%
+% torusschnitt.tex
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\documentclass[tikz]{standalone}
+\usepackage{times}
+\usepackage{amsmath}
+\usepackage{txfonts}
+\usepackage[utf8]{inputenc}
+\usepackage{graphics}
+\usetikzlibrary{arrows,intersections,math}
+\usepackage{ifthen}
+\begin{document}
+
+\newboolean{showgrid}
+\setboolean{showgrid}{false}
+\def\breite{6}
+\def\hoehe{4}
+
+\begin{tikzpicture}[>=latex,thick]
+
+% Povray Bild
+\node at (0,0) {\includegraphics[width=11.4cm]{torusschnitt.jpg}};
+
+% Gitter
+\ifthenelse{\boolean{showgrid}}{
+\draw[step=0.1,line width=0.1pt] (-\breite,-\hoehe) grid (\breite, \hoehe);
+\draw[step=0.5,line width=0.4pt] (-\breite,-\hoehe) grid (\breite, \hoehe);
+\draw                            (-\breite,-\hoehe) grid (\breite, \hoehe);
+\fill (0,0) circle[radius=0.05];
+}{}
+
+\node at (4.4,-2.4) {$X$};
+\node at (3.5,0.6) {$Y$};
+\node at (0.3,3.8) {$Z$};
+
+\end{tikzpicture}
+
+\end{document}
+
diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/lemniskate.tex b/buch/chapters/110-elliptisch/lemniskate.tex
index f750a82..d76a963 100644
--- a/buch/chapters/110-elliptisch/lemniskate.tex
+++ b/buch/chapters/110-elliptisch/lemniskate.tex
@@ -12,6 +12,9 @@ veröffentlich hat.
 In diesem Abschnitt soll die Verbindung zu den Jacobischen
 elliptischen Funktionen hergestellt werden.
 
+%
+% Lemniskate
+%
 \subsection{Lemniskate
 \label{buch:gemotrie:subsection:lemniskate}}
 \begin{figure}
@@ -71,6 +74,165 @@ Sie gilt für Winkel $\varphi\in[-\frac{\pi}4,\frac{\pi}4]$ für das
 rechte Blatt und $\varphi\in[\frac{3\pi}4,\frac{5\pi}4]$ für das linke
 Blatt der Lemniskate.
 
+%
+% Schnitt eines Kegels mit einem Paraboloid
+%
+\subsubsection{Schnitt eines Kegels mit einem Paraboloid}
+\begin{figure}
+\center
+\includegraphics{chapters/110-elliptisch/images/kegelpara.pdf}
+\caption{Leminiskate (rot) als Projektion (gelb) der Schnittkurve (blau)
+eines geraden
+Kreiskegels (grün) mit einem Rotationsparaboloid (hellblau).
+\label{buch:elliptisch:lemniskate:kegelpara}}
+\end{figure}%
+Schreibt man in der Gleichung~\eqref{buch:elliptisch:eqn:lemniskate}
+für die Klammer auf der rechten Seite $Z^2 = X^2 - Y^2$, dann wird die
+Lemniskate die Projektion in die $X$-$Y$-Ebene der Schnittmenge der Flächen,
+die durch die Gleichungen
+\begin{equation}
+X^2-Y^2 = Z^2
+\qquad\text{und}\qquad
+(X^2+Y^2) = R^2 = \sqrt{2}aZ
+\label{buch:elliptisch:eqn:kegelparabolschnitt}
+\end{equation}
+beschrieben wird.
+Die linke Gleichung in 
+\eqref{buch:elliptisch:eqn:kegelparabolschnitt}
+beschreibt einen geraden Kreiskegel, die rechte ist ein Rotationsparaboloid.
+Die Schnittkurve ist in Abbildung~\ref{buch:elliptisch:lemniskate:kegelpara}
+dargestellt.
+
+\subsubsection{Schnitt eines Torus mit einer Ebene}
+\begin{figure}
+\centering
+\includegraphics{chapters/110-elliptisch/images/torusschnitt.pdf}
+\caption{Die Schnittkurve (rot) eines Torus (grün)
+mit einer zur Torusachse parallelen Ebene (blau),
+die den inneren Äquator des Torus berührt, ist eine Lemniskate.
+\label{buch:elliptisch:lemniskate:torusschnitt}}
+\end{figure}
+Schneidet man einen Torus mit einer Ebene, die zur Achse des Torus
+parallel ist und den inneren Äquator des Torus berührt, entsteht
+ebenfalls eine Lemniskate.
+Die Situation ist in Abbildung~\ref{buch:elliptisch:lemniskate:torusschnitt}
+dargestellt.
+
+Der Torus kann mit den Radien $2$ und $1$ mit der $y$-Achse als Torusachse
+kann mit der Parametrisierung
+\[
+(s,t)
+\mapsto
+\begin{pmatrix}
+(2+\cos s) \cos t \\
+\sin s \\
+(2+\cos s) \sin t 
+\end{pmatrix}
+\]
+beschrieben werden.
+Die Gleichung $z=1$ beschreibt eine 
+achsparallele Ebene, die den inneren Äquator berührt.
+Die Schnittkurve erfüllt daher
+\[
+(2+\cos s)\sin t = 1,
+\]
+was wir auch als $2 +\cos s = 1/\sin t$ schreiben können.
+Wir müssen nachprüfen dass die Koordinaten
+$X=(2+\cos s)\cos t$ und $Y=\sin s$ die Gleichung einer Lemniskate
+erfüllen.
+
+Zunächst können wir in der $X$-Koordinate den Klammerausdruck durch 
+\begin{equation}
+X
+=
+(2+\cos s) \cos t
+=
+\frac{1}{\sin t}\cos t
+=
+\frac{\cos t}{\sin t}
+\qquad\Rightarrow\qquad
+X^2
+=
+\frac{\cos^2t}{\sin^2 t}
+=
+\frac{1-\sin^2t}{\sin^2 t}
+\label{buch:elliptisch:lemniskate:Xsin}
+\end{equation}
+ersetzen.
+Auch die $Y$-Koordinaten können wir durch $t$ ausdrücken, 
+nämlich
+\begin{equation}
+Y^2=\sin^2 s = 1-\cos^2 s
+=
+1-
+\biggl(
+\frac{1}{\sin t}
+-2
+\biggr)^2
+=
+\frac{-3\sin^2 t+4\sin t-1}{\sin^2 t}.
+\label{buch:elliptisch:lemniskate:Ysin}
+\end{equation}
+Die Gleichungen
+\eqref{buch:elliptisch:lemniskate:Xsin}
+und
+\eqref{buch:elliptisch:lemniskate:Ysin}
+zeigen, dass man $X^2$ und $Y^2$ sogar einzig durch $\sin t$ 
+parametrisieren kann.
+Um die Ausdrücke etwas zu vereinfachen, schreiben wir $S=\sin t$
+und erhalten zusammenfassend
+\begin{equation}
+\begin{aligned}
+X^2
+&=
+\frac{1-S^2}{S^2}
+\\
+Y^2
+&=
+\frac{-3S^2+4S-1}{S^2}.
+\end{aligned}
+\end{equation}
+Daraus kann man jetzt die Summen und Differenzen der Quadrate
+berechnen, sie sind
+\begin{equation}
+\begin{aligned}
+X^2+Y^2
+&=
+\frac{-4S^2+4S}{S^2}
+=
+\frac{4S(1-S)}{S^2}
+=
+\frac{4(1-S)}{S}
+=
+4\frac{1-S}{S}
+\\
+X^2-Y^2
+&=
+\frac{2-4S+2S^2}{S^2}
+=
+\frac{2(1-S)^2}{S^2}
+=
+2\biggl(\frac{1-S}{S}\biggr)^2.
+\end{aligned}
+\end{equation}
+Durch Berechnung des Quadrates von $X^2+Y^2$ kann man jetzt
+die Gleichung
+\[
+(X^2+Y^2)
+=
+16
+\biggl(\frac{1-S}{S}\biggr)^2
+=
+8 \cdot 2
+\biggl(\frac{1-S}{S}\biggr)^2
+=
+2\cdot 2^2\cdot (X-Y)^2.
+\]
+Dies ist eine Lemniskaten-Gleichung für $a=2$.
+
+%
+% Bogenlänge der Lemniskate
+%
 \subsection{Bogenlänge}
 Die Funktionen
 \begin{equation}