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author | Andreas Müller <andreas.mueller@ost.ch> | 2022-07-19 18:48:09 +0200 |
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Erster Entwurf Laguerre
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-rw-r--r-- | buch/papers/laguerre/quadratur.tex | 164 |
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diff --git a/buch/papers/laguerre/quadratur.tex b/buch/papers/laguerre/quadratur.tex index 60fad7f..a494362 100644 --- a/buch/papers/laguerre/quadratur.tex +++ b/buch/papers/laguerre/quadratur.tex @@ -5,35 +5,70 @@ % \section{Gauss-Quadratur \label{laguerre:section:quadratur}} - {\large \color{red} TODO: Einleitung und kurze Beschreibung Gauss-Quadratur} +Die Gauss-Quadratur ist ein numerisches Integrationsverfahren, +welches die Eigenschaften von orthogonalen Polynomen verwendet. +Herleitungen und Analysen der Gauss-Quadratur können im +Abschnitt~\ref{buch:orthogonal:section:gauss-quadratur} gefunden werden. +Als grundlegende Idee wird die Beobachtung, +dass viele Funktionen sich gut mit Polynomen approximieren lassen, +verwendet. +Stellt man also sicher, +dass ein Verfahren gut für Polynome funktioniert, +sollte es auch für andere Funktionen angemessene Resultate liefern. +Es wird ein Polynom verwendet, +welches an den Punkten $x_0 < x_1 < \ldots < x_n$ +die Funktionwerte~$f(x_i)$ annimmt. +Als Resultat kann das Integral via einer gewichteten Summe der Form \begin{align} -\int_a^b f(x) w(x) +\int_a^b f(x) w(x) \, dx \approx -\sum_{i=1}^N f(x_i) A_i +\sum_{i=1}^n f(x_i) A_i \label{laguerre:gaussquadratur} \end{align} +berechnet werden. +Die Gauss-Quadratur ist exakt für Polynome mit Grad $2n -1$, +wenn ein Interpolationspolynom von Grad $n$ gewählt wurde. \subsection{Gauss-Laguerre-Quadratur \label{laguerre:subsection:gausslag-quadratur}} -Die Gauss-Quadratur kann auch auf Skalarprodukte mit Gewichtsfunktionen -ausgeweitet werden. -In unserem Falle möchten wir die Gauss Quadratur auf die Laguerre-Polynome -$L_n$ ausweiten. -Diese sind orthogonal im Intervall $(0, \infty)$ bezüglich -der Gewichtsfunktion $e^{-x}$. -Gleichung~\eqref{laguerre:laguerrequadratur} lässt sich wiefolgt umformulieren: +Wir möchten nun die Gauss-Quadratur auf die Berechnung +von uneigentlichen Integralen erweitern, +spezifisch auf das Interval $(0, \infty)$. +Mit dem vorher beschriebenen Verfahren ist dies nicht direkt möglich. +Mit einer Transformation die das unendliche Intervall $(a, \infty)$ mit +\begin{align*} +x += +a + \frac{1 - t}{t} +\end{align*} +auf das Intervall $[0, 1]$ transformiert, +kann dies behoben werden. +Für unseren Fall gilt $a = 0$. +Das Integral eines Polynomes in diesem Intervall ist immer divergent. +Darum müssen wir das Polynom mit einer Funktion multiplizieren, +die schneller als jedes Polynom gegen $0$ geht, +damit das Integral immer noch konvergiert. +Die Laguerre-Polynome $L_n$ schaffen hier Abhilfe, +da ihre Gewichtsfunktion $w(x) = e^{-x}$ schneller +gegen $0$ konvergiert als jedes Polynom. +% In unserem Falle möchten wir die Gauss Quadratur auf die Laguerre-Polynome +% $L_n$ ausweiten. +% Diese sind orthogonal im Intervall $(0, \infty)$ bezüglich +% der Gewichtsfunktion $e^{-x}$. +Die Gleichung~\eqref{laguerre:gaussquadratur} lässt sich wie folgt +umformulieren: \begin{align} \int_{0}^{\infty} f(x) e^{-x} dx \approx -\sum_{i=1}^{N} f(x_i) A_i +\sum_{i=1}^{n} f(x_i) A_i \label{laguerre:laguerrequadratur} \end{align} \subsubsection{Stützstellen und Gewichte} Nach der Definition der Gauss-Quadratur müssen als Stützstellen die Nullstellen des verwendeten Polynoms genommen werden. -Das heisst für das Laguerre-Polynom $L_n$ müssen dessen Nullstellen $x_i$ und -als Gewichte $A_i$ werden die Integrale $l_i(x)e^{-x}$ verwendet werden. +Für das Laguerre-Polynom $L_n$ müssen demnach dessen Nullstellen $x_i$ und +als Gewichte $A_i$ die Integrale $l_i(x)e^{-x}$ verwendet werden. Dabei sind \begin{align*} l_i(x_j) @@ -41,39 +76,112 @@ l_i(x_j) \delta_{ij} = \begin{cases} -1 & i=j \\ -0 & \text{sonst.} +1 & i=j \\ +0 & \text{sonst} \end{cases} +% . \end{align*} -Laut \cite{abramowitz+stegun} sind die Gewichte also -\begin{align} +die Lagrangschen Interpolationspolynome. +Laut \cite{laguerre:hildebrand2013introduction} können die Gewichte mit +\begin{align*} A_i + & = +-\frac{C_{n+1} \gamma_n}{C_n \phi'_n(x_i) \phi_{n+1} (x_i)} +\end{align*} +berechnet werden. +$C_i$ entspricht dabei dem Koeffizienten von $x^i$ +des orthogonalen Polynoms $\phi_n(x)$, $\forall i =0,\ldots,n$ und +\begin{align*} +\gamma_n += +\int_0^\infty w(x) \phi_n^2(x)\,dx +\end{align*} +dem Normalisierungsfaktor. +Wir setzen nun $\phi_n(x) = L_n(x)$ und +nutzen den Vorzeichenwechsel der Laguerre-Koeffizienten aus, +damit erhalten wir +\begin{align*} +A_i + & = +-\frac{C_{n+1} \gamma_n}{C_n L'_n(x_i) L_{n+1} (x_i)} +\\ + & = \frac{C_n}{C_{n-1}} \frac{\gamma_{n-1}}{L_{n-1}(x_i) L'_n(x_i)} +. +\end{align*} +Für Laguerre-Polynome gilt +\begin{align*} +\frac{C_n}{C_{n-1}} += +-\frac{1}{n} +\quad \text{und} \quad +\gamma_n = -\frac{x_i}{(n + 1)^2 \left[ L_{n + 1}(x_i)\right]^2} +1 +. +\end{align*} +Daraus folgt +\begin{align} +A_i +&= +- \frac{1}{n L_{n-1}(x_i) L'_n(x_i)} +. +\label{laguerre:gewichte_lag_temp} +\end{align} +Nun kann die Rekursionseigenschaft der Laguerre-Polynome +\begin{align*} +x L'_n(x) +&= +n L_n(x) - n L_{n-1}(x) +\\ +&= (x - n - 1) L_n(x) + (n + 1) L_{n+1}(x) +\end{align*} +umgeformt werden und da $x_i$ die Nullstellen von $L_n(x)$ sind, +vereinfacht sich der Term zu +\begin{align*} +x_i L'_n(x_i) +&= +- n L_{n-1}(x_i) +\\ +&= + (n + 1) L_{n+1}(x_i) +. +\end{align*} +Setzen wir das nun in \eqref{laguerre:gewichte_lag_temp} ein, +ergibt sich +\begin{align} +\nonumber +A_i +&= +\frac{1}{x_i \left[ L'_n(x_i) \right]^2} +\\ +&= +\frac{x_i}{(n+1)^2 \left[ L_{n+1}(x_i) \right]^2} . \label{laguerre:quadratur_gewichte} \end{align} \subsubsection{Fehlerterm} +Die Gauss-Laguerre-Quadratur mit $n$ Stützstellen berechnet Integrale +von Polynomen bis zum Grad $2n - 1$ exakt. +Für beliebige Funktionen kann eine Fehlerabschätzung angegeben werden. Der Fehlerterm $R_n$ folgt direkt aus der Approximation \begin{align*} -\int_0^{\infty} f(x) e^{-x} dx +\int_0^{\infty} f(x) e^{-x} \, dx = \sum_{i=1}^n f(x_i) A_i + R_n \end{align*} -un \cite{abramowitz+stegun} gibt in als +und \cite{laguerre:abramowitz+stegun} gibt ihn als \begin{align} R_n -= + & = +\frac{f^{(2n)}(\xi)}{(2n)!} \int_0^\infty l(x)^2 e^{-x}\,dx +\\ + & = \frac{(n!)^2}{(2n)!} f^{(2n)}(\xi) ,\quad 0 < \xi < \infty -\label{lagurre:lag_error} +\label{laguerre:lag_error} \end{align} an. - -{ -\large \color{red} -TODO: -Noch mehr Text / bessere Beschreibungen in allen Abschnitten -} +Der Fehler ist also abhängig von der $2n$-ten Ableitung +der zu integrierenden Funktion. |