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authorNao Pross <np@0hm.ch>2022-08-30 22:51:47 +0200
committerNao Pross <np@0hm.ch>2022-08-30 22:51:47 +0200
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index 3c2cb71..37d99dd 100644
--- a/buch/papers/fm/03_bessel.tex
+++ b/buch/papers/fm/03_bessel.tex
@@ -3,30 +3,41 @@
%
% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
%
-\section{FM und Bessel-Funktion
+\section{Frequenzmodulation und Bessel-Funktionen
\label{fm:section:proof}}
\rhead{Herleitung}
Die momentane Trägerkreisfrequenz \(\omega_i\), wie schon in (ref) beschrieben ist, bringt die Ableitung \(\frac{d \varphi(t)}{dt}\) mit sich.
Diese wiederum kann durch \(\beta\sin(\omega_mt)\) ausgedrückt werden, wobei es das modulierende Signal \(m(t)\) ist.
-Somit haben wir unser \(x_c\) welches
+Somit haben wir unser Signal
\[
-\cos(\omega_c t+\beta\sin(\omega_mt))
+x_c(t)
+=
+\cos(\omega_c t+\beta\sin(\omega_mt)),
\]
-ist.
+welches nun als Superposition von harmonischen Schwingungen
+geschrieben werden soll, damit man das Frequenzspektrum ablesen
+kann.
-\subsection{Herleitung}
-Das Ziel ist, unser moduliertes Signal mit der Bessel-Funktion so auszudrücken:
+\begin{satz}
+\label{fm:satz:spektrum}
+Das frequenzmodulierte Signal $x_c(t)$ lässt sich schreiben als
\begin{align}
x_c(t)
=
\cos(\omega_ct+\beta\sin(\omega_mt))
&=
- \sum_{k= -\infty}^\infty J_{k}(\beta) \cos((\omega_c+k\omega_m)t)
+ \sum_{k= -\infty}^\infty J_{k}(\beta) \cos((\omega_c+k\omega_m)t).
\label{fm:eq:proof}
\end{align}
+\end{satz}
+
+\subsection{Herleitung}
+Zum Beweise von Satz~\ref{fm:satz:spektrum} werden zunächst einige
+Hilfsmittel gebraucht, deren Anwendung später die Darstellung
+\eqref{fm:eq:proof} liefert.
\subsubsection{Hilfsmittel}
-Doch dazu brauchen wir die Hilfe der Additionsthoerme
+Wir brauchen die Hilfe der Additionstheoreme
\begin{align}
\cos(A + B)
&=
@@ -43,7 +54,7 @@ Doch dazu brauchen wir die Hilfe der Additionsthoerme
\cos(A-B)-\cos(A+B)
\label{fm:eq:addth3}
\end{align}
-und die drei Bessel-Funktionsindentitäten,
+und die drei Bessel-Funktionsidentitäten,
\begin{align}
\cos(\beta\sin\phi)
&=
@@ -58,7 +69,11 @@ und die drei Bessel-Funktionsindentitäten,
J_{-n}(\beta) &= (-1)^n J_n(\beta)
\label{fm:eq:besselid3}
\end{align}
-welche man im Kapitel \eqref{buch:fourier:eqn:expinphireal}, \eqref{buch:fourier:eqn:expinphiimaginary}, \eqref{buch:fourier:eqn:symetrie} findet.
+welche man im Kapitel~\ref{buch:chapter:fourier}
+als Gleichungen
+\eqref{buch:fourier:eqn:expinphireal},
+\eqref{buch:fourier:eqn:expinphiimaginary},
+und \eqref{buch:fourier:eqn:symetrie} findet.
\subsubsection{Anwenden des Additionstheorem}
Mit dem \eqref{fm:eq:addth1} wird aus dem modulierten Signal
@@ -67,145 +82,250 @@ Mit dem \eqref{fm:eq:addth1} wird aus dem modulierten Signal
=
\cos(\omega_c t + \beta\sin(\omega_mt))
=
- \cos(\omega_c t)\cos(\beta\sin(\omega_m t)) - \sin(\omega_ct)\sin(\beta\sin(\omega_m t)).
+ \underbrace{
+ \cos(\omega_c t)\cos(\beta\sin(\omega_m t))
+ }_{\displaystyle=c(t)}
+ -
+ \underbrace{
+ \sin(\omega_ct)\sin(\beta\sin(\omega_m t))
+ }_{\displaystyle=s(t)}.
\label{fm:eq:start}
\]
-%-----------------------------------------------------------------------------------------------------------
-\subsubsection{Cos-Teil}
-Zu beginn wird der Cos-Teil
-\begin{align*}
+Die beiden Terme auf der rechten Seite werden jetzt unabhängig
+voneinander analysiert.
+
+\subsubsection{Cosinus-Teil}
+Zu Beginn wird der Cosinus-Teil
+\begin{align}
c(t)
&=
\cos(\omega_c t)\cdot\cos(\beta\sin(\omega_mt))
-\end{align*}
-mit hilfe der Besselindentität \eqref{fm:eq:besselid1} zum
-\begin{align*}
- c(t)
+\notag
+\intertext{mit Hilfe der Bessel-Indentität \eqref{fm:eq:besselid1} zum}
&=
- \cos(\omega_c t) \cdot \bigg[ J_0(\beta) + 2\sum_{k=1}^\infty J_{2k}(\beta) \cos( 2k \omega_m t)\, \bigg]
+ \cos(\omega_c t) \cdot \bigg[ J_0(\beta)
+ +
+ 2\sum_{k=1}^\infty J_{2k}(\beta) \cos( 2k \omega_m t)\, \bigg]
+\notag
\\
&=
- J_0(\beta) \cdot \cos(\omega_c t) + \sum_{k=1}^\infty J_{2k}(\beta) \underbrace{2\cos(\omega_c t)\cos(2k\omega_m t)}_{\text{Additionstheorem \eqref{fm:eq:addth2}}}
-\end{align*}
-%intertext{} Funktioniert nicht.
-wobei mit dem Additionstheorem \eqref{fm:eq:addth2} \(A = \omega_c t\) und \(B = 2k\omega_m t \) ersetzt wurden.
-Nun kann die Summe in zwei Summen
-\begin{align*}
- c(t)
+ J_0(\beta) \cdot \cos(\omega_c t)
+ +
+ \sum_{k=1}^\infty J_{2k}(\beta)
+ \underbrace{
+ 2\cos(\omega_c t)\cos(2k\omega_m t)
+ }_{\displaystyle\text{Additionstheorem \eqref{fm:eq:addth2}}},
+\notag
+\intertext{wobei mit dem Additionstheorem \eqref{fm:eq:addth2}
+\(A = \omega_c t\) und \(B = 2k\omega_m t \) ersetzt wurden.
+Nun kann die Summe in zwei Summen }
&=
- J_0(\beta) \cdot \cos(\omega_c t) + \sum_{k=1}^\infty J_{2k}(\beta) \cos((\omega_c - 2k \omega_m) t) \,+\, \cos((\omega_c + 2k \omega_m) t) \}
+ J_0(\beta) \cdot \cos(\omega_c t)
+ +
+ \sum_{k=1}^\infty J_{2k}(\beta) \cos((\omega_c - 2k \omega_m) t)
+ +
+ \cos((\omega_c + 2k \omega_m) t) \}
\\
&=
- \sum_{k=\infty}^{1} J_{2k}(\beta) \underbrace{\cos((\omega_c - 2k \omega_m) t)}
- \,+\,J_0(\beta)\cdot \cos(\omega_c t)
- \,+\, \sum_{k=1}^\infty J_{2k}(\beta)\cos((\omega_c + 2k \omega_m) t)
-\end{align*}
-aufgeteilt werden.
-Wenn bei der ersten Summe noch \(k\) von \(-\infty \to -1\) läuft, wird diese summe zu \(\sum_{k=-1}^{-\infty} J_{-2k}(\beta) {\cos((\omega_c + 2k \omega_m) t)} \)
-Zudem kann die Besselindentität \eqref{fm:eq:besselid3} gebraucht werden. \(n \) wird mit \(2k\) ersetzt, da dies immer gerade ist so gilt: \(J_{-n}(\beta) = J_n(\beta)\)
-Somit bekommt man zwei gleiche Summen
-\begin{align*}
- c(t)
+ \sum_{k=1}^{\infty} J_{2k}(\beta) \cos((\omega_c - 2k \omega_m) t)
+ +
+ J_0(\beta)\cdot \cos(\omega_c t)
+ +
+ \sum_{k=1}^\infty J_{2k}(\beta)\cos((\omega_c + 2k \omega_m) t)
+\notag
+\intertext{aufgeteilt werden.
+Damit man die beiden Summen in eine zusammenfassen kann, müssen
+die Kosinus-Terme in die gleiche Form gebracht werden.
+Dazu kann man $k$ durch $-k$ ersetzen, dann muss in der ersten Summe
+aber von $-1$ bis $-\infty$ summiert werden.
+Ausserdem ist nach Bessel-Indentität \eqref{fm:eq:besselid3}
+für gerade Ordnung der Besselfunktion $J_{-2k}(\beta)=J_{2k}(\beta)$,
+so dass die Summe
+}
&=
- \sum_{k=-\infty}^{-1} J_{2k}(\beta) \cos((\omega_c + 2k \omega_m) t)
- \,+\,J_0(\beta)\cdot \cos(\omega_c t+ 2 \cdot 0 \omega_m)
- \,+\, \sum_{k=1}^\infty J_{2k}(\beta)\cos((\omega_c + 2k \omega_m) t)
-\end{align*}
-Diese können wir vereinfachter schreiben,
-\begin{align*}
- \sum_{n\, \text{gerade}} J_{n}(\beta) \cos((\omega_c + n \omega_m) t),
+ \sum_{k=-\infty}^{-1}
+ J_{2k}(\beta)
+ \cos\bigl((\omega_c + 2k \omega_m) t\bigr)
+ +
+ J_0(\beta)\cdot \cos\bigl((\omega_c + 0\omega_m) t\bigr)
+ +
+ \sum_{k=1}^\infty
+ J_{2k}(\beta)
+ \cos\bigl((\omega_c + 2k \omega_m) t\bigr)
+\notag
+\\
+ &=
+ \sum_{k=-\infty}^\infty
+ J_{2k}(\beta)
+ \bigl(\cos(\omega_c + 2k\omega_m)t\bigr).
+\notag
+\intertext{Dies kann vereinfacht als}
+ &=
+ \sum_{\text{$n$ gerade}}
+ J_{n}(\beta)
+ \cos\bigl((\omega_c + n \omega_m) t\bigr)
\label{fm:eq:gerade}
-\end{align*}
-da \(2k\) für alle negativen, wie positiven geraden Zahlen zählt.
-%----------------------------------------------------------------------------------------------------------------
-\subsubsection{Sin-Teil}
-Nun zum zweiten Teil des Term \eqref{fm:eq:start}, den Sin-Teil
-\begin{align*}
+\end{align}
+geschrieben werden.
+
+\subsubsection{Sinus-Teil}
+Nun zum zweiten Teil der Summe \eqref{fm:eq:start}, den Sinus-Teil
+\begin{align}
s(t)
&=
- -\sin(\omega_c t)\cdot\sin(\beta\sin(\omega_m t)).
-\end{align*}
-Dieser wird mit der \eqref{fm:eq:besselid2} Besselindentität zu
-\begin{align*}
- s(t)
+ -\sin(\omega_c t)\cdot\sin\bigl(\beta\sin(\omega_m t)\bigr).
+\notag
+\intertext{Dieser wird mit der \eqref{fm:eq:besselid2} Bessel-Indentität zu}
&=
- -\sin(\omega_c t) \cdot \bigg[ 2 \sum_{k=0}^\infty J_{ 2k + 1}(\beta) \cos(( 2k + 1) \omega_m t) \bigg]
+ -\sin(\omega_c t) \cdot \bigg[
+ 2 \sum_{k=0}^\infty
+ J_{ 2k + 1}(\beta)
+ \cos\bigl(( 2k + 1) \omega_m t\bigr)
+ \bigg]
\\
&=
- \sum_{k=0}^\infty -1 \cdot J_{2k+1}(\beta) 2\sin(\omega_c t)\cos((2k+1)\omega_m t).
-\end{align*}
-Da \(2k + 1\) alle ungeraden positiven Ganzzahlen entspricht wird es durch \(n\) ersetzt.
-Wird die Besselindentität \eqref{fm:eq:besselid3} gebraucht, so ersetzten wird \(J_{-n}(\beta) = -1\cdot J_n(\beta)\) ersetzt:
-\begin{align*}
- s(t)
+ \sum_{k=0}^\infty
+ -1 \cdot J_{2k+1}(\beta)
+ 2\sin(\omega_c t)
+ \cos\bigl((2k+1)\omega_m t\bigr).
+\notag
+\intertext{\(2k + 1\) durchläuft alle ungeraden positiven Ganzzahlen.
+Nach der Bessel-Identität \eqref{fm:eq:besselid3} ist
+\(J_{-(2k+1)}(\beta) = -1\cdot J_{2k+1}(\beta)\).
+Damit kann die Summe schreiben als eine Summe über die ungeraden Zahlen $n$:
+}
&=
- \sum_{n=0}^\infty J_{-n}(\beta) \underbrace{2\sin(\omega_c t)\cos(n \omega_m t)}_{\text{Additionstheorem \eqref{fm:eq:addth3}}}.
-\end{align*}
-Auch hier wird ein Additionstheorem \eqref{fm:eq:addth3} gebraucht, dabei ist \(A = \omega_c t\) und \(B = n \omega_m t \),
-somit wird daraus:
-\begin{align*}
- s(t)
+ \sum_{\text{$n>0$ ungerade}}^\infty
+ J_{-n}(\beta)
+ \underbrace{
+ 2\sin(\omega_c t)\cos(n \omega_m t)
+ }_{\displaystyle\text{Additionstheorem \eqref{fm:eq:addth3}}}.
+\notag
+\intertext{Auch hier wird ein Additionstheorem \eqref{fm:eq:addth3}
+gebraucht, dabei ist \(A = \omega_c t\) und \(B = n \omega_m t \),
+und es entsteht:}
&=
- \sum_{n=0}^\infty J_{-n}(\beta) \{ \underbrace{\cos((\omega_c - n\omega_m) t)} \,-\, \cos((\omega_c + n\omega_m) t) \}
- \\
+ \sum_{\text{$n>0$ ungerade}}
+ J_{-n}(\beta)
+ \{
+ \cos\bigl((\omega_c - n\omega_m) t\bigr)
+ -
+ \cos\bigl((\omega_c + n\omega_m) t\bigr)
+ \}.
+\notag
+\intertext{Wieder ersetzen wir $n$ durch $-n$ in der ersten Summe,
+um die gleichen Kosinus-Terme zu erhalten:}
&=
- \sum_{n=- \infty}^{0} J_{n}(\beta) \overbrace{\cos((\omega_c + n \omega_m) t)}
- \,-\, \sum_{n=0}^\infty J_{-n}(\beta) \cos((\omega_c + n\omega_m) t)
-\end{align*}
-Auch hier wurde wieder eine zweite Summe \(\sum_{-\infty}^{-1}\) gebraucht um das Minus zu einem Plus zu wandeln.
-Wenn \(n = 0 \) ist der Minuend gleich dem Subtrahend und somit dieser Teil \(=0\), das bedeutet \(n\) ended bei \(-1\) und started bei \(1\).
-\begin{align*}
- s(t)
+ \sum_{\text{$n<0$ ungerade}}
+ J_{n}(\beta)
+ \cos\bigl((\omega_c + n \omega_m) t\bigr)
+ -
+ \sum_{\text{$n>0$ ungerade}}
+ J_{-n}(\beta)
+ \cos\bigl((\omega_c + n\omega_m) t\bigr)
+\notag
+\\
&=
- \sum_{n=- \infty}^{-1} J_{n}(\beta) \cos((\omega_c + n \omega_m) t)
- \underbrace{\,-\, \sum_{n=1}^\infty J_{-n}(\beta)} \cos((\omega_c + n\omega_m) t)
-\end{align*}
-Um aus diesem Subtrahend eine Addition zu kreiernen, wird die Besselindentität \eqref{fm:eq:besselid3} gebraucht,
-jedoch so \(-1 \cdot J_{-n}(\beta) = J_n(\beta)\) und daraus wird dann:
-\begin{align*}
- s(t)
+ \sum_{\text{$n<0$ ungerade}}
+ J_{n}(\beta)
+ \cos\bigl((\omega_c + n \omega_m) t\bigr)
+ +
+ \sum_{\text{$n>0$ ungerade}}
+ J_{n}(\beta)
+ \cos\bigl((\omega_c + n\omega_m) t\bigr)
+\notag
+\intertext{
+In der zweiten Gleichung haben wir wieder die
+Bessel-Identität $J_{-n}(\beta)=-J_{n}(\beta)$
+verwendet, die für $n$ ungerade gilt.
+Jetzt kann man die beiden Summen wieder zusammenfassen in
+eine einzige, die über alle positiven und negativen ungeraden
+Zahl läuft:}
&=
- \sum_{n=- \infty}^{-1} J_{n}(\beta) \cos((\omega_c + n \omega_m) t)
- \,+\, \sum_{n=1}^\infty J_{n}(\beta) \cos((\omega_c + n\omega_m) t)
-\end{align*}
-Da \(n\) immer ungerade ist und \(0\) nicht zu den ungeraden Zahlen zählt, kann man dies so vereinfacht
-\[
- s(t)
- =
- \sum_{n\, \text{ungerade}} J_{n}(\beta) \cos((\omega_c + n\omega_m) t).
- \label{fm:eq:ungerade}
-\]
-, mit allen positiven und negativen Ganzzahlen schreiben.
-%------------------------------------------------------------------------------------------
+ \sum_{\text{$n$ ungerade}}
+ J_{n}(\beta)
+ \cos\bigl((\omega_c + n \omega_m) t\bigr).
+\label{fm:eq:ungerade}
+\end{align}
+
\subsubsection{Summe Zusammenführen}
-Beide Teile \eqref{fm:eq:gerade} Gerade
-\[
- \sum_{n\, \text{gerade}} J_{n}(\beta) \cos((\omega_c + n\omega_m) t)
-\]
-und \eqref{fm:eq:ungerade} Ungerade
+Beide Teile \eqref{fm:eq:gerade} für die geraden Terme
+\begin{align*}
+c(t)
+&=
+ \sum_{n\, \text{gerade}}
+ J_{n}(\beta)
+ \cos\bigl((\omega_c + n\omega_m) t\bigr)
+\intertext{und \eqref{fm:eq:ungerade} für die ungeraden Terme }
+s(t)
+&=
+ \sum_{n\, \text{ungerade}}
+ J_{n}(\beta)
+ \cos\bigl((\omega_c + n\omega_m) t\bigr)
+\intertext{ergeben zusammen}
+x_c(t)
+&=c(t)+s(t)
+\\
+&=
+ \cos\bigl(\omega_ct+\beta\sin(\omega_mt)\bigr)
+ =
+ \sum_{k= -\infty}^\infty
+ J_{n}(\beta)
+ \cos\bigl((\omega_c+ n\omega_m)t\bigr).
+\end{align*}
+Somit ist \eqref{fm:eq:proof} bewiesen.
+
+\subsection{Bessel und Frequenzspektrum}
+Unser FM-signal Fourientransformiert \eqref{fm:FM:fourie} wird zusammengestzt aus den einzelen Reihenteilen mit der gewichtung der Besselfunktion.
+
+
+Nochmals zur erinnerung sah unser Träger Signal anfangs so aus:
+\(x_c(t) = A_c \cdot \cos(\omega_c(t)+\varphi)\), dabei modulierten wir den parameter \( \varphi = \beta\sin(\omega_mt) \).
+Davon sahen wir das sich ursprünglich unser Signal\(m_{FM}(t) = \cos(\omega_m t)\) war.
+Wie das Beat zusammenhängt sieht man im Abschnitt ( ref).
+Wird es weiter transformiert zur Summe, so erhält man ein
\[
- \sum_{n\, \text{ungerade}} J_{n}(\beta) \cos((\omega_c + n\omega_m) t)
+ x_{FM} =
+ \sum_{k= -\infty}^\infty J_{n}(\beta) \cos((\omega_c+ n\omega_m)t).
\]
-ergeben zusammen
+Diese Summe nun Fourier Transformiert ergibt
\[
- \cos(\omega_ct+\beta\sin(\omega_mt))
- =
- \sum_{k= -\infty}^\infty J_{n}(\beta) \cos((\omega_c+ n\omega_m)t).
+ x_{FM} =
+ \sum_{k= -\infty}^\infty J_{n}(\beta) \cdot \frac{1}{2} \biggl( e^{j(\omega_c+ n\omega_m)t}\;+\; e^{-j(\omega_c+ n\omega_m)t}\biggr).
\]
-Somit ist \eqref{fm:eq:proof} bewiesen.
-\newpage
-%-----------------------------------------------------------------------------------------
-\subsection{Bessel und Frequenzspektrum}
-Um sich das ganze noch einwenig Bildlicher vorzustellenhier einmal die Bessel-Funktion \(J_{k}(\beta)\) in geplottet.
+Dies ergibt wiederum zwei dirac impulse im Frequenzbereich, aber pro Summand mit der Gewichtung der Besselfunktion indices und deren \(\beta\).
+Gegeneüber \textit{AM} hat sich \textit{FM} zu einer Summe mit gewichtungen der Besselfunktion verändert.
+Überall wo die Besselfunktion gegn 0 tendiert können wir diese Summand vernachlässigen.
+Um dies zu sehn plotten wir einmal \(J_{n}(\beta)\):
\begin{figure}
\centering
\input{papers/fm/Python animation/bessel.pgf}
- \caption{Bessle Funktion \(J_{k}(\beta)\)}
+ \caption{Bessle Funktion \(J_{n}(\beta)\)}
+ \label{fig:bessel}
+\end{figure}
+Hier sieht man gut das für kleine \( \beta \lessgtr \) nur die ersten Summanden \( n\) zuständig sind.
+So kann man mit dem \(\beta\) gut bestimmen bis wo die Summe berchnet werden soll.
+
+Für ein Beispiel nehmen wir \(\beta = ... \omega_m = ... \)
+Dann sieht unser \(x_{FM}\) so aus:
+\begin{figure}
+ \centering
+
+ \caption{Beispiel eines FM Übertragenen Signal}
\label{fig:bessel}
\end{figure}
-TODO Grafik einfügen,
-\newline
-Nun einmal das Modulierte FM signal im Frequenzspektrum mit den einzelen Summen dargestellt
+Nun verändern wir die drei Parameter \(\beta \omega_c \omega_m \) und sehen was sich verändern wird
+\subsubsection{Beta}
+Da \(\beta\) in keiner abhängigkeit zo den anderen parameter steht, und jegliglich die anzahl der nötigen Summanden bestimmt.
+So wird es auch diese Anzahl bestimmen was man hier sehen kann.
+\subsubsection{omega c}
+Dieser ist unser Trägerfrequenz auf die unser Signal aufmoduliert wurde, diese bestimmt die Frequenz in welchem sich das signal befindet
+\subsubsection{omega m}
+Dieser parametr hat unsere bandbreite auf welchem unser Moduliertes Signal \(x_{AM}\) befindet bestimmt, auch im FM wird es wieder die Bandbreite bestimmen, was wir hier sehen.
+
+Nun einmal das Modulierte FM signal mit dem \(\beta = \omega_m = \) berechnet:
+
+
TODO
Hier wird beschrieben wie die Bessel Funktion der FM im Frequenzspektrum hilft, wieso diese gebrauch wird und ihre Vorteile.
@@ -214,6 +334,7 @@ Hier wird beschrieben wie die Bessel Funktion der FM im Frequenzspektrum hilft,
\item Im Frequenzspektrum darstellen mit Farben, ersichtlich machen.
\item Parameter tuing der Trägerfrequenz, Modulierende frequenz und Beta.
\end{itemize}
+\newpage
%\subsection{De finibus bonorum et malorum