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diff --git a/buch/chapters/010-potenzen/tschebyscheff.tex b/buch/chapters/010-potenzen/tschebyscheff.tex index ccc2e97..6d21a68 100644 --- a/buch/chapters/010-potenzen/tschebyscheff.tex +++ b/buch/chapters/010-potenzen/tschebyscheff.tex @@ -102,7 +102,7 @@ die Sütztstellen so zu wählen, dass $l(x)$ kleine Funktionswerte hat. Stützstellen in gleichen Abständen erweisen sich dafür als ungeeignet, da $l(x)$ nahe $x_0$ und $x_n$ sehr stark oszilliert. -\subsection{Definition der Tschebyscheff-Polynome} +\subsection{Definition der Tschebyscheff-Polynome \label{sub:definiton_der_tschebyscheff-Polynome}} \begin{figure} \centering \includegraphics[width=\textwidth]{chapters/010-potenzen/images/lissajous.pdf} @@ -199,6 +199,7 @@ T_0(x)=1. \end{equation} Damit können die Tschebyscheff-Polynome sehr effizient berechnet werden: \begin{equation} +\label{eq:tschebyscheff-polynome} \begin{aligned} T_0(x) &=1 diff --git a/buch/chapters/030-geometrie/hyperbolisch.tex b/buch/chapters/030-geometrie/hyperbolisch.tex index 2938316..d2d0da2 100644 --- a/buch/chapters/030-geometrie/hyperbolisch.tex +++ b/buch/chapters/030-geometrie/hyperbolisch.tex @@ -163,9 +163,9 @@ In der speziellen Relativitätstheorie spielt das Minkowski-Skalarprodukt eine besondere Rolle. Die Koordinaten $x_0$ hat darin die Bedeutung der Zeit, man weiss aus Experimenten wie dem Michelson-Morley-Experiment, -dass die Grösse $\langle x,x\rangle$ ist eine Invariante ist. +dass die Grösse $\langle x,x\rangle$ eine Invariante ist. Die Transformationen mit der Matrix $A$ beschreiben also zulässige -Koordinatentransformationenn, die Invariante erhalten. +Koordinatentransformationen, die Invariante erhalten. Für Transformationen, die zusätzlich die Zeitrichtung erhalten sollen, muss $a_{00}=a_{11}=c>0$ verlangt werden. @@ -174,7 +174,7 @@ muss $a_{00}=a_{11}=c>0$ verlangt werden. Unter der Annahme $c>0$ lässt sich die Matrix vollständig durch den Parameter $t=s/c$ beschreiben. Dividiert man \eqref{buch:geometrie:hyperbolish:eqn:cs} durch $c^2$, -kann $c$ durch $t$ ausdrücken: +kann man $c$ durch $t$ ausdrücken: \[ \frac{1}{c^2} = @@ -199,10 +199,10 @@ H_t t&1 \end{pmatrix}. \] -Diese Formeln erinnern natürlich and die Formeln, mit denen +Diese Formeln erinnern natürlich an die Formeln, mit denen der hyperbolische Sinus und Kosinus aus dem hyperbolischen -Tangens berechnet werden kann. -Dieser Zusammenhang und soll im nächsten Abschnitt hergestellt +Tangens berechnet werden können. +Dieser Zusammenhang soll im nächsten Abschnitt hergestellt werden. % diff --git a/buch/chapters/070-orthogonalitaet/gaussquadratur.tex b/buch/chapters/070-orthogonalitaet/gaussquadratur.tex index a5af7d2..c7dfb31 100644 --- a/buch/chapters/070-orthogonalitaet/gaussquadratur.tex +++ b/buch/chapters/070-orthogonalitaet/gaussquadratur.tex @@ -20,7 +20,7 @@ Ein solches Polynom $p(x)$ hat $n+1$ Koeffizienten, die aus dem linearen Gleichungssystem der $n+1$ Gleichungen $p(x_i)=f(x_i)$ ermittelt werden können. -Das Interpolationspolynom $p(x)$ lässt sich abera uch direkt +Das Interpolationspolynom $p(x)$ lässt sich aber auch direkt angeben. Dazu konstruiert man zuerst die Polynome \[ diff --git a/buch/chapters/070-orthogonalitaet/orthogonal.tex b/buch/chapters/070-orthogonalitaet/orthogonal.tex index df04514..793b78d 100644 --- a/buch/chapters/070-orthogonalitaet/orthogonal.tex +++ b/buch/chapters/070-orthogonalitaet/orthogonal.tex @@ -641,6 +641,7 @@ H_w f\colon(a,b) \to \mathbb{R} \;\bigg|\; \int_a^b |f(x)|^2 w(x)\,dx +<\infty \biggr\}. \] Die Funktionen $f\in H_w$ haben folgende Eigenschaften diff --git a/buch/chapters/070-orthogonalitaet/sturm.tex b/buch/chapters/070-orthogonalitaet/sturm.tex index 742ec0a..80bd5f4 100644 --- a/buch/chapters/070-orthogonalitaet/sturm.tex +++ b/buch/chapters/070-orthogonalitaet/sturm.tex @@ -15,7 +15,7 @@ Skalarproduktes selbstadjungierten Operators erkannt wurden. % % Differentialgleichungen % -\subsection{Differentialgleichung} +\subsection{Differentialgleichung \label{sub:differentailgleichung}} Das klassische Sturm-Liouville-Problem ist das folgende Eigenwertproblem. Gesucht sind Lösungen der Differentialgleichung \begin{equation} @@ -405,7 +405,7 @@ L % % Beispiele % -\subsection{Beispiele} +\subsection{Beispiele\label{sub:beispiele_sturm_liouville_problem}} Die meisten der früher vorgestellten Funktionenfamilien stellen sich als Lösungen eines geeigneten Sturm-Liouville-Problems heraus. Alle Eigenschaften aus der Sturm-Liouville-Theorie gelten daher diff --git a/buch/chapters/075-fourier/bessel.tex b/buch/chapters/075-fourier/bessel.tex index 7e978f7..db7880b 100644 --- a/buch/chapters/075-fourier/bessel.tex +++ b/buch/chapters/075-fourier/bessel.tex @@ -454,7 +454,8 @@ Terme mit $\pm n$ können wegen \[ \left. \begin{aligned} -J_{-n}(\xi) &= (-1)^n J_n(\xi) +J_{-n}(\xi) &= (-1)^n J_n(\xi) +\label{buch:fourier:eqn:symetrie} \\ i^{-n}&=(-1)^n i^n \end{aligned} diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/uebungsaufgaben/1.tex b/buch/chapters/110-elliptisch/uebungsaufgaben/1.tex index af094c6..2d08e56 100644 --- a/buch/chapters/110-elliptisch/uebungsaufgaben/1.tex +++ b/buch/chapters/110-elliptisch/uebungsaufgaben/1.tex @@ -25,7 +25,7 @@ Auslenkung. Formulieren Sie den Energieerhaltungssatz für die Gesamtenergie $E$ dieses Oszillators. Leiten Sie daraus eine nichtlineare Differentialgleichung erster Ordnung -for den anharmonischen Oszillator ab, die sie in der Form +für den anharmonischen Oszillator ab, die sie in der Form $\frac12m\dot{x}^2 = f(x)$ schreiben. \item Die Amplitude der Schwingung ist derjenige $x$-Wert, für den die |