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index 2552574..08e25f2 100644
--- a/buch/papers/sturmliouville/einleitung.tex
+++ b/buch/papers/sturmliouville/einleitung.tex
@@ -15,19 +15,20 @@
 % Check for readability 
 
 \section{Was ist das Sturm-Liouville-Problem\label{sturmliouville:section:teil0}}
-\rhead{Einleitung}
+\rhead{Was ist das Sturm-Liouville-Problem}
 Das Sturm-Liouville-Problem wurde benannt nach dem schweizerisch-französischen
 Mathematiker und Physiker Jacques Charles Fran\c{c}ois Sturm und dem
 französischen Mathematiker Joseph Liouville.
 Gemeinsam haben sie in der mathematischen Physik die Sturm-Liouville-Theorie
-entwickelt und gilt für die Lösung von gewöhnlichen Differentialgleichungen,
-jedoch verwendet man die Theorie öfters bei der Lösung von partiellen
+entwickelt.
+Dies gilt für die Lösung von gewöhnlichen Differentialgleichungen,
+jedoch verwendet man die Theorie beim lösen von partiellen
 Differentialgleichungen.
-Normalerweise betrachtet man für das Strum-Liouville-Problem eine gewöhnliche
-Differentialgleichung 2. Ordnung, und wenn es sich um eine partielle
-Differentialgleichung handelt, kann man sie in mehrere gewöhnliche
-Differentialgleichungen umwandeln. Wie z. B. den Separationsansatz, die
-partielle Differentialgleichung mit mehreren Variablen.
+Man betrachtet für das Strum-Liouville-Problem eine gewöhnliche
+Differentialgleichung 2. Ordnung.
+Wenn es sich um eine partielle
+Differentialgleichung handelt, kann man sie mittels Separation in mehrere gewöhnliche
+Differentialgleichungen umwandeln. 
 
 \begin{definition}
 	\index{Sturm-Liouville-Gleichung}%
@@ -43,7 +44,7 @@ als
 	=
 	0 
 \end{equation}
-geschrieben werden kann, dann wird diese Gleichung als Sturm-Liouville-Gleichung
+geschrieben werden kann, dann wird die Gleichung \eqref{sturmliouville:eq:sturm-liouville-equation} als Sturm-Liouville-Gleichung
 bezeichnet.
 \end{definition}
 Alle homogenen linearen gewöhnlichen Differentialgleichungen 2. Ordnung können
@@ -51,7 +52,7 @@ in die Form der Gleichung \eqref{sturmliouville:eq:sturm-liouville-equation}
 umgewandelt werden.
 
 Damit es sich um ein Sturm-Liouville-Problem handelt, benötigt es noch die
-Randbedingung, die im nächsten Unterkapitel behandelt wird. 
+Randbedingung, die im nächsten Unterkapitel behandelt wird.
 
 \subsection{Randbedingungen
 \label{sturmliouville:sub:was-ist-das-slp-randbedingungen}}
@@ -62,7 +63,7 @@ Die Sturm-Liouville-Gleichung mit homogenen Randbedingungen des dritten Typs
 	\begin{aligned}
 		\label{sturmliouville:eq:randbedingungen}
 		k_a y(a) + h_a p(a) y'(a) &= 0 \\
-		k_b y(b) + h_b p(b) y'(b) &= 0.
+		k_b y(b) + h_b p(b) y'(b) &= 0
 	\end{aligned}
 \end{equation}
 ist das klassische Sturm-Liouville-Problem.
@@ -70,21 +71,21 @@ ist das klassische Sturm-Liouville-Problem.
 
 \subsection{Koeffizientenfunktionen
 \label{sturmliouville:sub:koeffizientenfunktionen}}
-Die Funktionen $p(x)$, $q(x)$ und $w(x)$ werden als Koeffizientenfunktionen mit
-ihren freien Variablen $x$ bezeichnet.
+Die Funktionen $p(x)$, $q(x)$ und $w(x)$ werden als Koeffizientenfunktionen 
+bezeichnet.
 Diese Funktionen erhält man, indem man eine Differentialgleichung in die
-Sturm-Liouville-Form bringt.
+Sturm-Liouville-Form bringt und dann die Koeffizientenfunktionen vergleicht.
 Die Funktion $w(x)$ (manchmal auch $r(x)$ genannt) wird als Gewichtsfunktion
 oder Dichtefunktion bezeichnet.
 Die Eigenschaften der Koeffizientenfunktionen sowie andere Bedingungen haben
 einen großen Einfluss auf die Lösbarkeit des Sturm-Liouville-Problems und werden
-im nächsten Kapitel diskutiert. 
+im nächsten Kapitel diskutiert.
 
 %
 %Kapitel mit "Das reguläre Sturm-Liouville-Problem"
 %
 
-\subsection{Das reguläre oder singuläre Sturm-Liouville-Problem
+\subsection{Das reguläre und singuläre Sturm-Liouville-Problem
 \label{sturmliouville:sub:reguläre_sturm_liouville_problem}}
 Damit es sich um ein reguläres Sturm-Liouville-Problem handelt, müssen einige
 Bedingungen beachtet werden.
@@ -94,8 +95,8 @@ Bedingungen beachtet werden.
 	Die Bedingungen für ein reguläres Sturm-Liouville-Problem sind:
 	\begin{itemize}
 		\item Die Funktionen $p(x), p'(x), q(x)$ und $w(x)$ müssen stetig und
-		reell sein.
-		\item sowie müssen in einem endlichen Intervall $[a,b]$ integrierbar
+		reell sein
+		\item sowie in einem endlichen Intervall $[a,b]$ integrierbar
 		sein.
 		\item $p(x)$ und $w(x)$ sind $>0$.
 		\item Es gelten die Randbedingungen 
@@ -103,36 +104,32 @@ Bedingungen beachtet werden.
 		$|k_i|^2 + |h_i|^2\ne 0$ mit $i=a,b$.
 	\end{itemize}
 \end{definition}
-Werden diese Bedingungen nicht erfüllt, so handelt es sich um ein singuläres
+Wird eine oder mehrere dieser Bedingungen nicht erfüllt, so handelt es sich um ein singuläres
 Sturm-Liouville-Problem.
 
 \begin{beispiel}
 	Das Randwertproblem
 	\begin{equation}
 		\begin{aligned}
-		x^2y'' + xy' + (\lambda^2x^2 - m^2)y &= 0, 0<x<a,\\
+		x^2y'' + xy' + (\lambda^2x^2 - m^2)y &= 0 \qquad 0<x<a,\\
 		y(a) &= 0
 		\end{aligned}
 	\end{equation}
 	ist kein reguläres Sturm-Liouville-Problem.
-	Wenn man die Gleichung in die Sturm-Liouville Form umformen, dann ergeben
+	Wenn man die Gleichung in die Sturm-Liouville Form umformt, dann
+	erhält man
 	die Koeffizientenfunktionen $p(x) = w(x) = x$ und $q(x) = -m^2/x$.
-	Schaut man jetzt die Bedingungen im
-	Kapitel~\ref{sturmliouville:sub:reguläre_sturm_liouville_problem} an und 
+	Schaut man jetzt die Bedingungen in
+	Definition~\ref{sturmliouville:def:reguläres_sturm-liouville-problem} an und 
 	vergleicht diese mit unseren Koeffizientenfunktionen, so erkennt man einige
 	Probleme:
 	\begin{itemize}
 		\item $p(x)$ und $w(x)$ sind nicht positiv, wenn $x = 0$ ist.
 		\item $q(x)$ ist nicht kontinuierlich, wenn $x = 0$ ist.
-		\item Die Randbedingung bei $x = 0$ fehlt.
+		\item Die Randbedingung bei $x = 0$ und $x = a$ fehlt.
 	\end{itemize}
 \end{beispiel}
 
-Verwendet man das reguläre Sturm-Liouville-Problem, obwohl eine oder beide
+Verwendet man das reguläre Sturm-Liouville-Problem, obwohl eine oder mehrere
 Bedingungen nicht erfüllt sind, dann ist es schwierig zu sagen, ob die Lösung
-eindeutige Ergebnisse hat.
-Es ist schwierig, Kriterien anzuwenden, da die Formulierungen z. B. in der
-Lösungsfunktion liegen.
-Ähnlich wie bei der Fourier-Reihe gegenüber der Fourier-Transformation gibt es
-immer noch eine zugehörige Eigenfunktionsentwicklung, und zwar die
-Integraltransformation sowie gibt es weiterhin verallgemeinerte Eigenfunktionen.
+eindeutig ist.