no message

4 files changed, 53 insertions, 26 deletions

diff --git a/buch/papers/nav/main.tex b/buch/papers/nav/main.tex
index 8688421..de8d1d6 100644
--- a/buch/papers/nav/main.tex
+++ b/buch/papers/nav/main.tex
@@ -3,7 +3,7 @@
 %
 % (c) 2020 Hochschule Rapperswil
 %
-\chapter{Thema\label{chapter:nav}}
+\chapter{Spährische Navigation\label{chapter:nav}}
 \lhead{Sphärische Navigation}
 \begin{refsection}
 \chapterauthor{Enez Erdem, Marc Kühne}
@@ -11,11 +11,12 @@
 
 
 \input{papers/nav/einleitung.tex}
+\input{papers/nav/sincos.tex}
 \input{papers/nav/geschichte.tex}
 \input{papers/nav/flatearth.tex}
 \input{papers/nav/trigo.tex}
 \input{papers/nav/nautischesdreieck.tex}
-\input{papers/nav/sincos.tex}
+
 
 \printbibliography[heading=subbibliography]
 \end{refsection}
diff --git a/buch/papers/nav/nautischesdreieck.tex b/buch/papers/nav/nautischesdreieck.tex
index d6e1388..b61e908 100644
--- a/buch/papers/nav/nautischesdreieck.tex
+++ b/buch/papers/nav/nautischesdreieck.tex
@@ -37,6 +37,7 @@ $a \ \widehat{=} \ Azimut $
 $h \ \widehat{=} \ Hoehe$
 
 
+
 \newpage
 \subsection{Zusammenhang des Nautischen Dreiecks und des Kugeldreiecks auf der Erdkugel}
 \begin{figure}[h]
@@ -129,45 +130,47 @@ Somit können wir ein erstes Kugeldreieck auf der Erde aufspannen.
 
 $A=$ Nordpol
 
-$B=$ Bildpunkt des Gestirns XXX 
+$B=$ Bildpunkt des Gestirns X
 
-$C=$ Bildpunkt des Gestirns YYY
+$C=$ Bildpunkt des Gestirns Y
 \\
 \\
 Mithilfe des sphärischen Trigonometrie und den darausfolgenden Zusammenhängen des Nautischen Dreiecks können wir nun alle Seiten des Dreiecks $ABC$ berechnen.
 
-Die Seitenlänge der Seite "Nordpol zum Bildpunkt XXX" sei $c$. 
+Die Seitenlänge der Seite "Nordpol zum Bildpunkt X" sei $c$. 
 Dann ist $c = \frac{\pi}{2} - \delta_1$. 
 
-Die Seitenlänge der Seite "Nordpol zum Bildpunkt YYY" sei $b$.
+Die Seitenlänge der Seite "Nordpol zum Bildpunkt Y" sei $b$.
 Dann ist $b = \frac{\pi}{2} - \delta_2$. 
 
 Der Innenwinkel beim der Ecke "Nordpol" sei $\alpha$.
 Dann ist $ \alpha = |\lambda_1 - \lambda_2|$. 
-
+\\
+\\
 mit 
 
-$\delta_1 =$ Deklination Bildpunkt XXX
-
-$\delta_2 =$ Deklination Bildpunk YYY 
+$\delta_1 =$ Deklination Bildpunkt X
 
-$\lambda_1 =$ Längengrad Bildpunkt XXX
+$\delta_2 =$ Deklination Bildpunk Y
 
-$\lambda_2 =$ Längengrad Bildpunkt YYY
+$\lambda_1 =$ Längengrad Bildpunkt X
 
+$\lambda_2 =$ Längengrad Bildpunkt Y
 
 Wichtig ist: Die Differenz der Längengrade ist gleich der Innenwinkel Alpha, deswegen der Betrag!
-
+\\
+\\
 Nun haben wir die beiden Seiten $c\ und\ b$ und den Winkel $\alpha$, der sich zwischen diesen Seiten befindet. 
 Mithilfe des Seiten-Kosinussatzes 
-
-$cos(a) = \cos(b)\cdot \cos(c) + \sin(b) \cdot \sin(c)\cdot \cos(\alpha)$ können wir nun die dritte Seitenlänge bestimmen. 
-
+$cos(a) = \cos(b)\cdot \cos(c) + \sin(b) \cdot \sin(c)\cdot \cos(\alpha)$ 
+können wir nun die dritte Seitenlänge bestimmen. 
 Es ist darauf zu achten, dass hier natürlich die Seitenlängen in Bogenmass sind und dementsprechend der Kosinus und Sinus verwendet wird. 
-Jetzt fehlen noch die beiden anderen Innenwinkel $\beta \ und\ \gamma$.
 
-Dieser bestimmen wir mithilfe des Sinussatzes $\frac{\sin (a)}{\sin (\alpha)} =\frac{\sin (b)}{\sin (\beta)} = \frac{\sin (c)}{\sin (\gamma)}$.
-Hier muss man aufpassen, dass man Seite von Winkel unterscheiden kann. Im Zähler sind die Seiten, im Nenner die Winkel. Somit ist $\beta =\sin^{-1} [\sin(b) \cdot \frac{\sin(\alpha)}{\sin(a)}] $.
+Jetzt fehlen noch die beiden anderen Innenwinkel $\beta \ und\ \gamma$.
+Diese bestimmen wir mithilfe des Sinussatzes $\frac{\sin (a)}{\sin (\alpha)} =\frac{\sin (b)}{\sin (\beta)} = \frac{\sin (c)}{\sin (\gamma)}$.
+Hier muss man aufpassen, dass man Seite von Winkel unterscheiden kann. 
+Im Zähler sind die Seiten, im Nenner die Winkel. 
+Somit ist $\beta =\sin^{-1} [\sin(b) \cdot \frac{\sin(\alpha)}{\sin(a)}] $.
 
 Schlussendlich haben wir die Seiten $a,b\ und \ c$, die Ecken A,B und C und die Winkel $\alpha, \beta \ und \ \gamma$ bestimmt und somit das ganze erste Kugeldreieck berechnet.
 
diff --git a/buch/papers/nav/packages.tex b/buch/papers/nav/packages.tex
index 9faa48d..5b87303 100644
--- a/buch/papers/nav/packages.tex
+++ b/buch/papers/nav/packages.tex
@@ -8,3 +8,4 @@
 % following example
 %\usepackage{packagename}
 
+\usepackage{amsmath}
\ No newline at end of file
diff --git a/buch/papers/nav/trigo.tex b/buch/papers/nav/trigo.tex
index 2edd651..8b4634f 100644
--- a/buch/papers/nav/trigo.tex
+++ b/buch/papers/nav/trigo.tex
@@ -1,3 +1,4 @@
+\setlength{\parindent}{0em}
 \section{Sphärische Trigonometrie}
 \subsection{Das Kugeldreieck}
 
@@ -11,7 +12,7 @@ Wenn man drei Eckpunkte miteinander verbindet, ergeben sich immer 16 Kugeldreiec
 Jenes Kugeldreieck mit den Seitenlängen $a, b, c < \pi$ und den Winkeln $\alpha, \beta, \gamma < \pi$ nennt man Eulersche Dreiecke.
 \begin{figure}[h]
 	\begin{center}
-		\includegraphics[width=6cm]{papers/nav/bilder/kugel1.png}
+		%\includegraphics[width=6cm]{papers/nav/bilder/kugel1.png}
 		\caption[Das Kugeldreieck]{Das Kugeldreieck}
 	\end{center}
 	
@@ -25,21 +26,42 @@ Ein Rechtseitiges Dreieck gibt es jedoch nur beim Kugeldreieck, weil dort eine S
 \begin{figure}[h]
 	
 	\begin{center}
-		\includegraphics[width=8cm]{papers/nav/bilder/kugel2.png}
+		%\includegraphics[width=8cm]{papers/nav/bilder/kugel2.png}
 		\caption[Winkelangabe im Kugeldreieck]{Winkelangabe im Kugeldreieck}
 	\end{center}	
 \end{figure}
 
+
 Die Winkel eines Kugeldreiecks sind die, welche die Halbtangenten in den Eckpunkten einschliessen. 
-Für die Summe der Innenwinkel gilt $\alpha+\beta+\gamma = \frac{A}{r^2} + \pi$ und
-$\alpha+\beta+\gamma > \pi$.
-Der sphärische Exzess $\epsilon = \alpha+\beta+\gamma - \pi$ beschreibt die Abweichung der Innenwinkelsumme von $\pi$ und ist proportional zum Flächeninhalt des Kugeldreiecks.
+Für die Summe der Innenwinkel gilt
+\begin{align}
+	\alpha+\beta+\gamma &= \frac{A}{r^2} + \pi \ \text{und} \ \alpha+\beta+\gamma > \pi. \nonumber
+\end{align}
+
+Der sphärische Exzess
+\begin{align}
+	\epsilon = \alpha+\beta+\gamma - \pi \nonumber
+\end{align}  
+beschreibt die Abweichung der Innenwinkelsumme von $\pi$ und ist proportional zum Flächeninhalt des Kugeldreiecks.
 
 \subsection{Sphärischer Sinussatz}
 In jedem Dreieck ist das Verhältnis des Sinus einer Seite zum Sinus des Gegenwinkels konstant. 
-Das bedeutet, dass $\frac{\sin (a)}{\sin (\alpha)} =\frac{\sin (b)}{\sin (\beta)} = \frac{\sin (c)}{\sin (\gamma)} $ auch beim Kugeldreieck gilt.
+
+Das bedeutet, dass
+
+\begin{align}
+	\frac{\sin (a)}{\sin (\alpha)} =\frac{\sin (b)}{\sin (\beta)} = \frac{\sin (c)}{\sin (\gamma)} \nonumber \ \text{auch beim Kugeldreieck gilt.}
+\end{align}
+
+
 
 \subsection{Sphärischer Satz des Pythagoras für das rechtwinklige Kugeldreieck}
 Es gibt in der sphärischen Trigonometrie eigentlich garkeinen "Satz des Pythagoras", wie man ihn aus der zweidimensionalen Geometrie kennt.
 In der sphärischen Trigonometrie gibt es aber auch einen Satz, der alle drei Seiten eines rechtwinkligen Kugeldreiecks in eine Beziehung bringt. 
-Es gilt nämlich: $\cos c = \cos a \cdot \cos b$ wenn $\alpha= \frac{\pi}{2} \lor \beta=\frac{\pi}{2} \lor \gamma = \frac{\pi}{2} $.
\ No newline at end of file
+
+Es gilt nämlich:
+\begin{align}
+	\cos c = \cos a \cdot \cos b \ \text{wenn} \nonumber &
+	\alpha = \frac{\pi}{2} \lor \beta =\frac{\pi}{2} \lor \gamma = \frac{\pi}{2}.\nonumber
+\end{align}
+ 
\ No newline at end of file