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author | tschwall <55748566+tschwall@users.noreply.github.com> | 2022-07-29 16:43:11 +0200 |
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committer | tschwall <55748566+tschwall@users.noreply.github.com> | 2022-07-29 16:43:11 +0200 |
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diff --git a/buch/papers/parzyl/teil0.tex b/buch/papers/parzyl/teil0.tex index f4e8726..60861ed 100644 --- a/buch/papers/parzyl/teil0.tex +++ b/buch/papers/parzyl/teil0.tex @@ -43,8 +43,10 @@ Im parabloischen Zylinderkoordinatensystem bilden parabolische Zylinder die Koor Die Koordinate $(\sigma, \tau, z)$ sind in kartesischen Koordinaten ausgedrückt mit \begin{align} x & = \sigma \tau \\ + \label{parzyl:coordRelationsa} y & = \frac{1}{2}\left(\tau^2 - \sigma^2\right) \\ z & = z. + \label{parzyl:coordRelationse} \end{align} Wird $\tau$ oder $\sigma$ konstant gesetzt reultieren die Parabeln \begin{equation} @@ -60,14 +62,68 @@ und \includegraphics[scale=0.4]{papers/parzyl/img/koordinaten.png} \caption{Das parabolische Koordinatensystem. Die roten Parabeln haben ein konstantes $\sigma$ und die grünen ein konstantes $\tau$.} - \label{fig:cordinates} + \label{parzyl:fig:cordinates} \end{figure} -Abbildung \ref{fig:cordinates} zeigt das Parabolische Koordinatensystem. +Abbildung \ref{parzyl:fig:cordinates} zeigt das Parabolische Koordinatensystem. Das parabolische Zylinderkoordinatensystem entsteht wenn die Parabeln aus der Ebene gezogen werden. - -\subsection{Differnetialgleichung} +Um in diesem Koordinatensystem integrieren und differenzieren zu +können braucht es die Skalierungsfaktoren $h_{\tau}$, $h_{\sigma}$ und $h_{z}$. +Der Skalierungsfaktor braucht es, damit die Distanzen zwischen zwei +Punkten unabhängig vom Koordinatensystem sind. +Wird eine infinitessimal kleine Distanz $ds$ zwischen zwei Punkten betrachtet +kann dies im kartesischen Koordinatensystem mit +\begin{equation} + \left(ds\right)^2 = \left(dx\right)^2 + \left(dy\right)^2 + + \left(dz\right)^2 + \label{parzyl:eq:ds} +\end{equation} +ausgedrückt werden. +Das Skalierungsfaktoren werden so bestimmt, dass +\begin{equation} + \left(ds\right)^2 = \left(h_{\sigma}d\sigma\right)^2 + + \left(h_{\tau}d\tau\right)^2 + \left(h_z dz\right)^2 +\label{parzyl:eq:dspara} +\end{equation} +gilt. +Dafür werden $dx$, $dy$, und $dz$ in \eqref{parzyl:eq:ds} mit den Beziehungen +von \eqref{parzyl:coordRelationsa} - \eqref{parzyl:coordRelationse} als +\begin{align} + dx &= \frac{\delta x }{\delta \sigma} d\sigma + + \frac{\delta x }{\delta \tau} d\tau + + \frac{\delta x }{\delta \tilde{z}} d \tilde{z} + = \tau d\sigma + \sigma d \tau \\ + dy &= \frac{\delta y }{\delta \sigma} d\sigma + + \frac{\delta y }{\delta \tau} d\tau + + \frac{\delta y }{\delta \tilde{z}} d \tilde{z} + = \tau d\tau - \sigma d \sigma \\ + dz &= \frac{\delta \tilde{z} }{\delta \sigma} d\sigma + + \frac{\delta \tilde{z} }{\delta \tau} d\tau + + \frac{\delta \tilde{z} }{\delta \tilde{z}} d \tilde{z} + = d \tilde{z} \\ +\end{align} +substituiert. +Wird diese gleichung in der Form von \eqref{parzyl:eq:dspara} +geschrieben, resultiert +\begin{equation} + \left(d s\right)^2 = + \left(\sigma^2 + \tau^2\right)\left(d\sigma\right)^2 + + \left(\sigma^2 + \tau^2\right)\left(d\tau\right)^2 + + \left(d \tilde{z}\right)^2. +\end{equation} +Daraus resultieren die Skalierungsfaktoren +\begin{align} + h_{\sigma} &= \sqrt{\sigma^2 + \tau^2}\\ + h_{\sigma} &= \sqrt{\sigma^2 + \tau^2}\\ + h_{z} &= 1. +\end{align} +\subsection{Differentialgleichung} +Möchte man eine Differentialgleichung im parabolischen +Zylinderkoordinatensystem lösen müssen die Skalierungsfaktoren +mitgerechnet werden. +\dots +\subsection{Lösung der Helmholtz Gleichung im parabolischen Zylinderfunktion} Die Differentialgleichungen, welche zu den parabolischen Zylinderfunktionen führen tauchen, wie bereits erwähnt, dann auf, wenn die Helmholtz Gleichung \begin{equation} \Delta f(x,y,z) = \lambda f(x,y,z) |