Abgabe

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index ac749c5..d544588 100644
--- a/buch/papers/nav/bsp.tex
+++ b/buch/papers/nav/bsp.tex
@@ -20,6 +20,10 @@ Wir werden rechnerisch beweisen, dass wir mit diesen Ergebnissen genau auf diese
 \end{center}
 
 \subsection{Ausgangslage}
+\begin{wrapfigure}{R}{5.6cm}
+	\includegraphics{papers/nav/bilder/position1.pdf}
+	\caption{Ausgangslage}
+\end{wrapfigure}
 Die Rektaszension und die Sternzeit sind in der Regeln in Stunden angegeben.
 Für die Umrechnung in Grad kann folgender Zusammenhang verwendet werden:
 \[ Stunden \cdot 15 = Grad\].
@@ -30,11 +34,11 @@ Dies wurde hier bereits gemacht.
 		Deneb&\\
 		& Rektaszension $RA_{Deneb}$& $310.55058^\circ$ \\
 		& Deklination $DEC_{Deneb}$& $45.361194^\circ$ \\
-		& Höhe $H_{Deneb}$ & $50.256027^\circ$ \\ 
+		& Höhe $h_c$ & $50.256027^\circ$ \\ 
 		Arktur &\\
 		& Rektaszension $RA_{Arktur}$& $214.17558^\circ$ \\
 		& Deklination $DEC_{Arktur}$& $19.063222^\circ$ \\
-		& Höhe $H_{Arktur}$ & $47.427444^\circ$ \\  
+		& Höhe $h_b$ & $47.427444^\circ$ \\  
 	\end{tabular}
 \end{center}
 \subsection{Koordinaten der Bildpunkte}
@@ -49,9 +53,25 @@ $\delta$ ist die Breite, $\lambda$ die Länge.
 
 
 \subsection{Dreiecke definieren}
+\begin{figure} 
+	\begin{center}
+	\includegraphics[width=6cm]{papers/nav/bilder/beispiele1.pdf}
+	\includegraphics[width=6cm]{papers/nav/bilder/beispiele2.pdf}
+	\caption{Arktur-Deneb; Spica-Altiar}
+\end{center}
+\end{figure}
 Das Festlegen der Dreiecke ist essenziell für die korrekten Berechnungen.
-BILD
+Ein Problem, welches in der Theorie nicht berücksichtigt wurde ist, dass der Punkt $P$ nicht zwingend unterhalb der Seite $a$ sein muss. 
+Wenn man das nicht berücksichtigt, erhält man falsche oder keine Ergebnisse. 
+In der Realität weiss man jedoch ungefähr auf welchem Breitengrad man ist, so kann man relativ einfach entscheiden, ob der eigene Standort über $a$ ist oder nicht.
+Beim unserem genutzten Paar Arktur-Deneb ist dies kein Problem, da der Punkt unterhalb der Seite $a$ liegt. 
+Würde man aber das Paar Altair-Spica nehmen, liegt $P$ über $a$ (vgl. Abbildung 21.11) und man müsste trigonometrisch anders vorgehen. 
+
 \subsection{Dreieck $ABC$}
+\begin{wrapfigure}{R}{5.6cm}
+	\includegraphics{papers/nav/bilder/position2.pdf}
+	\caption{Dreieck ABC}
+\end{wrapfigure}
 Nun berechnen wir alle Seitenlängen $a$, $b$, $c$ und die Innnenwinkel $\alpha$, $\beta$ und $\gamma$
 Wir können $b$ und $c$ mit den geltenten Zusammenhängen des nautischen Dreiecks wie folgt bestimmen:
 \begin{align}
@@ -78,43 +98,51 @@ Für $\beta$ und $\gamma$ nutzen wir den sphärischen Seitenkosinussatz:
 	&=\underline{\underline{72.0573328^\circ}} \nonumber
 \end{align}
 \subsection{Dreieck $BPC$}
-Als nächstes berechnen wir die Seiten $pb$, $pc$ und die Innenwinkel $\beta_1$ und $\gamma_1$.
+\begin{wrapfigure}{R}{5.6cm}
+	\includegraphics{papers/nav/bilder/position3.pdf}
+	\caption{Dreieck BPC}
+\end{wrapfigure}
+Als nächstes berechnen wir die Seiten $h_b$, $h_c$ und die Innenwinkel $\beta_1$ und $\gamma_1$.
 \begin{align}
-	pb&=90^\circ - H_{Arktur} \nonumber \\
+	h_b&=90^\circ - h_b \nonumber \\
 	&= 90^\circ - 47.42744^\circ \nonumber \\
 	&= \underline{\underline{42.572556^\circ}} \nonumber
 \end{align}
 \begin{align}
-	pc &= 90^\circ - H_{Deneb} \nonumber \\
+	h_c &= 90^\circ - h_c \nonumber \\
 	&= 90^\circ - 50.256027^\circ \nonumber \\
 	&= \underline{\underline{39.743973^\circ}} \nonumber
 \end{align}
 \begin{align}
-	\beta_1 &= \cos^{-1}  \bigg[\frac{\cos(pc)-\cos(a) \cdot \cos(pb)}{\sin(a) \cdot \sin(pb)}\bigg] \nonumber \\
+	\beta_1 &= \cos^{-1}  \bigg[\frac{\cos(h_c)-\cos(a) \cdot \cos(h_b)}{\sin(a) \cdot \sin(h_b)}\bigg] \nonumber \\
 	&= \cos^{-1}  \bigg[\frac{\cos(39.743973)-\cos(80.8707801) \cdot \cos(42.572556)}{\sin(80.8707801) \cdot \sin(42.572556)}\bigg] \nonumber \\
 	&=\underline{\underline{12.5211127^\circ}} \nonumber
 \end{align}
 \begin{align}
-	\gamma_1 &= \cos^{-1}  \bigg[\frac{\cos(pb)-\cos(a) \cdot \cos(pc)}{\sin(a) \cdot \sin(pc)}\bigg] \nonumber \\
+	\gamma_1 &= \cos^{-1}  \bigg[\frac{\cos(h_b)-\cos(a) \cdot \cos(h_c)}{\sin(a) \cdot \sin(h_c)}\bigg] \nonumber \\
 	&= \cos^{-1}  \bigg[\frac{\cos(42.572556)-\cos(80.8707801) \cdot \cos(39.743973)}{\sin(80.8707801) \cdot \sin(39.743973)}\bigg] \nonumber \\
 	&=\underline{\underline{13.2618475^\circ}} \nonumber
 \end{align}
 
 \subsection{Dreieck $ABP$}
-Als erster müssen wir den Winkel $\kappa$ berechnen:
+\begin{wrapfigure}{R}{5.6cm}
+	\includegraphics{papers/nav/bilder/position4.pdf}
+	\caption{Dreieck ABP}
+\end{wrapfigure}
+Als erster müssen wir den Winkel $\beta_2$ berechnen:
 \begin{align}
-	\kappa &= \beta + \beta_1 = 45.011513^\circ + 12.5211127^\circ \nonumber \\
+	\beta_2 &= \beta + \beta_1 = 45.011513^\circ + 12.5211127^\circ \nonumber \\
 	&=\underline{\underline{44.6687451^\circ}} \nonumber
 \end{align}
-Danach können wir mithilfe von $\kappa$, $c$ und $pb$ die Seite $l$ berechnen:
+Danach können wir mithilfe von $\beta_2$, $c$ und $h_b$ die Seite $l$ berechnen:
 \begin{align}
-	l &= \cos^{-1}(\cos(c) \cdot \cos(pb) + \sin(c) \cdot \sin(pb) \cdot \cos(\kappa)) \nonumber \\
+	l &= \cos^{-1}(\cos(c) \cdot \cos(h_b) + \sin(c) \cdot \sin(h_b) \cdot \cos(\beta_2)) \nonumber \\
 	&= \cos^{-1}(\cos(70.936778) \cdot \cos(42.572556) + \sin(70.936778) \cdot \sin(42.572556) \cdot \cos(57.5326442)) \nonumber \\
 	&= \underline{\underline{54.2833404^\circ}} \nonumber
 \end{align}
 Damit wir gleich den Längengrad berechnen können, benötigen wir noch den Winkel $\omega$:
 \begin{align}
-	\omega &= \cos^{-1}  \bigg[\frac{\cos(pb)-\cos(c) \cdot \cos(l)}{\sin(c) \cdot \sin(l)}\bigg] \nonumber \\
+	\omega &= \cos^{-1}  \bigg[\frac{\cos(h_b)-\cos(c) \cdot \cos(l)}{\sin(c) \cdot \sin(l)}\bigg] \nonumber \\
 	&=\cos^{-1}  \bigg[\frac{\cos(42.572556)-\cos(70.936778) \cdot \cos(54.2833404)}{\sin(70.936778) \cdot \sin(54.2833404)}\bigg] \nonumber \\
 	&= \underline{\underline{44.6687451^\circ}} \nonumber
 \end{align}
@@ -132,7 +160,21 @@ Damit wir gleich den Längengrad berechnen können, benötigen wir noch den Wink
 	&= \underline{\underline{140.233521^\circ}} \nonumber
 \end{align}
 Wie wir sehen, stimmen die berechneten Koordinaten mit den Koordinaten des Punktes, an welchem gemessen wurde überein. 
-Unsere Methode scheint also zu funktionieren.
+
+\subsection{Fazit}
+Die theoretische Anleitung im Abschnitt 21.6 scheint grundsätzlich zu funktionieren. 
+Allerdings gab es zwei interessante Probleme.
+
+Einerseits das Problem, ob der Punkt P sich oberhalb oder unterhalb von $a$ befindet. 
+Da wir eigentlich wussten, wo der gesuchte Punkt P ist, konnten wir das Dreieck anhand der Koordinaten der Bildpunkte richtig aufstellen. 
+In der Praxis muss man aber schon wissen, auf welchem Breitengrad man ungefähr ist. 
+Dies weis man in der Regeln aber, da die eigene Breite die Höhe des Polarsterns ist.
+Diese Höhe wird mit dem Sextant gemessen.
+
+Andererseits ist da noch ein Problem mit dem Sinussatz.
+Beim Sinussatz gibt es immer zwei Lösungen, weil \[ \sin(\pi-a)=\sin(a).\]
+Da kann es sein (und war in unserem Fall auch so), dass man das falsche Ergebnis erwischt. 
+Durch diese Erkenntnis haben wir nur Kosinussätze verwendet und dies ebenfalls im Abschnitt 21.6 abgeändert, da es für den Leser auch relevant sein kann, wenn er es Probieren möchte.