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diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/dglsol.tex b/buch/chapters/110-elliptisch/dglsol.tex
index 7eaab38..3ef1eef 100644
--- a/buch/chapters/110-elliptisch/dglsol.tex
+++ b/buch/chapters/110-elliptisch/dglsol.tex
@@ -339,6 +339,65 @@ y(u) = F^{-1}(u+C).
 Die Jacobischen elliptischen Funktionen sind daher inverse Funktionen
 der unvollständigen elliptischen Integrale.
 
+%
+%
+%
+\subsubsection{Pole und Nullstellen der Jacobischen elliptischen Funktionen}
+Für die Funktion $y=\operatorname{sn}(u,k)$ erfüllt die Differentialgleichung
+\[
+\frac{dy}{du}
+=
+\sqrt{(1-y^2)(1-k^2y^2)},
+\]
+welche mit dem unbestimmten Integral
+\begin{equation}
+u + C = \int\frac{dy}{\sqrt{(1-y^2)(1-k^2y^2)}}
+\label{buch:elliptisch:eqn:uyintegral}
+\end{equation}
+gelöst werden kann.
+Der Wertebereich des Integrals in \eqref{buch:elliptisch:eqn:uyintegral}
+wurde bereits in
+Abschnitt~\ref{buch:elliptisch:subsection:unvollstintegral}
+auf Seite~\pageref{buch:elliptische:subsubsection:wertebereich}
+diskutiert.
+Daraus können jetzt Nullstellen und Pole der Funktion $\operatorname{sn}(u,k)$
+und mit Hilfe von Tabelle~\ref{buch:elliptisch:fig:jacobi-relationen}
+auch für $\operatorname{cn}(u,k)$ und $\operatorname{dn}(u,k)$
+abgelesen werden:
+\begin{equation}
+\begin{aligned}
+\operatorname{sn}(0,k)&=0
+&
+\operatorname{cn}(0,k)&=1
+&
+\operatorname{dn}(0,k)&=1
+\\
+\operatorname{sn}(iK',k)&=\infty
+&
+\operatorname{cn}(iK',k)&=\infty
+&
+\operatorname{dn}(iK',k)&=\infty
+\\
+\operatorname{sn}(K,k)&=1
+&
+\operatorname{cn}(K,k)&=0
+&
+\operatorname{dn}(K,k)&=k'
+\\
+\operatorname{sn}(K+iK',k)&=\frac{1}{k}
+&
+\operatorname{cn}(K+iK',k)&=\frac{ik'}{k}
+&
+\operatorname{dn}(K+iK',k)&=0
+\end{aligned}
+\label{buch:elliptische:eqn:eckwerte}
+\end{equation}
+Daraus lassen sich jetzt auch die Werte der abgeleiteten Jacobischen
+elliptischen Funktionen ablesen.
+
+
+
+
 
 %
 % Differentialgleichung des anharmonischen Oszillators
diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/ellintegral.tex b/buch/chapters/110-elliptisch/ellintegral.tex
index 3acce2f..bc597d6 100644
--- a/buch/chapters/110-elliptisch/ellintegral.tex
+++ b/buch/chapters/110-elliptisch/ellintegral.tex
@@ -355,9 +355,9 @@ K(k)
 dies beweist die Behauptung.
 \end{proof}
 
-
-
-
+%
+% Umfang einer Ellipse
+%
 \subsubsection{Umfang einer Ellipse}
 \begin{figure}
 \centering
@@ -451,13 +451,20 @@ Hilfe einer Entwicklung der Wurzel mit der Binomialreihe gefunden
 werden.
 \end{proof}
 
+%
+%
+%
 \subsubsection{Komplementäre Integrale}
 
 \subsubsection{Ableitung}
 XXX Ableitung \\
 XXX Stammfunktion \\
 
-\subsection{Unvollständige elliptische Integrale}
+%
+% Unvollständige elliptische Integrale
+%
+\subsection{Unvollständige elliptische Integrale
+\label{buch:elliptisch:subsection:unvollstintegral}}
 Die Funktionen $K(k)$ und $E(k)$ sind als bestimmte Integrale über ein
 festes Intervall definiert.
 Die {\em unvollständigen elliptischen Integrale} entstehen, indem die
@@ -522,12 +529,18 @@ Die Abbildung~\ref{buch:elliptisch:fig:unvollstaendigeintegrale}
 zeigt Graphen der unvollständigen elliptischen Integrale für verschiedene
 Werte des Parameters.
 
+%
+% Symmetrieeigenschaften
+%
 \subsubsection{Symmetrieeigenschaften}
 Die Integranden aller drei unvollständigen elliptischen Integrale
 sind gerade Funktionen der reellen Variablen $t$.
 Die Funktionen $F(x,k)$, $E(x,k)$ und $\Pi(n,x,k)$ sind daher
 ungeraden Funktionen von $x$.
 
+%
+% Elliptische Integrale als komplexe Funktionen
+%
 \subsubsection{Elliptische Integrale als komplexe Funktionen}
 Die unvollständigen elliptischen Integrale $F(x,k)$, $F(x,k)$ und $\Pi(n,x,k)$
 in Jacobi-Form lassen sich auch für komplexe Argumente interpretieren.
@@ -541,7 +554,11 @@ $\pm 1/\sqrt{n}$
 XXX Additionstheoreme \\
 XXX Parameterkonventionen \\
 
+%
+% Wertebereich
+%
 \subsubsection{Wertebereich}
+\label{buch:elliptische:subsubsection:wertebereich}
 Die unvollständigen elliptischen Integrale betrachtet als reelle Funktionen
 haben nur positive relle Werte.
 Zum Beispiel nimmt das unvollständige elliptische Integral erster Art
diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/elltrigo.tex b/buch/chapters/110-elliptisch/elltrigo.tex
index d600243..583e00a 100644
--- a/buch/chapters/110-elliptisch/elltrigo.tex
+++ b/buch/chapters/110-elliptisch/elltrigo.tex
@@ -18,6 +18,14 @@ auf einer Ellipse.
 \end{figure}
 % based on Willliam Schwalm, Elliptic functions and elliptic integrals
 % https://youtu.be/DCXItCajCyo
+Die Ellipse wurde in Abschnitt~\ref{buch:geometrie:subsection:kegelschnitte}
+als Kegelschnitt erkannt und auf verschiedene Arten parametrisiert.
+In diesem Abschnitt soll gezeigt werden, wie man die Parametrisierung
+eines Kreises mit trigonometrischen Funktionen verallgemeinern kann
+auf eine Parametrisierung einer Ellipse mit den drei
+Funktionen $\operatorname{sn}(u,k)$,
+$\operatorname{cn}(u,k)$ und $\operatorname{dn}(u,k)$,
+die ähnliche Eigenschaften haben wie die trigonometrischen Funktionen.
 
 %
 % Geometrie einer Ellipse
diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/images/Makefile b/buch/chapters/110-elliptisch/images/Makefile
index e6e5b09..3074994 100644
--- a/buch/chapters/110-elliptisch/images/Makefile
+++ b/buch/chapters/110-elliptisch/images/Makefile
@@ -5,7 +5,8 @@
 #
 all:	lemniskate.pdf ellipsenumfang.pdf unvollstaendig.pdf rechteck.pdf \
 	ellipse.pdf pendel.pdf jacobiplots.pdf jacobidef.pdf jacobi12.pdf \
-	sncnlimit.pdf slcl.pdf torusschnitt.pdf kegelpara.pdf lemnispara.pdf
+	sncnlimit.pdf slcl.pdf torusschnitt.pdf kegelpara.pdf lemnispara.pdf \
+	ellpolnul.pdf
 
 lemniskate.pdf:	lemniskate.tex
 	pdflatex lemniskate.tex
@@ -113,3 +114,6 @@ lemnispara.pdf:	lemnispara.tex lemnisparadata.tex
 	pdflatex lemnispara.tex
 
 ltest:	lemnispara.pdf
+
+ellpolnul.pdf:	ellpolnul.tex
+	pdflatex ellpolnul.tex
diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/images/ellpolnul.pdf b/buch/chapters/110-elliptisch/images/ellpolnul.pdf
new file mode 100644
index 0000000..ca52cdf
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/110-elliptisch/images/ellpolnul.pdf
diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/images/ellpolnul.tex b/buch/chapters/110-elliptisch/images/ellpolnul.tex
new file mode 100644
index 0000000..831b477
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/110-elliptisch/images/ellpolnul.tex
@@ -0,0 +1,57 @@
+%
+% tikztemplate.tex -- template for standalon tikz images
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\documentclass[tikz]{standalone}
+\usepackage{amsmath}
+\usepackage{times}
+\usepackage{txfonts}
+\usepackage{pgfplots}
+\usepackage{csvsimple}
+\usetikzlibrary{arrows,intersections,math}
+\begin{document}
+\def\skala{1}
+\begin{tikzpicture}[>=latex,thick,scale=\skala]
+
+\definecolor{rot}{rgb}{0.8,0,0}
+\definecolor{blau}{rgb}{0,0,1}
+\definecolor{gruen}{rgb}{0,0.6,0}
+
+\draw (-1,-1) rectangle (1,1);
+\node at (-1,-1) [below left] {$0$};
+\node at (1,-1) [below right] {$K$};
+\node at (1,1) [above right] {$K+iK'$};
+\node at (-1,1) [above left] {$iK'$};
+\node at (0,0) {$u$};
+
+\begin{scope}[xshift=4cm]
+\fill[color=rot!20] (-1,-1) rectangle (1,1);
+\node at (-1,-1) {$0$};
+\node at (1,-1) {$1$};
+\node at (1,1) {$\frac1k$};
+\node at (-1,1) {$\infty$};
+\node[color=rot] at (0,0) {$\operatorname{sn}(u,k)$};
+\end{scope}
+
+\begin{scope}[xshift=7cm]
+\fill[color=blau!20] (-1,-1) rectangle (1,1);
+\node at (-1,-1) {$1$};
+\node at (1,-1) {$0$};
+\node at (1,1) {$\frac{ik'}k$};
+\node at (-1,1) {$\infty$};
+\node[color=blau] at (0,0) {$\operatorname{cn}(u,k)$};
+\end{scope}
+
+\begin{scope}[xshift=10cm]
+\fill[color=gruen!20] (-1,-1) rectangle (1,1);
+\node at (-1,-1) {$1$};
+\node at (1,-1) {$k'$};
+\node at (1,1) {$0$};
+\node at (-1,1) {$\infty$};
+\node[color=gruen] at (0,0) {$\operatorname{dn}(u,k)$};
+\end{scope}
+
+\end{tikzpicture}
+\end{document}
+
diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/images/jacobiplots.pdf b/buch/chapters/110-elliptisch/images/jacobiplots.pdf
index c51e916..d30f670 100644
--- a/buch/chapters/110-elliptisch/images/jacobiplots.pdf
+++ b/buch/chapters/110-elliptisch/images/jacobiplots.pdf
diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/images/kegelpara.pdf b/buch/chapters/110-elliptisch/images/kegelpara.pdf
index c6456ce..65b097f 100644
--- a/buch/chapters/110-elliptisch/images/kegelpara.pdf
+++ b/buch/chapters/110-elliptisch/images/kegelpara.pdf
diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/images/torusschnitt.pdf b/buch/chapters/110-elliptisch/images/torusschnitt.pdf
index b94286a..2eba07e 100644
--- a/buch/chapters/110-elliptisch/images/torusschnitt.pdf
+++ b/buch/chapters/110-elliptisch/images/torusschnitt.pdf
diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/lemniskate.tex b/buch/chapters/110-elliptisch/lemniskate.tex
index a284f75..61476a0 100644
--- a/buch/chapters/110-elliptisch/lemniskate.tex
+++ b/buch/chapters/110-elliptisch/lemniskate.tex
@@ -32,26 +32,26 @@ mit der Gleichung
 \end{equation}
 Sie ist in Abbildung~\ref{buch:elliptisch:fig:lemniskate}
 dargestellt.
-Der Fall $a=1/\sqrt{2}$ ist eine Kurve mit der Gleichung
+Der Fall $a=1/\!\sqrt{2}$ ist eine Kurve mit der Gleichung
 \[
 (x^2+y^2)^2 = x^2-y^2,
 \]
 wir nennen sie die {\em Standard-Lemniskate}.
 
 \subsubsection{Scheitelpunkte}
-Die beiden Scheitel der Lemniskate befinden sich bei $X_s=\pm a\sqrt{2}$.
+Die beiden Scheitel der Lemniskate befinden sich bei $X_s=\pm a\!\sqrt{2}$.
 Dividiert man die Gleichung der Lemniskate durch $X_s^2=4a^4$ entsteht 
 \begin{equation}
 \biggl(
-\biggl(\frac{X}{a\sqrt{2}}\biggr)^2
+\biggl(\frac{X}{a\!\sqrt{2}}\biggr)^2
 +
-\biggl(\frac{Y}{a\sqrt{2}}\biggr)^2
+\biggl(\frac{Y}{a\!\sqrt{2}}\biggr)^2
 \biggr)^2
 =
 2\frac{a^2}{2a^2}\biggl(
-\biggl(\frac{X}{a\sqrt{2}}\biggr)^2
+\biggl(\frac{X}{a\!\sqrt{2}}\biggr)^2
 -
-\biggl(\frac{Y}{a\sqrt{2}}\biggr)^2
+\biggl(\frac{Y}{a\!\sqrt{2}}\biggr)^2
 \biggr).
 \qquad
 \Leftrightarrow
@@ -59,7 +59,7 @@ Dividiert man die Gleichung der Lemniskate durch $X_s^2=4a^4$ entsteht
 (x^2+y^2)^2 = x^2-y^2,
 \label{buch:elliptisch:eqn:lemniskatenormiert}
 \end{equation}
-wobei wir $x=X/a\sqrt{2}$ und $y=Y/a\sqrt{2}$ gesetzt haben.
+wobei wir $x=X/a\!\sqrt{2}$ und $y=Y/a\!\sqrt{2}$ gesetzt haben.
 In dieser Normierung, der Standard-Lemniskaten, liegen die Scheitel
 bei $\pm 1$.
 Dies ist die Skalierung, die für die Definition des lemniskatischen
@@ -104,7 +104,7 @@ die durch die Gleichungen
 \begin{equation}
 X^2-Y^2 = Z^2
 \qquad\text{und}\qquad
-(X^2+Y^2) = R^2 = \sqrt{2}aZ
+(X^2+Y^2) = R^2 = \!\sqrt{2}aZ
 \label{buch:elliptisch:eqn:kegelparabolschnitt}
 \end{equation}
 beschrieben wird.
@@ -254,9 +254,9 @@ Sie ist eine Lemniskaten-Gleichung für $a=2$.
 \subsection{Bogenlänge}
 Die Funktionen
 \begin{equation}
-x(r) = \frac{r}{\sqrt{2}}\sqrt{1+r^2},
+x(r) = \frac{r}{\!\sqrt{2}}\sqrt{1+r^2},
 \quad
-y(r) = \frac{r}{\sqrt{2}}\sqrt{1-r^2}
+y(r) = \frac{r}{\!\sqrt{2}}\sqrt{1-r^2}
 \label{buch:geometrie:eqn:lemniskateparam}
 \end{equation}
 erfüllen
@@ -281,9 +281,9 @@ Kettenregel berechnen kann:
 \begin{align*}
 \dot{x}(r)
 &=
-\frac{\sqrt{1+r^2}}{\sqrt{2}}
+\frac{\!\sqrt{1+r^2}}{\!\sqrt{2}}
 +
-\frac{r^2}{\sqrt{2}\sqrt{1+r^2}}
+\frac{r^2}{\!\sqrt{2}\sqrt{1+r^2}}
 &&\Rightarrow&
 \dot{x}(r)^2
 &=
@@ -291,7 +291,7 @@ Kettenregel berechnen kann:
 \\
 \dot{y}(r)
 &=
-\frac{\sqrt{1-r^2}}{\sqrt{2}}
+\frac{\!\sqrt{1-r^2}}{\!\sqrt{2}}
 -
 \frac{r^2}{\sqrt{2}\sqrt{1-r^2}}
 &&\Rightarrow&
@@ -316,7 +316,7 @@ Durch Einsetzen in das Integral für die Bogenlänge bekommt man
 s(r)
 =
 \int_0^r
-\frac{1}{\sqrt{1-t^4}}\,dt.
+\frac{1}{\!\sqrt{1-t^4}}\,dt.
 \label{buch:elliptisch:eqn:lemniskatebogenlaenge}
 \end{equation}
 
@@ -329,11 +329,11 @@ $k^2=-1$ oder $k=i$ ist
 \[
 K(r,i)
 =
-\int_0^x \frac{dt}{\sqrt{(1-t^2)(1-i^2 t^2)}}
+\int_0^x \frac{dt}{\!\sqrt{(1-t^2)(1-i^2 t^2)}}
 =
-\int_0^x \frac{dt}{\sqrt{(1-t^2)(1-(-1)t^2)}}
+\int_0^x \frac{dt}{\!\sqrt{(1-t^2)(1-(-1)t^2)}}
 =
-\int_0^x \frac{dt}{\sqrt{1-t^4}}
+\int_0^x \frac{dt}{\!\sqrt{1-t^4}}
 =
 s(r).
 \]
@@ -388,23 +388,23 @@ Y(t)
 \operatorname{cn}(t,k) \operatorname{sn}(t,k)
 \end{aligned}
 \quad\right\}
-\qquad\text{mit $k=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}$}
+\qquad\text{mit $k=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}.$}
 \label{buch:elliptisch:lemniskate:bogeneqn}
 \end{equation}
 Abbildung~\ref{buch:elliptisch:lemniskate:bogenpara} zeigt die
 Parametrisierung. 
 Dem Parameterwert $t=0$ entspricht der Scheitelpunkt
-$S=(\sqrt{2},0)$ der Lemniskate.
+$S=(\!\sqrt{2},0)$ der Lemniskate.
 
 %
 % Lemniskatengleichung
 %
 \subsubsection{Verfikation der Lemniskatengleichung}
 Dass \eqref{buch:elliptisch:lemniskate:bogeneqn}
-tatsächlich eine Parametrisierung ist kann nachgewiesen werden dadurch,
+tatsächlich eine Parametrisierung ist, kann dadurch nachgewiesen werden,
 dass man die beiden Seiten der definierenden Gleichung der
 Lemniskate berechnet.
-Zunächst ist
+Zunächst sind die Quadrate von $X(t)$ und $Y(t)$
 \begin{align*}
 X(t)^2
 &=
@@ -414,8 +414,8 @@ X(t)^2
 Y(t)^2
 &=
 \operatorname{cn}(t,k)^2
-\operatorname{sn}(t,k)^2
-\\
+\operatorname{sn}(t,k)^2.
+\intertext{Für Summe und Differenz der Quadrate findet man jetzt}
 X(t)^2+Y(t)^2
 &=
 2\operatorname{cn}(t,k)^2
@@ -447,15 +447,18 @@ X(t)^2-Y(t)^2
 \bigr)
 \\
 &=
-2\operatorname{cn}(t,k)^4
-\\
+2\operatorname{cn}(t,k)^4.
+\intertext{Beide lassen sich also durch $\operatorname{cn}(t,k)^2$
+ausdrücken.
+Zusammengefasst erhält man}
 \Rightarrow\qquad
 (X(t)^2+Y(t)^2)^2
 &=
 4\operatorname{cn}(t,k)^4
 =
-2(X(t)^2-Y(t)^2).
+2(X(t)^2-Y(t)^2),
 \end{align*}
+eine Lemniskaten-Gleichung.
 
 %
 % Berechnung der Bogenlänge
@@ -467,39 +470,26 @@ Dazu berechnen wir die Ableitungen
 \begin{align*}
 \dot{X}(t)
 &=
-\sqrt{2}\operatorname{cn}'(t,k)\operatorname{dn}(t,k)
+\!\sqrt{2}\operatorname{cn}'(t,k)\operatorname{dn}(t,k)
 +
-\sqrt{2}\operatorname{cn}(t,k)\operatorname{dn}'(t,k)
+\!\sqrt{2}\operatorname{cn}(t,k)\operatorname{dn}'(t,k)
 \\
 &=
--\sqrt{2}\operatorname{sn}(t,k)\operatorname{dn}(t,k)^2
+-\!\sqrt{2}\operatorname{sn}(t,k)\operatorname{dn}(t,k)^2
 -\frac12\sqrt{2}\operatorname{sn}(t,k)\operatorname{cn}(t,k)^2
 \\
 &=
--\sqrt{2}\operatorname{sn}(t,k)\bigl(
+-\!\sqrt{2}\operatorname{sn}(t,k)\bigl(
 1-{\textstyle\frac12}\operatorname{sn}(t,k)^2
 +{\textstyle\frac12}-{\textstyle\frac12}\operatorname{sn}(t,k)^2
 \bigr)
 \\
 &=
-\sqrt{2}\operatorname{sn}(t,k)
+\!\sqrt{2}\operatorname{sn}(t,k)
 \bigl(
 {\textstyle \frac32}-\operatorname{sn}(t,k)^2
 \bigr)
 \\
-\dot{X}(t)^2
-&=
-2\operatorname{sn}(t,k)^2
-\bigl(
-{\textstyle \frac32}-\operatorname{sn}(t,k)^2
-\bigr)^2
-\\
-&=
-{\textstyle\frac{9}{2}}\operatorname{sn}(t,k)^2
--
-6\operatorname{sn}(t,k)^4
-+2\operatorname{sn}(t,k)^6
-\\
 \dot{Y}(t)
 &=
 \operatorname{cn}'(t,k)\operatorname{sn}(t,k)
@@ -514,6 +504,19 @@ Dazu berechnen wir die Ableitungen
 \\
 &=
 \operatorname{dn}(t,k)\bigl(1-2\operatorname{sn}(t,k)^2\bigr)
+\intertext{und davon die Quadrate}
+\dot{X}(t)^2
+&=
+2\operatorname{sn}(t,k)^2
+\bigl(
+{\textstyle \frac32}-\operatorname{sn}(t,k)^2
+\bigr)^2
+\\
+&=
+{\textstyle\frac{9}{2}}\operatorname{sn}(t,k)^2
+-
+6\operatorname{sn}(t,k)^4
++2\operatorname{sn}(t,k)^6
 \\
 \dot{Y}(t)^2
 &=
@@ -523,22 +526,22 @@ Dazu berechnen wir die Ableitungen
 &=
 1-{\textstyle\frac{9}{2}}\operatorname{sn}(t,k)^2
 +6\operatorname{sn}(t,k)^4
--2\operatorname{sn}(t,k)^6
-\\
+-2\operatorname{sn}(t,k)^6.
+\intertext{Für das Bogenlängenintegral wird die Quadratsumme der Ableitungen
+benötigt, diese ist}
 \dot{X}(t)^2 + \dot{Y}(t)^2
 &=
 1.
-\end{align*}
-Dies bedeutet, dass die Bogenlänge zwischen den Parameterwerten $0$ und $t$
-\[
+\intertext{Dies bedeutet, dass die Bogenlänge zwischen den
+Parameterwerten $0$ und $t$}
 \int_0^t
 \sqrt{\dot{X}(\tau)^2 + \dot{Y}(\tau)^2}
 \,d\tau
-=
+&=
 \int_0^s\,d\tau
 =
 t,
-\]
+\end{align*}
 der Parameter $t$ ist also ein Bogenlängenparameter.
 
 %
@@ -556,18 +559,18 @@ hat daher eine Bogenlängenparametrisierung mit
 \begin{aligned}
 x(t)
 &=
-\phantom{\frac{1}{\sqrt{2}}}
-\operatorname{cn}(\sqrt{2}t,k)\operatorname{dn}(\sqrt{2}t,k)
+\phantom{\frac{1}{\!\sqrt{2}}}
+\operatorname{cn}(\!\sqrt{2}t,k)\operatorname{dn}(\!\sqrt{2}t,k)
 \\
 y(t)
 &=
-\frac{1}{\sqrt{2}}
-\operatorname{cn}(\sqrt{2}t,k)\operatorname{sn}(\sqrt{2}t,k)
+\frac{1}{\!\sqrt{2}}
+\operatorname{cn}(\!\sqrt{2}t,k)\operatorname{sn}(\!\sqrt{2}t,k)
 \end{aligned}
 \quad
 \right\}
 \qquad
-\text{mit $\displaystyle k=\frac{1}{\sqrt{2}}$}
+\text{mit $\displaystyle k=\frac{1}{\!\sqrt{2}}.$}
 \label{buch:elliptisch:lemniskate:bogenlaenge}
 \end{equation}
 Der Punkt $t=0$ entspricht dem Scheitelpunkt $S=(1,0)$ der Lemniskate.
@@ -630,21 +633,21 @@ r(t)^2
 =
 x(t)^2 + y(t)^2
 =
-\operatorname{cn}(\sqrt{2}t,k)^2
+\operatorname{cn}(\!\sqrt{2}t,k)^2
 \biggl(
-\operatorname{dn}(\sqrt{2}t,k)^2
+\operatorname{dn}(\!\sqrt{2}t,k)^2
 +
 \frac12
-\operatorname{sn}(\sqrt{2}t,k)^2
+\operatorname{sn}(\!\sqrt{2}t,k)^2
 \biggr)
 =
-\operatorname{cn}(\sqrt{2}t,k)^2.
+\operatorname{cn}(\!\sqrt{2}t,k)^2.
 \]
 Die Wurzel ist
 \[
 r(t)
 =
-\operatorname{cn}(\sqrt{2}t,{\textstyle\frac{1}{\sqrt{2}}})
+\operatorname{cn}(\!\sqrt{2}t,{\textstyle\frac{1}{\!\sqrt{2}}})
 .
 \]
 Der lemniskatische Sinus wurde aber in Abhängigkeit von
@@ -654,7 +657,7 @@ $s=\varpi/2-t$ mittels
 =
 r(s)
 =
-\operatorname{cn}(\sqrt{2}(\varpi/2-s),k)^2
+\operatorname{cn}(\!\sqrt{2}(\varpi/2-s),k)^2
 \]
 definiert.
 Der lemniskatische Kosinus ist definiert als der lemniskatische Sinus
@@ -666,7 +669,7 @@ der komplementären Bogenlänge, also
 =
 \operatorname{sl}(\varpi/2-s)
 =
-\operatorname{cn}(\sqrt{2}s,k)^2.
+\operatorname{cn}(\!\sqrt{2}s,k)^2.
 \]
 Die Funktion $\operatorname{sl}(s)$ und $\operatorname{cl}(s)$ sind
 in Abbildung~\ref{buch:elliptisch:figure:slcl} dargestellt.
@@ -674,4 +677,10 @@ Sie sind beide $2\varpi$-periodisch.
 Die Abbildung zeigt ausserdem die Funktionen $\sin (\pi s/\varpi)$
 und $\cos(\pi s/\varpi)$, die ebenfalls $2\varpi$-periodisch sind.
 
+Die Darstellung des lemniskatischen Sinus und Kosinus durch die
+Jacobische elliptische Funktion $\operatorname{cn}(\!\sqrt{2}s,k)$
+zeigt einmal mehr den Nutzen der Jacobischen elliptischen Funktionen.
+
+
+