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diff --git a/buch/papers/laguerre/Makefile.inc b/buch/papers/laguerre/Makefile.inc index aae51f9..12b0935 100644 --- a/buch/papers/laguerre/Makefile.inc +++ b/buch/papers/laguerre/Makefile.inc @@ -9,6 +9,7 @@ dependencies-laguerre = \ papers/laguerre/references.bib \ papers/laguerre/definition.tex \ papers/laguerre/eigenschaften.tex \ - papers/laguerre/quadratur.tex + papers/laguerre/quadratur.tex \ + papers/laguerre/gamma.tex diff --git a/buch/papers/laguerre/definition.tex b/buch/papers/laguerre/definition.tex index edd2b7b..d111f6f 100644 --- a/buch/papers/laguerre/definition.tex +++ b/buch/papers/laguerre/definition.tex @@ -18,8 +18,9 @@ x \in \mathbb{R} . \label{laguerre:dgl} \end{align} +Die klassische Laguerre-Diffentialgleichung erhält man, wenn $\nu = 0$. Hier wird die verallgemeinerte Laguerre-Differentialgleichung verwendet, -weil die Lösung gleich berechnet werden kann, +weil die Lösung mit der selben Methode berechnet werden kann, aber man zusätzlich die Lösung für den allgmeinen Fall erhält. Zur Lösung der Gleichung \eqref{laguerre:dgl} verwenden wir einen Potenzreihenansatz. @@ -117,6 +118,8 @@ L_n^\nu(x) \sum_{k=0}^{n} \frac{(-1)^k}{(\nu + 1)_k} \binom{n}{k} x^k. \label{laguerre:allg_polynom} \end{align} + +\subsection{Analytische Fortsetzung} Durch die analytische Fortsetzung erhalten wir zudem noch die zweite Lösung der Differentialgleichung mit der Form \begin{align*} diff --git a/buch/papers/laguerre/eigenschaften.tex b/buch/papers/laguerre/eigenschaften.tex index c589c92..b0cc3a3 100644 --- a/buch/papers/laguerre/eigenschaften.tex +++ b/buch/papers/laguerre/eigenschaften.tex @@ -5,9 +5,21 @@ % \section{Eigenschaften \label{laguerre:section:eigenschaften}} +{ +\large \color{red} +TODO: +Evtl. nur Orthogonalität hier behandeln, da nur diese für die Gauss-Quadratur +benötigt wird. +} + +Die Laguerre-Polynome besitzen einige interessante Eigenschaften \rhead{Eigenschaften} -\subsection{Orthogonalität} +\subsection{Orthogonalität + \label{laguerre:subsection:orthogonal}} +Im Abschnitt~\ref{laguerre:section:definition} haben wir behauptet, +dass die Laguerre-Polynome orthogonale Polynome sind. +Zu dieser Behauptung möchten wir nun einen Beweis liefern. Wenn wir die Laguerre\--Differentialgleichung in ein Sturm\--Liouville\--Problem umwandeln können, haben wir bewiesen, dass es sich bei @@ -95,4 +107,13 @@ Für den rechten Rand ist die Bedingung (Gleichung~\eqref{laguerre:sllag_randb}) \end{align*} für beliebige Polynomlösungen erfüllt für $k_\infty=0$ und $h_\infty=1$. Damit können wir schlussfolgern, dass die Laguerre-Polynome orthogonal -bezüglich des Skalarproduktes mit der Laguerre\--Gewichtsfunktion sind. +bezüglich des Skalarproduktes auf dem Intervall $(0, \infty)$ mit der Laguerre\--Gewichtsfunktion +$w(x)=x^\nu e^{-x}$ sind. + + +\subsection{Rodrigues-Formel} + +\subsection{Drei-Terme Rekursion} + +\subsection{Beziehung mit der Hypergeometrischen Funktion} + diff --git a/buch/papers/laguerre/gamma.tex b/buch/papers/laguerre/gamma.tex new file mode 100644 index 0000000..e3838b0 --- /dev/null +++ b/buch/papers/laguerre/gamma.tex @@ -0,0 +1,76 @@ +% +% gamma.tex +% +% (c) 2022 Patrik Müller, Ostschweizer Fachhochschule +% +\section{Anwendung: Berechnung der Gamma-Funktion + \label{laguerre:section:quad-gamma}} +Die Gauss-Laguerre-Quadratur kann nun verwendet werden, +um exponentiell abfallende Funktionen im Definitionsbereich $(0, \infty)$ zu +berechnen. +Dabei bietet sich z.B. die Gamma-Funkion bestens an, wie wir in den folgenden +Abschnitten sehen werden. + +\subsection{Gamma-Funktion} +Die Gamma-Funktion ist eine Erweiterung der Fakultät auf die reale und komplexe +Zahlenmenge. +Die Definition~\ref{buch:rekursion:def:gamma} beschreibt die Gamma-Funktion als +Integral der Form +\begin{align} +\Gamma(z) + & = +\int_0^\infty t^{z-1} e^{-t} dt +, +\quad +\text{wobei Realteil von $z$ grösser als $0$} +, +\label{laguerre:gamma} +\end{align} +welches alle Eigenschaften erfüllt, um mit der Gauss-Laguerre-Quadratur +berechnet zu werden. + +\subsubsection{Funktionalgleichung} +Die Funktionalgleichung besagt +\begin{align} +z \Gamma(z) = \Gamma(z+1). +\label{laguerre:gamma_funktional} +\end{align} +Mittels dieser Gleichung kann der Wert an einer bestimmten, +geeigneten Stelle evaluiert werden und dann zurückverschoben werden, +um das gewünschte Resultat zu erhalten. + +\subsection{Berechnung mittels Gauss-Laguerre-Quadratur} + +Fehlerterm: +\begin{align*} +R_n += +(z - 2n)_{2n} \frac{(n!)^2}{(2n)!} \xi^{z-2n-1} +\end{align*} + +\subsubsection{Finden der optimalen Berechnungsstelle} +Nun stellt sich die Frage, +ob die Approximation mittels Gauss-Laguerre-Quadratur verbessert werden kann, +wenn man das Problem an einer geeigneten Stelle evaluiert und +dann zurückverschiebt mit der Funktionalgleichung. +Dazu wollen wir den Fehlerterm in +Gleichung~\eqref{laguerre:lagurre:lag_error} anpassen und dann minimieren. +Zunächst wollen wir dies nur für $z\in \mathbb{R}$ und $0<z<1$ definieren. +Zudem nehmen wir an, dass die optimale Stelle $x^* \in \mathbb{R}$, $z < x^*$ +ist. +Dann fügen wir einen Verschiebungsterm um $m$ Stellen ein, daraus folgt +\begin{align*} +R_n += +\frac{(z - 2n)_{2n}}{(z - m)_m} \frac{(n!)^2}{(2n)!} \xi^{z + m - 2n - 1} +. +\end{align*} + +{ +\large \color{red} +TODO: +Geeignete Minimierung für Fehler finden, so dass sie mit den emprisich +bestimmen optimalen Punkten übereinstimmen. +} + +\subsection{Resultate} diff --git a/buch/papers/laguerre/main.tex b/buch/papers/laguerre/main.tex index 3db67d5..00e3b43 100644 --- a/buch/papers/laguerre/main.tex +++ b/buch/papers/laguerre/main.tex @@ -8,11 +8,12 @@ \begin{refsection} \chapterauthor{Patrik Müller} -Hier kommt eine Einleitung. +{\large \color{red} TODO: Einleitung} \input{papers/laguerre/definition} \input{papers/laguerre/eigenschaften} \input{papers/laguerre/quadratur} +\input{papers/laguerre/gamma} % \input{papers/laguerre/transformation} % \input{papers/laguerre/wasserstoff} diff --git a/buch/papers/laguerre/quadratur.tex b/buch/papers/laguerre/quadratur.tex index 8ab1af5..60fad7f 100644 --- a/buch/papers/laguerre/quadratur.tex +++ b/buch/papers/laguerre/quadratur.tex @@ -3,27 +3,77 @@ % % (c) 2022 Patrik Müller, Ostschweizer Fachhochschule % -\section{Gauss-Laguerre Quadratur -\label{laguerre:section:quadratur}} +\section{Gauss-Quadratur + \label{laguerre:section:quadratur}} + {\large \color{red} TODO: Einleitung und kurze Beschreibung Gauss-Quadratur} +\begin{align} +\int_a^b f(x) w(x) +\approx +\sum_{i=1}^N f(x_i) A_i +\label{laguerre:gaussquadratur} +\end{align} +\subsection{Gauss-Laguerre-Quadratur +\label{laguerre:subsection:gausslag-quadratur}} +Die Gauss-Quadratur kann auch auf Skalarprodukte mit Gewichtsfunktionen +ausgeweitet werden. +In unserem Falle möchten wir die Gauss Quadratur auf die Laguerre-Polynome +$L_n$ ausweiten. +Diese sind orthogonal im Intervall $(0, \infty)$ bezüglich +der Gewichtsfunktion $e^{-x}$. +Gleichung~\eqref{laguerre:laguerrequadratur} lässt sich wiefolgt umformulieren: \begin{align} - \int_a^b f(x) w(x) - \approx - \sum_{i=1}^N f(x_i) A_i - \label{laguerre:gaussquadratur} +\int_{0}^{\infty} f(x) e^{-x} dx +\approx +\sum_{i=1}^{N} f(x_i) A_i +\label{laguerre:laguerrequadratur} \end{align} +\subsubsection{Stützstellen und Gewichte} +Nach der Definition der Gauss-Quadratur müssen als Stützstellen die Nullstellen +des verwendeten Polynoms genommen werden. +Das heisst für das Laguerre-Polynom $L_n$ müssen dessen Nullstellen $x_i$ und +als Gewichte $A_i$ werden die Integrale $l_i(x)e^{-x}$ verwendet werden. +Dabei sind +\begin{align*} +l_i(x_j) += +\delta_{ij} += +\begin{cases} +1 & i=j \\ +0 & \text{sonst.} +\end{cases} +\end{align*} +Laut \cite{abramowitz+stegun} sind die Gewichte also \begin{align} - \int_{0}^{\infty} f(x) e^{-x} dx - \approx - \sum_{i=1}^{N} f(x_i) A_i - \label{laguerre:laguerrequadratur} +A_i += +\frac{x_i}{(n + 1)^2 \left[ L_{n + 1}(x_i)\right]^2} +. +\label{laguerre:quadratur_gewichte} \end{align} +\subsubsection{Fehlerterm} +Der Fehlerterm $R_n$ folgt direkt aus der Approximation +\begin{align*} +\int_0^{\infty} f(x) e^{-x} dx += +\sum_{i=1}^n f(x_i) A_i + R_n +\end{align*} +un \cite{abramowitz+stegun} gibt in als \begin{align} - A_i - = - \frac{x_i}{(n + 1)^2 \left[ L_{n + 1}(x_i)\right]^2} - \label{laguerre:quadratur_gewichte} +R_n += +\frac{(n!)^2}{(2n)!} f^{(2n)}(\xi) +,\quad +0 < \xi < \infty +\label{lagurre:lag_error} \end{align} +an. +{ +\large \color{red} +TODO: +Noch mehr Text / bessere Beschreibungen in allen Abschnitten +} diff --git a/buch/papers/laguerre/references.bib b/buch/papers/laguerre/references.bib index caf270f..6956ade 100644 --- a/buch/papers/laguerre/references.bib +++ b/buch/papers/laguerre/references.bib @@ -4,32 +4,19 @@ % (c) 2020 Autor, Hochschule Rapperswil % -@online{laguerre:bibtex, - title = {BibTeX}, - url = {https://de.wikipedia.org/wiki/BibTeX}, - date = {2020-02-06}, - year = {2020}, - month = {2}, - day = {6} -} - -@book{laguerre:numerical-analysis, - title = {Numerical Analysis}, - author = {David Kincaid and Ward Cheney}, - publisher = {American Mathematical Society}, - year = {2002}, - isbn = {978-8-8218-4788-6}, - inseries = {Pure and applied undegraduate texts}, - volume = {2} -} - -@article{laguerre:mendezmueller, - author = { Tabea Méndez and Andreas Müller }, - title = { Noncommutative harmonic analysis and image registration }, - journal = { Appl. Comput. Harmon. Anal.}, - year = 2019, - volume = 47, - pages = {607--627}, - url = {https://doi.org/10.1016/j.acha.2017.11.004} -} - +@book{abramowitz+stegun, + added-at = {2008-06-25T06:25:58.000+0200}, + address = {New York}, + author = {Abramowitz, Milton and Stegun, Irene A.}, + biburl = {https://www.bibsonomy.org/bibtex/223ec744709b3a776a1af0a3fd65cd09f/a_olympia}, + description = {BibTeX - Wikipedia, the free encyclopedia}, + edition = {ninth Dover printing, tenth GPO printing}, + interhash = {d4914a420f489f7c5129ed01ec3cf80c}, + intrahash = {23ec744709b3a776a1af0a3fd65cd09f}, + keywords = {Handbook}, + publisher = {Dover}, + pages = {890}, + timestamp = {2008-06-25T06:25:58.000+0200}, + title = {Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables}, + year = 1972 +}
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