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diff --git a/buch/chapters/070-orthogonalitaet/rodrigues.tex b/buch/chapters/070-orthogonalitaet/rodrigues.tex index 590038a..9fded85 100644 --- a/buch/chapters/070-orthogonalitaet/rodrigues.tex +++ b/buch/chapters/070-orthogonalitaet/rodrigues.tex @@ -5,6 +5,7 @@ % \section{Rodrigues-Formeln \label{buch:orthogonalitaet:section:rodrigues}} +\rhead{Rodrigues-Formeln} Die Drei-Term-Rekursionsformel ermöglicht Werte orthogonaler Polynome effizient zu berechnen. Die Rekursionsformel erhöht den Grad eines Polynoms, indem mit $x$ @@ -173,7 +174,7 @@ Die Pearsonsche Differentialgleichung ist für $A(x)=0$ immer erfüllt. Die Randbedingung bedeutet wegen $w(x)=1$, dass $B(x)$ an den Endpunkten des Intervalls verschwinden muss. Da $B(x)$ ein Polynom höchstens vom Grad $2$ ist, muss $B(x)$ ein -Vielfaches von $(x-1)(x+1)=x^-1$ sein. +Vielfaches von $(x-1)(x+1)=x^2-1$ sein. Die Rodrigues-Formel für die Legendre-Polynome hat daher die Form \[ P_n(x) @@ -195,8 +196,337 @@ P_n(x) \] \subsubsection{Hermite-Polynome} -TODO +Die Hermite-Polynome sind auf ganz $\mathbb{R}$ definiert und verwenden +die Gewichtsfunktion +\[ +w(x) = e^{-x^2}. +\] +Für jedes beliebige Polynome $B(x)$, auch für höheren Grad als $2$, ist +\[ +\lim_{x\to-\infty} B(x) w(x) += +\lim_{x\to-\infty} B(x)^e{-x^2} += +0 +\qquad\text{und}\qquad +\lim_{x\to\infty} B(x) w(x) += +\lim_{x\to\infty} B(x)^e{-x^2} += +0, +\] +die Randbedingung der Pearsonschen Differentialgleichung ist also +immer erfüllt. + +Die Ableitung der Gewichtsfunktion ist +\[ +w'(x) = -2xe^{-x^2}. +\] +Eingsetzt in die Pearsonsche Differentialgleichung findet man +\[ +\frac{w'(x)}{w(x)} += +\frac{-2xe^{-x^2}}{e^{-x^2}} += +\frac{-2x}{1} +\] +und daher +\[ +A(x) = -2x +\qquad\text{und}\qquad +B(x) = 1. +\] +Die Gradbedingung ist also immer erfüllt und es folgt die Rodrigues-Formel +für die Hermite-Polynome +\begin{equation} +H_n(x) += +c_n +e^{x^2}\frac{d^n}{dx^n} e^{-x^2} += +(-1)^n +e^{x^2}\frac{d^n}{dx^n} e^{-x^2}. +\label{buch:orthogonal:eqn:hermite-rodrigues} +\end{equation} + +Die Hermite-Polynome können mit der Rodrigues-Formel berechnen, aber die +Form~\eqref{buch:orthogonal:eqn:hermite-rodrigues} ist dazu nicht gut +geeignet. +Dazu dient die Berechnung +\[ +-\frac{d}{dx} +e^{-x^2}f(x) += +2xe^{-x^2}f(x) +- +e^{-x^2}f'(x) += +e^{-x^2} +\biggl(-\frac{d}{dx}+2x\biggr) +f(x), +\] +nach der der Ableitungsoperator mit dem Faktor $e^{-x^2}$ +vertauscht werden kann, wenn er durch die grosse Klammer auf der +rechten Seite ersetzt wird. +Die Rodrigues-Formel bekommt daher die Form +\[ +H_n(x) = \biggl(\frac{d}{dx}-2x\biggr)^n \cdot 1 +\] + +TODO: Relation zu hypergeometrischen Funktionen $\mathstrut_1F_1$ + +%\url{https://en.wikipedia.org/wiki/Rodrigues%27_formula} + +% +% Jacoib-Gewichtsfunktion +% +\subsubsection{Jacobi-Gewichtsfunktion} +%(%i1) w: (1-x)^a*(1+x)^b; +% a b +%(%o1) (1 - x) (x + 1) +%(%i2) diff(w,x)/w; +% a b - 1 a - 1 b +% b (1 - x) (x + 1) - a (1 - x) (x + 1) +%(%o2) ------------------------------------------------- +% a b +% (1 - x) (x + 1) +%(%i3) q: diff(w,x)/w; +% a b - 1 a - 1 b +% b (1 - x) (x + 1) - a (1 - x) (x + 1) +%(%o3) ------------------------------------------------- +% a b +% (1 - x) (x + 1) +%(%i4) ratsimp(q); +% (b + a) x - b + a +%(%o4) ----------------- +% 2 +% x - 1 +% +Die Jacobi-Gewichtsfunktion +\[ +w(x) += +w^{(\alpha,\beta)}(x) += +(1-x)^\alpha(1+x)^\beta +\] +hat die Ableitung +\[ +w'(x) += +\beta(1-x)^\alpha(1+x)^{\beta-1}-\alpha(1-x)^{\alpha-1}(1+x)^\beta +\] +und für die linke Seite der Pearsonschen Differentialgleichung findet man +\[ +\frac{w'(x)}{w(x)} += +\frac{ +\beta(1-x)^\alpha(1+x)^{\beta-1}-\alpha(1-x)^{\alpha-1}(1+x)^\beta +}{ +(1-x)^\alpha(1+x)^\beta +} += +\frac{\beta-\alpha-(\alpha+\beta)x}{1-x^2} += +\frac{A(x)}{B(x)}. +\] +Die Polynome +\[ +A(x) = \beta-\alpha-(\alpha+\beta)x +\qquad\text{und}\qquad +B(x) = 1-x^2 +\] +erfüllen die Gradvoraussetzungen für eine Lösung der Pearsonschen +Differentialgleichung, die Anlass zu einer Rodrigues-Formel gibt. +Die Randbedingungen sind noch zu prüfen: $B(x)$ hat eine Nullstelle +erster Ordnung bei $\pm1$, also ist +\[ +\lim_{x\to \pm1\mp} B(x)w(x) = 0 +\] +genau dann, wenn $\alpha>-1$ und $\beta>-1$ gilt. +Für $\alpha>-1$ und $\beta>-1$ gibt es daher auch für die Jacobi-Polynome +eine Rodriguez-Formel der Art +\[ +P^{(\alpha,\beta)}_n(x) += +\frac{c_n}{w^{(\alpha,\beta)}(x)} +\frac{d^n}{dx^n} +\bigl((1-x^2)^{n} w^{(\alpha,\beta)}(x)\bigr). +\] +Die Konstanten $c_n$ werden durch die Normierung +% XXX in welchem Abschnitt +festgelegt. + +\subsubsection{Die Tschebyscheff-Gewichtsfunktion} +Die Tschebyscheff-Gewichtsfunktion ist der Spezialfall $a=b=-\frac12$ +der Jacobi-Gewichtsfunktion. +Die Rodrigues-Formel für die Tschebyscheff-Polynome lautet daher +\[ +T_n(x) += +c_n\sqrt{1-x^2} \frac{d^n}{dx^n} +\frac{(1-x^2)^n}{\sqrt{1-x^2}} += +\frac{1}{2^nn!} \sqrt{1-x^2} +\frac{d^n}{dx^n} +\frac{(1-x^2)^n}{\sqrt{1-x^2}}, +\] +wobei wir den korrekten Wert von $c_n$ nicht nachgewiesen haben. + +\subsubsection{Die Laguerre-Gewichtsfunktion} +Die Laguerre-Gewichtsfunktion +\[ +w_{\text{Laguerre}}(x) += +w(x) += +e^{-x} +\] +hat die Ableitung +\[ +w'(x) = -e^{-x}, +\] +die Pearsonsche Differentialgleichung ist daher +\[ +\frac{w'(x)}{w(x)}=\frac{-1}{1}. +\] +Dies suggeriert $A(x)=-1$ und $B(x)=1$ als Zähler und Nenner der rechten +Seite, aber daraus produziert die Rodrigues-Formel immer nur die konstante +Funktion. +Ausserdem ist die Randbedingung an der Stelle $x=0$ nicht erfüllt. +$B(x)$ muss so gewählt werden, dass +\[ +0 += +\lim_{x\to 0+} w(x)B(x) += +\lim_{x\to 0+} e^{-x}B(x) += +\lim_{x\to 0+} B(x) += +B(0). +\] +Die Annahme einer konstanten Funktion $B(x)$ widerspricht dem. +Aus der Pearsonschen Differentialgleichung folgt $A(x)=-B(x)$. +Da $A(x)$ höchstens vom Grad 1 sein kann und $B(x)$ mindestens +vom Grad $1$ muss, folgt +\[ +B(x) = x +\qquad\text{und}\qquad +A(x) = -x. +\] +Die Rodrigues-Formel liefert dann die Laguerre-Polynome als +\[ +L_n(x) = c_n e^x \frac{d^n}{dx^n} x^ne^{-x}. +\] +Die Werte von $c_n$ hängen von der gewählten Normierung ab. + +Mit der Rodrigues-Formel können die Laguerre-Polynome bis auf +die Normierung recht direkt berechnen. +Dazu versuchen wir die Ableitungen von $f(x)e^{-x}$ dadurch zu +berechnen, dass wir den Gewichtsfaktor $e^{-x}$ möglichst weit +nach links verschieben wie in +\begin{align*} +\frac{d}{dx} +e^{-x} +f(x) +&= +e^{-x} +\bigl( -f(x) + f'(x) \bigr) += +e^{-x} +\biggl( -1 + \frac{d}{dx}\biggr) f. +\end{align*} +Daraus kann man ablesen, dass die Ableitung nach $x$ mit dem Faktor +$e^{-x}$ vertauscht werden kann, wenn man die Ableitung durch +$-1+d/dx$ ersetzt. +Damit kann jetzt auch die $n$-te Ableitung bestimmen: +\begin{align*} +\frac{d^n}{dx^n}e^{-x}f(x) +&= +e^{-x} \biggl(\frac{d}{dx}-1\biggr)^n f(x) += +e^{-x} \sum_{k=0}^n (-1)^{k}\binom{n}{k}\frac{d^{n-k}}{dx^{n-k}} f(x) +\end{align*} +Dies muss jetzt auf $f(x)=x^n$ angewendet werden. +Es ergibt sich +\begin{align*} +\frac{d^n}{dx^n}e^{-x}x^n +&= +e^{-x} \sum_{k=0}^n (-1)^{k}\binom{n}{k}\frac{d^{n-k}}{dx^{n-k}} x^n +\\ +&= +e^{-x} \sum_{k=0}^n (-1)^{k}\binom{n}{k} +n(n-1)(n-2)\cdots (k+1) +x^k +\\ +&= +e^{-x} +\sum_{k=0}^n (-1)^k \frac{n(n-1)\cdots(n-k+1)}{k!} +\frac{n!}{k!} +x^k +\\ +&= +e^{-x} n! +\sum_{k=0}^\infty +\frac{(-n)(-n+1)(-n+2)\cdot\ldots\cdot (-n+k-1)}{1\cdot 2\cdot \ldots\cdot k} +\frac{x^k}{k!} +\\ +&= +e^{-x} n! +\cdot +\mathstrut_1F_1\biggl( +\begin{matrix}-n\\1\end{matrix}; x +\biggr). +\end{align*} +Die übliche Normierung für die Laguerre-Polynome ist $L_n(0)=1$, +die übereinstimmt mit dem Wert der hypergeometrischen Funktion +an der Stelle $0$. +Wir fassen die Resultate im folgenden Satz zusammen. + +\begin{satz} +Die Laguerre-Polynome vom Grad $n$ haben die Form +\begin{equation} +L_n(x) += +\sum_{k=0}^n \binom{n}{k}\frac{(-1)^k}{k!}x^k += +\mathstrut_1F_1\biggl(\begin{matrix}-n\\1\end{matrix};x\biggr). +\label{buch:orthogonal:eqn:laguerre-polynom-hypergeometrisch} +\end{equation} +\end{satz} +Laguerre-Polynome sind als spezielle hypergeometrische Funktionen, +für $n\le 7$ sind sie +in Tabelle~\ref{buch:orthogonal:table:laguerre} zusammengestellt. +In Abbildung~\ref{buch:orthogonal:fig:laguerre} sind die Laguerre-Polynome +vom Grad $0$ bis $9$ dargestellt. -\url{https://en.wikipedia.org/wiki/Rodrigues%27_formula} +\begin{figure} +\centering +\includegraphics{chapters/070-orthogonalitaet/images/laguerre.pdf} +\caption{Laguerre-Polynome vom Grad $0$ bis $9$ +\label{buch:orthogonal:fig:laguerre}} +\end{figure} +\begin{table} +\renewcommand{\arraystretch}{1.4} +\centering +\begin{tabular}{|>{$}c<{$}|>{$}l<{$}|} +\hline +n& L_n(x)\\ +\hline +0&1\\ +1&-x+1\\ +2&\frac1{2!}(x^2-4x+2)\\ +3&\frac{1}{3!}(-x^3+9x^2-18x+6)\\ +4&\frac{1}{4!}(x^4-16x^3+72x^2-96x+24)\\ +5&\frac{1}{5!}(-x^5+25x^4-200x^3+60x^2-600x+120)\\ +6&\frac{1}{6!}(x^6-36x^5+450x^4-2400x^3+5400x^2-4320x+720)\\ +7&\frac{1}{7!}(-x^7+49x^6-882x^5+7350x^4-29400x^3+52920x^2-35280x+5040)\\ +8&\frac{1}{8!}(x^8-64x^7+1568x^6-18816x^5+117600x^4-376320x^3+564480x^2-322560x+40320)\\ +\hline +\end{tabular} +\caption{Laguerre-Polynome $L_n(x)$ für $n=0,\dots,8$ +\label{buch:orthogonal:table:laguerre}} +\end{table} |