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diff --git a/buch/chapters/070-orthogonalitaet/Makefile.inc b/buch/chapters/070-orthogonalitaet/Makefile.inc index 80bb54b..3202936 100644 --- a/buch/chapters/070-orthogonalitaet/Makefile.inc +++ b/buch/chapters/070-orthogonalitaet/Makefile.inc @@ -6,6 +6,7 @@ CHAPTERFILES = $(CHAPTERFILES) \ chapters/070-orthogonalitaet/orthogonal.tex \ + chapters/070-orthogonalitaet/rodrigues.tex \ chapters/070-orthogonalitaet/legendredgl.tex \ chapters/070-orthogonalitaet/bessel.tex \ chapters/070-orthogonalitaet/jacobi.tex \ diff --git a/buch/chapters/070-orthogonalitaet/chapter.tex b/buch/chapters/070-orthogonalitaet/chapter.tex index 4c6019f..86a5d47 100644 --- a/buch/chapters/070-orthogonalitaet/chapter.tex +++ b/buch/chapters/070-orthogonalitaet/chapter.tex @@ -10,6 +10,7 @@ \rhead{} \input{chapters/070-orthogonalitaet/orthogonal.tex} \input{chapters/070-orthogonalitaet/jacobi.tex} +\input{chapters/070-orthogonalitaet/rodrigues.tex} \input{chapters/070-orthogonalitaet/legendredgl.tex} \input{chapters/070-orthogonalitaet/bessel.tex} \input{chapters/070-orthogonalitaet/sturm.tex} diff --git a/buch/chapters/070-orthogonalitaet/jacobi.tex b/buch/chapters/070-orthogonalitaet/jacobi.tex index 576ef62..042d466 100644 --- a/buch/chapters/070-orthogonalitaet/jacobi.tex +++ b/buch/chapters/070-orthogonalitaet/jacobi.tex @@ -65,20 +65,20 @@ Für das Integral in der Nähe von $x_0$ ist CD \int_{x_0-\varepsilon}^{x_0+\varepsilon} |x-x_0|^{\alpha-2a}\,dx -= +\\ +&= 2CD \int_0^\varepsilon t^{\alpha-2a} \,dt -\\ -&= += 2CD \begin{cases} \displaystyle \; \biggl[\frac{t^{\alpha-2a+1}}{\alpha-2a+1}\biggr]_0^\varepsilon &\qquad -\alpha-2a=-1 +\alpha-2a\ne-1 \\[7pt] \displaystyle \; @@ -200,6 +200,12 @@ illustriert. % % % +\subsection{Rekursionsformel} +\url{https://ch.mathworks.com/help/symbolic/sym.jacobip.html;jsessionid=9ef5241a38b49d65f6f61cba98c8} + +% +% +% \subsection{Jacobi-Polynome als hypergeometrische Funktionen} % @@ -211,3 +217,7 @@ illustriert. % % \subsection{Ableitung und Rodrigues-Formel} + + + + diff --git a/buch/chapters/070-orthogonalitaet/rodrigues.tex b/buch/chapters/070-orthogonalitaet/rodrigues.tex new file mode 100644 index 0000000..590038a --- /dev/null +++ b/buch/chapters/070-orthogonalitaet/rodrigues.tex @@ -0,0 +1,202 @@ +% +% rodrigues.tex +% +% (c) 2022 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\section{Rodrigues-Formeln +\label{buch:orthogonalitaet:section:rodrigues}} +Die Drei-Term-Rekursionsformel ermöglicht Werte orthogonaler Polynome +effizient zu berechnen. +Die Rekursionsformel erhöht den Grad eines Polynoms, indem mit $x$ +multipliziert wird. +mit der Ableitung kann man den Grad aber auch senken, man könnte daher +auch nach einer Rekursionsformel fragen, die bei einem Polynom hohen +Grades beginnt und mit Hilfe von Ableitungen zu geringeren Graden +absteigt. +Solche Formeln heissen Rodrigues-Formeln nach dem Entdecker Olinde +Rodrigues, der eine solche Formal als erster für Legendre-Polynome +gefunden hat. + +In diesem Abschnitt sei $p_n(x)$ eine bezüglich des Skalarproduktes +$\langle\,\;,\;\rangle_w$ auf dem Intervall $[a,b]$ orthogonale Familie +von Polynomen mit genaum dem Grad $\deg p_n=n$. +Die Skalarprodukte sollen +\[ +\langle p_n,p_m\rangle_w = h_n\delta_{nm} +\] +sein. + +\subsection{Pearsonsche Differentialgleichung} +Die {\em Pearsonsche Differentialgleichung} ist die Differentialgleichung +\begin{equation} +B(x) y' - A(x) y = 0, +\label{buch:orthogonal:eqn:pearson} +\end{equation} +wobei $B(x)$ ein Polynom vom Grad höchstens $2$ ist und $A(x)$ ein +höchstens lineares Polynom. +Die Gleichung~\eqref{buch:orthogonal:eqn:pearson} +kann gelöst werden, wenn $y$ und $B(x)$ keine Nullstellen haben. +Dann kann man die Gleichung umstellen in +\[ +\frac{y'}{y} += +(\log y)' += +\frac{A(x)}{B(x)} +\qquad\Rightarrow\qquad +y = \exp\biggl( \int\frac{A(x)}{B(x)}\biggr)\,dx. +\] +Im folgenden nehmen wir zusätzlich an, dass +\begin{equation} +\lim_{x\to a+} w(x)B(x) = 0, +\qquad\text{und}\qquad +\lim_{x\to b-} w(x)B(x) = 0. +\end{equation} +Falls $w(x)$ an den Intervallenden einen von $0$ verschiedenen +Grenzwert hat, bedeutet dies, dass $B(a)=B(b)=0$ sein muss. +Falls $w(x)$ am Intervallende divergiert, muss $B(x)$ dort eine +Nullstelle höherer Ordnung haben, was aber für ein Polynom +zweiten Grades nicht möglich ist. + +\subsection{Rekursionsformel} +Multiplikation mit $B(x)$ wird den Grad eines Polynomes typischerweise +um $2$ erhöhen, die Ableitung wird ihn wieder um $1$ reduzieren. +Etwas formeller kann man dies wie folgt formulieren: + +\begin{satz} +Für alle $n\ge 0$ ist +\[ +q_n(x) += +\frac{1}{w(x)} +\frac{d^n}{dx^n} B(x)^n w(x) +\] +ein Polynom vom Grad höchstens $n$. +\end{satz} + +\begin{proof}[Beweis] +Wenn $r_0(x)$ irgend eine differenzierbare Funktion ist, dann ist +\begin{align*} +\frac{d^n}{dx^n} +r_0(x) B(x)^n w(x) +&= +\frac{d^{n-1}}{dx^{n-1}}\frac{d}{dx} r_0(x) B(x)^n w(x) +\\ +&= +\frac{d^{n-1}}{dx^{n-1}} +\bigl(r_0'(x)B(x)+ nB'(x)B(x)^{n-1}w(x) + B(x)^n w'(x) \bigr) +\\ +&= +\frac{d^{n-1}}{dx^{n-1}} +(r_0'(x)B(x)+nB'(x)+A(x)) B(x)^{n-1} w(x) += +\frac{d^{n-1}}{dx^{n-1}} r_1(x)B^{n-1}(x) w(x). +\end{align*} +Für die Funktionen $r_k$ gilt die Rekursionsformel +\begin{equation} +r_k(x) = r_{k-1}'(x)B(x) + kB'(x) + A(x). +\label{buch:orthogonal:rodrigues:rekursion:beweis1} +\end{equation} +Wenn $r_0(x)$ ein Polynom ist, dann sind alle Funktionen $r_k(x)$ +ebenfalls Polynome. +Durch wiederholte Anwendung dieser Formel kann man schliessen, dass +\[ +\frac{d^n}{dx^n} r_0(x) B(x)^n w(x) += +r_n(x) w(x). +\] +Insbesondere folgt für $r_0(x)=1$, dass man durch $w(x)$ dividieren kann +und dass $r_n(x)=q_n(x)$. + +Wir müssen auch noch den Grad von $r_k(x)$ bestimmen. +Dazu verwenden wir +\eqref{buch:orthogonal:rodrigues:rekursion:beweis1} und berechnen den +Grad: +\begin{equation*} +\deg r_k(x) += +\max \bigl( +\underbrace{\deg(r_{k-1}'(x) B(x))}_{\displaystyle \deg r_{k-1}(x) -1 + 2} +, +\underbrace{\deg(B'(x))}_{\displaystyle \le 1} +, +\underbrace{\deg(A(x))}_{\displaystyle \le 1} +\bigr) +\le \max r_{k-1}(x) + 1. +\end{equation*} +Aus $\deg r_0(x)=0$ kann man jetzt ablesen, dass $\deg r_k(x)\le k$ ist. +Damit ist gezeigt, dass $\deg q_n(x)\le n$. +\end{proof} + +\begin{satz} +Es gibt Konstanten $c_n$ derart, dass +\[ +p_n(x) += +\frac{c_n}{w(x)} \frac{d^n}{dx^n} \bigl(B(x)^n w(x)\bigr) +\] +gilt. +\end{satz} + +\begin{proof}[Beweis] +Wir müssen zeigen, dass die Polynome orthogonal sind auf allen Monomen +von geringerem Grad. +\begin{align*} +\langle q_n, x^k\rangle_w +&= +\int_a^b q_n(x)x^kw(x)\,dx +\\ +&= +\int_a^b \frac{1}{w(x)}\frac{d^n}{dx^n}(B(x)^n w(x)) x^k w(x)\,dx +\\ +&= +\int_a^b \frac{d^n}{dx^n}(B(x)^n w(x)) x^k \,dx +\\ +&= +\biggl[\frac{d^{n-1}}{dx^{n-1}}(B(x)^n w(x)) x^k \biggr]_a^b +- +\int_a^b \frac{d^{n-1}}{dx^{n-1}}(B(x)^n w(x))kx^{k-1}\,dx +\end{align*} +Durch $n$-fache Iteration wird das Integral auf $0$ reduziert. +Es bleiben nur die eckigen Klammern stehen, doch wenn man die Produktregel +auswertet, bleibt immer mindestens ein Produkt $B(x)w(x)$ stehen, +nach den Voraussetzungen an den Grenzwert dieses Produktes an den +Intervallenden verschwinden diese Terme alle. +Damit sind die $q_n(x)$ Polynome, die $w$-orthogonal sind auf allen +$x^k$ mit $k<n$, also Vielfache der $w$-Orthgonalpolynome. +\end{proof} + +\subsubsection{Legendre-Polynome} +Legendre-Polynome sind orthogonale Polynome zum Standardskalarprodukt +mit $w(x)=1$. +Die Pearsonsche Differentialgleichung ist für $A(x)=0$ immer erfüllt. +Die Randbedingung bedeutet wegen $w(x)=1$, dass $B(x)$ an den +Endpunkten des Intervalls verschwinden muss. +Da $B(x)$ ein Polynom höchstens vom Grad $2$ ist, muss $B(x)$ ein +Vielfaches von $(x-1)(x+1)=x^-1$ sein. +Die Rodrigues-Formel für die Legendre-Polynome hat daher die Form +\[ +P_n(x) += +c_n +\frac{d^n}{dx^n} +(x^2-1)^n, +\] +darin müssen die Konstanten $c_n$ noch bestimmt werden. +In der für die Legendre-Polynome gewählten Normierung ist +\[ +c_n = \frac1{2^n n!} +\qquad\text{und damit}\qquad +P_n(x) += +\frac{1}{2^nn!} +\frac{d^n}{dx^n} +(x^2-1)^n. +\] + +\subsubsection{Hermite-Polynome} +TODO + +\url{https://en.wikipedia.org/wiki/Rodrigues%27_formula} + + |