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diff --git a/buch/chapters/010-potenzen/chapter.tex b/buch/chapters/010-potenzen/chapter.tex index 666c426..d887142 100644 --- a/buch/chapters/010-potenzen/chapter.tex +++ b/buch/chapters/010-potenzen/chapter.tex @@ -8,6 +8,34 @@ \label{buch:chapter:potenzen}} \lhead{Potenzen und Wurzeln} \rhead{} +Die einfachsten Funktionen, die man allein mit den arithmetischen +Operationen definieren kann, sind Polynome der unabhängigen Variablen. +Die Einfachheit, mit der sich die Werte eines Polynoms berechnen lassen, +rechtfertigt natürlich nicht, dafür eine spezielle Funktion zu definieren. +Es gibt aber mindestens die folgenden drei wichtige Bereiche, in denen +Polynomen eine besondere Bedeutung zu kommt, die eine tiefergehende +Diskussion rechtfertigen. +\begin{enumerate} +\item +Die Umkehrfunktion der Potenzfunktion sind viel schwieriger zu +berechnen und können als eine besonders einfache Art von speziellen +Funktionen betrachtet werden. +Die in Abschnitt~\ref{buch:potenzen:section:loesungen} definierten +Wurzelfunktionen sind der erste Schritt zur Lösung von Polynomgleichungen. +\item +Es lassen sich interessante Familien von Funktionen +definieren, die zum Teil aus Polynomen bestehen. +Oft zeichnen sie sich durch Besonderheiten aus, die +direkt mit der Tatsache zusammenhängen, dass sie Polynom sind. +Ein Beispiel einer solchen Funktionenfamilie wird in +Abschnitt~\ref{buch:polynome:section:tschebyscheff} vorgestellt. +\item +Alles speziellen Funktionen sind analytisch, sie haben eine konvergente +Potenzreihenentwicklung. +Die Partialsummen einer Potenzreihenentwicklung sind Approximationen +An die wichtigsten Eigenschaften von Potenzreihen wird in +Abschnitt~\ref{buch:potenzen:section:potenzreihen} erinnert. +\end{enumerate} \input{chapters/010-potenzen/polynome.tex} \input{chapters/010-potenzen/loesbarkeit.tex} diff --git a/buch/chapters/010-potenzen/images/Makefile b/buch/chapters/010-potenzen/images/Makefile index a4b4f0d..bd6b6c1 100644 --- a/buch/chapters/010-potenzen/images/Makefile +++ b/buch/chapters/010-potenzen/images/Makefile @@ -3,7 +3,14 @@ # # (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule # -all: wurzel.pdf +all: wurzel.pdf lissajous.pdf lissajous-chebyshef.pdf wurzel.pdf: wurzel.tex pdflatex wurzel.tex + +lissajous.pdf: lissajous.tex lissajous.jpg + pdflatex lissajous.tex + +lissajous-chebyshef.pdf: lissajous-chebyshef.tex lissajous.jpg + pdflatex lissajous-chebyshef.tex + diff --git a/buch/chapters/010-potenzen/images/lissajous-chebyshef.pdf b/buch/chapters/010-potenzen/images/lissajous-chebyshef.pdf Binary files differnew file mode 100644 index 0000000..ea82479 --- /dev/null +++ b/buch/chapters/010-potenzen/images/lissajous-chebyshef.pdf diff --git a/buch/chapters/010-potenzen/images/lissajous-chebyshef.tex b/buch/chapters/010-potenzen/images/lissajous-chebyshef.tex new file mode 100644 index 0000000..cb8e461 --- /dev/null +++ b/buch/chapters/010-potenzen/images/lissajous-chebyshef.tex @@ -0,0 +1,84 @@ +% +% lissajous.tex -- annotated lissajous figure +% +% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil +% +\documentclass[tikz]{standalone} +\usepackage{amsmath} +\usepackage{times} +\usepackage{txfonts} +\usepackage{pgfplots} +\usepackage{csvsimple} +\usetikzlibrary{arrows,intersections,math} +\begin{document} +\def\skala{1} +\begin{tikzpicture}[>=latex,thick,scale=\skala] + +\fill[color=black] (-7.1,-2.4) rectangle (7.5,2.4); +\begin{scope} + \clip (-7,-2) rectangle (7,2); + \node at (0,-0.065) [rotate=-0.5] + {\includegraphics[width=14cm]{lissajous.jpg}}; +\end{scope} + +\draw[->,color=white] (-7,0) -- (7.5,0); + +\def\xupper{1.7} +\xdef\xlower{-\xupper} +\draw[line width=0.7pt,color=white] (-7.1,\xupper) -- (7.5,\xupper); +\draw[line width=0.7pt,color=white] (-7.1,\xlower) -- (7.5,\xlower); + + +%\fill[color=red] (-6.315,0) circle[radius=0.08]; +%\fill[color=red] (-5.92,0) circle[radius=0.08]; +%\fill[color=red] (-5.2,0) circle[radius=0.08]; +%\fill[color=red] (-4.13,0) circle[radius=0.08]; +%\fill[color=red] (-2.85,0) circle[radius=0.08]; +%\fill[color=red] (-1.37,0) circle[radius=0.08]; +%\fill[color=red] (0.2,0) circle[radius=0.08]; +%\fill[color=red] (1.73,0) circle[radius=0.08]; +%\fill[color=red] (3.21,0) circle[radius=0.08]; +%\fill[color=red] (4.52,0) circle[radius=0.08]; +%\fill[color=red] (5.57,0) circle[radius=0.08]; +%\fill[color=red] (6.32,0) circle[radius=0.08]; +%\fill[color=red] (6.71,0) circle[radius=0.08]; +% +\node[color=red] at (-6.315,0) [above left] {$x_0\mathstrut$}; +\node[color=red] at (-5.92,0) [above right] {$x_1\mathstrut$}; +\node[color=red] at (-5.2,0) [below right] {$x_2\mathstrut$}; +\node[color=red] at (-4.13,0) [above right] {$x_3\mathstrut$}; +\node[color=red] at (-2.85,0) [below right] {$x_4\mathstrut$}; +\node[color=red] at (-1.37,0) [above right] {$x_5\mathstrut$}; +\node[color=red] at (0.2,0) [above left] {$x_6\mathstrut$}; +\node[color=red] at (1.73,0) [below left] {$x_7\mathstrut$}; +\node[color=red] at (3.21,0) [above left] {$x_8\mathstrut$}; +\node[color=red] at (4.52,0) [below left] {$x_9\mathstrut$}; +\node[color=red] at (5.57,0) [above left] {$x_{10}\mathstrut$}; +\node[color=red] at ({6.32+0.1},0) [below left] {$x_{11}\mathstrut$}; +\node[color=red] at ({6.71},0) [below right] {$x_{12}\mathstrut$}; + +\def\xamplitude{6.57} +\def\yamplitude{1.66} + +\begin{scope}[xshift=0.20cm] +\draw[color=red,line width=1pt] plot[domain=0:180,samples=1000] + ({\xamplitude*cos(\x)},{\yamplitude*cos(13*\x)}); + +\foreach \k in {0,...,13}{ + \pgfmathparse{(90+180*\k)/13} + \xdef\winkel{\pgfmathresult} + \fill[color=red] + ({\xamplitude*cos(\winkel)},{\yamplitude*cos(13*\winkel)}) + circle[radius=0.08]; +} + +\node[color=white] at (0,{\yamplitude+0.4}) + {$\displaystyle \max \{\, l(x)\;|\; {-1}\le x \le 1 \} $}; +\node[color=white] at (0,{-\yamplitude-0.4}) + {$\displaystyle \min \{\, l(x)\;|\; {-1}\le x \le 1 \} $}; + +\end{scope} + +\end{tikzpicture} +\end{document} + diff --git a/buch/chapters/010-potenzen/images/lissajous.jpg b/buch/chapters/010-potenzen/images/lissajous.jpg Binary files differnew file mode 100644 index 0000000..0e0eb17 --- /dev/null +++ b/buch/chapters/010-potenzen/images/lissajous.jpg diff --git a/buch/chapters/010-potenzen/images/lissajous.pdf b/buch/chapters/010-potenzen/images/lissajous.pdf Binary files differnew file mode 100644 index 0000000..74d62c7 --- /dev/null +++ b/buch/chapters/010-potenzen/images/lissajous.pdf diff --git a/buch/chapters/010-potenzen/images/lissajous.tex b/buch/chapters/010-potenzen/images/lissajous.tex new file mode 100644 index 0000000..eb36347 --- /dev/null +++ b/buch/chapters/010-potenzen/images/lissajous.tex @@ -0,0 +1,84 @@ +% +% lissajous.tex -- annotated lissajous figure +% +% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil +% +\documentclass[tikz]{standalone} +\usepackage{amsmath} +\usepackage{times} +\usepackage{txfonts} +\usepackage{pgfplots} +\usepackage{csvsimple} +\usetikzlibrary{arrows,intersections,math} +\begin{document} +\def\skala{0.99} +\begin{tikzpicture}[>=latex,thick,scale=\skala] + +\fill[color=black] (-7.1,-2.4) rectangle (7.5,2.4); +\begin{scope} + \clip (-7,-2) rectangle (7,2); + \node at (0,-0.065) [rotate=-0.5] + {\includegraphics[width=14cm]{lissajous.jpg}}; +\end{scope} + +%\draw[->,color=white] (-7,0) -- (7.1,0); + +\def\xupper{1.7} +\xdef\xlower{-\xupper} +%\draw[line width=0.7pt,color=white] (-7.1,\xupper) -- (7.1,\xupper); +%\draw[line width=0.7pt,color=white] (-7.1,\xlower) -- (7.1,\xlower); + + +%\fill[color=red] (-6.315,0) circle[radius=0.08]; +%\fill[color=red] (-5.92,0) circle[radius=0.08]; +%\fill[color=red] (-5.2,0) circle[radius=0.08]; +%\fill[color=red] (-4.13,0) circle[radius=0.08]; +%\fill[color=red] (-2.85,0) circle[radius=0.08]; +%\fill[color=red] (-1.37,0) circle[radius=0.08]; +%\fill[color=red] (0.2,0) circle[radius=0.08]; +%\fill[color=red] (1.73,0) circle[radius=0.08]; +%\fill[color=red] (3.21,0) circle[radius=0.08]; +%\fill[color=red] (4.52,0) circle[radius=0.08]; +%\fill[color=red] (5.57,0) circle[radius=0.08]; +%\fill[color=red] (6.32,0) circle[radius=0.08]; +%\fill[color=red] (6.71,0) circle[radius=0.08]; +% +%\node[color=red] at (-6.315,0) [above left] {$x_0\mathstrut$}; +%\node[color=red] at (-5.92,0) [above right] {$x_1\mathstrut$}; +%\node[color=red] at (-5.2,0) [below right] {$x_2\mathstrut$}; +%\node[color=red] at (-4.13,0) [above right] {$x_3\mathstrut$}; +%\node[color=red] at (-2.85,0) [below right] {$x_4\mathstrut$}; +%\node[color=red] at (-1.37,0) [above right] {$x_5\mathstrut$}; +%\node[color=red] at (0.2,0) [above left] {$x_6\mathstrut$}; +%\node[color=red] at (1.73,0) [below left] {$x_7\mathstrut$}; +%\node[color=red] at (3.21,0) [above left] {$x_8\mathstrut$}; +%\node[color=red] at (4.52,0) [below left] {$x_9\mathstrut$}; +%\node[color=red] at (5.57,0) [above left] {$x_{10}\mathstrut$}; +%\node[color=red] at ({6.32+0.1},0) [below left] {$x_{11}\mathstrut$}; +%\node[color=red] at ({6.71-0.2},0) [below right] {$x_{12}\mathstrut$}; + +\def\xamplitude{6.57} +\def\yamplitude{1.66} + +\begin{scope}[xshift=0.20cm] +%\draw[color=red,line width=1pt] plot[domain=0:180,samples=1000] +% ({\xamplitude*cos(\x)},{\yamplitude*cos(13*\x)}); + +\foreach \k in {0,...,13}{ + \pgfmathparse{(90+180*\k)/13} + \xdef\winkel{\pgfmathresult} +% \fill[color=red] +% ({\xamplitude*cos(\winkel)},{\yamplitude*cos(13*\winkel)}) +% circle[radius=0.08]; +} + +%\node[color=white] at (0,{\yamplitude+0.4}) +% {$\displaystyle \max \{\, l(x)\;|\; {-1}\le x \le 1 \} $}; +%\node[color=white] at (0,{-\yamplitude-0.4}) +% {$\displaystyle \min \{\, l(x)\;|\; {-1}\le x \le 1 \} $}; + +\end{scope} + +\end{tikzpicture} +\end{document} + diff --git a/buch/chapters/010-potenzen/polynome.tex b/buch/chapters/010-potenzen/polynome.tex index b8ad03c..df74574 100644 --- a/buch/chapters/010-potenzen/polynome.tex +++ b/buch/chapters/010-potenzen/polynome.tex @@ -28,15 +28,15 @@ Ring mit $1$ ist. Im Folgenden werden wir uns auf die Fälle $K=\mathbb{R}$ und $K=\mathbb{C}$ beschränken. -In Abschnitt~\ref{buch:integral:section:orthogonale-polynome} werden +In Abschnitt~\ref{buch:orthogonalitaet:section:orthogonale-funktionen} werden Familien von Polynomen konstruiert werden, die sich durch eine Orthogonalitätseigenschaft auszeichnen. Diese Polynome lassen sich typischerweise auch als Lösungen von Differentialgleichungen finden. Ausserdem werden hypergeometrische Funktionen \[ -\mathstrut_pF_q(a_1,\dots,a_p;b_1,\dots,b_q;z) -\], die in +\mathstrut_pF_q\biggl(\begin{matrix}a_1,\dots,a_p\\b_1,\dots,b_q\end{matrix};z\biggr), +\] die in Abschnitt~\ref{buch:rekursion:section:hypergeometrische-funktion} definiert werden, zu Polynomen, wenn mindestens einer der Parameter $a_k$ negativ ganzzahlig ist. @@ -51,7 +51,8 @@ Es bleibt aber immer noch die Notwendigkeit, effiziente Berechnungsverfahren für die speziellen Funktionen zu konstruieren. Dank des folgenden Satzes kann dies immer mit Polynomen geschehen. -\begin{satz}[Weierstrasse] +\begin{satz}[Weierstrass] +\label{buch:potenzen:satz:weierstrass} Eine auf einem kompakten Intervall $[a,b]$ stetige Funktion $f(x)$ lässt sich durch eine Folge $p_n(x)$ von Polynomen gleichmässig approximieren. diff --git a/buch/chapters/010-potenzen/tschebyscheff.tex b/buch/chapters/010-potenzen/tschebyscheff.tex index be78967..ca6100b 100644 --- a/buch/chapters/010-potenzen/tschebyscheff.tex +++ b/buch/chapters/010-potenzen/tschebyscheff.tex @@ -12,6 +12,280 @@ Sie ermöglichen, Interpolationspolynome mit besonders guten Fehlereigenschaften zu finden, haben aber auch andere Anwendungen zum Beispiel beim Design von Filtern in der Elektronik. -\subsection{Motivation} -\subsection{Rekursionsbeziehung} -\subsection{Anwendung: Interpolation} +\subsection{Motivation: Interpolation} +Nach dem Satz von Weierstrass~\ref{buch:potenzen:satz:weierstrass} +lässt sich jede stetige Funktion auf einem kompakten Intervall durch +ein Polynom approximieren. + +\subsubsection{Lagrange-Interplationspolynome} +Eine mögliche Lösung des Problems, solche approximierenden Polynome +der Funktion $f(x)$ +zu finden, besteht darin, ein Polynom $p(x)$ zu konstruieren, welches +in einzelnen, Stützstellen genannten Werten $x_0<x_1<\dots<x_n$ der +unabhängigen Variablen mit $f$ übereinstimmt, also +\[ +p(x_i) = f(x_i), \quad i=0,\dots,n. +\] +Die Konstruktion eines solchen Polynoms geht aus vom Polynome +\[ +l(x) = (x-x_0)(x-x_1)\cdots(x-x_n), +\] +welches an allen Stützstellen verschwindet. +Daraus lässt sich für jede Stützstelle ein Polynom +\[ +l_j(x) += +\frac{ +(x-x_0)(x-x_1)\cdots\widehat{(x-x_j)}\cdots(x-x_n) +}{ +(x_j-x_0)(x_j-x_1)\cdots\widehat{(x_j-x_j)}\cdots(x_j-x_n) +} +\] +konstruieren, wobei $\widehat{(x-x_j)}$ bedeutet, dass dieser Faktor +weggelassen werden soll. +Das Polynome $l_j(x)$ hat die Werte +\begin{align} +l_j(x_k) +&= +\frac{ +(x_k-x_0)(x_k-x_1)\cdots\widehat{(x_k-x_j)}\cdots(x_k-x_n) +}{ +(x_j-x_0)(x_j-x_1)\cdots\widehat{(x_j-x_j)}\cdots(x_j-x_n) +} += +\delta_{jk} += +\begin{cases} +1&\qquad j=k\\ +0&\qquad j\ne k +\end{cases} +\label{buch:potenzen:interpolation:lj} +\end{align} +auf den Stützstellen. +Für $j\ne k$ enthält der Zähler von $l_j(x_k)$ den Faktor +$(x-x_k)$, der für $x=x_k$ verschwindet. +Daher verschwindet auch $l_j(x)$ für $x=x_k$. + +Das sogenannte {\em Lagrange-Interpolationspolynom} ist das Polynom +\[ +p(x) += +\sum_{j=0}^n f(x_j) l_j(x). +\] +Aus der Eigenschaft~\eqref{buch:potenzen:interpolation:lj} folgt, dass +\[ +p(x_k) += +\sum_{j=0}^n f(x_j) l_j(x_k) += +\sum_{j=0}^n f(x_j) \delta_{jk} += +f(x_k). +\] + +\subsubsection{Fehler des Interpolationspolynoms} +Der Approximationsfehler des Interpolationspolynoms kann mit der Formel +\[ +f(x)-p(x) += +l(x) \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!} +\] +für einen geeigneten Wert $\xi$ mit $x_0 < \xi < x_n$. +Über die Ableitungen hat man natürlich keine Kontrolle, die einzige +Möglichkeit, den Fehler möglichst klein zu halten ist daher, +die Sütztstellen so zu wählen, dass $l(x)$ kleine Funktionswerte hat. +Stützstellen in gleichen Abständen erweisen sich dafür als ungeeignet, +da $l(x)$ nahe $x_0$ und $x_n$ sehr stark oszilliert. + +\subsection{Definition der Tschebyscheff-Polynome} +\begin{figure} +\centering +\includegraphics[width=\textwidth]{chapters/010-potenzen/images/lissajous.pdf} +\caption{Lissajous-Figur für zwei Signale $x=\cos t$ und $y=\cos 12t$. +\label{buch:potenzen:interpolation:lissajous}} +\end{figure} +\begin{figure} +\centering +\includegraphics[width=\textwidth]{chapters/010-potenzen/images/lissajous-chebyshef.pdf} +\caption{Das Tschebyscheff-Polynom als Lösung des Interpolationsproblems. +\label{buch:potenzen:interpolation:lissajous-tschebyscheff}} +\end{figure} +Die Aufgabe, geeignete Stützstellen für das Interpolationsproblem zu finden, +die den Fehler minimieren, ist als gleichbedeutend damit, ein Polynom +zu finden, dessen Betrag beschränkt ist. +Eine Lissajous-Figur wie die in +Abbildung~\ref{buch:potenzen:interpolation:lissajous} erfüllt +diese Bedinung. +Sofern sie sich als Polynom ausdrücken lässt, könnte ihre Nullstellen +das Interpolationsproblem optimal lösen. + +In der Lissajous-Figur in +Abbildung~\ref{buch:potenzen:interpolation:lissajous} ist +die Funktion $x=\cos t$ und $y=\cos 12t$ dargestellt. +Wegen $t=\arccos x$ +Als Funktion von $x$ ist daher +\[ +y(x) = \cos(nt)=\cos(n\arccos x). +\] +Tatsächlich ist aus der Theorie der trigonometrischen Funktionen +bekannt, dass die Kosinus eines Vielfachen des Winkels immer +als Polynom des Kosinus des Winkels dargestellt werden können. + +\begin{definition} +\label{buch:potenzen:def:tschebyscheff} +Das Polynom +\[ +T_n(x) += +\cos (n\arccos x), +\qquad +x\in[-1,1] +\] +heisst +{\em Tschebyscheff-Polynom (erster Art)} vom Grad $n$. +\end{definition} +Die Tschebyscheff-Polynome eignen sich auch hervorragend +dafür, Eigenschaften spezieller Funktionenfamilien zu +illustrieren. +Es wird sich zeigen, dass die Tschebyscheff-Polynome +Lösungen einer speziellen Differentialgleichung sind und +bezüglich eines in Kapitel~\ref{buch:chapter:orthogonalitaet} +definierten Skalarproduktes von Funktionen orthonormiert sind. + +\subsection{Rekursionsbeziehungen +\label{buch:potenzen:tschebyscheff:rekursionsbeziehungen}} +Es ist etwas mühsam, einen Ausdruck von $T_n(x)$ direkt aus +trigonometrischen Identitäten herzuleiten. +In diesem Abschnitt soll daher eine Rekursionsbeziehung +hergeleitet werden. +Später in Abschnitt~\ref{buch:orthogonal:subsection:rekursionsrelation} +wird gezeigt, dass solche Rekursionsbeziehungen eine Begleiterscheinung +orthogonaler Polynome sind. + +\subsubsection{Drei-Term-Rekursion für die Tschebyscheff-Polynome} +Mit der Abkürzung $y=\arccos(x)$ oder $x=\cos(y)$ bekommt man aus +der Definition~\label{buch:potenzen:def:tschebyscheff} +der Tschebyscheff-Polynome +\begin{align*} +xT_n(x) +&= +\cos(y)\cdot \cos(ny) +\\ +&= +\frac12\bigl( +\cos((n+1)y) + \cos((n-1)y) +\bigr) +\\ +x\,T_n(x) +&= +\frac12 T_{n+1}(x) + \frac12 T_{n-1}(x). +\end{align*} +Auflösen nach $T_{n+1}(x)$ ergibt +\begin{equation} +T_{n+1}(x) = 2x\,T_n(x)-T_{n-1}(x), +\quad T_1(x)=x, T_0(x)=1 +\label{buch:potenzen:tschebyscheff:eqn:rekursion} +\end{equation} +Damit können die Tschebyscheff-Polynome sehr effizient berechnet werden: +\begin{equation} +\begin{aligned} +T_0(x) +&=1 +\\ +T_1(x) +&= +x +\\ +T_2(x) +&= +2x^2-1 +\\ +T_3(x) +&= +4x^3-3x +\\ +T_4(x) +&= +8x^4-8x^2+1 +\\ +T_5(x) +&= +16x^5-20x^3+5x +\\ +T_6(x) +&= +32x^6-48x^4+18x^2-1 +\\ +T_7(x) +&= +64x^7-112x^5+56x^3-7x +\\ +T_8(x) +&= +128x^8-256x^6+160x^4-32x^2+1 +\end{aligned} +\end{equation} +Die Rekursionsformel +\eqref{buch:potenzen:tschebyscheff:eqn:rekursion} +kann auch dazu verwendet werden, Werte der Tschebyscheff-Polynome +sehr effizient zu berechnen. + +\subsubsection{Multiplikationsformel} +Aus der Definition mit Hilfe trigonometrischer Funktionen +lässt sich auch eine Multiplikationsformel ableiten. + +\begin{satz} +Es gilt +\begin{align} +T_m(x)T_n(x)&=\frac12\bigl(T_{m+n}(x) + T_{m-n}(x)\bigr) +\label{buch:potenzen:tschebyscheff:mult1} +\\ +T_{mn}(x) &= T_m(T_n(x)) = T_n(T_m(x)) +\label{buch:potenzen:tschebyscheff:mult2} +\end{align} +für alle natürlichen $m$ und $n$. +\end{satz} + +In \eqref{buch:potenzen:tschebyscheff:mult1} können negative Indizes +auftreten, wenn $n>m$ ist. +In solchen Fällen ist aber $T_{-n}(x)$ als +\[ +T_{-n}(x) += +\cos(-n\arccos(x)) += +\cos(n\arccos(x)) += +T_n(x), +\] +da die Kosinus-Funktion gerade ist. + +\begin{proof}[Beweis] +Zunächst ist wieder mit der Abkürzung $t=\arccos x$ +\begin{align*} +T_m(x)T_n(x) +&= +\cos mt \cos nt += +\frac12\bigl(\cos((m+n)t)+\cos((m-n)t)\bigr) += +\frac12\bigl( +T_{m+n}(x) + T_{m-n}(x) +\bigr), +\end{align*} +dies beweist~\eqref{buch:potenzen:tschebyscheff:mult1}. + +Für \eqref{buch:potenzen:tschebyscheff:mult2} rechnet man +\[ +T_m(T_n(x)) += +\underbrace{\cos(m\arccos(}_{\displaystyle T_m(}\underbrace{\cos(n\arccos x)}_{\displaystyle T_n(x)}\underbrace{))}_{\displaystyle)} += +\cos(mn\arccos x) += +T_{mn}(x). +\] +Damit ist auch \eqref{buch:potenzen:tschebyscheff:mult2} bewiesen. +\end{proof} + + diff --git a/buch/chapters/030-geometrie/flaeche.tex b/buch/chapters/030-geometrie/flaeche.tex index 8a19437..d3d70fe 100644 --- a/buch/chapters/030-geometrie/flaeche.tex +++ b/buch/chapters/030-geometrie/flaeche.tex @@ -61,7 +61,7 @@ x(t_i) &y(t_i) \\ x(t_i) &y(t_i) \\ \dot{x}(t_{i+1}) & \dot{y}(t_{i+1}) \end{matrix}\biggr| -(t_{i+1}-t_{i}) +(t_{i+1}-t_{i}). \end{align*} Die letzte Summe kann als Riemann-Summe und damit als Approximation für das Integral @@ -160,6 +160,8 @@ berechnet werden. Ellipsen und Hyperbeln sind besonders einfach zu parametrisieren und damit ist auch die Fläche, die von Ellipsen oder Hyperbeln berandet wird, besonders einfach zu berechnen. +Der Flächeninhalt eines Ellipsensektors hat eine besondere Bedeutung +für die Formulierung der Keplerschen Gesetze der Planetenbewegung. \subsubsection{Ellipse} Für die Ellipse mit der Gleichung diff --git a/buch/chapters/030-geometrie/images/Makefile b/buch/chapters/030-geometrie/images/Makefile index 457a0a1..af652ab 100644 --- a/buch/chapters/030-geometrie/images/Makefile +++ b/buch/chapters/030-geometrie/images/Makefile @@ -7,9 +7,11 @@ all: \ deftrig.pdf \ einheitskreis.pdf \ + ellipse.pdf \ hyperbelflaeche.pdf \ hyperbel.pdf \ kegelschnitte.pdf \ + parabel.pdf \ polargleichung.pdf \ zylinder.pdf @@ -19,12 +21,18 @@ deftrig.pdf: deftrig.tex einheitskreis.pdf: einheitskreis.tex pdflatex einheitskreis.tex +ellipse.pdf: ellipse.tex + pdflatex ellipse.tex + hyperbelflaeche.pdf: hyperbelflaeche.tex pdflatex hyperbelflaeche.tex hyperbel.pdf: hyperbel.tex pdflatex hyperbel.tex +parabel.pdf: parabel.tex + pdflatex parabel.tex + polargleichung.pdf: polargleichung.tex pdflatex polargleichung.tex diff --git a/buch/chapters/030-geometrie/images/ellipse.pdf b/buch/chapters/030-geometrie/images/ellipse.pdf Binary files differnew file mode 100644 index 0000000..ee4717c --- /dev/null +++ b/buch/chapters/030-geometrie/images/ellipse.pdf diff --git a/buch/chapters/030-geometrie/images/ellipse.tex b/buch/chapters/030-geometrie/images/ellipse.tex new file mode 100644 index 0000000..b1d9d9a --- /dev/null +++ b/buch/chapters/030-geometrie/images/ellipse.tex @@ -0,0 +1,81 @@ +% +% ellipse.tex -- Geometrie einer Ellipse +% +% (c) 2022 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\documentclass[tikz]{standalone} +\usepackage{amsmath} +\usepackage{times} +\usepackage{txfonts} +\usepackage{pgfplots} +\usepackage{csvsimple} +\usetikzlibrary{arrows,intersections,math,calc} +\begin{document} +\def\skala{1} +\definecolor{darkgreen}{rgb}{0,0.6,0} +\begin{tikzpicture}[>=latex,thick,scale=\skala] + +\def\e{3} + +\begin{scope} +\clip (-6.3,-5.5) rectangle (6.3,5.5); +\foreach \s in {7,8,9,11,12,13,14,15,16}{ + %\def\s{9} + \pgfmathparse{\s/2} + \xdef\a{\pgfmathresult} + \pgfmathparse{sqrt(\a*\a-\e*\e)} + \xdef\b{\pgfmathresult} + \draw[color=red!30,line width=1.4pt] + plot[domain=0:360,samples=100] + ({\a*cos(\x)},{\b*sin(\x)}); +} +\end{scope} + +\coordinate (O) at (0,0); +\coordinate (F1) at (3,0); +\coordinate (F2) at (-3,0); +\coordinate (A) at (5,0); +\coordinate (Aminus) at (-5,0); +\coordinate (B) at (0,4); + +\def\winkel{140} +\pgfmathparse{5*cos(\winkel)} +\xdef\Px{\pgfmathresult} +\pgfmathparse{4*sin(\winkel)} +\xdef\Py{\pgfmathresult} +\coordinate (P) at (\Px,\Py); + +\draw[->] (-6.3,0) -- (6.5,0) coordinate[label={$x$}]; +\draw[->] (0,-5.6) -- (0,5.8) coordinate[label={right:$y$}]; + +\draw[color=blue,line width=1pt] (0,0) -- (0,4); +\draw[color=blue,line width=1pt] (0,0) -- (3,0); +\draw[color=blue,line width=1pt] (0,4) -- (3,0); + +\draw[color=red,line width=1.4pt] + plot[domain=0:360,samples=100] + ({5*cos(\x)},{4*sin(\x)}); + +\node[color=blue] at ($0.5*(O)+0.5*(F1)$) [above] {$e$}; +\node[color=blue] at ($0.5*(O)+0.5*(B)$) [left] {$b$}; +\node[color=blue] at ($0.5*(F1)+0.5*(B)$) [above right] {$a$}; + +\fill[color=darkgreen] (P) circle[radius=0.08]; +\node[color=darkgreen] at (P) [above left] {$P$}; +\draw[color=darkgreen,line width=1.4pt] (F1) -- (P) -- (F2); +\node[color=darkgreen] at ($0.55*(P)+0.45*(F1)$) [below] {$\overline{F_1P}$}; +\node[color=darkgreen] at ($0.50*(P)+0.50*(F2)$) [left] {$\overline{F_2P}$}; + +\fill[color=red] (A) circle[radius=0.08]; +\node[color=red] at (A) [above right] {$A_+$}; +\fill[color=red] (Aminus) circle[radius=0.08]; +\node[color=red] at (Aminus) [above left] {$A_-$}; + +\fill[color=blue] (F1) circle[radius=0.08]; +\fill[color=blue] (F2) circle[radius=0.08]; +\node at (F1) [below right] {$F_1$}; +\node at (F2) [below left] {$F_2$}; + +\end{tikzpicture} +\end{document} + diff --git a/buch/chapters/030-geometrie/images/kegelschnitte.pdf b/buch/chapters/030-geometrie/images/kegelschnitte.pdf Binary files differindex c2205bf..40a830b 100644 --- a/buch/chapters/030-geometrie/images/kegelschnitte.pdf +++ b/buch/chapters/030-geometrie/images/kegelschnitte.pdf diff --git a/buch/chapters/030-geometrie/images/parabel.pdf b/buch/chapters/030-geometrie/images/parabel.pdf Binary files differnew file mode 100644 index 0000000..76d682e --- /dev/null +++ b/buch/chapters/030-geometrie/images/parabel.pdf diff --git a/buch/chapters/030-geometrie/images/parabel.tex b/buch/chapters/030-geometrie/images/parabel.tex new file mode 100644 index 0000000..c6eb700 --- /dev/null +++ b/buch/chapters/030-geometrie/images/parabel.tex @@ -0,0 +1,59 @@ +% +% parabel.tex -- template for standalon tikz images +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\documentclass[tikz]{standalone} +\usepackage{amsmath} +\usepackage{times} +\usepackage{txfonts} +\usepackage{pgfplots} +\usepackage{csvsimple} +\usetikzlibrary{arrows,intersections,math,calc} +\begin{document} +\def\skala{1} +\definecolor{darkgreen}{rgb}{0,0.6,0} +\begin{tikzpicture}[>=latex,thick,scale=\skala] + +\def\f{2.0} +\def\X{2.7} +\coordinate (F) at (0,\f); + +\begin{scope} + \clip (-6.1,-1) rectangle (6.1,4.6); + \foreach \x in {-5.5,-5,...,6}{ + \draw[color=gray!30,line width=1pt] + (\x,4.7) -- (\x,{\x*\x/(4*\f)}); + \draw[color=gray!50,line width=1pt] + (\x,{\x*\x/(4*\f)}) -- (F); + } +\end{scope} + +\draw[->] (-6.1,0) -- (6.4,0) coordinate[label={$x$}]; +\draw[->] (0,-2.3) -- (0,4.8) coordinate[label={right:$y$}]; + +\begin{scope} + \clip (-6.05,-1) rectangle (6.05,4.6); + \draw[color=red,line width=2pt] + plot[domain=-6.2:6.2,samples=100] ({\x},{\x*\x/(4*\f)}); +\end{scope} + +\fill[color=darkgreen] (\X,{\X*\X/(4*\f)}) circle[radius=0.08]; +\draw[color=darkgreen,line width=1pt] (F) -- (\X,{\X*\X/(4*\f)}) -- (\X,-\f); +\node[color=darkgreen] at (\X,{\X*\X/(4*\f)}) + [below right] {$P{\color{black}\mathstrut=(x,y)}$}; + +\node[color=darkgreen] at (\X,{0.5*(-\f+\X*\X/(4*\f))}) + [right] {$\overline{Pl}{\color{black}\mathstrut=y+f}$}; +\node[color=darkgreen] at ($0.8*(F)+0.2*(\X,{\X*\X/(4*\f)})+(0,-0.2)$) + [above right] + {$\overline{PF}{\color{black}\mathstrut=\sqrt{x^2+(y-f)^2}}$}; + +\node at (F) [above left] {${\color{blue}F}=(0,f)$}; +\draw[color=blue,line width=1pt] (-6,-\f) -- (6,-\f); +\fill[color=blue] (F) circle[radius=0.08]; +\node[color=blue] at (-4,-\f) [above] {$l$}; + +\end{tikzpicture} +\end{document} + diff --git a/buch/chapters/030-geometrie/images/zylinder.pdf b/buch/chapters/030-geometrie/images/zylinder.pdf Binary files differindex 2e73d80..2580050 100644 --- a/buch/chapters/030-geometrie/images/zylinder.pdf +++ b/buch/chapters/030-geometrie/images/zylinder.pdf diff --git a/buch/chapters/030-geometrie/laenge.tex b/buch/chapters/030-geometrie/laenge.tex index 6b3c507..0879a5e 100644 --- a/buch/chapters/030-geometrie/laenge.tex +++ b/buch/chapters/030-geometrie/laenge.tex @@ -242,6 +242,29 @@ l(\alpha) \end{equation} für die Länge der Kurve. +% +% hierhin verschoben für bessere Platzierung +% +\begin{figure} +\centering +\includegraphics{chapters/030-geometrie/images/kegelschnitte.pdf} +\caption{Hyperbeln, Parabeln und Ellipsen sind die Schnittkurven einer +Ebene mit einem Kegel. +Der Winkel zwischen der Achse des Kegels und der Schnittebene bestimmt, +welche Art von Schnittkurve entsteht. +Wenn keine der Mantellinien des Kegels parallel ist zur Ebene, dann +entsteht eine Ellipse (rechts). +In der Mitte ist genau eine Mantellinie (hellblau) parallel zur Ebene, +es ensteht eine Parabel und links gibt es genau zwei verschiedene +Mantellinien des Kegels (hellblau), die zur Ebene parallel sind, +es entsteht eine Hyperbel. +\label{buch:geometrie:laenge:fig:kegelschnitte}} +\end{figure} +% + +% +% Kreis +% \subsection{Kreis} Die Länge eines Bogens auf dem Einheitskreis zwischen dem Punkt $(1,0)$ und $P=(x,y)$ mit $x^2+y^2=1$ ist nach Definition der @@ -280,32 +303,30 @@ Tatsächlich ist die Ableitung davon was mit der Integralformel~\ref{buch:geometrie:eqn:kreislaenge} übereinstimmt. -\subsection{Hyperbeln -\label{buch:geometrie:subsection:hyperbeln}} -\begin{figure} -\centering -\includegraphics{chapters/030-geometrie/images/kegelschnitte.pdf} -\caption{Hyperbeln, Parabeln und Ellipsen sind die Schnittkurven einer -Ebene mit einem Kegel. -Der Winkel zwischen der Achse des Kegels und der Schnittebene bestimmt, -welche Art von Schnittkurve entsteht. -Wenn keine der Mantellinien des Kegels parallel ist zur Ebene, dann -entsteht eine Ellipse (rechts). -In der Mitte ist genau eine Mantellinie (hellblau) parallel zur Ebene, -es ensteht eine Parabel und links gibt es genau zwei verschiedene -Mantellinien des Kegels (hellblau), die zur Ebene parallel sind, -es entsteht eine Hyperbel. -\label{buch:geometrie:laenge:fig:kegelschnitte}} -\end{figure} -Eine Hyperbel entsteht durch Schneiden eines geraden Kreiskegels mit -einer Ebene wie in Abbildung~\ref{buch:geometrie:laenge:fig:kegelschnitte}. -Es lässt sich ableiten, dass die Punkte der Hyperbel die Eigenschaft -haben, dass die Differenzt der Entfernung von zwei festen Punkte, -den sogenannten Brennpunkten, konstant ist. -Dies ist die Definition, von der wir in diesem Abschnitt ausgehen -wollen. - -\subsubsection{Geometrie einer Hyperbel} +\subsection{Kegelschnitte +\label{buch:geometrie:subsection:kegelschnitte}} +Kegelschnitte sind die Schnittkurven eines geraden Kreiskegels +mit einer Ebene (Abbildung~\ref{buch:geometrie:laenge:fig:kegelschnitte}). +Der Kreis ist der Spezialfall des Schnittes mit einer horizontalen +Ebene. +Im Gegensatz zum Kreis lässt sich aber die Kurvenlänge nicht mehr +in geschlossener Form berechnen. + +\subsubsection{Koordinatengleichung} +Aus der in Abbildung~\ref{buch:geometrie:laenge:fig:kegelschnitte} +dargestellten Geometrie kann man die folgende Charakterisierung von +Ellipsen und Hyperbeln ableiten. + +\begin{definition} +\label{buch:geometrie:def:kegelschnitte} +Gegeben sind die Punkte $F_1$ und $F_2$ in der Ebene, sie heissen +die {\em Brennpunkte}. +Die Punkte in der Ebene, deren Abstandssumme von zwei festen Punkten $F_1$ +und $F_2$ konstant ist, bilden eine {\em Ellipse}. +Die Punkte in der Ebene, deren Abstandsdifferenz von zwei festen Punkten +$F_1$ und $F_2$ konstant ist, bilden eine {\em Hyperbel}. +\end{definition} + \begin{figure} \centering \includegraphics{chapters/030-geometrie/images/hyperbel.pdf} @@ -317,40 +338,76 @@ Die Differenz $\pm 2a$ führt auf die Hyperbeln mit Halbachsen $a$ und $b$. \label{buch:geometrie:hyperbel:fig:2d}} \end{figure} -Die Brennpunkte der Hyperbel sollen $F_1=(e,0)$ und $F_2=(-e,0)$ sein. -Die Grösse $e$ heisst auch die {\em lineare Exzentrizität} der Hyperbel. -Die beiden Äste der Hyperbel schneiden die $x$-Achse in den Punkten -$A_\pm=(\pm a,0)$. -In Abbildung~\ref{buch:geometrie:hyperbel:fig:2d} ist diese Situation -dargestellt. +\begin{figure} +\centering +\includegraphics{chapters/030-geometrie/images/ellipse.pdf} +\caption{Geometrie einer Ellipse in der Ebene. +Die Ellipse besteht aus den Punkten $P$ der Ebene, deren Entfernungssumme +$\overline{F_1P}+\overline{F_2P}$ +zu zwei vorgegebenen Punkten $F_1$ und $F_2$ konstant ist. +Die Summe $\pm 2a$ führt auf die Ellipsen mit Halbachsen +$a$ und $b$. +\label{buch:geometrie:ellipse:fig:2d}} +\end{figure} +Aus der Definition~\ref{buch:geometrie:def:kegelschnitte} soll jetzt +eine Koordinatengleichung für Ellipsen und Hyperbeln hergeleitet werden. +Die Brennpunkte haben die Koordinaten $F_1=(e,0)$ und $F_2=(-e,0)$. +Die Grösse $e$ heisst auch die {\em lineare Exzentrizität}. +Die Abstandssumme bzw.~-differenz wird mit $2a$ bezeichnet -Die Differenz der Entfernungen von $A_+$ zu den beiden Brennpunkten ist +Die Punkte $A_+=(a,0)$ und $A_-=(-a,0)$ sind Punkte der gesuchten +Kurven, +denn die Summe bzw.~Differenz der Entfernungen von $A_+$ zu den beiden +Brennpunkten ist \[ \overline{A_+F_2} -- +\pm \overline{A_+F_1} = +\begin{cases} +(a-e)+(a+e) = 2a +&\qquad\text{Ellipse} +\\ (e+a)-(e-a) = 2a +&\qquad\text{Hyperbel} +\end{cases} +\] +In Abbildung~\ref{buch:geometrie:hyperbel:fig:2d} ist diese Situation +für eine Hyperbel dargestellt, in +Abbildung~\ref{buch:geometrie:ellipse:fig:2d} für eine Ellipse. +Für eine Ellipse ist $e<a$, für eine Hyperbel ist $e>a$, wir schreiben +\[ +b^2 += +\begin{cases} +a^2-e^2&\qquad\text{Ellipse} \\ +e^2-a^2&\qquad\text{Hyperbel} +\end{cases} \] +Die Zahlen $a$ und $b$ heissen die {\em grosse} bzw.~{\em kleine Halbachse} +der Ellipse bzw.~Hyperbel. + Für einen beliebigen Punkt $P=(x,y)$ in der Ebene wird die Bedingung an die Abstände zu \[ \overline{PF_2} -- +\pm \overline{PF_1} = \sqrt{(x+e)^2+y^2} -- +\pm \sqrt{(x-e)^2+y^2} = 2a. \] +Hier und in der folgenden Rechnung gilt das obere Zeichen jeweils +für die Ellipse, das untere für die Hyperbel. Quadrieren ergibt \begin{align*} 4a^2 &= (x+e)^2+y^2 -+ +\pm 2\sqrt{ ((x+e)^2+y^2) ((x-e)^2+y^2) @@ -360,12 +417,12 @@ Quadrieren ergibt \\ 2a^2-x^2-e^2-y^2 &= -\sqrt{ +\pm\sqrt{ y^4 + y^2((x+e)^2 + (x-e)^2) +(x^2-e^2)^2 } \\ &= -\sqrt{y^4 + 2y^2 ( x^2+e^2) +x^4 - 2x^2e^2 + e^4}. +\pm\sqrt{y^4 + 2y^2 ( x^2+e^2) +x^4 - 2x^2e^2 + e^4}. \end{align*} Erneutes Quadrieren bringt auch die Wurzel auf der rechten Seiten zum Verschwinden: @@ -390,22 +447,31 @@ a^4+x^2e^2&=a^2(x^2+y^2+e^2) x^2(e^2-a^2)&=a^2(e^2-a^2) + a^2y^2. \notag \end{align} -Schreiben wir $b^2=e^2-a^2$ und stellen die Gleichung etwas um, -ergibt sich +Die Differenz $e^2-a^2$ ist bis auf das Vorzeichen identisch mit $b^2$, +genauer gilt +\begin{equation*} +\mp x^2b^2 = \mp a^2b^2 + a^2y^2. +\end{equation*} +Nach Division durch $\mp a^2b^2$ bleibt \begin{equation} -b^2x^2 - a^2y^2 = a^2b^2 +\frac{x^2}{a^2} = 1 \mp{y^2}{b^2} \qquad\Rightarrow\qquad -\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1. +\frac{x^2}{a^2} \pm \frac{y^2}{b^2} = 1, \label{buch:geometrie:hyperbel:gleichung} \end{equation} -Die Zahlen $a$ und $b$ heissen die {\em grosse} bzw.~{\em kleine Halbachse} -der Hyperbel. +die Koordinatengleichunggleichung einer Ellipse bwz.~Hyperbel. + +\subsubsection{Hyperbeln} Die Hyperbeln können auch als Graphen einer Funktion von $x$ gefunden werden. Dazu wird die Gleichung~\eqref{buch:geometrie:hyperbel:gleichung} nach $y$ aufgelöst: \[ -\frac{y^2}{b^2} = \frac{x^2}{a^2} - 1 +\frac{x^2}{a^2} +- +\frac{y^2}{b^2} += +1 \qquad\Rightarrow\qquad y = @@ -500,19 +566,39 @@ ausführbar und rechtfertigt die Definition neuer spezieller Funktionen. Die Kurvenlänge auf einer Hyperbel kann mit den in Kapitel~\ref{buch:chapter:elliptischefunktionen} beschriebenen elliptischen Integralen beschrieben werden. +\begin{figure} +\centering +\includegraphics{chapters/030-geometrie/images/parabel.pdf} +\caption{Eine Parabel ist die Menge der Punkte, die von der Geraden $l$ +und dem Brennpunkt $F$ gleichen Abstand haben. +\label{buch:geometrie:fig:parabel}} +\end{figure} -\subsection{Ellipsen -\label{buch:geometrie:subsection:ellipsen}} -Für eine Ellipse kann man die Parameterdarstellung +\subsubsection{Ellipsen} +Sei $(x,y)$ ein Punkt, der die +Ellipsengleichung~\eqref{buch:geometrie:hyperbel:gleichung} erfüllt. +Dann erfüllt $(X,Y)=(x/a, y/b)$ die Gleichung $X^2+Y^2=1$, ein Punkt auf +einem Kreis. +Insbesondere gibt es ein $t\in\mathbb{R}$ derart, dass \[ -t\mapsto \begin{pmatrix}a\cos t\\b\sin t\end{pmatrix} +\frac{x}{a} = \cos t ,\quad \frac{y}{b}=\sin t +\qquad\Rightarrow\qquad +x=a\cos t,\quad y=b\sin t. \] -verwenden. +Somit ist +\[ +\gamma +\colon +\mathbb{R}\to\mathbb{R}^2 +: +t \mapsto\begin{pmatrix}a\cos t\\b\sin t\end{pmatrix} +\] +eine Parametrisierung der Ellipse. Die Länge eines Ellipsenbogens zwischen den Winkelargumenten $\alpha$ und $\beta$ ist dann -\[ +\begin{align*} l(\alpha,\beta) -= +&= \int_\alpha^\beta \sqrt{ a^2 \sin^2 t + b^2 \cos^2t @@ -524,30 +610,106 @@ a^2 \sin^2 t + b^2 \cos^2t a^2 - (a^2-b^2)\cos^2 t } \,dt -= +\\ +&= a \int_\alpha^\beta \sqrt{ 1 - \frac{a^2-b^2}{a^2} \cos^2t } -\,dt. +\,dt = a\int_\alpha^\beta \sqrt{ 1-\varepsilon^2 \cos^2t } -\,dt -\] +\,dt. +\end{align*} Auch dieses Integral ist nicht in geschlossener Form lösbar. Dies motiviert in Kapitel~\ref{buch:chapter:elliptischefunktionen} die Definition~\ref{buch:elliptisch:def:integrale123} -der sogenannten elliptischen Intefrale als neue +der sogenannten elliptischen Integrale als neue spezielle Funktionen. Auf Seite~\pageref{buch:elliptisch:fig:ellipsenumfang} wird gezeigt, dass der Umfang einer Ellipse $4aE(\varepsilon)$ ist, wobei $\varepsilon=e/a$ und $e^2=a^2-b^2$ (siehe auch Abbildung~\ref{buch:elliptisch:fig:ellipsenumfang}). +\subsubsection{Parabeln} +Aus der Geometrie der Kegelschnitte +(Abbildung~\ref{buch:geometrie:def:kegelschnitte}) +kann auch die folgende Charakterisierung einer Parabel abgeleitet werden. + +\begin{definition} +\label{buch:geometrie:def:parabel} +Sei $F$ ein Punkt in der Ebene $l$ eine Gerade, die $F$ nicht enthält. +$F$ heisst {\em Brennpunkt}, $l$ heisst {\em Leitgerade} der Parabel. +Die Menge aller Punkte $P$, die von $F$ und $l$ den gleichen +Abstand haben, heisst {\em Parabel}. +Die {\em Brennweite} $f$ ist der halbe Abstand von $F$ zu $l$, +also $\overline{Fl}=2f$. +\end{definition} + +Ohne Einschränkung der Allgemeinheit kann man $F=(0,f)$ und +$l$ als die Gerade $y=-f$ annehmen +(siehe Abbildung~\ref{buch:geometrie:fig:parabel}). +Ein Punkt $P=(x,y)$ liegt genau dann auf der Parabel, wenn +\begin{align*} +\overline{Pl} +&= +\overline{PF} +\\ +(y+f)^2 +&= +x^2 + (y-f)^2 +\\ +y^2+2yf+f^2 +&= +x^2 + y^2-2yf+f^2 +\\ +4yf +&= +x^2 +\qquad\Rightarrow\qquad y=\frac{1}{4f}x^2. +\end{align*} +Eine Parabel ist also der Graph einer quadratischen Funktion. + +Parabeln haben erhebliche praktische Bedeutung, weil sie parallel zur +Achse einfallende Strahlen im Brennpunkt $F$ fokusieren. + +\subsubsection{Bogenlänge einer Parabel} +Die Länge eines Parabelbogens zwischen $x_1$ und $x_2$ ist +\begin{align*} +l(x_1,x_2) +&= +\int_{x_1}^{x_2} +\sqrt{1+\biggl(\frac{1}{2f}x\biggr)^2} +\,dx +\end{align*} +Mit der Substitution $x=2ft$ wird das Integral zu +\[ +l(x_1,x_2) += +2f +\int_{x_1/2f}^{x_2/2f} +\sqrt{1+t^2} +\,dt += +f\biggl[ +\operatorname{arsinh} t +t\sqrt{1+t^2} +\biggr]_{x_1/2f}^{x_2/2f} += +\biggl[ +f +\operatorname{arsinh}\frac{x}{2f} ++ +\frac{x}{4f}\sqrt{4f^2+x^2} +\biggr]_{x_1}^{x_2}. +\] +Während also Ellipsen- und Hyperbelbogen nicht in geschlossener +Form berechnet werden können, ist dies für Parabelbögen sehr wohl +möglich. + diff --git a/buch/chapters/070-orthogonalitaet/images/jacobi.pdf b/buch/chapters/070-orthogonalitaet/images/jacobi.pdf Binary files differindex 1504128..d1977f0 100644 --- a/buch/chapters/070-orthogonalitaet/images/jacobi.pdf +++ b/buch/chapters/070-orthogonalitaet/images/jacobi.pdf diff --git a/buch/chapters/070-orthogonalitaet/images/jacobi.tex b/buch/chapters/070-orthogonalitaet/images/jacobi.tex index 2a53e75..e7d53a5 100644 --- a/buch/chapters/070-orthogonalitaet/images/jacobi.tex +++ b/buch/chapters/070-orthogonalitaet/images/jacobi.tex @@ -38,8 +38,8 @@ \end{scope} \draw[->] (-6.1,0) -- (6.3,0) coordinate[label={$x$}]; \draw[->] (0,-2.55) -- (0,2.6) coordinate[label={right:$y$}]; - \node at (6,2.3) [left] {$a=0$}; - \node at (-6,2.3) [right] {$b=0$}; + \node at (6,2.3) [left] {$\alpha=0$\strut}; + \node at (-6,2.3) [right] {$\beta=0$\strut}; \draw ({-1*\dx},-0.1) -- ({-1*\dx},0.1); \draw ({1*\dx},-0.1) -- ({1*\dx},0.1); \node at ({1*\dx},-0.1) [below] {$1$}; @@ -70,8 +70,8 @@ \draw[->] (-6.1,0) -- (6.3,0) coordinate[label={$x$}]; \draw[->] (0,-2.55) -- (0,2.6) coordinate[label={right:$y$}]; \fill[color=white,opacity=0.8] (4.9,2.1) rectangle (5.9,2.5); - \node at (6,2.3) [left] {$a=1$}; - \node at (-6,2.3) [right] {$b=0$}; + \node at (6,2.3) [left] {$\alpha=1$\strut}; + \node at (-6,2.3) [right] {$\beta=0$\strut}; \draw ({-1*\dx},-0.1) -- ({-1*\dx},0.1); \draw ({1*\dx},-0.1) -- ({1*\dx},0.1); \node at ({1*\dx},-0.1) [below] {$1$}; @@ -102,8 +102,8 @@ \end{scope} \draw[->] (-6.1,0) -- (6.3,0) coordinate[label={$x$}]; \draw[->] (0,-2.55) -- (0,2.6) coordinate[label={right:$y$}]; - \node at (6,2.3) [left] {$a=-1$}; - \node at (-6,2.3) [right] {$b=0$}; + \node at (6,2.3) [left] {$\alpha=-1$\strut}; + \node at (-6,2.3) [right] {$\beta=0$\strut}; \draw ({-1*\dx},-0.1) -- ({-1*\dx},0.1); \draw ({1*\dx},-0.1) -- ({1*\dx},0.1); \node at ({1*\dx},-0.1) [below] {$1$}; diff --git a/buch/chapters/070-orthogonalitaet/images/weight.pdf b/buch/chapters/070-orthogonalitaet/images/weight.pdf Binary files differindex 164af55..bd15f94 100644 --- a/buch/chapters/070-orthogonalitaet/images/weight.pdf +++ b/buch/chapters/070-orthogonalitaet/images/weight.pdf diff --git a/buch/chapters/070-orthogonalitaet/images/weight.tex b/buch/chapters/070-orthogonalitaet/images/weight.tex index 796f09a..303a3ac 100644 --- a/buch/chapters/070-orthogonalitaet/images/weight.tex +++ b/buch/chapters/070-orthogonalitaet/images/weight.tex @@ -129,8 +129,8 @@ (0.6666,-1) rectangle (1,1); \end{scope} \draw[color=white,line width=0.5pt] \rand; - \draw[color=white,line width=0.5pt] ({-2/3},-1) -- ({-2/3},1); - \draw[color=white,line width=0.5pt] ({2/3},-1) -- ({2/3},1); + \draw[color=white,line width=0.8pt] ({-2/3},-1) -- ({-2/3},1); + \draw[color=white,line width=0.8pt] ({2/3},-1) -- ({2/3},1); \end{scope} \draw[->] (-1.1,0) -- (1.1,0) coordinate[label={$x$}]; diff --git a/buch/chapters/070-orthogonalitaet/jacobi.tex b/buch/chapters/070-orthogonalitaet/jacobi.tex index 8ccf6a3..576ef62 100644 --- a/buch/chapters/070-orthogonalitaet/jacobi.tex +++ b/buch/chapters/070-orthogonalitaet/jacobi.tex @@ -101,7 +101,7 @@ oder $a > \frac12(\alpha+1)$. Pole der Gewichtsfunktion schränken also ein, welche Funktionen überhaupt der Untersuchung mit Hilfe des Skalarproduktes -$\langle\,\;,\;\rangle$ zugänglich sind +$\langle\,\;,\;\rangle_w$ zugänglich sind (Abbildung~\ref{buch:orthogonalitaet:fig:gewicht}). Ist die Ordnung $\alpha$ des Poles grösser als $1$, dann müssen die Funktionen eine Nullstelle mindestens vom Grad $\frac12(a+1)$ haben. @@ -181,10 +181,10 @@ $\frac12(1-\alpha)$ haben. \centering \includegraphics[width=\textwidth]{chapters/070-orthogonalitaet/images/jacobi.pdf} \caption{Jacobi-Polynome vom Grad $1$ bis $14$ für verschiedene Werte -der Parameter $a$ und $b$. -Je grösser $a$, desto weniger Gewicht bekommen die Funktionswerte am +der Parameter $\alpha$ und $\beta$. +Je grösser $\alpha$, desto weniger Gewicht bekommen die Funktionswerte am rechten Rand und desto grösser werden die Funktionswerte. -Für negative $a$ müssen die Polynome dagegen eine Nullstelle am +Für negative $\alpha$ müssen die Polynome dagegen eine Nullstelle am rechten Rand haben. \label{buch:orthogonal:fig:jacobi-parameter}} \end{figure} diff --git a/buch/chapters/070-orthogonalitaet/legendredgl.tex b/buch/chapters/070-orthogonalitaet/legendredgl.tex index 12555b8..073b004 100644 --- a/buch/chapters/070-orthogonalitaet/legendredgl.tex +++ b/buch/chapters/070-orthogonalitaet/legendredgl.tex @@ -35,7 +35,7 @@ man \] Ersetzt man $t=-x$, dann wird daraus \[ -(1-x^2)y''(t) -2t y(t) + n(n+1) y(t) = 0 +(1-t^2)y''(t) -2t y(t) + n(n+1) y(t) = 0 \] aus der Differentialgleichung \eqref{buch:integral:eqn:legendre-differentialgleichung}. diff --git a/buch/chapters/070-orthogonalitaet/orthogonal.tex b/buch/chapters/070-orthogonalitaet/orthogonal.tex index 7849e2d..9447c6f 100644 --- a/buch/chapters/070-orthogonalitaet/orthogonal.tex +++ b/buch/chapters/070-orthogonalitaet/orthogonal.tex @@ -370,126 +370,6 @@ Nach obigem Satz sind die Eigenfunktionen von $D$ orthogonal. Das Beispiel illustriert, dass orthogonale Funktionenfamilien ein automatisches Nebenprodukt selbstadjungierter Operatoren sind. -%% -%% Besselfunktionen also orthogonale Funktionenfamilie -%% -%\subsection{Bessel-Funktionen als orthogonale Funktionenfamilie} -%Auch die Besselfunktionen sind eine orthogonale Funktionenfamilie. -%Sie sind Funktionen differenzierbaren Funktionen $f(r)$ für $r>0$ -%mit $f'(r)=0$ und für $r\to\infty$ nimmt $f(r)$ so schnell ab, dass -%auch $rf(r)$ noch gegen $0$ strebt. -%Das Skalarprodukt ist -%\[ -%\langle f,g\rangle -%= -%\int_0^\infty r f(r) g(r)\,dr, -%\] -%als Operator verwenden wir -%\[ -%A = \frac{d^2}{dr^2} + \frac{1}{r}\frac{d}{dr} + s(r), -%\] -%wobei $s(r)$ eine beliebige integrierbare Funktion sein kann. -%Zunächst überprüfen wir, ob dieser Operator wirklich selbstadjungiert ist. -%Dazu rechnen wir -%\begin{align} -%\langle Af,g\rangle -%&= -%\int_0^\infty -%r\,\biggl(f''(r)+\frac1rf'(r)+s(r)f(r)\biggr) g(r) -%\,dr -%\notag -%\\ -%&= -%\int_0^\infty rf''(r)g(r)\,dr -%+ -%\int_0^\infty f'(r)g(r)\,dr -%+ -%\int_0^\infty s(r)f(r)g(r)\,dr. -%\notag -%\intertext{Der letzte Term ist symmetrisch in $f$ und $g$, daher -%ändern wir daran weiter nichts. -%Auf das erste Integral kann man partielle Integration anwenden und erhält} -%&= -%\biggl[rf'(r)g(r)\biggr]_0^\infty -%- -%\int_0^\infty f'(r)g(r) + rf'(r)g'(r)\,dr -%+ -%\int_0^\infty f'(r)g(r)\,dr -%+ -%\int_0^\infty s(r)f(r)g(r)\,dr. -%\notag -%\intertext{Der erste Term verschwindet wegen der Bedingungen an die -%Funktionen $f$ und $g$. -%Der erste Term im zweiten Integral hebt sich gegen das -%zweite Integral weg. -%Der letzte Term ist das Skalarprodukt von $f'$ und $g'$. -%Somit ergibt sich -%} -%&= -%-\langle f',g'\rangle -%+ -%\int_0^\infty s(r) f(r)g(r)\,dr. -%\label{buch:integrale:orthogonal:besselsa} -%\end{align} -%Vertauscht man die Rollen von $f$ und $g$, erhält man das Gleiche, da im -%letzten Ausdruck~\eqref{buch:integrale:orthogonal:besselsa} die Funktionen -%$f$ und $g$ symmetrische auftreten. -%Damit ist gezeigt, dass der Operator $A$ selbstadjungiert ist. -%Es folgt nun, dass Eigenvektoren des Operators $A$ automatisch -%orthogonal sind. -% -%Eigenfunktionen von $A$ sind aber Lösungen der Differentialgleichung -%\[ -%\begin{aligned} -%&& -%Af&=\lambda f -%\\ -%&\Rightarrow\qquad& -%f''(r) +\frac1rf'(r) + s(r)f(r) &= \lambda f(r) -%\\ -%&\Rightarrow\qquad& -%r^2f''(r) +rf'(r)+ (-\lambda r^2+s(r)r^2)f(r) &= 0 -%\end{aligned} -%\] -%sind. -% -%Durch die Wahl $s(r)=1$ wird der Operator $A$ zum Bessel-Operator -%$B$ definiert in -%\eqref{buch:differentialgleichungen:bessel-operator}. -%Die Lösungen der Besselschen Differentialgleichung zu verschiedenen Werten -%des Parameters müssen also orthogonal sein, insbesondere sind die -%Besselfunktion $J_\nu(r)$ und $J_\mu(r)$ orthogonal wenn $\mu\ne\nu$ ist. -% -% -% Orthogonale Polynome -% -\subsection{Orthogonale Polynome -\label{buch:integral:subsection:orthogonale-polynome}} -Die Polynome $1,x,x^2,\dots,x^n$ bilden eine Basis des Vektorraums -der Polynome vom Grad $\le n$. -Bezüglich des Skalarproduktes -\[ -\langle p,q\rangle -= -\int_{-1}^1 p(x)q(x)\,dx -\] -sind sie jedoch nicht orthogonal, denn es ist -\[ -\langle x^i,x^j\rangle -= -\int_{-1}^1 x^{i+j}\,dx -= -\biggl[\frac{x^{i+j+1}}{i+j+1}\biggr]_{-1}^1 -= -\begin{cases} -\displaystyle -\frac{2}{i+j+1}&\qquad\text{$i+j$ gerade}\\ - 0&\qquad\text{$i+j$ ungerade}. -\end{cases} -\] -Wir können daher das Gram-Schmidtsche Orthonormalisierungsverfahren -anwenden, um eine orthogonale Basis von Polynomen zu finden, was -wir im Folgenden tun wollen. % XXX Orthogonalisierungsproblem so formulieren, dass klar wird, % XXX dass man ein "Normierungskriterium braucht. @@ -714,8 +594,6 @@ orthogonale Polynome vom Grad $n$, die den Wert $P_n(1)=1$ haben. \label{buch:integral:table:legendre-polynome}} \end{table} - - Die so konstruierten Polynome heissen die {\em Legendre-Polynome}. Durch weitere Durchführung des Verfahrens liefert die Polynome in Tabelle~\ref{buch:integral:table:legendre-polynome}. @@ -725,3 +603,220 @@ Abbildung~\ref{buch:integral:orthogonal:legendreortho} illustriert, dass die die beiden Polynome $P_4(x)$ und $P_7(x)$ orthogonal sind. Das Produkt $P_4(x)\cdot P_7(x)$ hat Integral $=0$. +% +% Rekursionsrelation +% +\subsection{Drei-Term-Rekursion +\label{buch:orthogonal:subsection:rekursionsrelation}} +Die Berechnung der Legendre-Polynome mit Hilfe des Gram-Schmidt-Verfahrens +ist ausserordentlich mühsame wenig hilfreich, wenn es darum geht, Werte +der Polynome zu berechnen. +Glücklicherweise erfüllen orthogonale Polynome automatisch eine +Rekursionsbeziehung mit nur drei Termen. +Zum Beispiel kann man zeigen, dass für die Legendre-Polynome die +Relation +\begin{align*} +nP_n(x) &= (2n-1)xP_{n-1}(x) - (n-1)P_{n-2}(x),\;\forall n\ge 2, +\\ +P_1(x) &= x, +\\ +P_0(x) &= 1. +\end{align*} +Mit so einer Rekursionsbeziehung ist es sehr einfach, die Funktionswerte +für alle $P_n(x)$ zu berechnen. + +\begin{definition} +Eine Folge von Polynomen $p_n(x)$ heisst orthogonal bezüglich des +Skalarproduktes $\langle\,\;,\;\rangle_w$, wenn +\[ +\langle p_n,p_m\rangle_w = h_n \delta_{nm} +\] +für alle $n$, $m$. +\end{definition} + +\subsubsection{Allgemeine Drei-Term-Rekursion für orthogonale Polynome} +Der folgende Satz besagt, dass $p_n$ eine Rekursionsbeziehung erfüllt. + +\begin{satz} +\label{buch:orthogonal:satz:drei-term-rekursion} +Eine Folge bezüglich $\langle\,\;,\;\rangle_w$ orthogonaler Polynome $p_n$ +mit dem Grade $\deg p_n = n$ erfüllt eine Rekursionsbeziehung der Form +\begin{equation} +p_{n+1}(x) += +(A_nx+B_n)p_n(x) - C_np_{n-1}(x) +\label{buch:orthogonal:eqn:rekursion} +\end{equation} +für $n\ge 0$, wobei $p_{-1}(x)=0$ gesetzt wird. +Die Zahlen $A_n$, $B_n$ und $C_n$ sind reell und es ist +$A_{n-1}A_nC_n\ge 0$ für $n>0$. +Wenn $k_n>0$ der Leitkoeffizient von $p_n(x)$ ist, dann gilt +\begin{equation} +A_n=\frac{k_{n+1}}{k_n}, +\qquad +C_{n+1} = \frac{A_{n+1}}{A_n}\frac{h_{n+1}}{h_n}. +\label{buch:orthogonal:eqn:koeffizientenrelation} +\end{equation} +\end{satz} + +\subsubsection{Multiplikationsoperator mit $x$} +Man kann die Relation auch nach dem Produkt $xp_n(x)$ auflösen, dann +wird sie +\begin{equation} +xp_n(x) += +\frac{1}{A_n}p_{n+1}(x) +- +\frac{B_n}{A_n}p_n(x) ++ +\frac{C_n}{A_n}p_{n-1}(x). +\label{buch:orthogonal:eqn:multixrelation} +\end{equation} +Die Multiplikation mit $x$ ist eine lineare Abbildung im Raum der Funktionen. +Die Relation~\eqref{buch:orthogonal:eqn:multixrelation} besagt, dass diese +Abbildung in der Basis der Polynome $p_k$ tridiagonale Form hat. + +\subsubsection{Drei-Term-Rekursion für die Tschebyscheff-Polynome} +Eine Relation der Form~\eqref{buch:orthogonal:eqn:multixrelation} +wurde bereits in +Abschnitt~\ref{buch:potenzen:tschebyscheff:rekursionsbeziehungen} +hergeleitet. +In der Form~\eqref{buch:orthogonal:eqn:rekursion} geschrieben lautet +sie +\[ +T_{n+1}(x) = 2x\,T_n(x)-T_{n-1}(x). +\] +also +$A_n=2$, $B_n=0$ und $C_n=1$. + +\subsubsection{Beweis von Satz~\ref{buch:orthogonal:satz:drei-term-rekursion}} +Die Relation~\eqref{buch:orthogonal:eqn:multixrelation} zeigt auch, +dass der Beweis die Koeffizienten $\langle xp_k,p_j\rangle_w$ +berechnen muss. +Dabei wird wiederholt der folgende Trick verwendet. +Für jede beliebige Funktion $f$ mit $\|f\|_w^2<\infty$ ist +\[ +\langle fp_k,p_j\rangle_w += +\langle p_k,fp_j\rangle_w. +\] +Für $f(x)=x$ kann man weiter verwenden, dass $xp_k(x)$ ein Polynom +vom Grad $k+1$ ist. +Die Gleichheit $\langle xp_k,p_j\rangle_w=\langle p_k,xp_j\rangle_w$ +ermöglicht also, den Faktor $x$ dorthin zu schieben, wo es nützlicher ist. + +\begin{proof}[Beweis des Satzes] +Multipliziert man die rechte Seite von +\eqref{buch:orthogonal:eqn:rekursion} aus, dann ist der einzige Term +vom Grad $n+1$ der Term $A_nxp_n(x)$. +Der Koeffizient $A_n$ ist also dadurch festgelegt, dass +\begin{equation} +b(x) += +p_{n+1}(x) - A_nxp_n(x) +\label{buch:orthogonal:rekbeweis} +\end{equation} +Grad $\le n$ hat. +Dazu müssen sich die Terme vom Grad $n+1$ in den Polynomen wegheben, +d.~h.~$k_{n+1}-A_nk_n=0$, woraus die erste Beziehung in +\eqref{buch:orthogonal:eqn:koeffizientenrelation} folgt. + +Die Polynome $p_k$ sind durch Orthogonalisierung der Monome +$1$, $x$,\dots $x^{k}$ entstanden. +Dies bedeutet, dass $\langle p_n,x^k\rangle_w=0$ für alle $k<n$ +gilt und daher auch $\langle p_n,Q\rangle_w=0$ für jedes Polynome +$Q(x)$ vom Grad $<n$. + +Das Polynom $b(x)$ ist vom Grad $\le n$, es lässt sich also als +Linearkombination +\[ +b(x) = \sum_{k=0}^n b_k p_k(x) +\] +der $p_k$ mit $k\le n$ schreiben. +Die Koeffizienten $b_j$ kann man erhalten, indem man +\eqref{buch:orthogonal:rekbeweis} Skalar mit $p_j$ multipliziert. +Dabei erhält man +\[ +h_jb_j += +\langle b,p_j\rangle_w += +\langle p_{n+1},p_j\rangle_w +- +A_n\langle xp_n,p_j\rangle_w. +\] +Für $j\le n$ verschwindet der erste Term nach der Definition einer +Folge von orthogonalen Polynomen. +Den zweiten Term kann man umformen in +\[ +\langle xp_n,p_j\rangle_w += +\langle p_n,xp_j\rangle_w. +\] +Darin ist $xp_j$ ein Polynom vom Grad $j+1$. +Für $n>j+1$ folgt, dass der zweite Term verschwindet. +Somit sind alle $b_j=0$ mit $j<n-1$, nur der Term $j=n-1$ +bleibt bestehen. +Mit $B_n=b_n$ und $C_n=b_{n-1}$ bekommt man die somit die +Rekursionsbeziehung~\eqref{buch:orthogonal:eqn:rekursion}. + +Indem man das Skalarprodukt von~\eqref{buch:orthogonal:eqn:rekursion} +mit $p_{n-1}$ bildet, findet man +\begin{align} +\underbrace{\langle +p_{n+1},p_{n-1} +\rangle_w}_{\displaystyle=0} +&= +\langle (A_nx+B_n)p_n+C_np_{n-1},p_{n-1} \rangle_w +\notag +\\ +0 +&= +A_n\langle xp_n,p_{n-1} \rangle_w ++B_n\underbrace{\langle p_n,b_{n-1}\rangle_w}_{\displaystyle=0} +-C_n\|p_{n-1}\|_w^2 +\notag +\\ +0 +&= +A_n\langle p_n,xp_{n-1} \rangle_w +-C_n\|p_{n-1}\|_w^2 +\label{buch:orthogonal:eqn:rekbeweis2} +\end{align} +Indem man $xp_n$ als +\[ +xp_{n-1}(x) += +\frac{k_{n-1}}{k_n} p_n(x) ++ +\sum_{k=0}^{n-1} d_kp_k(x) +\] +schreibt, bekommt man +\begin{align*} +\langle +p_n, +xp_{n-1} +\rangle_w +&= +\biggl\langle +p_n, +\frac{k_{n-1}}{k_n} p_n ++ +\sum_{k=0}^{n-1} d_kp_k +\biggr\rangle_w += +\frac{k_{n-1}}{k_n}h_n ++ +\sum_{k=0}^{n-1} d_k\underbrace{\langle p_n,p_k\rangle_w}_{\displaystyle=0} +\end{align*} +Eingesetzt in~\eqref{buch:orthogonal:eqn:rekbeweis2} erhält man +\[ +A_n\frac{k_{n-1}}{k_n}h_n = C_n h_{n-1} +\qquad\Rightarrow\qquad +C_n += +A_n\frac{k_{n-1}}{k_n}\frac{h_n}{h_{n-1}}, +\] +damit ist auch die zweite Beziehung von +\eqref{buch:orthogonal:eqn:koeffizientenrelation}. +\end{proof} |
