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author | Erik Löffler <100943759+erik-loeffler@users.noreply.github.com> | 2022-08-23 15:04:54 +0200 |
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committer | GitHub <noreply@github.com> | 2022-08-23 15:04:54 +0200 |
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diff --git a/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex b/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex index bef8a39..948217a 100644 --- a/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex +++ b/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex @@ -4,15 +4,132 @@ % % (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil % + +% TODO: +% state goal +% use only what is necessary +% make sure it is easy enough to understand (sentences as shot as possible) +% -> Eigenvalue problem with matrices only +% -> prepare reader for following examples +% +% order: +% 1. Eigenvalue problems with matrices +% 2. Sturm-Liouville is an Eigenvalue problem +% 3. Sturm-Liouville operator (self-adjacent) +% 4. Spectral theorem (brief) +% 5. Base of orthonormal functions + \section{Eigenschaften von Lösungen \label{sturmliouville:section:solution-properties}} \rhead{Eigenschaften von Lösungen} Im weiteren werden nun die Eigenschaften der Lösungen eines +Sturm-Liouville-Problems diskutiert. +Im wesendlichen wird darauf eingegangen, wie die Orthogonalität der Lösungen +zustande kommt, damit diese später bei den Beispielen verwendet werden kann. +Dazu wird zunächst das Eigenwertproblem für Matrizen wiederholt und angeschaut +unter welchen Voraussetzungen die Lösungen dieses Problems orthogonal sind. +Dann wird gezeigt, dass das Sturm-Liouville-Problem auch ein Eigenwertproblem +dieser Art ist und es wird auf au die Orthogononalität der Lösungsfunktion +geschlossen. + +\subsection{Eigenwertprobleme mit symmetrischen Matrizen +\label{sturmliouville:section:eigenvalue-problem-matrix}} + +% TODO: intro + +Angenomen es sei eine reelle, symmetrische $n \times n$-Matrix $A$ gegeben. +Dass $A$ symmetrisch ist, bedeutet, dass +\[ + \langle Av, w \rangle + = + \langle v, Aw \rangle +\] +für $v, w \in \mathbb{R}^n$ erfüllt ist. + +Für reelle, symmetrische Matrizen zeigt dies auch direkt, dass die Matrix +selbstadjungiert ist. +Das ist wichtig, da der Spektralsatz~\cite{sturmliouville:spektralsatz-wiki} +für selbstadjungierte Matrizen formuliert ist. + +Dieser sagt nun aus, dass die Matrix $A$ diagonalisierbar ist. +In anderen Worten bilden die Eigenvektoren $v_i \in \mathbb{R}^n$ des +Eigenwertproblems +\[ + A v_i + = + \lambda_i v_i + \qquad \lambda_i \in \mathbb{R} +\] +eine Orthogonalbasis. + +\subsection{Das Sturm-Liouville-Problem als Eigenwertproblem} + +In Kapitel~\ref{buch:integrale:subsection:sturm-liouville-problem} wurde bereits +der Operator +\[ + L + = + \frac{1}{w(x)}\left( -\frac{d}{dx}p(x) \frac{d}{dx} + q(x)\right) +\] +eingeführt. +Dieser wird nun verwendet um die Differenzialgleichung +\[ + (p(x)y'(x))' + q(x)y(x) + = + \lambda w(x) y(x) +\] +in das Eigenwertproblem +\begin{equation} + \label{sturmliouville:eigenvalue-problem} + L y + = + \lambda y. +\end{equation} +umzuschreiben. + +\subsection{Orthogonalität der Lösungsfunktionen} + +Nun wird das Eigenwertproblem~\eqref{sturmliouville:eigenvalue-problem} näher +angeschaut. +Um auf die Orthogonalität der Lösungsfunktion zu schliessen, wird dafür der +Operator $L$ genauer betrachtet. +Analog zur Matrix $A$ aus +Abschnitt~\ref{sturmliouville:section:eigenvalue-problem-matrix} kann auch für +$L$ gezeigt werden, dass dieser Operator selbstadjungiert ist, also dass +\[ + \langle L v, w\rangle + = + \langle v, L w\rangle +\] +gilt. +Wie in Kapitel~\ref{buch:integrale:subsection:sturm-liouville-problem} bereits +gezeigt, ist dies durch die Randbedingungen des Sturm-Liouville-Problems +sicher gestellt. + +Um nun über den Spektralsatz auf die Orthogonalität der Lösungsfunktion $y$ zu +schliessen, muss der Operator $L$ ein sogenannter \"kompakter Operator\" sein. +Bei einem regulären Sturm-Liouville-Problem ist diese für $L$ gegeben und wird +im Weiteren nicht näher diskutiert. + +Es kann nun also dank dem Spektralsatz darauf geschlossen werden, dass die +Lösungsfunktion $y$ eises regulären Sturm-Liouville-Problems eine +Linearkombination aus orthogonalen Basisfunktionen sein muss. + +%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% OLD section %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% + +\iffalse + +\section{OLD: Eigenschaften von Lösungen +%\label{sturmliouville:section:solution-properties} +} +\rhead{Eigenschaften von Lösungen} + +Im weiteren werden nun die Eigenschaften der Lösungen eines Sturm-Liouville-Problems diskutiert und aufgezeigt, wie diese Eigenschaften zustande kommen. -Dazu wird der Operator $L_0$ welcher bereits in +Dazu wird der Operator $L_0$ welcher bereits in Kapitel~\ref{buch:integrale:subsection:sturm-liouville-problem} betrachtet wurde, noch etwas genauer angeschaut. Es wird also im Folgenden @@ -76,8 +193,10 @@ des Sturm-Liouville-Problems orthogonal zueinander sind bezüglich des Skalarprodukts, in dem $L_0$ selbstadjungiert ist. Erfüllt also eine Differenzialgleichung die in -Abschnitt~\ref{sturmliouville:section:teil0} präsentierten Eigenschaften und +Abschnitt~\ref{sturmliouville:section:teil0} präsentierten Eigenschaften und erfüllen die Randbedingungen der Differentialgleichung die Randbedingungen des Sturm-Liouville-Problems, kann bereits geschlossen werden, dass die Lösungsfunktion des Problems eine Linearkombination aus orthogonalen -Basisfunktionen ist.
\ No newline at end of file +Basisfunktionen ist. + +\fi |