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Stet clita -kasd gubergren, no sea takimata sanctus est Lorem ipsum dolor sit -amet. +Die Laplace-Gleichung ist eine wichtige Gleichung in der Physik. +Mit ihr lässt sich zum Beispiel das elektrische Feld in einem ladungsfreien Raum bestimmen. +In diesem Kapitel wird die Lösung der Laplace-Gleichung im +parabolischen Zylinderkoordinatensystem genauer untersucht. +\subsection{Laplace Gleichung} +Die partielle Differentialgleichung +\begin{equation} + \Delta f = 0 +\end{equation} +ist als Laplace-Gleichung bekannt. +Sie ist eine spezielle Form der Poisson-Gleichung +\begin{equation} + \Delta f = g +\end{equation} +mit g als beliebige Funktion. +In der Physik hat die Laplace-Gleichung in verschieden Gebieten +verwendet, zum Beispiel im Elektromagnetismus. +Das Gaussche Gesetz in den Maxwellgleichungen +\begin{equation} + \nabla \cdot E = \frac{\varrho}{\epsilon_0} +\label{parzyl:eq:max1} +\end{equation} +besagt das die Divergenz eines Elektrischen Feldes an einem +Punkt gleich der Ladung an diesem Punkt ist. +Das elektrische Feld ist hierbei der Gradient des elektrischen +Potentials +\begin{equation} + \nabla \phi = E. +\end{equation} +Eingesetzt in \eqref{parzyl:eq:max1} resultiert +\begin{equation} + \nabla \cdot \nabla \phi = \Delta \phi = \frac{\varrho}{\epsilon_0}, +\end{equation} +was eine Possion-Gleichung ist. +An Ladungsfreien Stellen, ist der rechte Teil der Gleichung $0$. +\subsection{Parabolische Zylinderkoordinaten +\label{parzyl:subsection:finibus}} +Im parabolischen Zylinderkoordinatensystem bilden parabolische Zylinder die Koordinatenflächen. +Die Koordinate $(\sigma, \tau, z)$ sind in kartesischen Koordinaten ausgedrückt mit +\begin{align} + x & = \sigma \tau \\ + \label{parzyl:coordRelationsa} + y & = \frac{1}{2}\left(\tau^2 - \sigma^2\right) \\ + z & = z. + \label{parzyl:coordRelationse} +\end{align} +Wird $\tau$ oder $\sigma$ konstant gesetzt resultieren die Parabeln +\begin{equation} + y = \frac{1}{2} \left( \frac{x^2}{\sigma^2} - \sigma^2 \right) +\end{equation} +und +\begin{equation} + y = \frac{1}{2} \left( -\frac{x^2}{\tau^2} + \tau^2 \right). +\end{equation} + +\begin{figure} + \centering + \includegraphics[scale=0.4]{papers/parzyl/img/koordinaten.png} + \caption{Das parabolische Koordinatensystem. Die roten Parabeln haben ein + konstantes $\sigma$ und die grünen ein konstantes $\tau$.} + \label{parzyl:fig:cordinates} +\end{figure} + +Abbildung \ref{parzyl:fig:cordinates} zeigt das Parabolische Koordinatensystem. +Das parabolische Zylinderkoordinatensystem entsteht wenn die Parabeln aus der +Ebene gezogen werden. + +Um in diesem Koordinatensystem integrieren und differenzieren zu +können braucht es die Skalierungsfaktoren $h_{\tau}$, $h_{\sigma}$ und $h_{z}$. + +\dots + +Wird eine infinitessimal kleine Distanz $ds$ zwischen zwei Punkten betrachtet +kann dies im kartesischen Koordinatensystem mit +\begin{equation} + \left(ds\right)^2 = \left(dx\right)^2 + \left(dy\right)^2 + + \left(dz\right)^2 + \label{parzyl:eq:ds} +\end{equation} +ausgedrückt werden. +Das Skalierungsfaktoren werden so bestimmt, dass +\begin{equation} + \left(ds\right)^2 = \left(h_{\sigma}d\sigma\right)^2 + + \left(h_{\tau}d\tau\right)^2 + \left(h_z dz\right)^2 +\label{parzyl:eq:dspara} +\end{equation} +gilt. +Dafür werden $dx$, $dy$, und $dz$ in \eqref{parzyl:eq:ds} mit den Beziehungen +von \eqref{parzyl:coordRelationsa} - \eqref{parzyl:coordRelationse} als +\begin{align} + dx &= \frac{\partial x }{\partial \sigma} d\sigma + + \frac{\partial x }{\partial \tau} d\tau + + \frac{\partial x }{\partial \tilde{z}} d \tilde{z} + = \tau d\sigma + \sigma d \tau \\ + dy &= \frac{\partial y }{\partial \sigma} d\sigma + + \frac{\partial y }{\partial \tau} d\tau + + \frac{\partial y }{\partial \tilde{z}} d \tilde{z} + = \tau d\tau - \sigma d \sigma \\ + dz &= \frac{\partial \tilde{z} }{\partial \sigma} d\sigma + + \frac{\partial \tilde{z} }{\partial \tau} d\tau + + \frac{\partial \tilde{z} }{\partial \tilde{z}} d \tilde{z} + = d \tilde{z} \\ +\end{align} +substituiert. +Wird diese Gleichung in der Form von \eqref{parzyl:eq:dspara} +geschrieben, resultiert +\begin{equation} + \left(d s\right)^2 = + \left(\sigma^2 + \tau^2\right)\left(d\sigma\right)^2 + + \left(\sigma^2 + \tau^2\right)\left(d\tau\right)^2 + + \left(d \tilde{z}\right)^2. +\end{equation} +Daraus ergeben sich die Skalierungsfaktoren +\begin{align} + h_{\sigma} &= \sqrt{\sigma^2 + \tau^2}\\ + h_{\sigma} &= \sqrt{\sigma^2 + \tau^2}\\ + h_{z} &= 1. +\end{align} +\subsection{Differentialgleichung} +Möchte man eine Differentialgleichung im parabolischen +Zylinderkoordinatensystem aufstellen müssen die Skalierungsfaktoren +mitgerechnet werden. +Der Laplace Operator ist dadurch gegeben als +\begin{equation} + \Delta f = \frac{1}{\sigma^2 + \tau^2} + \left( + \frac{\partial^2 f}{\partial \sigma ^2} + + \frac{\partial^2 f}{\partial \tau ^2} + \right) + + \frac{\partial^2 f}{\partial z}. + \label{parzyl:eq:laplaceInParZylCor} +\end{equation} +\subsubsection{Lösung der Helmholtz-Gleichung im parabolischen Zylinderfunktion} +Die Differentialgleichungen, welche zu den parabolischen Zylinderfunktionen führen, tauchen +%, wie bereits erwähnt, +dann auf, wenn die Helmholtz-Gleichung +\begin{equation} + \Delta f(x,y,z) = \lambda f(x,y,z) +\end{equation} +im parabolischen Zylinderkoordinatensystem +\begin{equation} + \Delta f(\sigma,\tau,z) = \lambda f(\sigma,\tau,z) +\end{equation} +gelöst wird. +%Wobei der Laplace Operator $\Delta$ im parabolischen Zylinderkoordinatensystem gegeben ist als +%\begin{equation} +% \Delta +% = +% \frac{1}{\sigma^2 + \tau^2} +% \left ( +% \frac{\partial^2}{\partial \sigma^2} +% + +% \frac{\partial^2}{\partial \tau^2} +% \right ) +% + +% \frac{\partial^2}{\partial z^2}. +%\end{equation} +Mit dem Laplace Operator aus \eqref{parzyl:eq:laplaceInParZylCor} lautet die Helmholtz Gleichung +\begin{equation} + \Delta f(\sigma, \tau, z) + = + \frac{1}{\sigma^2 + \tau^2} + \left ( + \frac{\partial^2 f(\sigma,\tau,z)}{\partial \sigma^2} + + + \frac{\partial^2 f(\sigma,\tau,z)}{\partial \tau^2} + \right ) + + + \frac{\partial^2 f(\sigma,\tau,z)}{\partial z^2} + = + \lambda f(\sigma,\tau,z). +\end{equation} +Diese partielle Differentialgleichung kann mit Hilfe von Separation gelöst werden, dazu wird +\begin{equation} + f(\sigma,\tau,z) = g(\sigma)h(\tau)i(z) +\end{equation} +gesetzt. +Was dann schlussendlich zu den Differentialgleichungen +\begin{equation}\label{parzyl:sep_dgl_1} + g''(\sigma) + - + \left ( + \lambda\sigma^2 + + + \mu + \right ) + g(\sigma) + = + 0, +\end{equation} +\begin{equation}\label{parzyl:sep_dgl_2} + h''(\tau) + - + \left ( + \lambda\tau^2 + - + \mu + \right ) + h(\tau) + = + 0 +\end{equation} +und +\begin{equation}\label{parzyl:sep_dgl_3} + i''(z) + + + \left ( + \lambda + + + \mu + \right ) + i(\tau) + = + 0 +\end{equation} +führt. +Wobei die Lösung von \eqref{parzyl:sep_dgl_3} +\begin{equation} + i(z) + = + A\cos{ + \left ( + \sqrt{\lambda + \mu}z + \right )} + + + B\sin{ + \left ( + \sqrt{\lambda + \mu}z + \right )} +\end{equation} +ist und \eqref{parzyl:sep_dgl_1} und \eqref{parzyl:sep_dgl_2} die sogenannten Weberschen Differentialgleichungen sind, welche die parabolischen Zylinder Funktionen als Lösung haben. + |