tikz und eulerprodukt hinzugefügt

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diff --git a/buch/papers/zeta/analytic_continuation.tex b/buch/papers/zeta/analytic_continuation.tex
index 5e09e42..408a1f7 100644
--- a/buch/papers/zeta/analytic_continuation.tex
+++ b/buch/papers/zeta/analytic_continuation.tex
@@ -1,7 +1,26 @@
 \section{Analytische Fortsetzung} \label{zeta:section:analytische_fortsetzung}
 \rhead{Analytische Fortsetzung}
 
-%TODO missing Text
+Die analytische Fortsetzung der Riemannschen Zetafunktion ist äusserst interessant.
+Sie ermöglicht die Berechnung von $\zeta(-1)$ und weiterer spannender Werte.
+So liegen zum Beispiel unendlich viele Nullstellen der Zetafunktion bei $\Re(s) = 0.5$.
+Diese sind relevant für die Primzahlverteilung und sind Gegenstand der Riemannschen Vermutung.
+
+Es werden zwei verschiedene Fortsetzungen benötigt.
+Die erste erweitert die Zetafunktion auf $\Re(s) > 0$.
+Die zweite verwendet eine Spiegelung an der $\Re(s) = 0.5$ Linie und erschliesst damit die ganze komplexe Ebene.
+Eine grafische Darstellung dieses Plans ist in Abbildung \ref{zeta:fig:continuation_overview} zu sehen.
+\begin{figure}
+    \centering
+    \input{papers/zeta/continuation_overview.tikz.tex}
+    \caption{
+        Die verschiedenen Abschnitte der Riemannschen Zetafunktion. 
+        Die originale Definition von \eqref{zeta:equation1} ist im grünen Bereich gültig.
+        Für den blauen Bereich gilt \eqref{zeta:equation:fortsetzung1}.
+        Um den roten Bereich zu bekommen verwendet die Funktionalgleichung \eqref{zeta:equation:functional} eine Spiegelung an $\Re(s) = 0.5$.
+    }
+    \label{zeta:fig:continuation_overview}
+\end{figure}
 
 \subsection{Fortsetzung auf $\Re(s) > 0$} \label{zeta:subsection:auf_bereich_ge_0}
 Zuerst definieren die Dirichletsche Etafunktion als
@@ -42,7 +61,7 @@ Durch Subtraktion der beiden Gleichungen \eqref{zeta:align1} minus \eqref{zeta:a
     &= \eta(s).
 \end{align}
 Dies ist die Fortsetzung auf den noch unbekannten Bereich $0 < \Re(s) < 1$
-\begin{equation}
+\begin{equation} \label{zeta:equation:fortsetzung1}
     \zeta(s)
     :=
     \left(1 - \frac{1}{2^{s-1}} \right)^{-1} \eta(s).
diff --git a/buch/papers/zeta/continuation_overview.tikz.tex b/buch/papers/zeta/continuation_overview.tikz.tex
index 03224ff..836ab1d 100644
--- a/buch/papers/zeta/continuation_overview.tikz.tex
+++ b/buch/papers/zeta/continuation_overview.tikz.tex
@@ -1,12 +1,13 @@
 \begin{tikzpicture}[>=stealth', auto, node distance=0.9cm, scale=2,
     dot/.style={fill, circle, inner sep=0, minimum size=0.1cm}]
 
-    \draw[->] (-2,0) -- (-1,0) node[dot]{} node[anchor=north]{$-1$} -- (0,0) node[anchor=north west]{$0$} -- (1,0) node[anchor=north west]{$1$} -- (2,0) node[anchor=west]{Re$(s)$};
+    \draw[->] (-2,0) -- (-1,0) node[dot]{} node[anchor=north]{$-1$} -- (0,0) node[anchor=north west]{$0$} -- (0.5,0) node[anchor=north west]{$0.5$}-- (1,0) node[anchor=north west]{$1$} -- (2,0) node[anchor=west]{$\Re(s)$};
 
-    \draw[->] (0,-1.2) -- (0,1.2) node[anchor=south]{Im$(s)$};
+    \draw[->] (0,-1.2) -- (0,1.2) node[anchor=south]{$\Im(s)$};
     \begin{scope}[yscale=0.1]
         \draw[] (1,-1) -- (1,1);
     \end{scope}
+    \draw[dotted] (0.5,-1) -- (0.5,1);
 
     \begin{scope}[]
         \fill[opacity=0.2, red] (-1.8,1) rectangle (0, -1);
@@ -14,4 +15,4 @@
         \fill[opacity=0.2, green] (1,1) rectangle (1.8, -1);
     \end{scope}
 
-\end{tikzpicture}
\ No newline at end of file
+\end{tikzpicture}
diff --git a/buch/papers/zeta/euler_product.tex b/buch/papers/zeta/euler_product.tex
new file mode 100644
index 0000000..a6ed512
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/zeta/euler_product.tex
@@ -0,0 +1,85 @@
+\section{Eulerprodukt} \label{zeta:section:eulerprodukt}
+\rhead{Eulerprodukt}
+
+Das Eulerprodukt stellt die Verbindung der Zetafunktion und der Primzahlen her.
+Diese Verbindung ist sehr wichtig, da durch sie eine Aussage zur Primzahlverteilung gemacht werden kann.
+Die Verteilung der Primzahlen ist Gegenstand der Riemannschen Vermutung, welche eines der grössten ungelösten Probleme der Mathematik ist.
+
+\begin{satz}
+    Für alle Zahlen $s$ mit $\Re(s) > 1$ ist die Zetafunktion identisch mit dem unendlichen Eulerprodukt
+    \begin{equation}\label{zeta:eq:eulerprodukt}
+        \zeta(s)
+        =
+        \sum_{n=1}^\infty
+        \frac{1}{n^s}
+        =
+        \prod_{p \in P}
+        \frac{1}{1-p^{-s}}
+    \end{equation}
+    wobei $P$ die Menge aller Primzahlen darstellt.
+\end{satz}
+
+\begin{proof}[Beweis]
+    Der Beweis startet mit dem Eulerprodukt und stellt dieses so um, dass die Zetafunktion erscheint.
+    Als erstes ersetzen wir die Faktoren durch geometrische Reihen
+    \begin{equation}
+        \prod_{i=1}^{\infty}
+        \frac{1}{1-p^{-s}}
+        =
+        \prod_{p \in P}
+        \sum_{k_i=0}^{\infty}
+        \left(
+        \frac{1}{p_i^s}
+        \right)^{k_i}
+        =
+        \prod_{p \in P}
+        \sum_{k_i=0}^{\infty}
+        \frac{1}{p_i^{s k_i}},
+    \end{equation}
+    dabei iteriert der Index $i$ über alle Primzahlen $p_i$.
+    Durch Ausschreiben der Multiplikation und Ausklammern der Summen erhalten wir
+    \begin{align}
+        \prod_{p \in P}
+        \sum_{k_i=0}^{\infty}
+        \frac{1}{p_i^{s k_i}}
+        &=
+        \sum_{k_1=0}^{\infty}
+        \frac{1}{p_1^{s k_1}}
+        \sum_{k_2=0}^{\infty}
+        \frac{1}{p_2^{s k_2}}
+        \ldots
+        \nonumber \\
+        &=
+        \sum_{k_1=0}^{\infty}
+        \sum_{k_2=0}^{\infty}
+        \ldots
+        \left(
+        \frac{1}{p_1^{k_1}}
+        \frac{1}{p_2^{k_2}}
+        \ldots
+        \right)^s.
+        \label{zeta:equation:eulerprodukt2}
+    \end{align}
+    Der Fundamentalsatz der Arithmetik (Primfaktorzerlegung) besagt, dass jede beliebige Zahl $n \in \mathbb{N}$ durch eine eindeutige Primfaktorzerlegung beschrieben werden kann
+    \begin{equation}
+        n = \prod_i p_i^{k_i} \quad \forall \quad n \in \mathbb{N}.
+    \end{equation}
+    Jeder Summand der Summen in \eqref{zeta:equation:eulerprodukt2} ist somit eine Zahl $n$.
+    Da die Summen alle möglichen Kombinationen von Exponenten und Primzahlen in \eqref{zeta:equation:eulerprodukt2} enthält haben wir
+    \begin{equation}
+        \sum_{k_1=0}^{\infty}
+        \sum_{k_2=0}^{\infty}
+        \ldots
+        \left(
+        \frac{1}{p_1^{k_1}}
+        \frac{1}{p_2^{k_2}}
+        \ldots
+        \right)^s
+        =
+        \sum_{n=1}^\infty
+        \frac{1}{n^s}
+        =
+        \zeta(s)
+    \end{equation}
+\end{proof}
+
diff --git a/buch/papers/zeta/main.tex b/buch/papers/zeta/main.tex
index e0ea8e1..caddace 100644
--- a/buch/papers/zeta/main.tex
+++ b/buch/papers/zeta/main.tex
@@ -11,6 +11,7 @@
 %TODO Einleitung
 
 \input{papers/zeta/einleitung.tex}
+\input{papers/zeta/euler_product.tex}
 \input{papers/zeta/zeta_gamma.tex}
 \input{papers/zeta/analytic_continuation.tex}
 
diff --git a/buch/papers/zeta/zeta_gamma.tex b/buch/papers/zeta/zeta_gamma.tex
index 49fea74..db41676 100644
--- a/buch/papers/zeta/zeta_gamma.tex
+++ b/buch/papers/zeta/zeta_gamma.tex
@@ -2,9 +2,8 @@
 \rhead{Zusammenhang mit der Gammafunktion}
 
 In diesem Abschnitt wird gezeigt, wie sich die Zetafunktion durch die Gammafunktion $\Gamma(s)$ ausdrücken lässt.
-Dieser Zusammenhang der Art $\zeta(s) = f(\Gamma(s))$ wird später für die Herleitung der analytischen Fortsetzung gebraucht.
+Dieser Zusammenhang der Art $\zeta(s) = f(\Gamma(s))$ ist nicht nur interessant, er wird später auch für die Herleitung der analytischen Fortsetzung gebraucht.
 
-%TODO ref Gamma
 Wir erinnern uns an die Definition der Gammafunktion in \eqref{buch:rekursion:gamma:integralbeweis}
 \begin{equation*}
     \Gamma(s)
@@ -51,12 +50,12 @@ Die Summe über $e^{-nu}$ können wir als geometrische Reihe schreiben und erhal
     &=
     \frac{1}{e^u - 1}.
 \end{align}
-Wenn wir dieses Resultat einsetzen in \eqref{zeta:equation:zeta_gamma1} und durch $\Gamma(s)$ teilen, erhalten wir %TODO formulieren als Satz
+Wenn wir dieses Resultat einsetzen in \eqref{zeta:equation:zeta_gamma1} und durch $\Gamma(s)$ teilen, erhalten wir den gewünschten Zusammenhang
 \begin{equation}\label{zeta:equation:zeta_gamma_final}
     \zeta(s)
     =
     \frac{1}{\Gamma(s)}
     \int_0^{\infty}
     \frac{u^{s-1}}{e^u -1}
-    du.
+    du \qed
 \end{equation}