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diff --git a/buch/papers/laguerre/eigenschaften.tex b/buch/papers/laguerre/eigenschaften.tex index c589c92..b0cc3a3 100644 --- a/buch/papers/laguerre/eigenschaften.tex +++ b/buch/papers/laguerre/eigenschaften.tex @@ -5,9 +5,21 @@ % \section{Eigenschaften \label{laguerre:section:eigenschaften}} +{ +\large \color{red} +TODO: +Evtl. nur Orthogonalität hier behandeln, da nur diese für die Gauss-Quadratur +benötigt wird. +} + +Die Laguerre-Polynome besitzen einige interessante Eigenschaften \rhead{Eigenschaften} -\subsection{Orthogonalität} +\subsection{Orthogonalität + \label{laguerre:subsection:orthogonal}} +Im Abschnitt~\ref{laguerre:section:definition} haben wir behauptet, +dass die Laguerre-Polynome orthogonale Polynome sind. +Zu dieser Behauptung möchten wir nun einen Beweis liefern. Wenn wir die Laguerre\--Differentialgleichung in ein Sturm\--Liouville\--Problem umwandeln können, haben wir bewiesen, dass es sich bei @@ -95,4 +107,13 @@ Für den rechten Rand ist die Bedingung (Gleichung~\eqref{laguerre:sllag_randb}) \end{align*} für beliebige Polynomlösungen erfüllt für $k_\infty=0$ und $h_\infty=1$. Damit können wir schlussfolgern, dass die Laguerre-Polynome orthogonal -bezüglich des Skalarproduktes mit der Laguerre\--Gewichtsfunktion sind. +bezüglich des Skalarproduktes auf dem Intervall $(0, \infty)$ mit der Laguerre\--Gewichtsfunktion +$w(x)=x^\nu e^{-x}$ sind. + + +\subsection{Rodrigues-Formel} + +\subsection{Drei-Terme Rekursion} + +\subsection{Beziehung mit der Hypergeometrischen Funktion} + |