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diff --git a/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex b/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex index 6e6a26f..1552f7f 100644 --- a/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex +++ b/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex @@ -13,9 +13,63 @@ zustande kommen. Dazu wird der Operator $L_0$ welcher bereits in Kapitel \ref{buch:integrale:subsection:sturm-liouville-problem} betrachtet wurde, -noch etwas genauer angeschaut. Es wird also +noch etwas genauer angeschaut. Es wird also im Folgenden \[ L_0 = - -\frac{d}{dx}p(x) -\]
\ No newline at end of file + -\frac{d}{dx}p(x)\frac{d}{dx} +\] +zusammen mit den Randbedingungen +\[ + \begin{aligned} + k_a y(a) + h_a p(a) y'(a) &= 0 \\ + k_b y(b) + h_b p(b) y'(b) &= 0 + \end{aligned} +\] +verwendet. Wie im Kapitel +\ref{buch:integrale:subsection:sturm-liouville-problem} bereits gezeigt, +resultieren die Randbedingungen aus der Anforderung den Operator $L_0$ +selbsadjungiert zu machen. +Es wurde allerdings noch nicht darauf eingegangen, welche Eigenschaften dies +für die Lösungen des Sturm-Liouville-Problems zur Folge hat. + +\subsubsection{Exkurs zum Spektralsatz} + +Um zu verstehen was für Eigenschaften der selbstadjungierte Operator $L_0$ in +den Lösungen hervorbringt, wird der Spektralsatz benötigt. + +Dieser wird in der linearen Algebra oft verwendet um zu zeigen, dass eine Matrix +diagonalisierbar ist, beziehungsweise dass eine Orthonormalbasis existiert. +Dazu wird zunächst gezeigt, dass eine gegebene $n\times n$-Matrix $A$ aus einem +endlichdimensionalem $\mathbb{K}$-Vektorraum selbstadungiert ist, also dass +\[ + \langle Av, w \rangle + = + \langle v, Aw \rangle +\] +für $ v, w \in \mathbb{K}^n$ gilt. +Ist dies der Fall, folgt direkt, dass $A$ auch normal ist. +Dann wird die Aussage des Spektralsatzes verwended, welche besagt, dass für +Endomorphismen genau dann eine Orthonormalbasis aus Eigenvektoren existiert, +wenn sie normal sind und nur Eigenwerte aus $\mathbb{K}$ besitzten. + +Dies ist allerdings nicht die Einzige Version des Spektralsatzes. +Unter anderen gibt es den Spektralsatz für kompakte Operatoren. +Dieser besagt, dass wenn ein linearer kompakter Operator in +$\mathbb{R}$ selbstadjungiert ist, ein (eventuell endliches) +Orthonormalsystem existiert. + +\subsubsection{Anwendung des Spektralsatzes auf $L_0$} + +Der Spektralsatz besagt also, dass, weil $ L_0 $ selbstadjungiert ist, eine +Orthonormalbasis aus Eigenvektoren existiert. +Genauer bedeutet dies, dass alle Eigenvektoren beziehungsweise alle Lösungen +des Sturm-Liouville-Problems orthogonal zueinander sind bezüglich dem +Skalarprodukt, in dem $ L_0 $ selbstadjungiert ist. + +Erfüllt also eine Differenzialgleichung die in Abschnitt +\ref{sturmliouville:section:teil0} präsentierten Eigenschaften und erfüllen +die Randbedingungen der Differentialgleichung die Randbedingungen +des Sturm-Liouville-Problems, kann bereits geschlossen werden, dass die +Lösungsfunktion des Problems eine Linearkombination aus orthogonalen +Basisfunktionen ist.
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