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diff --git a/buch/chapters/050-differential/hypergeometrisch.tex b/buch/chapters/050-differential/hypergeometrisch.tex index 18f1267..e187b68 100644 --- a/buch/chapters/050-differential/hypergeometrisch.tex +++ b/buch/chapters/050-differential/hypergeometrisch.tex @@ -796,24 +796,144 @@ tatsächlich die Kosinus-Funktion als Lösung hat. Wir setzen wieder $w(z) = \mathstrut_1F_1(a;b;z)$. Es sind die Operatoren $D_a$ und $D_{b-1}$ anzuwenden. Es ergibt sich die Differentialgleichung -\begin{align*} +\begin{align} \biggl(z\frac{d}{dz}+a\biggr)w &= \frac{d}{dz}\biggl(z\frac{d}{dz} +b-1\biggr)w +\notag \\ zw'+a w &= \frac{d}{dz} (zw'+b w - w) +\notag \\ zw'+a w &= zw'' +w'+b w' - w' +\notag \\ 0 &= zw'' + (b - z)w' - a w. +\label{buch:differentialgleichungen:1f1} +\end{align} +Die hypergeometrische Funktion $\mathstrut_1F_1$ ist eine Lösung +den Anfangsbedingungen $w(0)=1$, $w'(0)=a/b$. +Eine zweite, linear unabhängige Lösung der Differentialgleichung +\eqref{buch:differentialgleichungen:1f1} kann als verallgemeinerte +Potenzreihe $w(z) = z^\varrho v(z)$ gefunden werden. +Die Ableitungen dieses Ansatzes sind +\begin{align*} +w'(z) +&= +\varrho z^{\varrho-1} v(z) + z^\varrho v'(z) +\\ +w''(z) +&= +\varrho(\varrho-1) z^{\varrho-2} v(z) ++ +2\varrho z^{\varrho-1} v'(z) ++ +z^\varrho v''(z). +\end{align*} +Einsetzen derselben in~\eqref{buch:differentialgleichungen:1f1} +ergibt die Gleichung +\begin{align*} +z\bigl( +\varrho(\varrho-1)z^{\varrho-2}v + 2\varrho z^{\varrho-1}v'+z^\varrho v'' +\bigr) ++ +(b-z)\bigl(\varrho z^{\varrho-1}v+z^\varrho v'\bigr) +- +a z^\varrho v +&= +0 +\\ +z^{\varrho+1} v'' ++ +z^\varrho +(2\varrho + b-z) +v' ++ +(\varrho(\varrho-1)z^{\varrho-1} ++(b-z) +\varrho +z^{\varrho-1} +- +az^\varrho +) +v +&= +0 +\\ +z^{\varrho+1} v'' ++ +z^\varrho(2\varrho+b-z)v' ++ +(\varrho(\varrho-1+b) z^{\varrho-1} v ++ +(\varrho-a)z^\varrho v +&= +0 \end{align*} +Die letzte Gleichung wird wieder zu einer Differentialgleichung +der Form~\eqref{buch:differentialgleichungen:1f1}, wenn der erste +der Koeffizienten von $v$ verschwindet, wenn also +$\varrho-1+b=0$ ist, oder $\varrho=1-b$. +Setzt man diesen Wert ein, entsteht die Differentialgleichung +\[ +zv'' + (2(1-b)+b-z) v' - (a+b-1)v = 0 +\qquad\Rightarrow\qquad +zv'' + (2-b-z) v' - (a+b-1)v = 0. +\] +Dies ist eine hypergeometrische Differentialgleichung für +$\mathstrut_1F_1$ mit den Parametern $2-b$ und $1-b-a$. +Es folgt, dass +\[ +w_2(z) += +x^{1-b} \mathstrut_1F_1\biggl( +\begin{matrix} +a+b-1\\ +2-b +\end{matrix} +;z +\biggr). +\] +Falls $2-b$ keine negative ganze Zahl ist, ist die hypergeometrische +Funktion wohldefiniert. + +Wir fassen diese Resultat zusammen: +\begin{satz} +\label{buch:differentialgleichungen:satz:1f1-dgl-loesungen} +Die Differentialgleichung +\[ +zw'' + (b-z)w' - aw = 0 +\] +hat die Funktion +\[ +w_1(z) += +\mathstrut_1F_1\biggl( +\begin{matrix}a\\b\end{matrix};z +\biggr) +\] +als Lösung. +Falls $b-2\not\in\mathbb{N}$ ist, ist +\[ +w_2(z) += +z^{1-b} +\cdot +\mathstrut_1F_1\biggl( +\begin{matrix}a+b-1\\2-b\end{matrix} +;z +\biggr) +\] +eine zweite Lösung. +Für $b=1$ ist $w_2(z)=w_1(z)$. +\end{satz} % % Die hypergeometrische Differentialgleichung für 2F1 @@ -1521,10 +1641,10 @@ n\frac{x}{(1-x^2)^{\frac32}} \sin(n\arccos x) \end{align*} Multipliziert man $T_n''(x)$ mit $(1-x^2)$ und subtrahiert man $xT_n'(x)$, fällt der Term $\sin(n\arccos x)$ weg und es bleibt -\begin{equation} +\begin{equation*} (1-x^2)T''_n(x) -xT'_n(x) = -n^2 T_n(x), -\label{buch:differential:tschebyscheff:Tdgl} -\end{equation} +%\label{buch:differential:tschebyscheff:Tdgl} +\end{equation*} die Tschebyscheff-Polynome sind also Lösungen der Differentialgleichung \begin{equation} (1-x^2)y'' -xy' +n^2 y=0, @@ -1532,7 +1652,111 @@ die Tschebyscheff-Polynome sind also Lösungen der Differentialgleichung \end{equation} sie heisst die {\em Tschbeyscheff-Differentialgleichung}. -\subsubsection{Tschebyscheff-Differentialgleichung und hypergeometrische Differentialgleichung} -TODO +\subsubsection{Tschebyscheff-Differentialgleichung und hypergeometrische +Differentialgleichung} +Die hypergeometrische Differentialgleichung hat eine ähnliche Struktur +wie die Tschebyscheff-Differentialgleichung +\eqref{buch:differential:tschebyscheff:Tdgl}. +Der Koeffizient der zweiten Ableitung hat jedoch die Nullstellen +$\pm 1$ bei der Tschebyscheff-Differentialgleichung, während es bei +der hypergeometrischen Differentialgleichung die Nullstellen +$0$ und $1$ sind. +Wir verwenden daher die Substitution $z = \frac12(1-x)$ und +$w(z)=y(1-2z)$ und formen damit die hypergeometrische +Differentialgleichung um. +Der Faktor $z(1-z)$ wird damit zu +\[ +z(1-z) += +\frac12(1-x)\biggl(1-\frac12(1-x)\biggr) += +\frac12(1-x) \frac12(1+x) += +\frac14 (1-x^2). +\] +Die Ableitungen sind +\begin{align*} +w'(z) &= -2y'(1-2z) \\ +w''(z) &= 4y''(1-2z), +\end{align*} +wir setzen sie in die hypergeometrische Differentialgleichung ein +\begin{align*} +0 +&= +z(1-z) w'(z) ++ +(c-(a+b+1)z) w'(z) - ab w(z) +\\ +&= +\frac14(1-x^2) 4y''(x) +- +2 +\biggl(c-(a+b+1)\frac12(1-x)\biggr) +y'(x) +-aby(x). +\\ +&= +(1-x^2)y'' ++ +(a+b+1-2c-(a+b+1)x) y' +- +aby +\end{align*} +Diese Differentialgleichung kann tatsächlich in die Form der +Tschebyscheff-Differentialgleichung gebracht werden, wenn man setzt +\begin{equation} +\left. +\begin{aligned} +a&=\phantom{-}n\\ +b&=-n\\ +c&=\frac{a+b+1}2 +\end{aligned} +\right\} +\; +\quad\Rightarrow\quad +(1-x^2)y''+ +\biggl(\underbrace{a+b+1-2\frac{a+b+1}2}_{\displaystyle=0}-(\underbrace{n-n+1}_{\displaystyle=1})x\biggr)y' +-n(-n)y=0. +\end{equation} +Die letzte Gleichung ist identisch mit +\eqref{buch:differential:tschebyscheff:Tdgl}. +Die beiden Parameter $a$ und $b$ dürfen natürlich auch vertauscht +werden. + +\subsubsection{Tschebyscheff-Polynome als hypergeometrische Funktionen} +Aus der Umformung der eulerschen hypergeometrischen Differentialgleichung +in die Tschebyscheff-Differntialgleichung kann man jetzt ablesen, dass +eine Lösung der Tschebyscheff-Differentialgleichung auch mit der +hypergeometrischen Funktion $\mathstrut_2F_1$ geschrieben werden kann, +nämlich +\[ +y(x) += +\mathstrut_2F_1\biggl( +\begin{matrix} +n,-n\\ +\frac12 +\end{matrix};\frac{1-x}2 +\biggr). +\] +Wegen $b=-n$ ist diese Funktion ein Polynom mit den Werten +\[ +\begin{aligned} +y(1) &= 1 \\ +y'(1)&= n^2, +\end{aligned} +\] +den gleichen Werten, die auch das Tschbescheff-Polynome $T_n(x)$ annimmt. +Es folgt daher +\begin{equation} +T_n(x) += +\mathstrut_2F_1\biggl( +\begin{matrix}n,-n\\\frac12\end{matrix}; +\frac{1-x}2 +\biggr). +\end{equation} +Auch die Tschebyscheff-Polynome lassen sich also mit Hilfe einer +hypergeometrischen Funktion schreiben. -\url{https://en.wikipedia.org/wiki/Chebyshev_polynomials} +%\url{https://en.wikipedia.org/wiki/Chebyshev_polynomials} |