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index babc06d..d497622 100644
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 % einleitung.tex -- Beispiel-File für die Einleitung
-% Author: Réda Haddouche
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 % (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
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 \section{Was ist das Sturm-Liouville-Problem\label{sturmliouville:section:teil0}}
 \rhead{Einleitung}
-Das Sturm-Liouville-Problem wurde benannt nach dem schweizerisch-französischer Mathematiker und Physiker Jacques Charles Fran\c{c}ois Sturm und dem französischer Mathematiker Joseph Liouville.
-Gemeinsam haben sie in der mathematischen Physik die Sturm-Liouville-Theorie entwickelt, welche für die Lösung von gewohnlichen Differentialgleichungen gilt, jedoch verwendet man die Theorie öfters bei der Lösung von partiellen Differentialgleichungen.
-Normalerweise betrachtet man für das Strum-Liouville-Problem eine gewöhnliche Differentialgleichung 2. Ordnung, und wenn es sich um eine partielle Differentialgleichung handelt, kann man sie mit Hilfe einiger Methoden in mehrere gewöhnliche Differentialgleichungen umwandeln, wie zum Beispiel mit dem Separationsansatz.
+Das Sturm-Liouville-Problem wurde benannt nach dem schweizerisch-französischen Mathematiker und Physiker Jacques Charles Fran\c{c}ois Sturm und dem französischen Mathematiker Joseph Liouville.
+Gemeinsam haben sie in der mathematischen Physik die Sturm-Liouville-Theorie entwickelt und gilt für die Lösung von gewöhnlichen Differentialgleichungen, jedoch verwendet man die Theorie öfters bei der Lösung von partiellen Differentialgleichungen.
+Normalerweise betrachtet man für das Strum-Liouville-Problem eine gewöhnliche Differentialgleichung 2. Ordnung, und wenn es sich um eine partielle Differentialgleichung handelt, kann man sie in mehrere gewöhnliche Differentialgleichungen umwandeln. Wie z. B. den Separationsansatz, die partielle Differentialgleichung mit mehreren Variablen.
 
 \begin{definition}
 	\index{Sturm-Liouville-Gleichung}%
-Angenommen man hat die lineare homogene Differentialgleichung
-\[
+Wenn die lineare homogene Differentialgleichung
+\begin{equation}
 	\frac{d^2y}{dx^2} + a(x)\frac{dy}{dx} + b(x)y = 0
-\]
-und schreibt die Gleichung um in:
+\end{equation}
+als
 \begin{equation}
 	\label{eq:sturm-liouville-equation}
 	\frac{d}{dx}\lbrack p(x) \frac{dy}{dx} \rbrack + \lbrack q(x) + \lambda w(x) \rbrack y = 0 
 \end{equation}
-, diese Gleichung wird dann Sturm-Liouville-Gleichung bezeichnet.
+geschrieben werden kann, dann wird diese Gleichung als Sturm-Liouville-Gleichung bezeichnet.
 \end{definition}
+Alle homogene 2. Ordnung lineare gewöhnliche Differentialgleichungen können in die Form der Gleichung \ref{eq:sturm-liouville-equation} umgeformt werden.
+
+\subsection{Randbedingungen\label{sub:was-ist-das-slp-randbedingungen}}
+Wenn von der Funktion $y(x)$ die Werte $x$ des jeweiligen Randes des Definitionsbereiches anzunehmen sind, also
+\begin{equation}
+	y(a) = y(b) = 0,
+\end{equation}
+so spricht man von einer Dirichlet-Randbedingung\footnote{Die Dirichlet-Randbedingung oder auch Randbedingung des ersten Typs genannt ist nach dem deutschen Mathematiker Peter Gstav Lejeune Dirichlet benannt. Sie findet Anwendung auf gewöhnliche oder patielle Differentialgleichungen und gibt mit der Bedingung die Werte an, die für die abgeleitete Lösung innerhalb der Domänengrenze gelten.}, und von einer Neumann-Randbedingung\footnote{Die Neumann-Randbedingung oder auch Randbedingung des zweiten Typs genannt, ist nach dem deutschen Mathematiker Carl Neumann benannt. Sie legt die Werte fest, die eine Lösung entlang der Domänengrenze annehmen muss, wenn eine gewöhnliche oder partielle Differentialgleichung gestellt wird.} spricht man, wenn
+\begin{equation}
+	y'(a) = y'(b) = 0
+\end{equation}
+ergibt.
 
-Alle homogenen, linearen, gewöhnlichen, Differentialgleichungen 2.Ordnung können in die Form der Gleichung~\eqref{eq:sturm-liouville-equation} gebracht werden.
 Die Sturm-Liouville-Theorie besagt, dass, wenn man die Sturm-Liouville-Gleichung mit den homogenen Randbedingungen des dritten Typs\footnote{Die Randbedingung des dritten Typs, oder Robin-Randbedingungen (benannt nach dem französischen mathematischen Analytiker und angewandten Mathematiker Victor Gustave Robin), wird genannt, wenn sie einer gewöhnlichen oder partiellen Differentialgleichung auferlegt wird, so sind die Spezifikationen einer Linearkombination der Werte einer Funktion sowie die Werte ihrer Ableitung am Rande des Bereichs}
 \begin{equation}
 \begin{aligned}
@@ -33,33 +43,28 @@ Die Sturm-Liouville-Theorie besagt, dass, wenn man die Sturm-Liouville-Gleichung
 	k_b y(b) + h_b p(b) y'(b) &= 0
 \end{aligned}
 \end{equation}
-kombiniert, wie schon im Kapitel \ref{sub:differentailgleichung} erwähnt, auf dem Intervall (a,b), dann bekommt man das klassische Sturm-Liouville-Problem.
-Wenn von der Funktion $y(x)$ die Werte $x$ des jeweiligen Randes des Definitionsbereiches anzunehmen sind, also
-\[
-	y(a) = y(b) = 0
-\]
-, so spricht man von einer Dirichlet-Randbedingung, und von einer Neumann-Randbedingung spricht man, wenn
-\[
-	y'(a) = y'(b) = 0
-\]
-ist. Die Existenz und Eindeutigkeit der Lösung kann mit den zwei Randbedingungen sichergestellt werden.
-Lösungen die nicht Null sind, werden nicht betrachtet und diese zwei Gleichungen (\ref{eq:sturm-liouville-equation} und \ref{eq:randbedingungen}) kombiniert, nennt man Eigenfunktionen.
+kombiniert, dann bekommt man das klassische Sturm-Liouville-Problem.
+
+\subsection{Eigenwertproblem}
+Die Gleichungen \ref{eq:sturm-liouville-equation} hat die Form eines Eigenwertproblems
 Wenn bei der Sturm-Liouville-Gleichung \ref{eq:sturm-liouville-equation} alles  konstant bleibt, aber der Wert von $\lambda$ sich ändert, erhält man eine andere Eigenfunktion, weil man eine andere gewöhnliche Differentialgleichung löst;
 der Parameter $\lambda$ wird als Eigenwert bezeichnet.
 Es ist genau das gleiche Prinzip wie bei den Matrizen, andere Eigenwerte ergeben andere Eigenvektoren.
 Es besteht eine Korrespondenz zwischen den Eigenwerten und den Eigenvektoren.
 Das gleiche gilt auch beim Sturm-Liouville-Problem, und zwar
-\[
+\begin{equation}
 	\lambda \overset{Korrespondenz}\leftrightarrow y.
-\]
+\end{equation}
 
 Die Theorie besagt, wenn $y_m$, $y_n$ Eigenfuktionen des Sturm-Liouville-Problems sind, die verschiedene Eigenwerte $\lambda_m$, $\lambda_n$ ($\lambda_m \neq \lambda_n$) entsprechen, so sind $y_m$, $y_n$ orthogonal zu y -
 dies gilt für das Intervall (a,b).
 Somit ergibt die Gleichung
-\[
+\begin{equation}
+	\label{eq:skalar-sturm-liouville}
 	\int_{a}^{b} w(x)y_m y_n = 0.
-\]
+\end{equation}
 
+\subsection{Koeffizientenfunktionen}
 Die Funktionen $p(x)$, $q(x)$ und $w(x)$ werden als Koeffizientenfunktionen mit ihren freien Variablen $x$ bezeichnet.
 Die Funktion $w(x)$ (manchmal auch $r(x)$ genannt) wird als Gewichtsfunktion oder Dichtefunktion bezeichnet.
 Es gibt zwei verschiedene Sturm-Liouville-Probleme: das reguläre Sturm-Liouville-Problem und das singuläre Sturm-Liouville-Problem. 
@@ -77,12 +82,12 @@ Damit es sich um ein reguläres Sturm-Liouville-Problem handelt, müssen einige
 	Die Bedingungen für ein reguläres Sturm-Liouville-Problem sind:
 	\begin{itemize}
 		\item Die Funktionen $p(x), p'(x), q(x)$ und $w(x)$ müssen stetig und reell sein.
-		\item sowie müssen in einem Endlichen Intervall $[ \ a,b] \ $ integrierbar sein.
-		\item $p(x)^{-1}$ und $w(x)$ sind $>0$.
+		\item sowie müssen in einem endlichen Intervall $[a,b]$ integrierbar sein.
+		\item $p(x)$ und $w(x)$ sind $>0$.
 		\item Es gelten die Randbedingungen \ref{eq:randbedingungen}, wobei $|k_i|^2 + |h_i|^2\ne 0$ mit $i=a,b$.
 	\end{itemize}
 \end{definition}
-Bei einem regulären Sturm-Liouville-Problem geht es darum, ohne genaue Kenntnis der Eigenfunktionen diese dennoch beschreiben zu können.
+Bei einem regulären Sturm-Liouville-Problem geht es darum, wichtige Eigenschaften der Eigenfunktionen beschreiben zu können, ohne sie genau zu kennen.
 
 
 %
@@ -91,29 +96,29 @@ Bei einem regulären Sturm-Liouville-Problem geht es darum, ohne genaue Kenntnis
 
 
 \subsection{Das singuläre Sturm-Liouville-Problem\label{sub:singuläre_sturm_liouville_problem}}
-Von einem singulären Sturm-Liouville-Problem spricht man, wenn die Bedingungen des regulären Problems nicht erfüllt sind.
+Von einem singulären Sturm-Liouville-Problem spricht man, wenn die Bedingungen des regulärem Problem nicht erfüllt sind.
 \begin{definition}
 	\label{def:singulär_sturm-liouville-problem}
 	\index{singuläres Sturm-Liouville-Problem}
-Es handelt sich um ein singuläres Sturm-Liouville-Problem,
+Es handelt sich um ein singuläres Sturm-Liouville-Problem, wenn:
 	\begin{itemize}
 		\item wenn sein Definitionsbereich auf dem Intervall $[ \ a,b] \ $ unbeschränkt ist oder
 		\item wenn die Koeffizienten an den Randpunkten Singularitäten haben.
 	\end{itemize}
 \end{definition}
-Allerdings kann auch nur eine der Bedingungen nicht erfüllt sein, so dass es sich bereits um ein singuläres Sturm-Liouville-Problem handelt.
+Allerdings kann nur eine der Bedingungen nicht erfüllt sein, so dass es sich bereits um ein singuläres Sturm-Liouville-Problem handelt.
 
 \begin{beispiel}
 	Das Randwertproblem
-	\[
+	\begin{equation}
 		\begin{aligned}
 		x^2y'' + xy' + (\lambda^2x^2 - m^2)y &= 0, 0<x<a,\\
 		y(a) &= 0
 		\end{aligned}
-	\]
+	\end{equation}
 	ist kein reguläres Sturm-Liouville-Problem.
-	Weil wenn man die Gleichung in die Sturm-Liouville Form bringt, dann ergeben die Koeffizientenfunktionen $p(x) = w(x) = x$ und $q(x) = -m^2/x$.
-	Schaut man jetzt die Bedingungen im Kapitel~\ref{sub:reguläre_sturm_liouville_problem} an und vergleicht diese mit unseren Koeffizientenfunktionen, so erkennt man einige Probleme:
+	Wenn man die Gleichung in die Sturm-Liouville Form umformen, dann ergeben die Koeffizientenfunktionen $p(x) = w(x) = x$ und $q(x) = -m^2/x$.
+	Schaut man jetzt die Bedingungen im Kapitel \ref{sub:reguläre_sturm_liouville_problem} an und vergleicht diese unseren Koeffizientenfunktionen, so erkennt man einige Probleme:
 	\begin{itemize}
 		\item $p(x)$ und $w(x)$ sind nicht positiv, wenn $x = 0$ ist.
 		\item $q(x)$ ist nicht kontinuierlich, wenn $x = 0$ ist.
@@ -121,7 +126,11 @@ Allerdings kann auch nur eine der Bedingungen nicht erfüllt sein, so dass es si
 	\end{itemize}
 \end{beispiel}
 
-Verwendet man das reguläre Sturm-Liouville-Problem, obwohl eine oder beide Bedingungen nicht erfüllt sind, dann ist es schwierig zu sagen, ob die Lösung fundierte Ergebnisse hat.
-Es ist schwierig, bestehende Kriterien anzuwenden, da die Formulierungen z.B. in der Lösungsfunktion liegen.
-Das Spektrum besteht im singulärem Problem nicht mehr nur aus Eigenwerten, sondern kann auch einen stetigen Anteil enthalten.
-Ähnlich wie bei der Fourier-Reihe gegenüber der Fourier-Transformation gibt es immer noch eine zugehörige Eigenfunktionsentwicklung, und zwar die Integraltransformation sowie gibt es weiterhin eine verallgemeinerte Eigenfunktionen.
+Verwendet man das reguläre Sturm-Liouville-Problem, obwohl eine oder beide Bedingungen nicht erfüllt sind, dann ist es schwierig zu sagen, ob die Lösung eindeutige Ergebnisse hat.
+Es ist schwierig, Kriterien anzuwenden, da die Formulierungen z. B. in der Lösungsfunktion liegen.
+Ähnlich wie bei der Fourier-Reihe gegenüber der Fourier-Transformation gibt es immer noch eine zugehörige Eigenfunktionsentwicklung, und zwar die Integraltransformation sowie gibt es weiterhin verallgemeinerte Eigenfunktionen.
+
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+
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diff --git a/buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex b/buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex
index e86e742..3817dc0 100644
--- a/buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex
+++ b/buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex
@@ -1,60 +1,82 @@
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 % tschebyscheff_beispiel.tex
-% Author: Réda Haddouche
 %
 % (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
 %
 
-\subsection{Tschebyscheff-Polynome\label{sub:tschebyscheff-polynome}}
-Im Kapitel \ref{sub:beispiele_sturm_liouville_problem} sind die Koeffizientenfunktionen die man braucht schon aufgelistet, und zwar mit
+\subsection{Sind Tschebyscheff-Polynome orthogonal zueinander?\label{sub:tschebyscheff-polynome}}
+\subsubsection*{Definition der Koeffizientenfunktion}
+Im Kapitel \ref{sub:beispiele_sturm_liouville_problem} sind die Koeffizientenfunktionen, die man braucht, schon aufgeliste, und zwar mit
 \begin{align*}
 	w(x) &= \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \\
 	p(x) &= \sqrt{1-x^2} \\
-	q(x) &= 0.
-\end{align*}
+	q(x) &= 0
+\end{align*}.
 Da die Sturm-Liouville-Gleichung
 \begin{equation}
 	\label{eq:sturm-liouville-equation-tscheby}
-	\frac{d}{dx}\lbrack \sqrt{1-x^2} \frac{dy}{dx} \rbrack + \lbrack 0 + \lambda \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \rbrack y = 0 
+	\frac{d}{dx} (\sqrt{1-x^2} \frac{dy}{dx}) + (0 + \lambda \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}) y = 0 
 \end{equation}
 nun mit den Koeffizientenfunktionen aufgestellt werden kann, bleibt die Frage, ob es sich um ein reguläres oder singuläres Sturm-Liouville-Problem handelt.
-Für das reguläre Problem laut der Definition \ref{def:reguläres_sturm-liouville-problem} muss die funktion $p(x) = \sqrt{1-x^2}$, $p'(x) = -2x$, $q(x) = 0$ und $w(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ stetig und reell sein - und sie sind es auch.
+
+\subsubsection*{regulär oder singulär?}
+Für das reguläre Problem laut der Definition \ref{def:reguläres_sturm-liouville-problem} muss die funktion $p(x) = \sqrt{1-x^2}$, $p'(x) = -2x$, $q(x) = 0$ und $w(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ stetig und reell sein --- und sie sind es auch.
 Auf dem Intervall $(-1,1)$ sind die Tschebyscheff-Polynome erster Art mit Hilfe von Hyperbelfunktionen
-\[
-	T_n(x) = \cos n (\arccos x).
-\]
+\begin{equation}
+	T_n(x) = \cos n (\arccos x)
+\end{equation}.
 Für $x>1$ und $x<-1$ sehen die Polynome wie folgt aus:
-\[
+\begin{equation}
 	T_n(x) = \left\{\begin{array}{ll} \cosh (n \arccos x), & x > 1\\
-		(-1)^n \cosh (n \arccos (-x)), & x<-1 \end{array}\right.,
-\]
+		(-1)^n \cosh (n \arccos (-x)), & x<-1 \end{array}\right.
+\end{equation},
 jedoch ist die Orthogonalität nur auf dem Intervall $[ -1, 1]$ sichergestellt.
-Die nächste Bedingung beinhaltet, dass die Funktion $p(x)^{-1}$ und $w(x)>0$ sein müssen.
+Die nächste Bedingung beinhaltet, dass die Funktion $p(x)$ und $w(x)>0$ sein müssen.
 Die Funktion
 \begin{equation*}
 	p(x)^{-1} = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}
 \end{equation*}
-ist die gleiche wie $w(x)$.
+ist die gleiche wie $w(x)$ und erfüllt die Bedingung.
 
+\subsubsection*{Randwertproblem}
 Für die Verifizierung der Randbedingungen benötigt man erneut $p(x)$.
 Da sich die Polynome nur auf dem Intervall $[ -1,1 ]$ orthogonal verhalten, sind $a = -1$ und $b = 1$ gesetzt.
 Beim einsetzen in die Randbedingung \ref{eq:randbedingungen}, erhält man
-\[
+\begin{equation}
 \begin{aligned}
-	k_a y(-1) + h_a y'(-1) &= 0 \\
+	k_a y(-1) + h_a y'(-1) &= 0
 	k_b y(-1) + h_b y'(-1) &= 0.
 \end{aligned} 
-\]
-Die Funktion $y(x)$ und $y'(x)$ sind in diesem Fall die Tschebyscheff Polynome (siehe \ref{sub:definiton_der_tschebyscheff-Polynome}).
+\end{equation}
+Die Funktion $y(x)$ und $y'(x)$ sind in diesem Fall die Tschebyscheff Polynome (siehe \label{sub:definiton_der_tschebyscheff-Polynome}).
 Es gibt zwei Arten von Tschebyscheff Polynome: die erste Art $T_n(x)$ und die zweite Art $U_n(x)$.
 Jedoch beachtet man in diesem Kapitel nur die Tschebyscheff Polynome erster Art (\ref{eq:tschebyscheff-polynome}).
 Die Funktion $y(x)$ wird nun mit der Funktion $T_n(x)$ ersetzt und für die Verifizierung der Randbedingung wählt man $n=2$.
 Somit erhält man
-\[
+\begin{equation}
 	\begin{aligned}
 	k_a T_2(-1) + h_a T_{2}'(-1) &= k_a = 0\\
 	k_b T_2(1) + h_b T_{2}'(1) &= k_b = 0.
 \end{aligned}
-\]
-Ähnlich wie beim Beispiel der Wärmeleitung in einem homogenen Stab können, damit die Bedingung $|k_i|^2 + |h_i|^2\ne 0$ erfüllt ist, beliebige $h_a \ne 0$ und $h_b \ne 0$ gewählt werden.
-Somit ist erneut gezeigt, dass die Randbedingungen der Tschebyscheff-Polynome auch die Sturm-Liouville-Randbedingungen erfüllt und alle daraus resultierenden Lösungen orthogonal sind.
+\end{equation}
+Ähnlich wie beim Beispiel der Wärmeleitung in einem homogenen Stab kann man, damit die Bedingung $|k_i|^2 + |h_i|^2\ne 0$ erfüllt ist, können beliebige $h_a \ne 0$ und $h_b \ne 0$ gewählt werden.
+Somit ist erneut gezeigt, dass die Randbedingungen der Tschebyscheff-Polynome auf die Sturm-Liouville-Randbedingungen erfüllt und alle daraus resultierenden Lösungen orthogonal sind.
+
+\begin{beispiel}
+	Die Gleichung \ref{eq:skalar-sturm-liouville} mit $y_m = T_1(x)$ und $y_n(x) = T_2(x)$ eingesetzt sowie $a=-1$ und $b = 1$ ergibt
+	\[
+	\int_{-1}^{1} w(x) x (2x^2-1) dx = 0.
+	\]
+\end{beispiel}
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