3. Ueberarbeitung, done

1 files changed, 26 insertions, 9 deletions

diff --git a/buch/papers/0f1/teil2.tex b/buch/papers/0f1/teil2.tex
index 9b3a586..64f8d83 100644
--- a/buch/papers/0f1/teil2.tex
+++ b/buch/papers/0f1/teil2.tex
@@ -41,37 +41,54 @@ a_0 + \cfrac{b_1}{a_1+\cfrac{b_2}{a_2+\cfrac{b_3}{a_3+\cdots}}},
 in welchem $a_0, a_1,\dots,a_n$ und $b_1,b_2,\dots,b_n$ ganze Zahlen sind.

 

 \subsubsection{Rekursionsbeziehungen und Kettenbrüche}

-Nimmt man nun folgende Gleichung \cite{0f1:wiki-fraction}:

+Will man einen Kettenbruch für das Verhältnis $\frac{f_i(z)}{f_{i-1}(z)}$ finden, braucht man dazu eine Relation der analytischer Funktion $f_i(z)$.

+Nimmt man die Gleichung \cite{0f1:wiki-fraction}:

 \begin{equation*}

 	f_{i-1} - f_i = k_i z f_{i+1},

 \end{equation*}

 wo $f_i$ analytische Funktionen sind und $i > 0$ ist, sowie $k_i$ konstant.

 Ergibt sich folgender Zusammenhang:

 \begin{equation*}

-	\cfrac{f_i}{f_{i-1}} = \cfrac{1}{1+k_iz\cfrac{f_{i+1}}{f_i}}

+	\cfrac{f_i}{f_{i-1}} = \cfrac{1}{1+k_iz\cfrac{f_{i+1}}{f_i}}.

 \end{equation*}

+Geht man einen Schritt weiter und nimmt für $g_i = \frac{f_i}{f_{i-1}}$ an, kommt man zur Formel

+\begin{equation*}

+	g_i = \cfrac{1}{1+k_izg_{i+1}}.

+\end{equation*}

+Setzt man dies nun für $g_1$ in den Bruch ein, ergibt sich folgendes:

+\begin{equation*}

+	g_1 = \cfrac{f_1}{f_0} = \cfrac{1}{1+k_izg_2} = \cfrac{1}{1+\cfrac{k_1z}{1+k_2zg_3}} = \cdots

+\end{equation*}

+Repetiert man dies unendlich, erhält man einen Kettenbruch in der Form:

+\begin{equation}

+	\label{0f1:math:rekursion:eq}

+	\cfrac{f_1}{f_0} = \cfrac{1}{1+\cfrac{k_1z}{1+\cfrac{k_2z}{1+\cfrac{k_3z}{\cdots}}}}.

+\end{equation}

+

 \subsubsection{Rekursion für $\mathstrut_0F_1$}

-Angewendet auf die Funktion $\mathstrut_0F_1$ bedeutet dies:

+Angewendet auf die Potenzreihe

 \begin{equation}

 	\label{0f1:math:potenzreihe:0f1:eq}

 	\mathstrut_0F_1(;c;z) = 1 + \frac{z}{c\cdot1!} + \frac{z^2}{c(c+1)\cdot2!} + \frac{z^3}{c(c+1)(c+2)\cdot3!} + \cdots

 \end{equation}

-Durch Substitution kann bewiesen werden, dass die nachfolgende Formel eine Relation zur obigen Potenzreihe \eqref{0f1:math:potenzreihe:0f1:eq} ist:

+kann durch Substitution bewiesen werden, dass

 \begin{equation*}

-	\mathstrut_0F_1(;c-1;z) - \mathstrut_0F_1(;c;z) = \frac{z}{c(c-1)} \cdot \mathstrut_0F_1(;c+1;z).

+	\mathstrut_0F_1(;c-1;z) - \mathstrut_0F_1(;c;z) = \frac{z}{c(c-1)} \cdot \mathstrut_0F_1(;c+1;z)

 \end{equation*}

+eine Relation dazu ist.

 Wenn man für $f_i$ und $k_i$ folgende Annahme trifft:

 \begin{align*}

-	f_i =& \mathstrut_0F_1(;c+1;z)\\

-	k_i	=& \frac{1}{(c+1)(c+i-1)}

+	f_i =& \mathstrut_0F_1(;c+i;z)\\

+	k_i	=& \frac{1}{(c+i)(c+i-1)}

 \end{align*}

-erhält man:

+und in die Formel \eqref{0f1:math:rekursion:eq} einsetzt, erhält man:

 \begin{equation*}

 	\cfrac{\mathstrut_0F_1(;c+1;z)}{\mathstrut_0F_1(;c;z)} = \cfrac{1}{1+\cfrac{\cfrac{z}{c(c+1)}}{1+\cfrac{\cfrac{z}{(c+1)(c+2)}}{1+\cfrac{\cfrac{z}{(c+2)(c+3)}}{\cdots}}}}.

 \end{equation*}

 

 \subsubsection{Algorithmus}

-Mit weiteren Relationen ergibt sich nach Wolfram Alpha \cite{0f1:wolfram-0f1} folgender Kettenbruch

+Da mit obigen Formeln nur ein Verhältnis zwischen $	\frac{\mathstrut_0F_1(;c+1;z)}{\mathstrut_0F_1(;c;z)}$ berechnet wurde, braucht es weitere Relationen um $\mathstrut_0F_1(;c;z)$ zu erhalten.

+So ergeben ähnliche Relationen nach Wolfram Alpha \cite{0f1:wolfram-0f1} folgender Kettenbruch

 \begin{equation}

 	\label{0f1:math:kettenbruch:0f1:eq}

 	\mathstrut_0F_1(;c;z) = 1 + \cfrac{\cfrac{z}{c}}{1+\cfrac{-\cfrac{z}{2(c+1)}}{1+\cfrac{z}{2(c+1)}+\cfrac{-\cfrac{z}{3(c+2)}}{1+\cfrac{z}{5(c+4)} + \cdots}}},