Merge branch 'AndreasFMueller:master' into master

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@@ -3,8 +3,8 @@
 %
 % (c) 2020 Hochschule Rapperswil
 %
-\chapter{Schwingungen einer kreisförmligen Membran\label{chapter:kreismembran}}
-\lhead{Schwingungen einer kreisförmligen Membran}
+\chapter{Schwingungen einer kreisförmigen Membran\label{chapter:kreismembran}}
+\lhead{Schwingungen einer kreisförmigen Membran}
 \begin{refsection}
 \chapterauthor{Andrea Mozzini Vellen und Tim Tönz}
 
@@ -12,6 +12,7 @@
 \input{papers/kreismembran/teil1.tex}
 \input{papers/kreismembran/teil2.tex}
 \input{papers/kreismembran/teil3.tex}
+\input{papers/kreismembran/teil4.tex}
 
 \printbibliography[heading=subbibliography]
 \end{refsection}
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index 0b6a683..3d9d0c1 100644
--- a/buch/papers/kreismembran/references.bib
+++ b/buch/papers/kreismembran/references.bib
@@ -4,6 +4,25 @@
 % (c) 2020 Autor, Hochschule Rapperswil
 %
 
+@online{kreismembran:Duden:Membran,
+	title = {Duden:Membran},
+	url = {https://www.duden.de/rechtschreibung/Membran},
+	date = {2022-07-20},
+	year = {2022},
+	month = {7},
+	day = {20}
+}
+
+@online{kreismembran:wellengleichung_herleitung,
+	title = {Derivation of the 2D Wave Equation},
+	author = {Dr. Christopher Lum},	
+	url = {https://www.youtube.com/watch?v=KAS7JBztw8E&t=0s},
+	date = {2022-07-20},
+	year = {2022},
+	month = {7},
+	day = {20}
+}
+
 @online{kreismembran:bibtex,
 	title = {BibTeX},
 	url = {https://de.wikipedia.org/wiki/BibTeX},
@@ -24,7 +43,7 @@
 }
 
 @article{kreismembran:mendezmueller,
-        author = { Tabea Méndez and Andreas Müller },
+        author = { Tabea Méndez and Andreas Müller },
         title = { Noncommutative harmonic analysis and image registration },
         journal = { Appl. Comput. Harmon. Anal.},
         year = 2019,
@@ -33,3 +52,41 @@
         url = {https://doi.org/10.1016/j.acha.2017.11.004}
 }
 
+@book{kreismembran:Digital_Image_processing,
+	edition = {Fourth Edition},
+	title = {Digital Image Processing},
+	publisher = {Pearson},
+	author = {Rafael C. Gozales and Richard E. Woods},
+	date = {2018},
+}
+
+@book{lokenath_debnath_integral_2015,
+	edition = {Third Edition},
+	title = {Integral Tansforms and Their Applications},
+	publisher = {{CRC} Press},
+	author = {{Lokenath Debnath} and Dambaru Bhatta},
+	date = {2015},
+}
+
+@thesis{nishanth_p_vibrations_2018,
+	title = {Vibrations of a Circular Membrane - Some Undergraduadte Exercises},
+	type = {phdthesis},
+	author = {{Nishanth P.} and {Udayanandan K. M.}},
+	date = {2018},
+}
+
+@thesis{prof_dr_horst_knorrer_kreisformige_2013,
+	title = {Kreisförmige Membranen},
+	institution = {{ETHZ}},
+	type = {phdthesis},
+	author = {{Prof. Dr. Horst Knörrer}},
+	date = {2013},
+}
+
+@thesis{kreismembran:membrane_vs_thin_plate,
+	title = {Modeling and Control of SPIDER Satellite Components},
+	institution = {{faculty of the Virginia Polytechnic Institute and State University}},
+	type = {Dissertation},
+	author = {{Eric John Ruggiero Doctor of Philosophy In Mechanical Engineering}},
+	date = {2005},
+}
\ No newline at end of file
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index 1552259..c6dac06 100644
--- a/buch/papers/kreismembran/teil0.tex
+++ b/buch/papers/kreismembran/teil0.tex
@@ -4,7 +4,91 @@
 % (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
 %
 \section{Einleitung\label{kreismembran:section:teil0}}
-\rhead{Einleitung}
+\rhead{Membran}
+Eine Membran oder selten ein Schwingblatt ist laut Duden \cite{kreismembran:Duden:Membran} ein ``dünnes Blättchen aus Metall, Papier o. Ä., das durch seine Schwingungsfähigkeit geeignet ist, Schallwellen zu übertragen \dots''. 
+Ein dünnes Blättchen aus Metall zeig jedoch nicht die selben dynamischen Eigenschaften wie ein gespanntes Stück Papier. 
+Beschreibt man das dynamische Verhalten, muss zwischen einer dünnen Platte und einer Membrane unterschieden werden \cite{kreismembran:membrane_vs_thin_plate}. 
+Eine dünne Platte zum Beispiel aus Metall, wirkt selbst entgegen ihrer Deformation sobald sie gekrümmt wird. 
+Eine Membran auf der anderen Seite besteht aus einem Material, welches sich ohne Kraftaufwand verbiegen lässt wie zum Beispiel Papier. 
+Bevor Papier als schwingende Membran betrachtet werden kann, wird jedoch noch eine Spannung $ T $ benötigt, welche das Material daran hindert, aus der Ruhelage gebracht zu werden. 
 
+Ein geläufiges Beispiel einer Kreismembran ist eine runde Trommel. 
+Sie besteht herkömmlicherweise aus einem Leder (Fell), welches auf einen offenen Zylinder (Zargen) aufgespannt wird. 
+Das Leder alleine erzeugt nach einem Aufschlag keine hörbaren Schwingungen. 
+Sobald das Fell jedoch über den Zargen gespannt wird, kann das Fell auf verschiedensten Weisen weiter schwingen, was für den Klang der Trommel verantwortlich ist. 
+Wie genau diese Schwingungen untersucht werden können, wird in der folgenden Arbeit diskutiert.
+	
 
+\subsection{Annahmen} \label{kreimembran:annahmen}
+Um die Wellengleichung herzuleiten \cite{kreismembran:wellengleichung_herleitung}, muss ein Modell einer Membran definiert werden. 
+Das untersuchte Modell erfüllt folgende Eigenschaften:
+\begin{enumerate}[i)]
+	\item Die Membran ist homogen. 
+	Dies bedeutet, dass die Membran über die ganze Fläche die selbe Dichte $ \rho $  und Elastizität hat. 
+	Durch die konstante Elastizität ist die ganze Membran unter gleichmässiger Spannung $ T $.
+	\item Die Membran ist perfekt flexibel. 
+	Damit ist gemeint, dass die Membran ohne Kraftaufwand verbogen werden kann. 
+	Die Membran ist dadurch nicht allein stehend schwingfähig, hierzu muss sie gespannt werden mit einer Kraft $ T $.
+	\item Die Membran kann sich nur in Richtung ihrer Normalen in kleinem Ausmass auslenken.
+	Auslenkungen in der Ebene der Membran sind nicht möglich.
+	\item Die Membran erfährt keine Art von Dämpfung. 
+	Die Membran wird also nicht durch ihr umliegendes Medium abgebremst noch erfährt sie Wärmeverluste durch Deformation.
+	
+\end{enumerate}
 
+\subsection{Wellengleichung} Um die Wellengleichung einer Membran herzuleiten, wird vorerst eine schwingende Saite betrachtet.
+Es lohnt sich, das Verhalten einer Saite zu beschreiben, da eine Saite dasselbe Verhalten wie eine Membran aufweist, mit dem Unterschied einer fehlenden Dimension.
+Die Verbindung zwischen Membran und Saite ist intuitiv ersichtlich, stellt man sich einen Querschnitt einer Trommel vor.
+\begin{figure}
+	
+	\begin{center}		
+		\includegraphics[width=5cm,angle=-90]{papers/kreismembran/images/Saite.pdf}
+		\caption{Infinitesimales Stück einer Saite}
+		\label{kreismembran:im:Saite}
+	\end{center}	
+\end{figure}
+
+In Abbildung \ref{kreismembran:im:Saite} ist ein infinitesimales Stück einer Saite mit Länge $ dx $ skizziert.
+Wie für die Membran ist die Annahme iii) gültig, es entsteht keine Bewegung entlang der $ x $-Achse.
+Um dies zu erfüllen, muss der Punkt $ P_1 $ gleich stark entgegen der $ x $-Achse gezogen werden wie der Punkt $ P_2 $ in Richtung der $ x $-Achse gezogen wird. 
+Ist $ T_1 $ die Kraft, welche mit Winkel $ \alpha $ auf Punkt $ P_1 $ wirkt sowie $ T_2 $ und $ \beta$ das analoge für Punkt $ P_2 $ ist, so können die Kräfte 
+\begin{equation}\label{kreismembran:eq:no_translation}
+	T_1 \cos \alpha = T_2 \cos \beta = T
+\end{equation}
+gleichgesetzt werden. 
+Das dynamische Verhalten der senkrechten Auslenkung $ u(x,t) $ muss das newtonsche Gesetz 
+\begin{equation*}
+	\sum F = m \cdot a
+\end{equation*} 
+befolgen. Die senkrecht wirkenden Kräfte werden mit $ T_1 $ und $ T_2 $ ausgedrückt, die Masse als Funktion der Dichte $ \rho $ und die Beschleunigung in Form der zweiten Ableitung als
+\begin{equation*}
+	T_2 \sin \beta - T_1 \sin \alpha = \rho dx \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} .
+\end{equation*}
+Die Gleichung wird durch $ T $ dividiert, wobei $ T $ nach \ref{kreismembran:eq:no_translation} geschickt gewählt wird. Somit kann
+\begin{equation*}
+	\frac{T_2 \sin \beta}{T_2 \cos \beta} - \frac{T_1 \sin \alpha}{T_1 \cos \alpha} = \frac{\rho dx}{T} \frac{\partial^2 u}{\partial t^2}
+\end{equation*}
+vereinfacht als  
+\begin{equation*}
+	\tan \beta - \tan \alpha = \frac{\rho dx}{T} \frac{\partial^2 u}{\partial t^2}
+\end{equation*}
+geschrieben werden. 
+Der $ \tan \alpha $ entspricht der örtlichen Ableitung von $ u(x,t) $ an der Stelle $ x_0 $ und analog der $ \tan \beta $ für die Stelle $ x_0 + dx $.
+Die Gleichung wird dadurch zu
+\begin{equation*}
+	\frac{\partial u}{\partial x} \bigg|_{x_0 + dx} - \frac{\partial u}{\partial x} \bigg|_{x_0} = \frac{\rho dx}{T} \frac{\partial^2 u}{\partial t^2}.
+\end{equation*} 
+Durch die Division mit $ dx $ entsteht 
+\begin{equation*}
+	\frac{1}{dx} \left[\frac{\partial u}{\partial x} \bigg|_{x_0 + dx} - \frac{\partial u}{\partial x} \bigg|_{x_0}\right] = \frac{\rho}{T}\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}.
+\end{equation*}
+Auf der linken Seite der Gleichung wird die Differenz der Steigungen durch die Intervalllänge geteilt.
+Wenn $ dx $ als unendlich kleines Stück betrachtet wird, ergibt sich als Grenzwert die zweite Ableitung von $ u(x,t) $ nach $ x $. 
+Der Term $ \frac{\rho}{T} $ wird durch $ c^2 $ ersetzt, da der Bruch für eine gegebene Membran eine positive Konstante sein muss. 
+Damit resultiert die in der Literatur gebräuchliche Form 
+\begin{equation}
+	\label{kreismembran:Ausgang_DGL}
+	\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2u}{\partial t^2} = \Delta u.
+\end{equation}
+In dieser Form ist die Gleichung auch gültig für eine Membran. 
+Für den Fall einer Membran muss lediglich der Laplace-Operator $\Delta$ in zwei Dimensionen gerechnet werden.
\ No newline at end of file
diff --git a/buch/papers/kreismembran/teil1.tex b/buch/papers/kreismembran/teil1.tex
index aef5b79..f6ba7d1 100644
--- a/buch/papers/kreismembran/teil1.tex
+++ b/buch/papers/kreismembran/teil1.tex
@@ -7,13 +7,14 @@
 \section{Lösungsmethode 1: Separationsmethode 
 	\label{kreismembran:section:teil1}}
 \rhead{Lösungsmethode 1: Separationsmethode}
-An diesem Punkt bleibt also nur noch die Lösung der partiellen Differentialgleichung. In diesem Kapitel wird sie mit Hilfe der Separationsmetode gelöst.
+An diesem Punkt bleibt also nur noch die Lösung der partiellen Differentialgleichung. In diesem Abschnitt wird sie mit Hilfe der Separationsmethode gelöst.
 
-Wie im vorherigen Kapitel gezeigt, lautet die partielle Differentialgleichung, die die Schwingungen einer Membran beschreibt:
+\subsection{Aufgabestellung\label{sub:aufgabestellung}}
+Wie im vorherigen Abschnitt gezeigt, lautet die partielle Differentialgleichung, die die Schwingungen einer Membran beschreibt:
 \begin{equation*}
-	\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2u}{\partial t^2} = \Delta u
+	\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2u}{\partial t^2} = \Delta u.
 \end{equation*}
-Da es sich um eine Kreisscheibe handelt, werden Polarkoordinaten verwendet, so dass sich der Laplaceoperator ergibt:
+Da es sich um eine Kreisscheibe handelt, werden Polarkoordinaten verwendet, so dass sich der Laplaceoperator
 \begin{equation*}
 	\Delta
 	=
@@ -22,79 +23,102 @@ Da es sich um eine Kreisscheibe handelt, werden Polarkoordinaten verwendet, so d
 	\frac1r
 	\frac{\partial}{\partial r}
 	+
-	\frac{1}{r 2}
-	\frac{\partial^2}{\partial\varphi^2}.
+	\frac{1}{r^2}
+	\frac{\partial^2}{\partial\varphi^2}
 	\label{buch:pde:kreis:laplace}
 \end{equation*}
+ergibt.
 
-Es wird eine runde elastische Membran berücksichtigt, die den Gebietbereich $\Omega$ abdeckt und am Rand $\Gamma$ befestigt ist.
-Es wird daher davon ausgegangen, dass die Membran aus einem homogenen Material von vernachlässigbarer Dicke gefertigt ist.
-Die Membran kann verformt werden, aber innere elastische Kräfte wirken den Verformungen entgegen. Es wirken keine äusseren Kräfte. Es handelt sich somit von einer kreisförmligen eigespannten homogenen schwingenden Membran.
+Es wird eine runde elastische Membran berücksichtigt, die das Gebiet $\Omega$ abdeckt und am Rand $\Gamma$ befestigt ist.
+Es wirken keine äusseren Kräfte. Es handelt sich somit von einer kreisförmligen eingespannten homogenen schwingenden Membran nach den Annahmen von \ref{kreimembran:annahmen}.
 
 Daher ist die Membranabweichung im Punkt $(r,\varphi)$ $\in$ $\overline{\rm \Omega}$ zum Zeitpunkt $t$:
 \begin{align*}
 	u: \overline{\rm \Omega} \times \mathbb{R}_{\geq 0} &\longrightarrow \mathbb{R}\\
 	(r,\varphi,t) &\longmapsto u(r,\varphi,t)
 \end{align*}
-Da die Membran am Rand befestigt ist, kann es keine Schwingungen geben, so dass die \textit{Dirichlet-Randbedingung} gilt:
-\begin{equation*}
-	u\big|_{\Gamma} = 0
-\end{equation*}
-Um eine eindeutige Lösung bestimmen zu können, werden die folgenden Anfangsbedingungen festgelegt:
+Um die Vergleichbarkeit der beiden nachfolgend vorgestellten Lösungsverfahren in Abschnitt \ref{kreismembran:vergleich} zu vereinfachen, werden keine Randbedingungen vorgegeben.
+
+Um eine eindeutige Lösung bestimmen zu können, werden die folgenden Anfangsbedingungen festgelegt zur Zeit $t = \text{0}$:
 \begin{align*}
 	u(r,\varphi, 0) &= f(r,\varphi)\\
-	\frac{\partial}{\partial t} u(r,\varphi, 0) &= g(r,\varphi)
+	u_t(r,\varphi, 0) &= g(r,\varphi).
 \end{align*}
-Daher muss an dieser Stelle von einer Separation der Variablen ausgegangen werden:
+
+\subsection{Lösung\label{sub:lösung1}}
+Nun wird das in Abschnitt \ref{sub:aufgabestellung} vorgestellte Problem mit Hilfe der Separationsmethode gelöst.
+\subsubsection{Ansatz der Separation der Variablen\label{subsub:ansatz_separation}}
+Hierfür wird folgenden Ansatz gemacht:
 \begin{equation*}
 	u(r,\varphi, t) = F(r)G(\varphi)T(t)
 \end{equation*}
-Dank der Randbedingungen kann also gefordert werden, dass $F(R)=0$ ist, und natürlich, dass $G(\varphi)$ $2\pi$ periodisch ist. Eingesetz in der Differenzialgleichung ergibt:
-\begin{equation*}
-	\frac{1}{c^2}\frac{T''(t)}{T(t)}=\frac{F''(r)}{F(r)}+\frac{1}{r}\frac{F'(r)}{F(r)}+\frac{1}{r^2}\frac{G''(\varphi)}{G(\varphi)}
-\end{equation*}
-Da die linke Seite nur von $t$ und die rechte Seite nur von $r$ und $\varphi$ abhängt, müssen sie gleich einer reellen Zahl sein. Aus physikalischen Grunden suchen wir nach Lösungen, die weder exponentiell in der Zeit wachsen noch exponentiell abklingen. Dies bedeutet, dass die Konstante negativ sein muss, also schreibt man $k=-k^2$. Daraus ergeben sich die folgenden zwei Gleichungen:
-\begin{gather*}
-	T''(t) + c^2\kappa^2T(t) = 0\\
-	r^2\frac{F''(r)}{F(r)} + r \frac{F'(r)}{F(r)} +\kappa^2 r^2 = - \frac{G''(\varphi)}{G(\varphi)}
-\end{gather*}
-In der zweiten Gleichung hängt die linke Seite nur von $r$ ab, während die rechte Seite nur von $\varphi$ abhängt. Sie müssen also wiederum gleich einer reellen Zahl $\nu$ sein. Also das:
-\begin{gather*}
-	r^2F''(r) + rF'(r) + (\kappa^2 r^2 - \nu)F(r) = 0 \\
-	G''(\varphi) = \nu G(\varphi)
-\end{gather*}
-$G$ kann in einer Fourierreihe entwickelt werden, so dass man sieht, dass $\nu$ die Form $n^2$ mit einer positiven ganzen Zahl sein muss, also:
+Dank der Randbedingungen kann gefordert werden, dass $F(R)=0$ ist, und natürlich, dass $G(\varphi)$ $2\pi$ periodisch ist. Eingesetzt in der Differenzialgleichung ergibt sich:
 \begin{equation*}
- G(\varphi) = C_n \cos(\varphi) + D_n \sin(\varphi)
+	\frac{1}{c^2}\frac{T''(t)}{T(t)}=-\kappa^2=\frac{F''(r)}{F(r)}+\frac{1}{r}\frac{F'(r)}{F(r)}+\frac{1}{r^2}\frac{G''(\varphi)}{G(\varphi)}.
 \end{equation*}
-Die Gleichung $F$ hat die Gestalt
+Da die linke Seite nur von $t$ und die rechte Seite nur von $r$ und $\varphi$ abhängt, müssen sie gleich einer reellen Zahl sein. 
+Laut Annahme iv) in \ref{kreimembran:annahmen} erfährt die Membran keine Dämpfung.
+Daher werden Lösungen gesucht, die weder exponentiell in der Zeit wachsen noch exponentiell abklingen. 
+Dies bedeutet, dass die Konstante negativ sein muss, also schreibt man $-\kappa^2$. Daraus ergeben sich die folgenden zwei Gleichungen:
+\begin{align*}
+	T''(t) + c^2\kappa^2T(t) &= 0\\
+	r^2\frac{F''(r)}{F(r)} + r \frac{F'(r)}{F(r)} +\kappa^2 r^2 &= - \frac{G''(\varphi)}{G(\varphi)}.
+\end{align*}
+In der zweiten Gleichung hängt die linke Seite nur von $r$ ab, während die rechte Seite nur von $\varphi$ abhängt. Sie müssen also wiederum gleich einer reellen Zahl $\nu$ sein. Also:
+\begin{align*}
+	r^2F''(r) + rF'(r) + (\kappa^2 r^2 - \nu)F(r) = 0 \quad \text{und} \quad
+	G''(\varphi) = \nu G(\varphi).
+\end{align*}
+
+\subsubsection{Lösung für $G(\varphi)$\label{subsub:lösung_G}}
+Da für die zweite Gleichung Lösungen von Schwingungen erwartet werden, für die $G''(\varphi)=-\omega^2 G(\varphi)$ gilt, schreibt man die gemeinsame Konstante als $\nu=-\omega^2$, was die Formeln später vereinfacht. Also:
 \begin{equation*}
-	r^2F''(r) + rF'(r) + (\kappa^2 r^2 - n^2)F(r) = 0 \quad (*)
+ G(\varphi) = C_n \cos(\nu\varphi) + D_n \sin(\nu\varphi)
+ \label{eq:cos_sin_überlagerung}
 \end{equation*}
-Wir bereits in der Vorlesung von Prof. Müller gezeigt, sind die Besselfunktionen
+
+\subsubsection{Lösung für $F(r)$\label{subsub:lösung_F}}
+Die Gleichung für $F$ hat die Gestalt (Verweis auf \label{buch:differentialgleichungen:bessel-operator}
+\begin{align}
+	r^2F''(r) + rF'(r) + (\kappa^2 r^2 - n^2)F(r) = 0 
+	\label{eq:2nd_degree_PDE}
+\end{align}
+Wie bereits in Kapitel \ref{buch:differntialgleichungen:section:bessel} gezeigt, sind die Bessel-Funktionen
 \begin{equation*}
 	J_{\nu}(x) = r^\nu \displaystyle\sum_{m=0}^{\infty} \frac{(-1)^m x^{2m}}{2^{2m+\nu}m! \Gamma (\nu + m+1)}
 \end{equation*}
-Lösungen der "Besselschen Differenzialgleichung"
-\begin{equation*}
-	x^2 y'' + xy' + (x^2 - \nu^2)y = 0
-\end{equation*}
-Die Funktionen $F(r) = J_n(\kappa r)$ lösen also die Differentialgleichung $(*)$. Die
-Randbedingung $F(R)=0$ impliziert, dass $\kappa R$ eine Nullstelle der Besselfunktion
-$J_n$ sein muss. Man kann zeigen, dass die Besselfunktionen $J_n, n \geq 0$, alle unendlich
-viele Nullstellen
-\begin{equation*}
-	\alpha_{1n} < \alpha_{2n} < ...
-\end{equation*}
-haben, und dass $\underset{\substack{m\to\infty}}{\text{lim}} \alpha_{mn}=\infty$. Somit ergit sich, dass $\kappa = \frac{\alpha_{mn}}{R}$ für ein $m\geq 1$, und dass
+Lösungen der Besselschen Differenzialgleichung
 \begin{equation*}
-	F(r) = J_n (\kappa_{mn}r) \quad mit \quad \kappa_{mn}=\frac{\alpha_{mn}}{R}
+	x^2 y'' + xy' + (\kappa^2 - \nu^2)y = 0
 \end{equation*}
-Die Differenzialgleichung $T''(t) + c^2\kappa^2T(t) = 0$, wird auf ähnliche Weise gelöst wie $G(\varphi)$. Durch Überlagerung aller Ergebnisse erhält man die Lösung
-\begin{equation}
-	u(r, \varphi, t) = \displaystyle\sum_{m=1}^{\infty}\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} J_n (k_{mn}r)\cos(n\varphi)[a_{mn}\cos(c \kappa_{mn} t)+b_{mn}\sin(c \kappa_{mn} t)]
-\end{equation}
-Dabei sind m und n ganze Zahlen, wobei m für die Anzahl der Knotenkreise und n
-für die Anzahl der Knotenlinien steht. Es gibt bestimmte Bereiche auf der Membran, in denen es keine Bewegung oder Vibration gibt. Wenn der nicht schwingende Bereich ein Kreis ist, nennt man ihn einen Knotenkreis, und wenn er eine Linie ist, nennt man ihn ebenfalls eine Knotenlinie. $Jn(\kappa_{mn}r)$ ist die Besselfunktion $n$-ter Ordnung, wobei kmn die Wellenzahl und $r$ der Radius ist. $a_{mn}$ und $b_{mn}$ sind die zu bestimmenden Konstanten.
+Die Funktionen $F(r) = J_n(\kappa r)$ lösen die Differentialgleichung \eqref{eq:2nd_degree_PDE}.
+
+\subsubsection{Lösung für $T(t)$\label{subsub:lösung_T}}
+Die Differenzialgleichung $T''(t) + c^2\kappa^2T(t) = 0$, wird auf ähnliche Weise gelöst wie $G(\varphi)$. 
+
+\subsubsection{Zusammenfassung der Lösungen\label{subsub:zusammenfassung_lösungen}}
+Durch Überlagerung aller Ergebnisse erhält man die Lösung
+\begin{align}
+	u(r, \varphi, t) = \displaystyle\sum_{m=1}^{\infty}\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} J_n (k_{mn}r)[a_{mn}\cos(n\varphi) + b_{mn}\sin(n\varphi)](n\varphi)[c_{mn}\cos(c \kappa_{mn} t)+d_{mn}\sin(c \kappa_{mn} t)]
+	\label{eq:lösung_endliche_generelle}
+\end{align}
+
+Dabei sind $m$ und $n$ ganze Zahlen, wobei $m$ für die Anzahl der Knotenkreise und $n$
+für die Anzahl der Knotenlinien steht. Es gibt bestimmte Bereiche auf der Membran, in denen es keine Bewegung oder Vibration gibt. Wenn der nicht schwingende Bereich ein Kreis ist, nennt man ihn einen Knotenkreis, und wenn er eine Linie ist, nennt man ihn ebenfalls eine Knotenlinie (siehe Abbildung \ref{buch:pde:kreis:fig:pauke}). $J_n(\kappa_{mn}r)$ ist die Besselfunktion $n$-ter Ordnung, wobei $\kappa mn$ die Wellenzahl und $r$ der Radius ist. $a_{mn}$ und $b_{mn}$ sind die zu bestimmenden Konstanten.
+
+\begin{figure}
+	\centering
+	\includegraphics[width=\textwidth]{chapters/090-pde/bessel/pauke.pdf}
+	%\includegraphics{chapters/090-pde/bessel/pauke.pdf}
+	\caption{Vorzeichen der Lösungsfunktionen und Knotenlinien
+		für verschiedene Werte von $\mu$ und $k$.
+		Die Bereiche, in denen die Lösungsfunktion positiv sind, ist 
+		rot dargestellt, die negativen Bereiche blau.
+		In jeder Darstellung gibt es genau $k+\mu$ Knotenlinien.
+		Die Radien der kreisförmigen Knotenlinien müssen aus den Nullstellen
+		der Besselfunktionen berechnet werden.
+		\label{buch:pde:kreis:fig:pauke}}
+\end{figure}
+
 
-An diesem Punkt stellte sich die Frage, ob es möglich wäre, die partielle Differentialgleichung mit einer anderen Methode als der der Trennung der Variablen zu lösen. Nach einer kurzen Recherche und Diskussion mit Prof. Müller wurde festgestellt, dass die beste Methode die Transformationsmethode ist, genauer gesagt die Anwendung der Hankel-Transformation. Im nächsten Kapitel wird daher diese Integraltransformation vorgestellt und entwickelt, und es wird erläutert, warum sie für diese Art von Problem geeignet ist.
+An diesem Punkt stellte sich die Frage, ob es möglich wäre, die partielle Differentialgleichung mit einer anderen Methode als der der Trennung der Variablen zu lösen. Nach einer kurzen Recherche wurde festgestellt, dass eine weitere Methode die Transformationsmethode ist, genauer gesagt die Anwendung der Hankel-Transformation. Im nächsten Kapitel wird daher diese Integraltransformation vorgestellt und entwickelt, und es wird erläutert, warum sie für diese Art von Problem geeignet ist.
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@@ -5,109 +5,103 @@
 \section{Die Hankel Transformation \label{kreismembran:section:teil2}}
 \rhead{Die Hankel Transformation}
 
-Hermann Hankel (1839-1873) war ein deutscher Mathematiker, der für seinen Beitrag zur mathematischen Analyse und insbesondere für seine namensgebende Transformation bekannt ist.
-Diese Transformation tritt bei der Untersuchung von funktionen auf, die nur von der Enternung des Ursprungs abhängen.
-Er studierte auch funktionen, jetzt Hankel- oder Bessel- Funktionen genannt, der dritten Art.
-Die Hankel Transformation mit Bessel Funktionen al Kern taucht natürlich bei achsensymmetrischen Problemen auf, die in Zylindrischen Polarkoordinaten formuliert sind.
-In diesem Kapitel werden die Theorie der Transformation und einige Eigenschaften der Grundoperationen erläutert.
-
-
-Wir führen die Definition der Hankel Transformation aus der zweidimensionalen Fourier Transformation und ihrer Umkehrung ein, die durch:
+Hermann Hankel (1839--1873) war ein deutscher Mathematiker, der für seinen Beitrag zur mathematischen Analysis und insbesondere für die nach ihm benannte Transformation bekannt ist.
+Diese Transformation tritt bei der Untersuchung von Funktionen auf, die nur von der Entfernung des Ursprungs abhängen.
+Er untersuchte auch Funktionen, jetzt Hankel- oder Bessel- Funktionen genannt, der dritten Art.
+Die Hankel-Transformation, die die Bessel-Funktion enthält, taucht natürlich bei achsensymmetrischen Problemen auf, die in zylindrischen Polarkoordinaten formuliert sind.
+In diesem Abschnitt werden die Theorie der Transformation und einige Eigenschaften der Grundoperationen erläutert.
+
+\subsubsection{Definition der Hankel-Transformation \label{subsub:hankel_tansformation}}
+Wir führen die Definition der Hankel-Transformation \cite{lokenath_debnath_integral_2015} aus der zweidimensionalen Fourier-Transformation und ihrer Umkehrung ein, die durch:
 \begin{align}
-	\mathscr{F}\{f(x,y)\} & = F(k,l)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-i( \bm{\kappa}\cdot \mathbf{r})}f(x,y) dx dy,\label{equation:fourier_transform}\\
-	\mathscr{F}^{-1}\{F(x,y)\} & = f(x,y)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}e^{i(\bm{\kappa}\cdot \mathbf{r}))}F(k,l) dx dy \label{equation:inv_fourier_transform}
+	\mathscr{F}\{f(x,y)\} & = F(k,l)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-i( \bm{\kappa}\cdot \mathbf{r})}f(x,y) \; dx \; dy,\label{equation:fourier_transform}\\
+	\mathscr{F}^{-1}\{F(x,y)\} & = f(x,y)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}e^{i(\bm{\kappa}\cdot \mathbf{r})}F(k,l) \; dx \; dy \label{equation:inv_fourier_transform}
 \end{align}
-wo $\mathbf{r}=(x,y)$ und $\bm{\kappa}=(k,l)$. Wie bereits erwähnt, sind Polarkoordinaten für diese Art von Problemen am besten geeignet, also mit, $(x,y)=r(\cos\theta,\sin\theta)$ und $(k,l)=\kappa(\cos\phi,\sin\phi)$, findet man $\bm{\kappa}\cdot\mathbf{r}=\kappa r(\cos(\theta-\phi))$ und danach:
+definiert ist, wobei $\mathbf{r}=(x,y)$ und $\bm{\kappa}=(k,l)$. Polarkoordinaten sind für diese Art von Problem am besten geeignet. Mit $(x,y)=r(\cos\theta,\sin\theta)$ und $(k,l)=\kappa(\cos\phi,\sin\phi)$ findet man $\bm{\kappa}\cdot\mathbf{r}=\kappa r(\cos(\theta-\phi))$ und danach:
 \begin{align}
-	F(k,\phi)=\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{\infty}r dr \int_{0}^{2\pi}e^{-ikr\cos(\theta-\phi)}f(r,\theta) d\phi.
+	F(k,\phi)=\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{\infty}r \; dr \int_{0}^{2\pi}e^{-ikr\cos(\theta-\phi)}f(r,\theta) \; d\phi.
 	\label{equation:F_ohne_variable_wechsel}
 \end{align}
-Dann wird angenommen dass, $f(r,\theta)=e^{in\theta}f(r)$, was keine strenge Einschränkung ist, und es wird eine Änderung der Variabeln vorgenommen $\theta-\phi=\alpha-\frac{\pi}{2}$, um \eqref{equation:F_ohne_variable_wechsel} zu reduzieren:
+Dann wird angenommen, dass $f(r,\theta)=e^{in\theta}f(r)$, was keine strenge Einschränkung ist, weil die \textit{Fourier-Theorie} besagt, dass sich jede Funktion durch Überlagerung solcher Terme darstellen lässt. Es wird auch eine Änderung der Variabeln vorgenommen $\theta-\phi=\alpha-\frac{\pi}{2}$, um \eqref{equation:F_ohne_variable_wechsel} zu reduzieren:
 \begin{align}
-	F(k,\phi)=\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{\infty}rf(r) dr \int_{\phi_{0}}^{2\pi+\phi_{0}}e^{in(\phi-\frac{\pi}{2})+i(n\alpha-kr\sin\alpha)} d\alpha,
+	F(k,\phi)=\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{\infty}rf(r) \; dr \int_{\phi_{0}}^{2\pi+\phi_{0}}e^{in(\phi-\frac{\pi}{2})+i(n\alpha-kr\sin\alpha)} \; d\alpha,
 	\label{equation:F_ohne_bessel}
 \end{align}
 wo $\phi_{0}=(\frac{\pi}{2}-\phi)$.
 
-Unter Verwendung der Integral Darstellung der Besselfunktion vom Ordnung n 
-\begin{align}
-	J_n(\kappa r)=\frac{1}{2\pi}\int_{\phi_{0}}^{2\pi + \phi_{0}}e^{i(n\alpha-\kappa r \sin \alpha)} d\alpha
+Unter Verwendung der Integraldarstellung
+\begin{equation*}
+	J_n(\kappa r)=\frac{1}{2\pi}\int_{\phi_{0}}^{2\pi + \phi_{0}}e^{i(n\alpha-\kappa r \sin \alpha)} \; d\alpha
 	\label{equation:bessel_n_ordnung}
-\end{align}
-\eqref{equation:F_ohne_bessel} wird sie zu:
+\end{equation*}
+ der Bessel-Funktion vom Ordnung $n$ \eqref{buch:fourier:eqn:bessel-integraldarstellung} wird \eqref{equation:F_ohne_bessel} zu:
 \begin{align}
-	F(k,\phi)&=e^{in(\phi-\frac{\pi}{2})}\int_{0}^{\infty}rJ_n(\kappa r) f(r) dr \label{equation:F_mit_bessel_step_1} \\
+	F(k,\phi)&=e^{in(\phi-\frac{\pi}{2})}\int_{0}^{\infty}rJ_n(\kappa r) f(r) \; dr  \nonumber \\ 
 	&=e^{in(\phi-\frac{\pi}{2})}\tilde{f}_n(\kappa),
 	\label{equation:F_mit_bessel_step_2}
 \end{align}
-wo $\tilde{f}_n(\kappa)$ ist die \textit{Hankel Transformation} von $f(r)$ und ist formell definiert durch:
+wo $\tilde{f}_n(\kappa)$ ist die \textit{Hankel-Transformation} von $f(r)$ und ist formell definiert durch:
 \begin{align}
-	\mathscr{H}_n\{f(r)\}=\tilde{f}_n(\kappa)=\int_{0}^{\infty}rJ_n(\kappa r) f(r) dr.
+	\mathscr{H}_n\{f(r)\}=\tilde{f}_n(\kappa)=\int_{0}^{\infty}rJ_n(\kappa r) f(r) \; dr.
 	\label{equation:hankel}
 \end{align}
 
-Ähnlich verhält es sich mit der inversen Fourier Transformation in Form von polaren Koordinaten unter der Annahme $f(r,\theta)=e^{in\theta}f(r)$ mit \eqref{equation:F_mit_bessel_step_2}, wird die inverse Fourier Transformation \eqref{equation:inv_fourier_transform}:
+\subsubsection{Inverse Hankel-Transformation \label{subsub:inverse_hankel_tansformation}}
+Wie bei der Entwicklung der Hankel-Transformation können auch für die Umkehrformel Analogien zur Fourier-Transformation hergestellt werden. Vergleicht man die beiden Transformationen, so stellt man fest, dass sie sehr ähnlich sind, wenn man den Term $J_n(\kappa r)$ der Hankel-Transformation durch $e^{-i( \bm{\kappa}\cdot \mathbf{r})}$ der Fourier-Transformation ersetzt. Diese beide Funktionen sind orthogonal, und bei orthogonalen Matrizen genügt bekanntlich die Transponierung, um sie zu invertieren. Da das Skalarprodukt der Bessel-Funktionen jedoch nicht dasselbe ist wie das der Exponentialfunktionen, muss man durch $\kappa\; d\kappa$ statt nur durch $d\kappa$ integrieren, um die Umkehrfunktion zu erhalten.
 
+Von \eqref{equation:hankel} also ist, die inverse \textit{Hankel-Transformation} so definiert:
 \begin{align}
-	e^{in\theta}f(r)&=\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{\infty}\kappa d\kappa \int_{0}^{2\pi}e^{i\kappa r \cos (\theta - \phi)}F(\kappa,\phi) d\phi\\
-	&= \frac{1}{2\pi}\int_{0}^{\infty}\kappa \tilde{f}_n(\kappa) d\kappa \int_{0}^{2\pi}e^{in(\phi - \frac{\pi}{2})- i\kappa r \cos (\theta - \phi)} d\phi,
-\end{align}
-was durch den Wechsel der Variablen $\theta-\phi=-(\alpha+\frac{\pi}{2})$ und $\theta_0=-(\theta+\frac{\pi}{2})$,
-
-\begin{align}
-	&= \frac{1}{2\pi}\int_{0}^{\infty}\kappa \tilde{f}_n(\kappa) d\kappa \int_{\theta_0}^{2\pi+\theta_0}e^{in(\theta + \alpha - i\kappa r \sin\alpha)} d\alpha \nonumber \\
-	&= e^{in\theta}\int_{0}^{\infty}\kappa J_n(\kappa r) \tilde{f}_n(\kappa) d\kappa,\quad \text{von \eqref{equation:bessel_n_ordnung}}
-\end{align}
-
-Also, die inverse \textit{Hankel Transformation} ist so definiert:
-\begin{align}
-	\mathscr{H}^{-1}_n\{\tilde{f}_n(\kappa)\}=f(r)=\int_{0}^{\infty}\kappa J_n(\kappa r) \tilde{f}_n(\kappa) d\kappa.
+	\mathscr{H}^{-1}_n\{\tilde{f}_n(\kappa)\}=f(r)=\int_{0}^{\infty}\kappa J_n(\kappa r) \tilde{f}_n(\kappa) \; d\kappa.
 	\label{equation:inv_hankel}
 \end{align}
 
-Anstelle von $\tilde{f}_n(\kappa)$, wird häufig für die Hankel Transformation verwendet, indem die Ordnung angegeben wird.
-\eqref{equation:hankel} und \eqref{equation:inv_hankel} Integralen existieren für eine grosse Klasse von Funktionen, die normalerweise in physikalischen Anwendungen benötigt werden.
-Alternativ kann auch die berühmte Hankel Transformationsformel verwendet werden, 
+Anstelle von $\tilde{f}_n(\kappa)$, wird häufig einfach $\tilde{f}(\kappa)$ für die Hankel-Transformation verwendet, indem die Ordnung angegeben wird.
+Die Integrale \eqref{equation:hankel} und \eqref{equation:inv_hankel} existieren für bestimmte grosse Klassen von Funktionen, die normalerweise in physikalischen Anwendungen vorkommen.
 
-\begin{align}
-	f(r) = \int_{0}^{\infty}\kappa J_n(\kappa r) d\kappa \int_{0}^{\infty} p J_n(\kappa p)f(p) dp,
+Alternativ dazu kann die berühmte Hankel-Integralformel 
+
+\begin{align*}
+	f(r) = \int_{0}^{\infty}\kappa J_n(\kappa r) \; d\kappa \int_{0}^{\infty} p J_n(\kappa p)f(p) \; dp,
 	\label{equation:hankel_integral_formula}
-\end{align}
-um die Hankel Transformation \eqref{equation:hankel} und ihre Inverse \eqref{equation:inv_hankel} zu definieren.
-Insbesondere die Hankel Transformation der nullten Ordnung ($n=0$) und der ersten Ordnung ($n=1$) sind häufig nützlich, um Lösungen für Probleme mit der Laplace Gleichung in einer achsensymmetrischen zylindrischen Geometrie zu finden.
+\end{align*}
+verwendet werden, um die Hankel-Transformation \eqref{equation:hankel} und ihre Umkehrung \eqref{equation:inv_hankel} zu definieren.
 
-\subsection{Operative Eigenschaften der Hankel Transformation\label{sub:op_properties_hankel}}
-In diesem Kapitel werden die operativen Eigenschaften der Hankel Transformation aufgeführt. Der Beweis für ihre Gültigkeit wird jedoch nicht analysiert.
+Insbesondere die Hankel-Transformation der nullten Ordnung ($n=0$) und der ersten Ordnung ($n=1$) sind häufig nützlich, um Lösungen für Probleme mit der Laplace Gleichung in einer achsensymmetrischen zylindrischen Geometrie zu finden.
 
-\subsubsection{Theorem 1: Skalierung \label{subsub:skalierung}}
-Wenn $\mathscr{H}_n\{f(r)\}=\tilde{f}_n(\kappa)$, dann:
+\subsection{Operatoreigenschaften der Hankel-Transformation \label{sub:op_properties_hankel}}
+In diesem Kapitel werden die operativen Eigenschaften der Hankel-Transformation aufgeführt. Die Beweise für ihre Gültigkeit werden jedoch nicht analysiert, diese sind im Buch \textit{Integral Tansforms and Their Applications} \cite{lokenath_debnath_integral_2015} zu finden.
 
-\begin{equation*}
-	\mathscr{H}_n\{f(ar)\}=\frac{1}{a^{2}}\tilde{f}_n \left(\frac{\kappa}{a}\right), \quad a>0.
-\end{equation*}
+\begin{satz}{Skalierung:}
+	Wenn $\mathscr{H}_n\{f(r)\}=\tilde{f}_n(\kappa)$, dann gilt:
+	
+	\begin{equation*}
+		\mathscr{H}_n\{f(ar)\}=\frac{1}{a^{2}}\tilde{f}_n \left(\frac{\kappa}{a}\right), \quad a>0.
+	\end{equation*}
+\end{satz}
 
-\subsubsection{Theorem 2: Persevalsche Relation \label{subsub:perseval}}
-Wenn $\tilde{f}(\kappa)=\mathscr{H}_n\{f(r)\}$ und $\tilde{g}(\kappa)=\mathscr{H}_n\{g(r)\}$, dann:
+\begin{satz}{Parsevalsche Relation:}
+Wenn $\tilde{f}(\kappa)=\mathscr{H}_n\{f(r)\}$ und $\tilde{g}(\kappa)=\mathscr{H}_n\{g(r)\}$, dann gilt:
 
 \begin{equation*}
-	\int_{0}^{\infty}rf(r) dr = \int_{0}^{\infty}\kappa\tilde{f}(\kappa)\tilde{g}(\kappa) d\kappa.
+	\int_{0}^{\infty}rf(r)g(r) \; dr = \int_{0}^{\infty}\kappa\tilde{f}(\kappa)\tilde{g}(\kappa) \; d\kappa.
 \end{equation*}
+\end{satz}
 
-\subsubsection{Theorem 3: Hankel Transformationen von Ableitungen \label{subsub:ableitungen}}
-Wenn $\tilde{f}_n(\kappa)=\mathscr{H}_n\{f(r)\}$, dann:
+\begin{satz}{Hankel-Transformationen von Ableitungen:}
+Wenn $\tilde{f}_n(\kappa)=\mathscr{H}_n\{f(r)\}$, dann gilt:
 
 \begin{align*}
 	&\mathscr{H}_n\{f'(r)\}=\frac{\kappa}{2n}\left[(n-1)\tilde{f}_{n+1}(\kappa)-(n+1)\tilde{f}_{n-1}(\kappa)\right], \quad n\geq1, \\
 	&\mathscr{H}_1\{f'(r)\}=-\kappa \tilde{f}_0(\kappa),
 \end{align*}
-bereitgestellt dass $[rf(r)]$ verschwindet als $r\to0$ und $r\to\infty$.
+vorausgesetzt, dass $rf(r)$ verschwindet wenn $r\to0$ und $r\to\infty$.
+\end{satz}
 
-\subsubsection{Theorem 4 \label{subsub:thorem4}}
-Wenn $\mathscr{H}_n\{f(r)\}=\tilde{f}_n(\kappa)$, dann:
+\begin{satz}
+Wenn $\mathscr{H}_n\{f(r)\}=\tilde{f}_n(\kappa)$, dann gilt:
 
 \begin{equation*}
 	\mathscr{H}_n \left\{ \left( \nabla^2 - \frac{n^2}{r^2} f(r)\right)\right\}= \mathscr{H}_n\left\{\frac{1}{r}\frac{d}{dr}\left(r\frac{df}{dr}\right) - \frac{n^2}{r^2}f(r)\right\}=-\kappa^2\tilde{f}_{n}(\kappa),
 \end{equation*}
-bereitgestellt dass $rf'(r)$ und $rf(r)$ verschwinden als $r\to0$ und $r\to\infty$.
-
-
+bereitgestellt, dass $rf'(r)$ und $rf(r)$ verschwinden für $r\to0$ und $r\to\infty$.
+\end{satz}
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@@ -6,28 +6,27 @@
 \section{Lösungsmethode 2: Transformationsmethode
 \label{kreismembran:section:teil3}}
 \rhead{Lösungsmethode 2: Transformationsmethode}
-Die Hankel-Transformation wird dann zur Lösung der Differentialgleichung verwendet. Es müssen jedoch einige Änderungen an dem Problem vorgenommen werden, damit es mit den Annahmen übereinstimmt, die für die Verwendung der Hankel-Transformation erforderlich sind. Das heisst, dass die Funktion u nur von der Entfernung zum Ausgangspunkt abhängt. Wir führen also das Konzept einer unendlichen und achsensymmetrischen Membran ein:
-\begin{equation*}
+Die Hankel-Transformation kann hier zur Lösung der Differentialgleichung verwendet werden. Es müssen jedoch einige Änderungen an dem Problem vorgenommen werden, damit es mit den Annahmen übereinstimmt, die für die Verwendung der Hankel-Transformation erforderlich sind. Das heisst, dass die Funktion $u$ nur von der Entfernung zum Ausgangspunkt abhängt. 
+
+\subsubsection{Transformation und Reduktion auf eine algebraische Gleichung\label{subsub:transf_reduktion}}
+Führt man also das Konzept einer unendlichen und achsensymmetrischen Membran ein:
+\begin{align}
 	\frac{\partial^2u}{\partial t^2}
 	=
 	c^2  \left(\frac{\partial^2 u}{\partial r^2}
 	+
 	\frac{1}{r}
-	\frac{\partial u}{\partial r} \right), \quad 0<r<\infty, \quad t>0
-	\label{eq:PDE_inf_membane}
-\end{equation*}
-
-\begin{align}
-	u(r,0)=f(r), \quad \frac{\partial}{\partial t} u(r,0) = g(r), \quad \text{für} \quad 0<r<\infty
+	\frac{\partial u}{\partial r} \right), \quad 0<r<\infty, \quad t>0   \label{eq:PDE_inf_membane} \\
+		u(r,0)=f(r), \quad u_t(r,0) = g(r), \quad \text{für} \quad 0<r<\infty.
 	\label{eq:PDE_inf_membane_RB}
 \end{align}
 
+
 Mit Anwendung der Hankel-Transformation nullter Ordnung in Abhängigkeit von $r$ auf die Gleichungen \eqref{eq:PDE_inf_membane} und \eqref{eq:PDE_inf_membane_RB}:
 
 \begin{align}
-	\tilde{u}(\kappa,t)=\int_{0}^{\infty}r J_0(\kappa r)u(r,t) dr,
+	\tilde{u}(\kappa,t)=\int_{0}^{\infty}r J_0(\kappa r)u(r,t) \; dr,
 \end{align}
-
 bekommt man:
 
 \begin{equation*}
@@ -36,43 +35,55 @@ bekommt man:
 
 \begin{equation*}
 	\tilde{u}(\kappa,0)=\tilde{f}(\kappa), \quad 
-	\frac{\partial}{\partial t}\tilde{u}(\kappa,0)=\tilde{g}(\kappa).
+	\tilde{u}_t(\kappa,0)=\tilde{g}(\kappa).
 \end{equation*}
-
-Die allgemeine Lösung für diese Transformation lautet, wie schon gesehen, wie folgt
+Die allgemeine Lösung für diese Gleichung lautet, wie in Abschnitt \eqref{eq:cos_sin_überlagerung} gesehen, wie folgt
 
 \begin{equation*}
 	\tilde{u}(\kappa,t)=\tilde{f}(\kappa)\cos(c\kappa t) + \frac{1}{c\kappa}\tilde{g}(\kappa)\sin(c\kappa t).
 \end{equation*}
-
-Wendet man an nun die inverse Hankel-Transformation an, so erhält man die formale Lösung
+Wendet man nun die inverse Hankel-Transformation an, so erhält man die formale Lösung
 
 \begin{align}
-	u(r,t)=\int_{0}^{\infty}\kappa\tilde{f}(\kappa)\cos(c\kappa t) J_0(\kappa r) d\kappa +\frac{1}{c}\int_{0}^{\infty}\tilde{g}(\kappa)\sin(c\kappa t)J_0(\kappa r) d\kappa.
+	u(r,t)=\int_{0}^{\infty}\kappa\tilde{f}(\kappa)\cos(c\kappa t) J_0(\kappa r) \; d\kappa +\frac{1}{c}\int_{0}^{\infty}\tilde{g}(\kappa)\sin(c\kappa t)J_0(\kappa r) \; d\kappa.
 	\label{eq:formale_lösung}
 \end{align}
 
-Es wird daher davon ausgegangen, dass sich die Membran verformt und zum Zeitpunkt $t=0$ freigegeben wird
+\subsubsection{Erfüllung der Anfangsbedingungen\label{subsub:erfüllung_AB}}
+Es wird im Folgenden davon ausgegangen, dass sich die Membran verformt und zum Zeitpunkt $t=0$ freigegeben wird
 
 \begin{equation*}
-	u(r,0)=f(r)=Aa(r^2 + a^2)^{-\frac{1}{2}}, \quad \frac{d}{dt}(r,0)=g(r)=0
+	u(r,0)=f(r)=Aa(r^2 + a^2)^{-\frac{1}{2}}, \quad u_t(r,0)=g(r)=0
 \end{equation*}
-
 so dass $\tilde{g}(\kappa)\equiv 0$ und
-
 \begin{equation*}
-	\tilde{f}(\kappa)=Aa\int_{0}^{\infty}r(a^2 + r^2)^{-\frac{1}{2}} J_0 (\kappa r) dr=\frac{Aa}{\kappa}e^{-a\kappa}
+	\tilde{f}(\kappa)=Aa\int_{0}^{\infty}r(a^2 + r^2)^{-\frac{1}{2}} J_0 (\kappa r) \; dr=\frac{Aa}{\kappa}e^{-a\kappa}.
 \end{equation*}
 
+Aus der Laplace-Transformation und unter Verwendung der Skalierungseigenschaft ergibt sich, dass
+
+\begin{align*}
+	\int_{0}^{\infty}e^{-px} J_0(\kappa x) \; dx = \frac{1}{\sqrt{\kappa^2 + p^2}}.
+\end{align*}	
+
 Die formale Lösung  \eqref{eq:formale_lösung} lautet also
 \begin{align*}
-	u(r,t)&=Aa\int_{0}^{\infty}e^{-a\kappa} J_0(\kappa r)\cos(c\kappa t)dk=AaRe\int_{0}^{\infty}e^{-\kappa(a+ict)} J_0(\kappa r)dk\\
-	&=AaRe\left\{r^2+\left(a+ict\right)^2\right\}^{-\frac{1}{2}}
+	u(r,t)&=Aa\int_{0}^{\infty}e^{-a\kappa} J_0(\kappa r)\cos(c\kappa t) \; dk=AaRe\int_{0}^{\infty}e^{-\kappa(a+ict)} J_0(\kappa r) \; dk\\
+	&=AaRe\left\{r^2+\left(a+ict\right)^2\right\}^{-\frac{1}{2}}.
 \end{align*}
 
+Nimmt man jedoch die allgemeine Lösung durch Überlagerung, 
+
+\begin{align}
+	u(r, t) = \displaystyle\sum_{m=1}^{\infty} J_0 (k_{m}r)[a_{m}\cos(c \kappa_{m} t)+b_{m}\sin(c \kappa_{m} t)]
+	\label{eq:lösung_unendliche_generelle}
+\end{align}
+kann man die Lösungsmethoden 1 und 2 vergleichen.
 
-\subsection{Vergleich der Lösungen
+\subsection{Vergleich der Analytischen Lösungen
 \label{kreismembran:vergleich}}
-Hier kommt noch der Vergleich der Lösungen ;)
+Bei der Analyse der Gleichungen \eqref{eq:lösung_endliche_generelle} und \eqref{eq:lösung_unendliche_generelle} fällt sofort auf, dass die Gleichung \eqref{eq:lösung_unendliche_generelle} nicht mehr von $m$ und $n$ abhängt, sondern nur noch von $n$ \cite{nishanth_p_vibrations_2018}. 
+Das macht Sinn, denn $n$ beschreibt die Anzahl der Knotenlinien, welche unter der Annahme einer rotationssymmetrischen Lösung nicht vorhanden sein können. Tatsächlich werden $a_{m0}$, $b_{m0}$ und $\kappa_{m0}$ in $a_m$, $b_m$ bzw. $\kappa_m$ umbenannt. Die beiden Termen $\cos(n\varphi)$ und $\sin(n\varphi)$ verschwinden ebenfalls, da für $n=0$ der $\cos(n\varphi)$ gleich 1 und der $\sin(n \varphi)$ gleich 0 ist.
+Die Funktion hängt also nicht mehr von der Besselfunktionen $n$-ter Ordnung ab, sondern nur von der nullter Ordnung. 
 
 
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new file mode 100644
index 0000000..01a6029
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/kreismembran/teil4.tex
@@ -0,0 +1,194 @@
+%
+% einleitung.tex -- Beispiel-File für die Einleitung
+%
+% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
+%
+\section{Lösungsmethode 3: Simulation 
+	\label{kreismembran:section:teil4}}
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+Um numerisch das Verhalten einer Membran zu ermitteln, muss eine numerische Darstellung definiert werden.
+Die Membran wird hier in Form der Matrix $  U $ digitalisiert.
+Jedes Element  $ U_{ij} $ steh für die Auslenkung der Membran $ u(x,y,t) $ an der Stelle $ \{x,y\}=\{i,j\} $.
+Zwischen benachbarten Elementen in der Matrix $ U $ liegt immer der Abstand $ dh $, eine Inkrementierung von $ i $ oder $ j $ entspricht somit einem Schritt in Richtung $ x $ oder $ y $ von Länge $ dh $ auf der Membran.
+Die zeitliche Dimension wird in Form des Array $  U[] $ aus $ z \times U $ Matrizen dargestellt, wobei $ z $ der Anzahl Zeitschritten entspricht.
+Das Element auf Zeile $ i $, Spalte $ j $ der $ w $-ten Matrix von $ U[] $ also $ U[w]_{ij} $ entspricht somit der Auslenkung $ u(i,j,w) $.
+Da die DGL von zweiter Ordnung ist, reicht eine Zustandsvariabel pro Membran-Element nicht aus. 
+Es wird neben der Auslenkung auch die Geschwindigkeit jedes Membran-Elementes benötigt um den Zustand eindeutig zu beschreiben. 
+Dazu existiert neben $ U[] $ ein analoger Array $ V[] $ welcher die Geschwindigkeiten aller Membran-Elementen repräsentiert. 
+$ V[w]_{ij} $ entspricht also $ \dot{u}(i,j,w) $. 
+Der Zustand einer Membran zum Zeitpunkt $ w $ wird mit $ X[w] $ beschrieben, was $ U[w] $ und $ V[w] $ beinhaltet.
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+\subsection{Propagation}
+Um das Verhalten der Membran zu berechnen, muss aus einem gegebenen Zustand $ X[w] $ der Folgezustand $ X[w+1] $ gerechnet werden können, wobei dazwischen ein Zeitintervall $ dt $ vergeht. 
+Die Berechnung von Folgezuständen kann anschliessend repetiert werden über das zu untersuchende Zeitfenster.
+Die Folgeposition $ U[w+1] $ ergibt sich als 
+\begin{equation}
+	U[w+1] =  U[w] + dt \cdot V[w],
+\end{equation} 
+also die Ausgangslage $ + $ die Strecke welche während des Zeitintervall mit der Geschwindigkeit des Elementes zurückgelegt wurde. 
+Neben der Position muss auch die Geschwindigkeit aktualisiert werden.
+Analog zur Folgeposition wird
+\begin{equation*}
+	V[w+1] = V[w] + dt \cdot \frac{\partial^2u}{\partial t^2}.
+\end{equation*}    
+Die Beschleunigung $ \frac{\partial^2u}{\partial t^2} $  eines Elementes ist durch die DGL \ref{kreismembran:Ausgang_DGL} gegeben als
+\begin{equation*}
+	\frac{\partial^2u}{\partial t^2} = \Delta u \cdot c^2.
+\end{equation*}
+Die Geschwindigkeit des Folgezustandes kann somit mit
+\begin{equation}
+	V[w+1] = V[w] + dt \cdot \Delta_h U \cdot c^2
+\end{equation}
+berechnet werden.
+Während $ c^2 $ lediglich eine Material spezifische Konstante ist, muss noch erläutert werden, wie der diskrete Laplace-Operator für $ \Delta_h u $ definiert ist.
+
+\subsection{Diskreter Laplace-Operator $\Delta_h$}
+Die diskrete Ableitung zweiter Ordnung kann mit Hilfe der Taylor-Reihen-Entwicklung als
+\begin{equation*}
+	\frac{\partial^2f}{\partial x^2} \approx \frac{f(x+dx)-2f(x)+f(x-dx)}{dx^2}
+\end{equation*}
+approximiert werden \cite{kreismembran:Digital_Image_processing}.
+Dank der Linearität der Ableitung kann die Ableitung einer weiteren Dimension addiert werden.
+Daraus folgt für den zweidimensionalen Fall 
+\begin{equation*}
+	\Delta_h u= \frac{u(x+dh,y,t)+u(x,y+dh,t)-4f(x)+u(x-dh,y,t)+u(x,y-dh,t)}{dh^2}.
+\end{equation*}
+Um $ \Delta_h $ auf eine Matrix anwenden zu können wird die Gleichung in Form einer Filtermaske 
+ \begin{equation}
+ 	\Delta_h u= \frac{1}{dh^2}
+ 	\left[ {\begin{array}{ccc}
+ 			0 & 1  & 0\\
+ 			1 & -4 & 1\\
+ 			0 & 1  & 0\\
+ 	\end{array} } \right]
+ \end{equation}
+formuliert.
+Die Filtermaske kann dann auf jedes Element einzeln angewendet werden mit einer Matrizen-Faltung um $ \Delta_h U[] $ zu berechnen.
+
+\subsection{Simulation: Kreisförmige Membran}
+Als Beispiel soll nun eine schwingende kreisförmige Membran simuliert werden.
+\subsubsection{Initialisierung}
+Die Anzahl der simulierten Elemente soll $ m \times n $ sein, was die Dimensionen von $ U $ und $ V $ vorgibt.
+Als Anfangsbedingung wird eine Membran gewählt, welche bei $ t=0 $ mit einer Gauss-Kurve ausgelenkt wird.
+Die Membran soll sich zu Beginn nicht bewegen, also wird $ V[0] $ mit Nullen initialisiert.
+Die Auslenkung kann kompakt erreicht werden, wenn $ U[0] $ als Null-Matrix mit einer $ 1 $ in der Mitte initialisiert wird. 
+Diese Matrix wird anschliessend mit einer Filtermaske in Form einer Gauss-Glocke gefaltet.
+Die Faltung mit einer Gauss-Glocke ist in Programmen wie Matlab eine Standartfunktion, da dies einem Tiefpassfilter in der Bildverarbeitung entspricht.
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+\subsubsection{Rand}
+Bislang ist die definierte Matrix rechteckig.
+Um eine kreisförmige Membran zu simulieren, muss der Rand angepasst werden.
+Da in den meisten Programme keine Möglichkeit besteht, mit runden Matrizen zu rechnen, wird der Rand in der Berechnung des Folgezustandes implementiert.
+Der Rand bedeutet, dass Membran-Elemente auf dem Rand sich nicht Bewegen können.
+Die Position, sowie die Geschwindigkeit aller Elemente, welche nicht auf der definierten Membran sind, müssen zu beliebiger Zeit $0$ sein.
+Hierzu wird eine Maske $M$ erstellt. 
+Diese Maske besteht aus einer binären Matrix von identischer Dimension wie $ U $ und $ V $. 
+Ist in der Matrix $M$ eine $1$ abgebildet, so ist an jener Stelle ein Element der Membran, ist es eine $0$ so befindet sich dieses Element auf dem Rand oder ausserhalb der Membran.
+In dieser Anwendung ist $M$ eine Matrix mit einem Kreis voller $1$ umgeben von $0$ bis an den Rand der Matrix.
+Die Maske wird angewendet, indem das Resultat des nächsten Zustandes noch mit der Maske elementweise multipliziert wird. 
+Der Folgezustand kann also mit den Gleichungen
+\begin{align}
+	\label{kreismembran:eq:folge_U} 
+	U[w+1] &= (U[w] + dt \cdot V[w])\odot M\\
+	\label{kreismembran:eq:folge_V}
+	V[w+1] &= (V[w] + dt \cdot \Delta_h u \cdot c^2)\odot M
+\end{align}
+berechnet werden.
+\subsubsection{Simulation}
+Mit den gegebenen Gleichungen \ref{kreismembran:eq:folge_U} und \ref{kreismembran:eq:folge_V} das Verhalten der Membran mit einem Loop über das zu untersuchende Zeitintervall berechnet werden. 
+In der Abbildung \ref{kreismembran:im:simres_rund} sind Simulationsresultate zu sehen.
+Die erste Figur zeigt die Ausgangslage gefolgt von den Auslenkungen nach jeweils $ 50 $ weiteren Iterationsschritten.
+Es ist zu erkennen, wie sich die Störung vom Zentrum an den Rand ausbreitet.
+Erreicht die Störung den Rand, wird sie reflektiert und nähert sich dem Zentrum. 
+\begin{figure}
+	
+	\begin{center}
+		
+		\includegraphics[width=0.32\textwidth]{papers/kreismembran/images/sim_1_1.png}
+		\includegraphics[width=0.32\textwidth]{papers/kreismembran/images/sim_1_2.png}
+		\includegraphics[width=0.32\textwidth]{papers/kreismembran/images/sim_1_3.png}
+		\includegraphics[width=0.32\textwidth]{papers/kreismembran/images/sim_1_4.png}
+		\includegraphics[width=0.32\textwidth]{papers/kreismembran/images/sim_1_5.png}
+		\includegraphics[width=0.32\textwidth]{papers/kreismembran/images/sim_1_6.png}
+		\caption{Simulations Resultate einer kreisförmigen Membran. Simuliert mit $ 200 \times 200 $ Elementen, dargestellt sind die Auslenkungen nach jeweils $ 50 $ Iterationsschritten.}
+		\label{kreismembran:im:simres_rund}
+		
+	\end{center}	
+\end{figure} 
+\subsection{Simulation: Unendliche Membran}
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+Um eine unendlich grosse Membran zu simulieren, könnte der unpraktische Weg gewählt werden, die Matrix unendlich gross zu definieren, dies wird jedoch spätestens bei der numerischen Berechnung seine Probleme mit sich bringen.
+Etwas geeigneter ist es, die Matrix so gross wie möglich zu definieren, wie es die Kapazitäten erlauben.
+Wenn anschliessend nur das Verhalten im Zentrum, bei der Störung beobachtet wird, verhaltet sich die Membran wie eine unendliche. 
+Dies aber nur bis die Störung am Rand reflektiert wird und wieder das innere zu beobachtende Zentrum beeinflusst.
+Soll erst gar keine Reflexion entstehen, muss ein Absorber modelliert werden welcher die Störung möglichst ohne Reflexion aufnimmt.
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+\subsubsection{Absorber}
+Sehr knapp formuliert entstehen Reflexionen, wenn eine Welle von einem Material in ein anderes Material mit unterschiedlichen Eigenschaften eindringen möchte.
+Je unterschiedlicher und abrupter der Übergang zwischen den Materialien umso ausgeprägter die Reflexion.
+In diesem Fall sind die Eigenschaften vorgegeben.
+Im Zentrum soll sich die Membran verhalten, wie von der DGL vorgegeben, am Rand jedoch muss sich jedes Membran-Element in der Ausgangslage befinden. 
+Der Spielraum welcher dem Absorber übrig bleibt ist die Art der Überganges.
+Bei der endlichen kreisförmigen Membran hat die Maske $M$ einen binären Übergang von Membran zu Rand bezweckt.
+Anstelle dieses abrupten Wechsels wird nun eine Maske definiert, welche graduell von Membran $1$ zu Rand-Element $0$ wechselt.
+Die Elemente werden auf Basis ihres Abstand $r$ zum Zentrum definiert. 
+Der Abstand entspricht 
+\begin{equation*}
+	r(i,j) = \sqrt{|i-\frac{m}{2}|^2+|j-\frac{n}{2}|^2},
+\end{equation*} 
+wobei $ m $ und $n$ den Dimensionen der Matrix entsprechen.
+Für einen Stufenlosen Übergang werden die Elemente der Maske auf 
+
+\begin{align}
+	M_{ij} = \begin{cases} 1-e^{(r(i,j)-b)a} & \text{wenn $x > b$} \\
+		0 & \text{sonst} \end{cases}
+\end{align}
+gesetzt.
+Der Parameter $a > 0$ bestimmt wie Steil der Übergang sein soll, $b$ bestimmt  wie weit weg vom Zentrum sich der Übergang befindet.
+In der Abbildung \ref{kreismembran:im:masks} ist der Unterschied der beiden Masken zu sehen. 
+\begin{figure}
+	
+	\begin{center}
+		
+		\includegraphics[width=0.45\textwidth]{papers/kreismembran/images/mask_disk.png}
+		\includegraphics[width=0.45\textwidth]{papers/kreismembran/images/mask_absorber.png}
+		\caption{Vergleich von Masken: Links Binär für eine endliche Membran, rechts mit Absorber für eine unendliche Membran}
+		\label{kreismembran:im:masks}
+	\end{center}	
+\end{figure} 
+\subsubsection{Simulation}
+Bis auf die Absorber-Maske kann nun identisch zur endlichen Membran simuliert werden.
+Auch hier wurde eine Gauss-Glocke als Anfangsbedingung gewählt. 
+Die Simulationsresultate von Abbildung \ref{kreismembran:im:simres_unendlich}
+\begin{figure}
+	
+	\begin{center}
+		
+		\includegraphics[width=0.32\textwidth]{papers/kreismembran/images/sim_2_1.png}
+		\includegraphics[width=0.32\textwidth]{papers/kreismembran/images/sim_2_2.png}
+		\includegraphics[width=0.32\textwidth]{papers/kreismembran/images/sim_2_3.png}
+		\includegraphics[width=0.32\textwidth]{papers/kreismembran/images/sim_2_4.png}
+		\includegraphics[width=0.32\textwidth]{papers/kreismembran/images/sim_2_5.png}
+		\includegraphics[width=0.32\textwidth]{papers/kreismembran/images/sim_2_6.png}
+		\caption{Simulations Resultate einer unendlichen Membran. Simuliert mit $ 200 \times 200 $ Elementen, dargestellt sind die Auslenkungen nach jeweils $ 50 $ Iterationsschritten.}
+		\label{kreismembran:im:simres_unendlich}
+		
+	\end{center}	
+\end{figure}
+zeigen deutlich wie die Störung vom Zentrum weg verläuft.
+Nähert sich die Störung dem Rand, so wird sie immer stärker abgeschwächt.
+Die Wirkung des Absorber ist an der letzten Figur zu erkennen, in welcher kaum noch Auslenkungen zu sehen sind.
+Dieses Verhalten spricht für den Absorber-Ansatz, es soll jedoch erwähnt sein, dass der Übergangsbereich eine sanft ansteigende Dämpfung in das System bringt.
+Die DGL \ref{kreismembran:Ausgang_DGL} welche simuliert wird geht jedoch von der Annahme \ref{kreimembran:annahmen} iv) aus, dass die Membran keine Art von Dämpfung erfährt.
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+\section{Schlusswort}
+Auch wenn ein physikalisches Verhalten bereits durch Annahmen und Annäherungen deutlich vereinfacht wird, bestehen auch dann noch eine Vielzahl von Lösungsansätzen.
+Lösungen einer unendlich grosse Membran scheinen fern der Realität zu sein, doch dies darf es im Sinne der Mathematik.
+Und wer weis, für eine Ameise auf einem Trampolin ist eine unendliche Membran vielleicht eine ganz gute Annäherung. 
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