Merge branch 'AndreasFMueller:master' into master

16 files changed, 542 insertions, 188 deletions

diff --git a/buch/papers/common/addpapers.tex b/buch/papers/common/addpapers.tex
index dd2b07a..eb353d7 100644
--- a/buch/papers/common/addpapers.tex
+++ b/buch/papers/common/addpapers.tex
@@ -3,7 +3,6 @@
 %
 % (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
 %
-\input{papers/000template/main.tex}
 \input{papers/lambertw/main.tex}
 \input{papers/fm/main.tex}
 \input{papers/parzyl/main.tex}
diff --git a/buch/papers/common/paperlist b/buch/papers/common/paperlist
index d4e5c20..f607279 100644
--- a/buch/papers/common/paperlist
+++ b/buch/papers/common/paperlist
@@ -1,4 +1,3 @@
-000template
 lambertw
 fm
 parzyl
diff --git a/buch/papers/nav/images/Makefile b/buch/papers/nav/images/Makefile
new file mode 100644
index 0000000..a0d7b34
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/nav/images/Makefile
@@ -0,0 +1,11 @@
+#
+# Makefile to build images 
+#
+# (c) 2022
+#
+
+dreieck.pdf:	dreieck.tex dreieckdata.tex macros.tex
+	pdflatex dreieck.tex
+
+dreieckdata.tex:	pk.m
+	octave pk.m
diff --git a/buch/papers/nav/images/dreieck.tex b/buch/papers/nav/images/dreieck.tex
new file mode 100644
index 0000000..55f6a81
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/nav/images/dreieck.tex
@@ -0,0 +1,68 @@
+%
+% dreieck.tex -- sphärische Dreiecke für Positionsbestimmung
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\documentclass[tikz]{standalone}
+\usepackage{amsmath}
+\usepackage{times}
+\usepackage{txfonts}
+\usepackage{pgfplots}
+\usepackage{csvsimple}
+\usetikzlibrary{arrows,intersections,math,calc}
+\begin{document}
+
+\definecolor{darkgreen}{rgb}{0,0.6,0}
+
+\def\skala{1}
+
+\def\punkt#1#2{
+	\fill[color=#2] #1 circle[radius=0.08];
+}
+
+\begin{tikzpicture}[>=latex,thick,scale=\skala]
+
+\input{dreieckdata.tex}
+\input{macros.tex}
+
+\def\punktbeschriftung{
+	\node at (A) [above] {$A$};
+	\node at (B) [left] {$B$};
+	\node at (C) [right] {$C$};
+	\node at (P) [below] {$P$};
+}
+
+\winkelKappa{gray}
+
+\winkelAlpha{red}
+\winkelGamma{blue}
+\winkelBeta{darkgreen}
+
+\winkelOmega{gray}
+\winkelBetaEins{brown}
+
+\seiteC{black}
+\seiteB{black}
+\seiteA{black}
+
+\seiteL{gray}
+\seitePB{gray}
+\seitePC{gray}
+
+\draw[line width=1.4pt] \kanteAB;
+\draw[line width=1.4pt] \kanteAC;
+\draw[color=gray] \kanteAP;
+\draw[line width=1.4pt] \kanteBC;
+\draw[color=gray] \kanteBP;
+\draw[color=gray] \kanteCP;
+
+\punkt{(A)}{black};
+\punkt{(B)}{black};
+\punkt{(C)}{black};
+\punkt{(P)}{gray};
+
+\punktbeschriftung
+
+\end{tikzpicture}
+\end{document}
+
diff --git a/buch/papers/nav/images/dreieckdata.tex b/buch/papers/nav/images/dreieckdata.tex
new file mode 100644
index 0000000..c0fb720
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/nav/images/dreieckdata.tex
@@ -0,0 +1,16 @@
+\coordinate (P) at (0.0000,0.0000);
+\coordinate (A) at (1.0000,8.0000);
+\coordinate (B) at (-3.0000,3.0000);
+\coordinate (C) at (4.0000,4.0000);
+\def\kanteAB{(1.0000,8.0000) arc (114.77514:167.90524:7.1589)}
+\def\kanteBA{(-3.0000,3.0000) arc (167.90524:114.77514:7.1589)}
+\def\kanteAC{(1.0000,8.0000) arc (63.43495:10.30485:5.5902)}
+\def\kanteCA{(4.0000,4.0000) arc (10.30485:63.43495:5.5902)}
+\def\kanteAP{(1.0000,8.0000) arc (146.30993:199.44003:9.0139)}
+\def\kantePA{(0.0000,0.0000) arc (199.44003:146.30993:9.0139)}
+\def\kanteBC{(-3.0000,3.0000) arc (-95.90614:-67.83365:14.5774)}
+\def\kanteCB{(4.0000,4.0000) arc (-67.83365:-95.90614:14.5774)}
+\def\kanteBP{(-3.0000,3.0000) arc (-161.56505:-108.43495:4.7434)}
+\def\kantePB{(0.0000,0.0000) arc (-108.43495:-161.56505:4.7434)}
+\def\kanteCP{(4.0000,4.0000) arc (-30.96376:-59.03624:11.6619)}
+\def\kantePC{(0.0000,0.0000) arc (-59.03624:-30.96376:11.6619)}
diff --git a/buch/papers/nav/images/macros.tex b/buch/papers/nav/images/macros.tex
new file mode 100644
index 0000000..69a620d
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/nav/images/macros.tex
@@ -0,0 +1,54 @@
+\def\winkelAlpha#1{
+	\begin{scope}
+		\clip (A) circle[radius=1.1];
+		\fill[color=#1!20] \kanteAB -- \kanteCA -- cycle;
+	\end{scope}
+	\node[color=#1] at ($(A)+(222:0.82)$) {$\alpha$};
+}
+
+\def\winkelOmega#1{
+	\begin{scope}
+		\clip (A) circle[radius=0.7];
+		\fill[color=#1!20] \kanteAP -- \kanteCA -- cycle;
+	\end{scope}
+	\node[color=#1] at ($(A)+(285:0.50)$) {$\omega$};
+}
+
+\def\winkelGamma#1{
+	\begin{scope}
+		\clip (C) circle[radius=1.0];
+		\fill[color=#1!20] \kanteCA -- \kanteBC -- cycle;
+	\end{scope}
+	\node[color=#1] at ($(C)+(155:0.60)$) {$\gamma$};
+}
+
+\def\winkelKappa#1{
+	\begin{scope}
+		\clip (B) circle[radius=1.2];
+		\fill[color=#1!20] \kanteBP -- \kanteAB -- cycle;
+	\end{scope}
+	\node[color=#1] at ($(B)+(15:1.00)$) {$\kappa$};
+}
+
+\def\winkelBeta#1{
+	\begin{scope}
+		\clip (B) circle[radius=0.8];
+		\fill[color=#1!20] \kanteBC -- \kanteAB -- cycle;
+	\end{scope}
+	\node[color=#1] at ($(B)+(35:0.40)$) {$\beta$};
+}
+
+\def\winkelBetaEins#1{
+	\begin{scope}
+		\clip (B) circle[radius=0.8];
+		\fill[color=#1!20] \kanteBP -- \kanteCB -- cycle;
+	\end{scope}
+	\node[color=#1] at ($(B)+(330:0.60)$) {$\beta_1$};
+}
+
+\def\seiteC#1{ \node[color=#1] at (-1.9,5.9) {$c$}; }
+\def\seiteB#1{ \node[color=#1] at (3.2,6.5) {$b$}; }
+\def\seiteL#1{ \node[color=#1] at (-0.2,4.5) {$l$}; }
+\def\seiteA#1{ \node[color=#1] at (2,3) {$a$}; }
+\def\seitePB#1{ \node[color=#1] at (-2.1,1) {$p_b$}; }
+\def\seitePC#1{ \node[color=#1] at (2.5,1.5) {$p_c$}; }
diff --git a/buch/papers/nav/images/pk.m b/buch/papers/nav/images/pk.m
new file mode 100644
index 0000000..6e89e9a
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/nav/images/pk.m
@@ -0,0 +1,55 @@
+#
+# pk.m -- Punkte und Kanten für sphärisches Dreieck
+#
+# (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+#
+
+A = [  1, 8 ];
+B = [ -3, 3 ];
+C = [  4, 4 ];
+P = [  0, 0 ];
+
+global fn;
+fn = fopen("dreieckdata.tex", "w");
+
+fprintf(fn, "\\coordinate (P) at (%.4f,%.4f);\n", P(1,1), P(1,2));
+fprintf(fn, "\\coordinate (A) at (%.4f,%.4f);\n", A(1,1), A(1,2));
+fprintf(fn, "\\coordinate (B) at (%.4f,%.4f);\n", B(1,1), B(1,2));
+fprintf(fn, "\\coordinate (C) at (%.4f,%.4f);\n", C(1,1), C(1,2));
+
+function retval = seite(A, B, l, nameA, nameB)
+	global fn;
+	d = fliplr(B - A);
+	d(1, 2) = -d(1, 2);
+	# Zentrum
+	C = 0.5 * (A + B) + l * d;
+	# Radius:
+	r = hypot(C(1,1)-A(1,1), C(1,2)-A(1,2))
+	# Winkel von
+	winkelvon = atan2(A(1,2)-C(1,2),A(1,1)-C(1,1));
+	# Winkel bis
+	winkelbis = atan2(B(1,2)-C(1,2),B(1,1)-C(1,1));
+	if (abs(winkelvon - winkelbis) > pi)
+		if (winkelbis < winkelvon)
+			winkelbis = winkelbis + 2 * pi
+		else
+			winkelvon = winkelvon + 2 * pi
+		end
+	end
+	# Kurve
+	fprintf(fn, "\\def\\kante%s%s{(%.4f,%.4f) arc (%.5f:%.5f:%.4f)}\n",
+		nameA, nameB,
+		A(1,1), A(1,2), winkelvon * 180 / pi, winkelbis * 180 / pi, r);
+	fprintf(fn, "\\def\\kante%s%s{(%.4f,%.4f) arc (%.5f:%.5f:%.4f)}\n",
+		nameB, nameA,
+		B(1,1), B(1,2), winkelbis * 180 / pi, winkelvon * 180 / pi, r);
+endfunction
+
+seite(A, B, -1, "A", "B");
+seite(A, C, 1, "A", "C");
+seite(A, P, -1, "A", "P");
+seite(B, C, -2, "B", "C");
+seite(B, P, -1, "B", "P");
+seite(C, P, 2, "C", "P");
+
+fclose(fn);
diff --git a/buch/papers/zeta/Makefile.inc b/buch/papers/zeta/Makefile.inc
index 11c7697..14babe2 100644
--- a/buch/papers/zeta/Makefile.inc
+++ b/buch/papers/zeta/Makefile.inc
@@ -7,8 +7,7 @@ dependencies-zeta =						\
 	papers/zeta/packages.tex					\
 	papers/zeta/main.tex					\
 	papers/zeta/references.bib				\
-	papers/zeta/teil0.tex					\
-	papers/zeta/teil1.tex					\
-	papers/zeta/teil2.tex					\
-	papers/zeta/teil3.tex
+	papers/zeta/einleitung.tex					\
+	papers/zeta/analytic_continuation.tex					\
+    papers/zeta/zeta_gamma.tex \
 
diff --git a/buch/papers/zeta/analytic_continuation.tex b/buch/papers/zeta/analytic_continuation.tex
new file mode 100644
index 0000000..bb95b92
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/zeta/analytic_continuation.tex
@@ -0,0 +1,264 @@
+\section{Analytische Fortsetzung} \label{zeta:section:analytische_fortsetzung}
+\rhead{Analytische Fortsetzung}
+
+%TODO missing Text
+
+\subsection{Fortsetzung auf $\Re(s) > 0$} \label{zeta:subsection:auf_bereich_ge_0}
+Zuerst definieren die Dirichletsche Etafunktion als
+\begin{equation}\label{zeta:equation:eta}
+    \eta(s)
+    =
+    \sum_{n=1}^{\infty}
+    \frac{(-1)^{n-1}}{n^s},
+\end{equation}
+wobei die Reihe bis auf die alternierenden Vorzeichen die selbe wie in der Zetafunktion ist.
+Diese Etafunktion konvergiert gemäss dem Leibnitz-Kriterium im Bereich $\Re(s) > 0$, da dann die einzelnen Glieder monoton fallend sind.
+
+Wenn wir es nun schaffen, die sehr ähnliche Zetafunktion mit der Etafunktion auszudrücken, dann haben die gesuchte Fortsetzung.
+Die folgenden Schritte zeigen, wie man dazu kommt:
+\begin{align}
+    \zeta(s)
+    &=
+    \sum_{n=1}^{\infty}
+    \frac{1}{n^s} \label{zeta:align1}
+    \\
+    \frac{1}{2^{s-1}}
+    \zeta(s)
+    &=
+    \sum_{n=1}^{\infty}
+    \frac{2}{(2n)^s} \label{zeta:align2}
+    \\
+    \left(1 - \frac{1}{2^{s-1}} \right)
+    \zeta(s)
+    &=
+    \frac{1}{1^s}
+    \underbrace{-\frac{2}{2^s} + \frac{1}{2^s}}_{-\frac{1}{2^s}}
+    + \frac{1}{3^s}
+    \underbrace{-\frac{2}{4^s} + \frac{1}{4^s}}_{-\frac{1}{4^s}}
+    \ldots
+    && \text{\eqref{zeta:align1}} - \text{\eqref{zeta:align2}}
+    \\
+    &= \eta(s)
+    \\
+    \zeta(s)
+    &=
+    \left(1 - \frac{1}{2^{s-1}} \right)^{-1} \eta(s).
+\end{align}
+
+\subsection{Fortsetzung auf ganz $\mathbb{C}$} \label{zeta:subsection:auf_ganz}
+Für die Fortsetzung auf den Rest von $\mathbb{C}$, verwenden wir den Zusammenhang von Gamma- und Zetafunktion aus \ref{zeta:section:zusammenhang_mit_gammafunktion}.
+Wir beginnen damit, die Gammafunktion für den halben Funktionswert zu berechnen als
+\begin{equation}
+    \Gamma \left( \frac{s}{2} \right)
+    =
+    \int_0^{\infty} t^{\frac{s}{2}-1} e^{-t} dt.
+\end{equation}
+Nun substituieren wir $t$ mit $t = \pi n^2 x$ und $dt=\pi n^2 dx$ und erhalten
+\begin{align}
+    \Gamma \left( \frac{s}{2} \right)
+    &=
+    \int_0^{\infty}
+    (\pi n^2)^{\frac{s}{2}}
+    x^{\frac{s}{2}-1}
+    e^{-\pi n^2 x}
+    dx
+    && \text{Division durch } (\pi n^2)^{\frac{s}{2}}
+    \\
+    \frac{\Gamma \left( \frac{s}{2} \right)}{\pi^{\frac{s}{2}} n^s}
+    &=
+    \int_0^{\infty}
+    x^{\frac{s}{2}-1}
+    e^{-\pi n^2 x}
+    dx
+    && \text{Zeta durch Summenbildung } \sum_{n=1}^{\infty}
+    \\
+    \frac{\Gamma \left( \frac{s}{2} \right)}{\pi^{\frac{s}{2}}}
+    \zeta(s)
+    &=
+    \int_0^{\infty}
+    x^{\frac{s}{2}-1}
+    \sum_{n=1}^{\infty}
+    e^{-\pi n^2 x}
+    dx. \label{zeta:equation:integral1}
+\end{align}
+Die Summe kürzen wir ab als $\psi(x) = \sum_{n=1}^{\infty} e^{-\pi n^2 x}$.
+%TODO Wieso folgendes -> aus Fourier Signal
+Es gilt
+\begin{equation}\label{zeta:equation:psi}
+    \psi(x)
+    =
+    - \frac{1}{2}
+    + \frac{\psi\left(\frac{1}{x} \right)}{\sqrt{x}}
+    + \frac{1}{2 \sqrt{x}}.
+\end{equation}
+
+Zunächst teilen wir nun das Integral aus \eqref{zeta:equation:integral1} auf als
+\begin{equation}\label{zeta:equation:integral2}
+    \int_0^{\infty}
+    x^{\frac{s}{2}-1}
+    \psi(x)
+    dx
+    =
+    \int_0^{1}
+    x^{\frac{s}{2}-1}
+    \psi(x)
+    dx
+    +
+    \int_1^{\infty}
+    x^{\frac{s}{2}-1}
+    \psi(x)
+    dx,
+\end{equation}
+wobei wir uns nun auf den ersten Teil konzentrieren werden.
+Dabei setzen wir das Wissen aus \eqref{zeta:equation:psi} ein und erhalten
+\begin{align}
+    \int_0^{1}
+    x^{\frac{s}{2}-1}
+    \psi(x)
+    dx
+    &=
+    \int_0^{1}
+    x^{\frac{s}{2}-1}
+    \left(
+    - \frac{1}{2}
+    + \frac{\psi\left(\frac{1}{x} \right)}{\sqrt{x}}
+    + \frac{1}{2 \sqrt{x}}.
+    \right)
+    dx
+    \\
+    &=
+    \int_0^{1}
+    x^{\frac{s}{2}-\frac{3}{2}}
+    \psi \left( \frac{1}{x} \right)
+    + \frac{1}{2}
+    \left(
+    x^{\frac{s}{2}-\frac{3}{2}}
+    -
+    x^{\frac{s}{2}-1}
+    \right)
+    dx
+    \\
+    &=
+    \int_0^{1}
+    x^{\frac{s}{2}-\frac{3}{2}}
+    \psi \left( \frac{1}{x} \right)
+    dx
+    + \frac{1}{2}
+    \int_0^1
+    x^{\frac{s}{2}-\frac{3}{2}}
+    -
+    x^{\frac{s}{2}-1}
+    dx. \label{zeta:equation:integral3}
+\end{align}
+Dabei kann das zweite Integral gelöst werden als
+\begin{equation}
+    \frac{1}{2}
+    \int_0^1
+    x^{\frac{s}{2}-\frac{3}{2}}
+    -
+    x^{\frac{s}{2}-1}
+    dx
+    =
+    \frac{1}{s(s-1)}.
+\end{equation}
+Das erste Integral aus \eqref{zeta:equation:integral3} mit $\psi \left(\frac{1}{x} \right)$ ist nicht lösbar in dieser Form.
+Deshalb substituieren wir $x = \frac{1}{u}$ und $dx = -\frac{1}{u^2}du$.
+Die untere Integralgrenze wechselt ebenfalls zu $x_0 = 0 \rightarrow u_0 = \infty$.
+Dies ergibt
+\begin{align}
+    \int_{\infty}^{1}
+    {\frac{1}{u}}^{\frac{s}{2}-\frac{3}{2}}
+    \psi(u)
+    \frac{-du}{u^2}
+    &=
+    \int_{1}^{\infty}
+    {\frac{1}{u}}^{\frac{s}{2}-\frac{3}{2}}
+    \psi(u)
+    \frac{du}{u^2}
+    \\
+    &=
+    \int_{1}^{\infty}
+    x^{(-1) \left(\frac{s}{2}+\frac{1}{2}\right)}
+    \psi(x)
+    dx,
+\end{align}
+wobei wir durch Multiplikation mit $(-1)$ die Integralgrenzen tauschen dürfen.
+Es ist zu beachten das diese Grenzen nun identisch mit den Grenzen des zweiten Integrals von \eqref{zeta:equation:integral2} sind.
+Wir setzen beide Lösungen ein in Gleichung \eqref{zeta:equation:integral3} und erhalten
+\begin{equation}
+    \int_0^{1}
+    x^{\frac{s}{2}-1}
+    \psi(x)
+    dx
+    =
+    \int_{1}^{\infty}
+    x^{(-1) \left(\frac{s}{2}+\frac{1}{2}\right)}
+    \psi(x)
+    dx
+    +
+    \frac{1}{s(s-1)}.
+\end{equation}
+Dieses Resultat setzen wir wiederum ein in \eqref{zeta:equation:integral2}, um schlussendlich
+\begin{align}
+    \frac{\Gamma \left( \frac{s}{2} \right)}{\pi^{\frac{s}{2}}}
+    \zeta(s)
+    &=
+    \int_0^{1}
+    x^{\frac{s}{2}-1}
+    \psi(x)
+    dx
+    +
+    \int_1^{\infty}
+    x^{\frac{s}{2}-1}
+    \psi(x)
+    dx
+    \nonumber
+    \\
+    &=
+    \frac{1}{s(s-1)}
+    +
+    \int_{1}^{\infty}
+    x^{(-1) \left(\frac{s}{2}+\frac{1}{2}\right)}
+    \psi(x)
+    dx
+    +
+    \int_1^{\infty}
+    x^{\frac{s}{2}-1}
+    \psi(x)
+    dx
+    \\
+    &=
+    \frac{1}{s(s-1)}
+    +
+    \int_{1}^{\infty}
+    \left(
+    x^{-\frac{s}{2}-\frac{1}{2}}
+    +
+    x^{\frac{s}{2}-1}
+    \right)
+    \psi(x)
+    dx
+    \\
+    &=
+    \frac{-1}{s(1-s)}
+    +
+    \int_{1}^{\infty}
+    \left(
+    x^{\frac{1-s}{2}}
+    +
+    x^{\frac{s}{2}}
+    \right)
+    \frac{\psi(x)}{x}
+    dx,
+\end{align}
+zu erhalten.
+Wenn wir dieses Resultat genau anschauen, erkennen wir dass sich nichts verändert wenn $s$ mit $1-s$ ersetzt wird.
+Somit haben wir die analytische Fortsetzung gefunden als
+\begin{equation}\label{zeta:equation:functional}
+    \frac{\Gamma \left( \frac{s}{2} \right)}{\pi^{\frac{s}{2}}}
+    \zeta(s)
+    =
+    \frac{\Gamma \left( \frac{1-s}{2} \right)}{\pi^{\frac{1-s}{2}}}
+    \zeta(1-s).
+\end{equation}
+
diff --git a/buch/papers/zeta/einleitung.tex b/buch/papers/zeta/einleitung.tex
new file mode 100644
index 0000000..3b70531
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/zeta/einleitung.tex
@@ -0,0 +1,11 @@
+\section{Einleitung} \label{zeta:section:einleitung}
+\rhead{Einleitung}
+
+Die Riemannsche Zetafunktion ist für alle komplexe $s$ mit $\Re(s) > 1$ definiert als
+\begin{equation}\label{zeta:equation1}
+    \zeta(s)
+    =
+    \sum_{n=1}^{\infty}
+    \frac{1}{n^s}.
+\end{equation}
+
diff --git a/buch/papers/zeta/main.tex b/buch/papers/zeta/main.tex
index 1d9e059..e0ea8e1 100644
--- a/buch/papers/zeta/main.tex
+++ b/buch/papers/zeta/main.tex
@@ -3,34 +3,16 @@
 %
 % (c) 2020 Hochschule Rapperswil
 %
-\chapter{Thema\label{chapter:zeta}}
-\lhead{Thema}
+\chapter{Riemannsche Zetafunktion\label{chapter:zeta}}
+\lhead{Riemannsche Zetafunktion}
 \begin{refsection}
-\chapterauthor{Hans Muster}
+\chapterauthor{Raphael Unterer}
 
-Ein paar Hinweise für die korrekte Formatierung des Textes
-\begin{itemize}
-\item
-Absätze werden gebildet, indem man eine Leerzeile einfügt.
-Die Verwendung von \verb+\\+ ist nur in Tabellen und Arrays gestattet.
-\item
-Die explizite Platzierung von Bildern ist nicht erlaubt, entsprechende
-Optionen werden gelöscht. 
-Verwenden Sie Labels und Verweise, um auf Bilder hinzuweisen.
-\item
-Beginnen Sie jeden Satz auf einer neuen Zeile. 
-Damit ermöglichen Sie dem Versionsverwaltungssysteme, Änderungen
-in verschiedenen Sätzen von verschiedenen Autoren ohne Konflikt 
-anzuwenden.
-\item 
-Bilden Sie auch für Formeln kurze Zeilen, einerseits der besseren
-Übersicht wegen, aber auch um GIT die Arbeit zu erleichtern.
-\end{itemize}
+%TODO Einleitung
 
-\input{papers/zeta/teil0.tex}
-\input{papers/zeta/teil1.tex}
-\input{papers/zeta/teil2.tex}
-\input{papers/zeta/teil3.tex}
+\input{papers/zeta/einleitung.tex}
+\input{papers/zeta/zeta_gamma.tex}
+\input{papers/zeta/analytic_continuation.tex}
 
 \printbibliography[heading=subbibliography]
 \end{refsection}
diff --git a/buch/papers/zeta/teil0.tex b/buch/papers/zeta/teil0.tex
deleted file mode 100644
index 56c0b1b..0000000
--- a/buch/papers/zeta/teil0.tex
+++ /dev/null
@@ -1,22 +0,0 @@
-%
-% einleitung.tex -- Beispiel-File für die Einleitung
-%
-% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
-%
-\section{Teil 0\label{zeta:section:teil0}}
-\rhead{Teil 0}
-Lorem ipsum dolor sit amet, consetetur sadipscing elitr, sed diam
-nonumy eirmod tempor invidunt ut labore et dolore magna aliquyam
-erat, sed diam voluptua \cite{zeta:bibtex}.
-At vero eos et accusam et justo duo dolores et ea rebum.
-Stet clita kasd gubergren, no sea takimata sanctus est Lorem ipsum
-dolor sit amet.
-
-Lorem ipsum dolor sit amet, consetetur sadipscing elitr, sed diam
-nonumy eirmod tempor invidunt ut labore et dolore magna aliquyam
-erat, sed diam voluptua.
-At vero eos et accusam et justo duo dolores et ea rebum.  Stet clita
-kasd gubergren, no sea takimata sanctus est Lorem ipsum dolor sit
-amet.
-
-
diff --git a/buch/papers/zeta/teil1.tex b/buch/papers/zeta/teil1.tex
deleted file mode 100644
index 4017ee8..0000000
--- a/buch/papers/zeta/teil1.tex
+++ /dev/null
@@ -1,55 +0,0 @@
-%
-% teil1.tex -- Beispiel-File für das Paper
-%
-% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
-%
-\section{Teil 1
-\label{zeta:section:teil1}}
-\rhead{Problemstellung}
-Sed ut perspiciatis unde omnis iste natus error sit voluptatem
-accusantium doloremque laudantium, totam rem aperiam, eaque ipsa
-quae ab illo inventore veritatis et quasi architecto beatae vitae
-dicta sunt explicabo.
-Nemo enim ipsam voluptatem quia voluptas sit aspernatur aut odit
-aut fugit, sed quia consequuntur magni dolores eos qui ratione
-voluptatem sequi nesciunt
-\begin{equation}
-\int_a^b x^2\, dx
-=
-\left[ \frac13 x^3 \right]_a^b
-=
-\frac{b^3-a^3}3.
-\label{zeta:equation1}
-\end{equation}
-Neque porro quisquam est, qui dolorem ipsum quia dolor sit amet,
-consectetur, adipisci velit, sed quia non numquam eius modi tempora
-incidunt ut labore et dolore magnam aliquam quaerat voluptatem.
-
-Ut enim ad minima veniam, quis nostrum exercitationem ullam corporis
-suscipit laboriosam, nisi ut aliquid ex ea commodi consequatur?
-Quis autem vel eum iure reprehenderit qui in ea voluptate velit
-esse quam nihil molestiae consequatur, vel illum qui dolorem eum
-fugiat quo voluptas nulla pariatur?
-
-\subsection{De finibus bonorum et malorum
-\label{zeta:subsection:finibus}}
-At vero eos et accusamus et iusto odio dignissimos ducimus qui
-blanditiis praesentium voluptatum deleniti atque corrupti quos
-dolores et quas molestias excepturi sint occaecati cupiditate non
-provident, similique sunt in culpa qui officia deserunt mollitia
-animi, id est laborum et dolorum fuga \eqref{000tempmlate:equation1}.
-
-Et harum quidem rerum facilis est et expedita distinctio
-\ref{zeta:section:loesung}.
-Nam libero tempore, cum soluta nobis est eligendi optio cumque nihil
-impedit quo minus id quod maxime placeat facere possimus, omnis
-voluptas assumenda est, omnis dolor repellendus
-\ref{zeta:section:folgerung}.
-Temporibus autem quibusdam et aut officiis debitis aut rerum
-necessitatibus saepe eveniet ut et voluptates repudiandae sint et
-molestiae non recusandae.
-Itaque earum rerum hic tenetur a sapiente delectus, ut aut reiciendis
-voluptatibus maiores alias consequatur aut perferendis doloribus
-asperiores repellat.
-
-
diff --git a/buch/papers/zeta/teil2.tex b/buch/papers/zeta/teil2.tex
deleted file mode 100644
index 9e8a96e..0000000
--- a/buch/papers/zeta/teil2.tex
+++ /dev/null
@@ -1,40 +0,0 @@
-%
-% teil2.tex -- Beispiel-File für teil2 
-%
-% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
-%
-\section{Teil 2 
-\label{zeta:section:teil2}}
-\rhead{Teil 2}
-Sed ut perspiciatis unde omnis iste natus error sit voluptatem
-accusantium doloremque laudantium, totam rem aperiam, eaque ipsa
-quae ab illo inventore veritatis et quasi architecto beatae vitae
-dicta sunt explicabo. Nemo enim ipsam voluptatem quia voluptas sit
-aspernatur aut odit aut fugit, sed quia consequuntur magni dolores
-eos qui ratione voluptatem sequi nesciunt. Neque porro quisquam
-est, qui dolorem ipsum quia dolor sit amet, consectetur, adipisci
-velit, sed quia non numquam eius modi tempora incidunt ut labore
-et dolore magnam aliquam quaerat voluptatem. Ut enim ad minima
-veniam, quis nostrum exercitationem ullam corporis suscipit laboriosam,
-nisi ut aliquid ex ea commodi consequatur? Quis autem vel eum iure
-reprehenderit qui in ea voluptate velit esse quam nihil molestiae
-consequatur, vel illum qui dolorem eum fugiat quo voluptas nulla
-pariatur?
-
-\subsection{De finibus bonorum et malorum
-\label{zeta:subsection:bonorum}}
-At vero eos et accusamus et iusto odio dignissimos ducimus qui
-blanditiis praesentium voluptatum deleniti atque corrupti quos
-dolores et quas molestias excepturi sint occaecati cupiditate non
-provident, similique sunt in culpa qui officia deserunt mollitia
-animi, id est laborum et dolorum fuga. Et harum quidem rerum facilis
-est et expedita distinctio. Nam libero tempore, cum soluta nobis
-est eligendi optio cumque nihil impedit quo minus id quod maxime
-placeat facere possimus, omnis voluptas assumenda est, omnis dolor
-repellendus. Temporibus autem quibusdam et aut officiis debitis aut
-rerum necessitatibus saepe eveniet ut et voluptates repudiandae
-sint et molestiae non recusandae. Itaque earum rerum hic tenetur a
-sapiente delectus, ut aut reiciendis voluptatibus maiores alias
-consequatur aut perferendis doloribus asperiores repellat.
-
-
diff --git a/buch/papers/zeta/teil3.tex b/buch/papers/zeta/teil3.tex
deleted file mode 100644
index 6610cc3..0000000
--- a/buch/papers/zeta/teil3.tex
+++ /dev/null
@@ -1,40 +0,0 @@
-%
-% teil3.tex -- Beispiel-File für Teil 3
-%
-% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
-%
-\section{Teil 3
-\label{zeta:section:teil3}}
-\rhead{Teil 3}
-Sed ut perspiciatis unde omnis iste natus error sit voluptatem
-accusantium doloremque laudantium, totam rem aperiam, eaque ipsa
-quae ab illo inventore veritatis et quasi architecto beatae vitae
-dicta sunt explicabo. Nemo enim ipsam voluptatem quia voluptas sit
-aspernatur aut odit aut fugit, sed quia consequuntur magni dolores
-eos qui ratione voluptatem sequi nesciunt. Neque porro quisquam
-est, qui dolorem ipsum quia dolor sit amet, consectetur, adipisci
-velit, sed quia non numquam eius modi tempora incidunt ut labore
-et dolore magnam aliquam quaerat voluptatem. Ut enim ad minima
-veniam, quis nostrum exercitationem ullam corporis suscipit laboriosam,
-nisi ut aliquid ex ea commodi consequatur? Quis autem vel eum iure
-reprehenderit qui in ea voluptate velit esse quam nihil molestiae
-consequatur, vel illum qui dolorem eum fugiat quo voluptas nulla
-pariatur?
-
-\subsection{De finibus bonorum et malorum
-\label{zeta:subsection:malorum}}
-At vero eos et accusamus et iusto odio dignissimos ducimus qui
-blanditiis praesentium voluptatum deleniti atque corrupti quos
-dolores et quas molestias excepturi sint occaecati cupiditate non
-provident, similique sunt in culpa qui officia deserunt mollitia
-animi, id est laborum et dolorum fuga. Et harum quidem rerum facilis
-est et expedita distinctio. Nam libero tempore, cum soluta nobis
-est eligendi optio cumque nihil impedit quo minus id quod maxime
-placeat facere possimus, omnis voluptas assumenda est, omnis dolor
-repellendus. Temporibus autem quibusdam et aut officiis debitis aut
-rerum necessitatibus saepe eveniet ut et voluptates repudiandae
-sint et molestiae non recusandae. Itaque earum rerum hic tenetur a
-sapiente delectus, ut aut reiciendis voluptatibus maiores alias
-consequatur aut perferendis doloribus asperiores repellat.
-
-
diff --git a/buch/papers/zeta/zeta_gamma.tex b/buch/papers/zeta/zeta_gamma.tex
new file mode 100644
index 0000000..59c8744
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/zeta/zeta_gamma.tex
@@ -0,0 +1,53 @@
+\section{Zusammenhang mit Gammafunktion} \label{zeta:section:zusammenhang_mit_gammafunktion}
+\rhead{Zusammenhang mit Gammafunktion}
+
+Dieser Abschnitt stellt die Verbindung zwischen der Gamma- und der Zetafunktion her.
+
+%TODO ref Gamma
+Wenn in der Gammafunkion die Integrationsvariable $t$ substituieren mit $t = nu$ und $dt = n du$, dann können wir die Gleichung umstellen und erhalten den Zusammenhang mit der Zetafunktion
+\begin{align}
+    \Gamma(s)
+    &=
+    \int_0^{\infty} t^{s-1} e^{-t} dt
+    \\
+    &=
+    \int_0^{\infty} n^{s\cancel{-1}}u^{s-1} e^{-nu} \cancel{n}du
+    &&
+    \text{Division durch }n^s
+    \\
+    \frac{\Gamma(s)}{n^s}
+    &=
+    \int_0^{\infty} u^{s-1} e^{-nu}du
+    &&
+    \text{Zeta durch Summenbildung } \sum_{n=1}^{\infty}
+    \\
+    \Gamma(s) \zeta(s)
+    &=
+    \int_0^{\infty} u^{s-1}
+    \sum_{n=1}^{\infty}e^{-nu}
+    du.
+    \label{zeta:equation:zeta_gamma1}
+\end{align}
+Die Summe über $e^{-nu}$ können wir als geometrische Reihe schreiben und erhalten
+\begin{align}
+    \sum_{n=1}^{\infty}e^{-u^n}
+    &=
+    \sum_{n=0}^{\infty}e^{-u^n}
+    -
+    1
+    \\
+    &=
+    \frac{1}{1 - e^{-u}} - 1
+    \\
+    &=
+    \frac{1}{e^u - 1}.
+\end{align}
+Wenn wir dieses Resultat einsetzen in \eqref{zeta:equation:zeta_gamma1} und durch $\Gamma(s)$ teilen, erhalten wir
+\begin{equation}\label{zeta:equation:zeta_gamma_final}
+    \zeta(s)
+    =
+    \frac{1}{\Gamma(s)}
+    \int_0^{\infty}
+    \frac{u^{s-1}}{e^u -1}
+    du.
+\end{equation}