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diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/dglsol.tex b/buch/chapters/110-elliptisch/dglsol.tex index 613f130..c5b3a5c 100644 --- a/buch/chapters/110-elliptisch/dglsol.tex +++ b/buch/chapters/110-elliptisch/dglsol.tex @@ -230,7 +230,8 @@ folgenden Satz. \begin{satz} \index{Satz!Differentialgleichung von $1/\operatorname{pq}(u,k)$}% Wenn die Jacobische elliptische Funktion $\operatorname{pq}(u,k)$ -der Differentialgleichung genügt, dann genügt der Kehrwert +der Differentialgleichung~\eqref{buch:elliptisch:eqn:1storderdglell} +genügt, dann genügt der Kehrwert $\operatorname{qp}(u,k) = 1/\operatorname{pq}(u,k)$ der Differentialgleichung \begin{equation} (\operatorname{qp}'(u,k))^2 @@ -277,8 +278,8 @@ vertauscht worden sind. % Differentialgleichung zweiter Ordnung % \subsubsection{Differentialgleichung zweiter Ordnung} -Leitet die Differentialgleichung~\eqref{buch:elliptisch:eqn:1storderdglell} -man dies nochmals nach $u$ ab, erhält man die Differentialgleichung +Leitet man die Differentialgleichung~\eqref{buch:elliptisch:eqn:1storderdglell} +nochmals nach $u$ ab, erhält man die Differentialgleichung \[ 2\operatorname{pq}''(u,k)\operatorname{pq}'(u,k) = @@ -340,6 +341,25 @@ y(u) = F^{-1}(u+C). Die Jacobischen elliptischen Funktionen sind daher inverse Funktionen der unvollständigen elliptischen Integrale. +\begin{beispiel} +Die Differentialgleichung der Funktion $y=\operatorname{sn}(u,k)$ ist +\[ +(y')^2 += +(1-y^2)(1-k^2y^2). +\] +Aus \eqref{buch:elliptisch:eqn:yintegral} folgt daher, dass +\[ +u+C += +\int\frac{dy}{(1-y^2)(1-k^2y^2)}. +\] +Das Integral ist das unvollständige elliptische Integral erster Art. +Mit der Wahl der Konstanten $C$ so, dass $y(0)=0$ ist, ist +$y(u)=\operatorname{sn}(u,k)$ daher die Umkehrfunktion von +$y\mapsto F(y,k)=u$. +\end{beispiel} + % % Numerische Berechnung mit dem arithmetisch-geometrischen Mittel % @@ -545,7 +565,7 @@ Wir möchten die nichtlineare Differentialgleichung \biggr)^2 = Ax^4+Bx^2 + C -\label{buch:elliptisch:eqn:allgdgl} +\label{buch:elliptisch:eqn:anhdgl} \end{equation} mit Hilfe elliptischer Funktionen lösen. Wir nehmen also an, dass die gesuchte Lösung eine Funktion der Form @@ -562,7 +582,7 @@ a\operatorname{zn}'(bt,k). \] Indem wir diesen Lösungsansatz in die -Differentialgleichung~\eqref{buch:elliptisch:eqn:allgdgl} +Differentialgleichung~\eqref{buch:elliptisch:eqn:anhdgl} einsetzen, erhalten wir \begin{equation} a^2b^2 \operatorname{zn}'(bt,k)^2 @@ -672,13 +692,13 @@ Da alle Parameter im Lösungsansatz~\eqref{buch:elliptisch:eqn:loesungsansatz} bereits festgelegt sind stellt sich die Frage, woher man einen weiteren Parameter nehmen kann, mit dem Anfangsbedingungen erfüllen kann. -Die Differentialgleichung~\eqref{buch:elliptisch:eqn:allgdgl} ist +Die Differentialgleichung~\eqref{buch:elliptisch:eqn:anhdgl} ist autonom, die Koeffizienten der rechten Seite der Differentialgleichung sind nicht von der Zeit abhängig. Damit ist eine zeitverschobene Funktion $x(t-t_0)$ ebenfalls eine Lösung der Differentialgleichung. Die allgmeine Lösung der -Differentialgleichung~\eqref{buch:elliptisch:eqn:allgdgl} hat +Differentialgleichung~\eqref{buch:elliptisch:eqn:anhdgl} hat also die Form \[ x(t) = a\operatorname{zn}(b(t-t_0)), |