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-rw-r--r--buch/papers/laguerre/presentation/sections/gamma_approx.tex23
-rw-r--r--buch/papers/laguerre/presentation/sections/laguerre.tex4
-rw-r--r--buch/papers/laguerre/scripts/gamma_approx.py2
3 files changed, 21 insertions, 8 deletions
diff --git a/buch/papers/laguerre/presentation/sections/gamma_approx.tex b/buch/papers/laguerre/presentation/sections/gamma_approx.tex
index f5f889e..2e4e4e2 100644
--- a/buch/papers/laguerre/presentation/sections/gamma_approx.tex
+++ b/buch/papers/laguerre/presentation/sections/gamma_approx.tex
@@ -6,14 +6,20 @@
\Gamma(z)
& =
\int_0^\infty x^{z-1} e^{-x} \, dx
+\uncover<2->{
\approx
\sum_{i=1}^{n} f(x_i) A_i
+}
+\uncover<3->{
=
\sum_{i=1}^{n} x^{z-1} A_i
+}
\\\\
+\uncover<4->{
& \text{wobei }
A_i = \frac{x_i}{(n+1)^2 \left[ L_{n+1}(x_i) \right]^2}
\text{ und $x_i$ die Nullstellen von $L_n(x)$}
+}
\end{align*}
\end{frame}
@@ -66,7 +72,7 @@ von $z$ und Grade $n$ der Laguerre-Polynome}
\item Vermutung: Integrand ist problematisch
}
\uncover<3->{
-\item[$\Rightarrow$] Analysieren des Integranden
+\item[$\Rightarrow$] Analysieren von $f(x)$ und dem Integranden
}
\end{itemize}
\end{frame}
@@ -110,7 +116,7 @@ mit Funktionalgleichung zurückverschieben
\item Minimieren des Fehlerterms mit zusätzlichem Verschiebungsterm
}
\uncover<4->{$\Rightarrow$ Schwierig das Maximum des Fehlerterms zu bestimmen}
-\uncover<5->{\item Emprisch $a(n)$ bestimmen}
+\uncover<5->{\item Empirisch $a(n)$ bestimmen}
\uncover<6->{$\Rightarrow$ Sinnvoll,
da Gauss-Quadratur nur für kleine $n$ praktischen Nutzen hat}
\end{itemize}
@@ -120,13 +126,13 @@ da Gauss-Quadratur nur für kleine $n$ praktischen Nutzen hat}
\begin{align*}
\Gamma(z)
\approx
-\frac{1}{(z-m)_m} \sum_{i=1}^{n} x_i^{z + m - 1} A_i
+\frac{1}{(z-m)_{m}} \sum_{i=1}^{n} x_i^{z + m - 1} A_i
\end{align*}
\begin{figure}[h]
\centering
\includegraphics[width=0.5\textwidth]{../images/targets.pdf}
-\caption{Verschiebungsterm $m$ in Abhängigkeit von $z$ und $n$}
+\caption{Optimaler Verschiebungsterm $m^*$ in Abhängigkeit von $z$ und $n$}
\end{figure}
\end{frame}
@@ -142,8 +148,15 @@ da Gauss-Quadratur nur für kleine $n$ praktischen Nutzen hat}
\end{column}
\begin{column}{0.39\textwidth}
\begin{align*}
+\hat{m}
+&=
+\alpha n + \beta
+\\
+&\approx
+1.34093 n + 0.854093
+\\
m^*
-=
+&=
\lceil \hat{m} - \operatorname{Re}z \rceil
\end{align*}
\end{column}
diff --git a/buch/papers/laguerre/presentation/sections/laguerre.tex b/buch/papers/laguerre/presentation/sections/laguerre.tex
index cba9ffb..faa50e5 100644
--- a/buch/papers/laguerre/presentation/sections/laguerre.tex
+++ b/buch/papers/laguerre/presentation/sections/laguerre.tex
@@ -34,7 +34,7 @@ x y''(x) + (1 - x) y'(x) + n y(x)
\begin{tikzpicture}[remember picture,overlay]
%% use here too
\path[draw=mainColor, very thick,->](0, 1.1) to
-node[anchor=west]{Potenreihenansatz} (0, -0.8);
+node[anchor=west]{Potenzreihenansatz} (0, -0.8);
\end{tikzpicture}
}
@@ -76,7 +76,7 @@ n &e^{-x} &y(x)
\item Gewichtsfunktion $w(x) = e^{-x}$
\end{itemize}
-\only<4>{
+\uncover<4->{
\begin{align*}
\int_0^\infty e^{-x} L_n(x) L_m(x) \, dx
=
diff --git a/buch/papers/laguerre/scripts/gamma_approx.py b/buch/papers/laguerre/scripts/gamma_approx.py
index dd50d92..857c735 100644
--- a/buch/papers/laguerre/scripts/gamma_approx.py
+++ b/buch/papers/laguerre/scripts/gamma_approx.py
@@ -192,7 +192,7 @@ bests = np.stack(bests, 0)
fig3, ax3 = plt.subplots(num=3, clear=True, constrained_layout=True, figsize=(5, 3))
v = ax3.imshow(bests, cmap="inferno", aspect="auto", interpolation="nearest")
-plt.colorbar(v, ax=ax3, label=r"$m$")
+plt.colorbar(v, ax=ax3, label=r"$m^*$")
ticks = np.arange(0, N + 1, N // 5)
ax3.set_xlim(0, 1)
ax3.set_xticks(ticks)