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author | erik-loeffler <100943759+erik-loeffler@users.noreply.github.com> | 2022-08-15 09:54:10 +0200 |
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committer | GitHub <noreply@github.com> | 2022-08-15 09:54:10 +0200 |
commit | 504d47a5a03f60cd54425cfd97fbff750a3f9061 (patch) | |
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diff --git a/buch/papers/zeta/euler_product.tex b/buch/papers/zeta/euler_product.tex index a6ed512..9c08dd2 100644 --- a/buch/papers/zeta/euler_product.tex +++ b/buch/papers/zeta/euler_product.tex @@ -1,9 +1,9 @@ \section{Eulerprodukt} \label{zeta:section:eulerprodukt} \rhead{Eulerprodukt} -Das Eulerprodukt stellt die Verbindung der Zetafunktion und der Primzahlen her. -Diese Verbindung ist sehr wichtig, da durch sie eine Aussage zur Primzahlverteilung gemacht werden kann. -Die Verteilung der Primzahlen ist Gegenstand der Riemannschen Vermutung, welche eines der grössten ungelösten Probleme der Mathematik ist. +Das Eulerprodukt stellt die gesuchte Verbindung der Zetafunktion und der Primzahlen her. +Wie der Name bereits sagt, wurde das Eulerprodukt bereits 1727 von Euler entdeckt. +Um daraus die Riemannsche Vermutung herzuleiten, wäre aber noch einiges mehr nötig. \begin{satz} Für alle Zahlen $s$ mit $\Re(s) > 1$ ist die Zetafunktion identisch mit dem unendlichen Eulerprodukt @@ -28,9 +28,9 @@ Die Verteilung der Primzahlen ist Gegenstand der Riemannschen Vermutung, welche = \prod_{p \in P} \sum_{k_i=0}^{\infty} - \left( + \biggl( \frac{1}{p_i^s} - \right)^{k_i} + \biggr)^{k_i} = \prod_{p \in P} \sum_{k_i=0}^{\infty} @@ -53,33 +53,34 @@ Die Verteilung der Primzahlen ist Gegenstand der Riemannschen Vermutung, welche \sum_{k_1=0}^{\infty} \sum_{k_2=0}^{\infty} \ldots - \left( + \biggl( \frac{1}{p_1^{k_1}} \frac{1}{p_2^{k_2}} \ldots - \right)^s. + \biggr)^s. \label{zeta:equation:eulerprodukt2} \end{align} Der Fundamentalsatz der Arithmetik (Primfaktorzerlegung) besagt, dass jede beliebige Zahl $n \in \mathbb{N}$ durch eine eindeutige Primfaktorzerlegung beschrieben werden kann \begin{equation} n = \prod_i p_i^{k_i} \quad \forall \quad n \in \mathbb{N}. \end{equation} - Jeder Summand der Summen in \eqref{zeta:equation:eulerprodukt2} ist somit eine Zahl $n$. - Da die Summen alle möglichen Kombinationen von Exponenten und Primzahlen in \eqref{zeta:equation:eulerprodukt2} enthält haben wir + Jeder Summand der Summen in \eqref{zeta:equation:eulerprodukt2} ist somit der Kehrwert genau einer natürlichen Zahl $n \in \mathbb{N}$. + Da die Summen alle möglichen Kombinationen von Exponenten und Primzahlen in \eqref{zeta:equation:eulerprodukt2} enthält, haben wir \begin{equation} \sum_{k_1=0}^{\infty} \sum_{k_2=0}^{\infty} \ldots - \left( + \biggl( \frac{1}{p_1^{k_1}} \frac{1}{p_2^{k_2}} \ldots - \right)^s + \biggr)^s = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^s} = - \zeta(s) + \zeta(s), \end{equation} + wodurch das Eulerprodukt bewiesen ist. \end{proof} |