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diff --git a/buch/chapters/070-orthogonalitaet/gaussquadratur.tex b/buch/chapters/070-orthogonalitaet/gaussquadratur.tex index 870c8a8..55f9700 100644 --- a/buch/chapters/070-orthogonalitaet/gaussquadratur.tex +++ b/buch/chapters/070-orthogonalitaet/gaussquadratur.tex @@ -482,4 +482,81 @@ Dies zeigt auch der Graph in Abbildung~\ref{buch:integral:gaussquadratur:fehler}. \subsection{Skalarprodukte mit Gewichtsfunktion} +Die Nullstellen der Legendre-Polynome ergaben ein gutes +Integrationsverfahren für Polynome auf einem beschränkten +Intervall. +Die Beispiele haben aber auch gezeigt, dass Stellen, wo die +Ableitung des Integranden divergiert, die Genauigkeit stark +beeinträchtigen können. +Ausserdem ist das Verfahren nicht anwendbar auf uneigentliche +Integrale. + +\subsubsection{Umgang mit Singularitäten} +Die Lösung des Problems mit Stellen mit divergenter Ableitung +besteht darin, die Stützstellen in der Nähe dieser Stellen +zu konzentrieren. +Die Verwendung einer Gewichtsfunktion $w(x)$ kann genau dies +erreichen. +Statt das Integral einer Funktion $f(x)$ zu bestimmen, +kann man $f(x)=g(x)w(x)$ schreiben, wobei $w(x)$ so +gewählt werden soll, dass das Verhalten der Steigung an +den Intervallenden gut wiedergibt. +Dies ist mit einer Jacobischen Gewichtsfunktion immer möglich. +Statt der Nullstellen der Legendre-Polynome sind dann die +Nullstellen der Jacobi-Polynome und die Funktionswete von $g(x)$ +an diesen Stellen zu verwenden, die Gewichte sind +die Integrale von $l_i(x) P^{(\alpha,\beta)}(x)$. + +\subsubsection{Uneigentliche Integrale} +Die Berechnung eines uneigentlichen Integrals auf dem Intervall +$(0,\infty)$ oder $(-\infty,\infty)$ ist aus mehreren Gründen nicht +direkt mit dem früher beschriebenen Gauss-Quadraturverfahren +möglich. + +Die Stützstellen, die bei der Gauss-Quadratur in einem Intervall +$(a,b)$ verwendet werden, entstehen dadurch, dass man die Nullstellen +der Legendre-Polynome in $(-1,1)$ auf das Intervall $(a,b)$ +skaliert. +Dies führt offensichtlich nicht zum Erfolg, wenn ein oder beide +Intervallgrenzen unendlich sind. +Dieses Problem kann dadurch gelöst werden, dass man das unendliche +Intervall $(a,\infty)$ mit +\[ +x = a + \frac{1-t}{t} +\] +auf das Intervall $[0,1]$ transformiert. + +Will man beim Intervall $(0,\infty)$ bleiben, dann ist zu beachten, +dass das Integral eines Polynomes immer divergent ist, es ist also +auf jeden Fall nötig, den Integranden durch Funktionen zu approximieren, +die genügend schnell gegen $0$ gehen. +Polynome beliebigen Grades können verwendet werden, wenn sie mit +einer Funktion multipliziert werden, die schneller als jedes Polynom +gegen $0$ geht, so dass das Integral immer noch konvergiert. +Die Funktionen $e^{-x}$ für das Intervall $(0,\infty)$ oder +$e^{-x^2}$ für das Intervall $(-\infty,\infty)$ kommen dafür in Frage. + +Um das Integral von $f(x)$ im Intervall $(0,\infty)$ zu berechnen, +schreibt man daher zunächst +\[ +\int_0^\infty f(x)\,dx += +\int_0^\infty g(x)e^{-x}\,dx += +\int_0^\infty g(x) w(x)\,dx +\quad\text{mit}\quad +w(x)=e^{-x} +\text{ und } +g(x)=f(x)e^x. +\] +Dann approximiert $g(x)$ man durch ein Interpolationspolynom, +so wie man das bei der Gauss-Quadratur gemacht hat. +Als Stützstellen müssen dazu die Nullstellen der Laguerre-Polynome +verwendet werden. +Als Gewichte $w_i$ sind die Integrale der $l_i(x)e^{-x}$ +zu verwenden. + + + + |