diff options
Diffstat (limited to 'buch/papers/parzyl/teil3.tex')
| -rw-r--r-- | buch/papers/parzyl/teil3.tex | 102 |
1 files changed, 99 insertions, 3 deletions
diff --git a/buch/papers/parzyl/teil3.tex b/buch/papers/parzyl/teil3.tex index 4e44bd6..166eebf 100644 --- a/buch/papers/parzyl/teil3.tex +++ b/buch/papers/parzyl/teil3.tex @@ -3,6 +3,102 @@ % % (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil % -\section{Teil 3 -\label{parzyl:section:teil3}} -\rhead{Teil 3} +\section{Eigenschaften +\label{parzyl:section:Eigenschaften}} +\rhead{Eigenschaften} + +\subsection{Potenzreihenentwicklung + \label{parzyl:potenz}} +%Die parabolischen Zylinderfunktionen, welche in Gleichung \ref{parzyl:eq:solution_dgl} gegeben sind, +%können auch als Potenzreihen geschrieben werden +Die parabolischen Zylinderfunktionen können auch als Potenzreihen geschrieben werden. +Im folgenden Abschnitt werden die Terme welche nur von $n$ oder $a$ abhängig sind vernachlässigt. +Die parabolischen Zylinderfunktionen sind Linearkombinationen aus einem geraden Teil $w_1(\alpha, x)$ +und einem ungeraden Teil $w_2(\alpha, x)$, welche als Potenzreihe +\begin{align} + w_1(\alpha,x) + &= + e^{-x^2/4} \, + {}_{1} F_{1} + ( + \alpha, {\textstyle \frac{1}{2}} ; {\textstyle \frac{1}{2}}x^2) + = + e^{-\frac{x^2}{4}} + \sum^{\infty}_{n=0} + \frac{\left ( \alpha \right )_{n}}{\left ( \frac{1}{2}\right )_{n}} + \frac{\left ( \frac{1}{2} x^2\right )^n}{n!} \\ + &= + e^{-\frac{x^2}{4}} + \left ( + 1 + + + \left ( 2\alpha \right )\frac{x^2}{2!} + + + \left ( 2\alpha \right )\left ( 2 + 2\alpha \right )\frac{x^4}{4!} + + + \dots + \right ) +\end{align} +und +\begin{align} + w_2(\alpha,x) + &= + xe^{-x^2/4} \, + {}_{1} F_{1} + ( + {\textstyle \frac{1}{2}} + + \alpha, {\textstyle \frac{3}{2}} ; {\textstyle \frac{1}{2}}x^2) + = + xe^{-\frac{x^2}{4}} + \sum^{\infty}_{n=0} + \frac{\left ( \frac{3}{4} - k \right )_{n}}{\left ( \frac{3}{2}\right )_{n}} + \frac{\left ( \frac{1}{2} x^2\right )^n}{n!} \\ + &= + e^{-\frac{x^2}{4}} + \left ( + x + + + \left ( 1 + 2\alpha \right )\frac{x^3}{3!} + + + \left ( 1 + 2\alpha \right )\left ( 3 + 2\alpha \right )\frac{x^5}{5!} + + + \dots + \right ) +\end{align} +sind. +Die Potenzreihen sind in der regel unendliche Reihen. +Es gibt allerdings die Möglichkeit für bestimmte $\alpha$ das die Terme in der Klammer gleich null werden +und die Reihe somit eine endliche Anzahl $n$ Summanden hat. +Dies geschieht bei $w_1(\alpha,x)$ falls +\begin{equation} + \alpha = -n \qquad n \in \mathbb{N}_0 +\end{equation} +und bei $w_2(\alpha,x)$ falls +\begin{equation} + \alpha = -\frac{1}{2} - n \qquad n \in \mathbb{N}_0. +\end{equation} +Der Wert des von $\alpha$ ist abhängig, ob man $D_n(x)$ oder $U(a,x)$ / $V(a,x)$ verwendet. +Bei $D_n(x)$ gilt $\alpha = -{\textstyle \frac{1}{2}} n$ und bei $U(a,z)$ oder $V(a,x)$ gilt +$\alpha = {\textstyle \frac{1}{2}} a + {\textstyle \frac{1}{4}}$. +\subsection{Ableitung} +Die Ableitungen $\frac{\partial w_1(\alpha, x)}{\partial x}$ und $\frac{\partial w_2(\alpha, x)}{\partial x}$ +können mit den Eigenschaften der hypergeometrischen Funktionen in Abschnitt +\ref{buch:rekursion:hypergeometrisch:stammableitung} berechnet werden. +Zusammen mit der Produktregel ergeben sich die Ableitungen +\begin{equation} + \frac{\partial w_1(\alpha,x)}{\partial x} = 2\alpha w_2(\alpha + \frac{1}{2}, x) - \frac{1}{2} x w_1(\alpha, x), +\end{equation} +und +%\begin{equation} +% \frac{\partial w_2(z,k)}{\partial z} = w_1(z, k -\frac{1}{2}) - \frac{1}{2} z w_2(z,k). +%\end{equation} +\begin{equation} + \frac{\partial w_2(\alpha,x)}{\partial x} = e^{-x^2/4} \left( + x^{-1} w_2(\alpha, x) - \frac{x}{2} w_2(\alpha, x) + 2 x^2 \left(\frac{\alpha + 1}{3}\right) + {}_{1} F_{1} ( + {\textstyle \frac{3}{2}} + + \alpha, {\textstyle \frac{5}{2}} ; {\textstyle \frac{1}{2}}x^2) + \right) +\end{equation} +Nach dem selben Vorgehen können weitere Ableitungen berechnet werden. + |