Start paper about Laguerre polynomials

7 files changed, 156 insertions, 27 deletions

diff --git a/buch/papers/laguerre/definition.tex b/buch/papers/laguerre/definition.tex
new file mode 100644
index 0000000..5f6d8bd
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/laguerre/definition.tex
@@ -0,0 +1,48 @@
+%
+% definition.tex 
+%
+% (c) 2022 Patrik Müller, Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\section{Definition
+\label{laguerre:section:definition}}
+\rhead{Definition}
+
+\begin{align}
+    x y''(x) + (1 - x) y'(x) + n y(x)
+    =
+    0 
+    \label{laguerre:dgl}
+\end{align}
+
+\begin{align}
+    L_n(x)
+    =
+    \sum_{k=0}^{n} 
+    \frac{(-1)^k}{k!}
+    \begin{pmatrix}
+        n \\
+        k
+    \end{pmatrix}
+    x^k
+    \label{laguerre:polynom}
+\end{align}
+
+\begin{align}
+    x y''(x) + (\alpha + 1 - x) y'(x) + n y(x)
+    =
+    0 
+    \label{laguerre:generell_dgl}
+\end{align}
+
+\begin{align}
+    L_n^\alpha (x)
+    =
+    \sum_{k=0}^{n} 
+    \frac{(-1)^k}{k!}
+    \begin{pmatrix}
+        n + \alpha \\
+        n - k
+    \end{pmatrix}
+    x^k
+    \label{laguerre:polynom}
+\end{align}
diff --git a/buch/papers/laguerre/eigenschaften.tex b/buch/papers/laguerre/eigenschaften.tex
new file mode 100644
index 0000000..b7597e5
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/laguerre/eigenschaften.tex
@@ -0,0 +1,8 @@
+%
+% eigenschaften.tex 
+%
+% (c) 2022 Patrik Müller, Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\section{Eigenschaften
+\label{laguerre:section:eigenschaften}}
+\rhead{Eigenschaften}
\ No newline at end of file
diff --git a/buch/papers/laguerre/main.tex b/buch/papers/laguerre/main.tex
index 207e8d7..1fe0f8b 100644
--- a/buch/papers/laguerre/main.tex
+++ b/buch/papers/laguerre/main.tex
@@ -1,36 +1,20 @@
 %
-% main.tex -- Paper zum Thema <laguerre>
+% main.tex -- Paper zum Thema Laguerre-Polynome
 %
 % (c) 2020 Hochschule Rapperswil
 %
-\chapter{Thema\label{chapter:laguerre}}
-\lhead{Thema}
+\chapter{Laguerre-Polynome\label{chapter:laguerre}}
+\lhead{Laguerre-Polynome}
 \begin{refsection}
-\chapterauthor{Hans Muster}
+\chapterauthor{Patrik Müller}
 
-Ein paar Hinweise für die korrekte Formatierung des Textes
-\begin{itemize}
-\item
-Absätze werden gebildet, indem man eine Leerzeile einfügt.
-Die Verwendung von \verb+\\+ ist nur in Tabellen und Arrays gestattet.
-\item
-Die explizite Platzierung von Bildern ist nicht erlaubt, entsprechende
-Optionen werden gelöscht. 
-Verwenden Sie Labels und Verweise, um auf Bilder hinzuweisen.
-\item
-Beginnen Sie jeden Satz auf einer neuen Zeile. 
-Damit ermöglichen Sie dem Versionsverwaltungssysteme, Änderungen
-in verschiedenen Sätzen von verschiedenen Autoren ohne Konflikt 
-anzuwenden.
-\item 
-Bilden Sie auch für Formeln kurze Zeilen, einerseits der besseren
-Übersicht wegen, aber auch um GIT die Arbeit zu erleichtern.
-\end{itemize}
+Hier kommt eine Einleitung.
 
-\input{papers/laguerre/teil0.tex}
-\input{papers/laguerre/teil1.tex}
-\input{papers/laguerre/teil2.tex}
-\input{papers/laguerre/teil3.tex}
+\input{papers/laguerre/definition}
+\input{papers/laguerre/eigenschaften}
+\input{papers/laguerre/quadratur}
+\input{papers/laguerre/transformation}
+\input{papers/laguerre/wasserstoff}
 
 \printbibliography[heading=subbibliography]
 \end{refsection}
diff --git a/buch/papers/laguerre/packages.tex b/buch/papers/laguerre/packages.tex
index 6fbe890..ab55228 100644
--- a/buch/papers/laguerre/packages.tex
+++ b/buch/papers/laguerre/packages.tex
@@ -6,5 +6,5 @@
 
 % if your paper needs special packages, add package commands as in the
 % following example
-%\usepackage{packagename}
+\usepackage{derivative}
 
diff --git a/buch/papers/laguerre/quadratur.tex b/buch/papers/laguerre/quadratur.tex
new file mode 100644
index 0000000..8ab1af5
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/laguerre/quadratur.tex
@@ -0,0 +1,29 @@
+%
+% quadratur.tex 
+%
+% (c) 2022 Patrik Müller, Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\section{Gauss-Laguerre Quadratur
+\label{laguerre:section:quadratur}}
+
+\begin{align}
+    \int_a^b f(x) w(x)
+    \approx
+    \sum_{i=1}^N f(x_i) A_i
+    \label{laguerre:gaussquadratur}
+\end{align}
+
+\begin{align}
+    \int_{0}^{\infty} f(x) e^{-x} dx 
+    \approx
+    \sum_{i=1}^{N} f(x_i) A_i
+    \label{laguerre:laguerrequadratur}
+\end{align}
+
+\begin{align}
+    A_i 
+    = 
+    \frac{x_i}{(n + 1)^2 \left[ L_{n + 1}(x_i)\right]^2}
+    \label{laguerre:quadratur_gewichte}
+\end{align}
+
diff --git a/buch/papers/laguerre/transformation.tex b/buch/papers/laguerre/transformation.tex
new file mode 100644
index 0000000..4de86b6
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/laguerre/transformation.tex
@@ -0,0 +1,31 @@
+%
+% transformation.tex 
+%
+% (c) 2022 Patrik Müller, Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\section{Laguerre Transformation
+\label{laguerre:section:transformation}}
+\begin{align}
+    L \left\{ f(x) \right\}
+    =
+    \tilde{f}_\alpha(n)
+    =
+    \int_0^\infty e^{-x} x^\alpha L_n^\alpha(x) f(x) dx
+    \label{laguerre:transformation}
+\end{align}
+
+\begin{align}
+    L^{-1} \left\{ \tilde{f}_\alpha(n) \right\}
+    =
+    f(x)
+    =
+    \sum_{n=0}^{\infty} 
+    \begin{pmatrix}
+        n + \alpha \\
+        n
+    \end{pmatrix}^{-1}
+    \frac{1}{\Gamma(\alpha + 1)}
+    \tilde{f}_\alpha(n)
+    L_n^\alpha(x)
+    \label{laguerre:inverse_transformation}
+\end{align}
\ No newline at end of file
diff --git a/buch/papers/laguerre/wasserstoff.tex b/buch/papers/laguerre/wasserstoff.tex
new file mode 100644
index 0000000..caaa6af
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/laguerre/wasserstoff.tex
@@ -0,0 +1,29 @@
+%
+% wasserstoff.tex 
+%
+% (c) 2022 Patrik Müller, Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\section{Radialer Schwingungsanteil eines Wasserstoffatoms
+\label{laguerre:section:radial_h_atom}}
+
+\begin{align}
+    \nonumber
+    - \frac{\hbar^2}{2m} 
+    &
+    \left( 
+        \frac{1}{r^2} \pdv{}{r}
+        \left( r^2 \pdv{}{r} \right)
+        +
+        \frac{1}{r^2 \sin \vartheta} \pdv{}{\vartheta}
+        \left( \sin \vartheta \pdv{}{\vartheta} \right)
+        +
+        \frac{1}{r^2 \sin^2 \vartheta} \pdv[2]{}{\varphi}
+    \right)
+    u(r, \vartheta, \varphi)
+    \\
+    & -
+    \frac{e^2}{4 \pi \epsilon_0 r} u(r, \vartheta, \varphi)
+    =
+    E u(r, \vartheta, \varphi)
+    \label{laguerre:pdg_h_atom}
+\end{align}